Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\02mts87_t25_zeszyt_3.pdf
M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
3, 25, (1987)
ZASTOSOWAN IE F U N KCJI KSZTAŁTU D O OP ISU DRG AŃ
PRĘ TÓW CIEN KOŚ CIEN N YCH O ZAMKN IĘ TYM PROF ILU
M AR E K SPERSKI
Politechnika Gdań ska
1. Wstę p
Z chwilą wprowadzenia do eksploatacji duż ych jednostek pł ywają cych pojawił się
w budownictwie okrę towym problem drgań kadł uba statku, wzbudzanych falowaniem
morza oraz wywoł ywanych przez pracują ce na okrę cie maszyny. D rgania te są przyczyną
powstawania naprę ż eń dynamicznych, które — poprzez pę kanie i rozwój szczelin — pro-
wadzą do przedwczesnego zuż ycia konstrukcji. Zakł ócają też pracę precyzyjnych urzą dzeń
instalowanych na okrę cie i odbijają się niekorzystnie na zdrowiu zał ogi, uniemoż liwiając
wypoczynek.
Spotykane w praktyce projektowej metody analizy tzw. drgań ogólnych kadł uba
[1], [2] oparte są na modelach prę towych. Modele prę towe, zastosowane do konstrukcji
o bardziej skomplikowanych kształ tach, czę sto okazują się zawodne. Stosowanie modeli
powł okowych, lub dyskretnych o wielu stopniach swobody umoż liwia dokł adniejszy opis,
wią że się jednak z pracochł onnym, czę sto prowadzą cym do pomył ek procesem przygoto-
wywania danych, dł ugim czasem liczenia oraz koniecznoś cią uż ywania maszyn cyfro-
wych o duż ej pamię ci operacyjnej.
Mankamenty te skł onił y do poszukiwania innego, w miarę moż liwoś ci prostego modelu
kadł uba [5], [6] dokł adniejszego od modeli belkowych. Jednym z nich jest model raraowo-
powł okowy, zaproponowany przez W. Z. Wł asowa [3] w 1931 r. Oparta n a tym modelu
teoria, umoż liwiają ca zamianę czą stkowych, róż niczkowych równań równowagi cienko-
ś ciennego prę ta na równania róż niczkowe zwyczajne jest dzisiaj stosowana dość powszech-
Q i e [4], [11] w obliczeniach statycznych konstrukcji lotniczych, okrę towych i budow-
lanych.
Praca niniejsza stanowi uogólnienie teorii Wł asowa n a przypadek ruclra. Choć
genezą opracowania był y problemy budowy okrę tów, przedstawiony w nim model może
sł uż yć do badania drgań innych konstrukcji inż ynierskich, jak skrzydł a samolotów,
mosty skrzynkowe, lub niektóre typy pojazdów drogowych i szynowych.
462 M . SPERSKI
2. Zał oż enia teorii
Przedmiotem rozważ ań jest pryzmatyczny, cienkoś cienny prę t o skoń czonej liczbie
zamknię tych obwodów w przekroju poprzecznym. Przekrój poprzeczny (rys. 1) skł ada się
z JV wę zł ów, poł ą czonych mię dzy sobą odcinkami prostymi, lub zakrzywionymi. Cał a
konstrukcja zbudowana jest z pł askich, ortotropowych pł yt oraz cienkoś ciennych powł ok
walcowych, których krawę dzie, równoległ e do osi prę ta, nazywać bę dziemy liniami wę z-
ł owymi.
s
Wzorują c się na hipotezie Wł asowa, skł adowe w, v, w, wektora przemieszczenia w
dowolnie obranego punktu na powierzchni ś rodkowej pł yty, lub powł oki (rys. 2), na osie
powierzchnia ś rodkową
.5
s .
U
Rys. 2.
lokalnego ukł adu współ rzę dnych b,s,n:
w =s w b+v • s+w n
przedstawiamy w postaci wielomianów dwóch zmiennych rozdzielonych:
(2.1)
, 0 • 9i(s) = (2. 2)
D R G AN I A P R Ę T ÓW C I E N K O Ś C I E N N YCH 463
v
= 2J ®
k
(
z
> *) " VK(S) = 2J tikVu ( 2. 2)
fc= I *- > [ c d . ]
AH w
/ - I ' "' CT
przy czym funkcje :<pi,ip
K
,%i, współ rzę dnej obwodowej j — nazywane funkcjami kszt ał t u —
przyjmiemy ja ko zn an e, n at om iast funkcje: vi, &
k
, rj
t
, współ rzę dn ej z n a osi p r ę ta
oraz czasu t bę dą wielkoś ciami poszukiwan ym i.
N a element p rę ta o gę stoś ci Q, m oduł ach sprę ż ystoś ci E^ (n a kieru n ku p o d ł u ż n ym z),
E
2
(na kierun ku obwodowym s), m odule odkształ cen ia postaciowego G, współ czyn n i-
kach P oisson 'a: v
2l
, v
12
i wym iarach : d • ds • dz, dział ają :
1. Sił a bezwł adnoś ci
PB = —W Q- d- ds- dz= —Q- d(iib+vs+ wn)ds • dz (2.3)
przy czym kropki n a d sym bolam i oznaczają p o ch o d n e współ rzę dnych wzglę dem czasu,.
<S zaś jest gruboś cią pł yty, lu b powł oki.
