Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z1_2.pdf M ECH AN IKA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1/ 2,  24,(1986) AN ALITYCZN Y  OP IS  WYNIKÓW  BADAŃ   NA ZM Ę CZEN IE  JE D N YM RÓWN AN IEM   NA  PRZYKŁAD ZIE  WYBRANYCH   TWORZYW  SZ TU C Z N YC H M ARIAN   N OWAK Politechnika  W rocł awska 1.  Wstę p Wykresy  zmę czenia  tworzyw  sztucznych  skł adają   się   w  przedziale  N  =  103  4- 107 z  dwóch  przecinają cych  się  w punkcie A prostych  o równaniach  (rys.  1): (< W)i  =   tfi- VlogiV  (1) ( < W) 2  =  a2- b2- logN  albo  (amax)2  =  Z M  (2) w których  współ czynniki  a t   i a 2   oraz b t   i b 2   okreś la  się  metodą   najmniejszych  kwadratów. Współ rzę dne  punktu  A  to  :  N kr  — krytyczna  liczba  cykli,  a kr  — krytyczne  naprę ż enie. Zmiana  ką ta  pochylenia  wykresu zmę czenia z t g«x  =  b^ na t ga 2  =  b2  odpowiada  dwom rodzajom  zmę czenia: a)  zmę czeniu  o charakterze  cieplnym,  tj. gdy  crmax  >  akr  i  pierwszoplanowym  czynni- 10 N k r  1 0 5  1 0 B  N Rys.  1.  Wykres  zmę czenia  Tarnamidu  T- 27  (T =   7  tnies.,  a = 2) . 10' 42 M.  N OWAK kiem  dekohezji  jest  temperatura  samowzbudna,  o  przybliż onej  wartoś ci  AT  ~  an a - C, (a, C — stał e); stan cieplny próbki — niestacjonarny; b)  zmę czeniu typowo  mechanicznemu, tj. gdy crmaI < akr;  stan cieplny próbki — stac- jon arn y. Już w począ tkach rozwoju  badań zmę czeniowych podejmowano próby  opisu wyników pom iaru  N ( a =  0 r +b(N +B)- a —  =  a-  logJV+ 6 a ——=   l~0(a\ ogN +C) a- Z  _ o f l o E j v ) m R- Z a ~  -   bN ~° R- Z A a—Z Q  \   r  a- Z  - I "1! N   =Aexp(—aa) Parametry a , b m,  b c r ,  a, b C , a , k C, e, x, u A,  K, d crr, a, b,  B a , b a,  c, Z, R Z, a, m, R Z ,  b, a,  R A, a,  Z *>o,Q, Z A, a U wagi [8],  [9] [8] [10] [11] [12] [13] [14], [15] [16] [17] [14], [18] [19] [20], [21] [1] [1] WYN I KI  BADAŃ   NA  ZMĘ CZEN IE 43 Zgromadzenie  licznego  zbioru  wykresów  zmę czenia  tworzyw  sztucznych  zainspiro- wał o autora do poszukiwania  takiej  funkcji,  za*;pomocą   której  moż na  był oby  opisać  wyniki pomiarów  w  obszarze  ZO i  ZZ jednym  równaniem.  Cel pracy  sformuł owano  zatem nastę - pują co:  na  przykł adzie  wybranych,  konstrukcyjnych  tworzyw  sztucznych  (tabl.  2)  udo- kumentować  moż liwość  i  celowość  stosowania  równania  dwuskł adnikowego  (3),  w  któ- rym  jeden — to  funkcja  odpowiadają ca  funkcji  rozkł adu  normalnego. Tablica  2.  Wł asnoś ci  mechaniczne wybranych  tworzyw  sztucznych L p . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 M ateriał Poliamid  6 Poliamid  6  wzmoc- niony  szkł em Politereftalan  etyle- nowy Politereftalan  etyle- nowy  wzmocniony wł óknem  szklanym Poliwę glan Poliwę glan  wzmoc- niony N azwa handlowa Tarnamid  T- 27 Itam id  25 Itamid  35 Itam id  S- 2 Elana  2 Elit  25 Elit  25u Elit  30  EX Bistan  AW Bistan  AS- 20 Z awartość napelnicza (zbrojenia) 0 25 35 60 0 25 25 30 0 20 [MPa] 75 100 110 110 70 120 130 135 60 92 [M Pa] 720 4000 4500 8000 2500 7500 7500 8300 2300 5900 *> PN - S1/ C- 89O34  Tworzywa  sztuczn e. Ozn aczan ie cech  wytrzym ał oś ciowych przy  statyczn ym rozcią gan iu 2.  Analiza  zagadnienia Równania  wykresów  zmę czenia  powinny  z  mał ym bł ę dem  (np.  z  bł ę dem  wzglę dnym nie wię kszym niż 6%)  opisywać  wyniki  pomiarów  i posiadać minimalną  liczbę   parametrów. N ajbardziej  rozpowszechnione  są   funkcje  potę gowe  i wykł adnicze  (tabl.  1). Wadą   równań, zbudowanych  na  ich  bazie, jest  [1]:  duży  bł ą d  aproksymacji,  a  szczególnie  dla  naprę ż eń bliskich  granicy  zmę czenia  lub  naprę ż eń  krytycznych  a kr   oraz  trudnoś ci  w  okreś laniu parametrów,  gdy  ich  liczba  jest  wię ksza  od  dwóch. D o  opisu  wyników  badań  na  zmę czenie  jednym  równaniem  autor  zaproponował funkcję   odpowiadają cą   funkcji  rozkł adu  normalnego  (rys.  2)  w  formie  unormowanej, Rys.  2.  Peł ny  wykres  zmę czenia w  ukł adzie  ffmM—logN   z  zaznaczonymi  schematycznie  obszaram i:  ZK— wytrzymał ość  zmę czeniowa  przy  mał ej  liczbie  cykli  (oznaczenia  wg  Kocań dy  [22]);  ZO  —  ograniczona wytrzymał ość  zmę czeniowa;  ZZ—obszar  trwał ej  lub  umownej  wytrzymał oś ci  zmę czeniowej  P  —  punkt przegię cia N  1 0 ' R ys.  3.  Wykresy  rozkł adu  normalnego  w  ukł adzie  pół logarytmicznym  By(ii) [44] WYN IKI  BADAŃ   N A  ZMĘ CZEN IE 45 AV  ukł adzie  pół logarytm iczn ym  (rys.  3).  N owe  równ an ie  w  tym  zagadn ien iu  m a  po st ać (rys.  2) : r  =   Zm+B(«) =   —]==  e xp lo g/ / —  a 2 ( 3 ) u  = gdzie:  Z m  —  równ an ie  asym pt o t y;  B—  st ał a;    a kr ); 5.  bł ą d  aproksym acji  był   m ał y w  zakresie  duż ej  liczby  cykli  (a mt%   <  a kr ). Tablica 3. Opis wykresów  zmę czenia jednym równaniem  (3); asymptote Z% okreś lono wg wzoru ( 5) Lp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 M ateriał Tarnamid T- 27 Itamid  25 Itamid  35 Iramid  S- 2 Elana  2 Elit  25 Elit 25u Elit  30 EX PW Bistan AS- 20 ^ „ ( 1 0 7 ) z  równań regresji (2) [MPa] 12,9 24,0 25,0 39,6 16,4 26,3 31,2 34,5 7,6 18,6 ^ ( l O 7 ) z  równań rozkł adu normal- nego  (3] [MPa] 12,91 24,37 25,47 39,36 17,09 26,28 31,98 34,69 7,83 19,23 [MPa] 0 - 0, 37 - 0, 47 +  0,24 - 0, 69 0 - 0, 78 0 0 - 0, 63 Z*  m Z*, +Bq>{li) [M Pa] 12,8 23,33 24,23 39,44 15,51 26,00 30,02 34,10 7,50 17,77 B 122,4 151,4 174,2 180,5 160,6 310,6 269,1 652,5 408,7 189,3 I O - 7 ^ [cykle] 0,75 5,70 6,40 0,25 20,10 1,00 9,30 1,00 5,00 11,50 46 M .  