Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\02mts87_t25_zeszyt_3.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  25,  (1987) ROZWIĄ ZYWAN IE  ZADAŃ   DYN AMICZN YCH  W  OBSZARACH N IEOG RAN ICZON YCH .* RYSZARD   GAJEWSKI Politechnika  W arszawska l.Wstę p W  numerycznej  analizie  zagadnień  dynamicznych  (zjawisko  rozchodzenia  się   fal, problemy  geotechniczne)  wprowadzenie  sztucznego  brzegu  powoduje  wystą pienie  nie- naturalnych odbić fal,  zaburzają cych  rozwią zanie.  Z praktycznego punktu widzenia istotna jest wię c umieję tność ich eliminacji  i symulowanie  nieograniczonego  oś rodka.  N ajprostsze, ale  jednocześ nie  chyba  najkosztowniejsze,  rozwią zanie  polega  na  zbudowaniu  modelu obliczeniowego  o odpowiednio  duż ych wymiarach, pozwalają cego  n a  uzyskanie  wyników przed  wystą pieniem  odbić. D la  eliminacji  tego  zjawiska moż na na rozpatrywanym  brzegu odcinają cym  skoń czony obszar  zastosować  odpowiednio dobrany  system  lepkich  tł umików  [6]. W  wielu pracach wykorzystano  rodzinę   absorpcyjnych  warunków  brzegowych,  opracowanych  na  pod- stawie uprzednio rozwinię tej teorii przez Engquista  [2], Znakomitym narzę dziem do analizy tych  zagadnień  może  być  metoda  elementów  brzegowych  [7], w  której  budowa  nieskoń- czonych  elementów  jest  bardzo  naturalna.  Podobnie ja k  dla  metody  elementów  skoń- czonych w  zagadnieniach statyki  [8] moż na zbudować  element  nieskoń czony  eliminują cy odbicia  lub  rozwią zywać  zadanie  poprzez  dokonanie  odwzorowania  obszaru  nieograni- czonego  w  obszar  skoń czony. W  pracy  przedstawiono  trzy  koncepcje  eliminacji  odbić  poprzez  przyję cie  absorpcyj- nych warunków  brzegowych  typu  Sommerfelda, superpozycję   rozwią zań  i  przyję cie  dyna- micznych warunków  brzegowych.  Proponowane algorytmy  przetestowano  n a  niewielkich zadaniach jedno-  i dwuwymiarowych,  wykorzystują c  mikrokomputer ZX Spectrum  + , co umoż liwiło  wizualizację   wyników. *  Praca prezentowana  na  I  Ogólnopolskiej  Konferencji  „ M ikrokom putery  w M echan ice",  Warszawa 1986. 11* 484 R .  G AJEWSKI 2.  Absorpcyjne  warunki  brzegowe Rozpatrzmy  równanie  falowe  (1): u„  = c 2   •   u xx ,  (1) gdzie:  x  e  [—a,  0],  t  e  [0, co).  D la  brzegu  x  =  0  poszukujemy  takiego  warunku,  który dla fali  o ź ródle w punkcie x  =  — a poruszają cej  się  w prawą   stronę  pozwoli na jej  przejś cie przez brzeg x  =  O  bez wywoł ywania  odbić. Rozwią zanie równania (1) dane jest wzorem (2): u  =   A  •  exp[i(a)t- kx)]  + B •  exp[i(mt+kx)],  (2) gdzie:  co —  czę stość  koł owa, k  —  numer wektora  falowego  (co  =   kc), A  —  amplituda ź ródł a, B —  amplituda fali  odbitej. D okonują c formalnego rozkł adu operatora  (1)  otrzy- mamy  (3): 8 OT d P. CX dt   C   8x U  oa  0 . Przyjmują c  dla  x  = 0  warunek  brzegowy  (4) zgodny  z (3): u t +c- u x ] xm0   =   0, (3) (4) ł atwo  stwierdzić, że podstawiają c  rozwią zanie  (2) do  (4) otrzymamy 5  =  0,  co odpowiada eliminacji  odbić.  