Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\03mts87_t25_zeszyt_4.pdf M ECH AN I KA TEORETYCZNA I  S TOS OWANA 4,  25,  (1987) WYKORZYSTANIE  ANALIZY  M ODALNEJ  D O BADANIA  UKŁADÓW DYNAM ICZNYCH  O WIELU  S TOPNIACH  S WOBODY WŁAD YSŁAW  LI SEWSKI P AWE Ł  G U T O WSK I Politechnika  Szczeciń ska 1.  Wprowadzenie M et o d a  analizy  m odaln ej  um oż liwia  pozn an ie  wł asnoś ci  dyn am iczn ych  bad an ego ukł adu  w  oparciu  o wartoś ci  wł asne i wektory  wł asne. Trudn oś ci zwią zane  z an alityczn ym rozwią zaniem  tego  zadan ia  dla  liniowych  ukł adów tł um ion ych o wielu  st o pn iach  swobody został y  po ko n an e  dzię ki  moż liwoś ci  opisu  dyn am iki  takich  u kł adów  we współ rzę dn ych stan u  [1, 2]. U zyskan o w ten  sposób  moż liwość  rozkł adu wł asnych  drgań  u kł a d u  n a  sum ę gł ównych  postaci  drgań .  M atem atyczn a postać  tej  sumy  m a  bardzo  praktyczn e  zn aczen ie w  badan iach  doś wiadczaln ych  [3, 4,  5],  C harakterystyki  czę stotliwoś ciowe  wyzn aczon e eksperym entalnie  m o ż na  aproksym ować  zależ noś cią   o postaci  analogicznej  d o  w/ w  sum y uzyskują c  dużą   dokł adn ość  opisu  wyników  pom iarów.  Celem  takiej  aproksym acji  jest zmniejszenie  w m aszynie  cyfrowej  obszaru  pam ię ci  potrzebn ej  do  zapam ię tan ia  wyzn aczo- n ych  charakterystyk,  oraz  estymacja  param etrów  m odaln ych .  P rzykł adowo  ch araktery- styka  czę stotliwoś ciowa  wyzn aczon a  w  zakresie  0- 4- 500  H z z  rozdzielczoś cią   0,25 H z i  przedstawion a  w postaci  tablicy  zawiera  6000  liczb.  D o  opisu  tej  samej  ch arakterystyki p o  aproksym acji  wystarczy  zapam ię tać 4n+2  liczby;  gdzie  n —  liczba  rezon an sów. W  pracy  p o kazan o  jeden  z  moż liwych  sposobów  aproksym owan ia  doś wiadczaln ie wyznaczonych  ch arakterystyk  czę stotliwoś ciowych,  o raz  estymacji  param et ró w  m o d al- nych  badan ych  obiektów.  P rzedstawion ą   m etodę   zilustrowan o  przykł adem  wykon an ym w  ram ach jej  testowan ia. 2.  Teoretyczne podstawy  metody  rozkładu  charakterystyk  na  skł adowe R ówn an ie  ruch u  dla  u kł ad u  o n  stopn iach  swobody  m a  p o st ać : M ij +  Hq+ Kq  =   Po,   (1) gdzie: M — macierz  bezwł adnoś ci  (n x ri), H —m a c i e r z  tł umienia  ( nxn), 584  W.  LtsnwsKi,  P.  G U TOWSKI K  —  macierz  sztywnoś ci  (n x n), q  —  macierz  współ rzę dnych  uogólnionych  (« x 1), P o  —  macierz  sił   uogólnionych  (n x 1). M,  H , K —  to  symetryczne  macierze  rzeczywiste,  dodatnio  okreś lone.  Przyjmuje  się ponadto,  że w  ukł adzie wystę puje  mał e tł umienie o charakterze wiskotycznym,  przy czym nie jest t o tł umienie proporcjonalne (nie jest speł niony warunek:  HM~ 1K  =   KM~XH [3]). M noż ąc  równanie  (1)  lewostronnie  przez  M "1  otrzymuje  się: Iq +  Rq +  Sq  =   P .  (la) Poszukiwany  wzór  aproksymacyjny  jest formą  przedstawienia  funkcji  przejś cia  obiektu dynamicznego za  pomocą postaci  drgań  gł ównych. Wobec powyż szego należy w pierwszej kolejnoś ci  rozwią zać  zadanie  wartoś ci  i  wektorów  wł asnych. W  omawianym  tu  zadaniu zarówno  wartoś ci  jak  i  wektory  wł asne  są  liczbami  zespolonymi.  