Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\03mts87_t25_zeszyt_4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 4,  25, (1987) ZAS TOS OWANIE  PROCES ÓW  MARKOWA  D O  M ODELOWANIA I  BADANIA  UKŁADU  MECHANICZNEGO  TOR- POJAZD  S ZYNOWY WŁOD Z IM IERZ  CH OROM AŃ SKI JERZ Y  KI SI LOWSKI BOG D AN   RACIBORSKI Politechnika  W arszawska Streszczenie Badan ia  dyn am iki  poprzeczn ej  m odelu  m atem atyczn ego  u kł ad u  m ech an iczn ego tor- pojazd  szynowy  mają   niezwykle  istotn e znaczenie biorą c p o d uwagę   specyfikę   bad an ego obiektu.  C hodzi  m ian owicie  o  zapewnienie  jedn opun ktowego  styku  podczas  ru c h u p o - mię dzy  koł em  pojazdu  szynowego  a  gł ówką   szyny.  Autorzy  propon ują   d o  rozwią zan ia problem u  wykorzystać  teorię   procesów  M arkowa.  Jakkolwiek  przedstawion e  w  pracy wyniki  odnoszą   się   d o  kon kretn ego  obiektu  m echan iczn ego  to  p ro p o n o wan ą   m et o d ę postę powania  wydaje  się  m oż na  uogóln ić  do  dowolnego  u kł ad u  m ech an iczn ego  opisan ego ukł adem  równ ań  róż n iczkowych  zwyczajnych,  n a które  n arzucon e są   ogran iczen ia  i  kt ó ry jest  poddan y wym uszan iu  losowem u. 1.  Wstę p Badan ie  dynam iki  poprzecznej  zestawu  koł owego  w ru ch u  p o t orze  p ro st ym  jest  zad a- n iem posiadają cym  wiele  aspektów  teoretycznych  i  utylitarn ych .  M a  on o  n iezwykle  istotn e znaczenie z pun ktu widzenia  specyfiki  badan ego  obiektu,  ch odzi m ian owicie  o  zapewn ien ie podczas  ruch u  „ jed n o p u n kt o wego "  styku  w  ukł adzie  koł o- gł ówka  szyny  ( br a k  st yku obrzeża  kół  z  szyną ).  M odel  n om in aln y  analizowanego  obiektu  przedstawion o  n a rys. 1. Tradycyjne  podejś cie  d o rozważ an ego  zagadn ien ia  w  literaturze  dotyczą cej  pojazdów szynowych  sprowadza  się  zazwyczaj  do analizy  stateczn oś ci  w  sensie  L ap u n o wa  zlin eary- zowanego  m odelu  auton om iczn ego.  N ie uwzglę dnione  zostają   zat em  z  jed n ej  st ro n y losowe  czynniki  wystę pują ce  w m odelowan ym  obiekcie ja k  również  ogran iczen ia  n a r zu c o n e n a  poszczególne  przemieszczenia  (bę dą ce  n p. wynikiem  waru n ku  jed n o p u n kt o wego  styku). Tymczasem  wym uszen ia  dział ają ce  n a zestaw  koł owy  poch odzą   gł ównie  od  czyn n ików losowych  jak n p .  nierównoś ci  t oru .  N aturaln ym wię c  wydaje  się  zastosowan ie  w  rozważ a- nym  przypadku  an alizy  probabilistyczn ej. 612 W.  CH OROMAŃ SKI, J.  KISILOWSKI,  B.  RACIBORSKI 4= s  ; Rys.  1. 2.  Sformułowanie problemu Przyję ty  model matematyczny zestawu  koł owego w ruchu po torze prostym ma w ogól- nym  przypadku  postać: gdzie: Y t   — [Y',,Y?,  ...  