Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z3.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

3, 24 (1986)

F U N KCJE  SKLEJAN E  W  ZASTOSOWAN IU   D O  F IZ YC Z N IE
I  G EOMETRYCZN IE  N IELIN IOWEJ ANALIZY  PŁYT  PROSTOKĄ TN YCH

HENRYK  KOPECKI

JAN   SMYKLA

Politechnika Rzeszowska

1.  Wstę p

Ustawiczna  dą ż ność  do  minimalizowania  cię ż aru  konstrukcji,  w  szczególnoś ci  znaj-
dują cych  coraz  szersze  zastosowanie  konstrukcji  cienkoś ciennych,  jak  również  dą ż ność
do  zwię kszenia  ich  trwał oś ci  i  niezawodnoś ci  wymaga  od  konstruktora  uwzglę dnienia
nieliniowoś ci  fizycznej  w  równaniach  konstytutywnych.  Efekty  nieliniowe  zaobserwuje
się   zarówno  w  obszarze  zaawansowanych  deformacji  sprę ż ystych,  jak  i  niesprę ż ystych
(plastycznych,  reologicznych).  Rzeczą   niezbę dną  jest  również  opis  deformacji  za  pomocą
teorii  nieliniowych  w  sensie  geometrycznym.

Sformuł owany  w ten sposób  problem staje  się  zł oż ony pod wzglę dem matematycznym,
a  jego  rozwią zania  ś cisłe  nie  są   znane.

Spotykane  rozwią zania  uwzglę dniają ce  fizyczną   i  geometryczną   nieliniowość  w  ana-
lizie cienkoś ciennych  ustrojów  noś nych mają   charakter przybliż ony,  przy  czym wię kszość
współ czesnych rozwią zań  opiera się  na metodach numerycznych, w szczególnoś ci  metodzie
elementów  skoń czonych  oraz  metodzie  róż nic  skoń czonych.

W  niniejszej  pracy  przedstawimy  nieco  odmienne uję cie  w  stosunku  do  wyż ej  wspo-
mnianych,  problemu  fizycznie  i  geometrycznie  nieliniowego  pł yt  o  konturze  prosto-
ką tnym.  Opierają c  się   na  metodzie energetycznej,  wyraż enia  dla  przemieszczeń  bę dziemy
aproksymowali  bikubicznymi  funkcjami  sklejanymi,  których  wartoś ci  dyskretne  wyzna-
czymy losową , adaptacyjną   metodą  poszukiwania  minimum funkcjonał u. Wyniki rozważ ań
zilustrujemy  przykł adami  numerycznymi.  N iektóre  z  otrzymanych  wyników  skonfrontu-
jemy  z  rezultatami  wł asnych  badań  doś wiadczalnych,  wykonanych,  metodą   mory  pro-
jekcyjnej.

2.  Sformułowanie  problemu

Rozważ amy  cienką   pł ytę   o  konturze  prostoką tnym  obcią ż oną   równomiernie  ciś nie-
niem  zewnę trznym  o  intensywnoś ci  p.  Pł yta  zamocowana  jest  sztywno  na  brzegach.

7*



340  H .  KOP EC KI,  J.  SMYKLA

Wskutek  obcią ż en ia  pojawia  się  w  niej  stan  naprę ż enia, w  którym  efekty  gię tne  pomijamy
ja ko  m ał e  w  p o ró wn an iu  z  n aprę ż en iami  w  pł aszczyź nie  ś rodkowej.

Z ależ n oś ci  geom etryczn e opieram y na teorii nieliniowej  przy nastę pują cych  zał oż eniach:
odkształ cen ia  w  pł aszczyź nie  pł yty  są  m ał e,  skł adowe  przemieszczenia  prostopadł a  do
powierzch n i  ś rodkowej  przyjmuje  wartoś ci  skoń czon e,  obowią zują cymi  są  zał oż enia
Kirch h offa- Love'a,  grubość  pł yty  nie  zmienia  się  w  trakcie  deformacji.

P rzyjmujemy  ukł ad  kartezjań skich  współ rzę dnych,  x
k
  z  począ tkiem  w  ś rodku  pł yty,

zaś  pł aszczyznę  x
t
,  x

2
  utoż sam iamy  z  pł aszczyzną  ś rodkową.  P ł yta  posiada  dwa  boki:

2a  i  2b  oraz  grubość  h.  Oś  x
t
  jest  równ oległ a  do  boku  la.