D o  ich  wyznaczenia wygodniej  jest  przetransformować  równanie  ruchu  do  współ rzę dnych  stanu,  a  nastę pnie w  koń cowej  fazie  wyprowadzeń  powrócić  do  postaci  obecnej. Równania  ruchu we  współ rzę dnych  stanu  otrzymuje się  przez  doł ą czenie do równania (1)  toż samoś ci  [2,3]: Mq- Mq  =  0. Otrzymuje  się  wówczas  nastę pują cą  postać  równania: Ay+ By  -   F,  (3) TO  M l  [- M   0] £ dz i e :  A = [ M  H J-   B = U  O  KJ' ; % Zapisując  równania ruchu we współ rzę dnych stanu otrzymuje  się równanie róż niczkowe pierwszego  rzę du  przy  czym  wymiar  macierzy wchodzą cych  w skł ad tego równania roś nie dwukrotnie. Przy  zerowym  wymuszeniu  i  przewidywanym  rozwią zaniu  w  postaci: y  =  v •   e" z  równania  (3)  otrzymuje  się  ukł ad  2n jednorodnych  równań  algebraicznych: ( B- A( A) v(  =  0.  (4) Równanie  (4)  ma  rozwią zanie  nietrywialne,  gdy  jego  wyznacznik  charakterystyczny  jest równy  zero: d e t ( B- lA)  =  0.  (5) Z  równania  (5)  otrzymuje  się  wartoś ci  wł asne  A(  dla  i  =   1 +  2w. Wszystkie  Af  są  liczbami zespolonymi  o niezerowych  czę ś ciach rzeczywistych  i urojonych, oraz są parami sprzę ż one: h  =  / «i+ > ,  oraz  A, -   fi t - jv„ WYK O R Z YST AN I E  AN ALI Z Y  M O D AL N E J . . .  585 gdzie:  / xt  —  współ czynnik  tł um ien ia  / - tej  postaci  drgań , Vi  —  i- ta  czę stotliwość  drgań  wł asnych  tł um ion ych . Z  wartoś ci  wł asnych  m o ż na  zbudować  macierz  spektraln ą : A  =   diag{Al5  V, . . . ,  X2n}  = =   diag{Al5  X2,...,K,\ ,  J2,  . . . , !„ }.  (6) Każ dej  parze  wartoś ci  wł asnych  przyporzą dkowana  jest  p ara  zespolon ych  sprzę ż on ych wektorów  wł asnych  (otrzym an ych  w  wyniku  rozwią zan ia  ukł adu  ró wn ań  (4)) oraz  y t   =  s i - jp i . Wektory  te m oż na  zestawić  w  m acierz  modalną   wektorów  prawost ron n ych : V =   [ vl 5  v 2 ,  . . . ,  v 2 j  =   K ,  v2 ,  . . . ,  v„ ,  Vi,  v2 ,  . . . ,  v„ ].  (7) P odobn ie  m oż na  wyznaczyć  m acierz m odaln ą   wektorów  lewostron n ych. P o  wykon an iu  okreś lon ych  przekształ ceń  [1]  równ an ie  (3)  m o ż na  d o pro wad zić do postaci:  : I  y+ Ay  =   F l f  (8) W  ten  sposób  wyjś ciowy  ukł ad  n  zależ nych  równ ań  róż n iczkowych  ruch u  drugiego  rzę du we  współ rzę dnych q został  przetran sform owan y  n a  2n niezależ nych  równ ań  róż n iczkowych pierwszego  rzę du  we  współ rzę dnych y. Rozwią zanie  ogólne  równ an ia  (8)  m oż na  zapisać  w p o st a c i: gdzie  C  jest  wektorem  stał ych  cał kowan ia: Ci  =   di +jb t   oraz  C t  =   a t   - jb t . Wzór  transformacyjny  umoż liwiają cy  przejś cie  o d  u kł ad u  we  współ rzę dn ych  y  d o  współ - rzę dnych  q m a  nastę pują cą   p o st ać :  .  ., q  -   V„y,  (10) gdzie:  Yn  —  dolny  blok  m acierzy  m odaln ej V; „ U wzglę dniając  (9) i  (10)  M a  współ rzę dna  wektora  q jest  okreś lona  wzorem : li  •  Z  •   e < - "- > ' > ' ].  (11) P o  wykon an iu  prostych  przekształ ceń  otrzymuje  się :  "  : . . ' . .  . , r ~jU t „ r )^ - '"- ^ ],  (lla) . T t , r  =  s t , r , n   •   a r - p,, r , n   •  b r , U t , r   =   s t , r , u -   b T +p UT in -   a T .  •   . < 5  Mech. Teoret. i  Stos.  4/ 87 586  W.  LISEWSKI, P .  G U TOWSKI Stosując  transformację  Laplace'a równanie powyż sze przyjmuje  postać: .  T ,, r - jU ur + a  po  sprowadzeniu  do wspólnego  mianownika i podstawieniu s  = jco: gdzie:  ft,   r  =   -   2  ̂ •   Tt. r  +  2vr •   CTfł„ W  praktyce  na  ogół   wyznacza  się  funkcję  przejś cia  W,  jako  stosunek  sygnał u  wyjś- ciowego  q t (ja>)  do  sił y  wymuszają cej  P(ja>).  Zależ ność (13) przyjmuje  wówczas postać: Charakterystyka  doś wiadczalna  jest  wyznaczana  w  okreś lonym  przedziale  czę stotli- woś ci  [eo^;  »B ] .  