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M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  S TOS OWANA

3,  24  (1986)

CON TACT  BETWEEN  A  RIG ID   IN D EN TER  AN D   A  TRAN SVERSELY
ISOTROP IC  LAYER

BOGDAN   ROG OWSKI

Politechnika  Ł ódzka
Instytut  Inż ynierii  Budowlanej

The  indentation  of  a  transversely  isotropic  layer  by  a  rigid  indenter  is  investigated.
The  lower  plane  of  the  layer  is  elastically  supported.  On  the  upper  surface  of  the  layer
certain normal displacement is prescribed inside a circular region with an unknown radius,
outside of  which  certain arbitrary  normal stresses  are given  in  an annular region  and the
normal  displacement  is  zero  on  a  remaining  boundary,  while  th e  shear  stresses  vanish
all  over  the  boundary.

The author formulates  the problem as the solution of  a set  of triple integral  equations.
To  this  end, the  differential,  integral  and  series  representation  of  the  unknown  function
is  devised,  which  satisfies  two  of  the three  equations  exactly,  while  the  third  one  leads
to  three infinite  sets  of  elgebraic  equations  with  respect  to  the  coefficients  introduced in
the  representation. The  physical  quantities  which  characterize  the  contact  and  the  stress
intensity  factors  are  obtained  by  means  of  these  coefficients.

Some  punch, inclusion  and  crack  problems  in  a  transversely  isotropic  layer  are con-
sidered.

1. Introduction

A  number  of  hexagonal  crystals  are  characterized  as  being  transversely  isotropic.
Many  fiber- reinforced  composite  materials  and  platelet  systems  were  also  characterized
as  transversely  isotropic media, which  have  five  elastic  constants  [1]. According  to  effec-
tive modulus theory  [2] the gross  elastic  behaviour  of  th e laminated  medium  is  transver-
sely isotropic and homogeneous  elastic  material with  the  normal to  the layers  as  the axis
of  symmetry;  the  effective  elastic  constants  of  such  a  medium  are  given  by  Achenbach
([2],  p.  33),

The present work  studies  the indentation of  a  transversely  isotropic layer  by  a smooth
indenter. Only the circular part of  one surface  is  subjected  to the indentation of th ein den -
ter, while  the outer annular region  is  subjected  to  normal, symmetrical  in r,  pressure  and
the  normal  displacement  is  zero  on  a  remaining  boundary.  These  displacements  cause



296  B.  ROGOWSKI

in  the  layer  by  a  rigid  punch,  inclusion  which  exists  in  a penny-shaped crack, obstacle
which lies between two the same materials, which are pressed together by a pressure.

The method of Hankel transforms is used to satisfy the equilibium equations and the
boundary conditions, which have three different parts. The solutions are obtained using
the technique of triple integral equations, which are reduced to three infinite systems
of simultaneous linear algebraic equations.

Recently Mastrojanis, Mura and Keer [3] studied the mixed boundary-value problem
for an isotropic half-space with the following boundary conditions: the constant normal
displacement is prescribed inside a circle, outside of which the normal stress vanish in
an annular region and the normal displacement is zero on the remaining surface, while
the shear stresses vanish all over the boundary. The more general problem, pointed out
in the summary is considered in this paper.

2. Formulation

Consider a transversely isotropic elastic layer 0 < z <  h, with the planes of isotropy
parallel to the boundaries. The stress-strain relationships of such a medium can be written
in cylindrical coordinates  (r,0,z) as follows:

=  c13er+c13ee+c33ex, (2.1)

1

ar0 = I}

Here  ci/s are the elastic constants.
The foregoing strain  etJ can be first written in terms of the displacements and then

substituted into the preceding equations to obtain the stress-displacement relationships.
The relationships are finally used in the equilibrium equations to form a system of partial
differential equations for the displacements. In the problem with axial symmetry the
displacements  (u,, 0, wz) satisfied the equations

82wz  8
2ur .

(2 2)
8  1 82

The solution of the equilibrium equations is given by two displacement potentials
cpx(r, z) and  q>2(r, z), and the components of the displacement and stress can be expressed
in terms of those potentials as follows:

Ur=~8r



R I G I D   IN DEN TER  AND   ISOTROPIC  LAYER  297

or  =

o
e
  = - Ct+fk+V- jjp- fa + ̂ - icu- Cu)- ^ - - ,  (2.4)

8
2

o
2
  = c

44
(k+l)  - j^

8
2

a
rz
  =   {k+l)

provided  th at  the  potentials  <Pi.(r,  z)  an d  <p
2
(r, z)  are  t h e  solution  of the  differential  equ-

ations

>-.  z)  =  O,  (i  m  1, 2),
s*  ć z*]"

  K
  ' • "

an d if the  parameters sf  an d jf  a r e  the  roots of the following  quadratic  equation  for  s2

an d  the  material  param eter  A; is a function  of th e  elastic  constants  and  t h e  characteristic
root sf

The  roots sf  are  either both real  o r a pair  of  complex  conjugates,  dependin g  on  t h e  values
of  the  material  con stan ts.  Both  types  of root  give  physically  meaningful  results.

