Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\02mts87_t25_zeszyt_3.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

3, 25,  (1987)

ZASTOSOWAN IE  F U N KCJI  KSZTAŁTU   D O  OP ISU   DRG AŃ
PRĘ TÓW  CIEN KOŚ CIEN N YCH   O ZAMKN IĘ TYM   PROF ILU

M AR E K  SPERSKI

Politechnika  Gdań ska

1.  Wstę p

Z  chwilą   wprowadzenia  do  eksploatacji  duż ych  jednostek  pł ywają cych  pojawił   się
w  budownictwie  okrę towym  problem  drgań  kadł uba  statku,  wzbudzanych  falowaniem
morza  oraz  wywoł ywanych  przez  pracują ce  na okrę cie maszyny. D rgania te są  przyczyną
powstawania  naprę ż eń dynamicznych, które — poprzez  pę kanie  i  rozwój  szczelin — pro-
wadzą   do  przedwczesnego  zuż ycia  konstrukcji. Zakł ócają   też pracę  precyzyjnych  urzą dzeń
instalowanych  na  okrę cie i odbijają   się   niekorzystnie  na zdrowiu  zał ogi,  uniemoż liwiając
wypoczynek.

Spotykane  w  praktyce  projektowej  metody  analizy  tzw.  drgań  ogólnych  kadł uba
[1],  [2] oparte są  na modelach prę towych.  Modele prę towe,  zastosowane  do  konstrukcji
o  bardziej  skomplikowanych  kształ tach, czę sto  okazują   się  zawodne.  Stosowanie modeli
powł okowych, lub  dyskretnych  o wielu stopniach swobody umoż liwia  dokł adniejszy  opis,
wią że  się  jednak z pracochł onnym, czę sto prowadzą cym  do  pomył ek  procesem  przygoto-
wywania  danych,  dł ugim  czasem  liczenia  oraz  koniecznoś cią   uż ywania  maszyn  cyfro-
wych o duż ej  pamię ci  operacyjnej.

Mankamenty te skł onił y do poszukiwania  innego, w miarę  moż liwoś ci  prostego modelu
kadł uba  [5], [6] dokł adniejszego  od modeli belkowych. Jednym z nich jest model  raraowo-
powł okowy, zaproponowany przez  W. Z. Wł asowa  [3] w  1931 r.  Oparta  n a tym  modelu
teoria,  umoż liwiają ca  zamianę   czą stkowych,  róż niczkowych  równań  równowagi  cienko-
ś ciennego  prę ta na równania róż niczkowe zwyczajne jest dzisiaj stosowana  dość powszech-
Q i e  [4], [11] w  obliczeniach  statycznych  konstrukcji  lotniczych,  okrę towych  i  budow-
lanych.

Praca  niniejsza  stanowi  uogólnienie  teorii  Wł asowa  n a  przypadek  ruclra.  Choć
genezą   opracowania był y problemy  budowy  okrę tów,  przedstawiony  w nim  model  może
sł uż yć  do  badania  drgań  innych  konstrukcji  inż ynierskich,  jak  skrzydł a  samolotów,
mosty  skrzynkowe,  lub  niektóre typy  pojazdów  drogowych  i  szynowych.



462 M .  SPERSKI

2.  Zał oż enia teorii

Przedmiotem  rozważ ań  jest  pryzmatyczny,  cienkoś cienny  prę t  o  skoń czonej  liczbie
zamknię tych  obwodów  w  przekroju  poprzecznym.  Przekrój poprzeczny  (rys.  1) skł ada się
z  JV  wę zł ów,  poł ą czonych  mię dzy  sobą   odcinkami  prostymi,  lub  zakrzywionymi.  Cał a
konstrukcja  zbudowana jest  z pł askich, ortotropowych pł yt  oraz  cienkoś ciennych  powł ok
walcowych,  których  krawę dzie,  równoległ e  do  osi  prę ta,  nazywać  bę dziemy  liniami  wę z-
ł owymi.

s

Wzorują c  się   na  hipotezie  Wł asowa,  skł adowe  w,  v,  w,  wektora  przemieszczenia  w
dowolnie  obranego punktu na powierzchni ś rodkowej  pł yty, lub powł oki  (rys.  2),  na  osie

powierzchnia  ś rodkową

.5
s .

U
Rys.  2.

lokalnego  ukł adu współ rzę dnych  b,s,n:

w =s  w  b+v •  s+w  n

przedstawiamy  w  postaci  wielomianów  dwóch  zmiennych  rozdzielonych:

(2.1)

, 0  •  9i(s)  = (2. 2)



D R G AN I A  P R Ę T ÓW  C I E N K O Ś C I E N N YCH   463

v
  = 2J  ®

k
(

z
> *) "  VK(S)  = 2J  tikVu  ( 2. 2)

fc= I  *- >  [ c d . ]
AH  w

/ - I  '  "'  CT
przy czym funkcje  :<pi,ip

K
,%i, współ rzę dnej obwodowej  j — nazywane  funkcjami  kszt ał t u —

przyjmiemy  ja ko  zn an e,  n at om iast  funkcje:  vi,  &
k
, rj

t
,  współ rzę dn ej  z  n a osi  p r ę ta

oraz  czasu  t  bę dą   wielkoś ciami  poszukiwan ym i.

N a  element p rę ta o gę stoś ci  Q, m oduł ach sprę ż ystoś ci  E^  (n a kieru n ku  p o d ł u ż n ym z),
E

2
  (na  kierun ku  obwodowym  s),  m odule  odkształ cen ia  postaciowego  G, współ czyn n i-

kach P oisson 'a: v
2l
,  v

12
  i wym iarach :  d •   ds •   dz,  dział ają :

1.  Sił a  bezwł adnoś ci

PB  =   —W Q- d- ds- dz=  —Q-   d(iib+vs+  wn)ds  •  dz  (2.3)

przy  czym  kropki  n a d  sym bolam i  oznaczają   p o ch o d n e  współ rzę dnych  wzglę dem  czasu,.
<S zaś jest  gruboś cią   pł yty, lu b powł oki.