2. Sił a zewnę trzna, bę dą ca jawn ą funkcją czasu / i współ rzę dn ych z, s:
p
z
= pjz, s , t) • n +
P s
( z , s , t ) - s + p
b
{ z , s , t ) - b (2.4)
3. Wewnę trzne sił y sprę ż yste:
a) na kierun ku podł uż n ym sił a n o r m a ln a :
v / 8u dv \ ,„
?
x
dn = Ei I ——H ^ i 1 (2.5a)
b) n a kierun ku o bwo d o wym :
— sił a n o r m a ln a :
N = [ a d — F I——4- - ~l (2 5b>
— sił a styczn a:
— m om en t zginają cy
gdzie: crz, <rs, rzs oznaczają n aprę ż en ia n orm aln e i styczne, a:
1 l - "2 1 - v1 2 ' - " l- v21v12
v P- A3
G = G- d D = \ 2(\ - v
2x
v
l2
)
zredukowan e stał e m ateriał owe.
464 M . SPERSKI
W rozważ aniach pominię to jako mał e: moment zginają cy na kierunku podł uż nym,
moment skrę cają cy oraz sił ę styczną na kierunku normalnym. Jak widać, prę t jest zbu-
dowany z materiał u ortotropowego, liniowo- sprę ż ystego, o osiach ortotropii b, s. W opisie
nie uwzglę dniono sił tł umienia, zależ nych od prę dkoś ci elementu. Wprowadzenie tych sił
d o róż niczkowych równań ruchu nie stanowi problemu, jednak na wstę pnym etapie badań
nie wydaje się celowe.
3. Równania ruchu
Zakł adają c, że dział ają ce na konstrukcję siły bezwł adnoś ci stanowią skł adnik obcią -
ż enia zewnę trznego, problem sformuł owania równań ruchu sprowadzamy do wyznaczenia
ekstremum funkcjonał u:
. L
J= j Qdz=n+A (3.1)
o
w którym 77 oznacza cał kowitą energię sprę ż ystą prę ta, równą sumie prac sił wewnę trznych
n a przemieszczeniach w, natomiast A = A
B
— A
X
— sumę prac sił bezł adnoś ci i sił zewnę -
trznych na tych przemieszczeniach.
Energię sprę ż ystą prę ta o dł ugoś ci L :
(3.2)
o L J
m oż na, uwzglę dniając zwią zki (2.5), (2.2) oraz:
du 8u dv
8v v v
przedstawić w postaci macierzowej:
L
77= ~YJ (vTPv+iTR$ + vTSv+2$T0v+2vTa&+»TT S+i]TAii)dz (3.3)
o
gdzie elementy kwadratowych, lub prostoką tnych macierzy: P, R, S, 0, Q, T, A, są sta-
ł ymi współ czynnikami:
Pij = / E
r
<pi<pjds; R
kg
= j Gy>
k
yi
g
ds;
s s
D RG AN IA PRĘ TÓW CIENKOŚ CIENNYCH 465
i,j = 1,2 ... n; k, g = 1,2 ... r; h, I = 1,2 ... m; n jest liczbą przyję tych d o opisu funkcji
kształ tu w, r — liczbą funkcji y
k
\ m — liczbą funkcji xi (wzór 2.2). Symbol: § oznacza
cał kę wzdł uż zamknię tego konturu opisanego współ rzę dną obwodową s, a kreski nad
symbolami — pochodne czą stkowe wzglę dem zmiennej z. Elementami macierzy kolum-
nowych: v, # , t\ , są poszukiwane funkcje: v- ,,^ , r)
t
, okreś lają ce przemieszczenia.
Praca sił bezwł adnoś ci:
L L
A
B
= — J I j QÓW • wdsldz — — J [ j (?ó(i/ u+ wJ3 + vyw)(/ jldz (3.5)
Os O J
po uwzglę dnieniu (2.2) daje się zapisać w postaci:
A
B
= - J (v
T
l)v+&
T
V9+ti
T l
W ij)dz (3.6)
o
przy czym elementy kwadratowych macierzy U , V, W, są —jak w poprzednim przy-
padku — stał ymi współ czynnikami:
V
kg
= j Qdf
k
rp
g
ds. (3.7)
W
hl
=
s
Praca sił zewnę trznych:
L
o
(p
b
u+p
s
v+p
n
w)ds]dz (3.8)
po podstawieniu wzorów (2.2) przyjmuje formę :
z
A = / ( a T v+ bT 9+ cT n ) dz (3.9)
o
w której elementami macierzy kolumnowych a, b, c, są współ czynniki:
b
k
= fp.
Vk
ds (3.10)
Cl
m
jPn
zależ ne już tylko od współ rzę dnej z i czasu /.
10 Mech. Tcoret. i Stos. 3/ 87
466 M . SPERSKI
P o podstawieniu wzorów (3.3), (3.6), (3.9) do (3.1) otrzymamy, posł ugują c się rów-
naniami Eulera:
' ( iO) M _0 (3..,)
(za a.j należy przyjmować kolejno: v
t
, # fc, rji) poszukiwane równania ruchu:
a
b (3.12)
U v = Pv-
Ten sam ukł ad równań moż na wyprowadzić z zasady H amiltona, tworzą c funkcjo-
n ał :
/ z. t
j J L dt = } (T +n- A
z
) dt (3.13)
0 0 0
w którym :
L
T = T / [ / e ó ( "2 + i ) 2 + w 2 ) * ] * (3.14)
o J
jest energią kinetyczną ukł adu. Uwzglę dniając zwią zki (2.2) przekształ camy wzór (3.14)
do postaci macierzowej:
j ( vrU v+ &T VŚ + iiTW ii)dz (3.15)
b
i z równań Eulera:
ot
otrzymujemy, po podstawieniu (3.15), (3.3), (3.9), do (3.13), równania (3.12).
Korzystają c z równań Eulera (3.11) lub (3.16) warto posł uż yć się nastę pują cymi
reguł ami róż niczkowania:
(3.17)
_5(b_a| =
a
gdzie A jest'dowolną macierzą kwadratową , B — macierzą prostoką tną; a, b —m acie-
rzami kolumnowymi.
