Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z1_2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  S TOS OWANA 1/ 2,  24,  (1986) S TATECZNOŚ Ć  DYNAMICZNA  Ś MIGŁOWCA Z  WIRNIKIEM  PRZEGUBOWYM WI E SŁ AW  Ł U C JAN E K J AN U SZ  N AR K I E WI C Z Politechnika W arszawska K R Z YSZ T O F   SI BI LSK I W AT W  pracy  został  przedstawion y  zwię zły  opis  efektywnie  dział ają cej  n um eryczn ej  m et o d y obliczeń  dynam icznej  stateczn oś ci  ś migł owca,  w  której  został y  uwzglę dn ione  sprzę ż en ia mię dzy wszystkimi sześ cioma  stopn iam i swobody  kad ł u ba traktowan ego ja k o  ciał o  sztywne, a  param etry  lot u  ustalon ego  i  poch odn e  aerodyn am iczn e  został y  wyzn aczon e  w  o parciu 0  nieliniowe  równ an ia  ru ch u  i  obcią ż eń  aerodyn am iczn ych . 1.  Wstę p W  zespole  N aukowo- Badawczym  M echan iki  Ś migł owców  I n st yt u t u  T ech n iki  Lo t n i- czej  i  M echan iki  Stosowan ej  P olitechn iki  Warszawskiej  został a  o p raco wan a  m et o d yka 1 program y  obliczeń  n a  E M C dynam icznej  stateczn oś ci  z  trzym an ym i  steram i  o raz  p o d ł u ż- nej  sterownoś ci  wedł ug  kryterium  N ASA,  ś migł owca  z  jedn ym  wirn ikiem  n o ś n ym  t yp u przegubowego  i  ze  ś migł em  ogon owym .  W  stosun ku  d o  klasycznych  m et o d  an alizy  sta- tecznoś ci  ś migł owców  opracowan ie  róż ni  się   n astę puuą cymi  cech am i: —•   rozważ ane  są   ruchy  kad ł u ba odpowiadają ce  sześ ciu  stopn iom swobody, bez  podział u n a  symetryczne  i  an tysym etryczn e, —  param etry  ustalon ego  lotu  prostolin iowego  są   wyzn aczan e  z  n ielin iowych  r ó wn a ń równ owagi, —  poch odn e  aerodyn am iczn e  wirnika  n oś n ego  są   wyzn aczan e  m etodą   przyro st ó w skoń czonych,  pozwalają cą   n a  uwzglę dnienie  n ielin iowoś ci  aerodyn am iczn ych , geom etrycznych  i  kin em atyczn ych. P raca  zawiera  opis  m etody  badan ia  statecznoś ci  dyn am iczn ej  ś m igł owca  o r a z  przy- kł ady  wyników  obliczeń. 2.  Wykaz  oznaczeń A 1 —ką t  skoku  cyklicznego  sterowan ia  poprzeczn ego, - fix  —  ką t  skoku  cyklicznego  sterowan ia  podł uż n ego, 62  W.  ŁU CJAN EK,  J.  N ARKIEWIC Z ,  K.  SIBILSKI G —  cię ż ar  ś migł owca, h,,,z,  J X y,Ixnlyz  —  skł adowe  tensora  bezwł adnoś ci  ś migł owca, L  —  skł adowe  wzdł uż  osi  Ox  momentu  obcią ż eń  aerodynamicznych, M  —  skł adowa  wzdł uż  osi  Oy  momentu  obcią ż eń  aerodynamicznych, m —  masa  ś migł owca, N  —  skł adowa  wzdł uż  osi  Oz  momentu  obcią ż eń  aerodynamicznych, P —  skł adowa  wzdł uż  osi  Ox  prę dkoś ci  ką towej  ś migł owca, Q —  skł adowa  wzdł uż  osi  Oy  prę dkoś ci  ką towej  ś migł owca, R —  skł adowa  wzdł uż  osi  Oz  prę dkoś ci  ką towej  ś migł owca, R w   —  promień  wirnika  noś nego, U  —  skł adowa  wzdł uż  osi  Ox  prę dkoś ci  lotu, V—skł adowa  wzdł uż  osi  Oy  prę dkoś ci  lotu, W —  skł adowa  wzdł uż  osi  Oz  prę dkoś