Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z3.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 24 (1986) m DRG ANIA  SAMOLOTU   W  USTALON YM   RU CH U   SPIRALN YM * JERZY  MARYNIAK IT L iMS  Politechnika  W arszawska JĘ D RZEJ  TR AJE R IMRiL   Akademia  Rolnicza W arszawa 1.  Wstę p W  przedstawionej  pracy  zaprezentowano  metodę   badań  mał ych  drgań  samolotu okoł o  poł oż enia  równowagi  w  spirali  ustalonej  [1, 2, 4]. Analiza  zagadnienia jest  utrudniona ze wzglę du  na niepeł ne dane  doś wiadczalne  oraz rozbudowany  aparat  matematyczny.  D o  rozwią zania  wykorzystano  metody  numeryczne, które  pozwolił y  na  szybkie  wyznaczenie  wartoś ci  liczbowych. U zyskano  wynikiu  moż liwiają ce  ocenę   wł asnoś ci  lotnych  projektowanego  samolotu w warunkach  lotu  przestrzennego  i  bardziej  racjonalną   jego  konstrukcję . 2.  Model  fizyczny  zjawiska Przyję to  nastę pują ce  zał oż enia  modelu  fizycznego  zjawiska  [1, 5]: 1.  Samolot  traktowany  jest  jako  ukł ad  mechaniczny  sztywny  o  sześ ciu  stopniach swobody,  rys.  1. R ys.  1.  Parametry  kinematyczne  lotu  samolotu *ł   F ragmenty  pracy  został y  przedstawione  n a  I X  Sympozjum  „ D rgan ia  w  ukJadach  fizycznych", maj  1984,  Biaż ejewko  k.  P oznania. 378 J.  M ARYN IAK,  J.  TRAJER 2.  Samolot  charakteryzuje  się   konwencjonalną ,  symetryczną   i  zwartą   budową . 3.  Ś rednie  ką ty  natarcia  na  pł acie podczas  wykonywania  spirali  ustalonej  nie prze- kraczają   wartoś ci  krytycznych. 4.  Wychylenie  powierzchni  sterowych:  lotek,  steru  kierunku  i  steru  wysokoś ci  mają tylko  wpł yw  parametryczny  na wartoś ci  sił  i m ^ e n t ó w  sił  aerodynamicznych. 5.  Ruch okrę ż ny  samolotu ze zmniejszeniem wysokoś ci po trajektorii  ś rubowej  przyję to jako  ruch  w  spirali,  rys.  2. 6.  Oś  spirali  ustalonej  i  wektor  cał kowitej  prę dkoś ci  ką towej  leży  w  osi  grawita- cyjnej. Rys.  2.  Spirala  ustalona Przy  budowie  modelu  fizycznego  szczególne  znaczenie  ma  prawidł owa  interpretacja oraz wł aś ciwe wprowadzenie  do modelu dział ają cych i mogą cych wystą pić  sił  zewnę trznych. Wyróż niono  nastę pują ce  grupy  sił   [1,4]: —  sił y  pochodzenia  aerodynamicznego  (wyznaczono  metodą   numeryczną ,  uwzglę dniono oddział ywania  wynikają ce  z  wychyleń  powierzchni  sterowych), —  sił y  od  urzą dzeń  napę dowych  (uwzglę dniono  oddział ywania  zespoł u  napę dowego w  tym  efekt  giroskopowy  elementów  wirują cych), —  sił y  bezwł adnoś ci, —  sił y  grawitacyjne. 