The  conditions  specified  on z =  0 inside  an d  outside  the  an n ulus  X <  Q <  1  are

\ 5- xb
2
Q

2
;  0 <   Q <  X,

(2.8)

(2.9)

ffzrfe>  0) =  0;  Q > 0  (2.10)

an d  the  displacements  an d  stresses  vanish  at infinity.  The  layer  at z =  h is  elastically
supported  such  th at

e>  n)'i e >  °-   ( 2 - 1 2 )
I n  above  equation s, nondim ensional variables  and param eters  are  as follows:  Q =   r/ b,

Q =   z/ b  and A =  a/ b,  r\  = h/ b,  where  a an d  Z>  are  th e  in n er  an d  outer  radii  of th e
annulus, respectively.  Inside  the  an n ulus  n orm al  stress  p

0
f(o)  is  arbitrary,  bu t assumed

to  be  symmetrical  about  th e z- axis.  The  param eter  c
0
  is th e  spring  of  stiffness  of  th e

foundation .
I n  the  boun dary  conditions  (2.8),  which  have  three  different  parts,  only  co n st an t or

quadratic  with  respect  to r  n orm al  displacement  were  prescribed  within  th e  circle.  T h e
conditions  (2.8)  corresponds  to  th e displacement  distribution  produced by  th e in den t at ion
of  a  surface  of  the layer  by  an  in den ter, when  its  shape is specified.  If  t h e  co n t act  surface
of  the  rigid  indenter is spherical  in  shape  with  radius  R,  the  shape of th e  in den tation can
be  written  as  g(r)  =  d- r2/ 2R.  The  con dition required  t o  this  equation is t h at  t h e  rad iu s



298  B.  ROG OWSKI

a  of  the contact area is  small  compared to the radius of the contact surface  of  the indenter.
The  condition is  indeed  satisfied  in usual  stress  ranges.  This  equation  also  applies  for  an
oblate  spheroid  with  semiaxes  d

z
  and d,.  In this case, the radius  of  curvature  of  the sphe-

roid  at  th e  center  of  the  contact  area  is  R  =  d?/ d
z
, d

z
  being  the  minor  semiaxis  along

the  z- axis.  The  displacement- shape  function  W
Z
(Q,0)  in  equation  (2.8)  is  identical  to the

shape  of  the rigid  indenter inside  the contact area with unknown radius  equal  to  X =  a/ b,
but  is  unknown  outside  the  contact  area  X <  Q <  1.  These  displacements  cause  in  the
layer  by  a  rigid  punch, inclusion  which  exists in a penny- shaped  crack,  obstacle which lies
between  two  the  same  materials,  which  are  pressed  together  by  a  pressure.  In  the  last
case  there  is  the  compatibility  condition  {dw

z
(r,0i)/ dr}

r=b
  =  0.  F or  infinitesimal  elasti-

city  theory,  there  is  n o  loss  of  generality  if  the profiles  of  the  inclusion  and  obstacle  or
of  the  base  of  the punch assume  that g(r)  =   d — r2/ 2R,  where  l/ R  =  2x  is  the  curvature
at  the center of  the contact area  and  6 is  semiaxis  or  the  (prescribed)  vertical penetration
depth  of  the  punch.  F rom  a  physical  consideration,  the  contact  stress  should  be  finite
for  a  smooth  indenter  whose  contact surface  does  not have  any  abrupt  change  in  slope.
The  unknown  contact radius  a  is  to be  determined  later  using  this condition.

U sing  the  method  of  H ankel  transforms,  the  condition  of  vanishing  shear  stress  in
equation  (2:10)  and  (2.11)  and  the  boundedness  conditions  at  infinity  the  displacement
functions  q>i(r,ż )  are  found  to  be

(2- 13)

[coshs
t
x:- g

2
(xr])coshsix(ri- 0]yo (.XQ)dx;  i  =   1, 2,

where  G
x
  =   c 4 4  is  the  shear  modulus  in  the z- direction  and  J0(XQ)  is  the Bessel  function

of  the first  kind  and zero  order.  The unknown  functions  p(x)  and m{x) and the unknown
contact  radius  X  are  to  be  determined  using  the  remaining  boundary  conditions  (2.8),
(2.9) and (2.12) and the finiteness  of the contact stresses between the indenter and the layer
surface.  The functions  gi(xif)  and g

2
(xrj)  are  known  and  defined  as  follows:

z =   l ,

i  =  2,

The  material param eter a is  allways real  and /3 is  either real  or  imaginer.
We can easily obtain the displacements and stresses by  substitution  of the displacement

potentials  (2.13)  into  the  expressions  (2.3)  and  (2.4). In  particular,  the  displacement  w
t

and  the stresses  a
z
  and  a

zr
  on the surfaces  of  the layer  f  =   0 and £  =  v\   are given as

CG
t
  bw

z
(

Q
,  0)  =   J  {p(pc)[l -

gl
(xr))}- co(x)g

2
(xri)}J

0
(xQ)dx,  (2.15)

o



RIGID  INOENTER  AND  ISOTROPIC  LAYER  299

00

CGibw2(Q,rj)=  — J  CD(X)I0(XQ)CIX,
o

oo

b2az(g,O)  = - /  xp(x)J0{xQ)dx, (2.15)
0

[cont.]