YfY  —wektor  «- - współrzę dnych  uogólnionych  uż ytych  do  opisu modelu, X t   =   [Xł ,X? t   ...,Xff  — wektorowy  n- wymiarowy  proces  stochastyczny  opisują cy losowe  wymuszenia, T — oznacza  transpozycję , '  —  l / l > 7 2 >  • • • > Jn\  . G  = g"ll  • • • gin Snl  "  •   oun  . •   —  pochodna  czasowa. Przyję to,  że  X t   jest  stacjonarnym  w  szerokim  sensie  procesem  Markowa. S1 I S3 Rys.  2. ZASTOSOWAN IE  PROCESÓW  M AR K O WA  613 Z  punktu  widzenia  specyfiki  badanego  obiektu  wyróż niono  trzy  charakterystyczn e stany,  w jakich  może  znajdować  się   zestaw  koł owy  (rys.  2). 51 —  stan,  gdy  zestaw  koł owy  m a  „ dwa  punkty  styku"  z  tokami  szynowymi, 52 —  stan,  gdy  zestaw  koł owy  m a  „ trzy  punkty  styku"  z  tokami  szynowymi, 53 —  stan, gdy  zestaw  koł owy m a „cztery punkty  styku"  z  tokami  szynowymi. D la  tak  opisanego  modelu  ukł adu  przeprowadzono  wyznaczenie  szeregu  wł asnoś ci probabilistycznych,  a  w  tym  przede  wszystkim  wyznaczenie  prawdopodobień stwa  wystą - pienia  stanu Sl  (najbardziej  korzystnego  z pun ktu widzenia  eksploatacji). 3.  Metody  analizy Znalezienie  rozwią zania  ukł adu stochastycznych  równań  róż niczkowych  (1)  z  wymu- szeniem  w  postaci  dowolnego  porocesu  stochastycznego  jest  n a  ogół  niemoż liwe.  Jedn ak w  przypadku  stochastycznych  równań róż niczkowych  I T O  [2]  z  wymuszeniem  w  postaci biał ego  szumu, istnieje  aparat matematyczny pozwalają cy  na  dokł adne obliczenie  charak- terystyk  probabilistycznych  procesu  opisują cego  rozwią zanie  ukł adu.  Stą d  wynika,  że pierwszym  istotnym  zagadnieniem  jest  sprowadzenie  ukł adu  równań  róż niczkowych  (1) do  ukł adu stochastycznych  równań  róż niczkowych  ITÓ  postaci: tc=f(YVt2 • • • ] T —  wektor  niezależ nych  biał ych  szumów. M oż na wykazać  [2], że rzeczywisty  proces normalny x t   moż na z  dowolną  dokł adnoś cią aproksymować  procesem stochastycznym bę dą cym rozwią zaniem  pewnego  stochastycznego równania  róż niczkowego. N iech S x (co) oznacza gę stość  spektralną   p r o c e s u j.  Aproksymujemy  funkcję   S x (co)  funkcją P(z) po st aci  5{(co)  =   gd zie: •   !  P(z)  =  f} o z m   + p l z"<- 1 +  ...  + & „ Q{z)  =   z"' +    m, otj, jS;  —•  stał e  współ czynniki. Proces  o  gę stoś ci  spektralnej  S^ co)  moż na  otrzymać  jako  rozwią zanie  nastę pują cego równania  [2]: ftp's  / / ^ "s- 1  dmn %  ^ F=r+  -   +«»J  = / V ^ - +   ...  + Ar t .  (3) gdzie:  r\  —  biał y  szum, d"' —j- —̂ns- ta  pochodn a. D okonują c  elementarnych  podstawień  m oż na  powyż sze  równanie  sprowadzić  do ukł adu  równań  róż niczkowych  I- rzę du,  w  których  nie  wystą pią   już  poch odn e  biał ego <>14  W.  C H O R O M AŃ S K I,  J .  K I S I L O WS K I ,  B.  