Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z3.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I S TOS OWANA 3, 24 (1986) BOUNDARY  IN TEG RAL  EQU ATION S  IN   TH E  TH EORY  OF   TH I N   PLATES ELŻ BIETA  KOSSECKA IPPT   PAN   W arszawa 1. Introduction The  method  of  boundary  integral  equations,  connected  with  the  classical  boundary value problems of potential theory, duetto the progress  of modern computational techniques, has  became  an  effective  tool  to  solve  the boundary  value  problems. I t  allows  to  reduce  a  three- dimensional  problem  to  a  two- dimensional  one  or  a  two- dimensional  problem  to  a  one- dimensional  one,  what  is  advantageous  when  solving the  problem  numerically. I n  this  paper,  different  possible  formulations  of  th e  problem  of  a  thin  plate,  with simply  supported  or  clamped  edges,  are  presented.  They  lead  to  a  different  systems  of boundary  integral  equations. One  of  the  possible  approaches  is  through  the  Rayleigh  —  G reen  formula,  which represents  a biharmonic function  as  a superposition  of four  biharmonic potentials. It leads to  the system  of  weakly  singular  integral  equations  of  th e first  kind. Besides  that,  a  biharmonic  function  can  be  represented  in  several  ways  by  different combinations  of  two  biharmonic potentials,  what  leads  to  different  systems  of  boundary integral  equations  of  the first  and  second  kind  for  boundary  functions  which  in  general do  not  have  a  physical  interpretation. 2.  Basic  relationships  and  equation  of  equilibrium  for  the  thin  plate A  homogenenus, thin elastic plate, we describe in the following  way.  The middle  surface of the plate is a region  S of  the plane  fe,  x 2 ),  its  boundary  constitutes a  curve  L   (F ig.  1): xsS;  x=  [ Xl) x 2 ].  (1) The  curve  L   is  given  in  the  parametric  form: •   xeL :x=  [ Xl (I),  x 2 (l)],  (2) the  parameter  /  being  the  arc  length  along  the  curve  L .  We  assume  th at  L   consists  of  a finite  number  of  segments  of  the  class  C 2.  t  is  the  tangent  vector  of  L ,  n  is  th e norm al 2* 260  E.  KOSSECKA vector  directed  outwards  S: By H we denote the internal curvature of the curve  L. the  reciprocal  of  x  is  the  curvature  radius Q: The deflection  of the middle surface  of the plate in the direction of the x3  axis, describes the  function  w  =  w(x),  its  derivatives  have  the  meaning  of  the  deflection  slopes  of  the middle  surface  of  the  bent  plate  with  respect  to  the  surface  (x±,  x2). We consider now an element of the transversal cross­section of the plate, of unit length, having  the  normal  vector  it  and  the  tangent  vector  t.  The  derivatives  in  the  directions  n and  t  we  denote  respectively: 8  8  8  8 on  ox  ct  ox 3w  8w —z—  and  ­j—  represent  respectively  the  slopes  of  the  middle  surface  in  the  directions  n and  t,  a  j ­  and  .  ­  represent  the curvatures  of the middle  surface.on  ot The  bending  moment  Mm  and  the  twisting moment  Mnt,  acting  on the  element  of  the cross­section,  are  given  respectively: (7) '  cnot is  the  Laplace  operator. BOUNDARY  INTEGRAL  EQUATIONS...  261 The  transverse  force  Qn s  given as: 2  D A  ( 9 ) The  limits of the  above  quantities at the  boundary  L of S,  we  consider  as  the  functions of  the  parameter /. The  effective  transverse  force  acting  on  the  element  of the  boundary  of unit  length: xeL.  (10) The equation  of equilibrium  of a thin, homogeneous  elastic plate, loaded  by  the  lateral load,  described  by  the  intensity p(x),  has  the  form: AAw~~,  (11) D is the bending  stiffness  of the  plate: D - D~  12(1 ­v3 where h the plate thickness, E the elasticity modulus and v the Poisson ratio  of the  material of  the  plate  (see  [1, 2]). 3.  The  integral  formula  for the  function w For a function  w satisfying  in the  region S, bounded  by  the  curve L, the  differential equation  (11),  we  can  derive  the  following  integral  formula. Let  G be a Green  function  of  the  equation  (11). In  the  sense of the theory  of genera­ lized  functions,  G is the  solution  of the  equation: AAG(x,x')=da)(x­x'),  (13) where  ó(2)(x—x')  is the two­dimensional  Dirac delta function.  