2.  Sił a zewnę trzna,  bę dą ca  jawn ą   funkcją   czasu  /  i współ rzę dn ych  z, s:

p
z
  =  pjz,  s , t) •   n +

P s
( z ,  s , t ) -   s + p

b
{ z ,  s , t ) -   b  (2.4)

3.  Wewnę trzne  sił y  sprę ż yste:
a)  na  kierun ku  podł uż n ym  sił a  n o r m a ln a :

v  /  8u  dv \   ,„
?

x
dn  =  Ei I ——H ^ i  1  (2.5a)

b)  n a kierun ku  o bwo d o wym :
—  sił a  n o r m a ln a :

N  =  [  a d  — F  I——4-   - ~l  (2  5b>

—  sił a  styczn a:

—  m om en t  zginają cy

gdzie:  crz, <rs, rzs  oznaczają   n aprę ż en ia  n orm aln e  i  styczne,  a:

1  l - "2 1 - v1 2 '  - "  l- v21v12
v  P-  A3

G  = G- d  D  = \ 2(\ - v
2x
v

l2
)

zredukowan e  stał e  m ateriał owe.



464  M .  SPERSKI

W  rozważ aniach  pominię to  jako  mał e:  moment  zginają cy  na  kierunku  podł uż nym,
moment  skrę cają cy  oraz  sił ę  styczną   na  kierunku  normalnym. Jak  widać,  prę t  jest  zbu-
dowany  z  materiał u ortotropowego,  liniowo- sprę ż ystego,  o osiach ortotropii b,  s.  W opisie
nie uwzglę dniono  sił  tł umienia, zależ nych  od  prę dkoś ci  elementu.  Wprowadzenie  tych  sił
d o  róż niczkowych  równań  ruchu nie stanowi  problemu, jednak  na wstę pnym  etapie badań
nie  wydaje  się   celowe.

3.  Równania  ruchu

Zakł adają c,  że  dział ają ce  na  konstrukcję   siły  bezwł adnoś ci  stanowią   skł adnik  obcią -
ż enia  zewnę trznego,  problem  sformuł owania  równań ruchu  sprowadzamy  do  wyznaczenia
ekstremum  funkcjonał u:

.  L

J=  j  Qdz=n+A  (3.1)
o

w  którym 77 oznacza cał kowitą   energię   sprę ż ystą  prę ta, równą   sumie prac sił  wewnę trznych
n a przemieszczeniach  w, natomiast A  =   A

B
 — A

X
  —  sumę  prac  sił   bezł adnoś ci i  sił   zewnę -

trznych  na  tych  przemieszczeniach.
Energię   sprę ż ystą   prę ta  o  dł ugoś ci  L :

(3.2)
o  L J

m oż na,  uwzglę dniając  zwią zki  (2.5),  (2.2)  oraz:

du  8u  dv

8v  v  v

przedstawić  w  postaci  macierzowej:

L

77=   ~YJ  (vTPv+iTR$  + vTSv+2$T0v+2vTa&+»TT S+i]TAii)dz  (3.3)
o

gdzie elementy  kwadratowych,  lub  prostoką tnych  macierzy:  P, R, S, 0,  Q, T, A,  są   sta-
ł ymi  współ czynnikami:

Pij  =   /   E
r
<pi<pjds;  R

kg
  =   j  Gy>

k
yi

g
ds;

s  s



D RG AN IA  PRĘ TÓW  CIENKOŚ CIENNYCH   465

i,j  =  1,2  ... n;  k, g  =  1,2  ... r;  h, I =  1,2  ... m;  n jest liczbą   przyję tych  d o opisu  funkcji

kształ tu w,  r — liczbą   funkcji  y
k
\   m —  liczbą   funkcji  xi  (wzór  2.2).  Symbol:  § oznacza

cał kę   wzdł uż  zamknię tego  konturu  opisanego  współ rzę dną   obwodową   s,  a  kreski  nad
symbolami  —  pochodne czą stkowe  wzglę dem  zmiennej  z.  Elementami macierzy  kolum-
nowych:  v,  # , t\ ,  są   poszukiwane  funkcje:  v- ,,^ ,  r)

t
, okreś lają ce  przemieszczenia.

Praca  sił  bezwł adnoś ci:
L   L

A
B
  =   — J  I j  QÓW  •   wdsldz  — — J  [ j  (?ó(i/ u+ wJ3 +  vyw)(/ jldz  (3.5)

Os  O J

po  uwzglę dnieniu  (2.2)  daje  się   zapisać  w  postaci:

A
B
=  -   J  (v

T
l)v+&

T
V9+ti

T l
W ij)dz  (3.6)

o
przy  czym  elementy  kwadratowych  macierzy  U ,  V,  W,  są —jak  w  poprzednim  przy-
padku — stał ymi  współ czynnikami:

V
kg
  =  j  Qdf

k
rp

g
ds.  (3.7)

W
hl
  =

s

Praca  sił   zewnę trznych:
L

o

(p
b
u+p

s
v+p

n
w)ds]dz  (3.8)

po  podstawieniu  wzorów  (2.2)  przyjmuje  formę :

z
A  =   /   ( a T v+ bT 9+ cT n ) dz  (3.9)

o
w której  elementami macierzy kolumnowych  a,  b,  c, są   współ czynniki:

b
k
  =  fp.

Vk
ds  (3.10)

Cl
  m

  jPn

zależ ne już  tylko  od  współ rzę dnej  z  i  czasu  /.

10  Mech.  Tcoret.  i  Stos.  3/ 87



466  M .  SPERSKI

P o  podstawieniu  wzorów  (3.3),  (3.6),  (3.9)  do  (3.1)  otrzymamy,  posł ugują c  się   rów-
naniami  Eulera:

' ( iO)  M _0   (3..,)

(za  a.j należy  przyjmować  kolejno: v
t
,  # fc,  rji) poszukiwane  równania ruchu:

a

b  (3.12)

U v =  Pv-

Ten  sam  ukł ad  równań  moż na  wyprowadzić  z  zasady  H amiltona, tworzą c  funkcjo-
n ał :

/   z.   t

j J  L dt =  }  (T +n-  A
z
) dt  (3.13)

0   0   0

w  którym :
L

T   =   T /   [ / e ó ( "2 + i ) 2  +  w 2 ) * ] *  (3.14)
o  J

jest  energią   kinetyczną   ukł adu. Uwzglę dniając  zwią zki  (2.2)  przekształ camy  wzór  (3.14)
do  postaci  macierzowej:

j  ( vrU v+ &T VŚ +  iiTW ii)dz  (3.15)
b

i  z  równań  Eulera:

ot

otrzymujemy,  po  podstawieniu  (3.15),  (3.3),  (3.9), do  (3.13), równania  (3.12).
Korzystają c  z  równań  Eulera  (3.11)  lub  (3.16)  warto  posł uż yć  się   nastę pują cymi

reguł ami  róż niczkowania:

(3.17)
_5(b_a|  =

a
gdzie  A jest'dowolną   macierzą   kwadratową ,  B — macierzą   prostoką tną;  a,  b  —m acie-
rzami  kolumnowymi.

