Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z3.pdf M ECH AN IKA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  24, (1986) N I E L I N I O WE  WAR U N KI  BR Z E G O WE  W  P R OBLE M AC H F I LT R AC JI  U ST ALO N E J BO G D AN   WOSI E WI C Z Akademia  Rolnicza. Poznań 1.  Wstę p W  cią gu  ostatn ich  kilku  lat  ukazał o  się   kilka  obszernych  monografii,  kompleksowo omawiają cych  zjawiska  filtracji  przez  oś rodki  porowate  i  metody  ich  modelowania  ([1], P L  [3],  [4]).  P rzy  m atem atyczn ym  opisie  zjawisk  filtracji  ustalonej  pojawiać  się   musi problem  sform uł owania  warun ków  brzegowych.  K aż da  z  cytowanych  powyż ej  monografii poś wię ca  tem u  zagadn ien iu  sporo  uwagi. W  zagadnieniach  filtracji  p o d  ciś nieniem  wyróż nia  się :  a) warunki  na granicy  kon taktu z  zadan ym  zwierciadł em  wody  (ciś nieniem), b)  brzeg  z zadan ym  przepł ywem  (w  szczegól- noś ci  brzeg  nieprzepuszczalny)  oraz  c) warun ki  n a  brzegu  pół przepuszczalnym  [1]. W  sen- sie  m atem atyczn ym  odpowiadają   one  warun kom  brzegowym  D irichleta,  N eum an n a i  C auch y'ego.  W  problem ach  filtracji  swobodnej  wyróż nia  się   n adto  warunki  brzegowe n a  powierzchni  swobodnej  oraz  n a  powierzchni  wysą czania.  W  oś rodkach  ze  skokowo zmienną   przepuszczalnoś cią   wyróż nia  się   jeszcze  warun ki  cią gł oś ci  (ciś nienia i przepł ywu) n a  gran icach  warstw. Wszystkie  an alizowan e  w  pracach  [1],  [2],  [3],  [4] i  wymienione  tu  warunki  brzegowe są   warun kam i  liniowymi. Okazuje  się   jedn akż e,  że  przy  rozwią zywaniu  problem ów  praktycznych  mogą   się pojawiać  nieliniowe  warun ki  brzegowe.  Otrzym ać je  m oż na przy  linearyzacji  nieliniowych ró wn ań  filtracji  pojawiają cych  się   w  zagadnieniach  opisanych  nieliniowymi  równaniam i kon stytutywn ym i,  a  także  przy  obliczeniowej  idealizacji  niektórych  zł oż onych  zadań filtracji. Celem  pracy jest  zwrócenie  uwagi  n a  moż liwość  pojawienia  się   nieliniowych  warunków brzegowych  w rzeczywistych  problem ach filtracji,  podan ie charakterystycznych  przykł adów oraz  adaptacja  zn an ych  m etod  numerycznych  do  iteracyjnego  rozwią zywania  takich problem ów.  Tem atyka  nieliniowych  warun ków  brzegowych  n ie  był a  dotą d  dyskutowana w  odn iesien iu  do  praktyczn ych,  inż ynierskich  problem ów  filtracji  przez  oś rodki  porowate (por.  n p . brak  wzm ianek  n a  ten tem at w  m onografiach  [1],  [2],  [3], [4]). 428  B.  WOSIEWICZ 2.  Linearyzacja  nieliniowych  równań  filtracji W  wielu  waż nych  problemach  technicznych  rozwią zania  oparte  o  liniową   zależ ność pomię dzy  prę dkoś cią   filtracji  o gradientem  ciś nienia  (prawo  D arcy'ego)  moż na  traktować wył ą cznie jako  pierwsze  przybliż enie.  D otyczy  to  zarówno  przepł ywu  wody  przez  oś rodki gruboziarniste  [5] jak  i  filtracji  przez  gliny  i ił y  [6]. N ieliniowe  efekty  pojawiają   się   przy przepł ywach  roztworów  wodnych  soli  mineralnych  [7] jak  również  przy  filtracji  cieczy wykazują cych  tzw.  pseudoplastyczne  efekty  (np.  ropa  naftowa)  [8].  