Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\03mts87_t25_zeszyt_4.pdf


M ECH AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

4,  25,  (1987)

NUMERYCZNA  SYMULACJA  PROGRAMOWEGO  RUCHU
S AM OLOTU  W  PĘ TLI  PIONOWEJ

WOJC I EC H   BLAJER

W yż sza  Szkoł a  Inż ynierska  w  Radomiu

Symulowano  program owy  ruch  sam olotu  w  pę tli  pionowej.  P ostulowano,  by  ś rodek
masy  sam olotu  zakreś lał   okrą g  o  zadan ym  prom ieniu  oraz  dodatkowo,  by  prę dkość  lotu
był a  stał a.  P oszukiwan o  takiego  modelu  sterowania,  który  zapewniał by,  że  symulowany
ruch  realizować  bę dzie  ś ciś le  n arzucon y  program .  Samolot  zamodelowano  jako  sztywny
obiekt  latają cy  sterowany  param etrycznie  sił ą   cią gu  silnika  oraz  wychyleniami  steru  wy-
sokoś ci.  P rzedstawion o  wyniki  symulacji  numerycznej.

•   •   •   •   •   •   • '  :  :  ,

1.  Wstę p

W  pracy  podję to  się   numerycznej  symulacji  programowego  ruchu  samolotu  w  pę tli
wykonywanej  w  pł aszczyź nie  pionowej  wzglę dem  ziemi.  Rozważ ono  dwa  przypadki
ruchu  program owego.  W  pierwszym  postulowan o,  by  ś rodek  masy  samolotu  zakreś lał
okrą g  o  zadan ym  prom ien iu,  w  drugim  ż ą dano  dodatkowo,  aż eby  lot  odbywał   się   ze
stał ą   prę dkoś cią.  Warun ki  te  zapisane  został y  w  formie  odpowiednich  równań  wię zów
programowych.  D la  t ak  sformuł owanych  program ów  ruchu,  poszukiwano  modeli  stero-
wania  sam olotu  zapewniają cych,  że  symulowany  ruch  realizować  bę dzie  ś ciś le  warunki
wię zów  program owych.

P odstawowe  zał oż en ia  pracy  oraz  w  znacznej  czę ś ci  stosowany  model  matematyczny,
m.in.  równ an ia  ruch u sam olotu  i  sformuł owanie  zagadnienia  ruchu  programowego  w  pę tli
koł owej,  zawarte  został y  w  pracy  [3]. Artykuł   niniejszy  stanowi  rozwinię cie  i  poszerzenie
cytowanej  pracy.  Z awarto  wię c  w  n im  tylko  elementy  nowe  i  niezbę dne  uzupeł nienia.
Od  podstaw  sform uł owan o  n a  przykł ad  zagadnienie  program owego  ruchu  sam olotu
w  pę tli  koł owej  ze  stał ą   prę dkoś cią   lotu.  W  odróż nieniu  od  pracy  [3]  przyjmowano  też
że  gę stość  powietrza  zm ienia  się   w  funkcji  wysokoś ci  lotu.  N ajistotniejszą   czę ś cią   pracy
są   jedn ak  przykł adowe  obliczenia  numeryczne.

R ozważ ane  zagadn ien ia  podejm owane  był y  również  w  pracach  [1, 2]. W  szczególnoś ci,
niniejsza  praca  stan owi  przakł ad  praktycznego  wykorzystania  ogólnego  modelu  ruchu
program owego  zawartego  w  pierwszej  z  tych  prac.



622  W.  BLAJER

2.  Oznaczenia

c
a
 —  ś rednia  cię ciwa  aerodynamiczna, m

c
m
  — współ czynnik  aerodynamicznego  momentu  pochylają cego

Cmbu — współ czynnik  momentu  pochylają cego  dla  samolotu  bez  usterzenia  wysokoś ci
CmH — współ czynnik  momentu pochylają cego  od  usterzenia  wysokoś ci

c
x
  — współ czynnik  aerodynamicznej  siły  oporu  samolotu

c
z
  — współ czynnik  aerodynamicznej  siły  noś nej  samolotu

c
zH

  — współ czynnik  siły  noś nej  na  usterzeniu  poziomym
e —  odległ ość  linii  dział ania  siły  cią gu  od  SC  samolotu,  m
g — przyspieszenie  ziemskie,  m  s~  2  >
h — wysokość  lotu, m
/ —cen traln y  moment  bezwł adnoś ci  samolotu,  kg  m 2

m — masa  samolotu,  kg
Q — ką towa  prę dkość  pochylania  samolotu,  s"1

r — promień  pę tli,  m
S — powierzchnia  noś na  samolotu,  m 2

S
B
  — powierzchnia  noś na  usterzenia  poziomego,  m2

T —  wartość  siły  cią gu,  N
V—prę dkoś ć  liniowa  samolotu,  m  s~*

x
t
,  Zi  — współ rzę dne poł oż enia SC  samolotu  w inercjalnym  ukł adzie odniesienia, m