4.  Teoria  ramowo- powłokowa

F unkcje  kształ tu  ip^ ś ),  przyję te  do  opisu  przemieszczeń  stycznych  we  wzorze  (2.2),
determinują   jednoznacznie  przemieszczenia  normalne  punktów  poł oż onych  na  linii
ś rodkowej  przekroju  poprzecznego prę ta.  Przyjmują c  zatem:  /  =   k, rji  — # k , %k =



D R G AN I A  P R Ę T ÓW  C I E N KOŚ C I E N N YCH   467

oraz zakł adają c,  że wycinek  prę ta ograniczony  dwoma  poprzecznymi  przekrojami  odleg-
łymi  od  siebie  o  1, odkształ ca  się  w kierunku poprzecznym do  osi  prę ta, jak  pł aska ram a
o  kształ cie tego  przekroju,  linię   ugię cia  tej  ramy,  utoż samianą   z  przemieszczeniami  nor-
malnymi  linii  ś rodkowej  przekroju  prę ta, moż na wyznaczyć  z  równania  (2.5d):

D  ( 4 D

w  którym  moment gną cy  w  przekroju  ramy  przedstawiamy  jako  sumę   trzech wielkoś ci:
—  momentu M

v
  wywoł anego  przemieszczeniami  wę zł ów  w pł aszczyź nie  ram y;

—  momentu M
P
  wywoł anego  obcią ż eniami  zewnę trznymi p„  (ciś nieniami  normalnymi  —

wzói  (2.4));
—  momentu M

B
  wywoł anego  skł adowymi  sił   bezwł adnoś ci  na  kierunek  normalny.

Przyję cie  takich  zał oż eń  umoż liwia  poł ą czenie  dwóch  ostatnich  równań  macierzo-
wych  ukł adu  (3.12)  w  jedno  równanie,  a  zatem  zmniejszenie  liczby  równań  opisują cych
ruch  prę ta.  We  wzorze  (3.3)  na  energię   sprę ż ystą   prę ta  ulegnie  zmianie  tylko  ostatni
skł adnik, wyraż ają cy  pracę  momentu gną cego  M na przemieszczeniach  iv:

- —-&  (4- 2)

Moment  gną cy  M
P
  wywoł any  ciś nieniami  normalnymi  nie  zależy  od  funkcji  Vi,  \ ,

opisują cych  przemieszczenia.  D wa  pozostał e  momenty  moż na  przedstawić  w  postaci:

Mv  =   y  ER/ A;  MB =  2  ̂ mk&k;  (4.3)

gdzie SJlfc jest momentem  gną cym wywoł anym  przemieszczeniami wę zł ów ramy,  zgodnymi
z funkcją   y>

k
, natomiast m

k
 '4

k
 — momentem od obcią ż eń ramy  (o wę zł ach nieprzesuwnych,

lecz podatnych na obrót) skł adowymi  normalnymi sił  bezwł adnoś ci:  - gdxk&k
Podstawiają c  wzory  (4.1), (4.3), do  (4.2) otrzymamy  zwią zek:

• •   . .  ••   ••   /*  Mp  , ,  .- .

•   J  D
s

w którym elementy kwadratowych  macierzy  X,  77, są  stał ymi współ czynnikami:

X
kg

  = f^ §^ ds;  II
kg
  =  §^ f^ ds

s  s

a  elementy  macierzy  kolumnowej  h,  również  stał e,  są   równe:

h k  =
  J — W ^ ^   ( k ' 8 =  !»  2  • • • '")

Trzema  ostatnimi  skł adnikami  wzoru  (4.4)  zajmować  się   dalej  nie  warto,  ponieważ  po-
chodne  czą stkowe  tych  skł adników  wzglę dem  zmiennych  wystę pują cych  w  równaniach
Eulera  są   zerami.

10*



468  M .  SPERSKI

Przyjmują c  we  wzorach  (3.6)  i  (3.9),  zgodnie  z  zał oż eniami  podanymi  na  począ tku
rozdział u:

i/ rWij  =  S r WS ,  c rij  =   c r S

otrzymamy,  korzystają c  z  (3.1) i  (3.11), nastę pują cy  ukł ad równań ruchu:

II
U v  =  P v -

II  |   (4 - 5)
Z a  R S 2 S K d

w  którym :

H  =  6> T- Q,  Z  = V+W+n,
3  =  T + X,  K =  Q T - 0,

są   prostoką tnymi,  lub  kwadratowymi  macierzami  o  stał ych  współ czynnikach,  zależ nych
od  geometrii  przekroju,  stał ych  materiał owych  i  przyję tych  do  opisu  funkcji  kształ tu.
N atom iast:

d =   b

jest  macierzą   kolumnową ,  zależ ną   od  obcią ż eń  zewnę trznych,  funkcji  kształ tu  i  współ-
rzę dnej  z  na  osi  prę ta.

Tworzą c  macierze  kolumnowe:

oraz  f  =

ukł ad  (4.5) moż na zapisać  w  postaci jednego  równania  macierzowego:

Az  =   Bz +  C z - D z - f,  (4.6)

w  którym  A,  B,  D, są   macierzami symetrycznymi,  natomiast  C  —  macierzą   kwadratową
antysymetryczną :

ru  01   rp  o

Wymiar  tych  macierzy  jest  równy  n + r, tj.  liczbie  przyję tych  do  opisu  funkcji  kształ tu

Równanie  macierzowe  (4.6)  stanowi  ukł ad  równań  róż niczkowych  czą stkowych  dru-
giego rzę du, niejednorodnych,  o stał ych współ czynnikach. Znalezienie  cał ek  tego  ukł adu,
przy  zadanych  warunkach  granicznych,  umoż liwi  —  po podstawieniu  rozwią zań  do  wzo-
rów  (2.2)  —  wyznaczenie  przemieszczeń  dowolnie  wybranych  punktów  prę ta,  w  dowol-
nej  chwili  t.

