Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS87_t25_z1_4_PDF_artykuly\03mts87_t25_zeszyt_4.pdf


M ECH AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

4,  25,  (1987)

ROZ WIĄ Z YWAN IE  P R OBLEM ÓW  QU ASI- STATYCZN EJ
SP R Ę Ż YSTO- LEP KOP LASTYC Z N OŚ CI

Z E  WZ M O C N I E N I E M   KIN EM ATYCZN YM

M ACIEJ  BAN YŚ

Politechnika  W rocł awska

1.  Wstęp

D otychczasowe  rozwią zywanie  metodą  elementów  skoń czonych  quasi- statycznej
sprę ż ysto- lepkoplastycznoś ci  w  zakresie  mał ych  odkształ ceń  oparte  był o n a  procedurach
z  ograniczoną  stabilnoś cią  ze  wzglę du  na  krok  czasu.  W  kolejnych  artykuł ach  [2],  [8]
przedstawiona  został a procedura Eulera  oraz warunki  dla kroku  czasowego  w celu zacho-
wania  stabilnoś ci.  P odobn e ograniczenia  wystę pują  dla  procedury  począ tkowych  obcią ż eń
[1] z bezwarunkową  stabilnoś cią  dla param etru  aproksymacji  0  =   1. W pracy  [3] przed-
stawiono  procedurę N ewtona- R aphsona bezwarunkowo  stabilną  dla 0  ^ —. Z  wyją tkiem

procedury  Eulera  dla  0  =  0  rozważ ania  dotyczył y  sprę ż ysto- lepkoplastycznoś ci  bez
wzmocnienia.  Wiele  materiał ów  wykazuje  jedn ak  równocześ nie  wraż liwość  na  prę dkość
odkształ ceń  niesprę ż ystych  e" jak  i  samo  odkształ cenie  niesprę ż yste  E". Stąd  potrzeba
stosowania  bardziej  nieliniowych  praw  pł ynię cia.  Ogólnie  moż emy  zapisać  tę  zależ ność
w  postaci  macierzowej:

ł "  = / ( ? , £ ")  0.1)
gdzie  a jest  wektorem  naprę ż eń.
Podejś cie  sprę ż ysto- lepkoplastyczne  pozwala  n a  uzyskiwanie  rozwią zań  sprę ż ysto- plą-
stycznoś ci  jako  stanów  ustalonych  dla duż ych czasów  [8]. Taki  sposób  rozwią zywania  ma
charakter  metody  relaksacji  dynamicznej.  Czas  gra  rolę  fikcyjnego  parametru.  Prowadzi
to  do uzyskania  lozwią zania  zwią zanego  ze speł nieniem warunku  plastycznoś ci.

2.  Wzmocnienie  kinematyczne

Ograniczymy  się do przypadku  wzmocnienia  kinematycznego  [5], dla którego  wprowa-
dza  się  naprę ż enie  wzglę dne  a

k
  postaci

a
k
  = ą - .c- m-  e

a
,  (2.1)

gdzie  c jest  stał ą  wzmocnienia.  •



646 M .  BAN YŚ

Ponieważ  stosujemy  odkształ cenie  tzw.  inż ynierskie

du
x
  8u

2

dx
2
  dx±

stą d  musimy  wprowadzić  diagonalną   macierz  I I I  dla  trójwymiarowego  stan u n aprę ż en ia:

1 0  0  0  0  O'
1 0  0  0  0

1 0  0  0
1

111 = sym.
0  0

1

2

Warunek  plastycznoś ci  m a  postać  dla  granicy  plastycznoś ci  a
0
  przy  rozcią ganiu

Gkint  =   °O>  .  (2.2)

gdzie:

funt  =  \ f  ~2^ -
D

Iloczyn  S
D
<j

k
  =>  S

k
  stanowi  dewiator  naprę ż enia  wzglę dnego,  a  macierz  S[

D
 jest  postaci:

2

T

sym.

1
• 3

2

3

1

3
1

y
2
3

0

0

0

1

0

0

0

0
1

0

0

0

0
0
1

Wprowadzenie  macierzy diagonalnej  I I o postaci podobn ej d o macierzy  I I I , gdzie w  miejsce

- - n ależy  podstawić  2,  wynika  z  ograniczenia  się   do  wektorów  sześ cioelementowych.

Z godnie  z  koncepcją   materiał ów  statecznych  lepkoplastycznych  [5]  m oż emy  zapisać
prawo  konstytutywne  w  postaci

V  (2- 4)
do'

gdzie  y  jest  lepkoś cią,

F  =   1 okreś la  statyczny  warunek  plastycznoś ci,  a

f  =

dla  wzmocnienia  kinematycznego.