- /  x{p(x)g2(xrj)+co(x)[l­g3(xrj)]}J0(xQ)clx,
0

azr(£>, 0) =  azr(g,  rj) = 0,

where

i v - 1 _ t 1 & » ( * ) ] D + f t f r ) ] _ i c o s h a ^ l a ^ ( c o s h ^ - l )

and
l ) - 1 ( ^ 1 - ^ 1 ) , (2.17)

is a real-valued function of the elastic constants and the characteristics roots.
Substituting the stress  OZ{Q, rj) and the displacement  WZ(Q, if) into the condition (2.12),

we get

= 0;  Q > 0, (2.18)
o

where the constant

cx = ­£~, (2-19)

describes the relative rigidity of foundation to layer, it being zero when the lower surface
is stress free and infinitely large for a perfectly smooth rigid base.
Thus

p(x)g2(xrj) + co(x)[l~g3(xrj) + cl(xrj)~
1] = 0. (2.20)

Get a new unknown function  t(x) and set as follows
P(x)[l ­gi(xrj)]­co(x)g2(xV) =  t(x). (2.21)

Then
p(x) = t{x)[\­h{xrjj\,  co(x) =  ­t(x)hy(xri), (2.22)

where

h(x) =  i^)­clgi(x)  _

sinh ux+xB~l sinh Bx+cx  x~
l (cosh ax—cosh Bx)

(2.23)

^I sinhjt ^ — J 2 sinhJ2JC
sinh ax+ajS~x sinh^x+ct x~ * ( cosh ax - cosh Bx)  '



300  B.  ROOOWSKI

With  the help  of the known  functions  h(xrj) and ht(xr}) and the only  one unknown t(x),
the  boundary  values  of the  normal  displacement  and stress  can be rewritten  as follows:

00

CGjfiw.Ce.O)  =  /  t(x)J0(xg)dx,
o
00

CGtbwz{Q,n)  =  J  t(.x)h1(xri)JQ(xQ)dx,  .  (2.24)
o

b2az(6,O)=  ­J  xt{x)[l­h(xrj)]J0(xQ)dx,

Hence,  t(x) is the only  unknown  which from  Eqs.  (2.8) and (2.9) can be found  from the
triple  integral  equations

J  t(x)J0(xQ)dx  = j  0  1 <  (2.25)

no

/  xt(x)[l~h(xr])]J0(xQ)dx  = pQb
2f(Q);  X < Q < 1,  (2.26)

0

with  h{xrj) being  defined  by Eq.  (2.23). Since it is difficult  to solve  Eqs.  (2.25) and (2.26)
directly,  these  equations  are  solved  in an  approximate  method  to yield  the parameters
which  characterize  the  contact.

3.  The series  solution

We assume the function  t(x) in the  form

t(x)  = 2CGX xb* ­^  £ l J L / O ( a * ) j  +$F{V)J1(xR)dW,  (3.1)

where F(W)  is an arbitrary continuous function  in the interval 0  <  !P < % and

2 J R 3 - l + A 2 - ( l - A a ) c o s F j  X^R^\,  b^W^n. (3.2)

Using (3.2), the variable  R in  X <  R < 1 can be exchanged for a new one !?, which is
0 «S  W ̂   n, when i? = A corresponds to W = 0 and R = 1 to S7 =  n.
Substituting Eq. (3.1) into  WX(Q, 0) of Eq. (2.24)^ we obtain

r i I ( ^ 2 - e 2 ) ; o «$  g ̂   x,
wz(Q,0) =  (CG^)­*)  ±FCF)H(R­ Q)dV+xb

2^  Q*  ^  ^ (3.3)

where  H(R­Q) is the Heaviside's function.
We see that:

(i) The displacement  WX(Q,0) equals  d—xb
2Q2 ine the interval 0 s£  Q <  X provided that



RIGID  INDENTER  AND  ISOTROPIC  LAYER.  301

the  compatibility  equation

xb2X2 + (CQi by1 j  ~  F(W)dW  =  <5  (3.4)

o
is  satisfied,
(ii) The displacement is a function  of  Q in the interval  X <  Q ^  1  i.e.

n

WZ(Q  , 0)  = (Gt  Cb)~
1  f -L  FQF)  d?, (3.5)

0

where
Q2 =2Q2 = 1 + A 2 - ( 1 - A 2 ) c o s ^ ;  X ^ Q ^ I ,  0^®^n. (3.6)

(iii) The displacement equals zero in the remaining interval  Q > 1 independent on the
function  FQF).

We now assume a series expansion with unknown parameters  aa,ax, a 2 , ... for the
function  FCF) as

00

F(W) = —  b2R V  ancosnW;  0 ^W ̂ n. (3.7)
7&  • • *••  i  " • »

«=o

Equations (3.7) and (3.4) lead to
G0 = CG^id­KbH

2). (3.8)
This equation yields either an unknown radius of the contact region  X for a curved base
of the indenter or for a flat indenter yields the parameter  a0, because in this case the
extent of the contact is known beforehand. For a curved base the parameter  a0 may have
to be found so that the contact stress is finite at the boundary of the contact region.

Thus the displacement  WZ(Q, 0) is given by

G <  Q <  X,
CO

[ CO<P + — V - ^ - s i n » * J; A < 0 < 1 , 0 ^ 0 *S n ,ao *-* n JJ
0 ;  l^Q.

(3.9)

The unknown portion of the displacement-shape function in the interval 0 < 0 sg TI
is in the form of the Fourier series and is determined by substitution Eqs. (3.7), (3.8)
into Eq. (3.5) and integration.

Two of the three equations, namely Eqs. (2.25), are satisfied exactly.
In our problem contact is maintained only by compressive stresses; in these unbonded

frictionless contact problems the extent of the contact is the primary unknown quantity,
and the contact stress is finite at the ends of the contact regions.
The last condition may be replaced by

dwz(Q, 0)  _ovh
2i n 101



302  B.  ROG OWSKI

wh ich  leads  to  th e  con dit ion  F (0) =  0  or

„  =  0,  (3.11)

an d  t h en  t h e surface  of  the  layer  con tacts  smoothly  at th e edge  of th e  con tact region  with
t h e  in d en t er.