N ietrudno  zauważ yć,  że  dla  f  =  0  równanie  (4.6)  opisuje  drgania  swobodne  ukł adu:

Aź  =   Bz +  C z - D z,  (4.7)

a  dla  z  =   0  i  f  =  f(z)  —  niezależ nego  od  czasu  przechodzi  w  równanie  równowagi:

Bz +  C z - D z - f  =   0.   (4.8)



D R G AN I A  P R Ę T ÓW  C I E N KOŚ C I E N N YCH   469

5.  Warunki  graniczne

Jeż eli  skrajny  przekrój  prę ta  (z =  a) obcią ż ymy  ukł adem  sił  zewnę trznych:

q  =  qb(s,  t)n+ qs(s,  t)s + qn(s,  t)b,  (5.1)

funkcjonał   cał kowitej energii  mechanicznej (3.1) powię kszy się  o skł adnik:

G
  = J  (q

b
u+q

s
v+q„w)ds,  (5.2)

s

wyraż ają cy  pracę  tych sił  na przemieszczeniach  (2.1). Po podstawieniu  w miejsce  u, v,  w,
zwią zków  (2.2) oraz  —-  zgodnie  z  zał oż eniami  teorii  ramowo—powł okowej:  rj

k
 —  &

k
,

wzór  (5.2)  przyjmie  postać:

G  =   pTv  + ą T&,  (5.3)

przy  czym  elementy  kolumnowych  macierzy  p, q, są  funkcjami  czasu:

Pi  =   J  Qb<fids,

(5.4)

Przyrównanie  do zera  wariacji  funkcjonał u:
L

Ą =JQdz+G,  (5.5)
o

prowadzi  [7] do wyznaczenia  warunku  granicznego  na brzegu  z  —  a:

J9- - J2-  (56)

gdzie  a.j przyjmuje  kolejno  wartoś ci:  v\ , ^   (i =  1, 2 ... «;  k =  1, 2 ... r).
Podstawiają c  poszczególne  skł adniki funkcji  Q (wzory  (3.3), (3.6), (3.9)) do wzoru (5.5)

moż na  ograniczyć  się   do  wyrazów  zawierają cych  pochodne  współ rzę dnych  wzglę dem
zmiennej  z:

L

Ą   - i f  (l>TPv+lTR» + 2»T0v+2vT<ai9+  ...)dz+pTv+ą T$  (5.7)
o

i  posł ugują c  się   wzorem  (5.6)  oraz  reguł ami  róż niczkowania  (3.17)  wyznaczyć  warunki

graniczne:

P

(5.8)

=   q,

stanowią ce ukł ad równań róż niczkowych pierwszego rzę du. U kł ad  ten moż na  przedstawić

w  formie  jednego  równania  macierzowego:

M l X U , - r,  (5.9)



470  M.  SPERSKI

w  którym :

M i  =   [  " I R T Q .

x =   d&v3) r,  r =

G dy skrajny  przekrój  prę ta jest swobodny  (nieobcią ż ony),  macierze p, q, są   zerowe  i wa-
runek  graniczny  dla  tego  przypadku  przyjmuje  postać:

M l X] U f l  =  0.  (5.10)

Sztywne  utwierdzenie  przekroju  prę ta  powoduje,  że przemieszczenia  (2.2)  wszystkich
punktów  tego  przekroju  są   zerami,  a  warunek  graniczny:

=   0,  (5.11)

moż na  uważ ać  za  szczególny  przypadek  warunku  (5.9).
Przewodują c  moż liwość  numerycznego  cał kowania równań  ruchu, warunki  graniczne

na  krań cach  prę ta  zapiszemy  w  postaci:

M x|I = 0 +  N x | I = L  =  s,  (5.12)

gdzie  s  =   {i*U = Ł r|I = o}
7  jest  macierzą   kolumnową   sił   uogólnionych, a  M  i  N  — ma-

cierzami  kwadratowymi  o wymiarach  2(n+r)  i  elementach bę dą cych  stał ymi współ czyn-
nikami.

D o  peł nego  opisu  ruchu,  oprócz  warunków  granicznych  na krań cach  prę ta,  należy
również podać warunki  począ tkowe,  okreś lają ce  poł oż enia i prę dkoś ci wszystkich punktów
ukł adu  w  chwili  /  =  0.  Funkcje  zmiennej  z,  okreś lają ce  wartoś ci  współ rzę dnych  uogól-
nionych  Vi, # k na począ tku  ruchu:

v
i0
  =   v

i0
(ż ),  &

k0
  =  &

k0
(z),

powinny  speł niać równania  równowagi  (4.8). N atomiast funkcje  okreś lają ce  począ tkowe
prę dkoś ci  uogólnione:

Via  -   T >io(z),  &
k0

  =  4
k0

(z),

muszą   być  funkcjami  cią gł ymi.

6.  Wybór  funkcji  kształ tu

Zasady wyboru funkcji  kształ tu: ę
it
  y

k
,  (2.2) pozostają   takie same jak  w zagadnieniach

statycznych  [3],  [4],  [5], Aby  potwierdzić  poprawność  sformuł owanych  równań  ruchu
rozpatrzmy  nastę pują ce  przykł ady:

Przykł ad  6.1.  Jeż eli  przemieszczenie  przekroju  poprzecznego  jednorodnego  prę ta
o  gę stoś ci  Q, module  sprę ż ystoś ci  E, module  odkształ cenia postaciowego  G i  przekroju,
jak  na rys. 6.1  opiszemy  jedną   tylko funkcją   <p,  mają cą   wartość  1 w każ dym punkcie tego



DRGANTA  PRĘ TÓW  CIENKOŚ CIENNYCH 471

Rys. 6.1.

przekroju  oraz  zał oż ym y, że  n a  ukł ad  nie dział ają   ż adne  sił y  zewn ę trzn e,  to  w  r ó wn a n iu
(4.6)  tylko  dwa  współ czynniki  (3.7)  i  (3.4):

C / n  =   U  =   f  QÓq>
2
ds  =  QA,

s

P n  =   p  =  §  eócp
2
ds  =  EA,

oraz  jedn a  współ rzę dna  v±  — v  są   róż ne  od  zera.  Sym bol  A  ozn acza  powierzchn ię   prze-
kroju.  Otrzym an e  równ an ie  ru ch u ;•

v  v  =   0,

e
jest  zn an ym  równ an iem  róż niczkowym  podł uż n ych  drgań  swobodn ych  p rę t a.

(6.1)

liliiiiiiiiiiuiiiiiiiiiiii

,  1  II

n/?

[   J |

III

- o/2   - a/2

Rys.  6.2.

- a/2

o/ 2

Rys.  6.3.

P rzykł ad  6.2.  Opisują c  przemieszczenie  tego  sam ego  p rę ta  jed n ą   funkcją   kszt ał t u rp
przedstawioną   n a  rys.  6.2,  obliczam y  współ czynniki  ró wn an ia  r u c h u  (4.6)  wg  wzorów
(3.7)  i  (3.4):

C  1
V

XI
  =  V  =  f  QÓw

2
ds =   - z-  Qdab(a+b),

=   i?  =   f  Gdf2ds  m 4 -   Gdab(a+b).