In general  G is of the  form: G  =  G0 + G1}  (14) where  Go is a particular  solution  of the equation  (13), while  Gx is a solution  of the homo­ geneous  biharmonic  equation  and satisfies  appropriate  boundary  conditions.  We may take  Go in the  form: G0(x, x')  = ­ i ­  [r 2lnr~r2],  r = x­x'.  (15) 1  \  r For  Go  we can  take  also the  function  ­— r 2lnr  or­̂ — r2ln  —; the expression  (15) has  the advantage,  that  its  laplasian  is  proportional  to  In/1. In  the forthcoming  formulae  x will be  a fixed  point  of  the  area S or  the  boundary L, whereas x' will be varying. To the fixed  point  of the boundary L corresponds  a fixed  value of  the  parameter  /, to the  varying  point  of L corresponds  the  varying  value of the  para­ 262  E.  KOSSECKA meter  /': j c e l : *  =**(/);  x' BL\X' =  *'(/')•  (16) n With  primes we shall distinguish the quantities  corresponding to the varying point x' • ­%­ will  denote  the derivative in the direction  normal to the boundary  L at the point  / with respect  to the variable  x, whereas  ­r­? will  denote  the normal  derivative  at the point  / with  respect  to the variable  x'\ For  x e S  we have  the following  identity: w(x) ­  f  ds'w(x')d2(x­x')  ­  j*ds'w(x')AAG(x,x')  = s  s ° U U U  / * V «  v ' \ .  „ / ?  1  O  «­  * • '  r­  C ——  ­—  —  ' \j  1 jc jc  1  oc _ o  ­=— i.. Z*. X% Jv  t  O  • Performing  in the above  formula  four  times integration  by parts, we obtain  the following formula  — called  the  Rayleigh  — Green  identity  — for the function  w satisfying  in  the region  S  Eq.  (11): w(x) =  fdl'w(x'O'))~AG(x,x' 8n'  ­ ­ v ~ ' " v „  j  ™  8n, f + ̂   fds'p(x')G(x,x').  (19) s The  formula  (19) has the twofold  meaning.  On the one hand,  when  the function  G  sa­ tisfying  suitable  boundary  conditions  is known,  it  allows for the derivation  of the  fun­ ction  w satisfying  given  boundary  conditions,  with  the given  loadings  p.  On the other hand,  using the simplest  G, for example  Go, it constitutes the base to formulate  the boun­ dary  equation; for the unknown  functions.  The  solution  can then  be found  by  simple integration.  In particular,  the boundary  equations  method  allows for the derivation of G itself,  assuming p to be the concentrate force  (see  [3]). 4.  The simply  supported  plate We call the plate simply  supported, if the deflection  and the bending moment  are zero at  its  boundary: =  0.  (20) BOUNDARY  INTEGRAL  EQUATIONS...  263 If  the  deflection  w is equal  to zero  at the  boundary,  its derivatives  along  the boundary are  equal  to  zero,  in  particular: r  .  d 2w  d  dw  d2w dt  Sw "  w  dt  dw  32w dw Hence: , a i :  „­„"f..,,^.  (22, For  the  rectilinear  boundary  n = 0, the boundary  conditions  (20)  have  thus  the form: xeL:  w =  0,  — ^ ­  =  0,  (23) or xeL:  w = 0,  Aw = 0.  (24) For  the curvilinear  boundary: or :  „  „  .  ,­  , 3W =  0.  (26) 5.  The boundary integral equations for  the simply supported plate  resulting  from  the boundary  formula The  integral  formula  (19)  gives  the  representation  of the  function  w in  terms  of the boundary  values  of the  function  itself  and  its derivatives. We  shall  call  them  boundary functions.  The boundary  conditions  for  the function  w  determine  immediately  some boundary  functions,  being  at the same  time  the integral  equations  for the  remaining functions,  treated  as the  unknowns  in these  equations. We consider  first  the  simply  supported  plate in the  form  of a polygon,  satisfying the boundary conditions  (24).  From  the  formula  (19) it follows,  that  the  deflection  function of  such  a  plate  may  be represented  in the  form: w  = • _  Ł dV ~AG­  Łdl'~AwG+~  [ds'pG.  (27) J  on  J  on  1J  J L  L  s At  the same  time,  from  the boundary  conditions  (24),  we obtain  the following  set  of equations for the  functions  ­=—  and  ­r—  A w which we accept  as the unknown  boundary dn  dn functions,  depending  on the parameter /: 264  E.  