4. Teoria ramowo- powłokowa
F unkcje kształ tu ip^ ś ), przyję te do opisu przemieszczeń stycznych we wzorze (2.2),
determinują jednoznacznie przemieszczenia normalne punktów poł oż onych na linii
ś rodkowej przekroju poprzecznego prę ta. Przyjmują c zatem: / = k, rji — # k , %k =
D R G AN I A P R Ę T ÓW C I E N KOŚ C I E N N YCH 467
oraz zakł adają c, że wycinek prę ta ograniczony dwoma poprzecznymi przekrojami odleg-
łymi od siebie o 1, odkształ ca się w kierunku poprzecznym do osi prę ta, jak pł aska ram a
o kształ cie tego przekroju, linię ugię cia tej ramy, utoż samianą z przemieszczeniami nor-
malnymi linii ś rodkowej przekroju prę ta, moż na wyznaczyć z równania (2.5d):
D ( 4 D
w którym moment gną cy w przekroju ramy przedstawiamy jako sumę trzech wielkoś ci:
— momentu M
v
wywoł anego przemieszczeniami wę zł ów w pł aszczyź nie ram y;
— momentu M
P
wywoł anego obcią ż eniami zewnę trznymi p„ (ciś nieniami normalnymi —
wzói (2.4));
— momentu M
B
wywoł anego skł adowymi sił bezwł adnoś ci na kierunek normalny.
Przyję cie takich zał oż eń umoż liwia poł ą czenie dwóch ostatnich równań macierzo-
wych ukł adu (3.12) w jedno równanie, a zatem zmniejszenie liczby równań opisują cych
ruch prę ta. We wzorze (3.3) na energię sprę ż ystą prę ta ulegnie zmianie tylko ostatni
skł adnik, wyraż ają cy pracę momentu gną cego M na przemieszczeniach iv:
- —-& (4- 2)
Moment gną cy M
P
wywoł any ciś nieniami normalnymi nie zależy od funkcji Vi, \ ,
opisują cych przemieszczenia. D wa pozostał e momenty moż na przedstawić w postaci:
Mv = y ER/ A; MB = 2 ̂ mk&k; (4.3)
gdzie SJlfc jest momentem gną cym wywoł anym przemieszczeniami wę zł ów ramy, zgodnymi
z funkcją y>
k
, natomiast m
k
'4
k
— momentem od obcią ż eń ramy (o wę zł ach nieprzesuwnych,
lecz podatnych na obrót) skł adowymi normalnymi sił bezwł adnoś ci: - gdxk&k
Podstawiają c wzory (4.1), (4.3), do (4.2) otrzymamy zwią zek:
• • . . •• •• /* Mp , , .- .
• J D
s
w którym elementy kwadratowych macierzy X, 77, są stał ymi współ czynnikami:
X
kg
= f^ §^ ds; II
kg
= §^ f^ ds
s s
a elementy macierzy kolumnowej h, również stał e, są równe:
h k =
J — W ^ ^ ( k ' 8 = !» 2 • • • '")
Trzema ostatnimi skł adnikami wzoru (4.4) zajmować się dalej nie warto, ponieważ po-
chodne czą stkowe tych skł adników wzglę dem zmiennych wystę pują cych w równaniach
Eulera są zerami.
10*
468 M . SPERSKI
Przyjmują c we wzorach (3.6) i (3.9), zgodnie z zał oż eniami podanymi na począ tku
rozdział u:
i/ rWij = S r WS , c rij = c r S
otrzymamy, korzystają c z (3.1) i (3.11), nastę pują cy ukł ad równań ruchu:
II
U v = P v -
II | (4 - 5)
Z a R S 2 S K d
w którym :
H = 6> T- Q, Z = V+W+n,
3 = T + X, K = Q T - 0,
są prostoką tnymi, lub kwadratowymi macierzami o stał ych współ czynnikach, zależ nych
od geometrii przekroju, stał ych materiał owych i przyję tych do opisu funkcji kształ tu.
N atom iast:
d = b
jest macierzą kolumnową , zależ ną od obcią ż eń zewnę trznych, funkcji kształ tu i współ-
rzę dnej z na osi prę ta.
Tworzą c macierze kolumnowe:
oraz f =
ukł ad (4.5) moż na zapisać w postaci jednego równania macierzowego:
Az = Bz + C z - D z - f, (4.6)
w którym A, B, D, są macierzami symetrycznymi, natomiast C — macierzą kwadratową
antysymetryczną :
ru 01 rp o
Wymiar tych macierzy jest równy n + r, tj. liczbie przyję tych do opisu funkcji kształ tu
Równanie macierzowe (4.6) stanowi ukł ad równań róż niczkowych czą stkowych dru-
giego rzę du, niejednorodnych, o stał ych współ czynnikach. Znalezienie cał ek tego ukł adu,
przy zadanych warunkach granicznych, umoż liwi — po podstawieniu rozwią zań do wzo-
rów (2.2) — wyznaczenie przemieszczeń dowolnie wybranych punktów prę ta, w dowol-
nej chwili t.
