Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z1_2.pdf M ECH AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1/ 2,  24,  (1986) ZASTOSOWAN IE  DYSKRETN EG O MOD ELU  OD KSZTAŁCALN EG O SAM OLOTU   D O  BADANIA  DRGAŃ   WŁASN YCH* ZBIGNIEW  D Ż YG AD ŁO ID ZI  NOWOTARSKI ALEKSANDER  OLEJN IK W AT 1.  Wstę p Zastosowanie  metody  elementów  skoń czonych  stwarza  szerokie  moż liwoś ci  nume- rycznej  analizy  problemów  statyki  i  dynamiki  zł oż onych  konstrukcji  (por.  [l]- = - [8]). W  niniejszej  pracy  przedstawiono  dynamiczny  model  odkształ calnego  samolotu  do badania  czę stoś ci  i postaci  drgań  wł asnych, stosują c  w  odróż nieniu  od  artykuł ów  [4] -^ [7J inny  sposób  formuł owania  równań  równowagi  na  poziomie  elementu  oraz  metodę   ich skł adania.  W  konsekwencji  uzyskano  moż liwość  budowy  jednolitego  matematycznego modelu  do  analizy  drgań  wł asnych  struktur  o  dowolnej  konfiguracji  geometrycznej i  masowej. Przyję to,  że  skrzydł o,  ś rodkowa  czę ść  kadł uba i  usterzenia  są   odkształ calnymi  zespo- ł ami, których  parametry masowe i sztywnoś ciowe zmieniają   się  w sposób  cią gły  i  skokowy wzdłuż dł ugoś ci. Przednią   czę ść  kadł uba samolotu traktuje  się  jako  sztywną   brył ę , do kt ó- rej są   przymocowane  odkształ calne zespoł y. Przy  tych  zał oż eniach,  zastosowano  jednowymiarową   dyskretyzację   odkształ calnych zespoł ów  konstrukcyjnych  za  pomocą   przemieszczeniowej  metody  elementów  skoń- czonych.  D okonano podział u' struktury  na  dowolnie  usytuowane  w  przestrzeni  odkształ - calne  elementy  belkowe  o  liniowo  zmiennych  parametrach  geometrycznych  i  masowych oraz  nieodkształ calne  elementy  w  postaci  sztywnych  brył   (rys.  1). Uwzglę dniono  moż liwość  analizy  drgań  samolotu  w  przypadku  skrzydł a  o  duż ym wydł uż eniu,  dowolnym  ką cie  skosu  i  wzniosu,  z  podwieszeniami  zewnę trznymi  oraz w  przypadku  braku  symetrii  masowej. Zastę pując  rzeczywistą   konstrukcję   samolotu  jej  modelem  belkowo- brył owym,  sfor- *  Praca  przedstawiona  n a  I  Ogólnopolskiej  Konferencji  „ M echanika  w  Lotnictwie"  —  Warszawa 1911984  r. 160 Z .  D Ż YG AD Ł O,  I .  N OWOTARSKI,  A.  OLEJN IK belkowe  elementy  sprę ż yste brył y  sztywne Rys.  1 m uł owano  ogólną   postać  równań  równowagi  dynamicznej,  pozwalają cą   na  numeryczną analizę   podstawowych  charakterystyk  dynamicznych ukł adu. 2.  Macierz  sztywnoś ci  i  mas  elementu  belkowego Z  rozpatrywanej  konstrukcji  samolotu  (rys.  1)  wydzielony  element  „ e "  o  wę złach i • oraz j  i  dł ugoś ci  /, z  którym  zwią zany  jest  ukł ad współ rzę dnych  lokalnych  Oxyz  (rys. 2). a ) b) '  os  ś rodków  sztywno: w  oś  ś rodków  m as Rys.  2 B AD AN I E  D R G AŃ   WŁ ASN YCH   SAM OLOTU 161 Wprowadzając  bezwym iarową  współ rzę dną  £   =  y/ l,  przem ieszczen ia  dowoln ego punktu  osi  sztywnoś ci  elem en tu  okreś lone  są  przez  skł adowe  we k t o r a / o  post aci / ( 1 , 0  =   [«(£, t),v(S,  t),  w(s,  t),  ?„ (£ ,  o ,  ?