(2.5)



SP R Ę Ż YSTO- LE P KOP LASTYC Z N OŚĆ  Z E  WZ M OC N IEN IEM   647

Symbol  <<&> oznacza  próg,  powyż ej  którego  wystą pią  odkształ cenia  niesprę ż yste t zn :

(<Z>  dla  <Z>  Ss 0

H o  dla  tf<0.  < Z 6 >
F unkcję  &(F) moż na przyjmować  w róż nej postaci  [5] najczę ś ciej  jednak stosuje  się  funkcję
potę gową  &(F)  =   F".  Zgodnie  z  (2.4) i  (2.5)  moż emy  obliczyć  pochodne czą stkowe  i  za-
pisać

Taka  postać  równ an ia  konstytutywnego  gwarantuje  nieś ciś liwość  w  zakresie  niesprę ż y-
stym,  co jest potwierdzone doś wiadczalnie  dla metali.

3.  Metoda  Newtona- Raphsona

Oznaczmy  dla  wygody  przyrosty  zmiennej  a  w  przyroś cie

oraz  przyrosty  zmiennej  o; w  iteracji:

4ai+ i - aSił - si+ i.
Ponieważ  (1.1) jest  okreś lone  postacią  róż niczkową  moż emy  przyją ć,  że

l ^ + i ,  (3- 3)
gdzie  0  <  0  <  1 jest  param etrem aproksymacji  liniowej  postaci

N atom iast:

Aby  obliczyć  nieznane z  góry  wartoś ci  g ^ J ,  ^ %lK  rozwiń my  e" w  szereg  Taylora wzglę-
dem  pierwszych  pochodn ych

3 h
a T

  '
de"

  n+
@

wykorzystując  zależ noś ć:

Ao
n4

.Q  =   c/ •  / I C T „ + 1  o r a z  / )£«+ ©   —  ^

Ł ą cząc  (3.6)  z  (3.3)  otrzymujemy

d^ i,  =   G - 1  •  © U + 0  •  P
a
-   A ^ - 0  •  P

c
• óę °t

1
»)-  dt

n+1
,  (3.7)

gdzie:

wygody  wprowadziliś my  oznaczenia:

oraz  P 8  =



648  M.  BANYŚ

Ogólne  równanie  konstytutywne  dla  sprę ż ystoś ci  przy  zał oż eniu addytywnoś ci  odkształ ceń
sprę ż ystych  i niesprę ż ystych  m a  postać w wersji  przyrostowej

^ + i  =  5- ( < 3e »+ i- < 5Ą i),  (3.8)
gdzie  D jest  macierzą  sprę ż ystoś ci.  .  •   •   , •   • -••   '  '
Podstawiając  (3.7)  do  (3.8) i przekształ cając  wzglę dem  dą j,

+1
  otrzymujemy:

Aą i
+1
  =  DBK+i- D*  •   ( Ś « U•  K

+
i  +D-

1
 •   dofcl- dł

n+1
  - 0- P

e
-   dę kl)  ( 3. 9)

gdzie  D jest  macierzą  sprę ż ysto- lepkoplastyczną  z uwzglę dnieniem  wzmocnienia  kinema-
tycznego

t  = G
T
 •   (G-  D-

1
 •   G

r
+&-   ót

n+1
  •  P

a
 -   G 1 ) - 1 •  G =  D* •  G,  (3.10)

a  macierz
D*  = {G'D~

l
 + 6- dt

î
,- P

a
)- K  (3.11)

W  równaniu  (3.9) pojawia  się  macierz  odkształ ceń B  zwią zana  z dyskretyzacją  kon tin uum ,
ł ą czą ca  odkształ cenia z przemieszczeniami  wę zł ów.
Zwróć my  uwagę  na fakt,  że w równaniu  (3.9)  znamy  wszystkie  wielkoś ci  z  wyją tkiem
Agj,

+ 1
  oraz  < 3M £ + 1.

D oł ą czmy  do tego  równania  równanie  równowagi  postaci

(3.12)

gdzie  R„
+1

 jest  wartoś cią  obcią ż eń  wę zł owych  oraz  sprowadzonych  do  wę zł ów  sił  maso-
wych  i sił   od  odkształ ceń począ tkowych  w  ( n + l) - szym przyroś cie  czasu.
Podstawiając  (3.9)  do równania  równowagi  otrzymujemy  0

Sh9- 6ń + tr&fr+ 4*i  (3- 13)
g d z i e :  •   :  •

KUe  =  /  i1'•   Ił - B-   dV  ( 3 1 4 )

jest  macierzą  sztywnoś ci  sprę ż ysto- lepkoplastyczną,

(3- 15)

i  gra rolę  sił  począ tkowych  korygują cych  rozwią zanie.  Poł ą czenie równ ań  (3.9)  i  (3.13)
oraz  (3.8)  daje  procedurę  N ewtona- Raphsona  wzglę dem  zmiennych  u,o,s"  i  umoż liwia
efektywne  rozwią zanie  zadanego  problem u  sprę ź ysto- lepkoplastycznoś ci  oraz  sprę ż ysto-
plastycznoś ci  ze wzmocnieniem  kinematycznym.