N ietrudno zauważ yć, że dla f = 0 równanie (4.6) opisuje drgania swobodne ukł adu:
Aź = Bz + C z - D z, (4.7)
a dla z = 0 i f = f(z) — niezależ nego od czasu przechodzi w równanie równowagi:
Bz + C z - D z - f = 0. (4.8)
D R G AN I A P R Ę T ÓW C I E N KOŚ C I E N N YCH 469
5. Warunki graniczne
Jeż eli skrajny przekrój prę ta (z = a) obcią ż ymy ukł adem sił zewnę trznych:
q = qb(s, t)n+ qs(s, t)s + qn(s, t)b, (5.1)
funkcjonał cał kowitej energii mechanicznej (3.1) powię kszy się o skł adnik:
G
= J (q
b
u+q
s
v+q„w)ds, (5.2)
s
wyraż ają cy pracę tych sił na przemieszczeniach (2.1). Po podstawieniu w miejsce u, v, w,
zwią zków (2.2) oraz —- zgodnie z zał oż eniami teorii ramowo—powł okowej: rj
k
— &
k
,
wzór (5.2) przyjmie postać:
G = pTv + ą T&, (5.3)
przy czym elementy kolumnowych macierzy p, q, są funkcjami czasu:
Pi = J Qb<fids,
(5.4)
Przyrównanie do zera wariacji funkcjonał u:
L
Ą =JQdz+G, (5.5)
o
prowadzi [7] do wyznaczenia warunku granicznego na brzegu z — a:
J9- - J2- (56)
gdzie a.j przyjmuje kolejno wartoś ci: v\ , ^ (i = 1, 2 ... «; k = 1, 2 ... r).
Podstawiają c poszczególne skł adniki funkcji Q (wzory (3.3), (3.6), (3.9)) do wzoru (5.5)
moż na ograniczyć się do wyrazów zawierają cych pochodne współ rzę dnych wzglę dem
zmiennej z:
L
Ą - i f (l>TPv+lTR» + 2»T0v+2vT<ai9+ ...)dz+pTv+ą T$ (5.7)
o
i posł ugują c się wzorem (5.6) oraz reguł ami róż niczkowania (3.17) wyznaczyć warunki
graniczne:
P
(5.8)
= q,
stanowią ce ukł ad równań róż niczkowych pierwszego rzę du. U kł ad ten moż na przedstawić
w formie jednego równania macierzowego:
M l X U , - r, (5.9)
470 M. SPERSKI
w którym :
M i = [ " I R T Q .
x = d&v3) r, r =
G dy skrajny przekrój prę ta jest swobodny (nieobcią ż ony), macierze p, q, są zerowe i wa-
runek graniczny dla tego przypadku przyjmuje postać:
M l X] U f l = 0. (5.10)
Sztywne utwierdzenie przekroju prę ta powoduje, że przemieszczenia (2.2) wszystkich
punktów tego przekroju są zerami, a warunek graniczny:
= 0, (5.11)
moż na uważ ać za szczególny przypadek warunku (5.9).
Przewodują c moż liwość numerycznego cał kowania równań ruchu, warunki graniczne
na krań cach prę ta zapiszemy w postaci:
M x|I = 0 + N x | I = L = s, (5.12)
gdzie s = {i*U = Ł r|I = o}
7 jest macierzą kolumnową sił uogólnionych, a M i N — ma-
cierzami kwadratowymi o wymiarach 2(n+r) i elementach bę dą cych stał ymi współ czyn-
nikami.
D o peł nego opisu ruchu, oprócz warunków granicznych na krań cach prę ta, należy
również podać warunki począ tkowe, okreś lają ce poł oż enia i prę dkoś ci wszystkich punktów
ukł adu w chwili / = 0. Funkcje zmiennej z, okreś lają ce wartoś ci współ rzę dnych uogól-
nionych Vi, # k na począ tku ruchu:
v
i0
= v
i0
(ż ), &
k0
= &
k0
(z),
powinny speł niać równania równowagi (4.8). N atomiast funkcje okreś lają ce począ tkowe
prę dkoś ci uogólnione:
Via - T >io(z), &
k0
= 4
k0
(z),
muszą być funkcjami cią gł ymi.
6. Wybór funkcji kształ tu
Zasady wyboru funkcji kształ tu: ę
it
y
k
, (2.2) pozostają takie same jak w zagadnieniach
statycznych [3], [4], [5], Aby potwierdzić poprawność sformuł owanych równań ruchu
rozpatrzmy nastę pują ce przykł ady:
Przykł ad 6.1. Jeż eli przemieszczenie przekroju poprzecznego jednorodnego prę ta
o gę stoś ci Q, module sprę ż ystoś ci E, module odkształ cenia postaciowego G i przekroju,
jak na rys. 6.1 opiszemy jedną tylko funkcją <p, mają cą wartość 1 w każ dym punkcie tego
DRGANTA PRĘ TÓW CIENKOŚ CIENNYCH 471
Rys. 6.1.
przekroju oraz zał oż ym y, że n a ukł ad nie dział ają ż adne sił y zewn ę trzn e, to w r ó wn a n iu
(4.6) tylko dwa współ czynniki (3.7) i (3.4):
C / n = U = f QÓq>
2
ds = QA,
s
P n = p = § eócp
2
ds = EA,
oraz jedn a współ rzę dna v± — v są róż ne od zera. Sym bol A ozn acza powierzchn ię prze-
kroju. Otrzym an e równ an ie ru ch u ;•
v v = 0,
e
jest zn an ym równ an iem róż niczkowym podł uż n ych drgań swobodn ych p rę t a.
(6.1)
liliiiiiiiiiiuiiiiiiiiiiii
, 1 II
n/?
[ J |
III
- o/2 - a/2
Rys. 6.2.
- a/2
o/ 2
Rys. 6.3.
P rzykł ad 6.2. Opisują c przemieszczenie tego sam ego p rę ta jed n ą funkcją kszt ał t u rp
przedstawioną n a rys. 6.2, obliczam y współ czynniki ró wn an ia r u c h u (4.6) wg wzorów
(3.7) i (3.4):
C 1
V
XI
= V = f QÓw
2
ds = - z- Qdab(a+b),
= i? = f Gdf2ds m 4 - Gdab(a+b).
