Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z3.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  S TOS OWANA 3,  24  (1986) LIN IOWE  UKŁADY  MECH AN ICZN E  O  N AJSZYBSZYM   TŁ U M I E N I U STANISŁAW  D U BIEL W ojskowa  Akademia  T echniczna Wstę p U kł ady  mechaniczne  tworzone  przez  czł owieka  speł niają   swoją   rolę   tym  lepiej  im korzystniejszy  jest  ruch  tych  ukł adów.  Zał oż eniem konstruktorów  jest  zbudowanie  ukł a- dów  optymalnych,  w  tym  przypadku  ukł adów  poruszają cych  się   w  sposób  najkorzyst- niejszy.  Zezwalają   na to rozwijają ce  się   metody optymalizacji,  zapoczą tkowane  w ramach wariacyjnych  zasad  mechaniki  i  rozwijane  aktualnie  w  teorii  sterowania. Cechą   charakterystyczną   ukł adów  mechanicznych,  tworzonych  przez  czł owieka  jest celowość  ich  ruchu,  realizowana  najmniejszym  kosztem.  Takie  przynajmniej  zał oż enia przyś wiecają   pierwotnym  koncepcjom każ dego  tworzonego  ukł adu.  U kł ady takie  realizują ruch  wedł ug  opracowanego  wcześ niej  programu  poprzez  sterowanie  tymi  ukł adami. Sterowane ukł ady mechaniczne bę dziemy  w  dalszym  cią gu  nazywali  ukł adami  mechanicz- nymi  celowego  dział ania. Optymalny  program  ruchu  moż na  opracować  znanymi  metodami  optymalizacji w  postaci  ekstremal.  Bardzo  czę sto  uzyskuje  się   takie  ekstremale  jako  zbiór  krzywych kawał kami  cią gł ych.  Realizacja  takiego  programu  wymaga  bardzo  czę sto  gwał townej zmiany poł oż enia równowagi  ukł adu, co pocią ga  za sobą   niekorzystne procesy  przejś ciowe. Celem  zł agodzenia  tych  procesów  stosowane  są   odpowiednie  podukł ady  sprzę gają ce, których  elastyczność  ł agodzi  niebezpieczne  zmiany  poł oż enia równowagi.  Zł agodzenie to jest  tym  pł ynniejsze  im  wł aś ciwiej  dobrana  jest  charakterystyka  podukł adu  sprzę ga- ją cego.  Charakterystykę   taką   moż na  okreś lać  mianem  zwią zków  sprzę gają cych. Rozważ ania  niniejsze  stanowią   metodę   syntezy  ukł adów  mechanicznych  celowego dział ania,  zmierzają ce  do  wyznaczenia  zwią zków  sprzę gają cych,  które  zapewniają   naj- szybsze  tł umienie ukł adu. Tak  zaprojektowane  sprzę ż enie  ukł adu mechanicznego z  ukł a- dem  sterowania  daje •  spokojny  przebieg  procesów  przejś ciowych  wywoł anych  zmianą poł oż enia  równowagi.  Oddala  również  niebezpieczeń stwo  wynikają ce.niekiedy  z  awaryj- nych przerw w ukł adzł e sterują cym,  wywoł anych przerwami zasilania ukł adu. 1.  Wyjś ciowe  równania  ukł ada  mechanicznego Oddział ywanie  ukł adu  sterowania  na  ukł ad  mechaniczny  sprowadza  się   z  zasady do  zmiany  sił  dział ają cych  n a ukł ad.  Model matematyczny ukł adu  moż na  zapisać w prze- 272 S.  DUBIEL strzeni  konfiguracji  (Q — przestrzeni)  za  pomocą   współ rzę dnych  uogólnionych.  U kł ad opisują cy  dynamiczne  efekty  sterowania  przyjmie  wię c  postać  .  . '4t =   Qi(qi> • • • »?».  ś fn  • • • >?