Poniż ej  przedstawiony  zostanie  algorytm  analizowanej  procedury  typu  Ń ewtona-
R aphson a.  W algorytmie  wystę pują  nastę pują ce  oznaczenia:

e  dokł adność  obliczeń  w  przyroś cie,
MAX—  maksymalna  liczba  iteracji  w  przyroś cie,

T —cał kowity  czas  obcią ż enia  kon tin uum .
X  —  liczba  zmniejszają ca  przyrost  czasu.



SP R Ę Ż YSTO- LE P KOP LASTYC Z N OŚĆ  Z E  WZ M OC N IEN IEM 649

A l g o r y t m  p r o c e d u r y  i t e r a c y j n o  p r z y r o s t o w e j

Po d s  t a w i  ć  i  = 0  ;  n = 0
R o z w i ą z ać  z a g a d n i e n i e  s p r ę ż y s te

=  ! i '  fL°>&>  = E.B'io  > Eo=- 5

P r z y j ę c ie  S + n t ,  j  1 . 1

P o d s t a w i ć  u.n.i = Un ; ?!,«,  = 6 n  ;  i,n'.i  = l n

1
Obl  i c zyć .  mą ci  e r z  s zt y w n o ś ci

s i ł y  d o d at ko we  J

Rozwią zać  u k ł a d  równań  Kj , ł 0
- 6 u j , f ,  = R„ t l  * J(, t 8

O b l i c z e n i e  n a p r ę ż eń  A f i ' n t i  / 3 . 9 /

i  o d k s z t a ł c e ń  n i e sp r ę ż ys  t y c h  6 £ n t 1  / 3 . 8 /

Po d st awie  u k , " — g n * f l u i , *  ;
Soi  «  co  4,«:cai

Podstawić  i«—  i  ł- 1 Zmienić

Po d st awi  ć  n  •

Pod st awić  u n
c u  c

;  Sn  "—Sn»t

/ 3.U /
/3- 15/

/ 3.13/ 1

Rys.  1.

W  program ie  dodatkowo  jest  wbudowany  segment,  który  umoż liwia  zwię kszenie  dł ugoś ci
kroku  czasowego  dt  o  ile  liczba  iteracji  w  przyroś cie jest wystarczają co  mał a.
R ozpatrzm y  pewne  szczególne  przypadki  powyż szego  algorytmu.

de"
a)  Weź my  pod  uwagę  zależ ność  (1.1)  bez  wzmocnienia  tzn .  ś"  =f(a).  Wówczas- —-   =   0

i  stąd  macierz  G   =   I  oraz  D  =  \ D*  -   {D^ x+&  •   dt-   Po)'1.  Taki  algorytm  przedstawiono
w  pracy  [3].  Z asadn icza  róż n ica,  zwią zana  z  uwzglę dnieniem  umocnienia  tkwi  w  postaci
macierzy  G .  P onieważ  m ateriał   okreś lony  jest  stowarzyszonym  prawem  pł ynię cia,  stąd

9  Mech. Teoret.  i  Stos.  4/S7



650  M .  BAN YŚ

8k°
da

>  0  i  dla  wzmocnienia,  gdy  c  >  0
\ a

3 0.  Stą d  wniosek,  że  zarówno  macierz
G  jak  i  D  nie  bę dą   osobliwe.
b)  Zanalizujmy  wpł yw  param etru  aproksymacji.  Jeś li  0  =   0,  to  ffj+ 0  =   ą „; ef,

l

+e
  =   gg.

Stą d  G  —  I  oraz  D  =  D  =  D*.  M acierz  sztywnoś ci  Kj,
+e

  =  K  jest  stał a  i  sprę ż ysta.  Jest.
to  algorytm  Eulera  [2]  warunkowo  stabilny  ze  wzglę du  n a  przyrost  czasu.  P rocedura
iteracyjno- przyrostowa  upraszcza  się   do  przyrostowej.  D la  0^ =0  mamy  m etodę   typu
implicit.
c)  Istnieją   róż ne  modyfikacje  procedury  N ewtona- R aphsona  [4],  które  są   moż liwe  do
zastosowania  również  w  powyż szym  algorytmie.  Czę sto  jest  stosowana  modyfikacja
polegają ca  na  pozostawieniu  niezmienionej  macierzy  sztywnoś ci  K„  w  trakcie  iteracji  ze
zmianą   w  przyroś cie.  Taka  modyfikacja  m a  charakter  poł ą czenia  m etody  N ewtona-
R aphson a  z  metodą   począ tkowych  obcią ż eń.

