Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z3.pdf M E C H A N I K A TEORETYC Z N A I  STOSOWAN A 3,  24 (1986) ANALIZA  PORÓWN AWCZA  MOD ELI  SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZN EGO  PRĘ TA POD   D ZIAŁAN IEM  ZG IN AN IA,  SIŁY  P OD Ł U Ż N EJ  I  TEM PERATU RY* M AR EK  STOD U LSKI M I C H AŁ  Ż YC Z KOWSKI Politechnika  Krakowska Problem prę ta, bę dą cego  pod dział aniem zginania, sił y osiowej i temperatury w  zakresie sprę ż ysto- plastycznym,  pozornie  prosty,  natrafia  na  trudnoś ci  przy  okreś laniu  charakte- rystyk  wią ż ą cych  uogólnione  sił y  i  uogólnione  przemieszczenia.  W  pracy  analizowano kilka  modeli  takiego  prę ta,  nawią zują cych  do  odkształ calnych lub  sztywnych  elementów skoń czonych. Porównanie modeli  przeprowadzono pod ką tem  wykorzystania  ich  do opisu rurkowego  podł oża pł yt  sitowych  w  wymiennikach  ciepł a i  reaktorach chemicznych. 1.  Wstę p W  pracy  rozpatrywany  jest  prę t  pryzmatyczny,  obcią ż ony  n a  koń cach  sił ą   osiową i  momentem zginają cym  z  uwzglę dnieniem  wpł ywu  zmiany  temperatury n a przemieszcze- nia  osiowe.  Tak  obcią ż one  prę ty  mają   swoje  odpowiedniki  w  rzeczywistych  konstruk- cjach  n p. w  szeroko  stosowanych  w przemyś le  energetycznym  i  chemicznym pł aszczowo- rurowych  wymiennikach  ciepł a  i  reaktorach  chemicznych.  Jednymi  z  elementów  tych aparatów  są   rurki, których  koń ce mocuje  się   (roztł acza, spawa) w  perforowanych pł ytach zwanych  pł ytami sitowymi.  Obcią ż enie  cał ego ukł adu cis'nieniem i  temperaturą   wywoł uje ugię cia  obu  pł yt,  które  wymuszają   przemieszczenia  i  obroty  koń ców  współ pracują cych z  nimi  rurek.  Z  kolei  rurki  oddział ują   na  pł yty  sił ami  i  momentami  wywoł anymi  ich zmienioną   konfiguracją .  W  tym  przypadku  rurki  są   w  stosunku  do  rozważ anego prę ta dodatkowo  obcią ż one  róż nicą   ciś nień  na  wewnę trznej  i  zewnę trznej  powierzchni.  Efekt ten  bę dzie jednak  pominię ty w  obecnej  pracy. Przy  ograniczeniu  się   do  symetrycznego  obcią ż enia  obu  koń ców  prę ta  jego  pracę w  poszczególnych  zakresach:  sprę ż ystym,  jedno-   lub  dwustronnego  uplastycznienia, moż na  opisać  dwoma  zwią zkami  typu $ t (U 0 ,e 0 ,M 0 ,N 0 ,AT )  =  Q,  i- - 1,2,  (1.1) *»  Praca  został a  wykonana  w  ramach  probl.  wę zł.  05.12.  -  02.9. 404  M .  STOD U LSKI, M .  Ż YCZKOWSKI gdzie:  U a ,  © 0   —  przemieszczenie  osiowe  i  ką t  obrotu  koń cowego  przekroju  prę ta, M o ,  N o   —  moment  zginają cy  i  sił a  osiowa  na  koń cu  prę ta,  AT —jednorodna  dla cał ego  prę ta  zmiana  temperatury.  D la  dalszych  zastosowań  korzystne  jest  rozwikłanie tych  zwią zków  bą dź  do  postaci bą dź  do  postaci  odwrotnej C/o  = ( L 3 ) Zwią zki  te bę dziemy  nazywać  charakterystykami  prę ta. We  wspomnianych  konstrukcjach rurki  pracują   w  warunkach  zbliż onych  do  wymuszenia  kinematycznego;  dla  zadanego na obu koń cach U o   i O 0   należy wyznaczyć N o   i M o .  Tak postawione zagadnienie sprowadza się   do  wyznaczenia  charakterystyk  w  postaci  (1.2).  W  pracy  przyję to  za  dodatnie siłę rozcią gają cą   oraz  przemieszczenie  powodują ce  zmniejszenie  odległ oś ci  pomię dzy  koń- cowymi  przekrojami  prę ta,  które  odpowiada  dodatniemu  ugię ciu  pł yty.  D odatni znak momentu jest  natomiast zgodny  z  dodatnim znakiem  ką ta. Analiza  statyczna  lub  dynamiczna  konstrukcji  prę towych  —  stosunkowo  prosta w  przypadku  liniowoś ci  fizycznej  materiał u  (sprę ż ystość  lub  liniowe  peł zanie) —  staje się   znacznie trudniejsza  w  przypadku  materiał ów fizycznie  nieliniowych.  Trudnoś ci te — nawet przy ograniczeniu się  do jednoosiowego  stanu naprę ż enia w poszczególnych punktach prę ta  (rozcią ganie — ś ciskanie i zginanie) — pojawiają   się  na dwóch szczeblach: na szczeblu przekroju,  przy  wyprowadzaniu  „ integralnych"  równań  konstytutywnych  wią ż ą cych uogólnione  sił y  wewnę trzne  i  uogólnione  odkształ cenia  oraz  na  szczeblu  cał ego  ciała, gdy  poszkujemy  zależ noś ci  mię dzy  parametrami  obcią ż eń  i  charakterystycznymi  uogól- nionymi  przemieszczeniami.  D la  prę ta  o  zmiennym  wzdł uż  osi  momencie  zginają cym n a  ogół   nie jest  moż liwe  analityczne  wyznaczenie  charakterystyk  w  jawnej  postaci  (1.2) lub  (1.3). D rogi  pokonywania  powyż szych  trudnoś ci  moż na  podzielić  na  dwie  grupy.  Grupa pierwsza  ma  charakter czysto  numeryczny i sprowadza  się   na  obu  szczeblach  do przepro- wadzenia  cał kowań wzorami przybliż onymi  o moż liwie  duż ej dokł adnoś ci. Takie podejś cie, nawią zują ce  do  róż nych  wariantów  metody  róż nic  skoń czonych,  może  istotnie zapewnić dużą   dokł adność wyników  koń cowych  wykazuje jednak  nastę pują ce  wady, które niekiedy mogą   być  istotn e:  (1)  utrudnia  analizę   jakoś ciową   przez  nadmierny  nacisk  na  stronę numeryczną   przy  jednoczesnym  oderwaniu  się   od  interpretacji  fizycznej  i  inż ynierskiej, (2)  n a  ogół   nie  zezwala  na  wyprowadzenie  prostych  wzorów  koń cowych,  mogą cych sł uż yć  do  dalszych  zastosowań.  N atomiast  druga  grupa,  nawią zują ca  do  róż nych  wa- riantów  metody elementów skoń czonych, ma  znacznie wyraź niejszą   interpretację  fizyczną . W  przypadku  niewielkiej  liczby  elementów  mówimy  o  modelowaniu  konstrukcji  rzeczy- wistej;  w  ten  sposób  tworzone  modele nadają   się   szczególnie  dobrze  do przeprowadzenia an alizy  jakoś ciowej. Przedmiotem obecnej  pracy  bę dzie  porównanie  charakterystyk  paru  tego  typu  modeli AN ALIZ A  PORÓWN AWCZA  MODELI  P&Ę TA  405 o  kilku  stopniach  swobody,  wyznaczonych  metodą   analityczno- numeryczną.  Charakte- rystyki  te  mogą   być  nastę pnie  wykorzystane  jako  charakterystyki  podł oża  dla  współ - pracują cych  z  prę tami  (rurkami)  pł yt  sitowych. 2.  Modele N a  szczeblu  przekroju  modele  zastę pują   przekrój  rzeczywisty  przez  wielopunktowy (wielowarstwowy),  co  prowadzi  do  zastą pienia  cał kowania  przez  sumowanie.  