Z wią zki  pom ię dzy  skł adowymi  ten sora  odkształ cenia  i  przemieszczeniami  odpowia-
dają ce  powyż szym  zał oż en iom  wyraż ają  się  zależ noś cią:

1  /   du
a

^  =  "2\ dxJ
du

a  r  8itp  ,  <9w  8w  ,

Tutaj  x
k
  (k  =   a,  /?)  oznaczają  współ rzę dne  prostoką tn e,  u

k
  —•  skł adowe  przemieszczenia

w  kieru n ku  linii  współ rzę dnych  x
lt
  x

2>
w  —  jest  ugię ciem  pł yty  m ierzonym  w  kierunku

n orm aln ym  do  powierzchn i  ś rodkowej.  Wskaź niki  a  i  (i  przebiegają  wartoś ci  1, 2.
R ó wn an ie  kon stytutywn e  opisują ce  wł asnoś ci  fizyczne  m ateriał u  pł yty  przyjmujemy

w  form ie

fiw  =   0(<ye)S u,  (2)

odpowiadają cej  deformacji  nieliniowo- sprę ż ystej,  bą dź  sprę ż ysto- plastycznej  (proces
czyn n y).
Tutaj  Bij oznaczają  skł adowe  ten sora  odkształ cenia, S

u
  są  skł adowymi  dewiatora  naprę-

ż enia,  zaś  d
u
  oznacza  sym bol  K ron eckera.  &(a

e
)  jest  nieliniową  funkcją  intensywnoś ci

n aprę ż en ia  a
e
,  którą  przyjmujemy  w  postaci  dwuparam etrowego  zwią zku

<2>Oe) =   ~Aa^ - \  gdzie  o*  =   y  ( S y Ą ).  (3)

A  i  m  są  stał ymi  m ateriał owym i,  zaś

Stj=  <y
tJ
- - j- a

kk
d

u
.  (4)

D la  pł askiego  stanu  naprę ż enia  tensory  naprę ż enia  i  odkształ cenia  moż emy przed-
stawić  w  formie:

0
ffał  0- 22  0
0  0  O

,  [ eu]   =
£ l l  e 1 2  0

e
21

  e
22
  0

O  0  - ( « ii  +  .«a a) .

(5)

zaś  in ten sywn ość  odkształ cen ia wyraż amy  poprzez  skł adowe  dewiatora  odkształ cen ia

s
2

e
  =   - j  (e

u
  e

u
),  gdzie  e

u
  =   e

u
  -   - -   e

kk
  ó

tJ
.  (6)

Z  racji  zał oż on ej w  równ an iu  kon stytutywn ym  nieś ciś liwoś ci  skł adowe ^stanu odkształ -
cen ia  speł niają  waru n ek

(7)



F U N KC JE  SKLEJANE  I  ZASTOSOWANIA 341

3.  Metoda  rozwią zania

Okreś lenia  skł adowych  stanu  naprę ż enia oraz ugię cia  pł yty dokonam y  m etodą   energe-
tyczną .  W  tym  celu  wyznaczymy  energię   potencjalną   pł yty  [4]

f f f r  A  i  f  C

Czł on  pierwszy  wyraża  energię   odkształ cenia  pł yty,  drugi  zaś  pracę   sił   zewnę trznych.
Ze  wzglę du  n a  przyję ty  sposób  zamocowania  pomijamy  pracę   reakcji  oddział ywania
brzegu  na  pł ytę .

D o  równania  (8)  podstawiamy  zwią zki  fizyczne  (3),  (2)  uwzglę dniając  jednocześ nie
zależ noś ci  (4)  i  (5).  P o jedn okrotn ym  scał kowaniu  czł onu  pierwszego  równanie  t o  przyj-
muje  postać:

a  b  a  b

V  = m 7- 1  mr—  J  J  s
e

m
  dx

x
dx

2
—p  I  j  wdx

1
dx

i
, (9)

- a  - b

Wyraż enia  dla  przemieszczeń  Wi(xlf  x2),  u2(xx,  x2)  i  w(xlt  x2)  przyjmujemy  w  formie
bikubicznych  funkcji  sklejanych.  F unkcje  te  oznaczamy  nastę pują co  [1]:

S„(uu  x,y)
}
  S„(u

2
;  x,y),  S„(w;  x,y).  (10)