(£»  Oi v*(f,  Off  (2- 1) gdzie:  w, v,  w  oraz  y, ,  z  oznaczają  odpowiednio  przemieszczenia  i  o bro t y  wzglę dem osi  lokalnego  u kł adu  x,  y,  z,  przy  czym dw  dw y*   =   l$  =  T dV du ~dy~ du (2.2) (2.3) "0',   A:  =   f J  (2.4) oraz  macierz  funkcji  kształ tu  przez  N ,  przemieszczenia  dowoln ego  p u n kt u  osi  sztyw- noś ci  elementu  m oż emy  przedstawić  w  formie Oznaczając  wektor  przem ieszczeń  wę zł ów  elementu  przez * . ( !,  0  =   [««(£.  0 .  *j(f.  O f. zaś  jego  skł adowe  ja ko 8k(S> 0 -   [ «4 ( 0 , ̂   ( I ) .  wS.(O, V* S(D  Sf  ** a ir a l (2.5) Elementy  macierzy  funkcji  kształ tu  N ($)  otrzym an o  wykorzystując  liniową  funkcję Lagrange'a  [8] (2.6) (2.7) (2.8) L t   —  1 —  1,  L j  —  f i  dwie  funkcje  H e r m it e ' a  t rzeciego  st o p n ia "W  zwią zku  z  t ym  m o ż e my  n a p isa ć gdzie ~H k   0  0  0  0  K, 0  L k   0  0  0  0 0  0  H k   K k   0  0 0  0  H' k   K k   0  0 0  0  0  0  L k   0 _iffc'  0  0  0  0  K, n atom iast  indeksem  p rim  ozn aczon o  pierwsze  po ch o d n e  funkcji  (2.7)  wzglę dem  zm ien - nej  i. Jeż eli  zn an e są  przem ieszczenia  elementu, to  m oż na  wyznaczyć  odkształ cen ia w  dowol- nym  jego  pun kcie  n a  podstawie  zależ noś ci k  = «( £ ,  0  -   L f  -   L N 5° e e iiat  =   Bd° e   •   e i t u t (2.9) 11  Mech.  Teoret.  i  Stos. 1—2/86 162 Z .  D Ż YG AD Ł O,  I .  N OWOTARSKI,  A.  OLEJN IK gdzie  macierz  operatorów  L   wynosi L   = 1 I 2 8 2 8i 2 0 0 0 1 7 0 8 "BS 0 0 0 0 1  82 I 2   8k 2 0 0 0 0 0 1 / 0 0 0 8 8S 0 0 0 0 D ział ając  zgodnie  z  (2.9)  operatorem  L   na  macierz  funkcji  kształ tu  N   otrzymano poszukiwaną  macierz  odkształ ceń  elementu  B  w  postaci =   [B t ,Bj], (2.10) gdzie w" - "it 0 0 0 0 a 0 0 0 0 H 0 0 0 *  * 0 k  =   i,j 0  Ki 0  0 0  0 L ' k   0 p r z y  c z ym  i n d e k se m  p r i m  o r a z  b i s  o z n a c z o n o  p ier wsze  i  d r u gie  p o c h o d n e  fu n kcji  (2.6) i  ( 2.7) wz gl ę d em  z m ie n n e j  f. W p r o w a d z i m y  m a c i e r z  sp r ę ż yst o ś ci  D  o  p o st a c i ET S   0  0  0 0  EA  0  0 0  0  EI X   0 0  0  0  GI 0 w  k t ó r e j  o z n a c z o n o :  A  =  A(£)  —  p o l e  p r z e kr o ju  p o p r z e c z n e go  e le m e n t u ,  I x   =  / *( £ ) , Iz  =  IA£),  IQ — - ^o(f)  —  ge o m e t r yc z n e  m o m e n t y  b e z wł a d n o ś ci  p r z e kr o ju ,  o d p o wi e d n i o wz gl ę d em  o si x,  z, y  o r a z  E,  G  —  st a ł e  m a t e r i a ł o we.  M a c i e r z  szt ywn o ś ci  e le m e n t u  zgo d- n ie  z  p o wsz e c h n i e  p r zyję tą  fo r m ą  z a p isu  wyn o si i K'  =   lfBTDBdC  (2.11) o W  celu  wyzn aczen ia  macierzy  mas  elem entu  napiszem y  wyraż enie  n a  energię  kine- tyczną  w  n astę pują cej  postaci i -  y if o (2.12) gdzie  o zn a c zo n o :  m  =  m(C)  —  m asa  elementu  n a  jedn ostkę  dł ugoś ci,  I mi   =  I m JS), ln t   =  ImJJż ),  /,„„  =   / „,„(£)  —  m asowe  m om en ty  bezwł adnoś ci  elem entu  n a  jedn ostkę dł ugoś ci,  odpowiedn io  wzglę dem  osi  x,  z,  y.  