4.  Okreś lenie macierzy  wystę pują cych  przy  wzmocnieniu kinematycznym

D o  obliczenia macierzy  sztywnoś ci  (3.14)  oraz macierzy  „ wzm ocn ien ia" G  są   potrzebne
odpowiednie  pochodne czą stkowe.  Mają   one  nastę pują cą   postać

(4.1)
i l l  _  3  cv

gdzie:
H  =   S

D
  •   U

;• .-
  i  m  3  •   1  I  80  1  W nS

  l  \   ( 4 - 2)

Zanalizujemy  wł asnoś ci  symetrii  macierzy  p .  M acierz  ;ff  jest  macierzą   symetryczną ,
ponieważ  iloczyny  S

D
- J1  i  S

D
  •   I I •   a

k
  •   qj  •  I I •   S

D
  mają   tę   wł asnoś ć.  Z  kolei  we  wzorze

8 e"T I 8 e"r \ T
(3.10)  wystę puje  iloczyn  m acierzy—= —•   I — 0-   6t

n+1
  •   —• =—I  .  Wł asność  symetrii

ca \ ~ as I

de"
T
  de"

m a  iloczyn  — j —  • - ~fl  =   /?i •   j82 •   BJ  •  III -   J^.  Z  powyż szych  wł asnoś ci  wynika,  że  ma-

cierz  sprę ż ysto- lepkoplastyczna  dla  wzmocnienia  kinematycznego  jest  symetryczna.

5.  Stabilność  procedury  numerycznej

Ponieważ  m etoda  N ewton a- R aphsona jest  zbież na  [1],  [4]  z  wyją tkiem  „ patologicz-
n ych "  przypadków,  dlatego  też  należy  okreś lić  jedynie  jej  stabilnoś ć.
Zapiszemy  w  wersji  róż niczkowej  równ an ia  konstytutywne  i  równowagi  wykorzystują c
model  lepkoplastyczny  ze  wzmocnieniem  kinematycznym



SP R Ę Ż YSTO- LE P KOP LASTYC Z N OŚĆ  Z E WZ OM C N IEN IEM 651

B
T
- ą - dV=  R.

Ł ą cząc  o ba równ an ia  otrzym ujem y:

st ą d:

- u = R+f  gr- D- h"- dV,

gdzie:

=  J If'- D- B- dV.
v

Przy  zastosowaniu  N  pun któw  G aussa  w cał kowaniu  numerycznym
N

oraz  W j>0,  j=\ ,...,N .

Łą cząc  zależ noś ci  (5.1) i (5.2)  dla  wszystkich  pun któw  G aussa  otrzymujemy

Ż  = 'D- B- K-
1
-   (R+M

T
  'D- W -  E- )- ~D  •  I " .

gdzie:

D  =
o

0

0

0

(5.1)

(5.2)

(5.3)

Wprowadzają c  wzmocnienie  kinematyczne  poprzez  naprę ż enie  wzglę dne  (2.1) moż emy
zapisać

-̂ l- cra- !*.  (5.4)
Z apiszemy  równ an ie  (2.7) w postaci

e  =  i_ •   fffc  l u t )  jg  i .  ~ *5  W1- 3^

gdzie:

j 0

Wprowadzają c  powyż sze  równ an ia  do  (5.3) otrzymamy

gdzie:

JE"1 .

(5.6)

(5.7)



652  M .  BAN YŚ

Sprowadziliś my  więc  ukł ad  równań  (5.1)  do nieliniowego  ukł adu  równań  róż niczkowych
zwyczajnych  wzglę dem  a

k
,  tzn. E_

k
  -   f(Z

k
).  Przy  braku  wzmocnienia  dla  c = 0  powyż szy

ukł ad  sprowadza  się  do  wyprowadzonego  w pracy  [2]. N a wstę pie  musimy_okreś lić  pewne
wł asnoś ci macierzy w (5.6). Analizując  macierz  5fc(5.7)  oraz macierz Sk = §_ bez wzmocnie-
nia  zauważ amy, że

S
k
 = S^ - c- Jl- W r

1
-   (5.8)

Jak  stwierdzono  w pracach  [2],  [3] macierz S jest  niedodatnio  okreś lona.  Ze  wzglę du n a
charakter  dodatnio  okreś lonej  macierzy  diagonalnej  wag  W  moż emy  wnioskować,  że  dla
wzmocnienia,  gdy c > 0,  |[c III fff~xH   > 0.  Oczywiś cie  iloczyn  cIllW '1  daje  macierz
symetryczną.  Stąd  wniosek,  że  S_

k
  jest  macierzą  symetryczną,  niedodatnio  okreś loną,

rzeczywistą.  Analizując  równanie  (5.5) moż emy  stwierdzić,  że macierz F jest  symetryczna,
nieujemnie  okreś lona.  Praktycznie  macierz  ta jest  osobliwa  jedynie  w przypadku  speł nie-
nia  warunku  plastycznoś ci.  Ten  warunek  zostaje  osią gnię ty  asymptotycznie jako  rozwią-
zanie  stacjonarne  dla duż ych  czasów.  Wynika  to z  niedodatniej  okreś lonoś ci  iloczynu
S