472  M .  SPERSKI

P o  podstawieniu  tych  współ czynników  oraz  &
x
 -   #  do równania (4.6) otrzymujemy  rów-

nanie  drgań  skrę tnych  prę ta:

G  U
&  #  =  0,  (6.2)

w  którym  • &  jest  ką tem  obrotu  przekroju.
Przykł ad  6.3. Trzy  funkcje;  <p,  f,  % przedstawione  na rys.  6.3  opisują   zgię cie  prę ta

w  pł aszczyź nie pionowej,  przy czym przekrój  poprzeczny prę ta przemieszcza  się  jak  ciał o
sztywne,  pozostają c  prostopadł y  do linii  ugię cia.  N ietrudno  bowiem  zauważ yć,  że skł a-
dowe  przemieszczenia  (2.1) są   równe:

u  =  y< p,  v  =  yip,  w =   y%,  (6.3)

gdzie y jest  przemieszczeniem ś rodka geometrycznego  przekroju.
Podstawiają c  iloczyny  (6.3) do wzorów  (3.2) i  (3.6),  otrzymamy  funkcjonał   (3.1):

L  L

fadz  =  —j  f  (EJ
x
y

2
+2

e
J

x
yy+2eAyy)dz,

o  o

w  którym :

jest  powierzchniowym  momentem  bezwł adnoś ci  przekroju  wzglę dem  osi  x, natomiast:

j4  =   ł>  d(i/ )2 +  y^ )  ds,

—  polem  tego  przekroju.  Z równania  Eulera:

B  I  Bić  \   O l  O&2  \   uia
I  1  I  I  I  Q

dz
2  \   sy  }  8z  \   3y }  8y

Otrzymujemy  znane  równanie  drgań  poprzecznych  prę ta:
iv

Ql
x
y=  0,  (6.4)

uwzglę dniają ce  sił y  bezwł adnoś ci  od obrotu  przekroju  wokół   osi  x.
W  podobny  sposób  moż na  opisać  zgię cie  prę ta  w  pł aszczyź nie  poziomej,  a  także

wprowadzić  dodatkowe  funkcje  [3],  [10]  uwzglę dniają ce  paczenie  przekroju.  Funkcje
tego  typu  moż na jednak przyjmować  tylko  do obliczeń  prę tów  o przekrojach  nieskompli-
kowanych,  zł oż onych z jednego, lub co najwyż ej  dwóch  prostoką tów.

Znacznie  dokł adniejsze  wyniki  uzyskuje  się ,  przyjmują c  do  opisu  przemieszczeń
wzdł uż nych  funkcje  <p

t
 skonstruowane  z  wielomianów  Legendre'a  w  taki  sposób,  aby

przyjmował y  one wartoś ci  1 w / - tym wę ź le przekroju  (rys. 6.4) i  wartoś ci  zero  we wszyst-
kich  wę zł ach  są siednich  [5]. Moż na też na linii  ś rodkowej  przekroju  przyjmować  dodat-
kowe, fikcyjne  wę zł y.

F unkcje  rp
k
, %

k
  opisują ce  przemieszczenia  styczne  i normalne w pł aszczyź nie przekroju

konstruuje  się  przesuwają c  o wartość  1 w kierunku współ rzę dnej  obwodowej  s, dwa poł ą -



D R G AN I A  P R Ę T ÓW  C I E N KOŚ C I E N N YCH 473.

O) b) c)

j

Ą J­"WW7
J1I

<P
12]

Ty

Rys.  6.4.

czone  ze  sobą   wę zły  przekroju  (rys.  6.5a).  Wprowadzają c  dodatkową   funkcję   %p^ ,  jak
na  rys.  6.5b,  uwzglę dniamy  w opisie  efekt  ś ciskania  prę ta ramy.

Im wię ksza jest liczba  przyję tych  funkcji  kształ tu,  tym  opis  jest  dokł adniejszy.  Wzros-
towi  tej  dokł adnoś ci  towarzyszy  jednak  wzrost  liczby  równań  ruchu,  a  zatem  rozwią -
zanie problemu  staje  się   bardziej  skomplikowane.  Z tego wzglę du,  w  obliczeniach  statycz-
nych,  konstruktorzy  ograniczają   swój  wybór  do  funkcji  przedstawionych  n a  rys.  6.4a.
i  6.5a,  nazywanych  funkcjami  Wł asowa  pierwszego  rodzaju.

b)

\
\
\

I/
A*
/

V  =1

III
J

\
\

ip 7 1
Rys.  6.5.

7.  Cał kowanie równań

Jeż eli  prę t jest  obcią ż ony  ukł adem sił  harmonicznych o  takich  samych  fazach  i  czę -
stoś ciach:  f  =  gcoswf,  równanie  ruchu  (4.6)  przyjmuje  postać:

Az  =   Bz +  C z - D z - gc o sc o *.

Przewidują c  szczególne  rozwią zanie  tego równania w  formie:

z  =  ycoscot

otrzymamy,  po  podstawieniu  do  (7.1)  ukł ad równań  róż niczkowych  zwyczajnych:

(7.1)

-   g, (7.2>



474 M ,  SPERSKI

w  którym :

w2A- D.

Cał kując  ten  ukł ad numerycznie  [11] z  uwzglę dnieniem  warunków  brzegowych  (5.12)
wyznaczymy  maksymalne  przemieszczenia  (amplitudy)  poszczególnych  punktów  kon-
strukcji.  N atomiast powtarzając  obliczenia wielokrotnie,  dla  róż nych czę stoś ci m i rejestru-
jąc  podczas  cał kowania  tylko  przemieszczenia  maksymalne,  moż na  wyznaczyć  czę stoś ci
rezonansowe.  Są  nimi  te  wielkoś ci  m  przy  których  przemieszczenia  osią gają  wartoś ci
bardzo  duż e.

Jako  przykł ad  rozpatrzmy  pręt  o  przekroju  zł oż onym  ze  skoń czonej  liczby  prosto-
ką tów,  jednym  koń cem  utwierdzony,  na  drugim  zaś  obcią ż ony  ukł adem sił   skupionych:
po cos co t.  Przyjmijmy,  dla uproszczenia obliczeń, że skł adowe binormalne tych sił  są  przy-
ł oż one w wę zł ach przekroju, a skł adowe styczne dział ają wzdł uż linii ł ą czą cych poszczególne
wę zł y.  Wprowadzając  do  opisu  funkcje  Wł asowa  pierwszego  rodzaju  (rys.  6.4a  i  6.5a)
stwierdzamy,  że  wektor  sił  uogólnionych  w równaniu  (5.9) jest:

r  =  p0coseo£,

gdyż wartoś ci  funkcji  <p
it
 y

k
  (wzór  5.4) w  punktach przył oż enia sił  są  równe 1.