«)>  i - i,  ...,»•   ( l. i) Rozważ ania  niniejsze  ogranicza  się   do  liniowej  zależ noś ci  sił  od  przemieszczeń  i prę d- koś ci  uogólnionych  a  wię c  równanie  liniowego  ukł adu  dynamicznego  zapisać  moż na w  formie (1.2) jest J- l jest  macierzą   sprę ż ystoś ci  ukł adu, zaś  macierz  D  =gdzie  macierz  C  =   { macierzą   tł umienia Czę ść  elementów  macierzy  C  i  D  moż na  przyją ć  jako  poszukiwane  wielkoś ci.  Są   to te  elementy,  które  reprezentują   charakterystykę   ukł adu sprzę gają cego,  a  wię c  sztywnoś ci i  tł umienia  ukł adu sterowania,  oraz  współ czynniki  wzmocnienia  tego  ukł adu. Zdaniem syntezy  jest  wyznaczenie  takich  ich  wartoś ci,  aby  tł umienie ukł adu był o jak  najszybsze. Poszukiwane  elementy  moż na  wyodrę bnić  specjalnym  oznaczeniem. Syntezę   ukł adu liniowego  (1.2)  moż na  przeprowadzić  drogą   czysto  algebraiczną ,  lub drogą   poś rednią,  którą   nazwiemy  metodą   macierzową .  D roga  czysto  algebraiczna  polega na  przekształ ceniu wielomianu  charakterystycznego  odpowiadają cego  równaniu  wyjś cio- wemu  i  wyznaczeniu  odpowiednich  warunków  na  pierwiastki  tego  wielomianu.  M etoda macierzowa  polega  na  odpowiednim  przekształ ceniu  macierzowego  równania jednorod- nego  odpowiadają cego  ukł adowi  dynamicznemu,  a  nastę pnie  wyznaczenie  warunków na  nierosną ce  rozwią zania  ukł adu  przekształ conego.  Obie  metody  nabierają   ogólniej- szego  charakteru  jeś li  równania  ruchu  opisują ce  ukł ad  mechaniczny  sprowadzimy  do formy  macierzowej. F orm ę   macierzową   równoważ ną   ukł adowi  (1.2)  uzyskamy  w  przestrzeni  fazowej wprowadzeniem  nastę pują cych  oznaczeń X l  —  Clt   X s- 1  —  Qki   X m- 1  =   Cni Xi  =•  Xi  =   fi',  xs  =   xs^!  —  qk;  x,„  = gdzie  s  =  2k  =  2, 4,  ..., m  =   2«. U kł ad  równań  (1.2) w przestrzeni fazowej  ma postać _i  =   qn, (1.3) F orm ę   macierzową   powyż szego ukł adu moż na zapisać  nastę pują co: x  =   Ax gdzie (1.4) (1.5) x  = xm. ',  X  — x 2 x m . LIN IOWE  UKŁ ADY  M ECH AN ICZ N E... 273 zas  m acierz " O  1  O  O  ...  O  0 £ l l  J*ll_  C 1 2  " 1 2  • • •   c l n  « l n O  O ~   O ~   5 "  . . . O  1 Cni  4 i l  C„ 2   d n2   ...  C n „  d„„ Macierz  A  w  ukł adzie  (1.5)  bę dą cym  odpowiednikiem  ukł adu  (1.4)  posiada  dość specyficzną  formę.  N ieparzyste  wiersze  macierzy  A  posiadają  In — 1  zer  oraz  jedynki na  kolejnych  parzystych  miejscach.  Wiersze  parzyste  są  kombinacją  współ czynników sztywnoś ci  i  tł umienia  na  przemian. Wprowadza  to pewne  uproszczenia  do przekształ ceń dokonywanych  w  procesie  badań.  Ponieważ  jednak  przekształ cenia  opracowano  dla ogólnej  macierzy  A  zatem w dalszym  cią gu  elementy macierzy  A  oznacza się  odpowiednio przez  ay.  Wskaź niki  i,j,  przyjmują  ze  zbioru  liczb  naturalnych  zarówno  wartoś ci  nie- parzyste  jak  i  parzyste  czyli i,j=  1,2,,  ...m Co  wię cej  dla  ogólnoś ci  rozważ ań  m  może  być  również  liczbą  parzystą  jak  i  nieparzystą. Równanie  macierzowe  » x  =   A*,  .  (1.50 może  więc  mieć  postać  ogólniejszą  w  odniesieniu  do  równania  (1.4). Zatem  macierz  A A = Zakł ada  się, że wszystkie elementy macierzy  A  są  stał e i  rzeczywiste. Elementy  macierzy  A  oznaczone  gwiazdką  moż na  dobierać  w  taki  sposób  aby  roz- wią zanie  speł niało  odpowiednie  warunki. 2.  Poszukiwanie  rozwią zań  o  najszybszym  tł umieniu z  wielomianu  charakterystycznego N iech  macierz  A  w  zakresie  zmiennoś ci  {a* m }  speł nia  warunek  statecznoś ci  ukł adu. Zgodnie  z  warunkami  Sylvestra det  A  >  0,  dla  m  parzystego, det  A  <  0,  dla  m  nieparzystego, zaś Tr  A  <  0. Wartoś ci  wł asne  macierzy  A  wyznacza  się  z  wielomianu  charakterystycznego W (X) =   |A- IA|  =   0. Jeż eli  elementy  macierzy  A  są  stał e  i  rzeczywiste  wówczas  wartoś ci  wł asne  macierzy a 21 a ml d 12 a 22 a m2 ... a$ m ... a% m ••• a*m 3  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3/86 274 S.  DUBIEL są  rzeczywiste  lub zespolone  parami sprzę ż one.  Speł niają  one równanie  charakterystyczne W (X)  =   (- \ Y[Xm+p l k m - 1 +p 2 X m - 2 +  ... +p m - 1 *+pj,  (2.2) gdzie Pi  =   ~ =  - T r A, lit—-   1 «/!  Z m- 2 Pi "  (- I)3  £ an a Jt a k i j ak >   i, 1  aik i  a Jk j  a m k  >  j  >  i, P»"(- ir  det  A. Kolejne  współ czynniki  pi  wielomianu  charakterystycznego  są  sumami  wszystkich wyznaczników  minorów gł ównych  i- tego  stopnia.  D la ukł adu  statecznego  współ czynniki te  są - wszystkie jednakowego  znaku.  Speł niają  ponadto warunki  H urtwitza  w  cał ym za- kresie  zmiennoś ci  współ czynników  {a* m }. Wartoś ci  wł asne  macierzy  A speł niają  zwią zki  Viety 2J  A, =   - pi, m—  1  m 2 Jfc—l  i = f e + l m — %  m 22 -   - Pz, k - ( - D >*. Wyraż enia  powyż sze  ł ą cznie  z  zależ noś ciami  na współ czynniki  {/?,}  dają  interesują ce zwią zki  mię dzy pierwiastkami  równania charakterystycznego,  Xi a elementami  macierzy  A. Przy ich  pomocy  moż na  przeprowadzić  wielce  poż yteczne  badania jakoś ciowe  liniowego ukł adu.  Już  pierwszy  zwią zek  daje  moż liwoś ci  wyznaczenia  takich  pierwiastków,  które dadzą  rozwią zania  o  najszybszym  tł umieniu. Pierwiastki  równania  charakterystycznego  (2.1) i  (2.2)  mają  ogólną  postać hs- D* =  - d s ±ico s ,  s =  2, 4, . . . ,  2„.  (2.5) Pierwiastki  powyż sze  są  parami  sprzę ż one  zatem  pierwszy  ze zwią zków  Viety  moż na wyrazić  za  pomocą  sumy  czę ś ci  rzeczywistych =  - Px , =   1,2, 1 - T m. (2.6) Czę ś ci  urojone  dają  w  sumie  zero. LIN IOWE  UKŁ ADY  M EC H AN IC Z N E...  275 U kł ad,  którego  ruch  jest  ruchem  statecznym  posiada  wszystkie  czę ś ci  rzeczywiste ujemne  co  w  wyraż eniu  (2.5)  podkreś lono  znakiem  minus.  Spoś ród  wszystkich  czę ś ci rzeczywistych  interesuje  nas  pierwiastek  którego  moduł   jest  najmniejszy.  Pierwiastek taki  nosi  nazwę  pierwiastka  dominują cego.  Decyduje  on  o  prę dkoś ci  tł umienia,  a  więc prę dkoś ci  zanikania  procesów  przejś ciowych.  Oznaczmy  pierwiastek  dominują cy  przez ó d ,  a  więc <**  <   {\ h dla  wszystkich  k  z  wyją tkiem  k  =  d. Skrócenie  czasu  trwania  procesów  przejś ciowych  (zwię kszenie  prę dkoś ci  tł umienia) sprowadza  się  więc  do  zwię kszenia  moduł u  czę ś ci  rzeczywistej  pierwiastka  dominują- cego.  