Wzór  (4)  zgodny jest  z  warunkiem  wykorzystywanym  przez Engquista, (dla  fali  poruszają cej  się   w lewą   stronę  we wzorze  (4) wystą pi  znak —). Proponowany  warunek  brzegowy  może być wykorzystany  nie tylko  w metodzie  róż nic skoń czonych  [2], ale  także  w  metodzie  elementów  skoń czonych  [1] lub  metodzie czaso- przestrzennych elementów  skoń czonych  [4]. Wią że  się  to jednak  z  koniecznoś cią   budowy elementów, dla których na rozpatrywanym brzegu mogą  być wyraż one pochodne funkcji  u. 2a n 2 h - L (5 ) Rys.  1.  Element  czasoprzestrzenny  typu  H ermite'a Rozpatrzmy  prostoką tny element czasoprzestrzenny  (rys.  1)  o parametrach wę zł owych (5)<\ i  =   {ui,  ulx,  utt},  i  =  1, 2,  3,  4 . Macierz  N   funkcji  kształ tu  przyjmujemy  w  postaci  wielomianów  H ermite'a: u(x,t)  =   N ( X,  o - q«, H(x,t)  =  [ N ^ K U . N a . N J . P o przejś ciu n a zmienne bezwymiarowe i,  x moż emy N i zapisać  w postaci  (7): (6) (7) ROZWIĄ ZYWAN IE  ZADAŃ   DYNAMICZNYCH 485 (8) gdzie: e ( C o O - 0 . 2 5 ( 2+   3 f o - C 8 ), «J ( COO  -   -  0 . 2 3 C. C1 +to -   CS—£8 ), Co =  CCt,  i  = 1 , 2 , 3 , 4 ,  C - f, P rzyjmują c: wyznaczamy  macierz  U ;  =   Ć W;.  M acierz  sztywnoś ci  elem en tu czasoprzestrzen n ego  wyzn a- czamy  ze  wzoru  (10): i  i Ky  =   /   J  Bf- E- Bj- ah- dCdr,  fj  -   1,2,  3,4, £  = 1 a 1 /i d dx (9) - i  - i K  - gdzie: - QA (10) (11) W  otrzym an ej  t a k  m acierzy  K e  podm acierze  Bc  i  C e  są  niesymetryczne,  co w poł ą czen iu z  trzykrotn ym  wzrostem  liczby  niewiadom ych  w  po ró wn an iu  d o  zadan ia  rozwią zywa- nego  tylko  w  wielkoś ciach  przemieszczeń  zn aczn ie  obn iża  przydatn ość  p ro p o n o wa- nego  algorytm u. Speł nienie  warun ku  (4)  sprowadza  się  d o kondensacji  w  m acierzy  sztywnoś ci  elem en tu czasoprzestrzennego  stopn i  swobody  zwią zanych  z  wielkoś ciami  u x   i  u t   n a  brzegu  odci- nają cym  skoń czony  obszar. Z e  wzglę du  n a  n iską  efektywność  algorytm u  wykorzystują cego  czworoką tne  elem en ty typu  H erm ite'a  poszukiwan o  dla  elementów  czworoką tn ych  z  aproksym acją  L a gr a n ge'a pola  przemieszczeń  u  (rys.  2) takich  modyfikacji  funkcji  kształ tu, aby  n a brzegu  f  =>  con st T" 2 h - l i - 2 a Rys.  2.  Element  czasoprzestrzenny  typu  Lagrange'a speł niony  był   warun ek  (4).  M odyfikacji  poszukiwan o  w klasie  wielom ian ów.  P o st u lo wan o speł nienie warun ku  (4) n a cał ym brzegu,  w  wę zł ach lub  cał kowo  (12): u(a,  t) t   +  c-   u(a,  t) x   —  0, -   u lt   + c- u lx   =  0,  i  =   2 , 4 ,  (12) 486 R.  G AJEWSKI ) t   + c- u(a,t) x ]dt  = - h Analizę   przeprowadzono  wykorzystują c  mikrokomputer  ZX  Spectrum  + .  Uzyskane w  ten  sposób  modyfikacje  funkcji  kształ tu  prowadził y  do  schematów  niestabilnych  lub o  znacznie  obniż onej  granicy  stabilnoś ci.  W  badaniu  stabilnoś ci  wykorzystano  warunek (13)  [5]: B +  C - A - D  > 0 .   (13) Celowe  wię c  wydaje  się   rozszerzenie  klas  funkcji  modyfikują cych  na  funkcje  wymierne, logarytmiczne  lub  ekspotencjalne. 