Równanie  amplitud  (7.2)  ma  zatem  postać:

By +  Cy +  Gy =   0 ,

a  warunki  graniczne  (5.12):

, j  i i ;
i  i  -:  1

y

p  i  i .  i  •

i  R ;  Q T ; y
y

Po

(7.3)

(7.4)

(7.5)

W  miejsca  niewypeł nione  w  równaniu  (7.5)  należy  wpisać  macierze  zerowe.  I oznacza
macierz  jednostkową.

G dy  przekrojem  prę ta  jest  jeden  prostoką t,  ukł ad  (7.4)  skł ada  się  z  oś miu  równań
róż niczkowych  zwyczajnych  drugiego  rzę du.  D la  przekroju  dwuobwodowego  (dwa  pro-
stoką ty)  liczba  tych  równań  wzrasta  do  11, a  dla przekroju  zł oż onego  z  czterech  prosto-
ką tów  wynosi  już  15.

8.  Przykł ady  obliczeń  numerycznych

M ając  na  wzglę dzie  kontrolę  poprawnoś ci  opisanej  metody,  obliczono  współ czynniki
równania  (7.4)  dla  wspornika  o  przekroju  prostoką tnym,  obcią ż onego  na  koń cu  ukł a-
dem  sił  skupionych:  P

t
cosa>t, jak  na  rys.  8.1. D ane  liczbowe:  L   «•   60; a  =  20; b  =   10;

d  -   0, 1;  B
x
  -   2,1 •   105;  E

2
  =   2,1 •   105;  v

2l
  =  v

12
  =  0,3;  G  =   8,1  •   104;  Q =   7,6-   10~3.

Jednostki  podstawowe:  M N ,  m,  s.  Równania  cał kowano  metodą  Oluremiego- Olaofe
[8]  uogólnioną  przez  J.  Wię ckowskiego  [11] na  równania  macierzowe  z  osobliwą macie-
rzą  C.



D RG AN IA  PRĘ TÓW  CIENKOŚ CIENNYCH 475

L_

Rys.  8.1.

Przykł ad  8.1.  P
t
  -   P 2  »  P 3  •   P 4  -   1;  P 5  =   P 6  =   P 7  =   P 8  =   0.  D la  każ dej  war-

toś ci  co  otrzymano  jednakowe  przemieszczenia  podł uż ne  wszystkich  punktów  danego
przekroju  oraz  wszystkie  przemieszczenia  poprzeczne równe zeru.  Przykł ad  przedstawia
zatem  drgania  podł uż ne prę ta. N a  rys.  8.2  przedstawiono  obliczone  amplitudy  przemiesz-

60 m

Rys.  8.2.

I'D

O

• i  5
1
'£  0
• OJ
N
id.

5

10

15

y

-

i
200

I
400

002=435
1

I
600

i
800

^

W 4 = 1 0 1 0

**

1000

Rys.  8.3.



476 M .  SPERSKI

czeń  przekrojów  wzdł uż  osi  prę ta,  dla  kilku  przypadkowo  wybranych  czę stoś ci  <y.
Czę stość  co =   1000 jest  bliska czę stoś ci  rezonansowej,  bowiem  otrzymany  dla niej wykres
amplitud  przypomina  czwartą   postać  drgań  wł asnych.

Amplitudy  przemieszczeń  skrajnego  przekroju  prę ta  (z  =   60)  obliczone  dla  róż nych
czę stoś ci co  wykreś lono  n a rys.  8.3.  Czę stoś ci: coi =   145, co

2
 =  435, a>3  =  720, w4  =   1010,

przy  których  przemieszczenia  osią gają   wartoś ci  nieskoń czenie  duże  są   czę stoś ciami rezo-
nansowymi  ukł adu.  Znane są   czę stoś ci  wł asne swobodnych  drgań  podł uż nych  wspornika
wg  teorii  technicznej  (równanie  6.1):

1.0

0.5

p

0,5

1,0

1

-   s—^

1
10

i

» -

\   i

V
1

20

1

/   i  ,

/   /

I
30

I

,  7%T

/ N,
\

i
40

1

X"
A

1
50

1

_ _ K5 _ _

-

1
60rr

Rys.  8.4.

poziomych
—  pionowych

numer wę zta



D RG AN IA  PRĘ TÓW  CIENKOŚ CIENNYCH 477

~ ł -   ( 2 n - l ),  »—  1 . 2 . 3 ,  ...

P odstawiając  w  miejsce  £ x  zredukowan ą  stał ą  E  =  Ex\ {\ —v^ - vx^ )  ja k  w  (2.5a)
oraz  pozostał e  dan e  liczbowe  z  naszego  przykł adu,  otrzym am y  wielkoś ci:  coj  =   144, 3;
„   _  432, 8;  co3  =   721, 3;  <x>4  =   1009,8;  równe  praktyczn ie  czę stoś ciom  rezo n an so wym
badan ego  prę ta.  D zieląc  n at om iast  am plitudy  przemieszczeń  pu n kt ów  n a  lin iach  wę zł o-
wych,  obliczone  dla  czę stoś ci  bliskich  rezon an sowych :  co(  =   146,  w2  =   436,  a>3  =   723,
<y4  =   1015,  przez  wartość  am plitudy  przemieszczenia  przekroju  skrajn ego,  o t rzym am y
wykresy  (rys.  8.4)  przedstawiają ce  gł ówne postacie  drgań  wł asnych  u kł ad u.

P rzykł ad  8.2.  P t  =   4,  P 2  ...  P 8  =   0.  P oziom a  sił a  h arm o n iczn a  przył oż ona  w  wę ź le
1  (rys.  8.1)  skrajnego  przekroju,  wywoł uje  drgan ia  podł uż n e,  sprzę ż one  ze  zgin an iem
ukoś n ym  i  deformacją  przekroju.  N a  ogół ,  przy  dowoln ie  obran ej  czę stoś ci  wym uszen ia
(rys.  8.5),  am plitudy  przemieszczeń  poszczególnych  wę zł ów  przekroju  są  ró ż n e.  Jeż eli
jedn ak  czę stość  sił y  wymuszają cej  zbliża  się  do rezon an su  (rys.  8.6),  am plitudy  przem iesz-
czeń  wszystkich  czterech  linii  wę zł owych  stają  się  w  przybliż en iu  jedn akowe,  ch oć  ruch
podł uż ny  dwóch  są siadują cych  ze  sobą  wę zł ów  odbywa  się  w  przeciwn ych  kieru n kach .
I n n e  są  też  czę stoś ci  rezon an sowe  niż  w  poprzedn im przykł adzie.