ci  lotu, X a   —  skł adowa  wzdł uż  osi  Ox  sił   aerodynamicznych, Y a   —  skł adowa  wzdł uż  osi  Oy  sił   aerodynamicznych, Z a   —  skł adowa  wzdł uż  osi  Oz  sił   aerodynamicznych, R —  macierz  stanu  w  równaniu  [7], x —  wektor  stanu [3], y —  wektor  zaburzeń  [6], 0  —  ką t  pochylenia  ś migł owca  (mię dzy  osią   Ox  i  pł aszczyzną   poziomą ,  dodatni,  gdy pół oś  +  Ox jest  skierowana  w górę ), &„ —  ką t  skoku  ogólnego  wirnika  noś nego, 0 6O   —  ką t  skoku  ogólnego  ś migł owca  ogonowego, X —  wartość  wł asna  macierzy  stanu, H —  bezwymiarowa  prę dkość  lotu  poziomego,  odniesiona  do  prę dkoś ci  Q  koń ców ł opat  wirnika  w  ruchu  obrotowym, 0  —  ką t  przechylenia  ś migł owca  (mię dzy  osią   Oy  i  krawę dzią   przecię cia  pł aszczyzny poziomej  przechodzą cej  przez  punkt  O  z  pł aszczyzną   Oyz,  dodatni,  gdy  przy — 7i)2 <  &  <  n[2  pół oś  +  Oy jest  skierowana  w dół ), Q  —  prę dkość  ką towa  wał u  wirnika  noś nego, ( • ) —  pochodna  wzglę dem  czasu. 3 .  Równania  ruchu  ś migł owca Równania  ruchu  ś migł owca,  a  ś ciś lej jego  kadł uba, traktowanego jako  sztywna  brył a o  sześ ciu  stopniach  swobody,  został y  wyprowadzone  metodą   róż niczkowania  wzglę dem czasu  pę du  i  krę tu  wzglę dem  ś rodka  cię ż koś ci.  W  zwią zanym  ze  ś migł owcem  prostoką t- nym,  prawoskrę tnym  ukł adzie  współ rzę dnych  Oxyz,  o  począ tku  w  ś rodku  cię ż koś ci ś migł owca  i  o  osiach:  Oz  — równoległ ej  do  ojsi wał u wirnika  noś nego, skierowanej  w dół , Ox  —  skierowanej  do  przodu,  Oy —  dopeł niają cej  ukł ad,  równania  te  mają   postać  [2]: m u W Q p 0 • 'u' V W. = 'xa~ Ya za + - G sin <9 G cos© G c o s©   • (1) STATECZN OŚĆ  DYNAMICZNA  Ś MIGŁOWCA 63 / ,   - , _  r J  v / .  - j J  —T lzx Jzy p Q k - Q - R 0 P Q - p 0 *x *xy *x p Q R \ L] =  IM \ N_ •   ( 2 ) N iewiadom ą   funkcją   w  tych  równ an iach  jest  wektor x  =  co\ lU,V,W ,P,Q,R,e,0],  (3) mają cy  osiem  skł adowych.  N iezbę dne  dwa  dodatkowe  równania  moż na  otrzymać  ze zwią zków  mię dzy  skł adowymi  P, Q, R  prę dkoś ci  ką towej  ś migł owca  oraz  ką tami  9  i  <& i  ich  pochodnymi  wzglę dem  czasu: 0  =   gc o s0- - R sin $,  (4a>   =  P +  Q - sin $- t g(9  +  .R- cos- tg6>,  (4b> Zwią zki  (1), (2) i  (4) tworzą   ukł ad  oś miu nieliniowych  równań róż niczkowych  zwyczaj- nych  pierwszego  rzę du.  W  przypadku  ogólnym  ukł ad  ten  może  być  rozwią zany  tylko- metodami  numerycznymi. 4.  Obcią ż enia  aerodynamiczne Obcią ż enia  aerodynamiczne w  ogólnym  stanie  lotu  ś migł owca  powstają   na wszystkich jego  zewnę trznych  elementach  konstrukcyjnych:  wirniku  noś nym,  ś migle  ogonowym oraz kadł ubie wraz z belką   ogonową , statecznikiem poziomym, podwoziem  itd. Obcią ż enia te  w  równaniach  (1)  i  (2) z  reguł y  przedstawia  się   w  postaci  tzw.  pochodnych aerodyna- micznych  sił  X a ,  Y a   i  Z a   oraz  momentów L , M  i  N   wzglę dem  parametrów  lotu  U, V,  W , P,  Q,  R  i  parametrów  sterowania  @0,  Ait  B1}  ©so,  n p .:  skł adowa  siły  bocznej  (wzdł uż osi  Oy)  ma  postać: 8Y 8Y 8Y 8Y 8Y (5) W  powyż szym wyraż eniu  Y x   oznacza wartość  sił y  Y„ w locie  ustalonym,  a  n p .  