Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\02mts87_t25_zeszyt_3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  25,  (1987) WYZN ACZAN IE  MOD ELU  STEROWAN IA  SAM OLOTEM ZAPEWN IAJĄ CEGO  Ś CISŁĄ   REALIZACJĘ  RU CH U   PROG RAM OWEG O* WOJCIECH   BLAJER W yż sza  Szkoł a  Inż ynierska  w  Radomiu Praca podejmuje  zagadnienie  ś cisłej  realizacji  programowego  ruchu  samolotu.  N akł a- dają c  na  ruch  samolotu  odpowiednie  warunki,  czyli  wię zy  programowe,  poszukiwano takiego  modelu  sterowania,  który  zapewnił by  ś cisłą   ich  realizację .  Zadanie  rozwią zano dla  modelu  samolotu, sztywnego,  sterowanego  parametrycznie.  Sformuł owano  kryteria realizowalnoś ci  sterowania  w  zał oż onym  ruchu  programowym.  Warunki  nakł adane na ukł ad  przez  wię zy  programowe  przekształ cono do  odpowiednich  równań  róż niczkowych zwyczajnych  ze  wzglę du  na  funkcje  parametrów  sterowania. 1.  Wstę p Najczę ś ciej  podejmowanym  zagadnieniem  numerycznej  symulacji  sterowanego  ruchu samolotu jest  badanie  odpowiedzi  zamodelowanego  ukł adu na  narzucony  model  stero- wania  [2,  10,  12], Z  punktu widzenia symulacji  konkretnego manewru czy figury  akrobacji lotniczej,  istotnym  jest  jednak  przyję cie  odpowiedniego  modelu  sterowania.  Najczę ś ciej znane  są   tylko  ogólne  zasady  sterowania  samolotem  przy  wykonywaniu  poszczególnych manewrów.  Empiryczny  dobór  ś cisł ych  przebiegów  czasowych wartoś ci  parametrów stero- wania,  powodują cych  dokł adną  realizację   zał oż onego manewru, jest  praktycznie  niemoż- liwy. Oczywiś cie model sterowania  moż na uś ciś lić poprzez kolejne jego  poprawki  lub  też zapewnienie  sprzę ż eń  pomię dzy  parametrami  sterowania  i  stanem  symulowanego  lotu (najczę ś ciej  odpowiada  to  modelowym  reakcjom  pilota  lub  autopilota  na  stan  lotu). W  każ dym przypadku symulowany  ruch odwzorowywać jednak bę dzie zamierzony manewr ze  skoń czoną   dokł adnoś cią. W  pracy podję to  się   rozwią zania  zagadnienia  odwrotnego. Przyjmują c  jako  wyjś ciowe odpowiednie  warunki  nakł adane na  ruch  samolotu,  poszukiwano  takiego  modelu  stero- wania,  który  zapewniał by  ś cisłą   realizację   ruchu okreś lonego tymi warunkami. N arzucone *>  F ragmenty  pracy  przedstawione  był y w formie  referatu  n a XI I Konf.  „ D rgan ia w  ukł adach fizycz- nych",  Poznań —Bł aż ejewko,  1986. 438  W.  BLAJER n a  ukł ad  warunki  rozumieć  należy  jako  wię zy  programowe  [5,  6,  7], czyli  analityczne zwią zki  czasu,  współ rzę dnych  ukł adu  oraz  ich  pochodnych.  W  takim  rozumieniu ruch programowy,  czyli  ruch  zgodny  z  wię zami,  jest  ruchem,  który  w  każ dej  chwili  speł nia nał oż one  na niego wię zy. Jak zostanie pokazane w pracy,  postulat  realizacji  wię zów pro- gramowych  implikuje  odpowiednie  warunki,  speł nienie  których  w  każ dej  chwili  czasu zapewni  realizację   zał oż onego ruchu programowego.  