Obecność  charakterystyki  poza  tym  obszarem  uwzglę dnić  moż na przez wprowadzenie  do  wzoru  (14)  dwóch  czł onów: j  czł on  inercyjny,  uwzglę dniają cy  wpł yw  postaci  drgań  z  przedział u  (0, co A ), gdzie  m t   jest masą  residualną  niż szych  postaci drgań. — czł on  uwzglę dniają cy  postacie  drgań  w  przedziale  ( «J B , co)  zwany  residualną podatnoś cią. Wzór  (14)  przyjmuje  więc  formę: j y  + 1 3.  Aproksymacja  doś wiadczalnie  wyznaczonych  charakterystyk  czę stotliwoś ciowych Poszczególne  punkty  charakterystyki  czę stotliwoś ciowej  wyznaczanej  doś wiadczalnie mogą  być  obarczone  bł ę dami  przypadkowymi.  D o  aproksymacji  tych  charakterystyk wykorzystano  metodę  najmniejszych  kwadratów. W  metodzie  tej  minimalizuje  się  nastę pują ce  wyraż enie: N e  =   £  (W tm -   W ml ){W tm -   W tmi ),  (16) gdzie:  W , D i —  doś wiadczalnie  wyznaczona  podatność dynamiczna w punkcie  t  badanego ukł adu  przy  i- tej  czę stotliwoś ci, WYKOR Z YSTAN I E  AN AL I Z Y  M O D AL N E J . . .  587 W tmi —  podatność  dynamiczna  w  punkcie  t  badanego  ukł adu  opisan a  równ an iem (15)  przy  j- tej  czę stotliwoś ci. Sumowanie w  powyż szym  wzorze  odbywa  się   po  wszystkich  czę stotliwoś ciach  z  aproksy- mowanego  przedział u. Ponieważ zadanie minimalizacji  prowadzi  do  równań  nieliniowych, rozwią zanie  jego  może  być  wykonane  metodą   iteracyjną . U kł ad  równań,  który  należy  rozwią zać  w  każ dej  iteracji  ma  nastę pują cą   postać  [7]: L- «5fc+ V  =   0,  (17) gdzie: L tJ  =   lĘ dĘ   =  {W m ~   W xo) ~dkS; + ~dkf'  ~~dkf + d ki   —  poprawki  wyznaczanych  parametrów  równania  (15), - W tD )^  (19) ki,  kj  —  poszukiwane  param etry  równania  (15),  i,j  —  1, 2, ..., 4 «+ 2 . U waga:  W  powyż szych  wzorach  celem  uproszczenia  zapisów  opuszczono  zn ak  sumowa- nia  po  czę stotliwoś ciach. Jeś li  proces  iteracyjny  jest  zbież ny  do rozwią zania  tak,  że  elementy macierzy kolum n o- wej  d k   stają   się   zerami,  wówczas  elementy  macierzy  V  są   też  zerami.  Elem enty macierzy L  nie  mają   wię c  istotnego  wpł ywu  n a  przebieg  iteracji  i  sposób  ich  wyznaczania  m oż na nieco  uproś cić  przez  pominię cie  wyraż eń  z  pochodnymi  drugiego  rzę du.  R ówn an ie  (18) przyjmuje  w  tej  sytuacji  postać: dW tmi  "  •   •   •   r  _ u  5Aj-   d/fc,  '  3kj  dk, Cał y  proces  iteracyjny  przebiega  wg  schematu  blokowego  przedstawionego  n a  rys.  1. Zakoń czenie  obliczeń  może  nastą pić  po  osią gnię ciu  zadowalają cej  dokł adn oś ci  opisu charakterystyki  (przyję tej  odległ oś ci  mię dzy  charakterystyką   doś wiadczalną   a  jej  postacią aproksymują cą)  lub  po  wykonaniu  zadanej  iloś ci  iteracji. ,  i  •.  '  t kt m o i  o  wbt- Uu  ufobcrfii  wfrsił fnBiiKi  i  I  '  tojfcł W  tWfwriofS  .?  . e t ^ l 3.1. Wyznaczanie  estymat począ tkowych  parametrów  dla  poszczególnych  postaci  drgań.  I t e r a c yjn y sposób  wyznaczania  param etrów  równania  opisują cego  charakterystykę   wymaga  podan ia estymat  począ tkowych.  Róż nice mię dzy tymi estymatami  a wartoś ciami  dokł adn ym i mogą mieć  wpł yw  n a  zbież ność  procesu  iteracyjnego. Wystę pują ce  we  wzorze  (15)  czł ony  uwzglę dniają ce  wpł yw  postaci  z  przedział ów {0,- co A ) i  (co B , oo) nie zawsze muszą  pojawić  się  podczas aproksymacji.  