3.  Metoda  superpozycji  rozwią zań Rozpatrzmy  ponownie równanie  (1) i jego  rozwią zanie  (2).  Przyję cie  na  rozpatrywa- nym  brzegu  warunku  (14): daje  B  =   — A,  zaś  przyję cie  warunku  (15): u|x.o  =   0. E  =  2 000 000  kG/ c m 2 A  -   100  c m 2 g  =  0.0072  k g / c m 8 C  -   E / o  =   16  666  cm/ s a  =   50 cm h o =  q / c  s 0,003 s Rys.  3.  Zagadnienie jednowymiarowe —  drgania  podł uż ne  prę ta (14) (15) n=1/ 6  s=2  20 kroków  t n=i/ 6  s=2  2Okrok(5w  t (3 =  1/ 6  ?= 2  20 kroków  t Rys.  4,  D rgania  podiuż ne  prę ta — superpozycja  rozwią zań ROZWIĄ ZYWAN IE  ZADAŃ   DYN AMICZN YCH 487 daje  B — A.  Jak  ł atwo wię c  zauważ yć  superpozycja  tych  rozwią zań  cał kowicie  eliminuje zjawisko  odbicia fal. Podobne  rozumowanie  moż na  przeprowadzić  także  dla zadania  dwuwymiarowego {tarcza,  membrana).  Zwię kszeniu  ulega  wtedy  liczba  superponowanych  rozwią zań  — na- leży  uwzglę dnić  wszystkie  moż liwe  kombinacje  warunków  brzegowych  w naroż ach. Algorytm  przetestowano  na prostym  zadaniu  jednowymiarowym  — drgań  podł uż- nych  prę ta.  (rys. 3). Wyniki  obliczeń przedstawiono na rys.  4. Istotną  wadą   proponowanej metody  jest  wzrost  czasu  obliczeń  i  zapotrzebowania  na pamię ć,  gdy  superponowane zadania  rozwią zywane  są   równolegle. 4.  Dynamiczne  warunki  brzegowe D o  analizy  dynamicznej  nieograniczonego  obszaru  Q wykorzystano  / 9- algorytm  me- tody elementów czasoprzestrzennych  [3].  Macierze A,  B, C,  D  mają   budowę   (16): A =   D  =   / J ( 1 - 2 ^ ) - S ~ 1 / 2 A - M, B -   C- 2h  M e P EU I EH H E  flH H AM H t- IECKH X  3KJL J>J±   B  H E O r P AH H ^ E H H L I X OE JI AC TflX B  nyMepH^ecKOM   p e m e in r a  flimaM H iecKH X  sapim  B  H eorpaH iraeH H bix  oG jiacrax  H OH BJI H I OTC H   OTpa- eHŁ  Ba>KHbiM  HBjiHeTCH  HCKJiiOTeHHe  3THX OTpameH iiii  H  CHMyjiHL(iiH  H eo rp araraeH H o ro  n p o c - a .  B  pa6oTe  n pen cTaBJien o  HecKOJiu- co  H O BH X  M CTOAOB  p eu ieH n a  DToii  3 a n a m i .  O ^ i m H 3  m ix. cyn epn oH H pyei  pem em ifl  3aflaii  flapi- D cneia  u  HewiwaHa.  Bseflescbi  Tome flH H aM H iecKH e H   a 6c o p 6u iio H - H bie  rpaH OTH bie yc n o Biw,  KOTopwe  M o r a a  ynoTpe6jiaTb  B iwexofle  KOH ewibix  BpeineH H o H brx 490  R.  GAJEWSKI S u m m a r y SOLU TI ON   O F   D YN AM I C AL  PROBLEM S  I N   U N BOU N D ED   R EG I ON S I n  numerical solutions  of  dynamical  problems  in unbounded regions  the presence of typical  boundaries introduces reflections.  It is very  important to be able to eliminate these reflections  and to simulate an  infinite region.  Some new techniques are presented  in the paper. One of  them solves the problem by adding together the  solutions  of  D irichlet  an d  N eumann problems.  D ynamical  and absorbing  boundary  conditions, which can  be  used  in  space- time  finite  elements,  are  also introduced. Praca  wpł ynę ł a  do  Redakcji  dnia  9  kwietnia  1986  roku.