KOSSECKA. L i S C  d  IT 0  =  ­  f  dl'­5­rAwAG+—  ds'pAG,  x, x'  eL.J  on  ­P J L  s For  the  function  G we take  the  function  GQ, given  by  the formula  (15).  (If  we have  used in  the  formula  (27) not  the function  Go but  the  function  G satisfying  the  boundary  con­ ditions  G — 0, AG  ­  0,  only the last term  would  remain the this formula,  and  the  boun­ dary  conditions  would  be  satisfied  automatically). Deriving  the  second  equation,  we  have  assumed  the  limit  of  the  contour  integral containing  the  term  AAG  to  be equal  to  zero,  because from  (13): AAG(x,  x')  =  0  for  xeS,  x'  eL,  x  ^  x'.  (29) The  function  ­s— and  ­̂ — Aw  disappear  in  the  corners  of  the  plate.  Let  us  consider 8n  dn a  rectangular  corner.  If  the quantities  w and  A  w disappear  at  the boundary  then  its  tan­ gent  derivatives  along the  boundary  disappear  also. But  at  the  corner  the tangent  deriva­ dw tives  along  one  edge  are  equal  to  the  normal  derivatives  along  the  other  edge,  ­ j ­  and B  *  •  • ­r— Aw  disappear  thus  in  the  corner.  The  similar  reasoning  can  be  carried  out  for  the on corner  with  arbitrary  internal  angle. The  set  of  equations  we have  obtained,  is  the  set  of  the  Fredholm's  equations  of  the first  kind,  as  the  unknown  functions  appear  only  under  the  integral  sign.  The  integral kernels  posesses  only  weak,  logarithmic  singularities.  In  the  second  equation  only  the unknown  function  —­^­Aw appears. Let  us  consider  now  the  simply  supported  plate  with  curvilinear  boundary.  From  the integral formula  (19) and  the boundary conditions  (26) results the following representation for  the  function  w: Bw Let  us  mention,  that  in  the  boundary  conditions  the  boundary  function  ­̂ —  appears. At  the  same  time; from  the  boundary  conditions  (26) we obtain  the following  set of  equ­ ations  for  the  unknown  boundary  functions: s BOU N D ARY  IN TEG RAL  EQU ATION S...  265 The appropriate derivatives  of the function  G  — G o   are given by the formulae  Al  (2, 3, 5, 7). When  deriving  the  second  equation,  we  have  taken  into  account  (29)  and  the  limiting properties  of  the  two- dimensional  harmonic  potential  of  a  double  layer,  which  consti- tutes  the  integral  with  the  kernel  - K- T ^ G  (see  A2  (1, 2)).  F or  H  =  0  equations  (31)  turn into  equation  (28).  We  assume  also  that the  limiting  transition  to  the  plate  with  corners (Q  =*•  0)  exists. The  second  equation  contains  the  unknown  function  outside  the  integral  sign  also, it  is  thus  the  integral  equation  of  the  second  kind. 6.  Different  integral  representation  and  the boundary  equations  for  the  function  w The  integral  formula  (19)  is  not  the  only  possible  representation  of  the  function  w, which  we  can  use  to  solve  the  boundary  value  problems.  In  general,  we  can  seek for  the function  w  in  the  form: vt' = wo + Wi, (32) where  w 0   is  a  certain  particular  solution  of  the  equation  (11)  whereas  >vx  satisfies  in  S homogeneous  biharmonic  equation.  F or  the  constant  load  p  we  can  take  for  instance  vt'o in  the  form: w - p ń ns\ To  the  biharmonic  function  H ^ corresponds  the, harmonic  function  Aw 1}   which  can  be looked  for  in the form  of  a  harmonic potential  of  a  simple  or  double  layer  or  their  combi- nation.  It  suggests  different  possible  representations  of  the  function  W x • Let  us  consider  a  polygonal,  simply  supported  plate. a)  Let us  try  to  seek for  the function  w in  the following  form: (34) In the above  and in the following formulae,  for  the function  G we  shall  accept the  function G o , given by  the formula  (15). F rom the boundary  conditions  (24) we obtain th e following set  of  equations  for  the unknown  functions /   and g  (for  points  located  n ot  at  the  corners of  the  boundary): 0  = ~ i V d L < 35> 0 =  - jg(fi+j  dl' g {V)~AG^ Aw 0 . L We  have  made  use  of  A2  (1, 2)  and  (29). We  have  obtained  the set  of  the F redholm's  equations  of  the second  kind.  