D la  uproszczenia  zapisu  tutaj  i  w  dalszych  rozważ aniach przyjmujemy  oznaczenia x
t
  =   x,

X3,  =y-

Rozpatrywana  pł yta  tworzy  na  pł aszczyź nie  x,y  prostoką t:

D  =   {(x,y):  - aś  x^   a,  - b  <  y  <  b},  (11)

w  którym  wyróż niamy  dyskretną   siatkę   wę zł ów

n  =   {(Xi>yj)~-   - a  =  x
Q
  <  x

x
  <  ...  <  x„ =  a,  - b  -   y

0
  <  y

x
  <  ..'. <  y

m
  =  b}.  (12)

»  l - —  2a  -

Rys.  1.  Oznaczenia  współ rzę dnych  przyję tego  ukł adu

Interpolacja  każ dej  z  trzech  skł adowych  przemieszczenia  u
x
{x,y),  u%(xiy),  w(x,y)

bę dzie  polegał a  n a  okreś leniu  w  w/ w  obszarze  prostoką tnym  funkcji,  speł niają cej  wa-
runek  / e  C2(D).  F unkcja  ta  w  każ dym  prostoką tnym  podobszarze  jest  wielomianem
trzeciego  stopnia,  postaci  [1], [5]

,  y) = (13)2
1  =  0

przyjmują c  n a  brzegach  obszaru  wartoś ci  zerowe.  Z akł adamy, że  wartoś ci  zerowe  przyj-
muje  również  druga  pochodn a funkcji,  wzglę dem  normalnej  do  brzegu  [5],  [6],  [8].



342  H .  KoPECKr,  J.  SM YK LA

W  powyż szym  zwią zku  f(x,y)  oznacza  dowolną   z  w/w  trzech  skł adowych  przemiesz-
czenia.

Współ czynniki  funkcji  aproksymują cych  bę dziemy  mogli  okreś lić  dopiero  po  wyzna-
czeniu  wartoś ci  tychże  funkcji  w  wę zł ach  siatki.  W  dowolnym  prostoką tnym  podob-
szarze

{x, j: x ; _ i  ^   x  ^   Xi,  J>J- I  < y  <  y/ \   każ da  z  funkcji  sklejanych  jest  bikubicznym
wielomianem  postaci  [5]

'  S„(J]  x,y)=Mx,y)=-

,  d2f(x
l
,y)\   1

t
-

1
,  y) ̂ - —-   + / (x, , y)

ii "i

gdzie:

dx
2
  T j  8x

2

Bx
2
  dx

2
3y

2

.  iA*,,y,- d  .  < y,- A



F U N KC JE  SKLEJANE  I  ZASTOSOWANIA 343

Tutaj  i  w  dalszych  rozważ an iach  przyję to  ozn aczen ia:

h  —  x  X  i  —  1  9  w

T /   =   ^ - J ' / - i»  . / =   1, 2,  . . . ,  m .

Wystę pują ce  we  wzorach  (15),  (16),  (17),  (18)  wyraż en ia:
d,, fl'a

(19)

(20)

bę dą ce

współ czynnikami  aproksym ują cych  wielom ianów  okreś limy  dalej,  tym czasem  zakł adają c,
że  wartoś ci  poszukiwan ych  funkcji  w  wę zł ach  są   zn an e.

W  wę zł ach  tych  funkcje  sklejane  przyjmują   wartoś ci,  kt ó re  ozn aczam y:

S„(yv; =  w
tJ,

=   ul
tj, (21)

Snitfil  X
tt
yj)  «=  «2 y ,  /  =   0,  !, . . . , «,  ./  =   0,  1,  . . . , n j .

Ze  wzglę du  n a  symetrię   geom etryczną   oraz  symetrię   zewn ę trzn ego  obcią ż en ia  pł yty
punkty  Xi poł oż one  są   symetrycznie  wzglę dem  p u n kt u  x

k
  — 0, zaś  pu n kt y y

}
  —  sym etrycz-

nie  wzglę dem  y
t
  =  0,  wobec  czego

n  F=   2k,  m  =  21.  (22)

Z godnie  z  przyję tymi  zał oż en iami  przemieszczenia  n a  brzegach  przyjmują   wartoś ci

zerowe:

M i(^»J')l(j.j.) Er=   0,  u2(x,y)\ lXty)er  =  0,  W(A:, j ) | ( X i J , ) e r  =   0,  (23)

gdzie  F  oznacza  brzeg  prostoką tn ego  obszaru  D.
Z akł adam y  dalej,  że  funkcje  sklejane  speł niają   warun ek  brzegowy  [1],  [5]