Jednakże  przyję cie nieliniowego  prawa  filtracji  prowadzi  do  modelu  opisanego  nieliniowym  równaniem  róż- niczkowym  rzę du  drugiego,  którego  analityczne  rozwią zanie  napotyka  na  poważ ne  trud- noś ci rachunkowe. D o nieliniowego  równania filtracji  prowadzą   także problemy  z  uwzglę d- nieniem  ś ciś liwoś ci  cieczy.  N ieliniowe  dwuwymiarowe  równania  filtracji  otrzymuje  się również  przy  rozpatrywaniu  przestrzennych  problemów  filtracji  analizowanych  przy zał oż eniu  D upuit. N iektóre  z tak  otrzymanych  równań  nieliniowych  moż na zlinearyzować  wprowadzają c odpowiednio  dobrany  potencjał .  Przy  takiej  linearyzacji  pojawiać  się   mogą   nieliniowe warunki  brzegowe.  Linearyzacja  równania  kosztem  warunków  brzegowych  umoż liwia czę sto  uzyskanie  rozwią zania  ł atwiej  i  mniejszym  kosztem  niż  rozwią zania  problemu wyjś ciowego  (por.  n p.  p.  4). Rozpatrzmy  trzy  charakterystyczne  przykł ady: 1.  N ajczę stszy  przypadek  lineryzacji,  wykonywanej  zresztą   standardowo,  pojawia  się w  problemach  filtracji  opisanych  równaniem  Boussinesq'a.  W  przypadku  stacjonarnym konieczne jest wówczas  rozwią zanie  równania  róż niczkowego a±   kh dx  \   8x I  dy  \   '  8y gdzie  h jest  wysokoś cią   poł oż enia  powierzchni  swobodnej  nad  poziom  warstwy  nieprze- puszczalnej, k x   i k y   są   współ czynnikami  filtracji  odpowiednio  w  kierunku  osi  x  i y.  Zakł a- dają c  dla  uproszczenia,  że  k x   =   k y   =  k  i  wprowadzają c  potencjał   zdefiniowany  nastę - pują co : r  kh2 Hmjkhdhm—- ,  (2) 0  Z otrzymujemy,  że  funkcje  H{x,  y)  w  obszarze  filtracji  Q  speł niać winna  równanie róż nicz- kowe  Laplace'a: V 2 # = 0 ,  (x,y)eQ.  (3) Typowe warunki brzegowe h- g.  (x,y)< = ru  (4) ®n  =   Q,  (x,y)er2,  (5) gdzie  v„ jest  prę dkoś cią   normalną   do  brzegu,  a g  i  q  są   zadanymi funkcjami  odpowiednio O  FILTRACJI  USTALONEJ  4 2 9 n a  czę ś ciach  F t   i F 2   brzegu,  są  dla  funkcji  H  także  liniowe.  Mają  one postać: H  = -  ̂ g  ,  (x, y)  e i \ ,  (6) Jeż eli  jedn ak  uwzglę dnić  uogólniony  problem  brzegowy  [1]  z  warunkiem  brzegowym trzeciego  rodzaju  n a  czę ś ci  F 2   brzegu v n +ah  =  g,  •   (8) gdzie  a jest  zadaną  funkcją,  to  dla  funkcji  H  otrzymujemy  nieliniowy  warunek  brzegowy 8H 2.  Rozpatrzmy pł aską  nieliniową  filtrację  w  oś rodku  uwarstwionym.  D la uproszczenia zał óż my  istnienie  tylko  dwóch  warstw  oraz,  że  granica  warstw  jest  prostą  o  równaniu y  ss  y x ,  Prawo  filtracji  dla  obu  warstw  przyjmijmy  w  postaci: "i  =   - fciCPi)grad/ >„   (x, y)t=Q l ,  i  -   1, 2,  (10) gdzie  v t ,  pi  są  odpowiednio wektorem prę dkoś ci  oraz rozkł adem ciś nienia w i- tej  warstwie. Wykorzystując  równanie  cią gł oś ci  otrzymamy  dla  każ dej  z. warstw  nastę pują ce  rów- nanie  róż niczkowe: [ £ ] £ [ w£ |- i>-   / - u. Warun ki  cią gł oś ci  przepł ywu  i  ciś nienia  wzdł uż granicy  warstw  mają  postać: =   k 2 (p 2 ) d P (12) oraz Wprowadzając  dla  każ dej  z warstw  potencjał y prę dkoś ci wedł ug nastę pują cych  formuł : a  i- - l.it  (14) o równania  róż niczkowe  (11)  przekształ cają  się  w  równania  Laplace'a V2P,  =   0,  (x,y)eQ u   1  =  1,2,  (15) a  warunki  brzegowe  (12) i  (13) przechodzą  odpowiednio  w  równania - 4—  =   - rr~  ,  (16) oy   y=Vi   8y  J , = J , ( oraz [ gdzie/ ł (Pj) jest funkcją  odwrotną  do Pi(pi),  wyznaczoną  n a podstawie  równania (14). 