R AC I BO R SK I szumu  (traktowane w  zapisie  równania  (d) czysto  formalnie,  ze wzglę du na nieróż niczko- walność  biał ego  szumu). ——  =   H(£  r\   t~)'  £  =   [£  £  £ ] r  (4) Uwzglę dniają  powyż sze  fakty  oraz  równania  (1)  i  (4)  otrzymamy  ukł ad (4)  przy  czym: Ytc  =   [Yi,  Y?  . . .  Y",  l i ,  £2>  I I I SF '  (5) Rozwią zanie  równania  (2)  jest  wektorowym  procesem  stochastycznym  Y, c .  Aby otrzymać peł ny jego  opis  probabilistyczny  należy znaleź ć wszystkie skoń czenie  wymiarowe rozkł ady.  W  praktyce  ograniczymy  się  do  1- wymiarowego  rozkł adu  f t (Y tc )  (gdzie: f t   —  funkcja  jednowymiarowej  gę stoś ci  prawdopodobień stwa). W  dalszej  czę ś ci  wszelkie  rozważ ania  odnosić się  bę dą  do  równania (2). Proces  F , c  stanowią cy  rozwią zanie  ukł adu  równań  stochastycznych  jest  procesem M arkowa  pod warunkiem, iż funkcje  g  i /   (równanie (2)) speł niają  pewne warunki  regular- noś ci  (został y  one  sformuł owane  m.in.  w  [2]  i  [3]). Jednowymiarową  gę stość  prawdopodobień stwa  f t (Y tc )  procesu  Y tc   moż na  wyznaczyć dokł adnie  rozwią zując  równanie  Fokkera- Plancka- Koł mogorowa  (F PK). n +   fls  n + ns f t o(Y tc )=fo(Y tc ). Rozwią zanie  równań  F P K  jest  w  ogólnym  przypadku  praktycznie  niemoż liwe,  dlatego też  do  analiz  moż na  zastosować  pewną  metodę  przybliż oną  zwaną  metodą  linearyzacji bezpoś redniej  [2].  U kł ad  (2)  moż na  przedstawić  w  nastę pują cej  postaci: Y t - F s (Y te ,n u t),  F ( 0 ) = F o ,  (7) ^dzie:  F s   jest  funkcją  nieliniową. Ten  nieliniowy  ukł ad  równań  róż niczkowych  zwyczajnych  moż na  przybliż yć  ukł adem liniowym  rozwijając  prawą  stronę w  szereg Taylora  wzglę dem  fluktuacji  (F / c =   Ytc—M t, rft —  Vt—M?  =   t} t ) i  odrzucając  czł ony z  potę gami wię kszymi  od jeden  (z analizy ukł adu wynika,  że  przemieszczenia  zestawu  koł owego  są  dostatecznie  mał e  aby  moż na  był o dokonać  takiego  przybliż enia). Otrzymujemy  w  wyniku  takich  operacji  dwa  ukł ady  równań: jest  to  deterministyczny  ukł ad równań róż niczkowych  zwyczajnych,  który  moż na rozwią- zać  numerycznie  na E M C P  q w- N iech: Z ASTOSOWAN IE  P R O C E SÓ W  M AR K O WA  615 - [ • * £ • ]. wtedy: Y;=A t Y;+B t t,„  (9) jest to ukł ad liniowych,  stochastycznych równań róż niczkowych. Ponieważ przekształ cenie liniowe  zachowuje  normalność  a  t\  jest  normalny  więc  proces  Y° tc  jest  również  procesem normalnym.  D o  znalezienia  jego  charakterystyk  wystarczy  obliczenie  wektora  wartoś ci ś rednich  M, z  ukł adu  oraz  macierzy  dyspersji  D , speł niają cej  nastę pują ce  równanie róż- niczkowe: D t  =  At D ( +  D,A, z> +  B t O B t ,  (10) A/ 5  B,  te  same  co  w  (9),  a  Q  =   d(t- to)E(rjt- hrito). G ę stość  prawdopodobień stwa  / ,(F „ )  procesu  Y tc   wyraża  się  wzorem: / ,(F)  =   .  