k
W F.  Wówczas  wartoś ci  wł asne  l

k
  < 0, co  zapewnia  asymptotyczną  stabilnoś ć.  Analiza

stabilnoś ci  numerycznej  może  być  przeprowadzona w identyczny  sposób jak w pracy  [3],
ponieważ  macierze  mają  te same  wł asnoś ci  dla wzmocnienia  kinematycznego, jak i  bez
wzmocnienia  co pokazano  powyż ej.
Rozwią zanie  w  naprę ż eniach  wzglę dnych  E

k
  równania  (5.6)  m oż na  zapisać  nastę pują co

_  ±ik(n  + l)  — J - t o i+ ^ n +1  ' §_kL n+e ' ?- Un + B)>  (5.9)

gdzie;  L =W - £,
n  —  oznacza  przyrost,
© —jest  parametrem  aproksymacji  liniowej.

Ostatecznie  otrzymuje  się identyczne  kryterium  stabilnoś ci  postaci

1,  (5.10)

gdzie  X{ jest  j- tą wartoś cią  wł asną  macierzy  L S
k
L .

Stąd  wniosek,  że dla 0  > — warunek  (5.10)  zawsze  bę dzie  speł niony i  otrzymamy  algo-

rytmy  z  bezwarunkową  stabilnoś cią.  D la  0  < —  otrzymamy

gdzie  X = max  \ Ą \ .  Ponieważ  X[ zależ y  zarówno  od £
kn

, jak i  od E
H
„

+1)
  (z  wyją tkiem

procedury  Eulera  dla 0  =  0) wówczas  nie  moż na z góry  okreś lić  warunku  (5.11).

6.  Zastosowania  numeryczne

D o  obliczeń  wybrano  przykł ad  rury  gruboś ciennej  i  zbiornika  kulistego  obcią ż onych
ciś nieniem  wewnę trznym.  Przykł ady te są rozwią zane  w literaturze,  dlatego  jest  moż liwe
porównanie  wyników.  W  obu  wypadkach  zastosowano  prawo  konstytutywne  lepkopla-
styczne  postaci  (2.7)  z  funkcją  potę gową  0(F) =   F".



SPREŻ YSTO- LEPKOPLASTYCŻ NOŚĆ  ZE  WZMOCNIENIEM 653

6.1.  Nieskoń czenie  długa rura  gruboś cienna.  P rzykł ad  ten  zanalizowano  w  pracy.  [3]  dla
lepkoplastycznoś ci  bez  wzmocnienia.  '•
D an e  m ateriał owe:

E'=  3- 107

v  = 0 . 3
(T0  =   3 •   10

4  :

» • - ! . .

m oduł   Youn ga
uł am ek  P oisson a
granica  plastycznoś ci
wskaź nik  potę gowan ia
lepkość
współ czynnik  wzmocnienia

y  =   1.- 10-8

c  =  1.15 - 107

c  -   4.5  •   106

c  =   1.- 106

Rys.  2. Rura  gruboś cienna.  D yskretyzacja.

'  Q5

Rys.  3. Rura  gruboś cienna.  Wykresy  przemieszczeń  u
r
, r — oznacza  promień,  linie  cią gle — obliczenia

wedł ug  pracy [7];
+   — obliczenia  m etodą   elem entów  skoń czonych  z zastosowaniem  8 elem entów; wartoś ci  przemieszczenia  w wę zł ach elementów;

c  m 10«,
T-   obliczenia  metodą   elementów  skoń czonych  z  zastosowaniem  20  elem entów;  wartoś ci  przemieszczenia  w  wę zł ach  elementów:

o — bez  wzmocnienia,
H   ze  wzmocnieniem  kinematycznym  c—  1,15 •   107.



654  \   .  M .  BANYŚ

Z astosowan o  osiowo- symetryczne  trój wę zł owe  elementy  Lagran ge'a  z  ograniczoną   moż li-
woś cią   odkształ ceń  e s  =   0  w  kierun ku  osi  symetrii  oraz  cał kowanie  num eryczne  dwu-
pun ktowe  kwadraturą   G aussa.  D yskretyzowano  przekrój  n a  8 i  20  elementów  otrzymują c
odpowiednio  17 i 41  wę zł ów.  Wykonane  obliczenia  miał y  n a  celu  potwierdzenie  rozważ ań

teoretycznych,  zwią zanych  z  bezwarunkową   stabilnoś cią   dla  0  Js  - —  i  dowolnie  duż ych

przyrostów  czasu  dt  oraz  uzyskanie  rozwią zań  dla  poś redn ich  czasów.  P onieważ  m oż na
uzyskać  rozwią zanie  sprę ż ysto- plastyczne  dla  duż ych  czasów,  z  tego  wię c  wzglę du  przy<-
ję to  przyrost  czasu  ót  =   1O10  (przebadan o  również  wię ksze  przyrosty  czasu  dt  <  10 1 2

uzyskują c  te  same wyniki).  Rozwią zaniem  startowym  był o  rozwią zanie  „ czyst o "  sprę ż yste.
D la  róż nych  wartoś ci  param etru  aproksymacji  0  testowan o  zacjowanie  się   procedur.