N at o m iast  kro pkam i  ozn aczon o poch odn e BAD AN IE  DRGAŃ   WŁ ASNYCH   SAMOLOTU 163 wzglę dem  czasu  przemieszczeń  ś rodków  m as  elem en tu  wzglę dem  ś ro dka  sztywn oś ci, które  na podstawie  rys. 2b  m o ż na  zapisać  jako Om{£.  0  =  »(£, t)- e x (fi Vt (£,  t),  (2.13) w«, t f»O -   w@.')+ «*(£ )?> (£ ,  0 . P o  przedstawieniu  (2.13)  do  (2.12)  i  niezbę dnych  przekształ cen iach,  wyraż en ie  n a energię  kinetyczną  elem entu  m oż na  zapisać  w nastę pują cej  macierzowej  postaci (2.14) gd z ie / je st  wektorem  uogóln ion ych  prę dkoś ci  o  postaci  analogicznej  d o  (2.1),  zaś  J m jest  macierzą  okreś lają cą  m asowe  i  bezwł adnoś ciowe  ch arakterystyki  elem en tu m 0 0 0 m e, 0 0 m 0 0 0 —me 0 0 m 0 me x .  0 0 0 0 4, 0 0 me 0 we 0 / „o 0° 0 —me x 0 0 0 Im z +me 2 x _ (2.15) U zależ niając  prę dkoś ci  w  dowoln ym  pun kcie  elem en tu  od przemieszczeń  wę zł ów  d e i  odpowiednio  dobran ych  funkcji  kształ tu iV n a.podstawie  zależ noś ci  (2.5)  m o ż na  zapisać / =   ia)N 5° e e, ia ", a  nastę pnie  p o  podstawien iu  (2.16)  do  (2.14)  otrzym am y (2.16) gdzie  M e   jest  poszukiwan ą  macierzą  m as elem entu i (2.17) 3.  Macierz  mas  nieodkształ calnej  czę ś ci  samolotu  (sztywnej  brył y) Wykorzystując  postę powan ie  analogicznie  do  opisan ego  w  p .  2  oraz  uwzglę dn iając nastę pują ce  zał oż en ia: 1)  ś rodek  masy  sztywnej  brył y jest jednocześ nie  wę zł em  elem en tu, 2)  począ tek  ukł adu  lokaln ego  jest  umieszczony  w  wę ź le. M acierz  m as  sztywnej  brył y  m oż na  otrzym ać  bezpoś redn io  z  (2.15)  przyjm ują c: e x   = e y   =  e z   =  0; m  =  m B  —  m asa  sztywnej  brył y;  I„ x   = I mxa ,  I m0   =  I m , B ,  7m ,  =   L lB  — masowe  m om en ty  bzwł adnoś ci  odpowiednio  wzglę dem  osi x,  y,  z.  : 164 Z .  D Ż YOAD Ł O,  I .  N OWOTARSKI,  A.  OLEJN IK 4.  Matematyczny  model  poł ą czenia  elementu  odkształ calnego  i  sztywnego Przyję ty  model  dyskretyzacji  struktury  na  odkształ calne  elementy  i  sztywne  bryły stwarza  konieczność  opracowania  matematycznego  modelu  poł ą czenia  wę zła  odkształ- calnego  elementu  z wę zł em sztywnej  brył y, który  z fizycznego  punktu widzenia  pokrywa się   z  jej  ś rodkiem  masy.  Model  fizyczny  omawianego  poł ą czenia moż na  sprowadzić  do poł ą czenia  typu  sztywnego.  Za  takim  potraktowaniem  poł ą czenia  skrzydł o  —  kadłub lub  usterzenie  —  kadł ub  przemawia  fakt,  że  te  elementy  ł ą czone  są   za  poś rednictwem sił owych  elementów  konstrukcyjnych  pł atowca  (wzmocnione  wrę gi  i  ż ebra),  których sztywność jest  wielokrotnie  wię ksza  od  pozostał ych elementów  konstrukcji. Jeż eli  mię dzy  wę zł ami  m  i  n  (rys.  1)  istnieje  sztywne  sprzę ż enie  to  przemieszczenia wę zła  n  spowodują   przemieszczenia  wę zła  m, co  w  zapisie  macierzowym  moż na wyrazić w  nastę pują cej  formie 8 m   =   »8 n   (4.1) gdzie  macierz  9  przy  zał oż eniu niewielkich  przemieszczeń  (mał ych ką tów  obrotu) wynosi 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 - /, h 1 0 0 h 0 - /* 0 1 0 - ': 1 0 0 0 1 a  wprowadzone  oznaczenia  ł x ,l y ,  l z   są   równe — x m~xn> yn>  ' z   =   2 m Tak wię c w ukł adzie o M  wę zł ach, w którym przemieszczenia  M- N  wę złów są   zwią zane z  przemieszczeniami  wę zł ów  są siednich  zależ noś cią   (4.1),  przemieszczenia  5  moż emy wyrazić  przez  N   niezależ nych  przemieszczeń  8' jako  [1] !r.i.  (4- 3) gdzie  0  —  macierz koincydencji  ukł adu,  mają ca  budowę  prostoką tnej  macierzy  pasmowej o  elementach  skł adają cych  się   z  macierzy  jednostkowych  w  przypadkach  gdy  5 m   =  5„ lub  macierzy  w  przypadku  speł nienia  relacji  (4.1). Wykorzystują c  (4.3)  na  etapie  formuł owania  podstawowego  równania  równowagi metody  elementów  skoń czonych  macierze  sztywnoś ci  i  mas  wynoszą K'  =   0TK0, M'  =   0TM0, (4.4) Przytoczone  postę powanie,  zwane  zwę ż aniem  obiektu,  pozwala  za  pomocą   równań (4.4)  dokonać  sprzę ż enia  mię dzy  elementami  sztywnym  i  odkształ calnymi  rozpatrywanej struktury. BAD AN IE  DRGAŃ   WŁASNYCH  SAMOLOTU 5.  Koń cowy  ukł ad  równań 165 Postę pując  w  sposób  analogiczny  do  om ówion ego  w  p . 2- 3 w  odn iesien iu  d o  wszyst- kich  elementów  rozpatrywan ego  ukł adu  i  wykorzystują c  zasadę   tran sform acji  elem en tu belkowego  opisaną   w  pracy  [8] oraz  ogólnie  przyję ty  proces  agregacji,  a  n ast ę p n ie p r o - ces  zwę ż ania  obiektu  zgodn ie  z  p .  4  (równanie  4.4)  ostateczn ie  otrzym am y (K'- a> 2 M')8°  =  0,  (5.1) Z erowanie  się   wyznacznika  charakterystycznego  ukł adu  równ ań d e t ( iT - w2 Af' )  =  0  (5.2) daje  poszukiwane  wartoś ci  czę stoś ci  drgań  wł asnych,  a odpowiadają ce  im wektory  wł asn e reprezentują   postacie  tych  drgań . 6.  Analiza  numeryczna Opracowan o  algorytm  n um eryczn ych  obliczeń,  zredagowan o  program  D SP 1  w ję zyku F OR TR AN   n a  E M C  O D R A  1305.  Sprawdzon o  poprawn ość  dział an ia  p r o gr a m u  o raz zbież ność  opracowan ej  m etody.  Obliczenia  testują ce  prowadzon o  n a  przykł adzie  h ipo- tetycznego  sam olotu  (stał e  rozkł ady  m as i  sztywnoś ci  wzdł uż  dł ugoś ci  odkształ caln ych zespoł ów),  otrzym an e  wyniki  porówn ywan o  z  wynikam i  zam ieszczonym i  w  pracach [4]+ [6]. Tabela 1 Czę stoś ci  drgań podpór  sprę ż ystych Czę stoś ci  drgań od- kształ ca] nych zespo- łów K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 © i 0,01702 0,02238 0,025627 0,026936 0,031354 0,037490 7,553 11,265 12,771 15,005 17,863 19,211 19,833 20,834 21,499 CZĘ STOŚĆ [Hz] &i 0,053826 0,070783 0,081086 0,085223 0,099253 0,118460 7,555 11,268 12,773 15,005 17,863 19,211 19,833 20,834 21,499 0,17011 0,22373 0,25631 0,26940 0,31376 0,37440 7,559 11,270 12,775 15,005 17,863 19,211 19,833 20,834 21,499 Symetryczna postać * * * * * * N iesymetr. postać * * * * * Przyję to  do  obliczeń: 0  =  0(k x , k,, k x ,c x ,  c , , c 2) ; ®2 = 0 r  10; © 3 =  © i •   100 166 Z .  D Ż YG AD ŁO,  I .  N OWOTARSKI,  A.  