The  kernels of  the  equations  are  non- singular.  At  a  rectilinear  segment  of  the  boundary,  to  which. 266  E.  KOSSECKA belongs  a  point  /,  after  performing  the  limitary  transition  A2(2),  the  expressions  ­ ^ p, and  ­=­7­  AG  are  equal  to  zero. The  functions /  and  g  do  not  have  any  direct  physical  meaning,  they  need  not  satisfy also  any  special  conditions  at  the  corners. We  can  consider  the  above  way  of  derivation  of  the  boundary  integral  equations for  the  boundary  conditions  (24)  as  the  analogue of the  classical  solution  of  Dirichlet's problem. We  shall  not  use  the  representation  (34)  to  derive  the  boundary  equations  for  the plate  with  a  curvilinear  contour,  because  we would  obtain  in this  case the  equations  with strong  singularities, what  we  want  to  avoid.  For  polygonal  plates,  we  can  use  also  the representation  with  the  kernels  G  and  ­^­j­AG. b)  The  natural  representation  of  the  deflection  function  of  a loaded  plate is the repre­ sentation  in the form  of  a sum of particular  solution w0 and  the solution due tojhe  distri­ butions  along the boundary  of the  appropriate  forces  and moments  (see  [3]) : w  =  j  dl'fil1) ­ | | ­ +  /  dl'g{l')G+wo.  (36) L L From  the  boundary  conditions  (24), we  obtain  for  the  polygonal  plate  the  following  set of  equations  (for  points  located  not  in  the  corners): 0 ­  jdlW)  1 1 +  fdlW)G+w0> L L 1  r  D  c 0  =  ­jM  + j  dl'f(l') ­^AG+j  dl'g(!')AG+AWo, and  for  the plate  with  a  curvilinear  boundary,  from  the  boundary  conditions  (26), the  set of  equations: 0  = L (38) The  appropriate  derivatives  of the  function  G are  given  by  the  formula  A\  (2, 3, 4, 5, 7). We have  obtained  the set of equations, where the second equation  containes the  boun­ dary  function  outside  the  integral  sign,  is  thus  the  integral  equation  of  the  second  type. The  equations  for  the  polygonal  plate  differ  from  those  for  the  plate  with  curvilinear boundary  relatively  little.  The  second  equation  contains  the  weakly  singular  integral with  the  logarithmic  kernel. BOUNDARY  INTEGRAL  EQUATIONS...  267 c)  We can also  look  for the function  w in the  form: j ^ . (39) L L For a polygonal plate, from  the boundary  conditions  (24), we obtain  the equations: 0=  j  dlW)AG+  Jdl'g{l')~+w0, L L \ r a (4°) L whereas for the plate with a curvilinear boundary, from  the conditions  (26), the  equations: 0 =  j  dl'f(l') 4G+j  dl'gQ') ­^r+wo, L L 0 ­  i ­ (1 ­v)x(l)f(l)­  (1 ­  v)x{l) j  dl'f(O I The  appropriate  derivatives of the function  G are  given by the formulae  A\  (3, 4, 5, 6,  7). The  second  equation  is of the  second  kind,  the  first  equation  is of the  first  kind. For x  —  0 the set of equations  (41) turns  into the set of equations  (40). 7. The plate with clamped  edges A  plate is called  clamped  (or with  clamped  edges) if the  deflection  and the deflection slope  are equal  to  zero  at the boundary: xeL:  w = 0,  —  ­  0.  (42) on From  the integral  formula  (19), the following  representation  results  for  the  deflection function  of the plate  under  the lateral  load p(x): w  =  §dl'Aw­^G­  J  dV ArAwG+~  j  ds'pG.  (43) L L S From  the boundary  conditions  (42), we obtain  the following  set  of  equations  for the p function  Aw and ­~~r Aw  on L,  which  we accept  as the unknown  boundary  functions: ( 4 4 ) 0 =  jdl'Aw­^­rG­  j  dl'­^­AwG+^  (  ds'pG,  • L H L S 268  E.  KossncKA The  appropriate  derivatives  of  the  function  G  are  given  by  the  formulae  .,41(2,3, 4). We  have  obtained  the  set  of  equations  of  the first  kind,  the first  one being  non­singular, the  second  one being weakly  singular.  The form  of the  equations  does  not  depend  on  the shape  of  the  plate.  In  the  case  of  a  polygonal  plate,  the  boundary  functions  disappear in  the  corners.  