N o w AK A  wię c  moż liwoś ci  dostosowania  równania (3) do wymienionych  metod i kryteriów  aprok- symacji  są   szerokie  i  wyczerpują   wymagania  obliczeń  wytrzymał oś ciowych  tworzyw sztucznych  n a  zmę czenie  [4,  5]. D owolny  zbiór  wyników  pomiarów  na  zmę czenie  może  być  zatem  opisany,  zależ nie od  potrzeb  wytrzymał oś ciowych  lub  interpretacyjnych,  dwoma  równaniami  prostych regresji  (1)  i  (2)  lub  jednym  równaniem  rozkł adu  normalnego  (3),  wzglę dnie  jednym i  drugim  typem  równania. Podstawą   okreś lania  ZTO  są   wł asnoś ci  rozkł adu normalnego  (rys.  2): Z M  =   0,989 •   (Z g„ ) m ln  (4) czyli  wybrany  punkt  o  współ rzę dnych  [N G ,  ( Z s o ) l l l l n ] .  Wybranym  punktem  może  być również  granica  zmę czenia  Z 9O(10 7)  obliczona  z  równania  prostej  regresji  (2).  Wóczas równanie  wykresu  zmę czenia wg  rozkł adu normalnego  (3), w  którym  B  okreś lono  jedną z  wymienionych  metod, należy  przesuną ć  równolegle  (tabl.  3)  o  wielkoś ci  AZ T : Z*  =   (Z m ±AZ x )+B N a w = M r 769 25 10 250 182 66 5 10 33 3 c ^ L — J  o*  * *  ô*  m"  n  "o"  pf  M*  ^f  *& • • *„  " ^  c s  * * " >   v o  ^  1 - H  * n  t ^ - m a  03  r f  *-?  - rf  o"  o"  o 1  ON  c i  oo1  oT i 51 „ . t o  . 8  tsf  m  • < ?  o\   ô"  \o  o"  • *  (-T  «f ! • s B  .  !^o  VI Ł  T) ^  f -   y ^  I- Ĥ   i- ĵ   I- Ĵ   * K  rOŁ  • -( Ł  S  r f  en"  t- *  rt"  • *"  T-T  o"  o"  of  O1 o  v o o o » — i " < d " c o ^ ^ o v i i — i 2 ^  ^"1  ^ 5  Ł J  c ^  c ^  c ^  Q\   ™̂i  i " ^  ^ ^ »—T  ( v f  ł H*  »—1  CO  »—I  t O  r H  C- l  »—( a N 6  V ' 3  Ł  j  ^ • Q Q t ' - t - - ^ O N C n t S O S H o  ^ O Q Q O m c S ' o m r o o o "E3  t- T  O\   vo"  OC  OC  in*  en*  en*  T- T  O " S S > -   r ^ m f n T f r o c o t n - ^ - c < l c o 8   - iw  l  ri S  i—'  "!,   °V  "T.   *T,   °i.   °V  rt„   ̂ "~i,   "V  C" 1   9   0   S O  0  a- fcfi  to  I  O _.  u - i o v i o \ c ^ o o c n o o r o v o  § _  Ą f i , * o ' o ' v D ' T - r v O ' 0 \ 0 " * 5 "O  ^  H  _ .- .  to  F - T j - r n m S ^ t - i n c o o o ^ a>  S 3 o i . r i , r ~ X ^ , r i , ° „ c < T , ' r ! . ' ~ ! . r i g Si  vi*  vo"  • *"    jest  również mał e,  n p.  y>  <  200  (Tarnamid  T- 27,  tabl.  4).  