Warunki  te przekształ cone być mogą do  postaci  równań  róż niczkowych  zwyczajnych  ze  wzglę du  na  funkcje  parametrów  ste- rowania.  W  ten sposób  każ dy z wię zów  nakł ada  odpowiedni  warunek  na  model  sterowa- nia  samolotem.  Reasumują c,  każ dy  model  sterowania  wypeł niają cy  warunki  nakł adane przez  narzucone  wię zy  programowe  stanowić  bę dzie  rozwią zanie  zagadnienia  podję tego w  pracy. Zagadnienie  rozwią zano  dla  modelu  samolotu  sztywnego  ze  sztywnymi  ukł adami sterowania.  Sterowanie  realizowano  uzależ niając  prawe  strony  równań  ruchu  samolotu od  poszczególnych  parametrów  sterowania.  Do  rozważ ań  przyję to  przy  tym  równania ruchu  wyprowadzone  w  ą uasi- współ rzę dnych  dowolnego  ukł adu  wł asnego  samolotu. Przedstawiona  praca jest  rozwinię ciem  i uogólnieniem zagadnień podję tych w  [1, 3,  4. Prace te, a w  szczególnoś ci  [1], stanowią   też przykł ad  praktycznego  wykorzystania  teore- tycznego  modelu  przedstawionego  poniż ej. 2.  Równania  ruchu  samolotu  swobodnego W  zagadnieniach  dynamiki  ruchu  samolotu  najczę ś ciej  stosowane  są   równania ruchu wyprowadzone  w ą uasi- współ rzę dnych  wybranego  ukł adu  wł asnego.  Równania  te  moż na zapisać  jako  [9,  10, 12]: Mcó +  BM eo=   Q*,  (1) gdzie  zgodnie  z  cytowanymi  powyż ej  pracami:  M  —  stał owspół czynnikowa  macierz bezwł adnoś ci,  a>  —  wektor  ą uasi- prę dkoś ci,  elementami  którego  są   skł adowe  prę dkoś ci liniowej  i  ką towej  samolotu  w  przyję tym  ukł adzie  odniesienia,  B  —  macierz  sprzę ż eń dynamicznych,  której  elementami są  skł adowe  wektora  a>,  Q* — wektor  sił  uogólnionych na  kierunkach  ą uasi- współ rzę dnych. Przyjmuje  się , że ź ródł em zewnę trznych  oddział ywań na samolot w locie  są   sił y  i  mo- menty  aerodynamiczne, sił a cię ż koś ci  oraz sił y i momenty  od  zespoł u  napę dowego.  War- toś ci  tych  oddział ywań zależą   od  aktualnego  stanu  lotu  samolotu  oraz,  z  wyją tkiem  siły grawitacyjnej,  od  aktualnych  wartoś ci  parametrów  sterowania.  Wektor  sił  uogólnionych zapisać  moż na  wówczas  w  formie: Q*  =  Q*((»,ą , s),  (2) gdzie:  q  —  wektor  współ rzę dnych  uogólnionych  samolotu,  s  —  wektor  niezależ nych parametrów  sterowania.  Najczę ś ciej  skł adowymi  wektora  s  są   wartoś ci  wychyleń  lotek, steru wysokoś ci i kierunku  oraz sił a cią gu  silnika  (lub wymiennie  prę dkość  ką towa  obro- tów  silnika).  Czasami  jako  parametry  sterowania  wyróż nia  się   też  ką t  wychylenia  klap, wielkość wysunię cia  hamulców aerodynamicznych i inne. Oczywistym  jest,; że  przy  wyko- M O D E L  STEROWAN IA  SAM OLOTEM   439 tiywaniu  poszczególnych  manewrów  w  locie,  tylko  czę ść  kanał ów  sterowania jest  wyko- rzystywana.  