exp  ~(Xt- Mt)D r1  (Y t - M t ) TI.  (11) y  (2re)"det D,  [  2 Interesują cy  nas  rozkł ad współ rzę dnych  (Y^ ci )  otrzymujemy  obliczając  rozkł ad brzegowy: CO  O ) MY1)'  f  ...  f  MYt)dY3...dYn).  (12) Jest  to  gę stość  prawdopodobień stwa  okreś lona  n a  cał ej  przestrzeni  R2. Przyję to,  że  granice  obszaru  Q  zmiennoś ci  współ rzę dnych  mają  charakter  ekranów  od- bijają cych  (oznacza to, że  trajektorie  procesu  (57C) po  dotarciu do  granicy  są  lustrzanym odbiciem  trajektorii  procesu,  które  przekroczył y  granicę ). 4.  Algorytm  obliczeń.  Przykł ad  zastosowania  metody W  oparciu  o  zaprezentowaną  metodę  opracowano  algorytm  postę powania  umoż li- wiają cy  obliczenie  prawdopodobień stwa  znalezienia  się  zestawu  koł owego  w  stanie  S\ . Schemat  blokowy  algorytmu  przedstawiono  na  rys.  3. Model  matematyczny  badanego  obiektu  (zestawu  koł owego  w  ruchu  po  torze  prostym) zaczerpnię ty  został   z  pracy  [1]. Ma  on postać  dwóch  nieliniowych  równań  róż niczkowych  (uwzglę dniona  tzw.  nieli- niowość  typu  kinematycznego  [1]  drugiego  rzę du): ^  =   Q y (13) gdzie: ^ L I ^ I *  obrót  zestawu  koł owego  wokół   osi  pionowej  OZ  (rys.  1), qx\ Y\   przemieszczenie poprzeczne (wzdł uż osi  OY) ś rodka  masy  zestawu  koł owego* *'  w  nawiasach  podan o równoważ ne  oznaczenia współ rzę dnych  uż ywanych  w  pracy. 616 W.  CH OROMAŃ SKI,  J.  KISILOWSKI, B.  RACIBORSKI Wczytanie  parametrów  równań  ruchu Wczytanie  wart oś ci  p oc zą t kowych M  (0  )  ,  D  ( 0 ) t  =  6  ł  h ł 1 Znalezienie  war t o ś ci n p .  metodq.  Runge Znalezienie ł macierzy M i t )  ,  D  I t ) , - Ku t ty odwrotnej  D"  11) Okreś lenie  gę stoś ci  prawdopodobień stwa Znalezienie  gę stoś ci brzegowej Znalezienie  p r awd o p o d o b ień st wa P,   ( Q )  =  f  f f  lY/ Rys.  3. Qr>Qx  sił y  styczne  wystę pują ce  w  punktach  styku  ukł adu tor- zestaw  koł owy, (w  nawiasie  podano  równorzę dnie  uż ywane  oznaczenia). Sił ę   styczną   Q r   i  moment Q v   okreś lono zgodnie z liniową   teorią   Kalkera: N[i- k^ (Yw~Y) + *k™Kbv (1 4) gdzie: Y w   —  rzeczywiste  losowo  wymuszenie  kinematyczne  dział ają ce  na  ukł ad. Wykaz parametrów wraz  z ich wartoś ciami  zebrano w  tabeli  I. G ę stość spektralną   rzeczy- wistego procesu  F w utoż samiamy z  losowym  wymuszeniem X, równania (1) przedstawiono na  rys.  4.  Ograniczenia  narzucone zaś  n a  ukł ad, warunkują ce  przebywanie  jego w  stanie Sl  pokazano  n a  rys.  5. P o  wprowadzeniu  współ rzę dnych stanu q t   = y, q 2   =   W  q 3   =   f,  q 4   =   W  sprowadzono ukł ad  (13)  do  ukł adu  4  równań  I  rzę du:  ;^!  ' (15) Z ASTOSOWAN I E  P R OC E SÓW  M AR K O W A  • 61 Tabela  1 Ozn aczen ie m Jx Jr b 6 e r tCps kpx kpy N A • V Okreś lenie masa  zestawu  koł owego moment bezwł adnoś ci zestawu kbł owego wzglę dem  osi  OX moment bezwł adnoś ci zestawu  koł owego wzglę dem  osi OY poł owa  odległ oś ci  mię dzy  punktami  styku  ukł adu tor- ze- staw  koł owy  w  poł oż eniu  ś rodkowym poł owa  ką ta  stoż kowatoś ci  profilu  zestawu  koł owego parametr  sztywnoś ci  grawitacyjnej ś redni  promień  toczny  zestawu  koł owego współ czynnik  Kalkera  dla poś lizgu  wiertnego współ czynnik  Kalkera  dla poś lizgu  wzdł uż nego współ czynnik  Kalkera  dla poś lizgu  poprzecznego sił a  normalna  w  punkcie  kontaktu  koł a  z  szyną parametr  ekwiwalentnej  stoż kowatoś ci prę dkość  protoł iniowego  ruchu  zestawu  koł owego Wartość 1400 1747 131 0.75 0.038 0.038 0.46 0.81 200.0 175.0 26375 0.038 22.2222 Jedn ostka kg k g- m2 kg-   m z m rad rad m N rad m/ s gdzie: Y W ,Y W ), (Is A = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 m + — J d 2 Y dq iq2 b 2 0 0 -  + -   k„) q2 B Lffl] "o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 reN [b  • 2bN k p Ą e- 6] "  b  J 0 0 2k pY N dr bv 0 7  Mech.  Teoret.  i  S tos.  4/ 87 618 W.  CH OROMAŃ SKI,  J.  KISILOWSKI,  B.  RACIBORSKI - 0,0085 0  0.025  0,060  co Rys.  4. m y(t) 0,0001 -   0,00011-   l i  r 2  tliT m,(t) 0,00001 0.00001 I A - \, f \ l 0,5 Rys. I 1/   \ /   i i 10 i . i t  2  1 \ J 1 1,5 I f\ ft 1   1 1 2 P 1 - \ - 1 2.&  t i»: Rys.  6. Rys.  7. jsISf. tl 1,0 0 , 5 - 0  — • 1 ,2 _L _L 1.0  2fl Rys.  8. ł lsl R zeczywistą   gę stość  spektraln ą   aproksym owan o  funkcją   postaci: „ ,  x  1 (co2 — a 2 ) 2 +  af),  Sę (ca))  pokrywał y  się ,  t zn . : dco -   0 =   15 - 103  [m m 2] ZASTOSOWANIE  PROCESÓW  M ARKOWA  619 Mnoż ąc obustronnie ukł ad  (15) przez A"1 oraz uwzglę dniając  zwią zki  (17) otrzymano ostatecznie  ukł ad  w  postaci  (2)  tzn. Y tc  = A~ 1 F(g 1 ,g 2 ,  g 3 ,   ? 4 ) +  A- 1B[0,  0, q 5 , q 6 ] 0...00 0...00 0...01 x gdzie: y  ,  ?5 =  £l5 &  —  h- Stosując  metodę i algorytm  podany uprzednio uzyskano  nastę pują ce  wyniki  dotyczą ce wartoś ci  ś rednich  współ rzę dnych y  (rys. 6 i 7) oraz  prawdopodobień stwa  znalezienia się ukł adu  w  stanie  Sl  (rys.  8). Moż na  zauważ yć,  że krzywa  okreś lają ca  prawdopodobień stwa  znalezienia  się ukł adu w  stanie Sl  po bardzo  krótkim  czasie  stabilizuje  się wokół  wartoś ci  0,69 (niezależ nie od warunków  począ tkowych). 5.  Wnioski  koń cowe Prezentowana w  niniejszej  pracy  metoda  analizy  ukł adu  mechanicznego z  ogranicze- niami  i  losowym  wymuszeniem,  wydaje  się efektywnym  narzę dziem  badawczym  prowa- dzą cym do  otrzymania szeregu  interesują cych  charakterystyk  probabilistycznych. Przedstawione  rozważ ania  mogą  zostać  uogólnione n a dowolne  ukł ady mechaniczne, pod  warunkiem  speł nienia  sformuł owanych  w pracy  zał oż eń.  