Jedynie przekrój  dwupunktowy  (teoretyczny  dwuteownik)  jest  przy  tym  statycznie  wyznaczalny (przy zginaniu w pł aszczyź nie gł ównej) co umoż liwia zarówno wyraż enie  sił  wewnę trznych przez  naprę ż enia,  jak  i  na  odwrót,  niezależ nie  od  równań  konstytutywnych.  Zasady doboru  zastę pczych  przekrojów  wielopunktowych  przy  sprę ż ysto- plastycznym  zginaniu z siłą   podł uż ną  podał   J.  Orkisz  [18,  19]; nieco  inne  podejś cie  zaproponowali  J,  Kruż e- lecki i W.  Krzyś  [15], ograniczają c  się   do przypadku  czystego  zginania,  ale  uwzglę dniając moż liwość  wzmocnienia  plastycznego.  Zastosowanie  koncepcji  przekrojów  zastę pczych do  obliczenia  ugię ć  sprę ż ysto- plastycznych  wielopunktowych  belek  nierozcią gliwych podali  J.  Orkisz  i  M.  Ż yczkowski  [20]  (mał e ugię cia)  i  [21]  (duże ugię cia),  belek  rozcią g- liwych  —  Z. Waszczyszyn  [29], ł uków —  M. Radwań ska  i Z. Waszczyszyn  [22,  23]. Znacznie wię ksze moż liwoś ci  modelowania wystę pują   przy  analizie  prę ta jako  cał oś ci. Modele  takie  podzielimy  na  dwie  grupy:  nawią zują ce  do  sztywnych  elementów  skoń czo- nych i nawią zują ce  do  odkształ calnych elementów  skoń czonych. Metoda  sztywnych  elementów  skoń czonych  został a  opracowana  w  sposób  ogólny przez  J.  Kraszewskiego  [14],  W.  G awroń skiego  i  J.  Kraszewskiego  [7,  8],  gł ównie  dla analizy  drgań, jednak  prostsze  koncepcje  tego  typu  w  odniesieniu  do  zagadnień  statecz- noś ci  prę tów  są   znacznie dawniejsze.  Jako pierwszą   należy  tu  wymienić  rozprawę   habili- tacyjną   H . H encky'ego  z  r.  1920  [4], który  wprowadził   metodę   „ ł ań cucha  o  przegubach sprę ż ystych".  N ajbardziej  znanym  modelem  tego  typu jest  model  o jednym  stopniu  swo- body  (prę t  sztywny,  odkształ calny  element  skupiony  w  utwierdzeniu),  podany  przez H. Wagnera  [28]. Analiza  zjawisk  flatteru  wymaga  modeli o  conajmniej  dwóch  stopniach swobody;  odpowiednie  uogólnienie  zaproponował   H .  Ziegler  [30],  Stateczność modeli wykorzystują cych  sztywne  elementy  skoń czone  był a  bardziej  szczegół owo  badan a  przez J.  N aleszkiewicza  [16], A.  R.  Rż anicyna  [24], J.  M.  Thompsona  i  G.  H un ta  [27].  Bar- dziej  zł oż one modele  zaproponował  A.  Chajes  [3]. W  zakresie  sprę ż ystym  lub  liniowego  peł zania modele  o  sztywnych  elementach  skoń- czonych  mogł y  bez  trudu  być  ł ą czone  ze  ś cisł ym,  dowolnym  kształ tem  przekroju  prę ta, gdyż  kształ t ten jest  wtedy  bez  wię kszego  znaczenia: jest  on  wystarczają co  scharaktery- zowany  momentem  bezwł adnoś ci  I  i  polem  powierzchni  przekroju  A.  Sytuacja  ulega zasadniczej  zmianie  przy  nieliniowym  peł zaniu  lub  w  zakresie  sprę ż ysto- plastycznym. Wtedy  najprostszy  model  kombinuje  drugi  element  sztywny  z  krótkim  elementem  od- kształ calnym  o  przekroju  dwupunktowym  (lub  inaczej  z  dwoma  krótkimi  prę tami  od- kształ calnymi). Model taki zaproponowali E. I. Ryder  i  F . R.  Shanley  [25]; miał   on zasad- nicze znaczenie dla rozwoju  współ czesnej  teorii  wyboczenia  sprę ż ysto- plastycznego.  Zmo- dyfikowany  model  Shanley'a  analizują   w  swoich  pracach  G . Ballio,  F .  P erotti  [1]—ele- ment  odkształ calny  ma  wielopunktowy  przekrój  —  oraz  K.  Kawashima,  S.  Kimura [11] —  kilka  sztywnych  elementów  poł ą czonych odkształ calnymi  elementami o  przekroju 406 M .  STOD U ŁSKI,  M .  Ż YCZKOWSKI z  jedną   osią   symetrii  sprowadzonym  do  wielopunktowego.  W  niektórych  przypadkach moż liwe  jest  poł ą czenie  elementów  sztywnych  z  elementami  odkształ calnymi  o  danym, nie  podlegają cym  uproszczeniu  kształ cie  przekroju:  C. R.  Calladine  [2], M.  Ż yczkowski, A.  Z aborski  [34],  K.  Kowalczyk  [13],  K.  Kawashima,  S.  Obata  [12],  S.  D orosz  [6]. M odel  uwzglę dniają cy  dwuosiowy  stan  naprę ż enia  charakterystyczny  dla  utraty  sta- tecznoś ci  powł ok,  zaproponował   M.  Ż yczkowski  [31];  dwuwarstwowy  przekrój  ułatwia analizę   w  zakresie  niesprę ż ystym. M etoda  odkształ calnych  elementów  skoń czonych,  zaproponowana  w  formie  ogólnej z  koń cem  lat  pię ć dziesią tych,  został a dość szybko  przystosowana  do  przybliż onej  analizy statecznoś ci  prę tów  (B. J.  H artz  [9],  G . W.  H icks  [10],  D . A.  N ethercot, K. C. Rockey [17]).  Charakterystyczną   dla  modelu  poglą dowość  a  jednocześ nie  niezbę dną   prostotę w przypadku nieliniowoś ci fizycznej  materiał u otrzymuje się  jedynie w przypadku elementów o  stał ej  krzywiź nie,  gdyż  wtedy  równanie  konstytutywne  wyprowadzone  dla  jednego przekroju  obowią zuje  w  cał ym  elemencie.  Dwuelementowe  (dwukrzywiznowe)  modele tego  typu  bę dą   analizowane  w  obecnej  pracy;  jeden  element o  stał ej  krzywiź nie  nie jest wystarczają cy,  gdyż nie może opisać wystę pują cych  w  rzeczywistym  prę cie  punktów prze- gię cia.  D odatkowo  przyję to,  że  punkt  „zszycia"  odkształ calnych  elementów  o róż nych krzywiznach  jest  ustalony  i  okreś lony  parametrem f0  =   hll- Spoś ród  wielu  przedstawionych  kombinacji  modelu  o  odkształ calnych  i  sztywnych elementach  skoń czonych  z  róż nymi  kształ tami  przekrojów  w  pracy  przeprowadzono analizę : —  dwukrzywiznowego  modelu  o  odkształ calnych elementach skoń czonych  (OES) z dwu- punktowym,  prostoką tnym  i  pierś cieniowym  przekrojem  poprzecznym,  rys.  la ; Rys.  1.  M odele  p rę t a:  a)  o  odkształ calnych  elementach, skoń czonych  (OES)  b)  o  sztywnych  elementach skoń czonych  (SES) AN ALIZ A  PORÓWNAWCZA  MODELI  PRĘ TA 4Q7 —  m odelu  o  sztywnych  elem en tach  skoń czonych  (SES)  z  dwupunktowym  przekrojem elem entu  odksztalcaln ego,  rys.  lb . W  m odelu  SES, dla  opisan ia  wystę pują cych  w  rzeczywistym  prę cie pun któw  przegię cia trzeba  wprowadzić  dodatkowe  elementy  odksztafcalne,  w  stosunku  do  modelu  zapropo- n owan ego  przez  F . R.  Shan ley'a  [25].  Analizowane  przekroje  z  wymiarami  i  charakte- rystycznymi  wielkoś ciami  po kazan o  n a  rys.  2.  