Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z3.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

3, 24 (1986)

OBLICZAN IE  PŁYT  M IKROM ORF ICZN YCH

SYLWESTER  KON I E C Z N Y

Politechnika Ł ódzka

1.  Wstę p

Równania  róż niczkowe  dla  teorii  Kirchhoffa  pł yt  obcią ż onych  mikrookresowym
obcią ż eniem  skupionym  lub  cią gł ym  moż na  otrzymać •   wykorzystują c  aparat  analizy
niestandardowej  [1], [2],  [3].  Skoń czone  deformacje  wywoł ane  tym  obcią ż eniem  są
aproksymowane  pewną   klasą   mikrodeformacji,  które  z  kolei  zależą   od znanych  funkcji
mikrookresowych.

Przemieszczenia  punktów  materialnych w pł ycie są   okreś lane  nastę pują cą   funkcją   [2]

w{x
1
,  x

2
)  =  WoOc1, x^   + w^ x1,  '&)&{&,  x2).

Funkcje  hfipc1, x1)  są  a priori  danymi  funkcjami  okresowymi  speł niają cymi  warunek

J  ha(x\ xz)da  = 0,
1  2

gdzie  A{x1, x2) jest  obszarem  odpowiadają cym  powtarzają cemu  się  obcią ż eniu. N ieznane
funkcje;  w

0
, w

a
  opisują   kolejno  makrodeformację   i  tak zwaną   mikrodeformację .  Postu-

lowane  a priori  funkcje  Iffa1,  x2)  opisują   okresowy  charakter  mikrodeformacji.
Celem  pracy  jest  podanie  podstawowych  równań  dla pł yt  mikromorficznych  i prze-

analizowanie  kilku  rozwią zań  pasm  pł ytowych  obcią ż onych  obcią ż eniem  okresowym.
W  pracy  obowią zuje  konwencja  sumacyjna,  wskaź niki  greckie  przebiegają   cią g  1,  2,

ł aciń skie  1, 2 ..., n.

2.  Podstawowe  równania  we  współrzę dnych  prostoką tnych

Sparametryzujemy  pł aszczyznę   ś rodkową   Q  pł yty  prostoką tnym  ukł adem  współ -
rzę dnych x*. Oś prostopadł ą  do pł aszczyzny Q oznaczmy przez z. Pod dział aniem obcią ż eń
punkty  materialne przemieszczają   się  tylko  w kierunku  osi z, przy  czym  przemieszczenia
te  są  niewielkie  w porównaniu z wysokoś cią   pł yty i  należą   do przestrzeni  C

2
{Q).  N iech

wa=   t
a
  bę dą   skł adowymi  wektorów  jednostkowych  kolejno  normalnego  i  stycznego  do

brzegu  8Q.



332 S.  KON IECZN Y

Podstawowy  ukł ad  równań  dla  pł yt  mikromorficznych  otrzymamy  wykorzystując
postać  wariacyjną  [2]

pv
o
da  =   J  mapv

OiaP
da,

(2.1)
BO

, „ + r$v
a
)ds+  Jp°v

a
da  =

m  j  (m
a
v

a
+7w"X  «+ «"*»«. „f) da.

Równania  (2.1) winny  być speł nione  dla każ dego v
o
,v

a
e  C

2
{Q). Wielkoś ci  q, f,  p, q",

r", r
a
,p"  w  (2.1)  są  zdefiniowane  nastę pują co:

q(pc)  ~

q°(x)  ~

(2. 2)
p°(x)  ~  <ph°>

AM
,

r(x)  ~   < r > £ t e ) ,

N atomiast  równania  konstytutywne  mają  postać  [2]

m"

We  wzorach  (2.2) i  (2.3) nawiasem  <  •  > oznaczono [2]

=   1
(xi  •  powierzchnię  A(x)  .