By  su bst it u t io n  of  E q.  (3.7)  in t o  E q. (3.1), we obtain

wh ere

ZM  =  7, [jL ( l- A) ]/B[y( l  +  A)].  (3.13)

T h e  stresses  in  Eq.  (2.24) 3  which  correspon d  to  (3.12)  are  as  follows

CO  OO

n = 0 O

oo

— 2CG
1
nb  I  [1 — h(xrj)]  - K—I  5— J

0
(Ax)\ xJ

0
(xp)dx,  (3.14)

J ox  I x  we  I
0   L  J

a n d  are  bo u n d ed  a t  Q =   X  u n d er  th e  con dition  (3.11);  it  is  clarified  bellow  (see  E q.
(4.10)).
T h e  precedin g  equ at io n  an d E q .  (2.9)  lead  t o

00  00

a. f  [1  - h(xrj)]f
,i=o  o

(3.15)
00

- 2 C G
l
x b j  [ l - h Q u f f \ ~ U ~ / o ( A x ) j x J

0
( x Q ) d

x
- p

0
f (

Q
y ,  X < Q < \ .

M u lt iplyin g  bo t h  sides  of  E q.  (3.15)  by  Q, using  th e form ula  XQJ
0
(XQ)  =   d[QJi(xQ)~\ ldQ

in t egrat in g  with  respect  to  Q an d using  th e form ula  d[J
Q
(xQ)]/ dx  =   — QJI(XQ),  we  obtain

CO  OO

] ? a n J [l-
n =  0 0

(3.16)
CO

=   2CG,xb j  U- h(xr))]~- \ ~~J
a
(XxĄ   A  [J

0
(x

e
)]dx- c+p

0
f*(Q)',  A < p <  1,

0

wh ere



R I G I D   IKDEN TER  AND   ISOTROPIC  LAYER  303

ds,  (3.17)
o

and  c is  an  unknown  integral  constant.
Equation  (3.16) is  solved under the assumption  that the m o m en t / *( p) of  the  function
may  be  expanded  in  F ourier  series,  namely

/ *(<?) =  / o* +  2
H l - l

A < g <  1,  O < 0 < j r .  (3.18)

fm  =   — f

By substitution  of  these equations  and the N eumann's formula  into  Eqs.  (3.16)  and  equa-
tion the coefficients  of cosm& in both sides  and assumption of  the  parameters a„ as follows

at^ lCGiXbig'- ca'J+poez,  (3.19)

we  arrive  at the  three  infinite  systems  of simultaneous  equations  for the  determination
of  the  parameters  a'„,  a'„' and a'„"

0 0

Vł   n'  A  —  f*
/   i  un- r%mn  Jm  • >

w=0

^ ' ; A
m n

  = d
Qm

,  (3.20)
n- 0

a
1
:

1
 A

mn
  = B

m
;  (m  =  0,  1, 2,  ...)

with  the  Kronecker  delta  d
Om

,  the coefficients/ £   defined  by  Eq. (3.18)  and  the  matrices

where  F 4 ( •   •   ;  •   •   ;  •   • ) is hypergeometric  series  of two  variables  [4]  and F( • )  denotes
the  G amma function,  I%(X) and  7?(A)  are  presented  analytically  in  the  authors  paper  [5]



304  B -   ROG OWSKI

an d  the  improper  integrals

h{xrj) 1*M-   . M$-   dx;  (m  =  0, 1, 2, ...),  (3.22)
o

can  be  evaluated  numerically  in  finite  interval,  because  those  integrand  decrease  expo-
nentially  to  zero  with  the increase  of  x,  are  continuous for  any  x  e  (0, oo) and  are boun-
ded  for  x  - »•   0.

The  coefficients  f*  assume  the  form

fm  =   —- Ę—s o
m

——^ —& i m ,

(3.23)

/«*  =   —  <?o cos m&o,  for  f(
e
)  =   d(

e
 -   Q

0
)  =   <5(<Z> -   ®

0
),

for  a  constant normal  pressure  p
0
  and  concentrated forces  P  acting  at  the  circumference

Q  =   y
0
  6 (A, 1),  respectively.  F or  ^ 0  ™ n\ %  i-

e-   ?o  =   [(1 +  A2)/ 2]1/ 2  the  values  of  the
coefficients  f*  are:  ^0/ JT  for  m  =>  0, 4, 8, ...;  0  for  m  =  1, 3, 5, ...  and  —Q0J7t  for  m =
=   2, 6, 10, ....  In  the case  of  the load  on  the circumference  Q — c

0
  the  stress  p

0
  in  Eq.