Jest  to  równoznaczne  ze  zwię kszeniem  dekrementu  logarytmicznego  tł umienia rozwią zania  szczególnego,  najwolniej  tł umionego. Ł atwo  wykazać,  że  najwię kszą  wartoś ć, jaką  może osią gnąć  moduł  czę ś ci  rzeczywistej pierwiastka  dominują cego M a  to  miejsce  wówczas,  kiedy  wszystkie czę ś ci rzeczywiste  pierwiastków  są jednakowe. Zgodnie  z  równaniem  (2.6)  ̂ -   d3 -   ... -     0,  a  więc n p. 6%  —  ^- i-  +  e  to  w  myśl  równania  (2.6)  inny  pierwiastek  mu- m siał by  mieć czę ść rzeczywistą  mniejszą  o  e, a więc  3 d   =  —- —e i ten był by czę ś cią  rzeczy- wistą  pierwiastka  dominują cego. N ależy  więc  ustalić  warunki  n a  poszukiwane  elementy macierzy  A  au,  przy  których uzyskuje  się  pierwiastki  ze wszystkimi  czę ś ciami rzeczywistymi  równymi. Wprowadza  się w  tym celu nastę pują ce  podstawienie do  wielomianu charakterystycznego X =   a—d, gd z ie  <5 =   ^ . m Otrzymuje  się w ten sposób  równanie charakterystyczne o postaci o m +b 2 o m - 2 +b 3 o m - 3 +  ...  +b m _ 1 a+b m   =  0.  (2.10) Poszczególne współ czynniki równania  (2.10)  wyznacza  się  z zależ noś ci 3 » 276  S.  D U BI E L przy  czym bi  =  —m •   d+Pi  =   0. Pierwiastki  wielomianu  charakterystycznego  (2.5)  bę dą   miał y  jednakowe  czę ś ci rzeczywiste  jeż eli  pierwiastki  równania  (2.10)  bę dą   pierwiastkami  tylko  urojonymi  lub równymi  zero.  Zgodnie  ze  zwią zkami  Viety a  zatem  ukł ad  dynamiczny, którego  równanie  (2.10) jest  równaniem charakterystycznym nie  posiada "rozwią zania  tylko  maleją cego.  Może posiadać  rozwią zanie  co  najwyż ej  nie- rosną ce  i  t o  tylko  w takim  przypadku  kiedy  wszystkie pierwiastki  są   czysto  urojone  lub równe zero. Pierwiastki  takie  moż na uzyskać jeż eli: b t   =   0,  dla i nieparzystych, b t   >  0,  dla  z parzystych.  '  ' Równanie  (2.10)  przy  warunkach  (2.11)  zapisze  się   w  postaci  zawierają cej  tylko parzyste  potę gi  dla  m parzystego  (lub tylko  nieparzyste  dla  m nieparzystego). D la  m  parzystego o m +b z o m - 2 +b A o—' t +  ...  +b m „ 2 G 2 +b m   =   0,  (2.12) zaś  dla  m  nieparzystego ( o B - 1 + f t a o m - 3  +  6 4 o — s +   ...  +b m . i o*+b m - t )a  -   0.  (2.12') Równanie  (2.12) posiada  m  =   2n pierwiastków  i  moż emy wprowadzić oznaczenie < r 2  =   b 2  •   r,  (2.13) otrzymuje  się   wówczas  równanie  n- tego  stopnia  gdzie  n = 2 * n   =  0, 2  ~   b\ '  3  ~   b i '  • ••   •   *  ~ Równanie  (2.12)  bę dzie  posiadać wszystkie  pierwiastki  urojone  lub  równe  zeru, jeś li wszystkie  pierwiastki  równania  (2.14)  bę dą   pierwiastkami  rzeczywistymi  niedodatnimi. Takie  pierwiastki  zapewniają   nastę pują ce  warunki  wystarczają ce. n - 1 0  <  c 2 2\ n LIN IOWE  UKŁADY  MECH AN ICZN E. 277 Pierwiastki  równania  (2.14)  bę dą   mieć  postać r ~  ~ Zaś  pierwiastki  równania  (2.12) Rozwią zanie  równania  wyjś ciowego  ma  postać « =   i (2.16) Najszybsze  tł umienie ukł adu wymaga  aby współ czynnik p^  był  jak  najwię kszy,  a to jest równoznaczne  z  wymaganiem  najwię kszej  wartoś ci  moduł u  ś ladu  macierzy  A.  