8Y/ 8P jest  pochodną  sił y  Y a   wzglę dem  prę dkoś ci  ką towej  przechylenia P, natomiast d& a  —  przy- rostem  ką ta  skoku  ogólnego  ł opat  wirnika  noś nego. W  wyraż eniu  na  skł adową   M  momentu  pochylają cego  uwzglę dniana  jest  jeszcze pochodna  8MjdW ,  okreś lają ca  wpł yw  opóź nienia  dopł ywu  do  statecznika  poziomego strug  odchylonych  przez  wirnik  noś ny. Powszechnie  stosowana  metoda  obliczeń  pochodnych  aerodynamicznych  (np.  [1]) polega  na róż niczkowaniu  wzglę dem  parametrów lotu i  sterowania  wyraż eń  analitycznych okreś lają cych  obcią ż enia  aerodynamiczne,  uproszczonych  w  wyniku  niezależ nego  trak- towania  ruchów  symetrycznych  i  niesymetrycznych  ś migł owca  oraz  zlinearyzowanych wzglę dem  tych  parametrów.  W  rezultacie  otrzymuje  się   pochodne aerodynamiczne  nieza- leż ne  od  zmiennych  róż niczkowania,  stosunkowo  wygodne  do  dalszego  przetwarzania, 64 W.  ŁU CJAN EK,  J.  N ARKIEWIC Z ,  K.  SIBILSKI ale  niezbyt  dokł adne,  zwł aszcza  w  przypadkach,  gdy  rzeczywiste  zależ noś ci  obcią ż eń aerodynamicznych  od  parametrów  lotu  i  sterowania  są   silnie  nieliniowe. W  pracy  zastosowano  do  wyznaczania  pochodnych  aerodynamicznych  metodę   przy- rostów  skoń czonych,  zaproponowaną   w  [4],  a  szczegół owo  opracowaną   w  [3].  Jest  to m etoda  numeryczna.  Podstawowym  elementem programu  obliczeniowego  jest procedura (nazwijmy  ją   SM),  na  wejś ciu  której  są   wczytywane  stał e  wielkoś ci  geometryczne,  kine- matyczne  i  masowe  ś migł owca,  charakterystyki  aerodynamiczne  (profilu  ł opaty  wirnika, kadł uba  itp.)  w  funkcji  ką tów  natarcia  i  ś lizgu  oraz  liczby  Macha,  wysokość  lotu  itd. oraz  zmienne:  skł adowe  prę dkoś ci  liniowej  U, V,  W  i  ką towej  P,  Q,  R  ś migł owca,  skok ogólny  0 O   i  współ czynniki  A y   oraz  B L   skoku  cyklicznego  wirnika  noś nego,  a  także  skok & so   ś migła  ogonowego.  N a  wyjś ciu  procedury  SM   otrzymuje  się   wektor  sił   aerodyna- micznych X a ,  Y„, Z fl i momentów aerodynamicznych L , M, N . Obliczenia  są   wykonywane metodą   iteracyjną   w  oparciu  o  nieliniowy  opis  matematyczny  ruchu  ś migł owca  i  jego elementów,  n p.  wahań  w  przegubach  ł opat  wirnika  noś nego. f (U, V, W, P, Q, R, 9 0 , A, , B,, 9 S O ) A | ( A U , AV, AW, AP, AQ, AR, A6 0 , AA, , AB , , AB S O) j = 1 Rys.  1 P ochodne  aerodynamiczne  są   obliczane  wedł ug  algorytmu  schematycznie  przedsta- wionego  n a  rys.  1.  