472 M . SPERSKI
P o podstawieniu tych współ czynników oraz &
x
- # do równania (4.6) otrzymujemy rów-
nanie drgań skrę tnych prę ta:
G U
& # = 0, (6.2)
w którym • & jest ką tem obrotu przekroju.
Przykł ad 6.3. Trzy funkcje; <p, f, % przedstawione na rys. 6.3 opisują zgię cie prę ta
w pł aszczyź nie pionowej, przy czym przekrój poprzeczny prę ta przemieszcza się jak ciał o
sztywne, pozostają c prostopadł y do linii ugię cia. N ietrudno bowiem zauważ yć, że skł a-
dowe przemieszczenia (2.1) są równe:
u = y< p, v = yip, w = y%, (6.3)
gdzie y jest przemieszczeniem ś rodka geometrycznego przekroju.
Podstawiają c iloczyny (6.3) do wzorów (3.2) i (3.6), otrzymamy funkcjonał (3.1):
L L
fadz = —j f (EJ
x
y
2
+2
e
J
x
yy+2eAyy)dz,
o o
w którym :
jest powierzchniowym momentem bezwł adnoś ci przekroju wzglę dem osi x, natomiast:
j4 = ł> d(i/ )2 + y^ ) ds,
— polem tego przekroju. Z równania Eulera:
B I Bić \ O l O&2 \ uia
I 1 I I I Q
dz
2 \ sy } 8z \ 3y } 8y
Otrzymujemy znane równanie drgań poprzecznych prę ta:
iv
Ql
x
y= 0, (6.4)
uwzglę dniają ce sił y bezwł adnoś ci od obrotu przekroju wokół osi x.
W podobny sposób moż na opisać zgię cie prę ta w pł aszczyź nie poziomej, a także
wprowadzić dodatkowe funkcje [3], [10] uwzglę dniają ce paczenie przekroju. Funkcje
tego typu moż na jednak przyjmować tylko do obliczeń prę tów o przekrojach nieskompli-
kowanych, zł oż onych z jednego, lub co najwyż ej dwóch prostoką tów.
Znacznie dokł adniejsze wyniki uzyskuje się , przyjmują c do opisu przemieszczeń
wzdł uż nych funkcje <p
t
skonstruowane z wielomianów Legendre'a w taki sposób, aby
przyjmował y one wartoś ci 1 w / - tym wę ź le przekroju (rys. 6.4) i wartoś ci zero we wszyst-
kich wę zł ach są siednich [5]. Moż na też na linii ś rodkowej przekroju przyjmować dodat-
kowe, fikcyjne wę zł y.
F unkcje rp
k
, %
k
opisują ce przemieszczenia styczne i normalne w pł aszczyź nie przekroju
konstruuje się przesuwają c o wartość 1 w kierunku współ rzę dnej obwodowej s, dwa poł ą -
D R G AN I A P R Ę T ÓW C I E N KOŚ C I E N N YCH 473.
O) b) c)
j
Ą J"WW7
J1I
<P
12]
Ty
Rys. 6.4.
czone ze sobą wę zły przekroju (rys. 6.5a). Wprowadzają c dodatkową funkcję %p^ , jak
na rys. 6.5b, uwzglę dniamy w opisie efekt ś ciskania prę ta ramy.
Im wię ksza jest liczba przyję tych funkcji kształ tu, tym opis jest dokł adniejszy. Wzros-
towi tej dokł adnoś ci towarzyszy jednak wzrost liczby równań ruchu, a zatem rozwią -
zanie problemu staje się bardziej skomplikowane. Z tego wzglę du, w obliczeniach statycz-
nych, konstruktorzy ograniczają swój wybór do funkcji przedstawionych n a rys. 6.4a.
i 6.5a, nazywanych funkcjami Wł asowa pierwszego rodzaju.
b)
\
\
\
I/
A*
/
V =1
III
J
\
\
ip 7 1
Rys. 6.5.
7. Cał kowanie równań
Jeż eli prę t jest obcią ż ony ukł adem sił harmonicznych o takich samych fazach i czę -
stoś ciach: f = gcoswf, równanie ruchu (4.6) przyjmuje postać:
Az = Bz + C z - D z - gc o sc o *.
Przewidują c szczególne rozwią zanie tego równania w formie:
z = ycoscot
otrzymamy, po podstawieniu do (7.1) ukł ad równań róż niczkowych zwyczajnych:
(7.1)
- g, (7.2>
474 M , SPERSKI
w którym :
w2A- D.
Cał kując ten ukł ad numerycznie [11] z uwzglę dnieniem warunków brzegowych (5.12)
wyznaczymy maksymalne przemieszczenia (amplitudy) poszczególnych punktów kon-
strukcji. N atomiast powtarzając obliczenia wielokrotnie, dla róż nych czę stoś ci m i rejestru-
jąc podczas cał kowania tylko przemieszczenia maksymalne, moż na wyznaczyć czę stoś ci
rezonansowe. Są nimi te wielkoś ci m przy których przemieszczenia osią gają wartoś ci
bardzo duż e.
Jako przykł ad rozpatrzmy pręt o przekroju zł oż onym ze skoń czonej liczby prosto-
ką tów, jednym koń cem utwierdzony, na drugim zaś obcią ż ony ukł adem sił skupionych:
po cos co t. Przyjmijmy, dla uproszczenia obliczeń, że skł adowe binormalne tych sił są przy-
ł oż one w wę zł ach przekroju, a skł adowe styczne dział ają wzdł uż linii ł ą czą cych poszczególne
wę zł y. Wprowadzając do opisu funkcje Wł asowa pierwszego rodzaju (rys. 6.4a i 6.5a)
stwierdzamy, że wektor sił uogólnionych w równaniu (5.9) jest:
r = p0coseo£,
gdyż wartoś ci funkcji <p
it
y
k
(wzór 5.4) w punktach przył oż enia sił są równe 1.