Efektem  analizy  każ dego  z  modeli  jest okreś lenie dla  sprę ż ysto- plastycznego  zakresu  pracy  przekrojów  zależ noś ci N 0 (U 0 ,  Q Q ,AT ) iM o (U o ,0 o ,  AT )  i  ich  porówn an ie. a) b) c) M g ^ - H &~ 0 N e r * z •  H  ' - °b Rys.  2.  Rozpatrywane  kształ ty  przekroju K.  Kawashim a,  S.  O bat a  [12] i  K.  Kawashim a,  S.  Kim ura  [11] analizowali  pokrytyczne zachowan ie  się   m odelu  prę ta  w  stanie  niesprę ż ystym  podają c  m.in.  graficznie  zależ ność sił y N o   od  strzał ki ugię cia  dla  m ateriał u ze wzmocnieniem.  G . Ballio,  F . P erotti  [1] i S. D o- rosz  [6] podali  równ ież  graficznie  zależ ność  N 0 (U 0 )  przy  cyklicznych  obcią ż eniach  modelu prę ta  wykon an ego  z  m ateriał u  idealnie  sprę ż ysto- plastycznego.  W  pracach  tych  modele obcią ż one  są   tylko  sił ą   osiową   (w  [11]  dodatkowo  poprzeczną )  przył oż oną   do  koń ców mają cych  cał kowitą   swobodę   obrotu. W  pracy  obecnej  oprócz  sił y  osiowej  uwzglę dniono  skupiony  n a  koń cach  moment, który  spowodowan y  jest  ogran iczon ą   swobodą   ich  obrotu  przyjmują c,  że  każ dy  z  czyn- ników  obcią ż enia  zależ ny  jest  od  przemieszczenia  i  ką ta  obrotu. D o  dalszych  rozważ ań  wprowadzon o  bezwymiarowe  naprę ż enie,  odkształ cenie, krzywiznę ,  ką t  o bro t u  przekroju,  sił ę  podł uż ną, m om en t zginają cy  i  przyrost  tem peratury odn oszą c  odpowiedn ie  wielkoś ci  do  ich  najwię kszej  wartoś ci  w  zakresie  sprę ż ystym  przy jedn oparam etrowym  obcią ż eniu  (sił a,  m om en t  lub  tem peratura  dział ają ce  z  osobn a): s  =   aja 0 ,  e  =   e/ ee,  «0  =   2Uol(eJ), k  =   x/ x e ,  0  =   9/ e e ,  n  -   N / N e ,  (2.1) m tt   =   MJM ge ,  r  =   AT / AT e , 408 M.  STOD U LSKI,  M .  Ż YCZKOWSKI gdzie:  e e   =   o 0 jE,  x e   =  eJH,  © e   -   - i- nj  (dla  modelu  OE S),  0 e   =   2x e   a  (dla modelu SES),  N e   =   c 0 A,  M gc   =   CHN t ,  AT ,  =   e,/ «,  f  -   - —5-, y4 —  pole  powierzchni  przekroju, H —  pół   wysokoś ci  bisymetrycznego  przekroju, /  —  promień  bezwł adnoś ci  przekroju, K —  współ czynnik  rozszerzalnoś ci  liniowej  materiał u  modelu. 3.  Zależ noś ci  dla  przekrojów 3.1. Przekrój  dwupunktowy.  Sprę ż ysto- plastyczna  analiza  przekroju  dwupunktowego  jest znacznie prostsza  niż  dla  przekrojów  o  polu  rozł oż onym  w  sposób  cią gł y.  W  skupio- nych  polach wystę pują   stany  czysto  sprę ż yste  lub  czysto  plastyczne  a  wię c zn ika  problem wyznaczenia  granicy  pomię dzy  strefami.  Z tego  powodu  m oż na  bez  trudnoś ci  wprowadzić do  rozważ ań  n p.  model  ciał a  ze  wzmocnieniem  liniowym,  rys.  3,  dla  którego  prawo fizyczne  ma  postać s  =  7]e+(l- r])sign(e).  (3.1) =0.5 Ol  1  e Rys.  3.  Zależ ność  naprę ż enie- odkształ cenie  dla  róż nych  wartoś ci  współ czynnika  wzmocnienia Współ czynnik  wzmocnienia  r)  -   - —•   przyjmuje  wartość  97 =   1  w  zakresie  odkształ ceń sprę ż ystych  (e <  1) oraz w zależ noś ci  od przyję tego  m odelu 0  ^  rj  <  1 w zakresie  odkształ - ceń plastycznych  (e  >  1). Przekrój jako  cał ość znajduje  się  w  stanie  sprę ż ysto- plastycznym, gdy  w  jednym  punkcie  przekroju* r\  — 1  a  w  drugim  r\  <  1. Sił a n orm aln a i moment zginają cy  w  przekroju  okres lone  są   przez naprę ż enia  panują ce w  obu  pun ktach  z  =   +H  i  z  =   —H: (3.2) AN ALIZA  PORÓWNAWCZA  MODELI  PRĘ TA  409 P odobn ie  odkształ cenie osi geometrycznej  i krzywizna  osi oboję tnej  przekroju  wyznaczone są   przez  odkształ cen ia wystę pują ce  w tych pun ktach 1  ^  i e  =  y ( e + e ) ,  k = — (e+- e~).  (3.3) 3.2.  Przekrój  prostoką tny. W czę ś ciowo  uplastycznionym  przekroju  prostoką tn ym  moż na wyodrę bnić  strefy  odkształ ceń  sprę ż ystych  i  plastycznych.  G ranicę   strefy  plastycznej propagują cej  się   od  pu n kt u  %  =  —  =   — 1  oznaczymy  przez  %~ a  strefy  plastycznej propagują cej  się  od p u n kt u % =  1 przez  x+>  rys.  2b. W przypadku  ciał a  sprę ż ysto- idealnie plastycznego  {rj — 0 dla e >  1) sił a  n orm aln a i m om en t zginają cy  okreś lone  są  zależ noś- ciami "'O  ~~  Ą   V*  *  Jl0  \ X  1  XX  U  J J)  KJ- J) a  odkształ cenie osi geometrycznej  i  krzywizna  osi oboję tnej,  M . Ż yczkowski [32] e=  - (s + X- s~X + )/ (X + - X- ),  (3- 6) 3.3.  Przekrój  idealnie  pierś cieniowy.  Z a A, G .  D orfm anem  i  S. D .  Lejtiesem  [5]  przyj- miemy, że w przekroju  idealnie  pierś cieniowym  pole  powierzchni  skupion e jest  n a okrę gu o  ś rednicy  d. Wartość  n aprę ż en ia w każ dym  punkcie przekroju  zależy  tylko  od jego  odleg- ł oś ci od osi z =  —  rfcosy.  D la  okreś lenia  granicy  stref  wygodnie  jest ze  wzglę du  n a kształ t przekroju  posł ugiwać  się  ką tem  y, y +   • — gdy odkształ cenia  plastyczne  rozprzestrzeniają się   od  pu n kt u  y =  0, y~ — od  pu n kt u  y =  n, rys. 2c. W  przypadku  ciał a  sprę ż ysto- idealnie plastycznego  wzory  n a sił ę  norm alną , m om en t zginają cy,  odkształ cenie osi  geome- trycznej  i krzywiznę   osi oboję tnej  mają   postać, A. G .  D orfm an,  S. D .  Lejties [5] n  =  s~ -1  (s+ - s ") ( s i n y"  - y " c o s y"  - s i n y+   + y + c o sy + ) ( c o sy +   - c o s y " ) "1 ,  (3.8) m„ =  — (s+ — s~)(y~  — sin y~ cosy~  — y +  - f- sin y+ cosy+ )(cosy+   — c o sy") "1 ,  (3.9) e~  —(s + cosy~~s~cosy + )(cosy + —cosy~)~ 1 ,  (3.10) k  =  (s + —  s~)(cosy +   — c o sy") "1 .  (3- 11) 4.  Zależ noś ci  dla modeli 4.1.  Model o odksztalcalnych  elementach skoń czonych.  Przybliż enie  rzeczywistej  linii  ugię cia odcin kam i  ł uków  o  stał ych  krzywiznach  wymaga  wprowadzenia  dla każ dego  z nich  sił y n orm aln ej  i  m om en tu zginają cego  o stał ych wartoś ciach  takich,  ż eby  skutki  ich  dział ania 410  M.  STOD U LSKI,  M .  Ż YCZKOWSKI był y  porównywalne  z efektami  wywoł anymi  rzeczywistym  obcią ż eniem  prę ta.  W  pracy przyję to,  że  zastę pcze  wartoś ci  w  obu  elementach są  równoważ ne  pod  wzglę dem  energe- tycznym, a mianowicie  zdefiniujemy  je  z warunku  równoś ci  wariacji  pracy  sił  zewnę trz- nych dL 2   —  N e E e l(—n 0 duo  + Cm Q d&c?)  (4,1) i  pracy  sił   wewnę trznych W  tym  celu należy  przeprowadzić  analizę  uogólnionych przemieszczeń  modelu.  