(D  *»# ,„,}

< ' > ^ S  dł ugość L (x)  f(')dS-
£(• *)

(2.3)

(2. 4)

Podstawowy  ukł ad równań otrzymamy podstawiając  prawe  strony wzorów  (2.3) do  (2.1).
Tym  samym

w
0, wb,

> af! - ~p  =   0 ,

(2.5)

^   w
b
,,

- J p ' '  =  0 .



OBLICZAN IE  PŁYT  MIKROMORFICZN YCH   333

Powyż sze  równania  zachodzą   w  każ dym  prostoką tnym  ukł adzie  współ rzę dnych  karte-
zjań skich  i  są   speł nione dla  każ dego  a.  Funkcje  p,  p"  są   znanymi  sił ami  zewnę trznymi
obcią ż ają cymi  pł ytę   oraz  D"^ "  są   znanymi  skł adowymi  tensora  sztywnoś ci  sprę ż ystej.
Pozostał e  funkcje  wystę pują ce  w  (2.5)  są   poszukiwanymi  niewiadomymi.  F unkcje  te
w obszarze  Q  powinny  speł niać równania  (2.5) a na  brzegu  8Q  obszaru  Q  powinny  speł -
niać  odpowiednie  warunki  brzegowe.  Warunki  brzegowe  zależą   od  sposobu  podparcia
lub  obcią ż enia  brzegów  pł yty.  Trzy  sposoby  podparcia brzegów  pł yty  omówimy  poniż ej.
1.  Brzeg  pł yty  sztywno  utwierdzony,  gdy  warunki  brzegowe  mają   postać

w
0
  =   w

b
  = 0 ,

N a  brzegu  8Q  znikają   przemieszczenia  i  obroty  pł yty.
2.  N a  brzegu  swobodnie  podpartym  są   speł nione nastę pują ce  warunki:

w
0
  - ,w

b
'• =  0 ,

v
+<,D«^ fi

b
) w

b
^ +2<^ h%yw

b
,

v
+<iy

i
^ h^ )w

i
)n

li
n

p
  =  0,  (2.7)

a
y w

Qlllt
  +XD^ "

v
h''h

b
y  w

b
, „ v+ 2 (D^ 'W h^ y  wb, v+(D^ w^ y  W b)  nanp  =   o.

3.  Jeż eli  brzeg  pł yty  jest  swobodny  (nie  podparty)  to  warunki  brzegowe  mają   postać:

y  f),
  t

 +  (2.8)

w
b
,„n

a
n

v
 s / ) , , -  « D a " ^ K > wbnxnv  ef),,+q  -   0,

^ h^ y  w
b
,, +

by  w„, ̂
Dla brzegu  nieobcią ż onego  zachodzi  q  =   0,  q"  =   0,  r̂  =   0.  P onadto na brzegu  swobod-
nym  winny  być  speł nione  warunki  (2.7).

Rozwią zanie  zagadnienia  brzegowego  teorii  pł yt  mikromorficznych  polega  n a  wyzna-
czeniu  funkcji  w

0
  i  w

b
  speł niają cych  w  obszarze  D  równania  (2.5)  a  na  poszczególnych

czę ś ciach  brzegu  8Q  tego  obszaru  speł niają cych  warunki  jednej  z  postaci  (2.6) -   (2.8).

3.  Pasma  jednokierunkowo  obcią ż one

W wielu  zagadnieniach  spotykanych  w  praktyce  mamy  do  czynienia  z  prostoką tnymi
pł ytami  w  których  jedna  para  przeciwległ ych  brzegów  ma  dł ugość  wielokrotnie  wię kszą
od  drugiej  pary.  Zał óż my, że  sposób  podparcia  każ dego  z  dł uż szych brzegów  pł yty jest
na cał ej jego dł ugoś ci taki  sam  (dopuszczamy  moż liwoś ć,  że przeciwległ y  brzeg  może mieć
inne  podparcie).  Obliczenia  statyczne  mikromorficznych  pł yt  prostoką tnych  o  takim
kształ cie  i  sposobie  podparcia  moż na  wtedy  zastą pić  w  przybliż eniu  obliczaniem  tzw.
pasm  pł ytowych.