Ui
;  x,y)

x.yer
=   0,  im  1,2',

8
z
S„(w;  x,y)

dv
2

x,ysr
=  0 , (24)

gdzie  przez  v  ozn aczon o  n orm aln ą   zewnę trzną   do  brzegu.
Przemieszczenie  %  jest  an tysym etryczn e  wzglę dem  osi  y  zaś  n a  samej  osi  przyjm uje

wartoś ci  zerowe.  P odobn ie  przemieszczenie  u
2
  jest  an tysym etryczn e  wzglę dem  osi  x.

Warun ki  te  znajdują   wyraz  w  zapisie:

tti(O,yj)  =  O,  u
2
(x

i
,Q)  =  0,  / = l , 2 ,  . . . , «,  y = l , 2 ,  . . . , / n  (25)

F orm uł ujem y  m acierze  przemieszczeń  W,  U l ,  U 2  przyjmują c,  że  pierwszy  wskaź n ik
oznacza  n um er  p u n kt u  rzę dnej  x,  drugi  zaś  n um er  p u n kt u  odcię tej  y.  Z a t em  wart o ś ci
funkcji  w,  Ui,  u

2
  n a  siatce  p ro st o ką ta  D  moż emy  zapisać  w  postaci:

W

0
0

0

0

0
0

0

VV2  1

w„
0

0

w
2

"*,

w„
0

2

, 2

2

- 1 .2

...  0

. . . H>n,

•  ••   w2 ,

...  M»*,

W n
_

. . .  0

I

{

I

1 . .

...  0

. . .  Wj

. . .  w2

... wfc ,

...  0

, m - l

, m - l

m- 1

1  m  J

0
0

0

0

1  0
0

(26)



344 H .  KOP E C KI ,  J.  SMYKLA

U1 =

? i - l ,J  • ••  « l « - l , m -l  0

(27)

U2 =

0  0  0
O  «2i,x  ul
0 «22 , 1 ul

L,2

2 , 2

0
u2

ul

ul
2
  ,

- i

- i

0
0
0

0
« 2 l l ł + 1

...  0

...  Ifl,,

... w2 2 ,
m - 1

m - 1

0
0
0

O  J / 2*, t  w2t i 2  . . .  w2 j t i , _ 1  0  »/2,• k.  1

0  w2„ _ 1, 1  w2„ _ 1> 2  ...  ul„^ ,,i- ,  0  «
0  0  0  ...  0  0  0

...  ia
k
,

m
.i  o

. . .  «2,,- i,m-i  0

...  0  0

(28)

D la  uproszczen ia,  w  dalszych  rozważ an iach  dowolną   z  powyż szych  trzech  macierzy
bę dziemy  oznaczali  symbolem  F .

R ówn ież  współ czyn n iki
dx

2 wystę pują ce  we  wzorach  (15) i  (16) grupujemy

w  m acierz

/ ^ 2 , i  / AW2I2
A  A

/ • • *• *„_ 1,1  J,XX„_\

f-
xx
2,m- l

A

J  > Xxn—  1, w—1

(29)

8  fix'
gdzie  przyję to  oznaczenie  JK  yy =   f, Xxir

D ą ż ąc  do  okreś len ia  współ czynników  wielomianów  bę dą cych  elem en tam i  macierzy

(29)  stosujem y  jedn owym iarową   interpolację   sześ ciennymi  funkcjami  sklejanymi,  kolejno

n a  lin iach y  =  y
J;
  j  =   1, 2,  ..., m - 1. Otrzymujemy  w ten sposób  ukł ad  równ ań  liniowych,

ze  wzglę du  n a  poszukiwan e  współ czyn n iki: f
iXX

  ',  .• • f,
X
x,

l
_

i
  • ,  stanowią ce  j- tą .  kolum n ę

m acierzy  F
iXx

.

P on ieważ  dla każ dej  z  linii  y  = y
s
  otrzym an y  ukł ad  równ ań  charakteryzuje  się  iden-

tyczn ą   m acierzą   współ czyn n ików,  moż emy  utworzyć  grupę   ukł adów  równ ań  liniowych:

AF ,xx  — HF, (30)



F U N KC JE  SKLEJANE  I  ZASTOSOWANIA 345

gdzie  A  i  H   są   trójdiagonalnymi  macierzami  postaci:

a
2
  b

2

b
2
  a

3
  b

3

b„_
3
  a „ _ 2  bn_2

b„- 2  a„- !

c
x
  d

2

d
2
  c

2
  d

3

( 3 H

H

" M - 1  C I I - 1  " H _

(3 2 )

których  elementy  wyznaczamy  z  wzorów

1  ,.