Równanie amplitud (7.2) ma zatem postać:
By + Cy + Gy = 0 ,
a warunki graniczne (5.12):
, j i i ;
i i -: 1
y
p i i . i •
i R ; Q T ; y
y
Po
(7.3)
(7.4)
(7.5)
W miejsca niewypeł nione w równaniu (7.5) należy wpisać macierze zerowe. I oznacza
macierz jednostkową.
G dy przekrojem prę ta jest jeden prostoką t, ukł ad (7.4) skł ada się z oś miu równań
róż niczkowych zwyczajnych drugiego rzę du. D la przekroju dwuobwodowego (dwa pro-
stoką ty) liczba tych równań wzrasta do 11, a dla przekroju zł oż onego z czterech prosto-
ką tów wynosi już 15.
8. Przykł ady obliczeń numerycznych
M ając na wzglę dzie kontrolę poprawnoś ci opisanej metody, obliczono współ czynniki
równania (7.4) dla wspornika o przekroju prostoką tnym, obcią ż onego na koń cu ukł a-
dem sił skupionych: P
t
cosa>t, jak na rys. 8.1. D ane liczbowe: L «• 60; a = 20; b = 10;
d - 0, 1; B
x
- 2,1 • 105; E
2
= 2,1 • 105; v
2l
= v
12
= 0,3; G = 8,1 • 104; Q = 7,6- 10~3.
Jednostki podstawowe: M N , m, s. Równania cał kowano metodą Oluremiego- Olaofe
[8] uogólnioną przez J. Wię ckowskiego [11] na równania macierzowe z osobliwą macie-
rzą C.
D RG AN IA PRĘ TÓW CIENKOŚ CIENNYCH 475
L_
Rys. 8.1.
Przykł ad 8.1. P
t
- P 2 » P 3 • P 4 - 1; P 5 = P 6 = P 7 = P 8 = 0. D la każ dej war-
toś ci co otrzymano jednakowe przemieszczenia podł uż ne wszystkich punktów danego
przekroju oraz wszystkie przemieszczenia poprzeczne równe zeru. Przykł ad przedstawia
zatem drgania podł uż ne prę ta. N a rys. 8.2 przedstawiono obliczone amplitudy przemiesz-
60 m
Rys. 8.2.
I'D
O
• i 5
1
'£ 0
• OJ
N
id.
5
10
15
y
-
i
200
I
400
002=435
1
I
600
i
800
^
W 4 = 1 0 1 0
**
1000
Rys. 8.3.
476 M . SPERSKI
czeń przekrojów wzdł uż osi prę ta, dla kilku przypadkowo wybranych czę stoś ci <y.
Czę stość co = 1000 jest bliska czę stoś ci rezonansowej, bowiem otrzymany dla niej wykres
amplitud przypomina czwartą postać drgań wł asnych.
Amplitudy przemieszczeń skrajnego przekroju prę ta (z = 60) obliczone dla róż nych
czę stoś ci co wykreś lono n a rys. 8.3. Czę stoś ci: coi = 145, co
2
= 435, a>3 = 720, w4 = 1010,
przy których przemieszczenia osią gają wartoś ci nieskoń czenie duże są czę stoś ciami rezo-
nansowymi ukł adu. Znane są czę stoś ci wł asne swobodnych drgań podł uż nych wspornika
wg teorii technicznej (równanie 6.1):
1.0
0.5
p
0,5
1,0
1
- s—^
1
10
i
» -
\ i
V
1
20
1
/ i ,
/ /
I
30
I
, 7%T
/ N,
\
i
40
1
X"
A
1
50
1
_ _ K5 _ _
-
1
60rr
Rys. 8.4.
poziomych
— pionowych
numer wę zta
D RG AN IA PRĘ TÓW CIENKOŚ CIENNYCH 477
~ ł - ( 2 n - l ), »— 1 . 2 . 3 , ...
P odstawiając w miejsce £ x zredukowan ą stał ą E = Ex\ {\ —v^ - vx^ ) ja k w (2.5a)
oraz pozostał e dan e liczbowe z naszego przykł adu, otrzym am y wielkoś ci: coj = 144, 3;
„ _ 432, 8; co3 = 721, 3; <x>4 = 1009,8; równe praktyczn ie czę stoś ciom rezo n an so wym
badan ego prę ta. D zieląc n at om iast am plitudy przemieszczeń pu n kt ów n a lin iach wę zł o-
wych, obliczone dla czę stoś ci bliskich rezon an sowych : co( = 146, w2 = 436, a>3 = 723,
<y4 = 1015, przez wartość am plitudy przemieszczenia przekroju skrajn ego, o t rzym am y
wykresy (rys. 8.4) przedstawiają ce gł ówne postacie drgań wł asnych u kł ad u.
P rzykł ad 8.2. P t = 4, P 2 ... P 8 = 0. P oziom a sił a h arm o n iczn a przył oż ona w wę ź le
1 (rys. 8.1) skrajnego przekroju, wywoł uje drgan ia podł uż n e, sprzę ż one ze zgin an iem
ukoś n ym i deformacją przekroju. N a ogół , przy dowoln ie obran ej czę stoś ci wym uszen ia
(rys. 8.5), am plitudy przemieszczeń poszczególnych wę zł ów przekroju są ró ż n e. Jeż eli
jedn ak czę stość sił y wymuszają cej zbliża się do rezon an su (rys. 8.6), am plitudy przem iesz-
czeń wszystkich czterech linii wę zł owych stają się w przybliż en iu jedn akowe, ch oć ruch
podł uż ny dwóch są siadują cych ze sobą wę zł ów odbywa się w przeciwn ych kieru n kach .
