Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z1_2.pdf M ECH AN I KA TEORETYCZNA T  STOSOWANA 1/ 2,  24,(1986) O  PRZYBLIŻ ONYM  ROZWIĄ ZYWANIU  JEDNOWYM IAROWYCH  ZAGADNIEŃ ODWROTNYCH  PRZEWODNICTWA  CIEPLNEGO K R Z YSZ T O F   G R YSA  ••   j H EN RYK.  KAM I Ń SKI Politechnika  Poznań ska Wstęp W  pracy  [1]  wyprowadzono  stowarzyszone  równania  cał kowe  dla równania  H elm- holtza  i  pokazano  ich  zastosowania  do  rozwią zywania  zagadnień  odwrotnych  przewód* nictwa  cieplnego.  Przez  zagadnienia  odwrotne  rozumie  się  przy  tym  zagadnienia  wyzna- czania strumienia ciepł a lub  temperatury na brzegu i wewną trz  pewnego  obszaru  D  a  E"\ m =  1,2,  3,  na podstawie  tzw.  wewnę trznych  odpowiedzi  temperaturowych  lub stru- mieniowych,  [1]. Z tego typu  problemami moż na się spotkać w wielu dziedzinach techniki; doczekał y  się  one  także  dosyć  bogatej  literatury  (por.  [8, 9, 10]).  W  niniejszej  pracy omówiono trzy  typy jednowamiarowych  zagadnień  odwrotnych, a mianowicie  zagadnienia dotyczą ce warstwy pł askiej, kuli i warstwy kulistej  oraz walca  i warstwy walcowej.  D o roz- wią zywania  tych  zagadnień  zastosowano  równania  cał kowe  wyprowadzone  w pracy  [1], Równania  te w  wymienionych  przypadkach  moż na był o rozwią zać  w  postaci  zamknię tej, co  pozwolił o  otrzymać  wzory  rekurencyjne  okreś lają ce  pewne  ukł ady  funkcji,  które stanowią  przybliż one  rozwią zania  tych  zagadnień.  Analiza  tych  wzorów  doprowadził a do  interesują cych  wniosków  dotyczą cych  wpł ywu  bł ę du  danych  na wyniki  obliczeń. Wnioski  te znalazł y  swoje  potwierdzenie  w przykł adach  liczbowych. 1.  Poję cia  podstawowe Zagadnienie  rozwią zania  równania  przewodnictwa  cieplnego  w  pewnym  obszarze QxT ,  gdzie  Q < Em, m = 1, 2,  3,  zaś  f  =   (0, t c ),  t e   <  - t- co, jest  pewnym przedział em czasowym,  moż na  sprowadzić  do zagadnienia  rozwią zywania  kolejno  po sobie  nastę- pują cych  równań  H elmholtza  w  obszarze  £i. W tym  celu  w równaniu  przewodnictwa cieplnego, { ^ f ,  (1.1) 4  K .  G RYSA,  H .  KAM IŃ SKI (w  którym  «  oznacza  współ czynnik  dyfuzyjnoś ci  temperaturowej,  T  jest  temperaturą wzglę dną,  mierzoną  od  pewnej  temperatury  odniesienia,  zaś F =  —QIX,  gdzie  Q jest intensywnoś cią  ź ródła  ciepł a,  a  A — współ czynnikiem  przewodnictwa  cieplnego)  należy w  miejsce  pochodnej  d&jdt  podstawić  pierwszą  róż nicę  wsteczną.  Jeś li  oznaczymy k T„ ek(x)  «  r( *.  tk),Pk  =   (xn)- 1'2,  t0  =   o, 0.2) gdzie  Tft jest  krokiem  czasowym,  t o w chwili  t k  moż na w miejsce  równania  (1.1)  rozważ ać równanie  H elmholtza  postaci, [1], (1.3) U kł ad  funkcji  {© k } k - i   K ,  otrzymanych  w  wyniku  rozwią zania  równania  (1.3)  dla k  — 1, ..., K, stanowić  bę dzie  przybliż one  rozwią zanie  równania  (1.1). Oczywiś cie  oprócz  równania  (1.1)  znany  musi  być także  warunek  począ tkowy  oraz warunki  brzegowe  (w przypadku  zagadnień  począ tkowo- brzegowych,  nazywanych  także prostymi),  lub tzw.  wewnę trzne  odpowiedzi,  [1] (w przypadku  zagadnień  odwrotnych). N iech  funkcje  T b (C, t) i  c6(C, / ) ,  (£ , t) e dś 2x  T ,  okreś lają  odpowiednio  temperaturę i  jej  pochodną  normalną  na brzegu  dO rozważ anego  obszaru,  tzn. eT ,  (1.4) gdzie  »(£) jest  normalną zewnę trzną  do  8Q.  N iech funkcje  T *(x*, t) i q*(x*, t), (x*, t) e e  8Q* xT ,  Q* <=z  Q,  opisują  odpowiednio  wewnę trzne  odpowiedzi  temperaturową i  strumieniową  (w skrócie  WOT  I  WOS),  [1],  speł niają ce  warunki T *(x\   t) =   lim T (x, t), q*(x*, t) = lim ^ ' f  ,  (1.5) * - » *•   *- • *»  dn{x*) gdzie  x eQ\ 8Q*,  t e T ,  zaś n(x*)  jest  normalną  zewnę trzną  do  3Q*.  N iech  funkcja ® 0 (x),  x eQ,  opisuje  począ tkowy  rozkł ad  temperatury w  obszarze  Q,  tzn. (O,   0- 6) r- »0 zaś  funkcja  T 2 (C t  t), (_C,t)edQx  T —temperaturę  otoczenia. Rozwią zując  zagadnienia  odwrotne  przewodnictwa  cieplnego  przy  wykorzystaniu równania  (1.3)  dla k =  1,...,K,  posł ugiwać  się bę dziemy  pewnymi  ukł adami  funkcji zmiennych  przestrzennych,  wprowadzonymi  w miejsce  T *,q*, czy T z , T h  i  q h .  F unkcje te  bę dą  okreś lone  nastę pują co: ® «(©  =   T b (ł ,  t k ),  q bk (C) =  $,({, t k ), J^rtCO =  T / ł ,  h),  0*(x*)  = T *(x*, t k ),  qH**)  =  4*{x*,  t k ),   ihT > e  9i3, A:* S 9/ 3*,  /c =  1, ..., K.  G dy n a  brzegu  8Q  bę dzie  miał a  miejsce  swobodna OD WROTN E  ZAG AD N IEN IE PRZEWOD N ICTWA  CIEPLN EG O  5 wymiana  ciepł a ze współ czynnikiem  wymiany  k|/ *).  (1.10) Tutaj, [I], Sm(x,p\ h)m  \ G m (x- i gdzie  m — 1, 2, 3,  oraz - - e- 9\ *- »\  gdym  =  1, ^ • K 0 (p\ x- y\ )  gdym  = 2,  (1.13) - _ L _e - p i^ 'i  gdym =   3. Cał ka  S,„ nazywana  jest  potencjał em  warstwy  pojedynczej  dla  równania  H elmholtza, cał ka  V m  — potencjał em  obję toś ciowym,  zaś  funkcja  G m  jest  rozwią zaniem  podstawowym równania  (1.3),  [1], W  pracy  [1] pokazano  takż e, że gdy obok  równania  (1.3)  dana jest  funkcja  # *( **) , x*  G  8Q*, wówczas  rozwią zanie  tego równania istnieje w postaci  (1.9), o ile istnieje  funkcja h k   na 8Q, która  speł nia równanie 8S m {x\ p k \ h k )  . „ . « _ .  dV m (x*,p k \ f k ) 8n(x*)  "  q  {X  >  8n(x*)  '  K  } Równania  (1.10) i  (1.14) są  dla  m — 2,3 cał kowymi  równaniami  F redholma,  przy  czym równanie  (1.10) jest  I rodzaju,  zaś (1.14)  może być  równaniem I  lub  I I rodzaju  zależ nie od tego, czy  8Q* i dQ mają   czę ść  wspólną   czy nie. W przypadku  m  — 1 równania  (1.10) i  (1.14) przyjmują   postać ukł adu równań algebraicznych  (por.  [1]). W  dalszych  czę ś ciach  pracy  skupimy  uwagę   na rozwią zaniu  równań  (1.10)  i  (1.14) dla problemów jednowymiarowych.  Przy opisie  tych problemów współ rzę dne  przestrzenne oznaczać  bę dziemy  literami  ł aciń skimi lub greckimi  bez  podkreś lenia. 6  K.  G RYSA,  H .  KAM IŃ SKI 2.  Warstwa  pł aska N iech  obszar  Q  bę dzie  warstwą   pł aską ,  ograniczoną   pł aszczyznami  x  ~  a  i  x  -   b. Ponieważ  roz-  / aż amy  zagadnienie  jednowymiarowe,  wię c  bę dziemy  utoż samiać  obszar Q  z  odcinkiem  (a,  b)  <=  E1.  N iech  Q*  =   {x d ,  x g ),  przy  czym  a  «S x d   <  x g   <  b.  Brzegi obszarów  Q  i  Q*  c  Q  okreś lone  bę dą   nastę pują co:  dii  =   {a; b},  8Q*  —  {x d ;  x 0 }. D la  warstwy  pł askiej  rozważ ymy  dwa  typy  zagadnień  odwrotnych: 1°  W  punktach  x  = x d   i  x  =  x g   dane  są   WOT: 2°  W  punkcie  x  — x d   dana jest  WOT,  zaś  w  punkcie  x  =   x g   —  WOS. W  obu  przypadkach  zakł adamy,  że  znany  jest  warunek  począ tkowy  dla  temperatury oraz że  w  obszarze  Q  brak jest ź ródeł  ciepł a.  Zakł adamy takż e, że znane są  współ czynniki M i  / t. Współ czynnik  wymiany  ciepł a, a,  nie jest  znany,  natomiast znana jest temperatura otoczenia. F u n kcjam i  poszukiwan ym i  są   tutaj  T (x,  t),  {x,  t)  e QxT ,  T b (a, t),  T h (b, t),  q b (a,  t), qh(b,  t)  o raz  x(a,  t)  i  a ( 6 ,  t),  teT .  F un kcjam i  dan ym i  są   T *(xj,  t)  i  T *(x g ,  t)  (w  zagad- nieniu  1°)  lub  T *(x A>   t)  i  q*(x e ,  t)  (w  zagadnieniu  2°).  Zamiast  wyż ej  wymienionych furikcji  posł ugiwać  się   bę dziemy  ukł adem  funkcji  {0 k }  oraz  ukł adami  wielkoś ci  {&%}, {Ok},  {?*}.  W ),  W },  K } ,  oraz  (0,Y>,  (0* k }\   {^ },  zdefiniowanych  zwią zkami: &i  =   O bk {a),  G\   B  @ bk (b),  q%  s  q bk {a),  4  *  fe(*), q* 9 *   s   tf( x »)>  «? =   «*(«)> «fc •   « k (b),  9* ik   m  9t(x<),  ©* k   a  ą *( x9 ) . Cał ki  5]  i  K,  oraz  pochodna  dSi[8n  mają   tutaj  postać,  [1], - [ e A ( f l ) + e ^ ( & ) ], x s ( a , b ) ,  (2.2) 6 ^  (X,  P\ f)  -   -   - ~  /   a- «- »l/ (y)  (1.9),  (2.2),  (2.3) i  (2.6)  otrzymujemy  nastę pują cą   postać  funkcji  0 k \ OD WROTN E  ZAG AD N IEN IE  PRZEWOD N ICTWA  CIEPLN EG O (2.6) +  1 gdzie  /   =   x,,—x d ,  x  e  (a,  b),  k  =  1  K. Wielkoś ci  &\   i  @\  m oż na  wyznaczyć  bezpoś redn io  ze  wzo ru  (2.6),  kł ad ąc  w  n im  o d p o - wiedn io  x  — a  lu b  x  =  b.  P o d o bn ie,  róż n iczkując  wzór  (2.6)  i  kł adąc  n ast ę p n ie  x  =   a lu b  x  — b  m oż na  wyznaczyć  wielkoś ci  q%  i  c*.  P rzy  zn an ych  funkcjach  T T {a,  i)  i  T s (b,  t) współ czynniki  wymiany  ciepł a  n a  brzegach  x  — a  i  x  =   b  m oż na  wyzn aczyć  ze  wzorów "•   / ..i'*  / *jł (l  '  *  / Liw  / .̂ IR  '  v  ' gdzie  Stu  -   r . ( o ,  / *) .  0 * *  =   3T,(6,  h). Wzór  rekurencyjny  (2.6)  m a  duże  znaczenie  dla  iden tyfikacji  t em perat u ry  w  cał ej warstwie  n a  podstawie  WO T  pochodzą cych  n p .  z  p o m iaró w.  Wówczas  je d n a k  powstaje pytan ie, jaki  jest  wpł yw  n a  bł ąd  obliczeń  takich  wielkoś ci  ja k  odległ ość  po m ię d zy  p u n k- tam i,  w  których  zadan e  są  WOT,  krok  czasowy  i  d o kł ad n o ść  pom iaru  WO T . W  dalszych  rozważ an iach  odcin ek,  zawarty  po m ię d zy  p u n kt a m i,  w  kt ó rych  d an e  są wewnę trzne  odpowiedzi,  nazwiemy  b a z ą  zagadn ien ia  o d wro t n ego  i  ozn aczym y  przez  U. Z ał óż m y,  że  WO T  w  pun kcie  x d   e  ( a , b),  w  chwili  t k   o barczo n a  jest  bł ę dem  £* lk , o r a z że  funkcja  T *(x ff ,  t k )  obarczon a jest  bł ę dem e* k .  