334 S.  KON IECZN Y

N iech  rozważ ane  p a sm o pł ytowe bę dzie  obcią ż one  obcią ż en iemp  okresowym  o dł ugoś ci
o kresu  %, rys.  1.  Szerokość  pasm a  przyję to  / ,  a  okres  powtarzają cego  się  obcią ż enia
X — ł jó.  F u n kcje  okresowe  h^ x1)  przyję to  w  postaci

h"{x
l
)  =  cos

Ina
,  a  =  1, 2,  ...n (3.1)

Rys.  1.

Wykorzystując  fakt,  że wszystkie poszukiwane funkcje  są funkcjami  tylko jednej zmiennej,
równania  (2.5)  bę dą  miał y  postać

(3.2)

-   o.
Obcią ż en ia  p,  p"  i  skł adowe  ten sora  sprę ż ystoś ci  D a f t l "  zgodn ie  z  wzorem  (2.4)  wynoszą

• \ yP
X  '

2
2

0

D
u n  dla  a- b

dla  a  ikb,

2a
2
n

2

- j2—£ >""  d l a a  =

O  dla  a  4

(3.3)



OBLICZAN IE  PŁ YT  MIKROMORFICZN YCH 335

2a
2
n

2

A4

0

Z ) 1 1 1 1  dla  a  =   b

dla  a  =£  b,

111  dla  a  =  b

dla  a  • £ b.

Eh
3

Pozostał e  skł adowe  są  równe  zeru.  Skł adowa  Z ) 1 1 1 1  =

jest  izotropowy).
Podstawiając  wyraż enia  (3.3)  do  równania  (3.1), otrzymamy

=   D  (materiał  pasma

a,  11 11

Cał ki  ogólne  równań  (3.4)  mają  postać  (x1  =  x)

W°  =
=   A

1
smhr

1
x+A

1
cosh.r

1
x+A

3
sinhr

2
xĄ -

gdzie  oznaczono:

2| / 3- 2)/2
= " (271

X  '

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Przyjmijmy,  że  brzegi  pasma  pł ytowego  są  swobodnie  podparte  o  warunkach  brzego-
wych  (2.7)

wo(O)  -   w(l)  =  0,

w«(0)  -   w
a
(T ) =  0,

-   0 .
Po  obliczeniu  stał ych,  (3.5)  zapiszemy  w  postaci:

Mx)  =    ̂ (x*

, « =  [-- 3 - 2 |/ 2 ~ + ( 6 l /2  -



336 S.  KON IECZN Y

3- 6i/2  ,  3- 2i/2 + (3- 2|/ 2)coshr2/• ——  cosb.rj.xH
2j/ 2  si2|/ 2

21/ T- 3

R zę d ne  wB(x)  obliczon e z (3.8) są  bardzo m ał e. D la r t /  > 5 wa(x:) m oż na  zapisać w postaci

(3.9)

P rzem ieszczen ie  pion owe  dowolnego  p u n kt u  rozważ anego  pasm a  m a  postać

(3.10)

a  m aksym aln e  przemieszczenie  dla x »  - =-   wynosi

0, 0985/   A \ *

0 = 1

(3.11)

Z  rozwią zan ia  (3.9)  wyn ika  wniosek,  że pasm a  pł ytowe  obcią ż one  mikrookresowym
obcią ż en iem  ja k n a rys.  1. m oż na  rozwią zywać  obcią ż ając  je równ om iern ie o intensyw-

«'•   M   m  J  •  •   1. •   i-   1 •   -   - i  ,  V  0.0985  /   A\ 4n o sc i  p/ A.  B ł ą d  w u gię c ia ch  ja k i  p o p e ł n i m y  wó wc zas je st  m e wię kszy  o d  >   3 —  I - ^  .
a= l  a  \   I

Rys. 2.