(3.19)  and  subsequent  equations  would  be  replaced  by  P/ b.
N otice  th at  the  matrix  A

mn
  is  symmetric  and  can  be  evaluated  by  the similar method

as  in  the  autor's  paper  [5]. The first  two  systems  in  Eqs  (3.20)  correspond  to  constant
displacement  in  a  circular  region  (x  —  0  —  cylindrical  punch  or  inclusion).  In  the  last
case  is  a

n
  —  ~ca'

n
' +p

o
a

r

n
.  To  evaluate  the  unknown  constant  c we  make  use  of  the con-

ditions  (3.19)  and  (3.11)  which  lead  to

2CG
t
 Kb^ d^ '- c  £  d; +po£<  =  0.  (3.24)

n= 0 «= 0 n= 0

F or  the constant displacement  <5  in  the circular  region  0  *S Q <  A  we have from  Eq.  (3.8)
a

0
  =   CGidb'1  and  the  constant  c  is  determined  by  equation

-   coo' +/><, a'
o
 -   C G Xb-

1
8.  (3.25)

Consequently,  the  presented  three- part  mixed  boundary  value  problem  is  reduced
t o  the  solution  of  the  simultaneous  algebraic  equations  (3.20).  If  we  determine  a

n
  from

Eqs.  (3.20),  (3.19)  and  (3.24)  the  function  t(x)  will  be  presented  by  the equation  (3.12).
The  infinite  systems  of  simultaneous  algebraic  equations  can  be  solved  by  truncation
[5,  6].  As  a  result  of  the  above  analysis  all  components of  displacements  and stresses and
the  parameters  which  characterize  the  contact  can  be  found.

4.  Displacement  and  stress  fields

The  normal  displacement  on the upper  surface  of  the layer  is  given  by  Eq.  (3.9) and
on  the  lower  one  is



R I G I D   IN D EN TER  AND  ISOTROPIC  LAYER 305

w. J  hl
CO  OO

~{G
x
C)-

l
b 2^

  a
n

and  can  be  rewritten  to  the  form

J
0
{

XQ
)dx (4.1)

i f ,

- Qj
1
(xQ)h

1
(xrj)]dx  +

0

2 j  J
n =  0  0

f
0

4 /   Za(x)
0 0   00

(4.2)

where h'^ xrj) is  the  x- derivative  of  the  function  h^ xrj).  The  norm al  stress  on  the  surface
f  =   »?  is  proportional  to  these  displacement.

M aking  use  of  the  identity

J 8 x \  ' dp r
(4.3)

where  the  im proper  in tegrals

H  =  J  J0(x9)Zn(x)dx (4.4)

are  presen ted  analytically  in  t h e  au t h o r's  paper  [5],  t h e  stresses  cr
z
(j), 0)  in  E q .  (3.14)

c a n  be  rewritten  as  follows

n = 0

Ą i"o+Q- ~- ro+h
n
(p;A,Ą

+2CG
1
xbX

>  4 ' 1 J
j

3  /   3   3

(4.5)

Th e  symbols  F(  • ,  •   ;  •   ;  • )  den ote  the  com m on  G au ssian  h ypergeo m et ric  series
an d  /z"(£>; X, rj),  / ?(g;  X, r\ ) are  t h e  im proper  in tegrals  defined  as  follows

5  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3/86



306  B.  ROG OWSKI

00

; X, r,)  =

(4.6)

1I(Q;  X, rj)  =   J  h(xrj)J
2
(xX)J

0
(xe)dx,

o

which  can  be  numerically  evaluated  at  the  finite  interval,  because  the  function h(xrj)
tends exponentially  to zero as x  tends to infinity.  The maximum value  of the contact stress
at  the  center  Q =   0  is

~ ,  n+ y;

(4.7)

where  F(  • )  denotes  the  G amma function.
On the other hand, making use of  the asymptotic expansion  of  J„(XQ) with  large  value

of  x,  we  obtain

- 1)  (4.8)
8*  n\ / l- X

2

and

0  00

f
  x

  3Z&L   j
Q
(

xe
- )dx  =   f  L  1^ 1  + — J L =   [UmxX- (- lYcoax]\

%
  c x  g  I  °x  7t y  1 — A2  J

mxX- (- lYcoax]\ j
0
(x

e
)dx-

J

) _  g ( ę - i )i

where the values  of the Weber- Schafheitlin  integrals  were employed.
Then, the normal stress  in Eq. (3.14) can be represented as

CO  COCO

,  0) =  £   an J  \ x
«=o  o L

2

~2J  - a
n
h

a
(Q;  X,rj)+2G

1
CxbX[Xh(

Q
;  X,rj)+  (4.10)

n= 0



RIGID  INDENTER.  AND  ISOTROPIC  LAYER 307

F(L -i-l-il

1
n'

3 3

= A

[4.10]
[cont.J

where  H{• ) is the Heaviside's function.
The first series in equation (4.10) is finite, the second must be zero because the contact

stress is finite at Q -> A" for a identer with a smooth curved base (this condition corresponds
to Eqs. (3.10), (3.11)) or has a sinularity when  Q  ­*  X~ for a identer with a flat base or
corners, the third series has a singularity when  Q -+ 1+ in both cases and the others terms,
are nonsingular.

The physical quantity of interest is the stress intensity factor  Lb which is defined as.

Lb =  ]/2b l i m j / ^ - 1  {C(2(Q, 0 ) } e > 1 . (4.11)

Using Eq. (4.10) the stress intensity factor can be expressed in terms of a„ as

r  . 2 ] / F (4.12)
B = 0

The stresses decrease from the maximum value to zero in the interval p e ( 0 , A),
where are always compressive (for a indenter with a smooth curved base), are given by —
Pofio) in the interval  Q  e (A, 1) and decrease from infinity to zero in the remaining inter-
val  Q > 1, where are tensile. Notice that the stress is finite inside the contact region and
has the desired square-root singularity at  Q = 1 + .

Use is made of families of above solutions, as described in the following sections.

5. Punch problem

A punch problem is a particular case of the more general case considered in the previous
sections and the formulae obtained there can give its immediate solution.