I n n e są też czę stoś ci rezon an sowe niż w poprzedn im przykł adzie.
1
0.5
0
0,5
1
'm
/
\
I
I ^ - î J
\
r~~» i
" " H i
^ - ^
— pionowych
—- wzdłuż nych
i i
\ w =100
\ / '
, \ , / ,
i i >
20 30 60 z
Deformacja skrajnego przekroju
a I poprzeczna b)podłuż na
Rys. 8.6.
a| o
Ił
10
p o zi o m y c h
p i o n o w y c h
w z d ł u ż n y ch .
40
Rys. 8.8.
5Cf 6 0 z
de formacja poprzeczna przekrojów
\
— — ——-
i
i
i
1
t«1 0 0
" V
i
1
|
J Is- r" i J i_
10 20 30 50 60 70
Rys. 8.9.
[47S1
80 90 100 z
D RG AN IA PRĘ TÓW CIENKOŚ CIENNYCH 479
P rzykł ad 8.3. U kł ad sił h arm on iczn ych o am p lit u d ach : P 3 ... P6 = 0 , P7 = Pa = 1,
wywoł ał drgan ia gię tne wsporn ika w pł aszczyź nie pion owej, o takich sam ych am p lit u d ac h
przemieszczeń wszystkich czterech wę zł ów przekroju. N a rys. 8.7 p o ka za n o am plit u d y
przemieszczeń linii wę zł owych przy dwóch róż nych czę stoś ciach sił wym uszają cych.
P rzykł ad 8.4. P
1
... P 4 = 0, Ps = 1, P 6 = - 1 , P7 = 2, P 8 = - 2. D wie p ary sił
o takich sam ych am plitudach m om en tów, przył oż one do skrajnego przekroju, wywoł ują
drgan ia skrę tne wsporn ika, poł ą czone z paczeniem oraz deformacją poprzeczn ą ko n t u r u .
Am plitudy przemieszczeń wszystkich czterech wę zł ów przekroju są zawsze jed n a ko we
a wę zły są siadują ce ze sobą poruszają się n a kierun ku wzdł uż n ym w przeciwn e st ro n y.
Rys. 8.8 przedstawia am plitudy przemieszczeń linii wę zł owych p rzy czę stoś ci wym u-
szenia co = 500, znajdują cej się pom ię dzy czwartą , a pią tą czę stoś cią rezon an sową .
P rzykł ad 8.5. D wie pion owe sił y harm on iczn e, przył oż one w wę zł ach 2 i 3 (rys. 8.9)
przekroju skł adają cego się z trzech prostoką tów wywoł ał y drgan ia gię tne wsporn ika,
poł ą czone z deformacją poprzeczną i paczeniem przekro ju ; am plitudy skrajnych wę zł ów
kon t u ru róż nią się od am plitud przemieszczeń wę zł ów wewn ę trzn ych. W st o su n ku d o
poprzedn ich przykł adów zm ien ion o tylko wymiary przekroju poprzeczn ego (a = 10,
b = 15) oraz dł ugość prę ta (L = 100), pozostawiają c takie sam e gruboś ci i stał e m a-
teriał owe.
9. Wnioski
P rzy odpowiedn io dobran ych funkcjach kształ tu m odel ram owo- powł okowy Wł a-
sowa prowadzi d o takich sam ych wyników, ja k powszechn ie zn an e m odele p rę t o we.
W ogólnym jedn ak przypadku przedstawion a m et o d a um oż liwia opis dokł adn iejszy,
uwzglę dnia bowiem rozm aite postacie deformacji poprzeczn ej i paczen ia przekroju .
M an kam en tem teorii Wł asowa jest — jak wiadom o — odbiegają cy od rzeczywistoś ci
rozkł ad n aprę ż eń stycznych w przekroju cienkoś ciennego prę t a. W wypadku zastosowan ia
omawianej teorii do opisu drgań , przyję cie n iepoprawn ego ro zkł ad u n aprę ż eń styczn ych
nie powin n o mieć istotn ego wpł ywu n a obliczenia czę stoś ci rezon an sowych, gdyż w rów-
n an iach ruch u wystę pują tylko wypadkowe tych n aprę ż eń.
Z nalezienie ogóln ego rozwią zan ia równ ań r u c h u (4.6), poprzez wartoś ci i funkcje
wł asne, jest • — ja k dotą d — m oż liwe tylko w n ajprostszych przypadkach [9], [10]. G d y
przekrój prę ta jest bardziej skom plikowan y, rozm ywa się przejrzystość opisu ja ką d awał a
teoria techniczna, a zn aczn a liczba wartoś ci wł asnych i podstawowych form wydł uża
czas liczenia i angaż uje pam ię ć m aszyn y cyfrowej. Z astosowan a w pracy m e t o d a bezpo-
ś rednia, prowadzą ca d o rozwią zan ia szczególnego, um oż liwia jed n a k oszacowan ie czę s-
toś ci rezon an sowych i wskazan ie najbardziej niebezpiecznych miejsc kon strukcji.
P ozorn ie najprostszy problem numerycznego cał kowan ia u kł ad u ró wn ań ró ż n ic zko-
wych zwyczajnych o stał ych współ czyn n ikach okazał się w dan ym p rzyp ad ku n ieł atwy,
ze wzglę du n a bł ę dy m aszyn owych zaokrą gleń. Z awiodł y m et o d y wielokrokowe poł ą -
czone z tworzeniem m acierzy bazowej, a m et o d y róż n icowe wym agał y przy wyż szych
czę stoś ciach zbyt duż ej pamię ci m aszyn y. Z astosowan a m et o d a [11] polegają ca n a ro z-
winię ciu przewidywanych rozwią zań w szereg wielom ian ów C zebyszewa, u m o ż liwia
wyznaczenie pierwszych kilkun astu czę stoś ci rezon an sowych cien koś cien n ego p rę ta
• 480 M . SF E R SK I
o przekroju zł oż onym z co najwyż ej 8- 10 prostoką tów. N adal wię c problemem jest zna-
lezienie dostatecznie szybkiej i dokł adnej metody cał kowania równań.