3. Model matematyczny D o  opisu  dynamiki  samolotu  w  spirali  ustalonej  przyję to  nastę pują ce  ukł ady współ - rzę dnych,  rys.  3,  [4,  5]: —  nieruchomy  ukł ad  grawitacyjny  zwią zany  z  Ziemią   Ox t y±z t , —  ukł ad  grawitacyjny  Ox g y g z g   zwią zany  z  poruszają cym  się   samolotem  i  równoległ y do  ukł adu  nieruchomego  Oxiy x z\ ., —  ukł ad  prę dkoś ci  Ox a y a z a   zwią zany  z  kierunkiem  przepł ywu  oś rodka  omywają cego obiekt, —  ukł ad  Oxyz  sztywno  zwią zany  z  samolotem,  zwany  samolotowym, D R G AN I A  SAMOLOTU   W  RU CH U   SPIRALNYM 379 Rys.  3.  Przyję te  ukł ady  odniesienia —  ukł ad  Ox,y s z s   obrazują cy  konfigurację   samolotu  wzglę dem  toru  lotu  zwany  ukł adem spiralnym. D o  analizy  zagadnienia  wykorzystano  wyprowadzone  równania  ruchu  samolotu [4, 5] w  zmiennych  a  —  ką t  natarcia, /? —  ką t  ś lizgu,  V c   — prę dkość  lotu,  P —  ką towa prę dkość  przechylenia,  Q  —  ką towa  prę dkość pochylania, R  —  ką towa  prę dkość  odchy- lania.  Równania  te  rozszerzono  o  dodatkowe  zwią zki  kinematyczne  dla  0  —  ką ta  prze- chylenia  i  0  — ką ta  odchylenia  [4]: dt I  x  • \ mV c (1) sin/ 3+ jRlcosa+ —^r- cos/ J—  I—=^~  sin/ 3—P)  sin a,  (2) si——-   =   —C OSOC C OS/ SH   sin/ 3 H   ^ in a c o s/ J , dt  m  tn  •   m (3 ) (4 ) dt (5 ) 380 J.  M ARYN IAK,  J.  TRAJER dR dt J X J Z dt =   P + Qsin0tg6  + Rcos&tgO, d& dt (6) (7) (8) gdzie:  m —  masa  samolotu, J x ,  J y ,  Jz — moment  bezwł adnoś ci  samolotu  odpowiednio  wzglę dem  osi  Ox s Oy,  Oz, J xy ,  J xz ,  J yz   —  momenty  dewiacyjne  samolotu, F  =   col [X,  Y, Z,  L ,  M, N ] — wektor  sił   zewnę trznych, F a   =   col [A'", Y", Z", L ",  M°, N a] —  wektor  sił   i  momentów  sił   aerodynamicznych, przy  czym  F a   =  F a (z,  Q,6 S ), oraz F  = (9) X~  rX a - - mgsm@  + T coś 5 Z  Z"+mg  cos  @cos&- T sind L   =   L I M  M"+T - e+J T a> T R gdzie:  J T —moment  bezwł adnoś ci  wirnika  wzglę dem  osi  obrotu  wł asnego, d — ką t  odchylenia  wektora  cią gu  T  od  osi  Ox  w  pł aszczyź nie Oxyz, e — mimoś ród  mię dzy  linią   dział ania wektora  cią gu  a  poł oż eniem ś rodka  masy samolotu, (ii T  — prę dkość  ką towa  czę ś ci  wirują cych  silnika  (prawoobrotowy). W  oparciu  o  powyż sze  równania  opracowano  program  numeryczny  wyznaczają cy parametry  lotu  ustalonego  tzn.  punkt  równowagi  spirali  ustalonej  [2, 4,  5], a  nastę pnie badano  zaburzenia  tego  ruchu. U kł ad  równań  ruchu w  postaci  normalnej  ma nastę pują cy  zapis  macierzowy ż =f(z),  •   (10) gd z ie : z  —  c o l[ a ,  / ?,  V c ,  P,  Q,  R,  ,6]. U kł ad  (10) zlinearyzowano  w punkcie równowagi  z* i badano zaburzenia ruchu w blis- kim  otoczeniu tego punktu metodą  Lapunowa [2, 3, 5].  