If Hb2Q2 denotes the shape of the punch,  d is measure of the penetration of the punch,
the boundary radius of the contact region  X is given by Eq. (3.8) and the total load on the
punch is given by

00

P =  na2 ]?  a
n = 0

lnHiX,  rj)],
2 J

(5-1)

00

J
where the improper integrals

H"{X,  r,) =

, rj)  =

are convergent and equal to zero for a half-space problem.

dx,

5*



308  B.  ROOOWSKI

The  relevant  solutions  of  the  special  cases  are  summarized:  (i) Indentation of  a  layer
or  a  half- space  by  a  cylindrical  punch.

The  curvature  a  is  zero  for  a  punch  with  a  flat  base.  Apart  from  the  displacement
and  stress  there  are  four  parameters  which  characterize  the  contact; these  relate  to total
load  P,  the  central  displacement  wz(0, rj) on the lower  surface  of  the layer  and  the  stress
singularities  at  the  outer  and  inner  boundaries  of  the  annulus.  It  may  be  shown  that
these  are:

£  ] (5.3)

0 0   0 0

4a  i  y i  r  ,
; x( a 2  —/ ? 2 )  a

0
  - ć —i  " J

fl  =  O  0

7 1 = 1

(5- 5)

where

| 4
b  a

0

and the parameters  a'
n
, a'n'  are the roots  of  the first  and  second  systems  of  algebraic  equa-

tions  (3.20).
The  contact  stress  is  given  by  series

< r, fe, 0)-   - - j- lS+h
0
^ ;  X,ri)\ -

and  has  the  minimum  value

»,(0, 0) .  - 2CO,  ±

.  ^
0 0

Ą  + e^ IS+ł fię ;  X,rĄ  (5.7)

[  ̂ F ( i, 1; , ;



R I G I D   INDENTER  AKD   isoTRorrc  LAYER  309

i  „ ,   i . w M
2> n+ li> n+ l> \ TTX

J ł ^ O jA. ł j) .  (5.8)

Taking  h  >  Z>(»?  - *  oo),  we  have  if "(A,??)  =   h"{q; X, rj) =   0  and  the  above  solution
leads  to the one of  a  half- space  problem. In order  taking p

0
  =  0,  we  obtain  th e solution

of  the problem  in  which  the  annular region  X <  Q <  1 is  stress  free.  Similarly,  if p
Q
  =   0

and  b  >  a  (X - * 0), we  can  also  obtain, by  evaluation  of  the limit  under  A - »  0  the  solu-
tion corresponding to stress  free  surface  outside the contact region. N otice that if/ (@)  =   1,
which  corresponds  to  the  constant  pressure  in  the  annular  region  and  b  >  a(X - * 0),
but  b is  bounded in the half- space  problem  the roots  of  the system  (3.20)i  have  the  form
of  the  set  as  [6]

*- - *(*fi- m  +   itf>   01- 0.1.2....),  (5.9)
which  satisfies

and  the  parameters  art  are

a'
H
  = 0,  (5.10)

H= 0

In  this  limiting  case  the  stress  intensity  factors  are

(5.12)

where  the  parameters  a'
n

f  are  the  roots  of  the  equations

0 0   CO

It is interesting to note that the presence of compressive  outside stresses makes indentation
easier  while  tensile  stresses  make  indentation harder.  F or  example,  if  2 p

o
jn  =   CG

±
 b\ b

the  preceding  stress  intensity  factors  tend to zero  and to  the value  in the  classical  penny-
shaped  crack  problem,  respectively.

Only  in  the  limiting  case  of  the  half- space  problem  with  stress  free  surface  outside
the  contact region  we  can  obtained  from  the  above  mentioned  results  the  closed- form



310  B.  ROGOWSKI

solution.  It is

P =  4CG, da,  az{q, 0) = - —  CQ

w (g, 0) =  6 \H(1­Q)  + ~ arcsin \~j # ( e - l ) p  Q = r/a, (5.14)

(ii) Two punches, stress free lower surface.
The ratio  ct  = cQh\CG^_ describes the relative rigidity of foundation to layer; it being

zero when the lower surface is stress free and infinitely large for a perfectly rigid base.
Using the functions  h(xrf) and hL(xij), in Eq. (2.23), which for these limiting cases are
reducible, we obtain the solution of the contact problem for a thick plate of height 2h
by a pair of the same punches, which are pressed onto both surfaces of the plate and the
solution corresponding to the stress free lower surface of the layer respectively.

(iii) Concave punch.
If the method is applied to concave punch, then using Eqs. (3.8) and (3.19) the para-

meters  an are found to be

^  ^ ^ ( r ) (5.15)

where u = — HO2 and d are the measures of the concavity of the base of the punch and the
penetration of the punch at Q = A, respectively. The stress concentration factors at Q =  X
and  Q — 1 are given by equations (5.5) and (5.15).

Only in the limiting case of the half-space problem with stress free surface outside
the contact region we obtain from the above mentioned results the closed-form solution*
It may be shown that these are

\[u(le)]arcsmu}£

The condition that the entire punch surface makes contant with the half-space is crz(g, 0) «S 0
in 0 <  Q ^ 1. Then we obtain the condition Ó S* 3w. The critical load  Po means the
minimum indented load for the entire face to contact. If P  < Po or <5 < 3«, the contact
region becomes annular. The above equations are valid for circular contact region. Addi-
tionally, if u < 0 and d >  ­u, the punch face is convex and the stress ffz(g, 0) is always
compressive on the contact region. If u < 0 and d <  ­u the stress  ot(Q, 0) is compres-
sive without the neighbourhood of  g = 1. The physical aspects of the corresponding
isotropic problem are discussed by Barber [7], Shibuya [8] and for transversely isotropic
material by author [9J.