D la  uproszczen ia  przyjm iem y,  że  x e   =   b, zaś  bazę  (xj,b)  oznaczym y  UR.  Bł ąd  obliczeń  t em perat u ry  0 k ,  który  ozn aczym y  efc(x), bę dzie  zatem  spowodowan y  bł ę dami  e*fc,  e*k  oraz  bł ę dem  e t _ 1 ( x) ,  gdzie  k  —  I,...,  K, Wykorzystując  (2.6)  otrzym ujem y  nastę pują cą  po st ać  bł ę du  e k : gdzie  8 k „i  jest  wartoś cią  ś rednią  bł ę du  e k ^ l (x) i   x  e(a,  b)  (por.  [2]3  rozdz.  4.7).  P oł óż my ± = Ł r,  H =   l = - Ł ,̂  (2.9) y  L  b~a gdzie  u  jest  bezwymiarową  dł ugoś cią  bazy  U;  ue(0,  1).  D ł ugość  b a z "  C/ K  =   ( xfi, oznaczymy    0  współ czynnik  przy  e^  jest  wię kszy od  współ czynników  stoją cych  przy  s* k  i  e*_i,  przy  czym  im wię ksza jest  wartość  P k   - tym bliż szy jedynki jest  stosunek współ czynnika przy e% k   do współ czynnika przy e k _  t .  Wynikają z  tego  nastę pują ce  wnioski:  , —  ś redni  bł ąd  z  chwili  **_i,  efc_ r.,  odgrywa  mniejszą  rolę  przy  obliczaniu  bł ę du  ek(a) niż bł ąd  e*t, —  im  krótszy  krok  czasowy  r k ,  tzn.  im  wię ksze P k ,  tym  wię kszy jest  wpł yw  bł ę du  efc_, na  bł ąd  e k (a). Przeanalizujmy  teraz wpł yw  bł ę dów e*t  is*, k- i  na  sk(a).  Jeś li  e*k =  0,  to  wykorzystując wzór  (2.6)  i  zakł adają c,  że  P k   =   Ą -i  ^ s P  dla.  k  =  2,  ...,  K,  otrzymujemy sin hP  j.  P sin h /   r  „   ,  - _  n . * +   j [ u  c t g h ( P w " J - Pominię to  tu  skł adnik zawierają cy  £ k _ 2 ) jako  nieistotny,  [3]. Aby  obliczenia, prowadzone przy  wykorzystaniu  wzoru  (2.6), był y  stabilne  numerycznie,  wpł yw  bł ę du  e*,^- !  na  e k (a) powinien  być  mniejszy  niż wpł yw  bł ę du  e$ k . Przy danym P najmniejsza  wielkość  bazy  UR r dla  której  to  zachodzi,  może  zostać  wyznaczona  z  nierównoś ci - 2  <  P [wRctgh(P M R)- ctghP] <  2.  (2.12) N ajmniejszą  wartość  uR,  dla  której  speł niona jest  nierówność  (2.12)  dla  danego  P, ozna- czymy  H R ,  zaś  samą  bazę  UR. Prowadząc  podobne  rozważ ania  dla  bazy  UL  =  (a,x g )  o  dł ugoś ci  uL,  jako  warunek stabilnoś ci  numerycznej  obliczeń  także  otrzymujemy  nierówność  (2.12).  Wynika  stą d,  że w+  =   uR,  gdzie  u%  jest  najmniejszą  dł ugoś cią  bazy  UL,  dla  której  speł niona jest  nierów- ność  (2.12)  przy  danym  P.  D la  duż ych  P,  co w  praktyce  oznacza  P  >  5,  moż na napisać nastę pują cy  przybliż ony  wzór  na.  uf: u H  SB ( P - 2) / P .-   (2.13) Wnioski  z  nierównoś ci  (2.12)  są  nastę pują ce: —  wielkość  uR  dą ży  do  1 gdy  P  dą ży  do  nieskoń czonoś ci,  tzn.  gdy  krok  czasowy  dą ży do  zera, —  przy  ustalonej  dł ugoś ci  uR  bazy  UR  współ czynniki  przy  e$ k  i  przy  e*,fc_!  rosną  co  d o wartoś ci  bezwzglę dnej  wraz  ze  wzrostem  P, —  współ czynniki  przy  e% k   i  ej, fc_i  mają  przeciwne  znaki,  a  więc  jeś li  bę dą  one  tego samego  rzę du,  t o  bł ąd  e k (a)  bę dzie  oscylował   wokół   zera. Jak  wynika  z powyż szego,  prowadzenie  obliczeń z mał ym  krokiem  czasowym  (duże  P ) wymaga  bardzo  dokł adnych  danych  opisują cych  WOT,  przy  czym  muszą  one  być  tym dokł adniejsze  im  mniejsza  jest  bezwymiarowa  dł ugość  bazy  zagadnienia  odwrotnego. OD WROTN E  ZAG ADN IEN IE  PRZEWOD N ICTWA CIEPLN EG O  9 N iespeł nienie  przez  dł ugość  uR  bazy  UR  nierównoś ci  (2.12)  nie  oznacza  niemoż noś ci wyznaczenia  rozwią zania  zagadnienia  odwrotnego.  Przypadek  taki  oznacza  tylko  bardzo' duży  wpł yw  bł ę du  danych  na wynik  obliczeń. G dy znane są wielkoś ci  IĄ i u\ , moż na także wyznaczyć  dł ugość  u +  bazy  U =  (x d , x,,), dla  której  obliczenia  dotyczą ce  temperatury  bę dą  stabilne.  Przypadku  tego  dotyczy  wzór u +   -   n5«S/ («f- «?«{:+ «$).  (2.14) 2.2. Przypadek  WOT i WOS.  Wykorzystując  zwią zki  (2.2),  (2.3)  oraz  (1.10)  i  (1.14) moż na  ten  problem  sprowadzić  do zagadnienia  rozwią zania  ukł adu dwóch  równań  algę* braicznych  z  niewiadomymi  h k (a)  i  h k {b): Rozwią zując  ten ukł ad  równań,  a  nastę pnie  wykorzystując  zwią zki  (1.2) 4,  (1.9), (2.2) i  (2.3),  otrzymujemy a b -  #  f 6 xe(a,b),  k =  1,  ...,K. Wielkoś ci  0%,  <9£, q k \   q\  moż na ł atwo  wyznaczyć  ze  wzoru  (2.16), zaś  współ czynniki wymiany  ciepł a na brzegach  x  = a i  x  = b — ze wzorów  (2.7) (o ile znane  są  funkcje r, (a,  0  i  T z (b,t)). Jeś li  zał oż ymy, że WOT i WOS  obarczone są bł ę dami, odpowiednio, e$ k  i e*fe, i skupimy uwagę na wpł ywach  bł ę dów z chwil  t k  i  4_  l   na bł ę dy obliczeń w punktach a i b (koń cach przedział u  {a, b)), to przy  zał oż eniu, że P k   =  P k - i  =  P  dla k =  2, ..., ^T,  otrzymujemy (por.  (2.9)) —  dla  bazy  U = U* i  przy  e*,  -   0,  /  -   1, .... K coshP  „.  PcoshP —  dla  bazy  t/  =   (/ Ł   i  przy  e *  =  0,  /  =   1,  ...,K ) + |  (2.18) P om in ię to  tutaj  skł adn ik  zawierają cy  et_ 2»  [3]. 10  K.  G RYSA,  H ,  KAMIŃ SKI Warun kiem  koniecznym  stabilnoś ci  numerycznej  rozwią zania  zagadnienia  odwrot- nego,  dan ego  wzorem  (2.16), jest  speł nienie przez  dł ugoś ci  uL  i uR baz UL i  UR  nastę pu- ją cych  n ierówn oś ci: - 2  < P[uRtgh(PuR)- tghP]  < 2,  (2.19) -   2  <   P \ ur* tgh (PuL)  +  j  -   ctgh P \ <  2.  (2.20) D la  duż ych  P  (wię kszych  od 5) wielkość  ul  moż na  wyznaczyć  ze wzoru  (2.13), zaś wiel- kość  u% — ze  zwią zku Ą  x  (P- 3)/ P.  (2.21) W  przypadku  bazy  U wielkość u +   wyznacza  się ze wzoru  (2.14). 3.  Kula N iech  obszar  Q  c  E3  bę dzie  kulą  o promieniu R, zaś obszar  Q* a  Q —  kulą  o p ro - mieniu  r* < R,  Ponieważ  rozważ amy  zagadnienie  jednowymiarowe,  więc  wszystkie rozważ ane  funkcje  bę dą  zależ eć  tylko  od  odległ oś ci  od ś rodka  kuli  (i od czasu). Cał ki  5*3 i  V 3   m oż na  w tym przypadku  rozważ ać  dla punktów  x  o  współ rzę dnych x,  =  0,  ;c2 — 0,  x3  — r,  re(0,R),  zaś  powierzchnię  kuli  moż na  sparametryzować przy pom ocy  dwóch  ką tów,  kł adąc  £  i  =  R sin ^ c o s!?^ ,  £ 2   — jR s i n ^ s i n ^ j  £3 • * J ?c o s# t , gdzie  # j e  [0, 2JI),  # 2 e  [0, n). Ponieważ  gę stość  /; potencjał u S 3  zależy  tylko  od wartoś ci promienia  kuli  n a jej  brzegu,  więc jest  po prostu  liczbą,  którą  oznaczymy h R ,  Stąd *c*.ri*)- *.- f̂2-.  (3.i) pt  G =   _ _LL- pr f  zsinh(pz)f(z)dz+smh(pr) j  ze- "\ f(z)dz\ m  V(r,p\ f).  (3.2) p  6  o D la  kuli  rozważ ymy  nastę pują ce  zagadnienie  odwrotne. .  D an a  jest  WOT w  punkcie  /•   =  r*  (punkt  ten utoż samiamy  ze sferą  r =  /• *).  Znając warun ki  począ tkowe  dla  temperatury  w  obszarze  Q  oraz  współ czynnik  dyfuzyjnoś ci tem peraturowej  x,  wyznaczyć  należy  temperaturę wnę trza  i brzegu  kuli  przy  braku  ź ródeł ciepł a  w  jej  wnę trzu.  F unkcją  poszukiwaną  jest  T (r, t), (r, t) e (0, R) x (0, t c ), o raz T (R,  t) s-  T b (t).  W miejsce  tych  funkcji  poszukujemy  ukł adu  funkcji  {& k }, okreś lonych wzorem  ( 1.2) 2. G ę stość h R   potencjał u S 3 ,  okreś lonego  wzorem  (3.1),  wyznaczymy  z równania  (1.10). Wykorzystując  (1.2) 4  i  (3.1), a  nastę pnie  (1.9),  otrzymujemy &k{r)  =   S S ^ }  t̂+ Plnv\ pk\ ek^)]- piV{r,pk\ @k^),  (3.3) k  =  I, ..., K.  U kł ad  funkcji  {0 k }  stanowi  przybliż one  rozwią zanie  zagadnienia  odwrot- nego.  P rzybliż one  wartoś ci  funkcji  T b (t) w chwilach  t k   okreś lonych  wzorem  (1.2) t  moż na uzyskać  bezpoś rednio  ze wzoru  (3.3).  * OD WROTN E  ZAG ADN IEN IE  PRZEWOD N ICTWA CIEPLN EG O  11 4.  Warstwa  kulista N iech  obszar  Q  c  E3  bę dzie  warstwą  kulistą  o  prom ien iu  wewn ę trzn ym  a  i  zewn ę trz- n ym  b,  zaś  obszar  Q*  <= £ —  warstwą  kulistą  o prom ien iu  zewn ę trzn ym  r g   o raz  wewn ę trz- nym  / - j, gdzie  0  <  a  <  r a   <  r g   ^  b.  Z akł adam y,  że  wszystkie  rozważ ane  funkcje  zależą tylko  od  odległ oś ci  r  od  ś ro dka  kuli;  re(a,b). C ał ki  S 3   i  V 3   rozważ ymy  także  i  w  tym  przypadku  tylko  dla  p u n kt ó w  x  o  wspó ł rzę d- nych  ( 0, 0, / - ).  Otrzym ujem y  tutaj (4.1) ) ,p\ f)  =  —  - - • je  ' '  I  zsmh.(pz)f(z)dz- ł - s\ i\ hpr  I  ze~ pzf(z)dz)  a  V s (j,p\ f),  {A2) a  r BS 3 (x,p\ h)  A.  b[prcosh(pr)~sinh(pr)) Tutaj  «(/• )  może  przyjmować  wartość  + 1  lub  — 1;  h„ s  / i(a),  yjb  B D la  warstwy  kulistej  rozważ ymy  dwa  zagadn ien ia  odwrotn e, w  których  zn ając  warun ki począ tkowe  dla  tem peratury  w  cał ym  obszarze  Q  oraz  współ czyn n ik  x  n ależy  wyznaczyć tem peraturę  wnę trza  i  obu  powierzchni  warstwy,  gdy J°  w  pun ktach  r  =   r d   i  r  =  r a   dan e  są  WOT, 2°  w  pun kcie  r  =  r,,  dan a  jest  WO T ,  zaś  w  pun kcie  /•   =   r 9   —  WO S. W  obu  przypadkach  zakł adamy  brak  ź ródeł   ciepł a  w  obszarze. 4.1.  Przypadek  dwóch  WOT.  Wykorzystując  zwią zki  (4.1)  i  (4.2)  m o ż na  przekształ cić równ an ie  cał kowe  (1.10)  w  ukł ad  dwóch  równ ań  algebraiczn ych  z  n iewiadom ym i  h a   i  h b . Rozwią zując  ten  ukł ad  i  wykorzystując  (1.9)  otrzym ujem y 1>,  ( 4.4) gdzie  I =  r g - r d ,  re{a,b),  k  =[,,..,  K.  Wielkoś ci  0 k {d)  i  & k {b)  m o ż na  wyznaczyć bezpoś rednio  ze  wzoru  (4.4).  