1

0.5

0

0,5

1

'm

/

\

I

I ^  -   î J

\

r~~»  i
" " H i

^ -  ^

—  pionowych
—-  wzdłuż nych

i  i

\   w =100

\   / '
,  \   , /   ,

i  i  >
20 30 60  z

Deformacja  skrajnego  przekroju

a I poprzeczna b)podłuż na

Rys.  8.6.



a|  o

Ił

10

p o zi o m y c h
p i o n o w y c h
w z d ł u ż n y ch  .

40

Rys.  8.8.

5Cf  6 0   z

de formacja  poprzeczna  przekrojów

\

— — ——-

i

i

i
1

t«1 0 0
" V

i

1
|

J  Is-   r"  i J  i_
10   20   30 50  60  70

Rys.  8.9.

[47S1

80  90  100   z



D RG AN IA  PRĘ TÓW  CIENKOŚ CIENNYCH   479

P rzykł ad  8.3.  U kł ad  sił   h arm on iczn ych  o  am p lit u d ach :  P 3  ... P6  = 0 ,  P7  =   Pa  =   1,
wywoł ał   drgan ia  gię tne  wsporn ika  w  pł aszczyź nie  pion owej,  o takich sam ych am p lit u d ac h
przemieszczeń  wszystkich  czterech  wę zł ów  przekroju.  N a  rys.  8.7  p o ka za n o  am plit u d y
przemieszczeń  linii  wę zł owych  przy  dwóch  róż nych  czę stoś ciach  sił   wym uszają cych.

P rzykł ad  8.4.  P
1
  ... P 4  =   0,  Ps  =   1,  P 6  =   - 1 ,  P7  =   2,  P 8  =   - 2.  D wie  p ary  sił

o  takich  sam ych  am plitudach  m om en tów,  przył oż one  do  skrajnego  przekroju,  wywoł ują
drgan ia  skrę tne  wsporn ika,  poł ą czone z  paczeniem  oraz  deformacją   poprzeczn ą   ko n t u r u .
Am plitudy  przemieszczeń  wszystkich  czterech  wę zł ów  przekroju  są   zawsze  jed n a ko we
a  wę zły  są siadują ce  ze  sobą   poruszają   się   n a  kierun ku  wzdł uż n ym w  przeciwn e  st ro n y.
Rys.  8.8  przedstawia  am plitudy  przemieszczeń  linii  wę zł owych  p rzy  czę stoś ci  wym u-
szenia  co =   500,  znajdują cej  się   pom ię dzy  czwartą ,  a  pią tą   czę stoś cią   rezon an sową .

P rzykł ad  8.5.  D wie  pion owe  sił y  harm on iczn e, przył oż one w  wę zł ach  2  i  3  (rys.  8.9)
przekroju  skł adają cego  się   z  trzech  prostoką tów  wywoł ał y  drgan ia  gię tne  wsporn ika,
poł ą czone  z  deformacją   poprzeczną   i  paczeniem  przekro ju ;  am plitudy  skrajnych  wę zł ów
kon t u ru  róż nią   się   od  am plitud  przemieszczeń  wę zł ów  wewn ę trzn ych.  W  st o su n ku  d o
poprzedn ich  przykł adów  zm ien ion o  tylko  wymiary  przekroju  poprzeczn ego  (a  =   10,
b  =   15)  oraz  dł ugość  prę ta  (L   =   100),  pozostawiają c  takie  sam e  gruboś ci  i  stał e  m a-
teriał owe.

9.  Wnioski

P rzy  odpowiedn io  dobran ych  funkcjach  kształ tu  m odel  ram owo- powł okowy  Wł a-
sowa  prowadzi  d o  takich  sam ych  wyników,  ja k  powszechn ie  zn an e  m odele  p rę t o we.
W  ogólnym  jedn ak  przypadku  przedstawion a  m et o d a  um oż liwia  opis  dokł adn iejszy,
uwzglę dnia  bowiem  rozm aite  postacie  deformacji  poprzeczn ej  i  paczen ia  przekroju .
M an kam en tem  teorii  Wł asowa  jest  —  jak  wiadom o  —  odbiegają cy  od  rzeczywistoś ci
rozkł ad  n aprę ż eń  stycznych w  przekroju  cienkoś ciennego prę t a.  W  wypadku  zastosowan ia
omawianej  teorii  do  opisu  drgań ,  przyję cie  n iepoprawn ego  ro zkł ad u  n aprę ż eń  styczn ych
nie powin n o  mieć istotn ego  wpł ywu  n a  obliczenia  czę stoś ci  rezon an sowych,  gdyż  w  rów-
n an iach  ruch u wystę pują   tylko  wypadkowe  tych n aprę ż eń.

Z nalezienie  ogóln ego  rozwią zan ia  równ ań  r u c h u  (4.6),  poprzez  wartoś ci  i  funkcje
wł asne, jest  • —  ja k  dotą d  —  m oż liwe  tylko  w  n ajprostszych  przypadkach  [9],  [10].  G d y
przekrój  prę ta jest  bardziej  skom plikowan y,  rozm ywa  się   przejrzystość  opisu  ja ką   d awał a
teoria  techniczna,  a  zn aczn a  liczba  wartoś ci  wł asnych  i  podstawowych  form  wydł uża
czas  liczenia  i  angaż uje  pam ię ć  m aszyn y  cyfrowej.  Z astosowan a  w  pracy  m e t o d a  bezpo-
ś rednia,  prowadzą ca  d o  rozwią zan ia  szczególnego,  um oż liwia  jed n a k  oszacowan ie  czę s-
toś ci  rezon an sowych  i  wskazan ie  najbardziej  niebezpiecznych  miejsc  kon strukcji.

P ozorn ie  najprostszy  problem  numerycznego  cał kowan ia  u kł ad u  ró wn ań  ró ż n ic zko-
wych  zwyczajnych  o  stał ych  współ czyn n ikach  okazał   się   w  dan ym  p rzyp ad ku  n ieł atwy,
ze  wzglę du  n a  bł ę dy  m aszyn owych  zaokrą gleń.  Z awiodł y  m et o d y  wielokrokowe  poł ą -
czone  z  tworzeniem  m acierzy  bazowej,  a  m et o d y  róż n icowe  wym agał y  przy  wyż szych
czę stoś ciach  zbyt  duż ej  pamię ci  m aszyn y.  Z astosowan a  m et o d a  [11]  polegają ca  n a  ro z-
winię ciu  przewidywanych  rozwią zań  w  szereg  wielom ian ów  C zebyszewa,  u m o ż liwia
wyznaczenie  pierwszych  kilkun astu  czę stoś ci  rezon an sowych  cien koś cien n ego  p rę ta



• 480  M .  SF E R SK I

o  przekroju  zł oż onym z co najwyż ej  8- 10  prostoką tów.  N adal  wię c  problemem jest  zna-
lezienie  dostatecznie  szybkiej  i  dokł adnej  metody  cał kowania  równań.