P odobnie ja k  w  przypadku  bez  wzmocnienia  [3] dla  0  >  —  algorytm  m iał   bezwarunkową

stabilnoś ć,  jednakże  dokł adn ość  zależ ała  od  wartoś ci  przyrostu  czasu  dt.  D la  0  =   1
niezależ nie  od  wielkoś ci  dt  otrzym an o  bardzo  dokł adn e  wyniki  dla  stan u  ustalonego

de"
zarówno  dla  naprę ż eń jak  i  przemieszczeń  (Rys.  3- -̂ 6).  P ominię cie  wpł ywu - —  w  pro-

cedurze, co odpowiada stosowaniu  m etody począ tkowych  obcią ż eń wzglę dem  e",  powoduje

znaczne bł ę dy w  obliczeniach dla  duż ych  <51.  D la mał ych  61 zmniejsza  się   ten wpł yw  w  ma-

cierzy  „ wzm ocn ien ia"  G  i  tym  samym  bł ę dy maleją .  Jedn akże  dla  obliczeń  sprę ż ysto- pla-

stycznych  ze  wzmocnieniem, gdy  jest  wymagany  duży  krok  czasu  d t, powin n o  stosować

się   przedstawioną   procedurę .  Wykon an o  obliczenia  bez  wzmocnienia  i  ze  wzmocnieniem

kinematycznym  dla  róż nych  współ czynników  (Rys.  3- r6).  W  zakresie  bez  wzmocnienia

wyniki  porówn an o  z  zamieszczonymi  w  pracach  [6],  [7] z  odpowiednim i  uł am kam i  Pois-

sona,  tzn. v  — 0.3, v  — 0.25.  Otrzym an o bardzo  dobre  wyniki.
W  pracy  [7]  przedstawiono  rozwią zywanie  zagadn ien ia  sprę ż ysto- plastycznej  rury

ze  wzmocnieniem  liniowym.  W  celu  sprawdzenia  wyników  równ ań  róż niczkowych  zwy-
czajnych  wyprowadzony  w  powyż szej  pracy  rozwią zaliś my  m etodą   Rungego- Kutty  czwar-
tego rzę du. We wszystkich przypadkach zgodność wyników jest  bardzo  dobra i  praktyczn ie
dla  8 elementów  warunek  plastycznoś ci jest  speł niony idealnie w  każ dym  pun kcie  G aussa.
D la  0  =  1 już  w  drugim  przyroś cie  osią ga  się   stan  ustalon y.  Liczba  iteracji  n ie  przekra-
czał a  pię ciu.  Oczywiś cie  również  w  zakresie  przemieszczeń  zgodność  jest  bardzo  dobra
z  bł ę dem  poniż ej  0.03%.

6.2.  Gruboś cienny zbiornik  kulisty.  Z astosowano  trójwę zł owe  elementy  Lagran ge'a  oraz
dwupunktową   kwadraturę   G aussa  do  cał kowania  num erycznego.  D an e  m ateriał owe
przyję to  takie  same jak  w  przypadku  rury  gruboś ciennej  (pkt.  6.1.)  Ciś nienie  wewnę trzne
był o  stał e  i  wynosił o  p  =   40000.  Obliczenia  wykon an o  dla  8  elementów  z  17  wę zł ami.
P odobn ie  ja k  w  poprzednim  przykł adzie  otrzym an o  bardzo  dokł adn e  wyniki  dla  0  =   1

niezależ nie  od  wielkoś ci  przyrostu  61.  D la  mniejszych  wartoś ci  0  s  <f - ?- >  11  pom im o

bezwarunkowej  stabilnoś ci  dokł adn ość  pogarszał a  się .  D la  0  =   0  warun kowo  stabiln a
procedura  zmuszał a do  stosowania  duż ej  liczby  przyrostów.