XH I ZR — współ rzę dne  poł oż enia  ś rodka  parcia  sił   aerodynamicznych  na  usterzeniu  po-
ziomym  wyraż one  w  ukł adzie  samolotowym,  m

a — ką t  natarcia  samolotu,  deg
oc

n
 — ką t  natarcia  na  usterzeniu  poziomym, deg

y — ką t  pochylenia  wektora  prę dkoś ci,  deg
d

H
 — ką t  wychylenia  steru  wysokoś ci,  deg

e — ką t  ochylenia  strug  na  usterzeniu  poziomym,  deg
rjH — współ czynnik  zmniejszenia  ciś nienia  dynamicznego  na  usterzeniu  wysokoś ci
© — ką t  pochylenia  samolotu,  deg
Q — gę stość  powietrza,  kg  m~ 3

% — ką t  mię dzy  wektorem  siły cią gu  i  osią   0x ukł adu samolotowego,  deg

3.  Warunki  wię zów  programowych

Postulowanie  stał ego promienia pę tli  oraz  stał ej  prę dkoś ci  lotu jest  równoważ ne  z na-
ł oż eniem  na  ukł ad  wię zów  programowych  o  postaci:

• /-   - 2- (*? +  z ? ) - y- / -2  =   0,  (1)

<P**V- V
m
  = G.  (2)

Jak  pokazano  w  pracy  [3], przy  założ eniu/ ,= <>  =   0  o r a z/ , = 0  =  0,  które  to  warunki
stanowią , że począ tkowe  wartoś ci  x

10
,  z

10
  i y

0
  są   dobrane dla dowolnego  punktu  leż ą cego



SAMOLOT  W  P Ę TU   PIONOWEJ 623

Rys.  1  G eometria  programowego  ruchu  samolotu  w  pę tli.

n a  okrę gu  pę tli  (n a  przykł ad  pun kt  A  n a  rys.  1), więź  geometryczny  (1) jest  równoważ ny

jego  fomie  róż niczkowej  /   =   0.  P rowadzi  to  do  warun ku

m -   V2  1
QSV

2
C

Z
- T -  si n ( a + £ ) + m -   g•   cosy  =   0, (3)

wyraż ają cego  równ owagę  sił   czynnych  i  bezwł adnoś ci  n a  kierun ku  promieniowym  dla
okrę gu  pę tli.  P odobn ie, przy  zał oż eniu cp

t
=o  =   0,  a  więc  V

o
  — V

ust
,  więź  w  postaci  kine-

matycznej  (2) równ oważ ny jest jego formie  róż niczkowej  <p  =   0.  Z równ ań ruchu samolotu
pokazan ych  w  [3]  wynika,  że  jest  to  równoważ ne  warunkowi

— —- Q S V2 C
X
+ T -   c o s( a + # ) —m - g-  sin y  =   0.

1*
(4)

R ówn an ie  powyż sze  oznacza  równoważ enie  się  wszystkich  sił   n a  kierunku  stycznym

(kierun ku  prę dkoś ci).

4.  Równania  ruchu  programowego  i  warunki  nakł adane na  model  sterowania samolotem

Warun ki  wię zów  dynam icznych  (3)  i  (4)  wyraż ają  ograniczenia jakie  nakł adają  wię zy
program owe  n a  wzajemne  proporcje  sił   wymuszają cych  ruch  samolotu.  Ponieważ  czę ść
tych  sił   (sił a  cią gu  i  aerodyn am iczn y  m om en t  pochylają cy)  zależ na  jest  od  parametrów
sterowania,  zwią zki  t e  oznaczają  jednocześ nie  warunki  n akł adane n a  model  sterowania
sam olotu.  W  pracy  [1]  zagadn ien ie  to  został o  podję te  dla  przypadku  ogólnego.  Poniż ej
przedstawione  zostan ie jego  rozwią zanie  dla  przypadku  pę tli  koł owej  oraz przypadku  pę tli
koł owej  ze  stał ą  prę dkoś cią  lotu.