OLEJN IK ylvl Rys.  3 Analizie  numerycznej  poddano  samolot  szkolno- bojowy  z  napę dem  odrzutowym. Wartoś ci  parametrów  masowych  i  sztywnosciowych  przyję to  analogicznie jak  w pracach [4] +   Kl. Odkształ calne  zespoł y samolotu podzielono na  34  elementy  (rys.  3)  o róż nej dł ugoś ci, zależ nie  od  rozkł adów masy  i sztywnoś ci.  Całą   konstrukcję   podparto  w wę ź le  20 —  w po- bliżu  ś rodka  masy  samolotu.  Podparcie zamodelowano sześ cioma  sprę ż ynami, trzema  k x , k y ,  k z   — pracują cymi  n a  zginanie  i  trzema  c x ,  c y ,  c z   — pracują cymi  na  skrę canie|  Przez realizację   takiego  podparcia  w sposób  „ naturalny"  speł niono  warunek  brzegowy.  Wpływ sztywnoś ci  sprę ż yn  na  czę stoś ci  drgań  zespoł ów samolotu przedstawiono  w tabeli  1. Z ot- rzymanych  rezultatów  widać,  że  zmiana  sztywnoś ci  podparcia  ma  jedynie  wpływ  na czę stoś ci  drgań  masy  przedniej  czę ś ci  samolotu,  natomiast  wpływ  na  czę stoś ci  drgań BAD AN IE  DRG AŃ   WŁASNYCH  SAMOLOTU 167 0 - 1,0 - 0,5 0 0,5 1,0- 19? - 1,0 - 0,5 0  i 0,5 1.0 x(u) z(w) 1. 0 0, 5. - O - 1.0 - 0,5 0 - OiS 1,0 Rys.  4 zespoł ów  odkształ caln ych jest  nieznaczny.  Takie  zachowan ie  kon strukcji  został o  zapew- nione  przez  dobran ie  odpowiedn ich  sztywnoś ci  p o d p ó r.  W  praktyce  wym agan ie  t o  jest traktowan e  ja ko  warun ek  m in im um  uż ytecznoś ci  stan owiska  n a  którym  p ro wad zo n e  są badan ia  rezon an sowe  sam olotu. N a  rys.  4- f-6  przedstawion o  wyniki  obliczeń  czę stoś ci  - - o"  • " [168] BAD AN IE  DRGAŃ   WŁASNYCH   SAMOLOTU   169' i  postaci  drgań  sam olotu  ze  skrzydł am i  o  duż ym  wydł uż eniu.  Wyniki  obliczeń  n a  E M C realizowane  są   szybko  i  dokł adn ie.  P rzedstawionym  program em ,  stosują c jedn owym iarową dyskretyzację ,  m o ż na  prowadzić  obliczenia  dowolnie  przestrzen n ie  rozgał ę zion ych  kon - strukcji  sam olotów. Literatura 1. Z.  D Ż YG AD ŁO,  I.  N OWOTARSKI,  Statyczne  obliczenia wirują cych ukł adów powł okowo- plytowych  metodą elementów skoń czonych.  Biul.  WAT,  XXX,  4, 1981. 2.  Z.  D Ż YG AD ŁO,  Dynamiczny  model  wirują cej niejednorodnej  tarczy  turbiny gazowej  do  analizy  gię tnyck drgań za  pomocą   elementów  skoń czonych.  Biul.  WAT,  XXVI,  3,  1977. 3.  Z.  D Ż YG AD ŁO,  A.  OLEJN I K,  Zastosowanie  metody  elementów  skoń czonych  do  analizy samowzbudnych i  wymuszonych drgań  wieloprzę sł owej powł oki  cylindrycznej  w  opł ywie  naddż wię kowym.  Biul.  WAT, XXVIII,  7,  1979. 4.  J.  BŁASZCZYK,  Z .  D Ż YG AD Ł O,  Dynamiczny model odkształ calnego  samolotu  do badania drgań wtasnyclr metodą  elementów  skoń czonych.  Biul.  WAT,  XXVI,  4,  1977. 5.  Z .  D Ż YG AD ŁO,  J.  BŁASZCZYK,  Analiza  podł uż nych drgań  wł asnych odkształ calnego  samolotu  metodą elementów  skoń czonych. Biul. WAT,  XXVII, 7, 1978. 6.  Z .  D Ż YG AD ŁO,  J.  BŁASZCZYK,  N umeryczna  analiza  sprzę ż onych  podł uż no- bocznych drgań  wł asnych niesymatrycznego samolotu.  Biul.  WAT  XXXI,  3,  1982. 7.  J.  