N a  wstę pie  okreś la  się   10  skł adowych  wektora  stanu  %  oraz  wektora A%  przyrostów  tych  skł adowych. Zazwyczaj  przyrosty  są   rzę du  1%  maksymalnej  wartoś ci  odpowiedniej  skł adowej. N astę pnie,  stosują c  procedurę   SM   oblicza  się   kolejno  skł adowe  obcią ż eń  aerodynamicz- nych X a ,  Y a>   Z a ,  L , M, TV dla  dodatnich i  ujemnych  (F j)  przyrostów  skł adowych  wektora stan u,  po  czym  oblicza  się   pochodne  S  jako  ilorazy  róż nic  obcią ż eń  aerodynamicznych i  podwojonej  wartoś ci  przyrostu,  Cykl  obliczeń  powtarza  się   tyle  razy,  wzglę dem  ilu param etrów  obliczane  są   pochodne.  N p.,  w  przypadku  obliczania  tylko  pochodnych statecznoś ci  z  trzymanymi  sterami,  cztery  ostatnie  skł adowe  wektora  AS,  okreś lają ce wychylenia  organów  sterowania,  są   równe  zeru  i  cykl  obliczeń  jest  powtarzany  6  razy. W  przypadku  ogólnym  cykl  obliczeń  powtarza  się   10  razy. STATECZN OŚĆ  DYNAMICZNA  Ś MIGŁOWCA 65 5.  Parametry  lotu  ustalonego Powszechnie  stosowana  metoda  obliczeń  parametrów  ustalonego  lotu  ś migł owca {np.  [1])  polega  na  myś lowym  rozdzieleniu  ruchów  symetrycznych  i  antysymetrycznych ś migł owca,  zlinearyzowaniu  równań  ruchu, przyrównaniu  do  zera  skł adowych  prę dkoś ci ką towej  ś migł owca  i  wszystkich  pochodnych wzglę dem  czasu  oraz  wyznaczeniu:  z  ukł adu 23 22 21 S'20 * , 9 18 17 16 / Uc=0.l85 0.1 0.2 Rys.  2 V u. V f / / / / 1 ; f i /  / /   !/ y — \ 0.1 0.2 Rys.  3 0.3 równań  ruchu symetrycznego  wielkoś ci  B y ,  © 0 , © i z ukł adu równań  ruchu  niesymetrycz- nego  wielkoś ci  A l}   & so ,  0.  Otrzymane  tą   drogą   parametry  lotu  ustalonego  są   wystar- czają co  dokł adne  dla  wię kszoś ci  zagadnień  praktycznych,  jednakże  w  przypadku  n p. analizy  statecznoś ci  dynamicznej, gdy  przedmiotem rozważ ań jest  przebieg  w  czasie  zabu- rzeń  wielkoś ci  ustalonych,  wymagana  jest  wię ksza  dokł adnoś ć. M oż na ją   osią gnąć  wyz- 5  Mech.  Teoret.  i  Stos.  1—2/86 66 W .  ŁU CJAN EK,  J .  N AR KI EWI C Z ,  K .  SlBILSKI naczają c  param et ry  lo t u  ustalon ego  metodą   kolejnych  przybliż eń  z  nieliniowych  równań ru ch u  ś m igł owca,  po  przyrówn an iu  do  zera  wszystkich  skł adowych  prę dkoś ci  ką towej kad ł u ba  i  poch odn ych  wzglę dem  czasu.  Wielkoś ci  obliczone  m etodą   tradycyjną   są   wyko- rzystywan e  ja ko  wartoś ci  startowe  procesu  iteracyjnego. 10 o n i. 2 \\v \ V\ y— —r y - 0.1 02 Rys.  4 0.4/J N a  rysun kach  2, 3 i 4 są   przedstawion e  przykł adowo wielkoś ci & 0 ,  A x   i 0 SO   ja ko  funkcje bezwymiarowej  prę dkoś ci  ji,  obliczone  dla  trzech  poł oż eń  ś rodka  cię ż koś ci:  n a  osi  wał u wirn ika  n oś n ego,  0,185  m  przed  osią   i  0,05  m  za  osią   (prom ień  wirnika  R w   =   7,85  m) m etodą   pierwszego  przybliż enia  (lin)  oraz  metodą   opisan ą   w  pracy. Z  rysun ków  wyn ika,  że  ch arakter  zmiennoś ci  param etrów  lotu  ustalon ego jest  w  obu m etodach  podobn y,  wartoś ci  bezwzglę dne  są   jedn ak  róż n e.  