Zależy t o  od kształ tu charakterystyki  w  tych  przedział ach. Przyję to  wię c,  że  wstę pne  estyinaty  param etrów  m t , x 0   i  y 0   są   równe  zero. Estymaty param etrów R r   i  S r   wyznaczyć m oż na z charakterystyki  amplitudowo- fazowo- czę stotliwoś ciowej  (A—q)—f)v/   oparciu  o  jej  pun kty  przyrezonansowe.  Kon strukcja geometryczna umoż liwiają ca  wyznaczenie  tych estymat  dla każ dego  z rezonansów  powstaje 5* 588 W .  LlSEWSKl,  P .  G U TOWSKI Wyznaczenie  estymat  począ tkowych parametrów: r t r Gtr R r wg  procedury  podanej  w p.3 Obliczenie  elementów macierzy [V]  ' [ U wg  równań  (19) i (20) Rozwią zanie  r- nia (17) t j  wyznaczenie macierzy [ On  J  o skfadowych ^o . Sy o . J m ,  ,  o"Ftr,  5 S t r ,  5 Rr , J S r Spra wdzeni e  czy o'ki  <   < 5k i r n i n Utworzenie  nowych (lepszych) przybliż eń parametrów * o , y0  ,   m t  ,  Ftr . &tr  i  s r  >   R r  * j ' kj  =   k|- t  Ski  i»  1. . . , ynł  2 t ak Wydruk  parametrów F t r ;  G t r ' S D R r  o r a z m t i  x o , y0 ukradu  o formach rozprę ż onych STo\ R ys.  1.  Schemat  blokowy  obliczeń  param etrów  modelu  ukł adu  o  formach  rozprzę ż onych. dzię ki  moż liwoś ci  aproksymowania  okrę giem  charakterystyki  A~(p—fvt  pobliżu  rezo- nansu  [6] —  rys.  2.  Przy  potraktowaniu  każ dego  z  rezonansów jako  odpowiedzi ukł adu o  jednym  stopniu  swobody  sł uszne są   zależ noś ci  [7]: S r   =  col,  (21) R r   =   2Aco- tg&.  (22) gdzie:  co 0 —czę stotliwoś ć  rezonansowa, Aco  =  \ co 0  — a>i\ ; Aw  <^ co o , cot —  czę stotliwość  w  punkcie charakterystyki  wybranym  do obliczeń, 0  — ką t  okreś lają cy  poł oż enie n a  charakterystyce  punktu o  czę stotliwoś ci  co,-  — rys.  2. W Y K O R Z Y S T A N I E  A N A L I Z Y  M O D A L N E I . • S8P RP Rys.  2.  Konstrukcja  geometryczna  umoż liwiają ca  wyznaczenie  ką ta  0  do  esfymat  począ tkowych  R r . Sposób  wyznaczania  ką ta  0  dla  wybranego  p u n kt u  o) t   oraz  poł oż enia  ś ro d ka  okrę gu  0 wynika  z  rysun ku  2.  W  celu  un ikn ię cia  bł ę dów  grubych  przy  wyznaczaniu  estym at  p ara- m etrów  JR „  obliczenia  należy  wykon ać  dla  wielu  pun któw  ch arakterystyki  z  otoczen ia poszczególnych  rezon an sów,  a  n astę pn ie  uś redn ić  je. P un ktem  wyjś cia  d o  wyznaczenia  estymat  począ tkowych  param et ró w  F tr   i  G tr jest  równ an ie  (15). Przyjmuje  się   wtedy,  że  param etry  S r   i  R r   są  ju ż  zn an e. W  t ej  sytuacji zadanie  minimalizacji  wyraż en ia  (16)  w  m etodzie  najmniejszych  kwadratów  prowadzi  do ukł adu liniowych  równ ań ze wzglę du n a F tr   i  G tr .  Jeś li  w  aproksyruowanej  ch arakterystyce wystę puje  n rezon an sów,  w/ w  ukł ad  równ ań  jest  rzę du  2n,  przy  czym  o st at n ie z  n ich to równ an ie  (11). P ostać tego  ukł adu równ ań  w  zapisie  m acierzowym  jest  n ast ę pu ją ca: PY1   YJ1  [ F l  [K1 [ Y2   Y 4 J | _G J  [K2 gdzie: (23) Yl u   = (SJ- CD 2 ) 2 +O> 2 RJ (24) Y2-   •   —  - [(St- co^ +aPRAKSj- co^ +aPRj] Y2 nJ   =   0 , Sj - co 2 ) 2   + co 2 Rj  (S„- cn 2 ) 2 Y4 U   =   Y4A,j  -   Y4B t   dla  t J  #   n, Y 4 ( > „  =   0 ,  d l a  iź n, iĄ>nt  (25) (26) l—,  (27) (28) (29) 590  W,  LISEWSKI,  P.  G U TOWSKI r4„,,«i,  , :.  (30) [ (Sf- o)2) 2+ct) 2i?j2]  [ ( S . - w4 ) 2 + o ) 2 ^„ 2 ] ' (31) (33) X^ Rt  + ywiSjco 2 )  xa> 2 R„+yco(S n - a)) (S t ~a> 2 ) 2 +a> 2 R?  {S„- a> 2 ) 2 +a> 2 R 2 jw),  (35) F, G  —  m acierze  kolum n owe  ^- wymiarowe  zawierają ce  szukan e  param etry  F tr   i  G iT . R ozwią zan ie  ró wn an ia  (23) ze wzglę du  n a  F  i  G  koń czy  etap prac zwią zanych  z  wyzna- czan iem  estym at  począ tkowych.  