W  dalszej  czę ś ci  pracy  przyjmowane  bę dzie,  że  wektor  s jest ^- elementowy. Wektor prę dkoś ci  uogólnionych  q  zwią zany jest z wektorem quasi- prę dkoś ci  o  poprzez zależ noś ć: q  m Aco,  (3) gdzie  A  —  macierz  o współ czynnikach zależ nych  od q. Wykorzystują c  wzory  (l)- (3)  oraz  uwzglę dniając  uwagi  poczynione  powyż ej,  peł ne równania ruchu samolotu  dla  numerycznej  symulacji  lotu  moż na zapisać  w formie ukł adu równań róż niczkowych  zwyczajnych  pierwszego  rzę du  o  postaci normalnej: w  =   F( w obszarze  okreś lonoś ci o  i q jest  dla  dowolnego czasu  t  równy  a.  Pomijają c  na  razie  peł niejszą   analizę   co  do  maksymalnej  iloś ci  wię zów programowych, wynika  stą d,  że nie może ona przekroczyć iloś ci  stopni  swobody  ukł adu. Indeks*,  podobnie jak  w  równaniu  (2),  oznacza,  że  równania  (5)  nie  zależą   jawnie  od prę dkoś ci  uogólnionych.  Moż na to zawsze  uzyskać  stosują c  podstawienie  (3). Równanie  (5) reprezentuje  zbiór  wię zów  kinematycznych  o  dowolnej  postaci.  Obję ty może też  być  tym  przypadek  dowolnej  postaci  wię zu  geometrycznego,  czyli fi{q,  0  =   0.  (6) Postulują c mianowicie, aż eby w chwili  t  =  0 ukł ad speł niał  warunek  wię zu, czyli fi(q o >  0)  = — 0,  warunek  (6)  moż na  przekształ cić  do  jego  równoważ nej  formy  kinematycznej  [7] która to forma jest  równoważ na zapisowi  (5). W  ten sposób  dowolny  zbiór  wię zów  pro- gramowych  geometrycznych  i  kinematycznych  moż na  zapisać  w jednolitej  formie.  Oczy- wiś cie  wię zy  geometryczne  narzucają   dodatkowe  warunki  n a  poł oż enie ukł adu  w  chwili /  =   0, a równania ich muszą   być co najmniej  klasy  C2. 440  W.  BLAJER Jeś li  u kł a d m a  realizować n arzucon y program , równ an ia wię zów  (5) muszą   być  uwzglę d- n ion e  w  procesie  ru ch u opisan ego  róż niczkowymi  równ an iam i  [4]. W  odróż n ien iu od  wię - zów  m at erialn ych , w  przypadku  których  ruch zgodn y  z wię zami  wymuszany  jest  poprzez reakcje  wię zów  [7],  wię zy  program owe  są   czystymi  zwią zkami  analitycznymi  wyraż ają- cymi  waru n ki jakie  winny  speł nić rozwią zan ia  odn oś n ych równ ań ruch u. W t ym przypadku reakcje  wię zów  program owych  (traktowan ych  ja ko  idealne  wię zy  m aterialn e),  które m ogł yby  być  t rakt o wan e ja ko  dodatkowe  sił y sterują ce  [5, 6, 7], wymuszają ce  ruch zgodny z  wię zam i,  nie mają   fizycznego  sensu.  R uch program owy  winien przebiegać  tak, by  reakcje wię zów  pro gram o wych  w  sensie  Appela- Czetajewa  toż sam oś ciowo  równ ał y  się   zeru. F izycznie  bowiem  reakcji  takich  być  nie  m oż e.  Realizację   n arzucon ego  program u  ruchu zapewn ić  m o ż na  jedyn ie  poprzez  dobór  odpowiedniego  m odelu  sterowan ia.  W  pracy wykazan o  m oż liwość  d o bo r u  takiego  m odelu. R ó wn a n ia  wię zów  program owych  (5)  narzucają   ogran iczen ia  również  n a  quasi- przy- spieszenia,  m ian owicie  [ 5, 6, 7] : Jeż eli  zał oż ym y, że  w  chwili  /  =   0 u kł ad  speł nia n ał oż one  wię zy,  czyli: g*(at Qt q 0 ,Q)  =  0,  (9) ruch  p ro gram o wy  realizowan y  bę dzie jeś li w dowolnej chwili  czasu  /  speł nione bę dą   zależ- n oś ci  (8).  