P odobn ie, dokon ując  róż n iczkowan ia  funkcji  © k   p o  /•   i m n o - ż ąc  wynik  przez  n(a)  =   — 1  lub  przez  n(b)  =   1  m o ż na wyznaczyć  q k (a)  i  q k {b)-   Przy  zn a- nych  funkcjach  T z (a,  t)  i  T z {b,  t)  współ czynniki  wym ian y  ciepł a  n a  brzegach  /•   =   u i  r  =  b  m oż na  wyznaczyć  ze  wzorów  (2.7). Analiza  wpł ywu  bł ę dów  wewnę trznych  odpowiedzi  n a  bł ąd  obliczeń  t em p erat u ry w  pun ktach  brzegowych  jest  an alogiczn a  do  an alizy  przedstawion ej  w  p u n kcie  3.1  pracy i  prowadzi  również  d o  n ierówn oś ci  (2.12) ja ko  waru n ku  stabiln oś ci  n um eryczn ej  obliczeń tem peratury. 12  •   K.  G RYSA,  H .  KAM IŃ SKI 4.2.  Przypadek  WOT i  WOS.  Postę pując  podobnie  jak  w  poprzednich  przypadkach otrzymujemy gdzie ( 4 " 5 ) *   1 +   [sinh(pr)- prcosh(pr)]  i  zz)/ (z)dz  + lo(pr)J  z£o(/ >z)/ (z)ć fef  =   f w ( r , p |/ ) , o  r gdzie / ,,(»  i K r (y)  są  to zmodyfikowane  funkcje  Bessela,  [6]. W  przypadku  walca  gdy  dana jest  WOT  w  punkcie r  =   r*,  to przy  znanym  warunku począ tkowym  i  współ czynniku  x  oraz  przy  braku  ź ródeł   ciepł a  znajdujemy  —  postę pując analogicznie jak  w  poprzednich przypadkach — nastę pują cą  postać funkcji  0 k ,  okreś lają cej w  sposób  przybliż ony  pole temperatury w  walcu  w chwili  t k)   k  =  I,  ,.,, K: J .   (5.2) OD WROTN E  ZAG AD N IEN IE  PRZEWOD N ICTWA CIEPLN EG O  13 6.  Warstwa  walcowa  , Niech  obszar  Q  c  E3  bę dzie  warstwą   walcową   o  promieniu  wewnę trznym  a  oraz zewnę trznym  b, zaś  obszar  Q* <=.  Q — warstwą   walcową   o  promieniach:  wewnę trznym r d   i zewnę trznym r g ,  gdzie  0  < a ^  r d   < r g   < b.  W tym przypadku  cał ki  S 2   i  V 2 ,  rozwa- ż ane  dla  punktów  x  = (/• , 0) e E2,  przyjmują   postacie  nastę pują ce: (6.1) S 2 (x,p\ h)  =  bh b V 2 (x,p\ f)  .  - {K 0 (pr)JzI o (pz)f(z)dz+I 0 (pr)fzk o (pz)f(z)dz}  =  V c {r,p\ f). a  r Ponadto 8 S l H )  (6.2) gdzie  «(r) może  przyjmowć  wartość  + 1 lub  — 1. D la  warstwy  walcowej  rozważ ymy  dwa zagadnienia  odwrotne, sformuł owane podob- nie jak  dla warstwy  kulistej  (por. czę ść  4 pracy). 6.1. Przypadek dwóch WOT.  Wykorzystują c  zwią zki  (6.1) moż na  przekształ cić równanie cał kowe  (1.10) w ukł ad równań algebraicznych  z niewiadomymi  h a  i h b .  Rozwią zując ten ukł ad  i  wykorzystują c  zwią zek  (1.9) otrzymujemy - TT- rrTT  - plK(r, Pk \ © k ^ ),  (6.3) gdzie M k (x,  y) =  I 0 (p k x)K 0 (p k y)- I 0 (p k y)K 0 (p k x).  (6.4) Analizy  wpływu  bł ę dów WOT na bł ę dy obliczeń temperatury w warstwie prowadzi do wniosków  podobnych  do  przedstawionych  w  czę ś ci  2  pracy.  W  przypadku,  gdy  a > 1, wzór  (6,3)  moż na przekształ cić do nastę pują cej  postaci  przybliż onej: f /  l/ f T  / Wprowadzają c  do wzoru  (6.5) x  =  r- a  ł atwo  moż na pokazać, że gdy a - »•   oo, wzór (6.5) przechodzi  w  (2.6).  '  • 14  K.  G RYSA,  H .  KAMIŃ SKI 6.2.  Przypadek  WOT i WOS.  Wykorzystują c  zwią zki  (1.10)  i  (1.14)  oraz  (6.1)  i  (6.2), a  nastę pnie  zwią zek  (1.9),  otrzymujemy •  fg) - plV c ((r,p k \ 0 k ^ ).  (6.6)k̂piK( u,pk\ kĄ p^plc((,pk\ k^) _Pk  i  Jyk\ rd>   i a) gdzie N k (x,y)  =  I o (PkX)K 1 (p k y)+K o (p k x)I 1 (p k y), V c (r,p]f)  -   K 1 (pr)S^ o (pz)f(z)dz- I 1 (pr)}zK o (pz)f(z)dz. a  r W  przypadku,  gdy  a  |>  1, wzór  (6.6) moż na zapisać  w postaci  przybliż onej: - Ul H 6 ^  J  | / ~  e- ftl'- *!,̂ (z)dz.  (6.8) 7.  Jednowymiarowe  zagadnienia  ustalone Przejś cie  do ustalonych  zagadnień  odwrotnych  przewodnictwa  cieplnego  uzyskuje się ,  kł adą c  we wzorach  przedstawionych  w poprzednich  czes'ciach  pracy  p k   — 0.  D la ustalonych  zagadnień  otrzymujemy  stą d  nastę pują ce  postaci  rozwią zań: a)  warstwa  pł aska,  przypadek  dwóch  WOT  (por.  (2.6)) &(x)  =   < 9 * ^ ^ -   +0*  Ź J?L,   x  e   (a, b); b)  warstwa  pł aska,  przypadek  WOT  i  WOS  (por.  (2.16)) 0(x)~0* i +(x- x i )q*,  xe(a,b); c)  warstwa  kulista,  przypadek  dwóch  WOT  (por.  (4.4)) d)  warstwa  kulista,  przypadek  WOT  i  WOS  (por.  (4.5)) <9(r) =  O* d  +g*   r ^ r ~ r ^  , ,   r  e (a,  b); OD WROTN E  ZAG AD N IEN IE  PRZEWOD N ICTWA CIEPLN EG O 15 e)  warstwa  walcowa,  przypadek  dwóch  WOT  (por.  (6.3)) f)  warstwa  walcowa,  przypadek  WOT  i  WOS  (por.  (6.6)) 0(r)  -   0*+q* fg \ n~,  re(a,b). r 8.  Przykł ady  liczbowe W  celu  zilustrowania  moż liwoś ci  wykorzystania  wzorów  przedstawionych  w  pracy, dokonano obliczeń numerycznych, dotyczą cych identyfikacji  temperatury brzegów  i wnę trza warstwy  pł askiej  na  podstawie  wzorów  (2.6) i  (2.16).  D la  obu  przypadków  w  pierwszym etapie wyznaczono  numerycznie rozwią zania  pewnych  zagadnień  począ tkowo- brzegowych (prostych).  