614  W.  BLAJE R

4.1.  Pę tla kołowa. Warunkiem,  by symulowany  ruch  samolotu  realizował   ś ciś le  pę tlę
koł ową   o zadanym  promieniu r jest,  aż eby  w każ dej  chwili  zachodził a  równowaga  sił
zapisana  równaniem  (3). Równanie  to  zapisać  m oż na  symbolicznie  jako

w 1 ( F , y , < 9 , z 1 , r )  =  0.  (5)

Sterowanie  samolotu  zamodelowano  poprzez  zmiany  T  i  d
H
.  Ponieważ  nakł adany

jest tylko jeden warunek  wię zów, model zmian tylko jednego  param etru sterowania  bę dzie
nim  limitowany.  F unkcja zmian drugiego  param etru sterowania  może być przyję ta  a priori.
Podobnie jak w  pracy  [3], odrzucono moż liwość  sterowania  w  tym przypadku  wartoś cią
sił y  cią gu  T , jako  przypadek  afizyczny.  N a profil  toru  lotu  samolotu  wpł ywają   bowiem
przede  wszystkim  wychylenia  sterów.  Zadanie  polegać  wię c  bę dzie  n a  takim  doborze
zmian wartoś ci  <5H,  by niezależ nie od przyję tej  funkcji  zmian  T , w każ dej  chwili  realizowany
był   warunek (3).

Stosują c  identyczne  przekształ cenia  jak  w pracy  [3], róż niczkowe  równania  ruchu
programowego  zapisane  mogą   być w  postaci:

V  =  ~(-   Y8SV2C*  +  T"  cos(a+ti- m- g- Oay],  (6)

Wystę pują ca  w równaniu
leż noś ci

V

r  =   y>
..  V

Q  =  a  +   —- ,
r

x
t
  =  F c o sy,

ż
x
  =  - V-  sin y,

(8)  druga  pochodna  ką ta

(7)

(8)

(9)

(10)

(U )

natarcia  a jest  wyznaczana  ż  za-

a = 'i(.V,Q,y,0,z
u
T ,T ,f)~^ ,  (12)

gdzie:

- - i—ż
1
SV

2
aa—(f- T a

2
)sm.cc

T
- 2facosa

T
- mg(ysmy- y

2
cosy),

• • •  ( I Z y  : • : • : . . • > . • ..  ,

D la  uproszczenia  zapisu  w powyż szych  zwią zkach  przyję to:

d c L  •   :  .• ••

da '  r



SAM OLOT  W  P Ę T LI  P I ON OWE J  625

n atom iast  drugie  poch odn e  V,  z
t
  i.y  zgodnie  z  przyję tymi  równaniami  ruchu  (patrz  [3])

otrzymać  m oż na  ja k o :  .  ,  .  ....

,. + f-   cosa
T
—T asmcc

T
  —  mgycosy),

'ix  =   —V-   sin y —  Vycosy,

W  odróż n ien iu od  zał oż eń pracy  [3], przyjmowano  zmienną wartość  gę stoś ci  powietrza
w  funkcji  wysokoś ci  lotu

( h  \ 4,256
gdzie:  Q

0
  =  1.2258  kg  m ~ 3 —  gę stość  powietrza  n a  wysokoś ci  h  =   0,

h
0
  —  wysokość  poł oż enia  ś rodka  ukł adu  0

1
x

1
y

1
z

1
.

Sak  pokazan o  w  [3]  dla  rozważ anego  przypadku  oraz  w  [1]  dla  przypadku  ogólnego,
zwią zek  (12)  otrzymuje  się  z  warun ku  drugiej  pochodnej  po  czasie  równania  (5), w

t
  =   0.

Aż eby  w  każ dej  chwili  lotu warun ek  ten był  równoważ ny  wyjś ciowemu  warunkowi  w
t
  =   0,

speł nione  muszą  być  odpowiednie  warunki  począ tkowe,  mianowicie:

W i(V
o
,y

o
,0

o
,z

lo
,  T

O
)  =  0,

(14)
wAVo,  go ,  Yo,  &Q, zio ,  T

o
,  T

o
)  =   0.

Warun ki  te  (również  warun ki  przy  przekształ ceniu równ an ia  (1) do  postaci  (3)) nakł adają
odpowiednie  ograniczenia  n a  stan  lotu  sam olotu  w  chwili  t  =  0.