Jeż eli  poszczególne  wę zły  przekroju  są   poł ą czone liniami prostymi  (prę t cienkoś cienny
o  przekroju  zł oż onym z  wieloką tów),  proces  obliczania  na  maszynie  cyfrowej  współ czyn-
ników  równania  macierzowego  (7.5)  oraz  warunków  granicznych  (5.12)  moż na  zauto-
matyzować.  W  pracy  [5] przedstawiono  algorytm,  umoż liwiają cy  automatyczną   generację
równań  ruchu  cienkoś ciennego  prę ta  o przekroju  zł oż onym ze skoń czonej  liczby  prosto-
ką tów,  po  wprowadzeniu  danych,  zawierają cych  wymiary  geometryczne  i  stał e mate-
riał owe  poszczególnych  elementów  konstrukcji.

Moż liwe jest zastosowanie  hipotezy  Wł asowa  do  opisu  drgań  prę tów  cienkoś ciennych
o  przekroju  zmiennym  odcinkami, przy  czym  niektóre  odcinki  takiej  konstrukcji  mogą
być  prę tami cienkoś ciennymi  o profilufotwartym.  Równania ruchu tych ostatnich są  znane
[1]>  [2]t  [3], a  sprzę ż enie  ukł adów równań  opisują cych  drgania  poszczególnych  odcinków
umoż liwiają   warunki  graniczne  (5.12).

Literatura

1.  J.  WIĘ C KOWSKI,  Mechanika  konstrukcji  okrę towych, Wyd.  Politechniki  G dań skiej  1985.
2.  R . E. D .  BISH OP ,  W.  G .  P RIC E, Hydroeiasticity of  Ships, Cambridge  U niversity  Press,  1979.
3.  B.  3 .  BJIACOB,  H36paHHwe  TpyAw,  T .  I I I , r H * M J I 3  MocKBa  1960.
4.  Z .  G ÓR E C KI , Zastosowanie pólbeztnomentowej teorii powł ok  w  obliczeniach  statycznych ortotropowych,

liniowo- sprę ż ystych prę tów  cienkoś ciennych,  pryzmatycznych,  o przekroju  wieł oobwodowytn,  zatnknię -
tym,  M echan ika  Teoretyczna  i  Stosowana  3/ 4,  20,  1982.

5.  M .  SP ERSKI,  Zastosowanie  hipotezy  W ł asowa do  opisu drgań prę tów  cienkoś ciennych  o  zamknię tym
profilu,  P race  Badawcze  Instytutu  Okrę towego  Politechniki  G dań skiej  1250/ / MR- 360,  1979 (niepu-
blikowana).

6.  H .  M AJEWSKI ,  Zastosowanie  zasady  Hamiltona  do  wyprowadzenia  równań ruchu belki  cienkoś ciennej
z  uwzglę dnieniem deformacji  konturu,  M ateriał y  I X  Sympozjum:  D rgania  w  U kł adach  Fizycznych,
P ozn ań —  Biaż ejewko  1980.

7.  I . M .  G E LF AN D , S. W.  F OM I N , Rachunek  wariacyjny,  P WN , Warszawa  1970.
8.  G .  OLU REM I- OLAOF E,  On  the  T chebyschev  method of  solution of  ordinary differential equations,  J.  of

M ath .  Anal,  an d  Appl.  1,  1977.
9.  M .  SP ERSKI,  Drgania  wł asne prę tów  cienkoś ciennych  i  wieloobwodowym,  zatiiknię tytn przekroju, Prace

Badawcze  I n stytutu  Okrę towego  Politechniki  G dań skiej  1374/ MR- 436  1980  (niepublikowana).
10.  H .  M AJEWSKI ,  Zastosowanie  metody  elementów skoń czonych  do  analizy  drgań  belek  cienkoś ciennych

o  przekroju  dwuobwodowym  z  uwzglę dnieniem deformacji  konturu,  P raca  doktorska,  Politechnika
G dań ska  1985  (niepubikowana).

11.  J.  WIĘ C KOWSKI  i  inni,  W droż enie pół bezmomentowej  teorii powł ok  do  obliczeń kadł ubów  bezgrodzio-
wych,  P race  Badawcze  Instytutu  Okrę towego  Politechniki  G dań skiej  1148/ 79  (niepublikowana).

Egzemplarze  wymienionych  prac  niepublikowanych  są   dostę pne  w  Bibliotece  G ł ównej,  lub  jej  filii  przy
I ntytucie  Okrę towym  Politechniki  G dań skiej.

P  e 3  IO  M e

n P H M E H E H H E  <J>yHKIJ[Hfi  BJIACOBA  flJIH   OI I M C AH H il  KOJIEBAH H fł
T O H K O C T E H H H X  C T E P ^ H E fł - O BO J I O ^ EK  3AK P L I T O rO

B  p a 6o T e  n peflcxaBjieH o  o6o6m eH ił e  TeopHH  BjiacoBaH a  cnyMaft  flBioKeH H H .  H H TerpiipoBaH H e  cibo p-
H ijjrJiepeH miajiBH bix  yp aBH em d i  Ha  BbMHCJiHTejiŁHoii  M amime.,  no3BajmeT

KOHCTpyKijHH   Ha  BtiH yjKfleH H e  rapM omrqecKH M H   CHJiaMHj a  fla>ite  HaiłTH   KpH TinecKH e



D RG AN IA  PRĘ TÓW  CIENKOŚ CIENNYCH   481

S u m m a r y

U SE OF  SH APE  F U N CTION S TO TH E D ESCRIPTION   OF  VIBRATION   O F  TH E  T H I N - WALLED
BARS  WITH   CLOSED   SECTION

The motion equations  of  orthotropic elastic  bar  with  multicircuit  closed  section  have been  formulated.
The numerical integration  of the differential  equations  of motion enables  to determine the structure reponce
cased  by  the  system  of  harmonic forces  excitation  as  well  as  the calculation  of  the resonance  frequencies.

Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  28  maja  1986  roku.

11  Mccii.  Teoret.  i  Stos.  3/ 87