Wyra- ż enia na osiowe przemieszczenie koń cowego przekroju modelu i strzał kę ugię cia  ś rodkowego przekroju  wyprowadzono  ze  ś cisł ych  zwią zków  geometrycznych  po  rozwinię ciu  wystę- pują cych  w  nich  funkcji  ką ta  w  szereg i  pozostawieniu  wyrazów  co  najmniej  drugiego stopn ia: sin©  .  1 ~ ,  l- cos6>  1 „   .  .  . ———  ~  1 — — &*,  yr  £  —  &.  Tak  więc  osiowe  przemieszczenie  z  uwzglę dnię-0  =  2 niem  wpł ywu  temperatury  wyraża  się  wzorem ^  T,  (4.3) a  bezwymiarowa  strzał ka ugię cia  (odniesiona do  dł ugoś ci modelu  1) We  wzorach  tych  X — lii  jest  smukł oś cią  modelu.  Kąt  obrotu  koń ca  modelu  wzglę dem jego  ś rodka  wyznaczamy  z zależ noś ci: 00  =  ^  +  02,  (4- 5) przy  czym  ką ty  obrotu  przekroju  koń cowego  i ś rodkowego  wzglę dem  rozgraniczają cego odkształ calne  elementy  zwią zane  są z ich  krzywiznami *i- ( l- 2W*i.  02- 2£ofca.  (4- 6) Wykorzystanie  zależ noś ci  (4.1) do  (4.6) pozwala  okreś lić wartoś ci  zastę pczych  sił  i momen- tów  dla  skrajnego  i  ś rodkowego  elementu n t   =   n 2   =   n 0 ,  (4.7) m»i  =  mo~^ 4  eeA 2(l  - 2lo ) ( 2 ô +  ̂ K ,  (4- 8) m„2 - m0 - ~e e A 2 [ 3 ( l - 2 | o ) ^o  +  ( 3 - 2 |0 ) ^ ] « o -   ( 4- 9) Przytoczone  równania  (4.3)  do  (4.9) wraz  z  kompletem zależ noś ci  dla  każ dego  z przekro- jów  pozwalają  wyznaczyć  n 0   i m 0  dla zadanych  «0,  # 0 , T . W  przypadku  przekroju  prosto- ką tnego  i  pierś cieniowego  wyznaczenie  charakterystyk  modeli  sprowadza  się  do  znale- zienia  rozwią zania  ukł adu  czterech równań  nieliniowych  ze  wzglę du  na  róż ne  kombinacje czterech  niewiadomych  wielkoś ci  spoś ród  oś miu  (czterech  naprę ż eń  i  czterech  granic AN ALIZA  PORÓWNAWCZA MODELI  PRĘ TA 411 stref)  w  zależ noś ci  od  tego  czy  przekroje  pracują  sprę ż yś cie,  czy  są jedno-   lub  dwustron- nie  uplastycznione.  D la  przekroju  dwupunktowego  moż na  ten  ukł ad sprowadzić  do jed- nego  równania  algebraicznego  pią tego  stopnia  ze  wzglę du  na  n 0 . We  wzorach  wystę puje  param etr  f0  decydują cy  o  proporcjach  dł ugoś ci  odkształ - calnych  elementów skoń czonych. W pracy przeprowadzono analizę wpł ywu  £ 0 . na wartość sił y  krytycznej  sprę ż ystego  modelu  z  przegubowo  zamocowanymi  i  dwustronnie  utwier- dzonymi  koń cami.  Róż nice  wzglę dne  w  odniesieniu  do  eulerowskich  sił   krytycznych dla  obu  przypadków  zamocowania  zamieszczono  w  tablicy  1. W  dalszych  rozważ aniach przyję to  wartość  £ 0  =   0.25  zapewniają cą  najmniejszy  bł ąd  dla  prę ta  dwustronnie utwier- dzonego  przy  niewielkim  bł ę dzie  dla  przegubowo  podpartego. Tablica  1. Bł ę dy przybliż enia  sił y krytycznej dla modelu OES o  dwóch elementach skoń czonych So 0.10 0.20 0.25 0.30 2/3 0.40 (.P>,- PB)IPB przeg. +  14,4% +  7,6% +  5,4% +  4,6% +  4,8% +  7,4% utw. + 90,0% + 26,8% +  21,8% + 2618% +  37,0% +  90,0% 4.2. Model o sztywnych  elementach skoń czonych. Analiza  symetrycznie  obcią ż onego  modelu z  dwoma  dł ugimi  elementami  sztywnymi  i  trzema  krótkimi  elementami odkształ calnymi \ - r  — f  ^  1  JJ  rys.  lb,  sprowadza  się  do wyznaczenia odkształ ceń w czterech rozcią ganych lub  ś ciskanych  prę tach  odpowiadają cych  dwu  przekrojom  dwupunktowym.  D la  wyzna- czenia  tych  odkształ ceń dysponujemy  warunkami  równowagi  sił   (4.7)  i momentów m a i  =  m Q ,  m g2   =  m Q   -   Xfn a ,  (4.10) wyraż eniami  wyprowadzonymi  ze  ś cisł ych  zależ noś ci  geometrycznych  po  przyję ciu  takiej samej  dokł adnoś ci w rozwinię ciach funkcji  ką ta jak  w modelu OES e 2 ) - 4 | r,  (4.11) (4.12) i  dodatkowo  zwią zkami i*0  = 1 r%   = (4.13) 412  M.  STOD U LSKI,  M.  Ż YCZKOWSKI R ówn an ia  (4.10)  do  (4.13)  wraz  z  kom pletem  zależ noś ci  dla  przekroju  dwupun ktowego m oż na  sprowadzić  do  równ an ia  pią tego  stopn ia  ze  wzglę du  n a  n 0   a  wię c  dla  zadanych w0,  #o>  *  m oż na  wyznaczyć  charakterystyki  m odelu  no{uo,  §0,  r)  i  mo(uo,  # 0 ,  T ) . 5.  Ś cisłe  rozwią zania  w  zakresie  sprę ż ystym Ś cisłe  rozwią zania  zlinearyzowanego  równ an ia  dla  prę ta  obcią ż onego  sił ą   osiową i  m om entem zginają cym  n a  obu  koń cach  w  zakresie  sprę ż ystym  (S. Tim osh en ko, J.  G ere [26])  po  uwzglę dnieniu  wpł ywu  zmian  tem peratury  n a  osiowe  przemieszczenie  przekro- jów  i  wprowadzeniu  analogicznie jak  dla  modeli  wielkoś ci  bezwymiarowych  (w  tym  przy- padku  oznaczonych  wę ż ykiem)  mają   post ać: —  w  przypadku  zginania  ze  ś ciskaniem 1  klamki  « ^  ( 5 ' 2 ) w  przypadku  zginania  z  rozcią ganiem 1  khh(kP)  ~,  . . . . *' • "  - T  i- ch(fc/)  *»'  ( 5 ' 4 ) gdzie: Rozwią zanie  równań  (5.1) do  (5.4) pozwala  wyznaczyć  charakterystyki  rt 0   — n o {u Q ,  # 0> *) i  ih 0   =   W O ( «O ! ^ O ; T )  dla  ciał a  idealnie  sprę ż ystego  co  odpowiada  przyję ciu  r\  =   1  dla modelu  z  liniowym  wzmocnieniem.  „ 6.  Warunki  odpowiednioś ci  model i Koń cowym  efektem  przeprowadzonej  analizy jest porówn an ie w  sprę ż ysto- plastycznym zakresie  charakterystyk  wszystkich  modeli  i  dodatkowo  zweryfikowanie  ich  ze  ś cisł ym rozwią zaniem  kryterialnego  prę ta  (prę t  o  przekroju  idealnie  pierś cieniowym)  dla  czysto sprę ż ystych  odkształ ceń.  W  tym  celu  należy  tak  dobrać  proporcje  mię dzy  param etram i modeli i kryterialnego  prę ta, aby  zapewnić  speł nienie kilku  wybran ych  warun ków.  W  pracy przyję to,  że  prę t  i  jego  modele  mają   taką   samą   (1)  n oś n ość  sprę ż ystą   przy  rozcią ganiu i  ś ciskaniu,  (2)  sił ę   krytyczną ,  (3)  sztywność  n a  rozcią ganie  i  (4)  sztywność  n a  zginanie. Z rezygnowano  ze  speł nienia warun ku  równoś ci  noś noś ci  sprę ż ystej  przy  zgin an iu,  ponie- waż  powodował   przesztywnienie  ukł adu  równ ań  uniemoż liwiając  dobór  param etrów geometrycznych  i  fizycznych  m odeli. AN ALIZA  PORÓWNAWCZA  MODELI  PRĘ TA  413 Wartość  sił y  krytycznej  a  tym  samym  proporcje  liczbowe  pomię dzy  parametrami geometrycznymi  i  fizycznymi  porównywanych  obiektów  zależą   od  sposobu  zamocowania koń ców.  