Wyniki  obliczeń,  dotyczą ce  punktów  wewnę trznych  warstwy,  został y  nastę p- nie  wykorzystane  do  dalszych  obliczeń  jako  WOT,  przy  czym  w celu  sprawdzenia  efek- tywnoś ci  wzorów  (2.6)  i  (2.16)  wprowadzono  je  do dalszych  obliczeń  bą dź  w postaci bezpoś rednio  otrzymanej  z  rozwią zania  zagadnienia  prostego  („ dane  dokł adn e"),  bą dź w  postaci  obarczonej  celowo  wprowadzonymi  bł ę dami („ dane zafał szowane"). 8.1. Obliczenia  wykorzystują ce  wzór  (2.6).  Zagadnienie  proste  rozwią zano  w  oparciu  o na- stę pują ce  dane  bezwymiarowe:  a =  0, b =  I, T z (a,  t) =  2,  T z (b, t) =   10- 10?,  t e (0, 1). Bezwymiarowe  współ czynniki  wymiany  ciepł a  (liczby  Biota)  miał y  postać: cĄ  =   Bi k (0)  =   l +  2[6> t_ 1(«)] 2 !  <Ą   m Bik(l)  =  1+ <9*_1(Ó). Warunki  począ tkowe  przyję to  zerowe. Tablica  1. N iektóre dokł adne i zafał szowane  WOT  wykorzystane  w obliczeniach, prowadzonych z  bezwymiarowym  krokiem  czasowym  równym  0.02 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.14 0.18 0.22 0.30 0.50 0.70 0.90 0.98 1.00 7(0.1, dokł . 0.1437 0.2760 0.4162 0.5831 0.7855 1.2691 1.7229 2.0527 2.4230 2.6107 2.4584 2.2203 2.1209 2.0963 zafalsz. 0.1069 0.2577 0.4394 0.6407 0.8523 1.2765 1.6666 1.9961 2.4365 2.6003 2.4638 2.2009 2.1194 2.1399 T (0.2, dokł . 0.0742 0.1777 0.3096 0.4792 0.6905 1.2079 1.7340 2.1587 2.6747 2.9345 2.6863 2.3170 2.1666 2.1297 0 zafał sz. 0.1182 0.2669 0.4391 0.6284 0.8291 1.2449 1.6527 2.0274 2.6144 3.0043 2.6179 2.3885 2.1365 2.0154 r(0.8, dokł . 0.3128 0.9418 1.7650 2.6028 3.3274 4.3227 4.8522 5.1111 5.2372 4.6240 3.4590 2.2722 1.8392 1.7367 t) zafał sz. 0.8294 1.5657 2.2157 2.7857 3.2817 4.0743 4.6364 5.0063 5.3027 4.6277 3.4281 2.3056 1.8176 1.6841 r( 0.9, dokł . 0.6329 1.6802 2.8752 3.9284 4.7081 5.5593 5.8630 5.9207 5.7663 4,7931 3.4195 2.1019 1.6315 1.5210 t) zafał sz. 1.2425 2.2887 3.1607 3.8788 4.4615 5.2874 5.7562 5.9641 5.8879 4.7290 3.4560 2.0682 1.6405 1.5727 J6 K.  G RYSA,  H .  KAMIŃ SKI Rozwią zując  zagadnienie  odwrotne wyznaczono  nie  tylko  rozkł ad temperatur w prze- dziale  [0, 1], lecz  także  odtworzono liczby  Biota na  obu  brzegach  warstwy  (Bi(0) i Bi(l)). Obliczeń  dokon an o  dla  nastę pują cych  baz:  (0.1,  0.9),  (0.4,  0.6),  (0.8,  0.9),  (0.1,  0.2), przy  czym  bran o  do  obliczeń  WOT  dokł adne i  WOT  zafał szowane.  N iektóre dokł adne i  zafał szowane  WOT  przedstawiono  w  tablicy  1. T ep - A 5,0 2,0 8,0 T lU ! obliczenia  d okł ad ne wyniki  identyfikacji dla  U =10,1; 0,9) W0T  zafał szowane TU, U I  I obliczen ia  d o kt a d n e wyniki  identyfikacji dla  U   =  (0,4,- 0,6), W0T  za fa ł szo wa n e 0  0,1  0,2  .  0,3  0,4,  0,5.  0,6  0,7  ~  0,&  0,9  1,0  t Ry's.  1.  Temperatury  brzegów  x =   0  x  =   1  warstwy,  zidentyfikowane  na  podstawie  róż nych  par  WOT Z  obliczeń  dotyczą cych temperatur brzegów  warstwy  wynika,  że lepiej  identyfikowana jest  temperatura n a  tym  brzegu,  który jest  bliż ej  bazy.  Ponieważ  parametr P  był   równy 7.071  (co  odpowiada  stał emu  bezwymiarowemu  krokowi  czasowemu  równemu  0.02), wię c u%  =   wj  =   0.717  oraz u +   =  0.559 (por..(2.13) i  (2.14)). Tylko  dł ugość bazy  (0.1,  0.9) jest wię ksza  od u+  —  i dla tej bazy  otrzymano najlepsze  wyniki  (por. rys.  la). W przypadku pozostał ych  baz  dł ugość ich był a mniejsza  od w+, CO natychmiast odbił o się   na  wynikach. Jednakże  w  punkcie  brzegowym  bliż szym  bazie  otrzymywano  zawsze  wyniki  lepsze  niż w  punkcie brzegowym  bardziej  od  bazy  oddalonym. Jest  to  zrozumiał e, gdyż w stosunku do  punktu brzegowego  bliż szego  bazie moż na bazę  rozpatrywać w  odniesieniu do  odcinkB od  dalszego  punktu  bazy  do  rozważ anego  punktu  brzegowego  (np.  dla  punktu  x  — 0 baza  (0.1, 0.2)  może być rozpatrywana wzglę dem  odcinka (0, 0.2) — i wtedy jej  bezwymia- B 80 i  r i  r 0,4 0,6 0,8 Rys,  2.  Wartoś ci  liczb  Biota  na  brzegach  x  =   0  i  x =   1  warstwy,  zidentyfikowane  na  podstawie  WOT w  punktach  x*  =   0.8  i  x*  =   0.9.  WOT  dokł adne Bi 140 120 100 80 60 iO 20 n - 20 - a iM . t ] - — Bi(1, t )d okt ad na 0.1  0.2  0,3 I  I ,  U (0,8;  0,9) 0,4  0,5 I  I  I  I I B j ( O . t ) ,  U = 10,8; 0,9) - B i ( 0 , t ) d o k t ad n a  ' 1  1  I  1  1 0,6  0,7  0,8  0,9  1,0  t Rys.  3.  Wartoś ci  liczb  Biota  na  brzegach  x  =   0  i  x  =   1  warstwy,  zidentyfikowane  n a  podstawie  WOT w  punktach  x*  =   0.8  i  x*  =   0.9.  WOT  zafał szowane 2  Mech.  Teoret.  i  Stos.  1—2/86 (17] 18  K.  G RYSA,  H .  KAMIŃ SKI rowa  dł ugość  wynosi  0.5).  