M etoda ta nie wymaga  znajomoś ci rozwią zania  ogólnego  wyraż onego  przez  funkcje  elementarne i  w  przypadku  zlinearyzo- wanego  równania  róż niczkowego  pierwszego  rzę du  . i  =   Az,  (U ) D RG AN IA  SAMOLOTU   W  RU CH U   SPIRALNYM 381 Sprowadza  się   d o  wyzn aczan ia  wartoś ci  wł asn ych  Xj i  m acierzy  st an u  A  i  o d p o wiad ają c ym im  wektorem  wł asn ym  [2, 3]. Linearyzują c  u kł ad  ró wn ań  ru c h u  w  pun kcie  równ owagi  z*  i  pom ijają c  m a ł e  wyż szego rzę du  o t rzym am y: da  dada da •   dP R  = 0  = da dii da ~da~ da. "Iff* 8V C dp ' BP ~dp~' "W dR "W 80 'W da, 1L da TR di 80 dP dR d0 3VV ił BP 8K dP dP ~dF dR d4 > 80 ~8F P + 8Q dV c 8P dR 8Q 80 8Q q+ dR dP ~M dk W 80 'W r+ •   ©  . ©  ,  o o o o o o «a  sr  *-<   o o o o o o o c j o o o x d o d o o o d c J o o *  „  „>   3 S S S S 8 S S S S 8 ° g s 8  S o  8 8 S S S Mr  r i  o o o o o o  o  o d o o °  d o d o  d o d o  o  d I I I  I I  I t 1 t  1  i  1  1  1  1  I t~  I T !  r H O  O  N .  O  >- <  n h  oo « r.  t j-   e S O O O O O O O O O O O O C S o S ^ - S o o S S S  i  i  i  i  i  i  i  I I I  i  i  i  i  i  i  i  i  i "3  S i g ^ O o o o r A r - l ^ ' o i - M i n t S i r t M O m o v O Q QO 2  »  m  » - " ! - i < ' i N > n > - H O \ m * - ! ' n * - ! » - i > - i T - ( _ i v > r 4 « » » m i< - i v - i Vi c  >-H  o o o o o o c 5 d o c i e > d d o d c ) ' d d c > c > o c ) '•3  s  i. i  I I  i  i  i i ( _H  ^  '  '  '  '  — — ^  —  1  '  — — — — — — — — — • g.  »  fS  ( S O r n O t S O O T - ł O ^ - i O O O t S O n O m c S r - i r - ł i -i ™  * ^  r i  d o d o d o d d o d o ' d d d d d d d d d d d '$•   1  1  1  1  1  1  1  1  1 o S  ^ • " t O f ^ f N w - i ' o o o r - i m O ^ o o o o • 0   « I I - H  t — m  n »  > n  > n  r i  o > n  n  t o  i n  m  i n B"  >-H  ó o ó o ó i - i o ó ó d c i r A c i ó ó c i ó c S ó o ó i Z i .|   s  I I  1  1  1  1  1  1 1 I  1  1 S  • « * c s a s "< * " 0 ' r - < o c s a \ r ^ O o s v o ^ - i O ^ ( S i o o \ ^ c < i c n 3  wi  O  H H  t n ̂   M   t n- os  t - i o o i - H i — i i ^ - o o o i r i < S t n c n r ^ ł - ł r - i r -ł a  J4J. i-<   d ^ o o o » - i o o o o * - H O o o ^ o o o d o o o -g  1 ! + 1  1  1  1 1 1  !  1 >i  — ,  , —  . ^ — , — ~ — _ 3  i n v o  CTV  O O O M Bo  • » C T \ r ~ l n  0 ^  r - i - i o  i s H  R"   d c - i o o o » - i d d d d < s - r - ł o " o d o r ó d o o od 1 =  ' +  ' 2   ĉ   N o o o \ 1 " ł O * o m » i « » * M n » O n f f l < n i » « °*   T f n ^o o ^o o H ' o o ^' ^^f f i O ' - i ^i ' n S w i n r t i HQ oj  ̂ op  ł - i T j - o o T - i ^ c i n ^ y S ^ ^ ^ r - o o o o r - t ^ - o o o o ^ ^ o so a  ' ^  d d d r - i d v 4 < - < d d d c > d i - i d i - i d c > o d d o c> K  I I I  1  1  1  1  I I I  1  1  1  1  1  1  1 E3  O f t c i ^ h o O f S i n w w i f t m B M T j - o i N H H N m m a  m i o O N C - i T i - y o t o r - l K i r - o - H l o m & c - l r ł w i r ^M o oM 3  n  f ,   r ~ > n c s ^r < ^o o t ~ t - ~ f ~ t ^t S t - - o ov O ' - i c s f ~ t ~ - o o t ~ - C T» to  B"  riM mM nmNNNNNmNcirimnplNNM M > ,  J  I I  I I I  I I  I I  I I O  S  l O O O C A t ^ - m O O ' ^ t ^ - ^ O