43Q  B.  WO S I E WI C Z Równanie  (17)  jest  w  ogólnoś ci  także  równaniem  nieliniowym.  P rzykł adowo,  jeż eli przyją ć  za  pracą   [9] dla  przepuszczalnoś ci  oś rodka  nastę pują ce  funkcje: i  -   1, 2,  (18) gdzie  koi  oraz  a (  są   stał ymi, wówczas  n a  podstawie  (14)  uzyskujemy: 1  , ską d Ji\ "l)  ~   1 U  r.  •   (2U ) 3.  Rozpatrzmy  nieliniową   filtrację   ustaloną   ś ciś liwej  cieczy  barotropowej  w anizo- tropowym  oś rodku  porowatym  [10]. N a  czę ś ci F t   zadan e jest  ciś nienie p 0 ,  a n a pozostał ej czę ś ci F 2   brzegu  przepł yw  q.  Równaniami podstawowymi  problem u  są : —  prawo  D arcy'ego  (bez  udział u  sił   masowych) v  -   - *grad / >,  (21) w  którym  tensor  współ czynników  filtracji  k jest  znaną   funkcją   współ rzę dnych  (t> i p  jak poprzednio), —  równanie  stanu  (g- gę stoś ć ): Q =   Q(P),  (22) oraz  równanie  cią gł oś ci  przepł ywu di\ ( e v)  =  0.  (23) ty Warunki  brzegowe  są   nastę pują ce: P=Po,  (x,y,z)eF u   (24) v„ = q,  (x,y,z)eF 2 ,  (25) gdzie  po  i q są  zadanymi  funkcjami. Podstawiają c  zależ noś ci  (21)  i  (22)  do  równ an ia  cią gł oś ci  (23)  uzyskamy  nieliniowe równanie  róż niczkowe  rzę du  drugiego div[e(p)*grad.p]  =   0,  (26) pozwalają ce  wraz z warunkami  brzegowymi  (24) i  (25) n a  wyznaczenie  funkcji  p(x,y,  z). Wprowadź my  jak  poprzednio w miejsce p nową   zmienną  P wedł ug  zależ noś ci p P  =  J g(p)dp.  (27) o N a  podstawie-  zależ noś ci  (27)  moż na  n apisać QV -   —Q(p)kgta.dp  =   — A grad P ,  (28) ską d  równanie  (26)  przechodzi w liniowe  równanie  róż niczkowe div(JtgradP )  =   O,  (29) O  FILTRACJI  USTALONEJ  43 1 Warun ek  brzegowy  dla P n a brzegu  / \   otrzymuje- się   z (24)  nastę pują co: Po P  =  /   Q(p)dp  =  P o .  (30) o Warun ek  brzegowy  na brzegu  F 2   n a podstawie  zależ noś ci  (25)  i  (28)  moż na  napisać nastę pują co : (31) gdzie/ (i>) jest funkcją   odwrotną   do funkcji  P(p)  okreś lonej  równoś cią   (27), a n jest jednost- kowym  wektorem  w  kierunku  normalnej  do  brzegu. R ównanie  (31) jest  znowu  nieliniowym  warunkiem  brzegowym. D la  cieczy  sł aboś ciś liwych  moż na  na  przykł ad  przyją ć  równanie  stanu  w  postaci nastę pują cej  [3] 6  = Qo[l + cc(p~p o )],  (32) gdzie  Q 0  jest gę stoś cią   przy  ciś nieniu p 0 ,  a a jest współ czynnikiem liczbowym.  N a podstawie zależ noś ci  (27)  uzyskamy (3 3 ) L  *   J ską d (34) 3.  Obliczeniowa  idealizacja  złoż onych  problemów  filtracji Rozwią zanie  wielu  praktycznych  problemów  filtracji  wymaga  pewnej  idealizacji w stosunku do geometrii obszaru filtracji,  warunków, brzegowych jak  i rzeczywistego  prawa filtracji  rzą dzą cego  przepł ywem  i  to  zarówno  przy  analitycznych  jak  i  numerycznych m etodach  rozwią zywania. M oż na  pokazać,  że w  pewnych  problemach  idealizacja  taka  może  prowadzić  do  nie- liniowych  warunków  brzegowych.  D otyczy  to  zagadnień,  gdzie  pojawiają   się   cienkie przewarstwienia  grun tu  z  nieliniowym  prawem  filtracji,  problemów  z  przegrodami  czę ś- ciowo  przepuszczalnymi,  niektórych  zadań  z  drenaż ami,  pompowań  z  nieliniowymi charakterystykam i  pom p,  niektórych  zadań  dotyczą cych  przemysł owych  urzą dzeń  fil- tracyjnych  itp. Rozważ my  kilka  charakterystycznych  przykł adów. 1,  Rozpatrzmy  problem  filtracji  pod fundamentem  w  warstwie  o  ograniczonej  mią ż- szoś ci  w przypadku  wystę powania  podł oża  czę ś ciowo  drenują cego.  