W  przypadku,  gdy  dane  dotyczą ce  WOT  są  niedokł adne, a  pun kt  brzegowy  odległ y  od  bazy,  obserwujemy  oscylacje  temperatury  wokół   wartoś ci dokł adnych,  przy  czym  są  one tym  wię ksze,  im wię kszy jest  bł ąd  danych.  We  wszystkich rozważ anych  przykł adach oscylacje  te wygasał y,  gdyż bł ę dy WOT ukł adały  się w  sekwencje o  takich  samych  znakach  (por.  tablica  1), co  powodował o  również  stał oznakowe bł ę dy obliczeń  w  podprzedział ach  czasu  (por.  rys.  lb). Obliczenia  dotyczą ce  liczb  Biota  wskazują  na  ich  znacznie  wię kszą  wraż liwość  na niedokł adność  danych.  Wynika  to  stą d,  że  pochodna  temperatury  po  zmiennej  prze- strzennej  może  wykazywać  znaczne  odchylenie  od  wartoś ci  dokł adnych  nawet  wtedy, gdy  temperatury  brzegu  zidentyfikowane  są  stosunkowo  dokł adnie,  Ponadto  na  bł ąd w  identyfikacji  liczb  Biota  ma istotny  wpł yw  róż nica temperatury otoczenia i temperatury brzegu  (por.  2.7)), szczególnie  wtedy,  gdy  jest  ona mał a.  Wyniki  identyfikacji  liczb  Biota na  brzegach  warstwy  przedstawiono  na  rys.  2  i  3. Z  powyż szych  rozważ ań  wynika  konkluzja,  iż  liczba  Biota  jest  znacznie  trudniejsza do  zidentyfikowania  metodą  przedstawioną  w  pracy,  niż  temperatura  brzegu,  szczególnie wtedy,  gdy  jest  ona  (tzn. liczba  Biota) funkcją  temperatury. Obliczeń  dokonywano  gł ównie  przy  bezwymiarowym  kroku  czasowym  równym  0.02, oraz  przy  podziale  przedział u (0,1) na 25  czę ś ci  (podział  ten  był  niezbę dny  do  obliczania cał ek).  Obliczenia  dokonywane  z  bardziej  gę stym  podział em (na 55 czę ś ci) jak  i  z podzia- ł em  nieco  rzadszym  (na  15  czę ś ci)  dał y  wyniki  nieznacznie  róż nią ce  się  od  przedstawio- nych  na  rysunkach.  N atomiast  obliczenia  dokonywane  z  krokiem  czasowym  równym 0.04  i  0.08  dał y  wyniki,  które w  począ tkowej  fazie  obliczeń  był y  zaniż one w  stosunku  do wyników  otrzymanych  przy  kroku  równym  0.02,  lecz  w  toku  obliczeń  róż nice  te  zacie- rał y  się. 8.2.  Obliczenia  wykorzystują ce  wzór  (2.16).  Zagadnienie proste  rozwią zano  w  oparciu  o  na- stę pują ce  dane  bezwymiarowe:  a  =  0,  b—\ ,  T b (a,t)  =  2,  q„(b,t)  =  O,  te(0,  1). Warunki  począ tkowe  przyję to  zerowe. Rozwią zując  zagadnienie  odwrotne  wyznaczono  tylko  rozkł ad  temperatury  w  prze- dziale  (0, 1). WOS  przyjmowano  przy  tym  zawsze  w  punkcie x  =   1;  był o to więc  wł aś ci- wie  zagadnienie  odwrotne  z  jedną  wewnę trzną  odpowiedzią.  Obliczeń  dokonano  dla nastę pują cych  baz:  (0.3,  1), (0.5,  1), (0.8,  1). Rozważ ono  przy  tym  przypadki,  gdy  WOT był a  dokł adna, gdy  był a  zafał szowana  i  gdy  bł ę dnie zmierzona  był a  odległ ość  od  x*  do brzegu  warstwy.  Wyniki  obliczeń,  prowadzonych  z  bezwymiarowym  krokiem  czasowym równym  0.02  przedstawiono  na  rys.  4.  N a rysunku  tym  pokazano  zmiany  w  czasie  tem- peratury  zidentyfikowanej  w  punkcie  x  —  0  na  podstawie  WOT  z punktu  x*  =   0.5  oraz z  pun ktu  x*  =   0.8,  przy  czym  ta  ostatnia  został a  wykorzystana  do  obliczeń  jako  WOT w  punkcie  x*  =   0.81.  W  dwóch  przypadkach  WOT  był y  zafał szowane,  m.in.  taka  był a WOT  w  punkcie  x*  =  0.81. Tutaj  również  P  =   7.071,  skąd  «£   =  0.717.  Jedynie  baza  pierwsza  ma  dł ugość  bliską tej  wartoś ci.  Wyniki  otrzymane  dla  tej  bazy  był y  obarczone  bł ę dem mniejszym  niż  1%. W  przypadku  pozostał ych  baz  wyniki  posiadał y  podobne  cechy  jak  rezultaty  przedsta- wione  w  czę ś ci  8.1  pracy. Z  otrzymanych  rezultatów  wynika,  że gdy  dana jest jedna  WOT, to jeś li  bł ąd  pomiaru WOT i  bł ąd pomiaru  odległ oś ci od punktu x*  do brzegu  są  rzę du kilku  procent w stosunku OD WROTN E  ZAG AD N IEN IE  PRZEWOD N ICTWA  CIEPLN EG O T 1.08 1,06 1,04 1.02 1,00 0,98 0.96 0,94 0,92 0,90 T 1,01 1,005 1 0,995 0.99 0,98 1, 1.0 0.8 0,6 0A 0,1 x=0,8i WOT zofatszowana z  punktu  0,8 A  1 x  =0,5 WOT  d okł ad na x  =0.5 WOT zafał szowana • A- ,L.   I, .   I  L 0,2  0,3  0/ .  0.5 0.6 0.7 0.8 <\ —  I j  L 09 1,0  t Rys.  4. Temperatura brzegu  x  =   0 zidentyfikowana  na podstawie  WOT  w puncie x*  =   0.5  (WOT dokł adn e i  zafał szowane)  oraz  w  punkcie  x*  =   0.81  (WOT  zafał szowana  z  punktu  x*  =   0.8) do danych  dokł adnych, to bł ą d otrzymanych rezultatów  nie przekracza  10% nawet  w przy- padku,  gdy  dł ugość  bazy  jest  rzę du  1/3  gruboś ci  warstwy. 9.  Uwagi koń cowe Wykorzystanie  wzorów  (1.9) i  (1.10)  do  rozwią zywania  jednowymiarowych  zagadnień odwrotnych  w warstwie pł askiej, walcowej  i  kulistej  dał o  w rezultacie wzory  rekurenpyjne na  wartoś ci  temperatur  w  rozważ anej  warstwie  w  kolejnych  chwilach  czasu.  