P rzeprowadzona  pod  tym  ką tem  analiza  modelu  dwukrzywiznowego  wykazał a, tablica  1,  że  róż nica  wartoś ci  sił y  krytycznej  modelu  i  eulerowskiej  prę ta  w  przypadku przegubowo  zamocowanych  koń ców  nie przekracza  6%, natomiast w przypadku  obustron- nego  utwierdzenia  dochodzi  do  22%.  W  konsekwencji  zdecydowano,  że  dobrane  para- metry  mają   zapewnić  zgodność  sił  krytycznych  prę ta  i  modeli  z  utwierdzonymi  koń cami. Oczywisty  dla  modelu  OES warunek  sztywnoś ci  n a zginanie  w przypadku  modelu SES wymaga  objaś nienia.  W  pracy  przyję to,  że  bę dzie  on  speł niony  gdy  strzał ki  ugię cia  pod sił ą   przył oż oną  w  ś rodku  dł ugoś ci obustronnie utwierdzonego prę ta i modelu są  w  zakresie sprę ż ystym  równe. W  dalszych  rozważ aniach  przyję to,  że zgodność  noś noś ci  sprę ż ystych  przy  rozcią ganiu i  sił  krytycznych  prę ta  kryterialnego  i  modeli  ma  być  zachowana z  osobna  dla  przypadku obcią ż enia  sił ą   osiową   i  dla  przypadku  obcią ż enia  temperaturą   (nieobcią ż ony  siłą   prę t pomię dzy  dwoma  sztywnymi  ś cianami).  Z  pierwszego  warunku  wynikają   takie  same  dla modeli  OES  i  SES  zwią zki Aa 0   =  Aa Qjl   ~  =   —.  (6.1) e e   a Speł nienie  pozostał ych  warunków  daje  zależ noś ci  pomię dzy  smukł oś ciami, promieniami bezwł adnoś ci  i  maksymalnymi  odkształ ceniami sprę ż ystymi  modeli  i  prę ta  kryterialnego: —  w  przypadku  modelu  OES 2  / 1 9 " \ 3 / 4  7  /   TT2  V1 / 4  P  I  TT2  \ 1 / 2 —  w  przypadku  modelu  SES X  -   l  Lm  _ 2 L  *'  =   3   (6 ̂ X  j/ 3  i  4]/ 3  Ee  ne W  powyż szych  wzorach  wielkoś ci  bez  wę ż yka  charakteryzują   modele, z wę ż ykiem  —  prę t kryterialny  i  zdefiniowane  są   zależ noś ciami  (2.1).  Speł nienie  czterech  wymienionych warunków  odpowiednioś ci  nie  wymaga jednoznacznego  okreś lenia  proporcji  A/ A  i   #o>  T )  w  zakresie  sprę ż ysto- plastycz- nych  odkształ ceń  został y  okreś lone  numerycznie  dla  modelu  OES  z  dwupunktowym, prostoką tn ym  i  idealnym  przekrojem  pierś cieniowym  oraz  dla  modelu  SES z dwupunkto- wym  przekrojem  po  przyję ciu  |  =   0.025.  P arametry  geometryczne  i  fizyczne  modeli został y  dobrane  zgodnie  z  warunkam i  (6.1),  (6.2),  (6.3)  przy  zał oż eniu, że  granice  plas- tycznoś ci  materiał u i  modeli  i  prę ta  kryterialnego  są   równe  a 0   =   a Q .  Obliczenia przepro- wadzono  dla  e e   =  0.001  (wartość  odpowiadają ca  duż ej  grupie  wę glowych  stali  konstruk- cyjnych)  w  technicznie  waż nym  zakresie  smukł oś ci  100  <  X ^  300. 414  M,  STOD U LSKI,  M. Ż YCZKOWSKI U kł ady  równ ań  nieliniowych  (tego  samego  typu  dla wszystkich  modeli)  rozwią zywano doliczając  wartoś ci  sił y i m om en tu n a koń cach modeli n 0 ,  m 0   do zadan ego  przem ieszczenia i  ką ta  obrotu  koń cowego  przekroju  u o  + r,§ Q .  Wyniki  obliczeń  przedstawion o  gł ównie w  postaci  wykresów  WO(WO +   T , # O )  i  Wo("o +  ?,  # 0 ) przyjmując  ja ko  zmienną  niezależ ną przemieszczenie  osiowe  koń cowego  przekroju  prę ta  kryterialnego  ( «0 +  ?)  a  jego  kąt obrotu  i?0 traktując  jako  param etr. W tym celu  przeliczono  odpowiedn ie  wielkoś ci  wyko- rzystując  ich definicje  (2.1) r warunki  (6.1) do  (6.3); dla m odelu OE S  n o / n o  =   1, mo/ mo  = ,So/i/o -   1,T/ T =  \ ,h\ K  =  M — ̂   oraz dla modelu SES «o/ «o =   1, TT- m o / m o  =   =• ,  UQ/ U0 =  — ,  T/ T  =   1, # o / # o  =  —- —  •   C harakterystyki  sił  są  funkcjami 2 j/ 6  4£   w2 parzystymi  wzglę dem  &0> a  charakterystyki  m om en tów —  nieparzystym i. 8.  Analiza  wyników  i  wnioski 8.1.  Jednoznaczność rozwią zania  ukł adu  równań. Analizując  zachowan ie  się  prę ta  sztywno utwierdzonego  n a obu koń cach  ( $ 0 =  0) przy  równoczesnym  wymuszeniu  ich przemiesz- czenia  osiowego  m oż na  stwierdzić,  że w  zakresie  przemieszczeń  mniejszych  od  wartoś ci odpowiadają cej  eulerowskiej  sile krytycznej  istnieje  tylko jedn a postać równowagi  —•  prosto- liniowa.  D la  przemieszczeń  wię kszych  nastę puje  u t rat a  statecznoś ci  i  m oż liwe  są  trzy postacie:  dwie  stateczne  równ ouprawn ion e  (przeciwnie  wygię te)  i  jedn a  niestateczna (prostoliniowa). W przypadku  prę tów,  których  koń cowe  przekroje  obrócon e są  o  zadany kąt  ($o #   0)  zaistnieje  podobn a  sytuacja.  Jedn a  postać  równ owagi  wystę puje  dla  prze- mieszczeń  mniejszych  od pewnej  wartoś ci  granicznej  uzależ nionej  od ką ta  i?0 i   t r z Y  róż ne postacie  dla wię kszych  przemieszczeń,  spoś ród  których  tylko  jed n a jest  stateczn a. Spostrzeż enia  te  znajdują  potwierdzenie  w  wynikach  obliczeń  num erycznych  modeli wykonanych  w  ram ach  obecnej  analizy.  U kł ady  równ ań  nieliniowych  posiadają  jeden pierwiastek  w  zakresie  przemieszczeń  mniejszych  od  granicznego  oraz  trzy  róż ne  dla przemieszczeń  wię kszych.  P rzykł adowo  pokazan o  wyniki  obliczeń  m odelu  OE S z  prze- krojem  dwupunktowym  wykonanego  z m ateriał u bez wzm ocnienia r] =  0, rys. 4,  ze wzmoc- nieniem  liniowym  r\  = 0.5, rys.  5  oraz  idealnie  sprę ż ystego  r\  — \ ,  rys.  6, dla smukł oś ci prę ta  kryterialnego  1 =   300. We wszystkich  tych  przypadkach  przyję to,  że rozwią zan iami odpowiadają cymi  statecznym  form om  równowagi  są  te, które  dają  najmniejsze  wartoś ci bezwzglę dne  sił  ś ciskają cych  (zaznaczone  cią głą  linią ).  W  dalszych  obliczeniach  porów- nawczych  uwzglę dniono  tylko  te  rozwią zania  uważ ają c,  że  są  on e poszukiwan ym i  przez; n as  charakterystykam i  m odeli.  Widoczne w  przypadku  ciał   sprę ż ysto- plastycznych  zał a- m an ia  charakterystyk  zarówn o  sił  ja k  i  m om en tów  spowodowan e  są  uplastycznieniam i kolejnych  pun któw.  W  przypadku  przekrojów  o  polu  rozł oż on ym w  sposób  cią gły  zał a- m an ia  te  są  znacznie  mniej  wyraź n e. D la  statecznej  formy  równowagi  m odelu  pokazan o  bardziej  typowe  zależ n oś ci:  sił y osiowej  od  strzał ki  ugię cia  dla  róż nych  wartoś ci  $ 0 ,  rys.  7  i  m om en t u  skupion ego  od - 1.0 Rys.  4.  