Z budowan y m odel m atem atyczn y pozwolił  n a wyeliminowanie  z równań ruchu (6) -  (11)
jawnej  zależ noś ci  od  d

H
.  W  przedstawionym  uję ciu  sterowanie jest  tym  samym  zagadnie-

niem  wtórn ym ,  wynikają cym  z  warun ków  nakł adanych  przez  wię zy.  Był o  to  moż liwe
dzię ki  tem u,  że  zm ian y  konfiguracji  sam olotu  (w  przypadku  klasycznej  symulacji  ruchu
stanowią ce  odpowiedź  ukł adu  n a  zadan y  model  sterowania)  wymuszono  warunkami
n akł adan ymi  przez  wię zy —  zm ian y  iż  wedł ug  wzoru  (12).  M odel  sterowania  musi  więc
być  jedynie  dobran y  tak,  by  w  każ dej  chwili  wymuszał   identyczne  zmiany  konfiguracji.
Z godnie  z  [1,3]  podstawą  do  wyznaczenia  aktualn ych  wartoś ci  6

H
  może  być  zależ ność

L(Lesv
2cacm(«,Q,  6H) +  Te  ̂ - • '*+ - £.  (14)

i  ; N a  zakoń czenie  należy  dodać,  że  zbudowany  m odel wymaga,  by  przyję ta  z zał oż enia
funkcja  zm ian  cią gu  T   m usi  być  co  najmniej  klasy  C2.

4.2.  Pę tla koł owa ze  stał ą  prę dkoś cią  lotu.  Jak  pokazan o  w  rozdziale  3  zagadnienie  spro-
wadza  się  do  n ał oż en ia n a  ruch  ukł adu wię zów  dynamicznych  (3) i  (4), które  dalej  ozna-
czane bę dą  symbolicznie  odpowiednio jako  Wj  i w

2
.  Ponieważ w  tym wypadku  ilość wię zów

i  ilość  param etrów  sterowan ia  są  równ e,  przebiegi  obydwu  param etrów  sterowania  bę dą
ś ciś le  determ inowane  program em  fuchu.



626  W.  BLAJE R

Stosują c  analogiczny  cią g  przekształ ceń jak w  rozdziale  4.1,  poprzez  róż niczkowanie
warunków  wię zów  dynamicznych  otrzymuje się :

W i =   —^ - T ^ - ż
l
SV

us
tau—- ^ - QSVZ

st
aa—f"&mu

T
~T aco$a

T
- mgysmy  = 0

d  dc  ( 1 5 )

oraz

S F ^ T 1 -   si n a r —

— T a.cosa
r
+T a

2
&iń u

T
—mg-   y

2
cosy  =  0,  (16)

—2 r a si n a T —T a si n a j- —T a
2 c o sa T + m gy

2 si n y  =   0.

Wystę pują ce  w  powyż szych  wielkoś ci  z
lt
  y  i  <x mają   p o st ać:

y  f  *- QZj!L

Postulowanie  realizacji  warunków  (16)  w  dowolnej  chwili  czasu  bę dzie  równoważ ne
warunkom  (3) i  (4) jeś li w chwili  t  — 0 speł nione  bę dą   waru n ki:

W i(y
o
,@o,Zi*,T

o
)  =  0,

0 0 7 )

w
2
(Qo,Yo,®o,Zio,T

0
,f

0
)  =  0.

Zależ noś ci  (16)  pozwalają   n a okreś lenie  drugich  poch odn ych  ką ta  n atarcia  a  i  sił y
cią gu  T , mianowicie:

(18)

-   a(fi, y, e,x
u
  T ,  T ) -   ^ ~ \   (19)

gdzie:

1
% !  =  s i n a r ,  a12  =  /   - c o s ar + - r-

1  dc
G

2
I  =   — c o saf,  a

22
  =  71-  s i n a r +  — g "



SAM OLOT  W  P Ę T LI  P I ON OWE J  627

—2Ta cos a r + T i i
2 si n «.

T
—mg-   y

2
cos  y,

=\ ^ z
l
+jz

1
iz>y

ulst
t

x
—- —ZibVusf——

I  \  uzj  dzx  /   dzj  da

d
2
c

l- - T - ~- a
2

Podstawiają c  r x =  T,  odpowiedni  ukł ad  róż niczkowych  równań  ruchu  samolotu
realizują cego  zał oż ony  program  bę dzie  mieć  postać:

e " " a ( Q . y , 0 , 2 i ! T ' , r 1 ) !  (20)

*i  =   ^ - c o s y,  (21)

żi  =   - V
m
- ń ny,  (22)

0  =  2,  , (23)

t- T
u
  (24)

ri- iTCfi.yt^.'i.r.ro.  (25)

Równania  te  uzupeł nione muszą   być zwią zkami  algebraicznymi:

<>  ( 2 6 )

a  =  0  — y.