Parametr ip jest  bardziej  czuł ym  kryterium niż  param etr  naprę ż enia  X. 10'  io 5  io 6  10 •'  N   i t r R ys.  4.  Wykres  zmę czenia  I t am idu  25  ( T  =   10  mieś .,  a  =   2,33);  bł ą d  wzglę dny  A 2   «  A s Spoś ród  zbioru wykresów zmę czenia  o liczebnoś ci  n  >  100  opisano przykł adowo dzie- się ć  (tabl.  5,  rys.  1 oraz  rys.  4- f- 12)  dla  materiał ów, których  wł asnoś ci  wytrzymał oś ciowe zawiera  tablica  2.  Wyboru  dokonano na  podstawie  parametru liczby  cykli  tak,  aby  prze- dział   zmiennoś ci  y>  był   szeroki  (3  <  ip <  800),  tzn.  uwzglę dniał   róż ne  charakterystyki wytrzymał oś ciowe  tworzyw  sztucznych  oraz  czas  starzenia  r. Z  wł asnoś ci  funkcji  tp{u) — rys.  2 —  oraz  wykresów  zmę czenia  wynika  (rys.  1  oraz 4—12),  że  istnieje  moż liwość  opisu  wyników  pomiarów  wytrzymał oś ci  zmę czeniowej szerokiej  klasy  materiał ów,  szczególnie  tych,  które  mają   nieograniczoną   wytrzymał ość zmę czeniową,  a  wię c  przede  wszystkim  metali.  G dy  natomiast  materiał   charakteryzuje krzywa  monotonicznie  maleją ca,  jak  to  wystę puje  w  przypadku  tworzyw  sztucznych, t o  obszar  waż noś ci  równania  (3)  jest  ograniczony  do  N o   (bazy  próby  zmę czeniowej) lub  N a,  (wartoś ci  wię kszej,  tabl.  3): gdzie lub  N a logJVro  =   a + ucr  =   ua\  ę (u)  m 0,011 B (7) (8) Wyznaczenie  stał ej  B  i  parametru  a  równania  (3) jest  zabiegiem  prostym  ze  wzglę du n a  unormowanie zmiennej. W zwią zku  z tym nie ma potrzeby  korzystania  z ETO. W przy- padku  konstruowania  wię kszej  liczby  wykresów celowym jest jednak  napisanie programu, w  tym  również  ze  wzglę du  na  dokł adniejsze  dopasowanie  wartoś ci  B  i  a  do  wyników pom iaru  (tabl.  6). "3 e s  O  o o i - H C T N O ^ f N t — i n o o ' o r - P - g  £ i j  P - J  o o  < s  T f  r * - T  T J * "  r t  < N "  r f  i W  c n  r j - "  w s I I  s 13  O  J  « 'i  i - M  U  OOB  M 3 K  W  ̂ (- -_  f - „ W~l  0 0   VO  OO  P  O  * —  fT,  ^  oo  o \   CTT  OC  -̂ T  >-T  t- "̂  ys"  —H"  O C  W M  s e  eq  2 B  < .2  2  r i  IH  - *"  o"  o"  o"  oT  of  oo"  o\"  cT  S > 3  L~J  c S " n r ~ o o \ O r f ^ o i o Q o o — ł 1 - 1 •   ir - i  S i  ! i  a ^  ̂ O ^ 1  o o ł n w - i r ^ ^ o o f n c ^ O N r o C T s 3  -a  W  rt"  r f  .  « N  4J  <   Ą  cn  m^  Ŝ   ^  Ŝ   n  5  Ô   co  o^  J  M i  "  ii cq  2   o 1   - o  *?  O  S  2 •a  1   1   »  a  S  M   a S  S2   s | *o  tJ  B  S  B  5  +J  - *-•   +*  "̂ ^  •+*•   ' J  B  ^ •   J  O | &  a  a  9 | H  M 4  Mech.  Teoret.  i  Stos.  1—2/86  [49] rm  1—TTTTTm  1  m r m Rys.  5.  