RIGID  INDENTER  AND  ISOTROPIC  LAYER  311

(iV)  Parabolic  punch
The  general  case  of  parabolic  punch  was  presented  above.  Notice  only,  that  these

results  for  the half-space problem with stress free surface outside the contact region by
purely limiting manipulations lead to exact solution

d =  2 x a 2 ,  P ^ ^

, 0) =  ~ CG^j/l-e2; 0 *J  Q < 1, (5.17)
JL LI

, 0) - -|- [ ( 2 - e
2 ) arc sin

6. Crack problem

The stress distribution produced by the indentation of a penny-shaped crack by an
inclusion and tractions in a transversely isotropic layer can be investigated using the above
mentioned results.

If we consider a layer of height  2h weakened by a penny-shaped crack of radius  b
located in the middle plane of the layer and opened by a thin symmetric rigid inclusion
of profile z  — ± (5—xb2Q2) and by tractions acting outside, then in such a crack problem
formulae obtained in the previous sections can give its solution. By virtue of linear super-
position, the stress field is equivalent to the field generated in the crack faces that are equal
in magnitude but opposite in sign to the corresponding tractions in the uncracked layer.
The last displacement and stress fields are obtained as the particular solution of the
equilibrium equations. In particular:  ur0  = Porc^jc,  wz0  =  —Poz(.Cii + c12)Jc,  <rz0 =
= — p0, if on the clamped-free faces of the layer the pressure p0 is prescribed. Here c is
a combination of the elastic constants, equal to  c =  c33(c11  +  c12)—2cj3.

Apart from the displacement and stress there are the stress intensity factors which
characterize the crack problem. These are given by Eq. (4.12) for smooth inclusion and
by Eq. (5.5) for cylindrical inclusion. In the special cases the stress intensity factors at the
inner and outer boundaries of the annulus  a <  r <  b are given by

2  dOtC

when the crack is opened only by cylindrical inclusion  (p0 = 0) and

2a



3J2  B.  ROGOWSKI

for  cylindrical  inclusion  and  pressure

(  M
where  the  critical  load  pOcr  means  the  minimum  pressure  for  the  tip  Q =  X of  the  crack
to  contact.  When  the  pressure  at  the layer  surface  is  above  the  critical  load  we have  an
annular contact region between the crack faces, the outer circumference  of which  coincides
with  the  crack  tip  and  the inner  radius  of  which  will shrink  with increasing  load.

The  crack  problem  for  high loads  can  therefore  be  treated  by  contact  problem  of the
layer  and  rigid  base  with  protrusion,  which  is  discussed  in  the  other  author's  paper  [6].

The  stress  in  ensity  factor  La  is  allways  negative,  decreases  with  the, increase  of  the
external pressure  to  value  (6.2) and  for  the pressure above the value  (6.3) depends  on the
load as in the contact problem  [6]. In contrast Lh  is positive and decreases to zero.

On  the  other  hand,  in  the case  of the tension  of the layer  with cylindrical inclusion  in
the  crack,  there  may  be  cases  that  the inclusion  surface  makes  partially  contact  or  does
not make contact with the elastic medium. Letp'Ocr  be the tension giving the state in which
the layer contacts the surfaces  of the inclusion without neighbourhood  of the point  Q =  0.
Then  for  thick  layer  Eq.  (5.6)  and  (5.8)  give

i  .  "  •  •

$<$+•%• 2  4  MS),
Poor  =  oo  °  ^

When the tensile load p0  is above the critical value  (6.4), the contact area will be an annu-
lus, the inner circumference of which increases with the increase of the load, and when
the load is above some value p'ócr the elastic body does not make contact with the surface
of the inclusion. These critical loads can be found from the condition  wc{K, 0) =  S, where
we(X, 0) denotes the displacement of the penny-shaped crack in the point  Q = A.
For a thick layer these critical loads are given by formula

„  n  d  1 .

Very interesting case in which the tension is in the interval  p'Ocr  < p0  < p'0'cr and the
contact region on the cylindrical inclusion is annular is not included in our solutions.

By substitution of Eq. (6.5) for A = 0 into Eq. (5.12) .we obtain  La  ­* 0 and  Lb  =
po^j
The physical aspects of the corresponding isotropic problem are discussed by Tweed

[10] and Gladwell [11].



R I G I D   IN D EN TER  AND   ISOTROPIC  IAYER  313

7.  A rigid inclusion pressed between two layers

The  solution  presented  here  may  be  applied  to  the following  problem:  two  identical
transversely  isotropic  layers  are  pressed  together  by  a  pressure;  a  rigid  obstacle  lies  bet-
ween  the layers.  The solution  for  each layer  may  be  obtained  as  the superposition  of  two
fields.  The first  corresponds to  a stress  field  in the z- direction namely  o

z
(r,  z)  =  —pof(>')-

The second  may  be  expressed  by  means  of  the above  mentioned results  provided  th at  th e
compatibility  equation  {dw

z
(r, 0)/ dr}

r=b
  =   0  is  satisfied.  This  is  the  equation  giving  b,

the  extent  of  the contact region.  Thus, on using  Eqs.  (3.5)  and  (3.7) we find  F{n)  =   0  or