1  1  \   , - _  1
c
l  ~  I ~Ł  ^  1.  I '  "i  —  IT   •

(33)

Analogiczną   procedurę   zachowujemy  wyznaczają c  współ czynniki  1'
2
  ' - ,  wystę -

pują ce  we  wzorach  (17)  i  (18),  otrzymują c  macierz  Ą,yy  o  identycznej  strukturze  jaka

charakteryzuje  macierz  (29).
Interpolacja  kolejna  na  liniach  x  =  xt  doprowadza  do  grupy  nastę pują cych  ukł adów
równań  liniowych:

B F . , /   =  G F r ,

gdzie:  B  i  G   są   macierzami  trójdiagonalnymi

(34)

Pi  Ci-

qx  P2

Pi

<7m- 3  Pm- 2  1m- 2

*7m — 2  Pm  — 1~

(35)

r2
G = (36)

m—l  '"m- l



346 H .  KOP E C KI ,  J.  SMVKLA

gd zie:

Pj =
(37)

S,  =

A

P ozostał e  do  okreś lenia  współ czynniki  -   * ' ' z —,  wystę pują ce  w  zależ noś ciach:

(15),  (16),  (17) i  (18) okreś lamy  zachowują c  identyczny  t o k postę powan ia.  U zyskujemy

w  t e n sposób  m acierz  współ czynników  F j S W ,  o  postaci

(38)

f,

T rakt u ją c  macierz  współ czynników  F
iXX

  ju ż ja ko  zn an ą ,  stosujemy  pon own ie  inter-
polację   jedn owym iarową   kolejno  n a liniach  x  =  x

t
  sześ ciennymi  funkcjami  sklejanymi.

W  wyn iku  zachowywan ia  om ówion ej  procedury  otrzymujemy  grupę   ukł adów  równ ań ,
zapisan ą   n astę pują cym  równ an iem  m acierzowym :

BF
  xxy

/   =   G F . X / ,  (39)

gdzie  sym bol  T   ozn acza  tran spozycję   macierzy.
R ozwią zując  ukł ady  równ ań  (30),  (34),  (39)  otrzymujemy  poszukiwan e  współ czynniki

wielom ian ów  aproksym ują cych  (14),  kt ó re  są  zn an e o ile zn an e są  wartoś ci  funkcji  skle-
jan yc h  w wę zł ach siatki  n obszaru  D.  P roblem sprowadza  się   zatem do  okreś len ia  wartoś ci
przem ieszczeń  u^ ,  u

2
,  w, w wę zł ach siatki.  Wartoś ci  te wyznaczam y  z warun ku  n a m in im um

energii  poten cjaln ej  okreś lon ej  wzorem  (9), do którego  podstawiam y  przyję te  wielomiany
in terpolacyjn e.  D o  wyznaczenia  owego  m in im um  stosujemy  adaptacyjną   m etodę   losową
poszukiwan ia  m in im u m funkcjonał u,  om ówioną   szczegół owo w pracy  [3],  zmodyfikowaną
d o d at ko wym i  ogran iczen iam i  wynikają cymi  ze specyfiki  rozważ an ego  problem u.  M etodę
t ę   cechuje  bież ą ca  ko rekt a  kierun ku  i  dł ugoś ci  kroku,  w  wyniku  tworzon a  jest  pam ię ć
kieru n ku  szukan ia.

P rzedst awim y  obecnie  procedurę ,  umoż liwiają cą   wyznaczenie  energii  potencjalnej
w  zależ n oś ci  od  przyję tych  funkcji  sklejanych  dla  przemieszczeń.  W  tym celu  funkcje
(10)  wp ro wad zam y  d o  r ó wn a ń :  (1),  (3),  (4), (6). P o  wykon an iu  przepisanych  wzorem (9)
przekształ ceń  i  operacji  róż n iczkowan ia,  warun ek  n a  m in im um  energii  potencjalnej
zapisujem y  w  p o st ac i:

V=  min  (iSe- pSw),  (40)
U l ,  U 2 , W

gdzie  ozn aczają :

m

m +  .
(41)



F U N KC JE  SKLEJANE  I  ZASTOSOWANIA 347

a  b

Se  =  j  j  S„
- a  - b

a  h

Sw =   j  j  ,
- a  - b

;  x,y)dxdy,

> x,y)dxdy.