M odel  zmian wartoś ci  cią gu  T  wyznaczany  bę dzie  bezpoś rednio w procesie cał kowania
równań  ruchu  (20) -  (25). Aktualne  wartoś ci  d

H
 wyznaczane  mogą   być  natomiast z analo-

gicznej  do  (14) zależ noś ci  o postaci

• j

4.3. Inne sformułowanie zagadnienia.  Z aproponowane w  rozdział ach 4.1 i 4.2 modele ma-
tematyczne,  niezależ nie  od  róż niczkowych  równań  ruchu  programowego,  pozwalają   na
wyznaczanie  aktualnych  wartoś ci  d

H
 z odpowiednich zwią zków  algebraicznych  (14) i (27).

Zgodnie  z  [1] moż liwe  jest  jedn ak  inne  sformuł owanie  zagadnienia.  3- krotne zróż niczko-
wanie  po czasie  wyjś ciowych  zależ noś ci  (3) i (4) (oczywiś cie  przy  zał oż eniu, że w

t=0
  —  0,

w,-
0
  =  0, vv<= 0 =  0)  pozwoli  n a otrzymanie  odpowiednich  zwią zków  'wx  =  0 i  w2  =  0,

liniowo  zależ nych  od d
l{
 i  T .  Standaryzacja  tych  zwią zków  wzglę dem  najwyż szych po-

chodnych  param etrów  sterowania  oraz  doł ą czenie  (po uprzednim  sprowadzeniu  równań
do  rzę du  pierwszego)  do  ogólnych  równań  ruchu  samolotu,  pozwoli  na budowę   odpo-
wiedniego  ukł adu  równ ań  róż niczkowych  zwyczajnych  rzę du  pierwszego  o  postaci  nor-
malnej.  Wektor  stanu takiego  ukł adu zawierać bę dzie m.in. parametry sterowania, aktualne
wartoś ci  których  otrzymywane  bę dą   bezpoś rednio  w  procesie  cał kowania numerycznego.

W  rozważ onym  przypadku  podejś cie  takie  nie jest jednak  celowe.  D odatkowe róż nicz-
kowanie  zwią zków  typu  w ~  0 znacznie bowiem  komplikuje  zapis  matematyczny modelu.



628 W.  BLAJE R

5.  Obliczenia  przykładowe

Obliczenia przykł adowe przeprowadzone został y dla  sam olotu TS- 11  „ I skr a ". Wszelkie
dane  geometryczne, masowe  i aerodynamiczne dla  tego  sam olotu  przyję te  został y za  pracą
[4],  a  mianowicie:

e  =   0
% =   0

7]n  -   0.9
g  =   9.8065

c m b l (  =   - 0.083+ O.1035oc
e  =   0.17+ 0.3749a

c
z
„  =   0, 06453aH + 0.04464ó w

W  pracy  przyję ty  został   stosun kowo  prosty  m odel  oddział ywań  aerodynamicznych,
którego  zał oż enia  zawarto  w  pracy  [3],  U ś ciś lenia  wymaga  jedynie  sposób  wyznaczania
aerodynamicznego  m om en tu  pochylają cego.  Aktualną   wartość  współ czynnika  tego  mo-
m entu  c,„ okreś lano  jako

m —
J  =
o  ,

Ca  =

3200
8000
17.5
1.83

x
H
  =

z
n  =

Su  —

4.84
1.46
3.54
- 2

c
z
  =   0.07313(a+ 0.456)

c
x
  =  0.013+ 0.0005a2

c
m
(ct,  Q, ( a ,  Q,  dH). (2 8 )

45  90  135  180  225  270  315  360

Rys.  2  Symulacja  pę tli  koł owej:
1)  r  =   500  m,  V

o
  =  175  m/ s,  T  =   8000  N ,

2)  r  =   500  m,  V
o
  =  175  m/ s,  71 =   800  N ,

3)  r  =>  750  m,  Ko  =   175  m/ s,  T »  8000  N .



SAM OLOT  W  P Ę T LI  P I O N O WE J 629

Wartość  m om en tu  pochylają cego  od  usterzenia  poziomego  (lub  odpowiednio  współ -
czynnik  c m H )  wyznaczano  jako  m om en t  sił y  noś nej  n a  usterzeniu  wzglę dem  ś rodka  masy
sam olotu.  Z godn ie  z  przyję tym  m odelem  aerodyn am iki  samolotu,  współ czynnik  sił y
noś nej  n a  usterzeniu  c

m
  uzależ niono  od  wartoś ci  ką ta  natarcia  x

H
  i  wychylenia  steru  d

H
.