(- iya
n
  = 0,  (7.1)

n= 0

which  with  the  aid  of  the  notation  (3.19)  may  be  written
0 0   0 0   0 0

2CG, nb V  ( - 1 ) "< - c J j  ( -  1)X' +Po 2  ( -  W Ź  -   °-   (7- 2>

Assuming  the  ratio  of  the  inner  to  the  outer  radius  of  the  uncontact region  X =   ajb
and  the  ratio  r\   =   hjb  an  solving  for  given  external  pressure  distribution  the  equations
(3.20) we  can  obtain  the  parameters  a'„,  a'

n
' and  a'".  Then,  Eqs.  (7.2)  and  (3.24)  yield  the

value  of  the pressure p
0
  and  Eqs  (3.8)  and  (3.19)  the value  of  <5  in terms  of  known  quan-

tities;  the  values  which  give  this  contact  state.
F ull  details  of  the  other  corresponding  problems  may  be  found  in  th e  articles  by

Alblas  [12], G ladwell  [13,  14]  and  author  [6].

8. Isotropic case

All  the  results  obtained  in  this  paper  can  also  be  applied  for  completely  isotropic
bodies.

Setting  a.  —  s
t
  +s

2
  =   2  and  evaluating  the limit  under  /? =   s

x
  - s

2
  - * 0  in  Eq.  (2.23),

we  get

lh(x)- l\ _

\   h^x)  }  "" si
-   [cosh 2x -  2x2  ~ 1 +  c

±
 x~* [sinh 2x+2x)} \

2(sin hx+ xcoshx)  ]

F or  an isotropic material  the parameter  C reduces to  (1- v)""1  and the relative  rigidity
of  the  foundation  to  the  layer  is  c

±
  — c

a
h(l~v)jG.  H ere  G  is  the  shear  modulus  and  v

is  Poisson's  ratio.

. 9. Conclusions

It  has  been  demonstrated  that  a  large  class  of  unbonded  contact  problems  may  be
reduced  to  the  solution  of  the infinite  systems  of  simultaneous  algebraic  equations.



314  B.  ROG OWSKI

On  the basis of the  presented results the  effect  of arbitrary loading outside of  an indea-
ter,  of  the boundary  conditions  and transverse anisotropy on the contact  behaviour  and
the  load- contact  length  relation  can be  clarified.

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•   •   • • • ; • • ; - ' '.   .   •   j

P  e 3  M   M e

KOH TAKTH A.3  SAH ARA  5KECTKOrO  TEJIA  H   TP AH C BE P C AJTbH 0- H 30TP OriH 0r0

P acc.waTpiiBaercH   aa/ ja^a  TpaH CBepcajibH o- H 3oTponH oro  CHOH   KoHTaKTHpye.Moro  c  WC'CTKH M
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B  oSjiacTH   K o Jit qa  K  Hcie3aK>T  H opM ajitH we  nepeivtemeHHH   Ha  oerajitH oft  "la c m  BepxH ero  Kpan  CJIOH .

a  c<£opM.y,njipoBaHa  Kau  p e in e m ie  xpoftH bix  H H TerpajitH bix  ypaBH em rił .  l i p a  pemeH H H   3TH X
H cnojit3yiOTCH   3H (p4>epeH H H anbH oe, H H TerpajibH oe  H  pnflOBoe  npeflCTaBJieHHH   HeH3BecTHOH

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HOM  cn oe.



R I G I D   IN D EN TER  AND   ISOTROPIC  LAYER  315

S t r e s z c z e n i e -

KON TAKT  M I Ę D ZY  SZTYWN YM   CIAŁEM   I  P O P R Z E C Z N I E  IZ OTROP OWĄ   WARSTWĄ

Rozpatrzono  zagadnienie  warstwy  poprzecznie  izotropowej  kontaktują cej  się   z  ciał em  sztywnym.
D olna  pł aszczyzna  warstwy jest  sprę ż yś cie  podparta.  N a  górnej  powierzchni  warstwy  dan e jest  n orm aln e
przemieszczenie  wewną trz  koł owego  obszaru  o nieznanym prom ien iu; n a zewną trz  tego  obszaru  wystę pują
normalne  naprę ż enia,  a  n a  pozostał ej  czę ś ci  tej  powierzchni  przemieszczenia  n orm aln e  są   równ e  zeru.
N a  obu  brzegach  warstwy  naprę ż enia styczne  nie  wystę pują.

Autor  sformuł ował   zagadnienie  jako  rozwią zanie  potrójnych  równań  cał kowych.  W  celu  rozwią zania
ich  wprowadzono  taką   róż niczkową,  cał kową   i  szeregową   reprezentację   poszukiwanej  funkcji,  kt ó ra
speł nia  dwa  z  trzech  równań  ś ciś le,  podczas  gdy  trzecie  równanie  prowadzi  do  trzech  nieskoń czonych
ukł adów  równań  algebraicznych  wzglę dem  współ czynników  wprowadzonych  w  reprezentacji.  F izyczne
wielkoś ci,  które  charakteryzują   kon takt  oraz  współ czynniki  intensywnoś ci  naprę ż enia  wyznaczono  za
pomocą   rozwią zań  ukł adów  równań  algebraicznych.

Rozpatrzono  pswne  zagadnienia  stempla,  inkluzji  i  szczeliny  dla  poprzecznie  izotropowej  warstwy.

Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  28  paź dziernika  1984  roku