Charakterystyki  sil  i momentów dla  statecznych  i niestatecznych form  równowagi modelu OES  • materiał   bez  wzmocnienia,  77  =   0 t415! - 1 , 0- Rys.  5.  Charakterystyki  sił   i  momentów  dla  statecznych  i  niestatecznych  form  równowagi  modelu OES, materiał   ze  wzmocnieniem  liniowym,  r\  =   0.5 [4161 1,0 - 1.0 -i ///'///' / ii /  i K; ik  ^ / /   - _ /   . ee= 0,001  *=3oo  „ równowaga stateczna równowaga niestateczna i  i - 1 2,0 U - 1,0 - 2,0 \ \ V\   \\   \ AA / / • / / /   1/ \   *   /// \ / 7/v  A - ;1   /  /A/ VA/ 0. 50 t \ 1 r\\ \,\ f  • si \v \\   \\V \ •   W v \ \ \ \ \\\K\\ \ \   V\  V  N Rys.  6.  Charakterystyki  sił   i  momentów  dla  statecznych  i  niestatecznych  form  równowagi  modelu  OES, materiał   sprę ż ysty,  r\  =   1 [417] 12  M ech .  T eoret.  i  Stos.  3/ 86 418 M .  STOD U LSKI,  M .  Ż YCZKOWSKI 001 0.02  0.03 0,05  0.06- 0,05  - 0.04  - 0.03  - 0,02  "  - 0,01  0 Rys.  7.  Zależ ność  sił a- strzał ka ugię cia  dla  statecznej  formy  równowagi  modelu  OES" ką ta  dla  róż nych  wartoś ci  u o +r,  rys.  8.  N a  rysun kach  tych  zestawion o  wyniki  obliczeń dla  m ateriał u  idealnie  sprę ż ysto- plastycznego,  ze  wzm ocn ien iem  liniowym  rj  -   0.5 i  sprę ż ystego  v\   «  1.  D la  przypadku- - modelu  ze  sprę ż ystego  m ateriał u zależ ność m om en tu od  ką ta  obrotu, rys.  8  pokazan o  dla  statecznych  i  n iestateczn ych  form  równ owagi. N a  podstawie  wyników  obliczeń  modeli  dla  ciał a  idealnie  sprę ż ystego  m oż na  wysnuć wniosek,  że  przyję ta  dokł adn ość w  wyraż eniach  n a  u 0   (4.3)  i  (4.11) jest  niewystarczają ca dla  dokł adnego  opisu  stan u  pokrytycznego  (bezwzglę dna  wartość  sił y  ś ciskają cej  nie zmienia  się   ze  wzrostem  przemieszczenia  a  wg  dokł adniejszych  teorii  powin n a  rosną ć [33]). 8.2. Porównanie dla materiału sprę ż ysto- idealnie plastycznego rj =  0. D la prę tów O Smukł oś ciach ma- ł ych i ś rednich ( 1 <  200) zależ ność sił y od przemieszczenia  osiowego  m a ekstrem um w zakre- sie sił  ś ciskają cych  w przebadan ym przedziale  zmiennoś ci  ką ta  # 0 •   E kstrem aln a  wartość bliska  sile uplastyczniają cej  dla m ał ych sm ukł oś ci i ką tów  o bro t u , rys.  9,  obn iża  się   i prze- suwa:  ze  wzrostem  ką ta  w  kierun ku  wię kszych  przemieszczeń,  rys.  10,  ze  wzrostem smukł oś ci  w  kierunku  mniejszych,  rys.  11.  Róż nice  iloś ciowe  zn ikom e  w  zakresie  sprę - ż ystym  są   wyraź niejsze  w  zakresie  sprę ż ysto- plastycznym;  p o  osią gnię ciu  ekstrem um w  obszarze  zginania  ze  ś ciskaniem  zwię kszają   się   ze  wzrostem  przemieszczenia.  W  tym zakresie  znaczą ce  róż nice  wystę pują   pom ię dzy  m odelam i  o  przekrojach  dwupun ktowych i  modelami  o  przekrojach  cią gł ych  dają cych  wię ksze  wartoś ci  sił .  P o  stron ie  sprę ż ysto- plastycznego  rozcią gania  zauważ alne  róż nice  wystę pują   dla  wię kszych  ką tów  ( # 0  =   0.5) pomię dzy  modelami  OES  i  SES,  rys.  10,12.  Znikają   on e  przy  peł nym  uplastycznieniu m odeli  przez  rozcią ganie.  D la  smukł ych  prę tów  przy  m ał ych ką tach,  rys.  11,  najwię ksze róż nice  wystę pują   w  okolicy  ekstrem um .  W  tym  przypadku  m odele  o  dwupun ktowych przekrojach  dają   wię ksze  wartoś ci  sił . D la wzrastają cych  wartoś ci  ką ta,  rys.  12,  wyraź nie - 1.0  - 0.75  - 0.50  - 0,25 0.25  0.50  0.75  1,0 Rys.  8.  Zależ ność  moment- kąt  obrotu  dla  róż nych  form  równowagi  modelu  OES [419] 12* 1  I I  1  1  1  1  IT" '"""I  1  I  ' / ' / / /   '  '  '  '  "  <"»" /   F  • - s •".  s  /  y  I 1  1  1  1  /   1  1 / I  1 , 1 1  .... I ,  !  1  .  1  1  - .1  1  o  fc  l a l  I  i  •   l  l  i  - •   r*   I I  i  i  i  i  ,_..  £  ca o  O.  O  O.  ,  -O  g 1  / : //I  1  1  I  l  1  i  .  "  - 51  2 •  /  / /   £^  "*̂   ^  t*»  ^ ///   f i l l  s ° #   11 i I  1 s •   ^  Pilili  f  l i ^^~ »»^_  UJ IUI  Ul  Ul  > ^^^* »^^^^  ' o  l a  o  ŁO  o i  i  i  i * - " - * - . — ^ _ __  '  '  '  o  8 i  i  i  i  I I  r̂ >*»N.  1 O 0 0  ( D  Ĵ  ( N  O   ̂ ' ł    ̂ CD  O l  E? "r  o"  o"  o"  o"  o"  o  o'  o"  —"  f? i 1  i  i  i  1  I  i  I / / / /   i  I  I  1  1  m  ciJ  i 8. -  S   ̂ 1 O  o"  P  O  y ; ^  ? / /   IJ 1 ^ i  .i  i  i  i  i  i .  i  I  /   i  i  i  i  i  i  i  i  i  o  •§ "3 //   1  B 1  i  1  1  1  1  1  1  V  1  !  1  1  1  1  1  1  1  _  ^  a o  O.   o  O.   S'  2 B • 7//'  '  '  '  •  11-11  n  I I / /   l i i i  II ~^  -   liii lii - sit * ^ _  1  UJ  l u j  LJJ  11X1   C —-—  l o  l o  o  Im  i* 1  1  1  •   1—.—  1  1  I  I  °  1 1  1  1  1  I I I  i  " * »  ^ o c D  l O  < ł  ( ^ 1  O  f N  - - I .  Ł O  0 0  O > 5 «=   o"  o  o  o"  o'  o  o"  o"  Y  £ [420] i  i  i  i  i  >   i  i  i  i  i  i  i  i  ^ r  i  i  y  i  <*>   & s  -   8   ŷ  / * r  * o*  o"  m  o  ^̂ "^  jŹ ~  N i  •   i  J^̂ f^̂ '̂  '  J  L_J  ,   i  i  i  i  i  i _ o  |   a //   " \   11 l  ' •   (  '  i  1  I  I  " * > -   [   ,  i  I  i  i  i  ;  i  i  I  | l£  of  -   °  7   rt  &  3 i—r  1   1   i  jj  1   !  1   1   r  g.   S ]   -   I l l s  s3* w  s  .1   i  I  °  .& X  .  °-   .  o-   -6  -O  „   S \ \   !«  !u>   LO  M  ?  c • V.  " * ^_  LU  i  Ul  UJ  IUJ  - 0 1  !  i  1  1  • ^ . n - - ^  I I I  a f t 1  1  1  1  1  I I  •̂ l^^li*">   -   '" o o  c o  ^  **.  tM  O  ™  * -̂   ^  ^  O  p- t ic  ,_-   o'  o  o  o -   o  o  o  o  Y  p̂ r*~~l  i  !  1   1   1   1   ;  j  \ Jj  i  m  J> 8   _-   g  / /   """"  i 1   L_J  1   / ^ -  ̂ 1   1   1   i  1   !  1   1   o  •§  § 4*  1  1  1  %  1 * " "  1  1  1  !  1  1  1  1  1  1  _  " ^ if  °-   °  f  fi  3" 1  / I 1  >   '  '  r ' r  r  '  m  & l ///   &  §  s  g  S  ° /*•   S i l l  • at #   "§ ^  i  £  - i ł , j «  o.  a  •§  •§  S / / #   a  la>   o  taj  +  .Is-   ( f  -   Ł | Ł Ł Ł  - *  | | ^ A  m  Ul  Ul  W  5  R ^ 4 ^ .  iQi  im  u  ul  £ ^—- »_̂   l o  lo  o  IB  *g 1  l ~ ~ ~ ~ - .  I I I !  „   R " ^" " ^^^- .̂   ^^ I I  I I I  ^ " ~ ~ ~ " P — ~  _  J . O  * j  CNJ  O  Ĉ l  - f.  ID.  00L  °.  t ^ IC  o  o"  o"  °  o  o  f  al (421] 422  M.  STOD U LSKI,  M .  