P on adt o  m etoda  oparta o  rozdzielen ie  ruch ów,  w  odniesieniu  do  prezen towan ych  param etrów  jest  niewraż liwa n a  poł oż en ie ś rodka  cię ż koś ci  ś migł owca,  co jest  konsekwencją   zał oż onego braku  sprzę ż eń m ię dzy  postaciam i  ru ch u . 6.  Stateczność  dynamiczna W  celu  obliczenia  dynamicznej  statecznoś ci  ś migł owca,  równ an ia  ruch u  (1)  i  (2) z  wyzn aczon ym i  prawym i  stron am i oraz  zwią zki  kin em atyczn e  (4), został y  zlinearyzowane wzglę dem  m ał ych zaburzeń  wektora  stan u  (3). Wektor  zaburzeń y  m a  skł adowe: y  = col[u,v,w,p,q,r]  (6) P o  linearyzacji,  ró wn an ia  (1),  (2) i  (4)  przybierają   ogólną   postać  [2]: j>- i?j>  =   0  (7) gdzie  R  jest  m acierzą   stan u  o  wym iarach  8 x 8 .  » STATECZN OŚĆ  DYNAMICZNA  Ś MIGŁOWCA  67 Ś migł owiec  jest  dyn am iczn ie  stateczny,  jeż eli  czę ś ci  rzeczywiste  wszystkich  oś m iu wartoś ci  wł asnych  m acierzy  stan u  R  bę dą   n iedodatn ie. N a  rys.  5 jest  przedstawion y  przykł ad  przebiegu  wartoś ci  wł asnych  A  w  funkcji  bez- wymiarowej  prę dkoś ci  / J, lo t u  ś migł owca  dla  ś rodka  cię ż koś ci  leż ą cego  n a  osi  wał u  wir- nika  (x c   =   0) . N a  rysun ku  jest  8  wartoś ci  A:  trzy  pary  zespolon ych  o  wartoś ciach  rzeczywistych (linie  cią gł e)  i  urojon ych  (linie  przerywane)  ozn aczon e  param i  cyframi  rzym skim i  I ,  I I i  I I I  oraz  dwie  wartoś ci  rzeczywiste.  (W  dwóch  przedział ach  f.i pierwiastki  p ary  I I I  są rzeczywiste). Ś migł owiec  był by  stateczny,  jeż eli  linie  cią głe  nie  przebiegał yby  n ad  osią   odcię tych. W  przypadku  przedstawion ym  n a  rys.  5  ś migł owiec jest  dyn am iczn ie  n iestateczn y  w cał ym przedziale  / J,,  a  zwł aszcza  w  zawisie  (/ j,  =   0) . Znają c  wartoś ci  wł asn e  A  m oż na  okreś lić  wł asn oś ci  fizyczne  ruch u  ś m igł owca:  tł u- mienie,  w  przypadku  ruchów  oscylacyjnych,  (Im  X  =  0)  okres  a  także  postacie  ru ch u (wektory  wł asne  m acierzy  R). Literatura 1.  BRAMWELL  A. R. S., Helicopter Dynamics,  Edward  Arnold  Ltd,  London, 1976. 2.  ŁU CJAN EK  W.,  SIBILSKI  K.,  W stę p do dynamiki ś migł owca,  Ż aki.  G raf.  PW,  1981. 3.  N ARKIEWICZ  J.,  SIBILSKI  K.,  ŁU CJAN EK  W.,  Statecznoś ć  dynamiczna  i  sterownoś ć  ś migł owca jedno- wirnikowego.  Programy obliczeniowe.  Sprawozdanie  N r ZMS- 2/ 81  I TLiM S  PW,  1981. 4.  OSTROFF  A. J.,  D OWN I N G   D .  R.,  and R OOD   W.  J.,  A  technique using a  nonlinear helicopter  model  for determining  trims and  derivatives,  N ASA  T N   D- 8159, M ay  1976. 5* 68  W.  ŁU CJAN EK,  J.  N ARKIEWICZ,  K.  SIBILSKI P  e  3 w  M e .m ł H AM H t fflC K Ail  yC T O ft ^I H BO C T Ł  BEP TOJIETA  C  IU AP H H P H bIM   K P E n JI E H H E M J I O n AC T E J ł   H ECyiU ,EBO  BH H TA B  pa6oTe flaH O KpaTKoe  onncanHe  Meio,na  pacieTa  Ha EBM  flH H aM H raecKoii ycToftiHBocTH   BepTo- .  io3ejifl»c,  npHHHTŁiH   i