P odstawiają c  do  tych  równ ań  wartoś ci  n a  io  i  q  zgodnie  z  (4),  przekształ cają się   o n e  d o  nastę pują cej  postaci: 8q  !  8t Z godn ie  z  wcześ niejszymi  uwagam i,  równ an ia  (10) są   a zależ noś ciami,  które  m oż na  zapi- sać  sym boliczn ie  ja k o : w*  =  w*(s,  0,q,  t)  =   0.  (11) R easum ują c,  jeś li  w  chwili  począ tkowej  t  =  0  ukł ad  speł n ia  wię zy,  czyli  prawdziwe są   r ó wn a n ia  (9),  ruch  pro gram o wy  opisany  zwią zkami  (5)  realizowany  bę dzie  ś ciś le  gdy w  każ dej  chwili  czasu  wypeł niane  bę dą   warun ki  (11).  Te  ostatn ie  wynikają   z  ograniczeń n a kł a d a n yc h  przez  wię zy  n a  wektor  st an u  ukł adu  równ ań  róż niczkowych  (4).  W  dalszej czę ś ci  pracy  warun ki  (11)  n azywan e  bę dą   wię zami  dyn am iczn ym i. Wyraż en ia  (11)  mają   ch arakt er  ogólny.  W  szczególnym  przypadku  mogą   one  nie zależ eć jawn ie  o  n iektórych lu b  n awet  wszystkich  param etrów sterowan ia  [1, 3, 4],  D otych- czas  n ie  d ysku t o wan o  też sprawy  wzajemnych  proporcji  dł ugoś ci wektorów  s  i g*.  Zagad- n ien ia  te  r o zp a t r zo n e bę dą   w  n astę pn ym rozdziale. 4.  Waru n ki  wię zów  programowych  jako  ograniczenia n akł adan e na  model  sterowania  samolotem T r a kt u ją c  poszczególn e  param etry sterowan ia  s  =   [s t ,  . . . , s b ] T  ja ko  dodatkowe zmien- n e,  u kł a d  r ó wn a ń  (4) o r a z  zwią zki  (11) t rakt o wać m oż na ja ko  2n+a  zależ noś ci  n a  2n+b M O D E L  STEROWAN IA  SAM OLOTEM   441' zmiennych,  gdzie  n —  ilość  stopn i  swobody.  Wn ioskować  stą d  m oż n a,  że  p o d st awo wym warunkiem  realizowalnoś ci  sterowan ia  w ruch u  program owym  jest,  by ilość  n ał o ż o n ych wię zów był a nie wię ksza  niż ilość  niezależ nych  kan ał ów sterowan ia.  Wcześ niej  st wierdzon o już,  że ilość  wię zów  program owych  n ie  może  przekroczyć  iloś ci  stopn i  swobody  u kł a d u . Ostatecznie  wię c,  najogólniejszy  warun ek  kon ieczn y  realizowaln oś ci  sterowan ia  w  r u c h u program owym  m oż na  sform uł ować  n astę pują co: a^ b4n.  (12) N ie jest  t o oczywiś cie  warun ek  wystarczają cy  realizowalnoś ci  sterowan ia.  Z drugiej  stron y a  zależ noś ci  typu  (11)  determ in ować  bę dzie  tylko  a  param et ró w  sterowan ia.  P ozostał e b — a  param etrów  sterowan ia,  z pu n kt u  widzenia  realizacji  program u  (5),  m oże  być przy- ję ta  dowolnie.  N a  funkcje  zm ian  tych  param etrów  bę dą   n akł adan e jedyn ie  ogran iczen ia co  do odpowiedniej  klasy  funkcji. Rozważ my  w  pierwszym  kro ku  przypadek,  gdy u kł ad  warun ków  (11) zależy  jawn ie od  co najmniej  a  param etrów  sterowan ia  oraz  daje  się   rozwikł ać  ze wzglę du  n a a  pa- ram etrów  sterowan ia  s  • » [ 5j,  ...,  s a ] T -   Inaczej  m ówią c,  ze  zwią zków  (11)  m o ż na wyznaczyć  a  zależ noś ci  t yp u : s  =   s(fi), q, s, t),  (13) gdzie  s  — [s lt   ...,s b _ a ] T  —we k t o r  pozostał ych  b — a  param et ró w  sterowan ia,  którego elementy,  z  pu n kt u  widzenia  realizacji  wię zów  program owych  (5),  m ogą   być  przyję te dowolnie  jako 3 =  s(co,q,t).  (14} U wzglę dniając  powyż sze,  warun ki  (13)  n akł adan e n a a kan ał ów sterowan ia,  a  wyn ikają ce bezpoś rednio  z ró wn ań  wię zów  dynam icznych  (11), są  funkcjami  t yp u : s = s*(co,q,t).  (15) Przyję te  a priori  funkcje  s  m uszą   być  przy  tym  co najmniej  cią głe w cał ym zakresie  okres- lonoś ci. W  przypadku  t ym u kł ad  równ ań  (4), odpowiedź  którego  realizować  bę dzie  ś ciś le program  (5),  przekształ cić  m o ż na  do postaci: w  =  F((o, q, s,s)  =   F*((o,q,t), (16/ q  =   A(q)(o, gdzie  F * — funkcje  prawych  st ron  odpowiedn ich  ró wn ań  ukł adu  (4)  po  wstawien iu  (14) i  (15).  Wartoś ci  począ tkowe  wektora  stan u  u kł ad u  (16)  muszą   być  przy  tym d o br a n e  t ak. aż eby  zachowan e  był y  warun ki  (9).  Tym  sam ym  zwią zki  (15)  umoż liwiają   wyzn aczen ie ś cisł ego  m odelu  sterowan ia  zapewniają cego  realizację   p ro gram u  (5). W  przypadku  ogóln ym  u kł ad  warun ków  (11)  nie  m usi  dać  się  efektywnie  rozwikł ać wzglę dem  a param etrów  sterowan ia  (nawet  wówczas,  gdy ukł ad  t en  zależy  jawn ie  o d  co najmniej  a  param etrów  sterowan ia).  Warun ki  wię zów  dynam icznych  m ogą   p o za t ym zależ eć jawn ie  od mniejszej  niż a liczby  param etrów sterowan ia  (jak  n p . w p r a c a c h  [1, 3, 4]). W  koń cu,  zadan ie  sterowan ia  w  zadan ym  ruch u  program owym  m oże  o kazać  się  n ierea- lizpwalne.  P oniż ej  st aran o  się   rozważ yć  to zagadn ien ie w m iarę   ogólnie.  N a wstę pie  zał o - 442 W.  BLAJER ż on o,  że  speł n ion y jest  warunek  a ^  b 4  n  oraz  że  ukł ad  równań  (11), bez wzglę du na powód,  n ie  m oż na  efektywnie  rozwikł ać  wzglę dem  a param etrów  sterowania. N arzucają c  warun ek  realizacji  wię zów  dynamicznych w  chwili  t  =  0, czyli: w*(s o ,c» o ,q o ,0)  =  0,  (17) ruch  zgodn y  z  wię zami  realizowany  bę dzie  wówczas,  gdy  w  każ dej  chwili  czasu  speł - nian e  bę dą   zależ noś ci  róż n iczkowe: /   Ź I M J*  I  /   ń w*  \   ÓW jr +   = 0 .  (18) dw* dt dw* w Jeś li  dokon ać  analogicznych  podstawień  n a w i q ja k przy  przejś ciu  od wzoru  (8)  do (10), ró wn an ia  (18)  m oż na  przedstawić  jako  ogólne  zależ noś ci  typu: w*(s,s,a>,q,t)  = 0.  (19) D okon ują c  w  analogiczny  sposób  m- krotnego  róż niczkowania  wyjś ciowych  zależ noś ci (11)  otrzym ać  m o ż n a: n > *w ( J i ,  . . . , 4 m '5  s b ,  ...,si m >.\ *<(>Oo* s 0 ,  , .., 4'> , fl)o,  ?o »0) = »0,  r =  l ,  . . . , m - l.  (21) Jeś li  dla pewnego  m ukł ad  równ ań  (20)  da się  rozwikł ać  wzglę dem  najwyż szych  po- chodn ych  a  param etrów  sterowania,  ukł ad  ten m oż na  przedstawić  w  postaci  normalnej [8,  11]: S5ra^  = / / S i ,  • • -, ~sT l~ l\   ...,  ~s a   5f«- i 3 ,  l f l + l J  . . . , S'"+ V l) ;  . . . . %, . . . . % m»', w, ? , t ) , • ^ - 1 .  ». . «.  (22) gdzie:  * i 5 są  definiowane  analogicznie ja k  we wzorach  (13) i (14).  Warunkiem  koniecznym umoż liwiają cym  przejś cie  od wzoru  (20)  do (22) jest  przy  tym,  aż eby det gdzie: 8s ¥=0, (23) m­l)i  T dw? dw* dsa 3K 3*!  " '  dsa Wynika  z  powyż szego  mię dzy  innymi,  że  warunki  ł v*(m"  L> muszą   zależ eć  jawnie  od co najmniej  a  param et rów  sterowan ia. P on ieważ  param etry  sterowan ia  ~s  mogą   być, z  pun ktu  widzenia  realizacji  wię zów, dowoln ym i  funkcjami  t ypu  (14)  (ale  odpowiedniej  kla sy—  C m*, gdzie m k   =  m a+1 ,  ..., m b ), .zależ noś ci  (22) są   w  istocie  n astę pują cym i: 5jv  = / / ( 5 I ; . . . ,  n m >~ l \   ..., l«, ...> r«- !) , o .< r s0.  ;  =  i. - >«•   (24) M O D E L  STEROWAN IA  SAM OLOTEM   443 U kł ad  powyż szy  sprowadzić  moż na  do  rzę du  pierwszego  oraz  doł ą czyć  do  równ ań ruchu  (4).  U wzglę dniając  wcześ niejsze  uwagi,  peł ny  ukł ad równań  róż niczkowych  sam o- lotu  realizują cego  narzucony  ruch  programowy  zapisać  m oż na  n astę pują co: q  =  A(q)a, hi  "  ~ sn, (25) ~ s Jmj  =  fj*Oji.,  • • • ,  Sjmj>  <°>  ? >  0 > a .gdzie  / =   I,...,  a.  R ówn an ia  te  stanowią  ukł ad  2«+   £  ntj  równ ań  róż niczkowych zwyczajnych  rzę du  pierwszego  o  postaci  normalnej.  Wartoś ci  począ tkowe  zmiennych ukł adu  speł niać  przy  tym  muszą  warunki  (9),  (17)  i  (21),  czyli  a+a+mCa- l)  równ ań algebraicznych.  N iezbę dnym  jest  wię c,  aż eby k  =  2n + J?mj- [a  + a + m(a~\ )]^   0.  (26) Wynika  z  powyż szego,  że  k  wartoś ci  począ tkowych  wektora  stanu  ukł adu  (25)  ustalo- nych  może  być  dowolnie. Jeś li  w  chwili  t  =   0 wektor  stanu ukł adu (25) speł nia  niezbę dne  warunki  począ tkowe, to  niezależ nie od  doboru funkcji  zmian wektora  ~s  oraz  niezależ nie  od  doboru  k  wartoś ci począ tkowych  ukł adu, ruch  samolotu  opisany  tymi  równaniami  realizować  bę dzie  ś ciś le narzucony  program  (5).  Zmienne  ~ś j L (t) (j  =   1,  ...,d)  stanowią  przy  tym  poszukiwany model  sterowania  samolotem,  zapewniają cy  ś cisłą  realizację  narzuconego  ukł adu  wię- zów  programowych. D otychczas  nie  dyskutowano  wartoś ci  param etru  m,  czyli  niezbę dnej  krotnoś ci  róż- niczkowania wię zów  dynamicznych w  celu uzyskania  moż liwoś ci  rozwikł ania, przekształ - conych  tak  równań  wię zów,  wzglę dem  najwyż szych  pochodn ych  a  param etrów  stero- wania.  W  pracy  nie  dopracowano  się  kryterium  pozwalają cego  n a  oszacowanie  liczby m  w przypadku  ogólnym.  M oż na jedynie  pokazać, że kolejne  róż niczkowanie  warun ków wię zów  programowych  rzeczywiś cie  może  doprowadzić  do  rozwią zania  zagadnienia. Jak  wykazano  wcześ niej,  warunkiem niezbę dnym  dł a wł asnoś ci  (23) jest  jawn a  zależ ność przekształ conych  warunków  wię zów  od  co  najmniej  a  param etrów  sterowania.  