Ż YCZKOWSKI wzrastają   róż nice  pomię dzy  m odelam i  SES  i  OES  w  obszarze  mał ych  przemieszczeń zarówn o  po  stronie  ś ciskania  jak  i  rozcią gania. Zależ ność  m om en tu  od  przemieszczenia  osiowego  dla  każ dego  m odelu  wykazuje ekstremum  w  zakresie  sprę ż ysto- plastycznego  zgin an ia  z  rozcią ganiem  rys.  9,  10,  11. W  zakresie  zginania  ze  ś ciskaniem  istnieje  wartość  przemieszczenia  osiowego,  przy  której m om ent  się   zeruje,  co  odpowiada  przegubowemu  zam ocowan iu  prę ta.  D la  mniejszych przemieszczeń  m om en t  ma  zn ak  dodatn i  (krzywizny  w  obu  elem entach  są   tego  samego zn aku);  dla  wię kszych  m om en t  staje  się   ujemny  (krzywizny  elementów  są   przeciwnego znaku)  co  odpowiada  w  ogólnym  przypadku  niesztywnemu  utwierdzen iu.  R óż nice  iloś- ciowe  pomię dzy  modelami  OES  są   w  zasadzie  niewielkie.  W  zakresie  niesprę ż ystego zginania  ze  ś ciskaniem  wyraź nie  zaczynają   n arastać  począ wszy  od  pewnej  wartoś ci  prze- mieszczenia  («0 +  T >  3).  W  zakresie  niesprę ż ystego  zgin an ia  z  rozcią ganiem  zauwa- ż alne  róż nice  wystę pują   w  pobliżu  ekstrem um . Przebieg  zmiennoś ci  m om en tu  ze  zmianą   przemieszczenia  dla  m odelu  SES  jest  inny niż  dla  modelu  OES, wykazuje jedn ak  we  wszystkich  przeliczonych  przypadkach  wspólną cechę ,  którą   jest  przesunię cie  miejsca  zerowego  w  kierun ku  wię kszych  przemieszczeń w  porównaniu  do  modeli  OE S.  P orówn an ie  iloś ciowe  m oż na  zrobić  n p .  przyjmują c za  wspólny  przypadek  przegubowego  podparcia.  P rzy  m ał ych  sm ukł oś ciach  ( 1  =   100) model  SES  daje  wię ksze  wartoś ci  m om en tu niż  m odel  OES  praktyczn ie  w  cał ym  zakresie sprę ż ysto- plastycznego  zginania  z  rozcią ganiem  i  s'ciskaniem.  D la  wię kszych  smukł oś ci {X  — 300)  prawidł owość  ta  utrzymuje  się   w  zakresie  ujemnych  wartoś ci  m om en tu,  n ato- miast  w  zakresie  dodatn ich  wartoś ci  m odel  SES  daje  mniejsze  m om en ty  niż  m odel  OES. Przy  peł nym uplastycznieniu  modeli  przez  rozcią ganie  wartość  m om en t u  dla  OES  ustala się   n a  pewnym  poziomie  zależ nym  od  smukł oś ci  i  ką ta,  n atom iast  dla  SES  wynosi  zero. Rozbież ność  ta  jest  spowodowan a  róż nymi  m etodam i  okreś lenia  m om en tów  zginają - cych  w  odkształ calnych  elem en tach :  energetyczną   —  dla  OE S  i  kollokacyjną   dla  SES. 8.3.  Porównanie dla  materiału z  liniowym  wzmocnieniem.  Wyniki  obliczeń  przeprowadzonych dla  modeli  OES  i  SES  z  dwupun ktowym i  przekrojam i  pokazan o  n a  rys.  13  dla  r/   =   0.5 i  n a rys.  14 dla r) ~  1. Zależ noś ci sił y od przemieszczenia  dla  obu  modeli są   bardzo  zbliż one d o  siebie.  Znaczą ce  róż nice  m oż na  zaobserwować  dopiero  dla  duż ych  sm ukł oś ci  i  ką tów 1  =   300,  # o  -   0.5,  rys.  13,  14.  •   « C harakter  zależ noś ci  m om en tu  od  przemieszczenia  jest  bardzo  róż ny  dla  obu  modeli. Cechy wspólne  to zm iana zn aku m om en tu z dodatn iego  n a ujemny  i m on oton iczn e malenie z  dalszym  wzrostem  przemieszczenia.  W  przypadku  przyję cia  za  wyjś ciowy  stan u  prze- gubowego  podparcia  modeli  prawidł owoś ci  wskazan e  dla  m ateriał u  bez  wzmocnienia tracą   swoją   aktualn ość ze  wzrostem  współ czynnika  wzm ocnienia. P orówn an ie wyników  obliczeń  obu  modeli  ze  ś cisł ym  rozwią zaniem  sprę ż ystym  rys.  14 wskazuje,  że  dla  ciał a  idealnie  sprę ż ystego  zarówn o  m odel  OE S  i  SES  nieź le  odwzoro- wują   zależ ność  sił y  od  przemieszczenia  w  przebadan ym  zakresie  zmiennoś ci  smukł oś ci i  ką ta.  Wartoś ci  sił   okreś lone  przy  pom ocy  m odelu  SES  są   nieznacznie  wię ksze  od  roz- wią zania  ś cisł ego. M o del  OES  n atom iast  znacznie  lepiej  przybliża  ś cisłą   zależ ność  m om en t u  od przem ieszczen ia  aczkolwiek  przybliż enie  to  jest  gorsze  n iż  dla  sił . 424  M.  STOD U LSKI, M.  Ż YCZKOWSKI 9.  Wnioski 1.  Analizowane  m odele  nadają   się   dość  dobrze  do  wyznaczenia  globalnych  zależ noś ci »o  =   l^i( "o> # o>  T)  i  m 0   =   ^ ( " O J  $ O -   ?)•   Lokaln a  an aliza  odkształ ceń  i  naprę ż eń prę ta  w  oparciu  o  nie  może  prowadzić  n awet  do jakoś ciowych  bł ę dów,  n p.  w  modelu OES  ze  wzrostem  sił y  rozcią gają cej  krzywizna  ś rodkowego  elementu  zmienia  znak. Spowodowane  to jest  ustaleniem  pun ktu zszycia  obu  elem entów.  M odel  SES  nie wyka- zuje  takich  efektów. 2.  Wyznaczone  charakterystyki  są   silnie  nieliniowe  wzglę dem  przemieszczenia  osiowego i  "ką ta  obrotu  w  interesują cym  pod  ką tem  praktyczn ego  zastosowan ia  przedziale zmiennoś ci  — 3  <  u Q  + r  <  5.  O  ile  nieliniowość  wzglę dem  u o   + r  wystę puje  dla każ dego  z  przebadanych  ką tów  to  dla  niektórych  wartoś ci  przemieszczenia  sił a i  m om en t  są   praktycznie  liniowo  zależ ne  od  # 0 . 3.  Wpł yw zmiany ką ta  n a wartość  sił y oraz przemieszczenia  osiowego n a wartość m om en tu jest  duż y. N ie  uwzglę dnienie  go  może  prowadzić  do  znacznych bł ę dów,  zatem podł oże utworzone  przez  rodzin ę   prę tów  (rurek)  powin n o  być  traktowan e  ja ko  „ podł oże m om en towe". 4.  Przewidują c  wykorzystanie  modeli  do  opisu  zachowan ia  się   rurkowego  podł oża  pł yt sitowych  istotne znaczenie m a skala  trudn oś ci rozwią zywania  problem u. P od tym wzglę - dem  przewagę   mają   modele o dwupunktowych  przekrojach,  dla  których  ukł ady równań nieliniowych  dają   się   sprowadzić  do  algebraicznego  równ an ia  pią tego  stopn ia.  Wystę - pują ca  dla  każ dego  z  modeli  zm ian a  zn aku  m om en tu  n a  koń cach  ze  wzrostem  prze- mieszczenia  upoważ n ia  do  przypuszczenia,  że  podł oże  pł yt  sitowych  lokaln ie  (n p. w  wyniku  utraty  statecznoś ci)  zmieni  się   z  podtrzym ują cego  w  docią ż ają ce. 5.  Otrzymane  charakterystyki  modeli  dla  zakresu  sprę ż ysto- plastycznych  odkształ ceń, jak  również  porówn an ie  ich  ze  ś cisł ym  rozwią zaniem  w  zakresie  sprę ż ystym  wskazują , że do dalszego  zastosowania  najbardziej  nadaje  się   m odel OE S o przekroju  dwupun kto- wym.  