Przedysku- towanie  wpływu  bł ę dów  WOT  na  bł ą d  obliczonej  temperatury  brzegu  oraz  dokonanie 20  K .  G RYSA,  H .  KAM IŃ SKI obliczeń  dla  bezwymiarowych  danych  czasowych  i  przestrzennych  pozwolił o  ustalić pewne relacje  pomię dzy krokiem czasowym  i dł ugoś cią  bazy,  na podstawie  których moż na dokonywać  wstę pnych  ocen  bł ę du  obliczeń  przy  znanej  dokł adnoś ci  urzą dzeń  mierzą - cych  WOT.  Analiza  przytoczona  w  czę ś ci  2.1  pracy,  w  powią zaniu  z  faktem,  że  znak współ czynnika  przy  e*fc_i  jest  przeciwny  do  znaku  współ czynnika  przy  s%  (por. (2.11)) prowadzi  do  wniosku,  że  oscylują cy  wokół   rozwią zania  ś cisł ego  bł ą d  danych  spowoduje oscylację   rozwią zania  zagadnienia  odwrotnego,  przy  czym  jeś li  dł ugość  bazy  U  bę dzie mniejsza  od  u + ,  mogą   to  być  oscylacje  o  rosną cej  amplitudzie. Wynika  z  tego  wniosek, że  przy  opisie  danych  dotyczą cych  WOT  przy  pomocy  funkcji  cią gł ej  niekorzystne  jest stosowanie  splajnów  bą dź  takich  funkcji,  które  w  chwilach  czasu  t k   osią gają   wartoś ci równe zmierzonym (danym). Lepiej jest  dobierać takie funkcje  opisują ce  WOT, które bę dą najlepiej  „ wpasowane"  w  ukł ad  punktów  otrzymanych  z  pomiarów  i  jednocześ nie  nie bę dą   miał y  charakteru  funkcji  oscylują cej.  D o  opisu  WOT  moż na uż yć  n p.  kombinacji funkcji  wykł adniczych,  [7]. D la  jednowymiarowych  ustalonych  zagadnień  odwrotnych  otrzymano  przy  okazji wzory,  opisują ce  rozkł ad  temperatury  w  warstwie  pł askiej,  walcowej  i  kulistej  przy  zna- nych  WOT  I  WOS. Przykł ady  liczbowe  dał y  dobre  lub  zadawalają ce  wyniki  nawet  w  tych  przypadkach, gdy  wstę pna  ocena  wpł ywu  bł ę dów  danych  na  rezultaty  koń cowe  wypadał a  dla  tych ostatnich niekorzystnie. Jak z tego wynika,  procedurę  cechuje duża stabilność numeryczna. Jednocześ nie  czas  realizacji  obliczeń  na  minikomputerze  SM- 1  był   stosunkowo  krótki i  przy  podziale  przedział u a, b  na  25  czę ś ci  (niezbę dnym  do  obliczania  cał ek) był   równy ok.  2  sekundy  n a jeden  krok  czasowy. Literatura 1.  K.  G R YSA,  Stowarzyszone  równania cał kowe  dla  równania  Helmholtza  i  ich  zastosowania do rozwią - zywania  zagadnień  odwrotnych przewodnictwa cieplnego,  Zeszyty  N aukowe  Politechniki  Poznań skiej, s.  M echanika,  1986  (w  druku). 2.  G . A.  K O R N ,  T.  M.  K O R N ,  Matematyka  dla  pracowników  naukowych  i  inż ynierów,  cz.  1, P WN ,  War- szawa,  1983. 3.  H .  KAM I N SKI , K.  G RYSA,  O  wyznaczaniu przybliż onej temperatury brzegu warstwy pł askiej przy  pomocy współ czynników  wzmocnienia  wewnę trznych  odpowiedzi, Sympozjon  „ M odelowanie  w  M echanice", M ateriał y,  Beskid  Ś lą ski,  1985. 4.  I . S.  G R AD STE I N , I . M.  R YZ YK,  T ablicy integralov,  summ,  rjadov i proizvedenii,  N auka, M oskwa,  1971. 5.  W.  A.  D I T K I N ,  A. P.  P R U D N I KÓW,  Przekształ cenia  cał kowe  i  rachunek  operatorowy, P WN ,  War- szawa,  1964. 6.  N .  W.  M C LAC H LAN ,  Funkcje  Bessela  dla  inż ynierów, P WN ,  Warszawa,  1964. 7.  H .  K AM I N SK I ,  W yznaczanie stał ych materiał owych  w procesach wymiany ciepł a i masy. Praca doktorska, P olitechn ika  P ozn ań ska,  P oznań,  1984. 8.  K.  G R YSA,  M . J.  CIAŁKOWSKI,  Zagadnienia  odwrotne pól  temperatur  —  przeglą d  literatury,  M ech. Teoret.  Stos.,  18,  4,  1980. 9.  K.  K U R P I SZ ,  W yznaczanie  pola  temperatury  w  ciał ach stał ych  na  podstawie obserwacji  temperatury lub  gę stoś ci  strumienia  ciepł a  w  wybranych  punktach  ciał a.  Zeszyty  N aukowe  Politechniki  Ś lą skiej, s.  E n ergetyka,  84,  G liwice,  1984. 10.  L. A.  K O Z D O BA,  V. G .  KR U KOWSKI J,  Metody  resenija  obrotnych zadać  teploperenosa,  Kiev,  N aukova D u m ka,  1982. OD WROTN E  ZAG ADN IEN IE  PRZEWOD N ICTWA  CIEPLN EG O  21 P  e 3  IO  M e O  IIPHEJIH5KEHHLIX  PEUIEHUSK  OflHOMEPHBIX  OBPATHLIX TEnJIOnPOBOflH OCTM B  craTbH   npeflCTaBjieH ti  npH 6jiH > Keiurtie  peineH H H  o S p a r a b i x  3a n a i i  fljm  ru io c K o ro , Koro  H  ccbepiraecKoro  cjioeB.  3 T H   peiiieH H fl  HMeioT B H #  peKyppeH TH bix  dpopAiyn.  P accM aTpeiio norpeiimoC TH   BHyTpeHHMX  xapaKTepucTH K  TeM nepaTypbi  Ha  norpemi- iocTŁ  anajiH TH iecKH x K acaiom n x  T eM n epaiypbi.  H a  o cH o se  BbiBeflenwx  dpopiwyji  n poH 3Be^eH bi  H yM epiraecKH e HecKOJibKHX  n a6o p o B  BHyTpeHHMX  xapaKiepH CTH ic.  3 T H  BbWHCJieHHa  nposiBjrH lOT  xo p o iu yio  H y- cra6HJibHOCTb3  a a w e  B  c jiyia e  iieTo^iHfcix  BH yTpeH imx  xapai