BŁASZCZYK,  Analiza  podł uż nych  drgań  wł asnych  odkształ calnego samolotu  z  zewnę trznymi  podwie- szeniami metodą  elementów skoń czonych. Biul. WAT,  XXXI,  5, 1983. 8.  J.  SZMELTER i in., Programy  metody  elementów skoń czonych.  Arkady,  Warszawa  1973. ^  P e 3 »  M e I TP H M E H E H H E  flH CKPETH Ofl  MO.H EJIH flEcSOPM H PyEM Oro  CAM OJIETA  JI.JM   AH AJI H 3A C OBC TBEH H LIX  KOJIEEAH H ft IIpeflCTaBJieH   MeTofl  anajiirea  TTOCTOT  H  s u s a  coScTBeH H bix  K0Jie6aHHH   yn p yr o r o  caM on era.  Cnocoo"- aHajiirea  H BjraeTca  o6o6meH H em  iweToAHKii  pa3pa6oianH OH   B npeflbiflyiincc  pa6oTax  [4 -  7] H   oimpaeTCH Ha  npHMeHeKHH   oflHOMepHoń flH CKpeTiraauH H  fledpopiH H pyeiwbix KoHCTpyKitHOHHBix  arperaTOB  n p H  n o - MOIIH I  MeTofla  KOHeqHbix  sjieiweHTOB  B  nepeiwemeHHHX. Pa3pa6oTaH a  # H H aMireecKafl  iwoflejib  TejioG ajiKOBoro  TH na,  flna  KOTopoii  BbiBefleH bi  ypaBHeHHH flimaiwH H ecKoro  paBHOBecHH  flH ^iopmH pyeM bxx H  JKCCTKH X  • qacTeft  caMOJieTaj  a TaiOKe npH BefleH bi  ycjioBH H con pH raiom n e  3T H  ypaBH eH H H . P a3pa6oiaH a  nporpaM iwa  Ha  H3biKe  O O P T P A H   I V / snu  p a c i e i o B  Ha niauiH H e  Oflpa  1305. P aciieTbi  npoBefleH Łi  pjin  rim oTeTH ^ecKoro  caiwoneia  c  nociOHHHbiM   pacnpeAeJieH H eM   n ap aM eT p o s BfloJib  fljiH H bi  fle$opM H pyeM Bix  wacreftj  a  Taioice  n p n  Hcnojib3OB3HHH   flaH H LK  yie SH o r o  caM o n eia  c p e - aKTHBHblM   npHBOflOM. H a  ocHOBe  n oJiyieH H bix  pe3yjibTaT0B  MO>KHO  KOHCTaTHpoBaTb, ^ T O npeAJiaraeM Łift  MeTOA HHCTpyiweHTOM   p ac^ exa  lacTOT  H  BHflOB  coScTBeH H bix  K0Jie6aH nft  caiwojieia. S u m m a r y APPLICATION   OF  A  D ISCRETE  M OD EL  OF  A  D EF ORM ABLE  AEROP LAN E F O R N ATU RAL- VIBRATION   AN ALYSIS In  this paper a method of numerical analysis  of frequencies and modes of  natural vibrations  of a  defor- mable  aeroplane is  presented. The method constitutes a  generalization  of  that  employed  in  Refs.  [4 -  7], 170  Z .  D Ż YG AD Ł O,  I .  N OWOTARSKI,  A.  OLEJN IK A  one —  dimensional  discretisation  of  deformable  structural  units  is  applied  by  making  use  of the displacement  finite  element  technique. A  dynam ic model composed  of  deformable  beams  and rigid bodies  has  been  proposed. The equations of  dynam ic  equilibrium  for  deformable  and  rigid  parts  of  the  aeroplane  have  been  derived  together with the  con dition s  of  t h e  coupling  between  those  equations. T h e program  is prepared in th e F OR TR AN  IV language  for  calculations on the OD RA  1305 computer. T h e  calculations  were  performed  for  a hypothetical  aircraft  with  constant distributions  of  parameters over  t h e length  of  deformable  units, an d by  using the data of a  training jet —  aircraft. M akin g  use  of  the results  obtained  it  can be  stated  that  the method suggested  constitutes an  effective instrum ent  for  calculating  frequencies  and  forms  of  the aircraft  natural  vibrations. Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 12  lutego  1985  roku.