I From  the  disappearance  of  w and  ­j—  at the  boundary follows  the disap­ ,  d2w  83co  ,  82  8w  .  ,  .  „  . . . .  ,  , pearance  of  ­.•­,  ,  ­  ,  and  ­5­5­­=—>  from  here  follows  the  disappearance  of  Aw  and ot  at  at  on Aw\. 8n We  can  consider  the  representation  (43)  as  the  particular  case  of  the  representation: =  j  dl'f­^r  + j  dl'gG+w0,  (45)w j f^r + j where  w0  is  the  particular  solution  of  the  equation  (11). Besides  the  representation  (43)  or  (45)  for  the  function  w, we  can  make  use  of  the other  integral  representations. a)  Let  us  consider  the  representation: w =  f  dl'fAG+  f  dl'gG+w0.  (46) From  the  boundary  conditions  (42), the  following  boundary  equations  for  the  boundary functions  /  and  g  result: 0 =  fdrfAG+fdl'gG+w0, b)  On  the  other  hand  the  representation: w = j  dl'fA G + j  dl'g­~  + wo,  (48) L L leads  to  the  boundary  equations: o  ­ •/  J  on L h (49)3n In  the  sets  of  equations  (47) and  (49) we find  the equation  of the second kind with respect to  the  function  /  and  the  equation  of  the  first  kind  with  respect  to  the  function  g.  The functions  /  and  g  need  not  satisfy  any  special  conditions  in  the  possible  corners  of  the boundary. BOUNDARY  INTEGRAL  EQUATIONS...  269 8.  Conclusions The  deflection  function  of  a  thin,  homogeneous,  isotropic  plate,  laterally  loaded,  as a  solution  of  the  nonhomogeneous  biharmonic  equation,  can  be  represented  in  several ways  with  the  help  of  appropriate  biharmonic  potentials,  with  densities  playing  the  role of  boundary functions.  The boundary value problem  is reduced  in this way to the  solution of  a  set  of the  boundary integral  equations for  the  unknown  boundary  functions. The most natural representation is one following from  the Rayleigh —  Green  boundary formula,  where  boundary  functions  have  the  meaning  of  a deflection,  deflection  slope, bending  moment  and  the  transverse  force  at  the  boundary.  However  another  represen­ tations  can lead to  „better"  sets  of integral equations, containing  equations  of  the  second kind, whereas from  that  formula  equations of the first  kind  follow,  (see [5]). Appendix 1 The  derivatives  of  the  Green  function  of  the  biharmonic  equation: G=~[r2lnr­r2];  r^x­x',  (1) £ ^ l ] . (2) - l ] ,  •  (3) (5) 8n' Appendix 2 Properties  of  the  two­dimensional  double­layer  potential.  Let  u be  the  potential: u(x)  = ­ L f  dl>{n  _|_  m, a  _L j  dlW  JL  A [rHnr­r>l r = x­x'(l');  xeS,  x'(l')eL,  ( 1 ) L being the boundary of the region S. Denote by wf and ue the interior and exterior limits 270  E.  KOSSECKA of  u at the poin t x belonging  to the smooth boundary  L   •  u t  and u e   are given  respectively: 1 C Pi  1 ] lii S1 I\    ̂ 1 * -/   dlW )  J p  in ^ + yM O ,  (2) x(!)eL ,  x ' ( 0 e L .  (3) where  the integrals  are to be understood in the sense  of a principal value. M ore  generally,  relaxing  the restriction  to a smooth  curve, if x is located  at  a  corner of  th e  boundary  having  an  interior  angle  Q(x),  then  (see[4]): (4) R eferen ces • 1,  S.  T I M O S H E N K O ,  S.  W O I N O W S K Y- K R I E G E R,  7 VI C O ^ of  plates  and  shells,  M e  G raw- H ill,  1959. 2.  W .  N O W A C K I ,  Dź wigary  powierzchniowe,  P W N   1979. 3.  A. BARYŁA,  E . SOBOCIŃ SKA,  T eoria  pł yt  ż elbetowych z  rysami,  P WN   1983. 4.  M .  A.  JASWON ,  G . T.  SYMM,  Integral  Equations  Methods  in Potential  T heory  and Elastostatics,  Acad. P ress  1977. 5.  U .  H E I SE ,  Systematic  compilation on integral equations of  the  Rizzo  type  and of Kupradze's  functional equations for  boundary  value problems  of  plane  elastostatics, J. of Elasticity,  10,  N o . 1 (1980). P  e  3  IO  M e KP AE BLI E  H H T E r P AJ lBH L I E  YP ABH E H H E  B TEOP I- IH  T O H K H X  m i AC T H H O K K p a e Ba n  aa^a^ia  Rjm  ffu^ ^ epenufisahuoT o  ypaBH emiH   M an wx  H arn SoB  TOH KOH   nnacTH H KH , n o - n epe^iH o  H arpyH teH H 0H 3 Mow