Jeś li  na • danym kroku  róż niczkowania wł asność ta  nie jest  speł niona lub  nie  jest  speł niony  waru- nek  (23),  w  kroku  nastę pnym,  dzię ki  ewentualnemu  pojawieniu  się  nowych  elementów wektora  s  (za  quasi- przyspieszenia  co  podstawia  się  prawe  strony  równ ań  z  u kł adu (4)), warunek  (23)  może  być  speł niony. Jak przekonano się  w pracach  [1, 3, 4], w zagadnieniach praktycznych  (choć nie m oż na tego  uogólniać)  wystarcza  trój- ,  a  dzię ki  szczególnemu  podejś ciu  d o  zagadnienia,  nawet • dwukrotne  róż niczkowanie  warunków  wię zów  dynamicznych.  M a  t o  o  tyle  istotn e  zna- czenie,  że  każ dy  krok  róż niczkowania  wydatnie  komplikuje  model  matematyczny. 444  W.  BLAJER 5.  Wnioski W  p rac y  przedstawion o  ogóln y  model  m atem atyczn y  wyznaczania  m odelu  sterowania sam o lo t em  w  ru c h u  program owym .  Z agadn ien ie  m oże  być  rozszerzone  równ ież  na  inne u kł ad y  st ero wan e  param etryczn ie.  Sens  m etody  nie  uległ by  też  zm ianie  gdyby  równ an ia r u c h u  u kł a d u  wyprowadzon e  był y  w  ukł adzie  współ rzę dnych  uogóln ion ych. R ozwią zan ie  podję tego  zagadn ien ia  o p art o  na  specyficznym  podejś ciu  do  zagadnie- n ia  wię zów  n ał oż on ych n a  ukł ad.  W  poję ciu  klasycznym  oddział ywanie  wię zów  n a  ukł ad realizuje  się   poprzez  reakcje  wię zów, czyli  dodatkowe  sił y  (obok  sił   czynnych)  wymusza- ją ce  ruch  zgodn y  z  wię zam i.  W  p o d o bn y  sposób  potraktować  m oż na  ruch  programowy u kł ad u  sterowan ego  sił ami  zewn ę trzn ym i.  Sił y  sterują ce  utoż sam ić  należ ał oby  w  takim wypadku  z  sił ami  reakcji  wię zów  program owych  traktowan ym i  jako  idealne  wię zy  ma- terialn e.  Z agadn ien ie  t o  rozważ one  jest  m .in  .w pracach  [5,  6].  W  rozważ an ym  przypadku r u c h u  sam o lo t u ,  albo  ogólniej  u kł ad u  sterowanego  param etryczn ie,  podejś cie  takie  nie m a  fizycznego  sensu.  Wartoś ci  param etrów  sterowan ia  wpł ywają   bezpoś redn io  na  wiel- kość  oddział ywań  zewnę trznych.  Z adan ie  rozwią zać  m oż na  jedyn ie  poprzez  odpowiedni d o bó r  m o d elu  sterowan ia,  zapewniają cych  taką   kreację   sił   czynnych,  że  powodować on e  bę dą   ru c h ś ciś le realizują cy  n ał oż ony  program .  Ostatn i  warunek  wyraż ają   sobą   równa- n ia  wię zów  dyn am iczn ych  (11).  M odel  m atem atyczn y  opisan y  w  rozdziale  4  pozwala (jeś li  sterowan ie  jest  realizowaln e)  na  wyznaczenie  poszukiwanego  m odelu  sterowania. W  p rac y  stwierdzon o,  że  każ dy  krok  róż n iczkowan ia  wię zów  dynamicznych  w  istotny sposób  kom plikuje  zapis  odpowiedn ich  warunków  w*  .  W  porówn an iu  z  zaprezento- wan ym  m o delem ,  w  pewn ych  przypadkach  ukł ad  warun ków  w*  może  dać  się   roz- wikł ać  wzglę dem  najwyż szych  poch odn ych  oraz  funkcji  a  param etrów  sterowan ia  ~s. U zyskan y  w  t en  sposób  ukł ad  równ ań  róż niczkowych  ze  wzglę du  n a  czę ść  elementów wektora  s  o raz  funkcji  zm ian pozostał ych  elementów  tego  wektora  bę dzie  równoważ ny ukł adowi  (22).  