Warunek statecznoś ci  wymaga  bowiem,  aby  ś lad  macierzy  A  był  mniejszy  od  zera. 3.  Wyznaczenie  warunków  najszybszego  tł umienia z  formy  macierzowej Przekształ cenie  wyznacznika  charakterystycznego  |A—Al|  do  wielomianu  charak- terystycznego  wymaga  dość  ż mudnych  obliczeń.  Proces  wyznaczenia  warunków  naj- szybszego  tł umienia  moż na  znacznie  uproś cić  odpowiednim  przekształ ceniem równania (1.5).  Wprowadza  się   nastę pują ce  przekształ cenie x~yi\   (3.1) gdzie Pochodne prowadzą   do  równania dla  którego  macierz  B  =   A —I a  wię c gdzie m x = B = y  =  By, a 12 (3. 2) (3. 3) zaś  ś lad  macierzy  B jest  równy  zeru,  czyli: T rB  =   TrA- 7ł i<5 =   0. Rozwią zania  y  nie  mogą   być  rozwią zaniami  maleją cymi,  co  najwyż ej  nierosną cymi. Takich  wł aś nie  nierosną cych  rozwią zań  należy  poszukiwać,  aby  rozwią zanie  x(t)  był y 278 S.  DUBIEL rozwią zaniami  najszybciej  tł umionymi.  Rozwija  się  w  tym  celu  wyznacznik  macierzy (B—31,)  który  daje  bezpoś rednio  wielomian  charakterystyczny  odpowiedni  wielomia- nowi  (2.10). (  i, k  >  j  >  i, zaś (3.5) (3.5') Z,m =   ( - l) '»d et B. Warunki  konieczne  na  to  aby  pierwiastki  równania  charakterystycznego D(a)  =   am+b 2 o m - 2 +b 3 o^ - 3 +  ...  +b m ^ a+b m   -   0, był y  urojone  i  równe  zero  są  analogiczne jak  dla  równania  (2.10) b k   =   0,  dla k  nieparzystych, b k   >  0,  dla k  parzystych. Z aproponowany  sposób  przekształ cenia macierzy  A  na  macierz B upraszcza  znacznie proces  obliczeniowy.  Odpada  przejś cie  od  równania  charakterystycznego  (2.2)  do  rów- nania  (2.10).  Współ czynniki  b t   uzyskuje  się  bezpoś rednio  z  rozwinię cia  wyznacznika charakterystycznego  macierzy  B. Warunki  (3.5') są  niezależ ne  od  tego  czy  m jest  parzyste  czy  nie.  D la m  —  parzystego uzyskuje  się  równanie (r 2n+ Z > 2cr 2< '- 1> + 64(r 2< "- 2> +   ...  +b 2(n _ 1) o 2 +b 2n   =   0,  (3.6) zaś  dla  m  nieparzystego (fr 2"+ 62+ Z>4ff 2<'- 2>+   ...  +b 20 ,„ 2) o 2 +b 20l _ l) )a  =   0.  (3.6') Zatem jeden  z  pierwiastków  er =   0 dla  m nieparzystego.  Wielomian  w  nawiasie  równania (3.6')  posiada  analogicznie  jak  równanie  (3.6)  tylko  parzyste  potę gi.  Warunki  dają ce pierwiastki  czysto  urojone  lub  równe  zero  dla  obu  równań  bę dą  podobne. Podstawienie  dla  obu  równań  a1  =  b 2 r,  daje r n   + r"- 1 +c 2 r"- 2   + c 3 r n - 3 +  ...  +c„_ 1 r + c„  =   0,  (3.7) ,  .  boi gdzie:  a  - - T T- Przy  analogicznych  warunkach  (2.15)  dla  współ czynników  b 2 i  uzyskuje  się  pierwiastki LI N I OWE  UKŁADY  M ECH AN ICZ N E...  279 r  rzeczywiste  i  ujemne,  a  zatem OW+D  -   ± «o, ;  co  -   J/Z>2 •   /• ,  (3.7') s  =  1, 3,  . . . , 2 ( n - l ). Rozwią zania  równania  wyjś ciowego  (1.5')  mają   postać: ima> s (t- t 0 )].  (3.8) Ponieważ  wielkość  ó  jest  zarazem  wielkoś cią   dominują cą   o  najwię kszej  wartoś ci zatem  i  czas  uspokojenia  procesu  zakł óconego bę dzie  najkrótszy.  