Wyniki  porówn an o  z  wł asnymi  obliczeniami  wedł ug  rozważ ań  z  pracy  [7]  zarówn o
dla  wzmocnienia  liniowego  jak  i  bez  wzmocnienia.  N a  kolejnych  rysun kach  7,  8  oraz  9



Rys.  4.  R ura  gruboś cienna.  Wykresy  naprę ż eń  promieniowych  a,/ p;
p  oznacza ciś nienie wewnę trzne, r —  oznacza prom ień , linie cią gle —  obliczenia  wedł ug pracy  [7],
+   —o bliczen ia  m etodą   elementów  skoń czon ych  z  zastosowaniem  8  elementów  trójwę ztowych  oraz  dwupunktowe  ikwadratury
G aussa  do  cał kowan ia n um eryczn ego;  wartoś ci  w  pun ktach  G aussa, dla  wzmocnienia  kinetycznego  c  =   1,15  •   106,
—  obliczenia  m etodą  elementów  skoń czonych z zastosowaniem  20 elementów trójwę zł owych;  wartoś ci  naprę ż eń w ś rodku elemen-

t ó w:  '
o —  bez  wzmocnienia,

H   ze  wzmocnieniem  kinematycznym  o  — 1,15  •   107.

Rys.  5,  Rura  gruboś cienna.  Wykresy  naprę ż eń  obwodowych  cr@/p;
p—  oznacza  ciś nienie  wewnę trzne,  r —  prom ień ,  linie  cią gle —  obliczenia  wedł ug  pracy  [7];

• +  "  —  obliczenia  m etodą   elem entów  skoń czon ych  z  zastosowaniem  8  elementów  oraz  dwupunktowej  kwadratury  G aussa  do
cał kowan ia  n um eryczn ego;  wartoś ci  n aprę ż en ia  w  pun ktach  G aussa.

[655]



0.3

0 3 0.6 0.7  0.B
r/ b

0,9 1,

Rys.  6. R ura  gruboscienna.  Wykresy naprę ż eń
osiowych a^ p; p—  oznacza  ciś nienie  wewnę -
trzne, r — promień,  linie  cią głe — obliczenia

wedł ug  pracy [7];

H   obliczenia  m etodą   elementów  skoń czonych  z za-
stosowaniem  8 elem entów  oraz  dwupunktowoj  kwadra-
tury  G aussa  do  cał kowan ia  n um eryczn ego;  wartoś ci
n aprę ż eń w pun ktach G aussa, wzmocnienie  c =  ł  •  10e,
—  obliczenia  metodą   elementów  skoń czon ych  z zasto-
sowaniem  20  elementów  trójwę zlowych;  wartoś ci  n a-

prę ż en ia  w  ś rodku  elem en tów:

o — bez  wmocnienia,
+   —z e  wzmocnieniem  kinematycznym  c =   1,15*  107.

1.5

R ys.  7.  Z bio rn ik  kulisty.  Wykresy  przem ieszczeń  u,;r  —  o zn acza  p ro m ień , lin ie  cią głe —  obliczen ia  wedł ug

p rac y  [7];
+   o —o bliczen ia  metodą   elementów  skoń czonych  z  zastosowaniem  8  elementów  oraz  dwupun ktowej  kwadratury  G aussa  do

cał kowania  numerycznego;  wartoś ci  przemieszczeń  w  wę zł ach  elementów.

(656]



„05 03  ID

z  umocnieniem
kinematycznym

, .  c = M 0 6

Rys.  8.  Zbiornik  kulisty.  Wykresy  naprę ż eń  promieniowych  a,jp\
p —  oznacza  ciś nienie  wewnę trzne,  r- —promień ,  linie  cią głe —  obliczenia  wedł ug  pracy  [7].
+   —  obliczenia  metodą  elementów skoń czonych  z zastosowaniem  8 elementów  oraz  dwupunktowej  kwadratury  G aussa  do cał ko-

wania  n um eryczn ego;  wartoś ci  naprę ż enia  w  pun ktach  G aussa,  wzmocnienie  kinematycznec  =   10',
—  obliczenia  m etodą   elementów  skoń czonych  z  zastosowaniem  8 elementżw  oraz  dwupunktowej  kwadratury  G aussa;  wartoś ci

naprę ż enia  w  ś rodkach  elem entów:
o  —  bez  wzmocnienia,
4  ze  wzmocnieniem.

ze wzmocnieniem
kinematycznym

ze wzmocnieniem
kinematycznym
c=1- 106

' 0 . 5 0,6 0,7  0,8
r/ b

0.9

Rys.  9.  Zbiornik  kulisty.  Wykresy  naprę ż eń  obwodowych a&jp;
p —  oznacza  clś niene  wewnę trzne.  D yskretyzacja  —  8  elementów  trójwę zlowych,  linie  cią gle —  obliczenia  wedł ug  pracy  [7].

o  —  obliczenia  m etodą   elementów  skoń czonych  dla  ś rodków  elementów,
+   —  obliczenia  metodą   elementów  skoń czonych  dla  dwupunktowej  kwadratiury  G aussa cał kowania  num erycznego;  wartoś ci

n aprę ż en ia  w  pun ktach  G aussa.