M oż liwe  jest  wię c  kon tyn uowan ie  procesu  aproksymacji ch arakterystyk  zgodn ie  ze  schem atem przedstawionym  n a  rys.  1. 4.  Identyfikacja  parametrów  modelu W  celu  wyzn aczen ia  m acierzy tł um ien ia  R i sztywnoś ci  S u kł ad u  o n stopn iach  swobody (wzór  3)  n ależy  d o ko n ać  analizy  n  charakterystyk  A—f—f.  D an ym i wyjś ciowymi  d o  roz- wią zan ia  t ego  zadan ia  są   param etry  powyż szych  n  charakterystyk  aproksym ują cych.  D la pojedynczej  ch arakterystyki  zawierają cej  n  rezon an sów  zbiór  tych  param etrów  obejmuje n  wartoś ci  F tr ,  G tr ,  R r   i  S r .  J ak ju ż  wcześ niej  zauważ ono  param etry  R r   i  S r   z  poszczegó- ln ych  wykresów  powin n y  być  sobie  równ e,  gdyż  są   on e  funkcją   struktury  u kł adu ,  a  nie p u n kt u  wym uszen ia  czy  też  p u n kt u  pom iaru  sygnał u wyjś ciowego.  P owin n a  wię c  obowią - zywać  n astę pują ca  równ oś ć: i?i, i  =   ...  =   J ? l j (  =   ...  =   Rlt„ R rA   =   ...  - i , , , -   ...  =R r , n   (36) R n , l  ~  • • •  =   Rn,i—  • • •  =   Rn.n oraz: Sr.i  —  • • •  =  S rii   —  ...  =   S r ,„  (37) S„,i  =   ...  =   S„_ t   =  ...  =  S„,„ gdzie:  r —  n u m er  rezon an su,  i  —  n um er  charakterystyki. W  praktyce  m ogą   wystą pić  niewielkie  ich rozrzuty,  stą d  do  dalszych  rozważ ań  przyję to ś redn ie  arytm etyczn e  powyż szych  param et ró w  p o  wskaź niku  „ z".  W  dalszej  czę ś ci  pracy WYKOR Z YSTAN I E  AN ALI Z Y  M O D AŁ N E J . . .  591 tak  uś rednione parametry  oznaczano odpowiednio R r   i  S„   a  wię c  tylko  z  indeksem mó- wią cym  o  numerze rezonansu. Równanie  (14)  niniejszej  pracy  dotyczy  pojedynczej  charakterystyki  wyznaczonej w  punkcie  t  badanego  ukł adu.  Postać  równania  macierzowego  zawierają cego  wszystkie n  charakterystyki  jest  nastę pują ca: W  =  D  N ,  (38) gdzie:  W  — kolumnowa macierz zawierają ca  n odpowiedzi  badanego  ukł adu; D   — kwadratowa  macierz  elementów  typu  F, t t  +jcoG r>  <; N   —kolumnowa  macierz  elementów  typu  (- G j2+ i/ a)J?r+ 5',)~ 1. Analogicznie,  macierzowy  zapis  charakterystyk  wyraż onych  wzorem  (8)  przedstawić moż na  zależ noś cią: W  =  o c q ,  (39) gdzie:  a  — kwadratowa  macierz  współ czynników  kierunkowych. Macierz  współ czynników  kierunkowych  okreś la  się   przez  zależ noś ci  geometryczne wią ż ą ce  przemieszczenia  w  danym  punkcie  w  funkcji  współ rzę dnych  uogólnionych  q. Opis  wyznaczania  współ czynników  a f i  przedstawiony jest  w  pracy  [7]. Porównują c  zależ noś ci  (38) i  (39) oraz podstawiają c  za  q  zwią zek  (3) otrzymuje  się : ui- coH+jcoR+S)- 1  •   P =   D  •   N  .  (40) Po  przekształ ceniu równanie  to  ma postać: ( - c o2 l+7c o R+S) a- 1 DN  =  P.  <41) Równanie (41) jest sł uszne dla wszystkich czę stotliwoś ci, a wię c także dla „ )] ,  (54) B" =  [ < ot  •   BK)> c o 2B(o) 2),  ... o)„ B(ą ,)],  (55) Zł  =  [ 2 K ) ,  Z K ) >  • ••   Z K ) ] ,  (56) ZK)=a)flAK),  (57} vi =  t VK) , VK) , . . . VK) ] ,   .   (58) V K )  =  a>?IB(a>,),  (59) A((oi), B(a)j), C(coj) — macierze  kolumnowe wyznaczone  odpowiednio z równań  (46- ^48) dla  /- tej wartoś ci  z wybranego  zbioru  czę stotliwoś ci. •   Rozwią zanie  tych  równań  wyraż ają   nastę pują ce  równoś ci: S = (Z1 •   B"- * +  V1  •   A" - 1 ) [ ( A' - C' ) B " -1 + B' A" - 1] - 1,  (60) oraz R = VI •  A " - 1 -  ̂ •  B ^VI •  A ^X ^' - C O B  ̂ + B'-  A"- 1 ) - 1 '̂ '̂ - 1 .   (61) U zyskano w ten sposób  wzory  pozwalają ce  wyznaczyć  szukane  macierze współ czynników sztywnoś ci  i  tł umienia  ukł adu o n stopniach  swobody. 5.  Przykład  obliczeniowy W  oparciu o przedstawioną   w rozdział ach 2- 4̂ teorię   opracowano programy  oblicze- niowe  n a maszynę   cyfrową   H P 2100A  umoż liwiają ce  aproksymację   doś wiadczalnie wy- znaczonych  charakterystyk  czę stotliwoś ciowych,  oraz  estymację   parametrów modalnych ukł adów  o wielu  stopniach  swobody.  Schemat  blokowy  systemu  organizują cego  współ - pracę   tych  programów  przedstawiono  na rys.  3. W  celu  przetestowania zarówno metody jak i programów wykonano  obliczenia  spraw- dzają ce  dla róż nych ukł adów. We  wszystkich  testach  uzyskano  dużą   dokł adność  aproksymacji  charakterystyk. Jedynie  wówczas,  gdy  wś ród  innych  rezonansów  znajduje  się  taki,  który  jest  znacznie mniejszy  od pozostał ych (rys.  4), program może ów rezonans pominą ć. Powyż szy  rysunek ilustruje  także  jakość  aproksymacji  charakterystyk  w przedział ach  czę stotliwoś ci  gdzie rezonanse śą  wyraź ne.  Zamieszczono też na nim wyliczone  wartoś ci  parametrów charak- terystyki  aproksymują cej. WYK O R Z YST AN I E  AN ALI Z Y  M O D AL N E J . . . 593 BADANIA  DOŚ WIADCZALNE AN ALIZA  M ODALNA 'ESTYMATY  POCZĄ TKOWE  |  PROGRAM  GTP1 Im  Re G t r PARAMETRY  MODALNE  |   PROGRAM  GTP2 + j y o f r  - 0 )2 * j c o Rr * Sr t 1 2 n ŁO01 F G S R W  or F 6 S R yo m t IDENTYFIKACJA WSPÓŁCZYNNIKI  SZTYWNOŚ CI  PROGRAM  GTP3 I  TŁUMIENIA S= (Z1 . B" V̂1 - A"'1)[ (A- C') B •   B'- A1] "1 R ys.  3.  Schemat  organizacyjny  prezentowanej  m etody  badawczej. W  ramach  prezentowanej  pracy  cały proces  obejmują cy  aproksymację   oraz  estymację parametrów  modalnych  zilustrowano  przykł adem  obliczeniowym  ukł adu  modelowego o  dwóch  stopniach  swobody  (rys.  5). Ten  prosty  przykł ad  w  peł ni  pokazuje  poprawność metody  oraz programów  obliczeniowych,  a przy  tym umoż liwia  ł atwą   interpretację   otrzy- manych  wyników. Parametry  tego  ukł adu przyję to  nastę pują co: m,  =   1,0  kg;  / h  -   8,0  N s/ m;  k ±   =   l, 0E + 05  N / m ; m 2   =   0,2  kg;  h 2   =  2,0  N s/ m;  k 2   =   1.3E+ 04  N / m . 28 I" 'o a.  16 h Is —- • •—c harakt eryst yka  modelowci — j  c har akt er yst yka  uzyskana  w  w y n i k u aproksymacji 7 5 31,5 307,5 Pir .237E- 1 .567E- 1 .85GEM . 8 2 8  E- t, - .619 E- 4 .811 E- 4 Sr ,612   E+2 . 9 3 2 E* 3 .• 347E+5 Rr .120  E + 1 .791  E  0 .110E + 2 x o =   .127E- 5 y o = . 9 8 1 E - 6 m t=   .4B2E- 2 100 150 250 300  350 czę stość  ,  a R ys.  4.  C harakterystyka  aproksymowana  (modelowa)  i  aproksymują ca  wraz  z  wyznaczonymi parametrami  modalnymi. y/ Y/ / / / / / / / / / / / / , Rys  5.  M odel  fizyczny  ukł adu  dwumasowego  o  dwóch  stopniach  swobody. \ 3- - 3  0 ń - i?" - is- J m x 1 3  6  9  R e X c o 0 2 ^ 0 2 f  10- - 30  - 20  - i \   n /   - 10- \ ' :N  ̂ - 50 l m X 2 y  ̂ 20   30   R e X 2 \ i R ys.  6.  C harakterystyki  ^ - ? J -/   przyję tego  do  obliczeń  ukł adu  o  dwóch  stopniach  swobody. [394] 1   1 A  ©  . 0   1 1 •   /•   .   1   l"  : ]   1 5   0   0   g  W c?  •   s ą aa N  N  IN  IN &  •   +   +   +   + 0   m  m  L_  m  en 1   ——  I  ^~ &  +   +   S  +   + 1   ̂ @  @  &  £  B i  1  1  ——r  1   - TTT •g  <  0   +   -1   +   + «  N  w  W  »  W  W ^ 2   ̂  ̂ fe  7   7 a  g  •   g  • •g  S  .   +   +   iĄ  +   + W  r / l  " H  T f  ^  t~3  T—1  VD S  W  , - (  < S  T- <   — ł  f ^ >  T - l  »- < •g  +   +   +   +i  to  w  w  w  w S   ̂ o<  • *   m  cn Ba  0 |   I Ż  Ż5 N  rK  Tf  00   ó  0 a  .   • aa g  • •   ' [595] 596 W.  LlSEWSKI,  P.  G UIOWSKI D anymi  do  obliczeń  testują cych  był y  analitycznie  wyznaczone  charakterystyki  czę stotli- woś ciowe. Wymagana  do  analizy  ilość charakterystyk  nie może być mniejsza  od liczby postaci drgań wystę pują cych  w  badanym  paś mie  czę stotliwoś ci.  Rozpatrują c  wię c  ukł ad  o dwóch  stop- niach  swobody  należ ało  dysponować  dwiema  charakterystykami  A- cp- f.  Otrzymane  z ob- liczeń  charakterystyki  modelowe  (wyznaczone analitycznie dla  przyję tego  modelu z rys. 5) i  aproksymują ce  (obliczone  przy  uż yciu  programów  G TP1  i  G TP2)  przedstawiono  na rys.  6.  W  obydwu  przypadkach  charakterystyka  aproksymowana  (modelowa) zaznaczona jest  linią   przerywaną ,  natomiast charakterystyka  aproksymują ca  linię   cią gł ą.  Wyznaczone dla każ dej  z charakterystyk  estymaty wstę pne  (program G TP1) i parametry  charakterystyk aproksymują cych  (program  G TP2)  zestawiono  w  tablicy  1. D o  wyznaczenia  estymat  wstę pnych  parametrów  R r   wzię to  z  otoczenia  każ dego  z  rezo- nansów  po  dwadzieś cia  punktów  a  otrzymane  zbiory  wartoś ci  uś redniono. Wyniki  z  programu  G TP2  uzupeł nione  informacją   o  współ czynnikach  kierunkowych poszczególnych  postaci  drgań  stanowią   zbiór  danych  do  dalszych  obliczeń —  estymacji parametrów  modalnych (program  G TP3 — rys.  3).  • W  rozpatrywanym  przypadku  macierz  współ czynników  kierunkowych  ma  postać: a  = 1  0 0  1 Tak  wię c  efektem  koń cowym  przeprowadzonych  obliczeń  są   macierze  sztywnoś ci  i tł u- m ienia:  . .112989E+ 06  - .129959E+ O5] S  — R  = -   .650611E+ 05  .650110E+ 05J' .100088E+ 02  - .L99059E+ 01] - .100302E+ 02  ;.999497E+ 0lJ" D la przyję tego  ukł adu modelowego  dwumasowego  o dwóch stopniach swobody  (rys. 5) macierze sztywnoś ci  S i  tł umień R są  nastę pują cej  postaci: S  = ki+k 2 m x   - m 2 '  h t +h 2 fcj.; m1: m 2 hi  ' m2. (63) Po  podstawieniu  przyję tych  do  obliczeń  wartoś ci  liczbowych  parametrów  uzyskuje  się .113000E+ O6  - .130000E+ 051 - .650000E+ 05  .650000E+ 05J' WYKORZYSTANIE  ANALIZY  M OD ALN EI...  597 .100000E+ 02  - .200000E  +   OH = '.- .100000E + 02  .100000E+ 02J* Zgodność wyestymowanych  macierzy sztywnoś ci  i  tł umienia  (62) z  przyję tymi  w  anali- zowanym  modelu  (64)  potwierdza  poprawność  zaprezentowanej  w  tej  pracy  metody. 6.  Uwagi  koń cowe Opracowany  w  ramach  niniejszej  pracy  system  programów  obliczeniowych  sfuź ą cy do  aproksymacji  doś wiadczalnie  wyznaczonych  charakterystyk  czę stotliwoś ciowych  oraz estymacji  parametrów  modalnych  oparty  został   o jedną   z  moż liwych  metod  rozwią zania tego zadania. Przeprowadzone testy wykazują   dobrą   efektywność  systemu  zarówno  w  za- kresie  czasu  obliczeń jak  i dokł adnoś ci wyników. Bardzo  dobrą   zgodność  charakterystyki aproksymowanej  i  aproksymują cej  uzyskiwano  po "wykonaniu  trzech  do  pię ciu  iteracji. Prezentowane  przykł ady  pokazują   dział anie  procedur  obliczeniowych  w  odniesieniu do  charakterystyk  wyznaczonych analitycznie, a wię c nie obarczonych bł ę dami towarzyszą - cymi  pomiarom eksperymentalnym.  