Oznacza  się   go  przez t r - —jako  czas  regulacji.  Jego  wartość  wyznacza, zależ ność  [3] fr-   4- Ł n - J.  (3- 9) gdzie A  wartość  odchyleń zał oż ona  dla wyznaczenia czasu  procesu przejś ciowego.  Stanowi ona  zazwyczaj A  =  0,02 - r 0,05, w  stosunku  do  począ tkowych  wartoś ci  dla  t  —  t 0 . Podsumowanie Sposób wyznaczania rozwią zań  najszybciej  zanikają cych, zaproponowany w  niniejszym opracowaniu,  wyprowadzono  ze  zwią zków  czysto  algebraicznych.  Warunki  ukł adu  naj- szybciej  tł umionego  są   tym  samym  ł atwiejsze  do  wykazania,  a  wię c  bardziej  oczywiste. Podano  dwie  drogi  wyznaczania  tych  warunków.  Korzystniejsza  w  uję ciu  ogólnym jest  metoda  uzyskana  bezpoś rednio  z  zapisu  macierzowego.  Skraca  bowiem  wyraź nie proces  obliczeniowy  znacznie  dla  ogólnej  postaci  macierzy  A.  Jeś li  jednak  ilość  stopni swobody  jest  mniejsza,  n p.  2—3,  to  dla  ukł adu  mechanicznego  prostsze  może  okazać się   wyznaczenie  warunków  koń cowych  z  równania  charakterystycznego jak  w  punkcie 2. Czytelnik  sam osą dzi  kiedy  stosowanie jednej  lub  drugiej  metody jest  bardziej  opł acalne. Wyznaczenie  warunków  najszybszego  tł umienia  nie jest jeszcze  równoznaczne z pro- blemem  minimalno- czasowym.  N ależy  dodatkowo  rozwią zać  problem  oscylacyjnoś ci poszczególnych  rozwią zań.  D la  celów  praktycznych  nie  zawsze  jest  to  konieczne,  choć waż nym  zadaniem  jest  uniknię cie  stanów  krytycznych. Literatura 1.  A.  H .  FoJiySeHijeB;  HumeipajibHue Memodu e  dunctMiuce,  KneB  1967. 2.  Y.  TAKAH ASKI,  M. J.  R ABI N S,  D . M .  AU SLSN D CR;  Sterowanie  i  ukł ady  dynamiczne;  WN T  Warszawa 1976 3.  T.  KAC Z OREK;  T eoria  sterowania, T.  1  P WN   Warszawa  1977. 4.  S.  D U BI BL:  O  pewnej  modyfikacji  metody  A.N . GOŁ UBIEN CEW A optymalizacji liniowych ukł adów dynamicznych.  Biuletyn  WAT  n r  5  1984. 28Q  S.  D U B I E L P  e  3  K>  M  e M EXAH H "qEC KH E  C H C TE M BI  C  H AftBOJIEE  ELICTPŁIM   3ATYXAH H BM B  p aSo T e  paccM o T peH t i  VCJIOBH H   H an So n ee  6bicT poro  3aTyxaHHH   fljiH   jiH H eiiH bix 3 T H   ycjioBH H   BbiBefleH bi  ajire6pairaecKH M   MeroAoM   «J I H   JiHHeHHoro AH ^^epeH iiH ajiŁ H oro  yp a B- HeHHH   H - T oro  n o p a flK a ,  a  H J M   jiHHeftHOH   MexaH H ^ecKofi  cacTeM bi  B  MaTpiraH ośł   dpopjwe,  MeTofloM T o p o r o  n peo6pa3o6aH H H   CH CTCM BI flH (ł )4)epeH ił H ajiBH bix ypaBH eH H ił   n e p a o r o S u m m a r y LIN EAR  M ECH AN ICAL  SYSTEMS  WITH   SU PREM E D AM PIN G I n  the  paper  are  determined  the conditions  for  supreme  damping  of  linear  mechanical  systems.  The conditions have  been derived  by  algebraic  approach for  linear differential  equations  of  n- th  order, and next for  systems  of  linear  equations,  presented  in  matrix  form,  by  a  method  consisting  of  a  transformation of  the  system  of  first  order  differential  equations. Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  14  lutego  1986  roku