R o zp a t r zm y  jeszcze  pasm o  pł ytowe  przedstawion e  n a rys. 2.  F unkcje  ha(x2)  przyj-
m ujem y  w  n astę pują cy  sposób

(3.12)



OBLICZAN IE  PŁYT  MIKROMORFICZNYCH   337

Równania  przemieszczeniowe  (2.5) sprowadzają   się  do postaci

+   (3.13)

p<' =  0 .

Skł adowe  tensorów  sprę ż ystoś ci  i  intensywnoś ci  obcią ż eń / *, p"  mają   takie  same  wartoś ci
jak  w poprzednim przypadku.  Równania  (3.13)  bę dą   miał y postać

"O.U II  - - Jp,

gdzie  v jest  współ czynnikiem  P oissona.  Rozwią zanie  równ ań  (3.14)  m oż emy  zapisać

3  2

r- nw  ( 3 ll5 )
w

a
  =  4 i h  +   ^ h + ^ i h + 4 h  Kan  a  D

gdzie:

N a  każ dym z brzegów  x =  0 i x  — 1 winno być  speł nionych po  cztery  warun ki  brzegowe.
Przyjmują c,  że brzeg jest swobodnie  podparty, cał ki  ogólne  (3.15) są  nastę pują ce:

1— cosh r, /   .  ,  ,  ,  ,  co sh r 2/ —1  .  «• • - ->
^ &tah^ x  + ricqshrX+rl  s i n h r x +   (3.17)sinh/ i/   sinhj- 3

1  (- 1
- / -2 ! -

Jeż eli  r ^ ^  5 to wyraż enie  (3.17)  staje  się  identyczne ja k (3.9).  Z   obydwóch  przeanali-
zowanych  przypadków  wynika  wniosek,  że jeż eli  A < /  t o ,  pasm a  pł ytowe  obcią ż one
obcią ż eniem  mikrookresowym  moż na  rozwią zywać  obcią ż ając  je  równ om iern ie  o inten-
sywnoś ci pjk wówczas wpł yw funkcji  w

a
(x)h"(x)  n a ugię cie jest mał y  (może być pom in ię ty).

N atomiast wpł yw  funkcji  w
a
(x)h

a
(x)  n a  sił y wewnę trzne  nie może być  pom in ię ty  pon ieważ

w  zależ noś ci  od charakteru  funkcji  h"(x)  może  on być bardzo  duż y.

7  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3/86



338  S.  KON IECZN Y

Literatura

1.  A.  R OBI N SON , N onstandard  analysis and philosophy,  Selected  Papers, Vol.  2,  N orth—H olland,  Amster-
dam  1979.

2.  C z.  WOŹ N I AK,  N onstandard  analysis in  mechanics, Advances  in  M echanics  1985.
3.  C z.  WO Ź N I AK,  Micromorphic aspects of finite  deformations  in  the light of  the nonstandard analysis,  Proc.

of  I n t. Sym p.  on  Physical  Basis  and  M odelling  of  F inite D eformations  of  Aggregates,  Paris, October
1985  (in  press).

P  e 3 io  M e

P AC K E T  M H KPOM OP<t>H ŁIX  ITJIH T

B  pa6oTe  paccM oipeno  HHcJxbepeinjHajiBHbie  ypaBHeniwi  Teopmi  IUIHT Knpxroebiba.  IIjiHTbi Harpy-
>KeHbi  MHKpoMopdpuraecKHMH   cnJioiiiHWMH   Harpy3KaiwHj  a  TaioKe  To^reHHhiMH  cHJiaMH. B  BbiBofle  ypaB-
HeHKH  npaiweH eH o  M eiofl  H ecTaH flapTH oro  aH ajiH 3a.  IIoflpoG H o  paccM oTpeH  npniwep  n o jio c w.

S u m m a r y

CALCU LATION   OF   M ICROM ORP H IC  PLATES

I n  the paper  the  differential  equations  of  Kirchhoff's  plate  theory  been  derived.  The considered  plates
. are loaded  by  microperiodic  continuous  loads  or  point  loads.  The  derivation  is  based  on  the nonstandard
analysis.  The  plate  strip  h as  been  analysed  in  details.

Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  27  listopada 1985  roku