Jest  to wię c pierwszy  etap  sprawdzenia  metody  i peł - niejszą   informację   moż na bę dzie  uzyskać  po  opracowaniu  wyników  badań  doś wiadczal- nych. Tego  typu testy  zostaną   przedstawione  w  nastę pnym artykule  bę dą cym' kontynuacją niniejszego. Wyniki  otrzymane  przy  badaniu  prezentowanego  ukł adu  dwumasowego  pozwalają są dzić,  źe  przedstawiona  metoda  może  dawać  niezł e  efekty  w  zadaniach  identyfikacji parametrów  ukł adów  dynamicznych  o  znanej  strukturze. W  wyniku  opracowanych procedur aproksymacyjnych  uzyskuje się  znaczne zmniejszenie w maszynie  cyfowej  obszaru  pamię ci niezbę dnej  do  zapamię tania  duż ej  iloś ci  charaktery- styk. Przyczynić  się   to  może do wykorzystania  tych procedur przy  badaniu  postaci  drgań wł asnych  zł oż onych ukł adów  rzeczywistych. Literatura 1.  J. BRYN ICH , Spektralni veliciny a moddlni analyza vlastnich kmitii llnsirnich  diskretnich  t lumeny ch sousta v s  vice stupni  volnosti. Strojnicky  Ć asopis  N r  3.  Rocnik  28,  1977. 2.  J.  KRU SZEWSKI  i  inni, Metoda  elementów skoń czonych w dynamice konstrukcji,  Warszawa  Arkady  1984. 3.  J.  PETERS,  M.  MERG EAY,  Dynamie Analysis  of  Machine  T ools  Using  Complex  Modal  Method.  C I R P , Vol.  25  n r  1  1976,  str.  257- 261. 4.  M .  WEC K,  K.  TBIPEL,  Dynamisches  Verhalten Spanendar W erkzeugmaschinen, Berlin:  Springer- Verlag 1977. 5.  R.  SN OEYS,  D .  ROESEMS,  W.  VAN D EU RZEN ,  P .  VANHONACKER,  Survey  of  Modal  Analysis  Applications. C I R P ,  Vol.  28  n r  2,  1976,  str.  497- 511. 6.  M .  SIELSKI,  W.  G AWROŃ SKI,  Interpretacja  parametrów jmodalnych  z  charakterystyk  amplitudowych ukł adów mechanicznych o  mał ym tł umieniu,  Zaszyty N aukowe Politechniki  G dań skiej N r 315  M echan ika 39,  G dań sk  1980. 7.  P .  G U TOWSKI,  Aproksymacja  charakterystyk  czę stotliwoś ciowych  metodą   rozkł adu na podstawowe  formy drgań ,  Praca  dyplomowa,  Politechnika Szczeciń ska 1977. 598  W.  LISEWSKI,  P.  G U TOWSKI P  e 3io  Me n P H M E H E H KE  MOJtAJIbH OrO AHAJIH3A  B C n y^ AE flH H AM H ^IECKH X CHCTEM C  M H OrH M H   CTEITEHflMH   CBOBOJU- I B  craT be  npeją cTaBJieH   MeTofl  anpoKCHiwaHHH   SKcnepHMeHTajiŁHo  onpefleJie'H H bix d)a3oBo  —  qacToTH trx  xaparcrepHCTHK  C JI O K H BI X  MexammecKH x  CH CTCM.  H a  OCH OB3H H H H3  anpoKCH M amm  MoflajiLHfcix  napaM eTpoB  pa3pa6o iaH o  MeTofl  HfleHTH^HKauHH  KoacbiumeH ToB  >KgcT- KOC TH   u  fleM ncbapoBa  H H S  KCcjieflOBaHHoro  o6i.eKTa. IIpeflCTaBJieH H bie  B  crraTBe  npwviepBi  noKa3biBaioT  npaBH Jib  HOCTŁ  npe3eH TH poBaH uoro  Mera/ ja H   noKa3tiBaK)T  H8  BOSMO>KHOCT&  e r o n paKTjfiecKoro  Hcnojn>3oBaHHJi n pH   HCCJiefloBaHHH   flH H aM iraecKH x flefiCTBiJTejIbH LIX  CHCTeM. S u m m a r y U SE  O F   M OD AL  AN ALYSIS  I N   TH E D YN AM IC AL  SYSTEMS OF   M AN Y  D EG REES  OF   F R E E D OM An  approxim ation  m ethod  for  experimentally  determined amplitude- phase- frequency  characteristics, of  complex  mechanical  systems  has  been presented. On the basis of  modal parameters describing  particular set  of  characteristics  and  obtained  from  the approximation,  the  method  has  been  shown  of  stiffness  and dam ping  identification  for  th e  examined  object.  The  introduced  algorithms  made  it  possible  to  develop- a  system  of  program s.  The examples  prove  the correctness of presented method, and indicate the  possibility • of  applying  th e  method  for  examining  real  dynamical  systems. Praca  wpł ynę ł a  do  Redakcji  dnia  18  wrzehiia 1986  roku.