D aje  on lepsze  przybliż enia  od  m odelu  SES  przy  takim  samym  stopn iu trudnoś ci rozwią zania  problem u  (mniejszym  niż  w  przypadku  pierś cieniowego  i  prostoką tn ego przekroju). Literatura 1.  G . BALLIO,  F . PEROTTI,  A finite  element describing  axially  loaded  members subjected  to  cyclic  loads, EU ROM ECH   COLL.  174,  Palermo  1983,  COG RAS,  Palermo  1984,  67  -  78. 2.  C. R.  CALLADINE,  T he effect of cross- section  on the creep  buckling behaviour of  columns,  I n t. J. Mech. ScL,  4  (1962),  387- 407, 3.  A.  CHAJES,  Stability behavior  illustrated by simple models,  P roc.  ASCE, J. Struct.  D iv.,  95  (1969), 6, 1153- 1172. 4.  P.  CSON KA,  Die  Knickung geradachsiger  Stabe bei Behandlung  mit der Methode der  elastischen  Punkte, Acta  Technica  Acad.  Sci. H ung.,  XII  (1955),  3 -  4,  275  -  287. 5.  A. T.  JJop^iwaH, C . JL  JIEH TEC,  06ycmounueocmu BHeyeHmpemio coicamux nipyd'tatnux cmepoicneu us ynpyio- njiacmunecKozo  Mamepuana,  H I D K .  >Kypn.,  4  (1964),  i,  134 -   140. 6.  S.  D OROSZ,  T he histeretic behaviour  of  the  bar under cyclic axial  loading,  E U R OM E C H  COLL. 174, Palermo  1983,  COG RAS,  Palermo  1984, 357  -   376. AN ALIZA  PORÓWNAWCZA  MODELI  PRĘ TA  425 7.  W.  G AWROŃ SKI, J. KRU SZEWSKI, Metoda sztywnych elementów skoń czonych  w zastosowaniu  do analizy drgań zł oż onych ukł adów liniowych,  Rozpr.  I nż .,  20  (1972), 2, 601 -  612. 8.  W.  G AWROŃ SKI,  J.  KRU SZEWSKI,  Analiza  drgań  wymuszonych  zł oż onych  ukł adów liniowych  metodą sztywnych elementów  skoń czonych, Arch.  Bud. Maszyn,  19  (1972),  4,  623- 641. 9.  B. J.  H AR T Z , Matrix  formulation of structural stability problems, P roc. ASCE, J. Struct. D iv.,  91  (1965), 141  - 157. 10.  G . W.  H I C KS,  Finite- element elastic  buckling  analysis, Proc.  ASCE,  J.  Struct.  D iv., 93  (1967), 6, 71  -  86. 11.  K.  KAWASHIMA,  S.  KIM U RA,  L oad- carrying  capacity of  inelastic columns  in the post- buckling  range, 2 5 *  Polish  Solid  M ech.  Conf.,  Jachranka, 1984. 12.  K.  KAWASHIMA,  S.  OBATA,  Reversed yield and plastic  buckling,  J. Eng. Mech., 110 (1984),  6,  1005- 1010. 13.  K.  KOWALCZYK,  Powierzchnie graniczne dla modelu sprę ź ysto- plastycznego  prę ta przy  uwzglę dnieniu zmian geometrii, M ech. Teor. i  Stos., 17 (1979), 2, 203 -  215. 14.. J.  KRU SZEWSKI, Metoda sztywnych elementów  skoń czonych w zastosowaniu  do  obliczeń  czę stoś ci  drgań wł asnych zł oż onych  ukł adów liniowych,  Zesz.  N auk.  P oi. G dań skiej,  Mechanika, 12,  1971. 15.  J.  KRU Ż ELECKI, W.  K R Z YŚ,  N owa  metoda dobom  zastę pczego przekroju  wielopunktowego  w  analizie sprę ź ysto- plastycznego  zginania, Rozpr.  I nż ., 26  (1978),  2, 291  - 306. 16.  J.  N ALESZKIEWICZ,  Zagadnienia statecznoś ci sprę ż ystej,  PWN , W- wa  1958. 17.  D . A.  N ETH ERCOT,  K. C.  ROCKEY,  Finite  element solutions for  the buckling of  columns and  beams, I n t.  J.  M ech. Sci., 13  (1971),  945 -  949. 18.  J.  ORKISZ , Principles of  choosing  a multipointed equivalent  cross- section for  elastic- plastic  beams,  Bull. Acad.  P olon.  Sci., Serie  Sci. Techn., 10  (1962),  10, 405 -  414. 19.  J.  OR KI SZ ,  Interaction curves for  multi- point equivalent cross- sections  of  elastic- plastic  beams, Bull. Acad.  Polon.  Sci., Serie  Sci. Techn., 10 (1962),  11,  451- 460, 20.  J.  OR KI SZ ,  M.  Ż YCZKOWSKI,  Differential equations  of  elastic- plastic  bending of  beams  with  multi- point cross- sections,  Bull.  Acad.  P olon. Sci., Serie  Sci. Techn., 12 (1964), 4, 227 -  236. 21.  J.  ORKISZ ,  M.  Ż YCZKOWSKI,  Skoń czone  ugię cia  sprę ż ysto- plastyczne belek  o  dowolnym  przekroju. Rozpr.  I nż ., 14  (1966),  4,  681 -  698. 22.  M .  RADWAŃ SKA,  Z . WASZCZYSZYN ,  Obliczenia  skoń czonych  sprę ż ysto- plastycznych  ugię ć prę tów  sł abo zakrzywionych, Rozpr.  Inż ., 20  (1972),  4, 479- 496. 23.  M . RADWAŃ SKA,  Z. WASZCZYSZYN ,  Calculation of finite elastic- plastic deflections of weakly curved bars, Bull.  Acad.  P olon. Sci., Sś rie Sci. Techn., 21  (1973), 7 -  8, 333 -  340. 24.  A. P .  P>KAHHL(WH3  ycmoimueocnib  paeiweecun  ynpyeux  cucmejn,  FoCTexiraflaTj  M ocroa 1955. 25.  F . R.  SHAN LEY,  Inelastic  column  theory, J. Aero.  Sci., 14 (1947), 5, 261 - 268. 26.  S. P.  TIMOSHEN KO, J. M.  G E R E ,  T eoria  statecznoś ci sprę ż ystej, Arkady, W- wa  1963. 27.  J. M. T. THOMPSON ,  G . H U N T , A general theory of elastic stability, J. Wiley and Sons., London—N .Y.— Toron to 1973. 28.  H .  WAG N CR,  G . K I M M ,  Bauelemente des  Flugzeuges,  2  wyd.,  1942. 29.  Z .  WASZCZYSZYN ,  Application of  multi- point  equivalent  cross- sections  to the calculation  of finite deflec- tions of elastic- plastic  beams with stretchable axis, Acta  M ech., 3 (1967), 2, 219 -  235. 30.  H .  ZIEG LER, On the concept of  elastic stability, Adv. Appl.  M ech., 4 (1956), 351 -  403. 31.  M .  Ż YCZKOWSKI,  On axially symmetric elastic buckling of  imperfect cylindrical shells under  combined loadings, Ch. M assonnet  Volume,  Lifege,  1984, 387- 396. 32.  M . Ż YCZKOWSKI,  Combined loadings  in the theory of plasticity, PWN , W- wa 1981. 33.  M .  Ż YCZKOWSKI,  Podstawy analizy  statecznoś ci prę tów sprę ż ystych, w ksią ż ce  pod redakcją   Z .  Wasz- czyszyna,  Współ czesne  metody  analizy  statecznoś ci  konstrukcji,  Ossolineum,  Wroclaw,  1981, 7 -  80. 34.  M . Ż YCZKOWSKI,  A. ZABORSKI,  Creep  rupture phenomena in creep buckling,  Proc. 1UTAM  Symposium M echanics of Visco- Elastic  M edia and Bodies,  G oteborg  1974, Springer  1975,  283- 290. 426  M.  STOD U LSKI,  M .  Ż YCZKOWSKI P  e  3  IO  M  e CPABHHTEJILHBia  AHAJIH3  MOflEjIEft  ynP YTO- nJIACTH ^ECKOrO  CTEP)KHH   UOR flEfł CTBH EM   H 3rH EA3  nPOflOJILH Oft  CHJIBI  H   TEM IIEPATyPLI erep>KHHj  n oflBeprH yroro  ^eiicTBH io  H 3rn 6a,  oceBoii  C H JIŁI  H   TeiwnepaTypbi  B  yn p yro - - nnacTH iecKOH   o6jiacTH 3  Ha  D H A  n po cT an ,  BcTpe iiaeT  TpyflHocTH   n pw  o n p eflen ein n i  xapaKTepHCTHK  co- o6o6m;eHHbie  CH JIW  H   o6o6meH H bie  nepeM emeH H H .  B  paCoTe  anajiH3HpyeTCft  HCCKOJJBKO CTep>KHH  Kacaiom n xca fle4>opM npyeM bix  H JIH  >KCCTI