Wykresy  zmę czenia  Itamidu  35  ( T =   10  mies.,  or =  2,33) 1 0 3  '  1 0 4  1 0 5  1 0 6  N  10 7 Rys.  6.  Wykres  zmę czenia  Itamidu  S- 2  ( T  =   10  mies.,  a  = 2) [50] » f M 25 £ b 20 1  I  II  I  III I  I  I  I 11 \   r  n  i in 15 J  LJ_ I  I  I I  I Nil  I  I  I  I I i  i  i  111  ni 1 0 '  1CT  1 0 b  t O '  N  10s Rys.  7.  Wykres  zmę czenia  P TE  (Elana  2,  r  =  60  mieś .,  a  -   2,4) i—i  i i i mi  1 —m 10' Rys.  8.  Wykres  zmę czenia  Elitu  25  ( T =   24  mies.,  a  =   2) N  10 151] i—r\   i  11  ni  1   i  i  u  M I Rys.  9.  Wykres  zmę czenia  Elitu  25«  ( T  =   27  mieś .,  a  =  2,33) 104  10=   10° Rys.  10.  Wykres  zmę czenia  Elitu  30  E X  ( r  =   18  mieś .,  u  =   2);  wykres  zerwany  [23] [52] 10*  105  10 6  N Rys.  11.  Wykres  zmę czenia  poliwę glanu  ( T =   10  raies.,  a  =   2) 1 0 4  1 0 5 (  1CT  1 0 '  N   1 0 * Rys.  12.  Wykres  zmę czenia  Bistanu  AS- 20  ( T  =   24  mieś .,  er =   2,33) [531 54  M.  N OWAK Ś redni  bfąd  aproksymacji  wyników  pomiaru  N ((u)  w  szereg  Taylora  (linearyzacja  funkcji). 3.  Przykł ady  liczbowe 3.1.  Zbudować  wykres  zmę czenia  Itamidu 25  (czas  starzenia  próbek  T =   10  mieś.  — rys.  4)  wedł ug  jednego  równania  (tabl.  7).  Odchylenie  standardowe,  okreś lone  metodą kolejnych  przybliż eń,  wynosi  a  =   2,33. Wartość  ś rednią  rozkł adu przyję to  a  =   0. Równanie  asymptoty: Z x   =   0,989 •  ( Z j m l ł l  =  0,989 •  24  =  23,7  [MPa] Stał a  B  okreś lona  metodą jednakowych  bł ę dów  (jb)  w  punktach A(N 2 ,  34)  i  C(N S ,  29,7), wedł ug  równania  A 2   £   A s   wynosi:  B  =   146,3  [M Pa]. Zmienna  losowa  unormowana: _ logA^- a  logiV,  logN t U '~  er  a~  ~  2,33 Równanie  wykresu  zmę czenia: Z x {jb)  =   Z a +Bę (u)  =  23, 7+ 146, 3?> ( K ) Stał a  B  wedł ug  przybliż onej  metody  najmniejszych  kwadratów  (wzór  w  zasadzie  pół em- piryczny) : —  =   O ^ T  =   1 5 1 ' 4  [ M P a J ; = i Równanie  wykresu  zmę czenia: Z T (nk)  =   Z^   + Bcpiu) m  23, 7+ 151, 4  •     F-   oo  oo S  V̂  °r,   vo"  i>  v̂  °°   ̂ ^ ! o  cn  a\   ^ §  vo"  es*  o"  r-*  vo  rt  i- "  ^  & °  S  ^ • •o  S &  o  r,   3   I p j  W - T C S ' C T O O ' O O ' O ' O O ' O E S S T J  O"  *  i  o  O a  i  •   a  g %  W  rt  OS  a 3 g  ^  vi"  fs"  o  oT  oo  m  oo    I I 2  Os  I I © • ^ • " J L  t n m  o o r - o o < S 5  S  '"i. °»  "~̂   "̂ >  °i.    ̂ 'T. " ^  w- i  e s "  o 1  o "  o T  r o 1  C ? o  S  r n  m : S  S  y5  25B  o  f",   " ł ,   " l ,   °°»  "O. °  • *  - *"  CS"  o "  r-T  TH"  cT  r- n"  cT i  6) o ^ i X W ^ ^ i t  ̂ ^ ł - 0 O ( S Q S.  oo  °i  °°-    ̂ î.   .   ™  °.   -   ^.̂  rt  • *"  rt"  cT  r f  • *"  i-T  u-T  rn1  i i  ^ 1   ̂ °̂  °̂  ®  °*    ̂  ̂  ̂  ̂ ,̂ Łi - •g  trT  t- T  0 "  vo"  od1  tn  co  *t  -   '*- ' p  cn  co  m  g  Tj  ^ i  .   <=  &  1 1  - rt  ^  «  ^  B s  g  *  s Sl"" |   «  5  «  i  J  M-  f  NT ^  I I I [ 55] 56 M .  N OWAK 3.2.  Z b u d o wa ć  wykres  zm ę czen ia  d la stali  45 o  R m   = = 713,7 M P a  oraz  R c   =   454 M P a ( t a bl.  8). T ablica  8. Z estawien ie wyników  pomiarów i obliczeń do konstrukcji wykresu  zmę czenia  stali 45 CffllK i N i  [cykle] logiV, « i o kr 1 12000 4,0792 2,04 0,0498 525 541 555 550 4,55 1,64 1,00 2 20 000 4,3010 2,15 0,0400 476 489 493 500 4,80 2,20 1,40 3 30 000 4,4771 2,24 0,0325 439 450 443 450 2,44 0 1,56 4 40 000 4,6021 2,30 0,0283 418 427 408 400 4,50 6,75 2,00 5 2 1 0 5 5,3010 2,65 0,0119 336 340 344 350 4,00 2,86 1,71 6 106 6 3 0,0044 299 300 314 300 0,33 0 4,67 7 107 7 3,5 0,0009 281 282 271 280 0,36 0,71 3,21 • » D a n e  liczbowe  poch odzą   z rekon strukcji  wyników  pom iaru  z wykresu  zmę czenia  Szali  [7] —  s. 365;  N n prę ż en ia w [M P al R ó wn a n ia  prostych  regresji: dla  < rm„  >  akr  =  368  M P a ;  crm ax  =   1697- 280-   logJV; dla  crm ax  sj  akr;  t r m a x  =   5 7 2 - 43  •   logiV. O dch ylen ie  st an d ard o we,  okreś lone  m etodą   kolejnych  przybliż eń,  wynosi  a  =  2. R ó wn an ie  a sym p t o t y: Z r o  =   0,989 •   ( Z 9 ) m i n  -   0,989 •   280 «  277 [M P a] St ał a  B  o kreś lo na  m et o d ą   jedn akowych  bł ę dów  w  p u n kt ach  A x   i  A Ą   wyn osi:  B — =   4985 [M P a] Z m ie n n a  lo so wa  u n o r m o wa n a w, = logN t a  2  ' R ó wn a n ie  wykresu  zm ę czen ia  (rys. 13): Z r (jb)  =  Z x   + BTaTOB  H3MepeiiH5i  Ha  ycrajioCTŁ  npHMeHeHo  flByxKoiwnoH eH TH oe  ypaBH eH H e ( 3) 3  B  KOTopoiw  OAH H   HBJiHeTCH   cbyHKUHeft  HopiwajiBHoro  pa3no>KeHHH.  H a npH M epe  n36paH H Bix  n n a c r - Macc  ycTaHOBjieHo  (iraSpaHHfcix  BBimy  3HaqeHHH   y>), mo  n o r p e u m o c r t  anpoKCHMauHH   ypaBH eiaieM   (3) H e  SoJiBine,  MeM  ypaBHeHHHMH   npH Mbrx  perpeccH H   (1) K ( 2) . HopiwaJibHMM   pa3jioH) the approximation  error  by  means  of  equation (3) is  not  greater  than  by  equations  of  simple  regressions  (1)  and  (2). The norm al  decomposition  enables a  description  of  full  fatigue  diagram,  i.e.  fatigue  strength  with  a  small  number  of  cycles,  limited  fatigue strength  as  well  as  durable  or  conventional  fatigue  strength. Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  15 paź dziernika  1984  roku.