Wykorzystana  teoria  pro- cesów  Markowa  dostarcza  bardzo  silnego  aparatu badawczego.  Stosując  ją  moż na  otrzy- mać  szereg  dodatkowych  charakterystyk  probabilistycznych  nie  omawianych  w  pracy (jak  np. rozkł ad prawdopodobień stwa  maksymalnych  wartoś ci  procesu  Y t0 ).  Skompliko- wana  forma  zależ noś ci  jak  i  duża  wymiarowość  stosowanych  modeli  wymaga  jednak uż ycia  zarówno  efektywnych  procedur  numerycznych jak również  szybkich  E M C . Literatura 1.  J.  KisiLOWSKt, Dynamika  ukł adu tor- pojazd.  Prace  Instytutu  Tran sportu  P W,  z.  15,  Wyd.  P W,  W- wa 1978. 2.  K.  SOBCZYK,  Metody  dynamiki  statystycznej.  P WN ,  W- wa  1973. 3.  B.  H .  TH XOH OB,  A.  M .  M H P H O B,  Mapicoecnue  npotfeccu,  MoCKBa  „CoBercKoe  p a n n o "  1977. P  e  3  IO  M e AH AJI H 3  JJH H AM H KH   C H C TE M BI  P EJIBC - P EU BC OBBlft  C OC TAB C  H C n O JI B3O BAH H E M   riPOECECCOB  M AP KOBA An am ra  n o n e p e i H o ń flH H aM H KH  CHCTeMbi  pen tc- pejibC oBbrit  coCTaB  H 3- 3a  cn en ji^K^ecKH X  C B O H C I B 3TOH   CHCTeMH   H BU H CTCH   OMeHb  BaH oiośł   3a# aM eii.  CymecTBeH H oił   npoG jieMofi  OTJIH CTCH   3a fla ia  o 6 e c n e - *ieHHH   TcraeHHoro  KomaKTa  M ewfly  KojiecoM   H  TOJIOBKOH   p e jit c a .  JJnfl  aH ajiH 3a  aBTopbi  n p e fln o n a r a io T HcnojiB3OBaTB  Teopm o  n pot ( eccoB  M apKoBa  H  (J)opMajiH3M   croxacT iwecK n x  ypaBH em n i  H T O .  P a c c yH i- OTHOCHTCH   K KoHKpeTHOH   MexaHiraecKoft  cH cieM e,  H O  M oryT  fibiTB  o6o6m eH Bi  n a  jn o 6yio  iwexa- CHCTeiwy  onHCbiBaeiviyio  oSbiKHOBeHHWMH   pji<ł >(bepemjjiam>ia.iKH  ypaBHeHHHMH   co  c r o xa c r H - neCKW iW .  BO3MymeHHHMH  H 620  W.  CH OROMAŃ SKI,  J.  KISILOWSKI,  B.  RACIBORSKI • S u m  m a r y AP P LI C AT I O N   OF   M ARKOV  PROCESSES  F OR  M OD ELLIN G  AN D   IN VESTIG ATIN G ,  M E C H AN I C AL TRACK- RAIL  VEH ICLE  SYSTEM Th e  investigation  of  t h e  lateral  dynamics  of  the track- railway  vehicle  system  is  extremely  important due  t o  the  specific  features  of  such  a  system. T h e problem is how obtain a  one point contact between the rolling wheel  and rail. The authors propose to  use  the  theory  of  M arków  processes  and  the  stochastic I TO equations  t o  solve  the problem.  Although th e  results  are  obtained  there  a  concrete mechanical  system  the presented  method  seems  to  be  applicable to  arbitrary  mechanical systems  described  by  a set  of  ordinary  differential  equations, subject  to constraints and  ran dom  loading. Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia 3  kwietnia  1984  roku.