Jeż eli poszczególne wę zły przekroju są poł ą czone liniami prostymi (prę t cienkoś cienny
o przekroju zł oż onym z wieloką tów), proces obliczania na maszynie cyfrowej współ czyn-
ników równania macierzowego (7.5) oraz warunków granicznych (5.12) moż na zauto-
matyzować. W pracy [5] przedstawiono algorytm, umoż liwiają cy automatyczną generację
równań ruchu cienkoś ciennego prę ta o przekroju zł oż onym ze skoń czonej liczby prosto-
ką tów, po wprowadzeniu danych, zawierają cych wymiary geometryczne i stał e mate-
riał owe poszczególnych elementów konstrukcji.
Moż liwe jest zastosowanie hipotezy Wł asowa do opisu drgań prę tów cienkoś ciennych
o przekroju zmiennym odcinkami, przy czym niektóre odcinki takiej konstrukcji mogą
być prę tami cienkoś ciennymi o profilufotwartym. Równania ruchu tych ostatnich są znane
[1]> [2]t [3], a sprzę ż enie ukł adów równań opisują cych drgania poszczególnych odcinków
umoż liwiają warunki graniczne (5.12).
Literatura
1. J. WIĘ C KOWSKI, Mechanika konstrukcji okrę towych, Wyd. Politechniki G dań skiej 1985.
2. R . E. D . BISH OP , W. G . P RIC E, Hydroeiasticity of Ships, Cambridge U niversity Press, 1979.
3. B. 3 . BJIACOB, H36paHHwe TpyAw, T . I I I , r H * M J I 3 MocKBa 1960.
4. Z . G ÓR E C KI , Zastosowanie pólbeztnomentowej teorii powł ok w obliczeniach statycznych ortotropowych,
liniowo- sprę ż ystych prę tów cienkoś ciennych, pryzmatycznych, o przekroju wieł oobwodowytn, zatnknię -
tym, M echan ika Teoretyczna i Stosowana 3/ 4, 20, 1982.
5. M . SP ERSKI, Zastosowanie hipotezy W ł asowa do opisu drgań prę tów cienkoś ciennych o zamknię tym
profilu, P race Badawcze Instytutu Okrę towego Politechniki G dań skiej 1250/ / MR- 360, 1979 (niepu-
blikowana).
6. H . M AJEWSKI , Zastosowanie zasady Hamiltona do wyprowadzenia równań ruchu belki cienkoś ciennej
z uwzglę dnieniem deformacji konturu, M ateriał y I X Sympozjum: D rgania w U kł adach Fizycznych,
P ozn ań — Biaż ejewko 1980.
7. I . M . G E LF AN D , S. W. F OM I N , Rachunek wariacyjny, P WN , Warszawa 1970.
8. G . OLU REM I- OLAOF E, On the T chebyschev method of solution of ordinary differential equations, J. of
M ath . Anal, an d Appl. 1, 1977.
9. M . SP ERSKI, Drgania wł asne prę tów cienkoś ciennych i wieloobwodowym, zatiiknię tytn przekroju, Prace
Badawcze I n stytutu Okrę towego Politechniki G dań skiej 1374/ MR- 436 1980 (niepublikowana).
10. H . M AJEWSKI , Zastosowanie metody elementów skoń czonych do analizy drgań belek cienkoś ciennych
o przekroju dwuobwodowym z uwzglę dnieniem deformacji konturu, P raca doktorska, Politechnika
G dań ska 1985 (niepubikowana).
11. J. WIĘ C KOWSKI i inni, W droż enie pół bezmomentowej teorii powł ok do obliczeń kadł ubów bezgrodzio-
wych, P race Badawcze Instytutu Okrę towego Politechniki G dań skiej 1148/ 79 (niepublikowana).
Egzemplarze wymienionych prac niepublikowanych są dostę pne w Bibliotece G ł ównej, lub jej filii przy
I ntytucie Okrę towym Politechniki G dań skiej.
P e 3 IO M e
n P H M E H E H H E <J>yHKIJ[Hfi BJIACOBA flJIH OI I M C AH H il KOJIEBAH H fł
T O H K O C T E H H H X C T E P ^ H E fł - O BO J I O ^ EK 3AK P L I T O rO
B p a 6o T e n peflcxaBjieH o o6o6m eH ił e TeopHH BjiacoBaH a cnyMaft flBioKeH H H . H H TerpiipoBaH H e cibo p-
H ijjrJiepeH miajiBH bix yp aBH em d i Ha BbMHCJiHTejiŁHoii M amime., no3BajmeT
KOHCTpyKijHH Ha BtiH yjKfleH H e rapM omrqecKH M H CHJiaMHj a fla>ite HaiłTH KpH TinecKH e
D RG AN IA PRĘ TÓW CIENKOŚ CIENNYCH 481
S u m m a r y
U SE OF SH APE F U N CTION S TO TH E D ESCRIPTION OF VIBRATION O F TH E T H I N - WALLED
BARS WITH CLOSED SECTION
The motion equations of orthotropic elastic bar with multicircuit closed section have been formulated.
The numerical integration of the differential equations of motion enables to determine the structure reponce
cased by the system of harmonic forces excitation as well as the calculation of the resonance frequencies.
Praca wpł ynę ł a do Redakcji dnia 28 maja 1986 roku.
11 Mccii. Teoret. i Stos. 3/ 87