U wzglę dniano  przy  tym  lokaln e  warun ki  opł ywu  usterzenia,  n a  które  wpł yw  mają   odchy-
lenie  strug  za  pł atem ,  zmniejszenie  ciś nienia  dynamicznego  oraz  ką towa  prę dkość  obrotu
sam olotu  Q.  .

Przyję ty  m odel  oddział ywań  aerodynamiczny jest  oczywiś cie w  znacznej mierze uprosz-
czony.  Celem  podstawowym  obliczeń  był a  jedn a  numeryczna  weryfikacja  zbudowanych
modeli  m atem atycznych,  a  n ie  uzyskanie  ś cisł ych  wyników  iloś ciowych  dla  tego  typu
sam olotu.  .

Obliczenia  przeprowadzon e  został y n a maszynie  RLAD  32 wedł ug wł asnych  programów
w  ję zyku  F O R T R AN   IV  JS.  Z aprezentowan o  wyniki  d la  oś miu  wariantów  obliczeń.
Warian ty  1 -  5  dotyczą   symulacji  pę tli  koł owej,  n atom iast  warianty  a  ,  b  oraz  c —  pę tli
koł owej  wykonywanej  ze  stał ą  prę dkoś cią   lotu.  Róż nice pomię dzy  poszczególnymi  warian-
tam i  opisane  są   pod  odpowiednim i  rysunkam i.  We  wszystkich przypadkach  wprowadzenie
do  pę tli  n astę powało  w  najniż szym  jej  punkcie  (pun kt  A  n a  rys.  1)  n a  wysokoś ci  h  =
=   1000  m .

N a  rysunkach  2 i  3 przedstawion o  przebiegi  podstawowych  param etrów  symulowanego

45  90  135 270  3 i 5 3 6 01 8 0 2 2 5
yldeg]

Rys.  3  Symulacja  pę tli  koł owej:
1)  r  =   500  m,  V

o
  =   175  m/ s,  T  =   8000 N ,

4)  r  =   500  m,  V
o
  =   150  m/ s,  T  =   8000 N ,

5)  r  =   500  m,  V
o
  =  200  m/ s,  T  =   8000  N .



S30 W.

ruchu  z  narzuconym  warunkiem  wykon an ia  pę tli  koł owej.  P rzyjmowano  przy  tym,  że

wartość  sił y cią gu  podczas  cał ej  pę tli jest  stał a. Przebiegi  zm ian param etrów  przedstawiono

w, funkcji  ką ta  y,  który  zgodnie  z  rys.  1 jednoznacznie  wyznacza  poł oż enie ś rodka  masy

sam olotu na. okrę gu  pę tli. Ką t  okreś lają cy  konfigurację   sam olotu w pizestrzeni  wyznaczany

może  być  z  drugiej  zależ noś ci  (26).
Z  przedstawionych  wykresów  wynika,  że  przebieg  symulowanego  ruch u  oraz  m odel

zmian  wychylenia  steru  wysokoś ci  silnie  zależą   od  począ tkowej  prę dkoś ci  lotu  V
o
,  narzu-

conego promienia pę tli r  oraz wartoś ci  siry cią gu  T   =   const. C h arakter zm ian param etrów
ruchu  i  param etru  Ó

H
  są   przy  tym  zgodne  z  tym  co  obserwuje  się   w  locie  rzeczywistym.

W  punkcie  szczytowym  pę tli  zauważa  się   bowiem  wyraź ne  zmniejszenie  prę dkoś ci  V,
przejś cie  n a  mniejsze  wartoś ci  ką tów  n atarcia  a  oraz  zmniejszenie  wychylenia  steru  wy-
sokoś ci  <3H. Zmiany  te  są   szczególnie  wyraź ne  w  I I  i  I I I  ć wiartce  pę tli,  czyli  w  zakresie
ką tów  y  od  90°  do  270°.

N a  rys.  5 pokazan o  przebiegi  podstawowych  param etrów  ruch u  w  symulowanej  pę tli
koł owej  ze  stał ą   prę dkoś cią   lotu.  P odobn ie ja k  poprzedn io  przebiegi  te  zależ ne  są   silnie
od zał oż onego prom ienia pę tli oraz narzuconej V

ust
.  M odel zm ian wychyleń  steru  wysokoś ci

jest  jakoś ciowo  zgodny  z  obserwowanym  w  rzeczywistoś ci  m odelem  sterowania,  n ato-

180  225
T  tdeg]

270  315  360

Rys.  4  Symulacja  pę tli  koł owej  z  ustaloną   prę dkoś cią   lotu:
a)  r  -   500  m,  ,  V

us
,  =   1,20  m/ s,,

b)  r  =   500  m,  V
M
  m  90  m/ s,

c). r  =  1000  m,  V
ust

  =   120  m/ s.