(42)

(43)

Cał ki wystę pują ce  w zwią zkach  (42) i  (43) obliczamy  ze wzoru,  otrzymanego w  wyniku
cał kowania  wielomianu  bikubicznego

b  k  I

[  S„(fi  x,y)dxdy=  £2
- a  - b  ;= 1  ]m\

( 4 4 )

+f,xxyy
l
_

1
j+f,xxyy

IJ
)  Tj- y — (/.v.v,-_ 1 ; _ j  +f,xx,j_t  +f,xxi_XJ+f, xx!)  tjVi.

Powyż szy  wzór  (44)  wykorzystujemy  do  obliczenia  cał ek  wystę pują cych  w  zwią zkach
(42)  i  (43), niezbę dnych  do  okreś lenia  minimum funkcjonał u  wyraż onego  formuł ą  (40).

D la  przedstawionego  algorytmu  opracowano  program  dla  EM C  w  ję zyku  F ortran
IV.  Wyniki  obliczeń  numerycznych  wykonanych  na  EM C  ODRA.  1304  przedstawiono
w  rozdziale  4.

4.  Przykł ady  numeryczne

Metodę  rozwią zania  opartą  na  przedstawionej  koncepcji  zastosowania  funkcji  skle-
janych  do analizy fizycznie  i geometrycznie  nieliniowych  pł yt  prostoką tnych  ilustrujemy
przykł adami  numerycznymi.  •

400

350

"5  300
CL

5  250
O

200

150

100

50

-

U

f /
A

y

/  y

/
/

- 4 2;

/

V
y

^»

_K

1

\

/

T

X

^^

N

3=53

= 588

\

3]

K

i

^ - •

(

= 4.77 K

1  2 3  4 5 6 7 8 9  10

Rys.  2.  Wykresy  zależ noś ci  a  =   <r(e)  dla  stopu  aluminium  2014- T6

Obliczenia  przeprowadzamy  dla  dwóch  rodzajów  materiał ów  pł yt:
1.  Stopu  aluminium  o  symbolu  2014- T6  [9], którego  charakterystyki  fizyczne  a  =   a(e)

dla  T   — const  przedstawia  rys.  2.  N a  podstawie  w/ w  charakterystyk  zidentyfiko-



348 H .  KOP EC KI,  J.  SMYKLA

wa n o  stał e  A  i  m  wystę pują ce  w  równ an iu  (3).  Stał e  te,  dla  dwóch  temperatur;

T
±
  =   422  K,  i  T

Ą
  =   588  K,  wyzn aczon o  stosują c  m etodę   najmniejszych  kwadratów,

Wyn oszą   on e  o d p o wied n io :

A  -   1,00252-   10 - 6  ( M P a ) - 1 - 5 ,  m  -   1,5,  dla  T
L
  =  422  K

A  =   2,50457-   10 - 7  ( M P a ) - 2 ' 2 6 6 ,  m  =   2,266,  dla  T
A
  =   588  K

P rzyję to,  że  pł yty  z  w/ w  m ateriał u badan e  są   w  tem peraturach  T
t
  i  T 4  przy  obcią ż eniu

p  =   0,025  M P a .

2.  T worzywa  sztucznego  E pidian - 53, dla którego  stał e w  tem peraturze  T   =  293K wynoszą :

A  =   E- 1  =   0,0003397  ( M P a ) - ',  m  =   1.

Obliczen ia  dla  pł yty  z  m ateriał u  Epidian- 53  wykonywano  w  zał oż eniu,  że  obcią ż enie
pł yty  wynosi"/ ;  =   0,005  M P a .

P ozostał e  param etry  geom etryczne  dla  pł yt  z  obu  m ateriał ów  przyję to:  a  =   125 mm,
b  =   225  m m ,  h  =  0,5  m m .

W  celu  uzyskan ia  ocen y  dokł adn oś ci propon owan ej  m etody  przeprowadzon o  badania
eksperym en taln e  ugię ć  pł yty  z  m ateriał u  Epidian- 53,  o  iden tyczn ych  j.w.  wymiarach
i  obcią ż en iu.