O V ' O ' n O O I ^ O O O V O f n m T j - C X S t J- S  m  vn  m T f r n t — m - ł O c S f S r ^ ^ ^ t s n f S m p ^ c - i D f S c SN S  **»  d d d d d d d d d d © d d o o* d o o o d o d ^  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i  1 1 1 1 1 1  1 «t  o o m T ł - t - o o r N i m o o o o t n o o o o ^ w m ^ - i ^ f S f O c* 0  m ^ ( ^ N * l l ! l n h 1 ^ » H » ^ n » ^ ^ i l n ^ • f ^ ! ? N S  M   «o  t - O N H « H ( » f -   r - t ^ > n N r - o o \ O r H - < j - t ~ - r ~ o o r - - ov *>  B"  N m m N m r Ó N N N N m m N N N m m N N N N N *  i l l  II  11  II  1 *O  ox •H  " !  _  ̂ rtffił âmM UitinoomifioinifiniKi *̂ * >•   "MJI  d d d d d d d d d d o o d o o o o o o o o o ^  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 O  O m H  m  B  . . . . ' 0 . . . . . x i : S"  o m O O O O O O O O e n O O O O O r n O O O O O 1  1 *  ̂ o o f n m ^ ^ o w - i o o ^ > o o o o o o ° o o o .   ^ t ^ r - t i n O f ^ o o r ^ \ D  ̂ > n t —  o o ^ ^ l o O C ^ ł - H O O T H l ^ - t ^ ^ n i ^ O N ^ r t ^ - r - i t — t ł — ( T —i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I  1 1 1 1 1 1  1 .si,  p  '. >  H [383] 384  J.  M ARYN IAK,  J.  TRAJER a  nastę pnie  wartoś ci  wł asne  Xj macierzy  Jacobiego  R  ukł adu zlinearyzowanego  równań ruchu. N a  podstawie  otrzymanych  wyników  przeprowadzono  analizę  zaburzeń  ruchu samo- lotu  w  spirali  ustalonej. Samolotem  testują cym  był   poddź wię kowy  samolot  odrzutowy  TS- 11  „ I skra". Analizę  przedstawiono  dla  róż nych  zmian: —  param etrów  lotu  (wersja  Stand,  ...,F), —  cią gu  silnika  (z uwzglę dnieniem  i  bez  uwzglę dnienia  zjawiska  giroskopowego)  i wyso- koś ci  lotu  (wersja  G,  ..., M), —  czynników  konstrukcyjnych,  (wersja  N ,  ...,  Z)  TABELA  1,  patrz:  „Analiza nume- ryczna  parametrów  lotu  i  sterowania  samolotu  w  ustalonym  ruchu  spiralnym". Przy  ocenie  zaburzeń  ruchu  zwracano  szczególną  uwagę  na  wartość  wł asną  X x   (od- powiadają cą  zmianom  ką ta  natarcia  a), gdyż  wartość  ką ta  a  ma  decydują cy  wpł yw na wartość  sił   i  momentów  aerodynamicznych. Przy  ocenie  zaburzeń  kierowano  się  nastę pują cymi  kryteriami a)  Zj  =  Sj  dla  £j  >  0  aperiodyczny  ruch  rozbież ny, dla  ij  <  0  „   „   tł umiony, b)  Aj  =   ij  +  i- rjj  ruchy  okresowe  sprzę ż one, c)  £j  =   / Re Xjj  iloś ciowe  uję cie  statecznoś ci  lub  niestatecznoś ci  ruchu  —  współ czynnik tł umienia, d)  rjj  m  jlnxXjl  wartość  charakteryzują ca  czę stotliwość  drgań  ruchu  odpowiadają cego rozwią zaniu  szczegół owemu — czę stość  drgań, e)  Xj  =   Rjt'- i'  rozwią zanie  szczegół owe, f)  T j  —  okres  wahań, g)  T ±j  =  r—czas  stł umienia  amplitudy  do  poł owy, «7 h)  d  = ———  dekrement  ruchu,  wyraż ają cy  iloś ciową  zmianę  rozwią zania  w  cią gu sekundy. 