R zą d  ró wn ań  róż niczkowych  obn iż ony  bę dzie  przy  tym  o  jeden ,  a  czę ść p aram et ró w  sterowan ia  wyzn aczon a  bę dzie  bezpoś redn io.  Odpowiedniem u  uprosz- czen iu  ulegną   wówczas  również  róż niczkowe  równ an ia  ruch u  sam olotu  realizują cego p ro gram  (5), czyli  ró wn an ia  (25). P rzypadek  t en najlepiej  pokazan y jest  w prą cy  [1]. Z ap rezen t o wan a  m et o d a  m a  ch arakt er  czysto  analityczny.  U zyskan e  tą   drogą   modele st ero wan ia  w  zad an ym  ru c h u  program owym  mogą   nie  być  realizowalne  w  praktyce,  tzn . m ogą   n a  p rzykł ad  wykraczać  poza  eksploatacyjne  zakresy  zm ian  param etrów  sterowania. P odję te  zagadn ien ie  m oże  m ieć  szerokie  zastosowan ie  przy  symulacji  nieustalonych ru ch ó w  sa m o lo t u .  W  szczególnoś ci  dotyczy t o  prawidł owego  m odelowan ia figur  akrobacji lotn iczej  o raz  m an ewró w  w  locie.  Pewną   trudn ość  stan owić  m oże  przy  tym  analityczne sform uł owan ie  waru n kó w  wię zów  program owych . Literatura 1.  W.  BLAJER,  N umeryczna  symulacja  programowego ruchu samolotu  w  pę tli  pionowej,  M ech.  Teoret. i  Stos.  4,  25  (1987). 2.  W.  BLAJER,  J.  M ARYN IAK,  Modelowanie matematyczne sterowanego  ruchu samolotu  w  pę tli,  zb.  ref. XXI V  Sym p.  „ M odelowanie  w  mechanice",  G liwice —  Szczyrk  1985. M O D E L  STEROWAN IA  SAMOLOTEM  445 3.  W.  BLAJER,  J.  MARYN IAK,  J.  PARCZEWSKI, Modelowanie programowego  ruchu samolotu w pę tli,  zb.  ref. XXV  Symp.  „ M odelowanie  w  mechanice",  G liwice —  Kudowa  Z dr.  1986. 4.  W.  BLAJER,  J.  PARCZEWSKI,  Model  matematyczny  wyznaczania  funkcji  sterowania  samolotem  w  pę tli, I I  Ogólnopolska  Konf.  „ M echanika  w  lotnictwie",  Warszawa  1986,  M ech.  Teoret.  i  Stos.,  1- 2,  25 (1987). 5.  D o SAN H ,  On the Equations of  Motion of  a  Controlled Mechanical System,  Z ag. D rgań  N iel., 21  (1983). 6.  D o  SAN H ,  On  the  Motion  of  Controlled  Mechanical Systems,  Ycnexu  MexamtKU,  2,  7  (1984). 7.  R.  GuTOWSKr,  Mechanika  analityczna,  PWN ,  Warszawa  1971. 8.  R.  G U TOWSKI,  Równania róż niczkowe zwyczajne,  WN T,  Warszawa  1971. 9.  J.  MARYN IAK,  Dynamiczna teoria obiektów ruchomych,  Wyd.  Politechniki  Warszawskiej,  Warszawa 1975. 10.  J.  MARYN IAK,  W.  BLAJER,  N umeryczna  symulacja  korkocią gu  samolotu, M ech.  Teoret.  i  Stos.,  2/ 3. 21  (1983). 11.  J.  MU SZYŃ SKI,  A.  D .  M YSZKIS,  Równania  róż niczkowe zwyczajne, P WN ,  Warszawa  1984. 12.  Z .  PATU RSKI,  M.  ZŁOCKA,  Symulacja  numeryczna  sterowanego  ruchu  samolotu,  zb.  ref.  XXVI  Symp. „Modelowanie  w  mechanice",  G liwice —  Szczyrk  1985. P  e 3  IO  M e PA3PAEOTKA  MOflEJIH   ynPABJIEH H fl  CAMOJlfiTOM,  OBECnE^H BAIOIH Efl  TOH H OE BBinOJIH EH H E  ITPOrPAMH OrO B  pa6oTe  paccMaipH BaeTCH   npoSjieivia  TOH H OH   peajiroanH H   n po rpaM H o ro flBH >KeH H H  caM on eTa.  F I po- rpaiwiwa  ^BioK em ia  Sfeuia  npiiH H Ta  i