P ł ytę   przygotowan ą   d o  badań  przedstawia  rys.  3.

Rys.  3.  Pł yta  z  materiał u  Epidian- 53  zamontowana  na  stanowisku  do  badań

Badan ia  przeprowadzon o  m etodą   m ory  projekcyjnej  (7)  otrzym ują c  m apę   morową ,
dla  której  odległ oś ci  m ię dzy  są siednimi  pł aszczyznami  warstwowymi  wyn osił y:
dk+ifk  =   1,13  m m ,  gdzie  k  =  0,  1,  ...  10.

J a ko  rzu t n ika  do  rzu t owan ia  siatki  n a  powierzchnię   pł yty  uż yto  projektora  TS  107
„ M a lin ve r n o ".  Z e  wzglę du  n a  ukoś ną   projekcję ,  zastosowan o  odpowiednią   siatkę   otrzy-
m an ą   z  siatki  lin ii  równ o- odległ ych  drogą   przetworzen ia  optycznego  [2],  zapewniają c
o d wzo ro wan ie  się   jej  ja k o  ukł adu linii  równo- odległ ych.  F otografowan ie  przeprowadzono
a p a r a t e m  fotograficzn ym  o  identycznej  ogniskowej,  speł niają c  odpojwiednie  wymogi
o d n o ś n ie  lokalizacji  p u n kt u  fotografowan ia.



Rys.  4.  Powierzchnie  warstwowe  obrazują ce  poziomy  stał ych  ugię ć  pł yty  z  materiał u Epidian- 53. Stron a
lewa  przedstawia  warstwicową   m apę   morową ,  dla  której  odległ oś ci  mię dzy  są siednimi  pł aszczyznami
warstwowymi  wynoszą :  «Ł+ i/ * =   1,13  mm,  k  =  0, 1  10.  Strona  prawa  obrazuje  m apę   warstwicową

otrzymaną   na  drodze  obliczeniowej:
Symbol

0
1
2
3
4
5

ugię cie  mm
04- 0,3

0,84- 1,4
2,04- 2,5
3,14- 3,6
4,24- 4,8
5,34- 5,9

Symbol
6
7
8
9
A

ugię cie  mm
6,44-   7,0
7,64-   8,1
8,74-   9,2
9,84- 10,4

10,94- 11,2

Rys.  5.  Rozkł ad naprę ż eń zredukowanych  w/ g  hipotezy  H ubera- M isesa w  pł ycie  z  materiał u Epidian- 53
przedstawiony  w  formie  warstwie

Symbol
0
1
2
3

4

5

Zakres  wytę ż enia
0  4-   1,43  MP*a
4,304-   7,16  M P a

10,034- 12,90  M P a
15,764- 18,63  M P a
21,494- 24,36  M P a
27,224- 30,10  M P a

Symbol
6

7

8

9

A

Z akres  wytę ż enia
32,964- 35,83  M P a
35,754- 41,56  M P a
44,424- 47,29  M P a  '
50,164- 53,02  M P a
55,894- 57,32  M P a

Obszarom  oznaczonym  kropkam i  odpowiadają   wartoś ci  poś rednie  pomię dzy  są siednimi
zakresami  wytę ż enia

[349]



350 H .  KOP EC KI,  J.  SMYKLA

N a  rys.  4,  w  lewej  jego  czę ś ci  przedstawiono  warstwicową   mapę   morową .  Strona
prawa  przedstawia  mapę  warstwicową   otrzymaną   na  drodze obliczeniowej  dla  identycznej
pł yty.  Również  wytę ż enie  w/ g  hipotezy  H ubera- Misesa przedstawiono  w formie  warstwie
obrazują cych  jednakowe  poziomy  wytę ż enia  w  pł ycie  z  materiał u ^Epidian- 53  (rys. 5).

N a  rys.  6 przedstawiono  obliczone  rozkł ady ugię ć  oraz  naprę ż eń zredukowanych w/g
hipotezy  H ubera- Misesa  w  przekrojach  na  osiach  symetrii  dla  pł yty  ze  stopu  2014- T6.
Wykresy  te,  odnoszą ce  się   do  dwóch  temperatur wrysowano  w  kontur pł yty.

mml

olMPa] /

ajM P a]

Rys.  6.  R ozkł ady ugię ć oraz naprę ż eń zredukowanych w/ g  hipotezy H ubera- M isesa w  przekrojach na os
symetrii dJa pł yty  ze  stopu 2014- T 6 obcią ż onej ciś nieniem p  =   0,025  M Pa, w  tem peraturach:  T

t
  =   422 K

oraz  T
2
  — 558  K

5.  Wnioski

W  pracy  rozważ ono  zagadnienia  fizycznie  i  geometrycznie  nieliniowych  pł yt prosto-
ką tnych  w  stanie  bł onowym,  oparte  na  zastosowaniu  bikubicznych  funkcji  sklejanych.