5. Wnioski 1.  P rzedstawiona  metoda  badań  zaburzeń  ruchu  ustalonego  w  spirali  dostarczył a wiele cennych  informacji  poznawczych  o  zjawisku,  które  mogą  być  wykorzystane  w pro- jekcie  wstę pnym  samolotu. 2.  P rzedstawiona  metoda analizy  dostarcza  wszelkich  danych  o  zaburzeniu  ruchu samo- lotu  w  przypadku jego  peł nej  trójwymiarowoś ci.  Zastosowany  model cyfrowy  obliczeń umoż liwia  ł atwą  i  szybką  analizę. 3.  P rzedstawiony  model  matematyczny  i  cyfrowy  ł atwo  może  być  rozszerzony  o  do- datkowe  stopnie  swobody,  jak  odkształ calność konstrukcji  i  ukł adu  sterowania. 4.  P rzedstawione  wyniki  wskazują  duży wpł yw  na wł asnoś ci dynamiczne samolotu zmiany masy i  wyważ enia. D R G AN I A  SAMOLOTU   W  RU CH U   SPIRALNYM  385 Literatura 1. W.  F ISZ D ON ,  Mechanika lotu,  Czę ś ć  I  i  II,  PWN  Łódź, Warszawa  1961. 2.  R.  G U TOWSKI,  Podstawy  teorii statecznoś ci ruchu  ukł adów dyskretnych  i  cią gł ych,  WP W  Warszawa 1981. 3.  J.  LA SALLE,  S.  LĘ F SCH ETZ,  Zarys  teorii stabilnoś ci  L apunowa i jego  metody  bezpoś redniej,  P WN   War- szawa  1966. 4.  J.  MARYN IAK,  Dynamiczna  teoria  obiektów  ruchomych,  Prace  N akowe  Politechniki  Warszawskiej, Mechanika  N r  32  WPW  Warszawa  1976. 5.  J.  TRAJER,  Modelowanie  i  badanie  wł asnoś ci  dynamicznych  poddź wię kowego  samolotu  odrzutowego w sterowanym  ruchu  spiralnym,  P raca  doktorska,  Politechnika Warszawska  Warszawa  1983. P  e 3  IO  M  e KOJIEEAH H fl  C AM OJlfiTA  B  yC TAH OBH BU I E M C JI  C P H P AJI BH OM JJBHDKEHHH B  CTaThe npeflCTaBJieiio  MeioH  TeopeinqecKHX  HccnefloBainm  Majitix  KoJieSanuft  caiviojieTa  BOKpyr nOJIOJKeHHH   paBHOBeCHJI  B  yCTaHOBHBIIieMCH   CimpaJIBHOM   flBH >KeH H H . IIpHHHMaH   TeopHIO  MajIblX  BO36y>KfleHHH   JlHHeapH3HpoBaH0  ypaBHeHHH   npodpaH C TBeH H Oro  flBH - jKeHHH  caMOJieTa.  ^ H C J ie r n a ie  Bbi^H cuein iH   CBefleno  K pacne'TaM   coG cTBeHHbix  3H aieH H H   H   coTBeTCTBy- iornHM   HM  coScTBeHHbiM   BeKTopaM.  n pH Beflen o  pac^eTbi  JI JI H   caMOJieia  KJiacca  T S- 11  „ I s k r a " . S u m m a r y TH E  VIBRATION S  OF   AIRPLAN E  I N   A  STEAD Y  SPIRAL M OTION In  the  paper a method of analysis  of airplane small wibrations about the  equilibrium position in a steady spiral  motion  is  presented. The  motions disturbances near equilibrium point are diseussed  according to Lapunow m ethod. The ana- lysis  is  based  on  a  full  set  of  motion  differential  equations,  linearised  in  accordance  with  the  theory  of small  disturbances. A  comparative  analysis  of  results  for  selected  parameters is  presented. Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  26  wrześ nia 1985  roku 10  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3/86