SAMOLOT  W  PCTLI  PIONOWEJ 631

1- 0.30

0,

f/
Ł.55 W

7^25

V:

J
\ 3A5  J;

6.08

Rys.  5  Zmiany  współ czynnika  przecią ż enia  dla  wersji  2  obliczeń.

m iast  przebieg  wym aganych  zm ian  sił y  cią gu  wskazuje,  że  rozwią zanie  nia  charakter
czysto  analityczny.  D uże  wartoś ci  dodatn ie  i  przede  wszystkim  ujemne  („cią g  odwró-
con y"),  sił y  cią gu,  niezbę dne  dla  utrzym ania  stał ej  prę dkoś ci  lotu  wskazują ,  że  w  rzeczy-
wistoś ci  zał oż ony program  m oże  być  nie  do  zrealizowania.  W  pracy  nie  rozwijano  jedn ak
tego  zagadn ien ia.

P odczas  ruch u  sam olotu  w  pę tli  znacznym  zm ian om  ulega  również  współ czynnik
przecią ż enia.  Z m ian y  te  przedstawione  został y  n a  rys.  5  dla  wersji  obliczeń  nr  2.

6.  Wnioski

P rzedstawiona  p raca rozwią zuje  szczególny  przypadek  programowego  ruchu  samolotu.
Stanowi  tym  samym  przykł ad  wykorzystania  ogólniejszego  modelu  przedstawionego
w  [1].  Wybór  prostego  przypadku  lotu  oraz  uproszczenia  modelu  oddział ywań  aerody-
namicznych  podyktowan e  był y  chę cią   nieskomplikowanego  podejś cia  do  zagadnienia.

W  przypadku  symulacji  ruch u  w  pę tli  koł owej  tylko  jeden  z  dwu  zamodelowanych
param etrów  sterowan ia  determ inowany  był   warun kam i  wynikają cymi  z  postulatu  reali-
zacji  nał oż onego wię zu program owego;  Jak  wspom n ian o  w  niniejszej  pracy  oraz  pokazan o
w  pracy  [3], lepiej  uwarun kowan e  był o  poszukiwanie  funkcji  zmian  d„ jako  wynikają cej
z  warun ków  wię zu.  Tym  samym  funkcja  zmian  T  przyjmowana  był a a  priori  (postawiono
jedyn ie  warun ek  klasy  C2  tej  funkcji).  Z równań ruchu sam olotu wynika bowiem,  że  wektor
cią gu  jest  praktycznie  równoległ y  do  wektora  prę dkoś ci,  m a  wię c  znikomy  wpł yw  n a
zmianę   krzywizny  t o ru  ruch u.  Wychylenia  steru  d

a
  decydują   natomiast  o  wartoś ciach

ką towej  prę dkoś ci  sam olotu  Q,  a  tym  samym  decydują   o  zmianach  konfiguracji  sam olotu.



632  •  '  W:  BLAJER

Wyznaczane  warunki  wię zów  wartoś ci  d
H
  dopasowują   wię c  t ak  konfigurację   sam olotu,

by  w  każ dej  chwili  sił y n a kierun ku  n orm aln ym do  toru  równoważ yły  się   (jest  to  warunek
realizacji  wię zu  dynamicznego).  ,,'

Symulacja  pę tli koł owej z ustaloną  prę dkoś cią   lot u wykazał a, że realizacja  narzuconego
programu  (chodzi  tu  przede  wszystkim  o  warunek  V  =   0)  wymaga  afizycznego  modelu
zmian  wartoś ci  sił y  cią gu.  U waga  t a  dotyczy  przede  wszystkim  duż ych  wartoś ci  cią gu
wstecznego  w  I I I i  IV  ć wiartce  pę tli.  U zyskane  rozwią zanie  traktować  należy  zatem  jako
czysto  teoretyczne.  Poprawniejszym  z  pun ktu  widzenia  zastosowań  praktycznych  był oby
przyję cie  warunku  zmian  wartoś ci  prę dkoś ci  V jako  funkcji  typu  cosinusoidalnego  w  za-
leż noś ci  od  ką ta  y.