[657]



658  M .  BAN YŚ

przedstawiono  wyniki  dla  przemieszczeń  i  naprę ż eń  dla  param etru  aproksymacji  liniowej
0 = 1 .  Przyję to  przyrost  czasu  dt  =   109.  D la  innych  przyrostów  czasu  dt  otrzym an o
praktycznie  identyczne wyniki,  z  tym  że  dla  mniejszych  d t  wym agan a  był a wię ksza  liczba
przyrostów  w  celu  osią gnię cia  stan u  ustalon ego.

7.  Wnioski

Przedstawiony  iteracyjno- przyrostowy  algorytm  typu  N ewton a- R aph sona  umoż liwia

efektywne  rozwią zywanie  zarówno  zagadnień  quasi- statycznej  sprę ż ysto- lepkoplastycz-

noś ci  jak  i  sprę ż ysto- plastycznoś ci  z  uwzglę dnieniem  wzmocnienia  kinem atycznego.  P o-

kazano  kryteria  stabilnoś ci  procedury  z  bezwarunkową   stabilnoś cią   dla  param etru  apro-

ksymacji  liniowej  0  & — .  Z analizowano  wł asnoś ci  macierzy  sztywnoś ci  oraz  macierzy

wystę pują cych  w  nieliniowym  ukł adzie  równ ań  róż niczkowych  zwyczajnych  (pun kt  5.).
P raca  jest  rozszerzeniem  rozważ ań  poprzedn ich  publikacji  nie  uwzglę dniają cych

wzmocnienia  albo  stosują cych  procedury  warun kowo  stabilne  ze  wzglę du  n a  wielkość
przyrostu  czasu  dt.  Zamieszczono  przykł ady  numeryczne  potwierdzają ce  rozważ an ia
teoretyczne.  D alszych  prac  wymagają   rozważ ania  dotyczą ce  innych  m odeli  wzmocnie-
nia  i  w  tym  kierunku  prowadzon e  są   przygotowania.

Literatura

1.  J. H .  ARG YRIS,  L. F .  VAZ,  K. J.  WILLAM,  Improved solution methods for  inelastic  rate problems, Comp.
M eth.  in App. Mech.  and Eng.  16, 31 -  77, 1978.

2.  I .  CORMEAU,  N umerical  stability in quasi- static  elastojviscoplasticity,  I n t. J.  for  N um .  M eth.  in  Eng.
9,  109 - 127, 1975.

3.  T. J. R.  H U G H ES, R. L.  TAYLOR,  Unconditionally  stable  algorithms  for  quasistatic elastolvisco- plastic
finite  element analisis, Comp.  Struct.  8,  159- 173, 1978.

4.  M.  KLEIBER,  Metoda  elementów skoń czonych  iv  nieliniowej mechanice kontinuum,  PWN - Warszawa-
Poznań 1985.

5.  P.  PERZYN A,  T eoria lepkoplastycznoM,  PWN  1966.
6.  W.  PRAG ER,  P. G .  H OD G E,  T heory of perfectly plastic solids, J.  Wiley 1951.
7.  W. W.  SOKOLOWSKI,  T eoria plastycznoś ci,  PWN   1956.
8.  O. C. ZIEN KIEWICZ, I.  CORMEAU,  Visco- plasticity, plasticity and creep  in elastic solids — a unified nume-

rical solution  approach,  I n t. J.  for  N um .  M eth.  in  Eng. 8,  821 -  845, 1974.

P  e 3  IO M  e

P E fflE H H E KBA3H C TATH *I E C KH X  3ARPJI
C  K H H E M AT I T I E C K H M

MeTofl  Koi- ieiHfeix  sjieMem'oB  fljin  KBa3H- CTaTHiecKKX  npo6jieM
iiocTH   c yqeToM   KiiH eM anraecKoro  ynpovtH eH H a.  ITpeflCTaBJieH   H TeppanH oiiH tifi  anropnTM   rana  H Ł I O T O -

H cnojiL3yn  jiH H eń nyio  anpoKciiM ai;nto  c napaiweTpoM  ®.  IToKa3aH o, *rro  H JIH   ©  3=  —  a n r o -

HBJineTCH  6e3ycnoBH o  CTaSanwibiM.  npH BefleH w  qncjieH H we  npH M epBi, noflTBep)Kflaioinne  Teope-
n wecK o e  penieH H e



SP R Ę Ż YSTO- LE P KOP LASTYC Z N OŚĆ  Z E  WZMOCN IEN TEM   659

S u m m a r y

SOLU TION S OF  QU ASI- STATIC PROBLEM S OF  ELASTO- V1SCOPLASTICITY  WITH
KIN EM ATIC  H AR D E N I N G

The  finite  element  method  is  applied  to  quasi- static  elasto- viscoplasticity  with  kinematic hardening.

N ewton- Raphson algorithm  with  linear  approximation  is  developed.  U nconditional stability  for  the appro-

ximation  parameter & 5=   —  is  shown.  Selected  examples  illustrate  theoretical  investigations.

Praca  wpł ynę ł a  do  Redakcji  dnia  9  lipca  1986  roku.