Otrzymane  wyniki,  w  konfrontacji  z  przeprowadzonym  badaniem  eksperymentalnym
potwierdzają   dobrą   zgodność  zaproponowanego  uję cia  z  rzeczywistym  rozkł adem  defor-
macji.

Z aproponowana  metoda  zilustrowana  na  przykł adzie  pł yty  prostoką tnej  może  być
stosunkowo prosto uogólniona na zakres  pł yt i powł ok mał owyniosł ych o bardziej zł oż onej
geometrii  konturu.

Obliczenia  wykonywane  zaproponowaną   metodą   mogą   być  realizowane  na maszynach
cyfrowych  o  niezbyt  duż ej  pamię ci.



F U N KC JE  SKLEJANE  I  ZASTOSOWANIA  351

Literatura

1.  J. H .  AH LBERG ,  E. N .  N I LSON , J. L.  WALSH ,  T he theory splines and  their applications, Academ ic P ress,
New  York  and  London  1967.

2.  R.  FIN STERWALDER,  W.  H OF M AN ,  Photogrammetrie, Wyalter  de  G ruyter  and  C o. Berlin, 1968.
3.  Z.  KLEP ACKI,  Metoda  optymalizacji  podstawowych  parametrów  samolotu  rolniczego, P raca  doktorska,

Politechnika  Rzeszowska  1984.
4.  H . KOP EC KI,  Duż e  ugię cia malowynioslej powł oki o  konturze  prostoką tnym  z  materiał u o  wł asnoś ciach

T eologicznych,  IV  Sympozjon  P TM TS  poś wię cony  reologii,  Wrocł aw  1969.
5.  G . I .  M ARC Z U K,  Analiza  numeryczna zagadnień fizyki  matematycznej, P .W.N .  Warszawa  1983.
6.  P. M.  PREN TER, Splines and variational methods, A. Wiley- Interscience Publication, N ew  York- —London—

Sydney—Toronto  1975.
7.  J. J.  WASOWSKT,  Badanie  ugię ć  powł ok  techniką   warstwicowych  map  morowych,  Archiwum  Budowy

Maszyn,  23,  3,  1976.
9.  M ilitary  Standarization H an dbook,  Metalic  Materials  and  elements for  aerospace wehicle  structures,

1971.

8.  I O .  C .  3 AB H J I O B ,  B . Vi.  K BAC O BJ  B. J I .  M nPoiU H iM eH Ko, M eTofl  C I U I H SH   cbyH KuiMj  H 3fl.  3jH ayi< a"3
M ocKBa  1980.

P  e  3 30  M e

CnJIAfl[H- OyHKLI,HH   B  riPH MEH EH H H   K  AH AJIH 3Y  <S>K3W iECKK
H   TEOMETPH ^ECKH   HEJIHHEftHBIX  nP H M OYrOJItH BIX  nJIAC TH H

P a6oTa
H arpy3Koft  c ŷ eTOM   dpH3HyecK0H   H  reoM eTpH ^ecKoił   H ejimieH H ocTH .  Pe3yjn>TaTbi  TeopeTH ^ecKH x  H c c n e -

c ji yi a a  cJjHSH^ecKoń  nHHeHHOCTH  H  reoM eTpH ^ecKoił   H enH H eihrocTH   con oraaBjieH Bi  c p e -
3KcnepH MeH TajitH bix

S u m m a r y

SPLIN ES  I N  APPLICATION S  TO PH YSICALLY AN D   G EOM ETRICALLY  N ON LI N E AR
RECTAN G U LAR  PLATES  AN ALYSIS

The  paper refers  to the analysis  of  the rectangular plates  loaded  with  constant pressure.
Material  of  the plate  deforms  in  accordance to  the theory  of  nonlinear elasticity.
Results  of  calculations  of  linear  elastic  and  geometrically  nonlinear  deformations  of  the  plate  are

compared  with  experimental  results.

Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia 24  maja  1985  roku