We  wszystkich  pokazanych  warian tach  obliczeń  param etry  symulowanego  ruchu
oraz  funkcje  zmian  determinowanych  warun kam i  wię zów  param etrów  sterowania,  silnie
zależ ały  od  przyję tych  warunków  począ tkowych.  Jakoś ciowy  ch arakter  tych  zm ian  był
jedn ak  zgodny  z  doś wiadczeniami  z  lotu  rzeczywistego.

Realizacja  zał oż onego  program u  n akł ada  warun ki  również  n a  począ tkowe  wartoś ci
wektora  stanu  odpowiedniego  ukł adu  równ ań  róż niczkowych.  Tylko  czę ść  z  nich  do-
bran a  może  być  dowolnie  z  pun ktu  widzenia  realizacji  wię zów.  Oznaczał o  t o  m.in.,  że
w  chwili  t  =   0  (punkt A  n a  rys.  1) sam olot już  realizował  zał oż oną  pę tlę.

Podję te  zagadnienie  może  mieć  praktyczne  wykorzystanie  przy  m odelowan iu  figur
akrobacji  lotniczej.  Redefiniowania  wymaga  jedn ak  przyję ty  model  m atem atyczn y  tak,
by  moż liwe  był o  formuł owanie  odpowiednich  wię zów  program owych.  D otyczy  t o  przede
wszystkim  zagadnienia  programowego  ruchu  przestrzennego.

Przedstawione  podejś cie  do  zagadnienia  zastosowane  może  być  również  do  innych
ukł adów  sterowanych  parametrycznie.

Literatura

1.  W.  BLAJER,  W yznaczanie Modelu  sterowania  samolotem  zapewniają cego  ś cisł ą realizację   ruchu  progra-
mowego,  Mech.  Teoret.  i  Stos.,  z  3,  1987.

2.  W.  BLAJER, J.  MARYN IAK, J. PARCZEWSKI, Modelowanie programowego  ruchu  samolotu w pę tli,  zb. ref.
XXV  Symp.  „Modelowanie  w  mechanice",  G liwice- Kudowa  1986.

3.  W.  BLAJER,  J.  PARCZEWSKI,  Model  matematyczny  wyznaczania  funkcji  sterowania  samolotem  w pę tli,
I I Ogólnopolska  Konf. „ M echanika w lotnictwie",  Warszawa 1986, M ech.  Teoret. i Stos.  z. 1 -  2,  1987.

4.  Z . G ORAJ,  Obliczanie sterownoś ci,  równowagi  i statecznoś ci  samolotu w zakresie poddiwiekowym,  Wyd.
Politechniki  Warszawskie,  Warszawa 1984.

CH M YJIH POBAH H E  I I P O r P AM H O r O  flBJD KEH H fl  CAM OJIETA
.  B  BEPTH KAJlBH Oft  n E T J I E

nporpaM H oe  flEWKeH ne  caiwojie'Ta  B BepTHKajibHoii  n ewie.  IJeH Tp  TH>i<ecTH   caiwo-
jifrra  «BH>KeTCH  n o  oi<py>KHocTH  nocToH H H oro paflH yca.  IIoJie'T  nponcxoflH T  c  nocTOfiHHoft  c K o p o d wo .
rioJiy*reH a  iwoflent  yn paBJiem ra  caiwoJi&roM,  oSecn craBaeT  pea3iH 3aą rao  npH H Jrroft  nporpaM iwbi.  CaivioneT
n peflciaBjies  KaK >Kecrirtrił   jieTaiomtrii  o6tei<T,  ynpaBjweiWMft  TH roił   flBH raTenn  H   OTKJioHemieM
BKICOTW.  npeflwaBjieH Bi  pesyjiwaTBi  BŁ I I H C JI C H H H   n a 3 B M .  .  • :>'- - i,,,  ,:•   ;



SAMOLOT  W  P Ę TU   PIONOWEJ  633

S u m m a r y

N U M E R I C AL  SIM U LATION   OF   AIRPLAN E  PROG RAM M ED
M OTION   I N   VERTICAL  LOOP

An  airplane  programmed  motion  in  vertical  loop  has  been  simulated.  The airplane  center  of  gravity
was  demanded  to  describe  an  ideal  circle,  and  in  the  other  example,  additionally  a  constant flying  speed
was  postulated.  The  model  of  airplane  control  ensures  that  the  simulated  motion  complies  with  the pro-
gram  constraints. The airplane  was  modelled  as  a rigid  body  controlled  parametrically  by  jet  thrust  force
and  elevator  deflections.  Some results  of  numerical  calculations  are  presented.

Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  17  kwietnia  1986 roku.

, •

...

8  M ech .  Tcoret.  i  Stos.  4/ 87