Zał óż my, że pomię dzy warstwą   drenują cą   a pokł adem przepuszczalnym  znajduje  się  cienka w stosunku  do  mią ż- szoś ci  pokł adu  warstwa  grun tu  o  nieliniowych  wł aś ciwoś ciach  filtracyjnych  (rys. la) . N iech to bę dzie n a przykł ad grunt opisany  prawem filtracji  z gradientem począ tkowym [11] v  — A, |gradA|  < A, 432 B.  WOSIEWICZ w  którym  h  jest  wysokoś cią   piezometryczną   v  =  \ v\ ,  X -   k t G,  gdzie  k t   jest  współ czyn- nikiem  filtracji,  a  G  progową   wartoś cią   gradien tu. P onieważ  t  - 4 T   m oż na  dla  uproszczenia  przyją ć,  że  ruch  wody  w  tej  warstwie  bę dzie się   odbywał   wzdł uż  prostych  pionowych,  a  gradien t  ciś nienia  wzdł uż  gruboś ci  warstwy bę dzie  stał y.  Przyjmują c  idealizację   problem u ja k  n a  rys.  ł b  i  zakł adają c  w  warstwie  dre- nują cej  wysokość  piezometryczną   równą   h  =  H  moż emy  n apisać, że  w  przewarstwieniu 8h  h(x,G)- H  8h iy-   r  ' ~Txr Warun ek  brzegowy  wzdł uż  prostej  y  =   0  bę dzie  m iał   teraz  postać dh 8y t o [h(x,0)- H]  >  Gt, [h(x,0)~H]  <  Gt. (36) (3 7 ) 1. F iltracja  pod  fundamentem:  a) ogólny  schemat zadania, b) obliczeniowa  idealizacja  problemu W  zależ noś ci  od  wartoś ci  X wię ksza  lub  mniejsza  czę s'ć  brzegu  y  =  0  bę dzie  praktycznie nieprzepuszczalna.  Przy  okreś lonej  wartoś ci  X dł ugość strefy,  przez  którą   woda  nie  bę dzie się   przesą czać  do  warstwy  drenują cej  zależ eć  bę dzie  od proporcji  pom ię dzy  H t ,  H 2 ,  T , t oraz  k t ,  k x   i  k y . Jeż eli  warstwa  sł abiej  przepuszczalna  opisana  jest  nieliniowym  równ an iem  filtracji, n p .  w  postaci  [12] v  =   - & (l  +  c|grad/ ?|)grad/ j,  (38) gdzie  k  i  c  to  współ czynniki  okreś lone  przez  wyniki  eksperym en tu,  wówczas  warunek O  FILTRACJI USTALONEJ 433 brzegowy  wzdł uż  prostej  y  =  0  bę dzie  m iał   p o st ać : h(x,0)- H (39) P odobn ie  bę dzie  dla  innych  typów  nieliniowoś ci. 2.  R ozpatrzm y  filtrację   wokół   i  przez  przegrodę   czę ś ciowo  przepuszczalną   (ś cianka szczelna,  ekran  itp.), jak n a rys. 2. D la  uproszczenia  zał óż my, że w ekranie  o gruboś ci  s linie prą du ukł adają   się  poziom o  [13]. N iech prawo filtracji  dla  materiał u ekran u ma postać (35),  tj. prawo  filtracji  z gradien tem  począ tkowym.  E kran  wył ą czymy  z  obszaru  filtracji. h(x, y) 2.  F iltracja  wokół  i  przez  przegrodę   czę ś ciowo  przepuszczalną W  takim  przypadku  wzdł uż  prostej  x  =  0  n astę pować  bę dzie  wypł yw,  a  wzdł uż  prostej x  — s  zasilanie  obszaru  filtracji  tym samym  wydatkiem .  Przepł yw  przez  ekran  na  gł ę bo- koś ci  y(0 < y  < s)  zależ eć  bę dzie  od jego  gruboś ci,  gradien tu  progowego  G  i  róż nicy n apo ró w;  h(0,y)—h(s,y)  > 0.  W  prezentowanym  t u  przypadku  wypł yw  n a  jedn o- stkę   dł ugoś ci  wzdł uż  prostej  x  — 0 i  zasilanie  wzdł uż  prostej  x  =  s  bę dzie  równ e: \ kS~G),  i > G,- f 0 G, (4°) gdzie: I  — h(0,y)- h(s,y) R ówn an ie  (40) jest  nieliniowym  warunkiem  brzegowym,  wią ż ą cym  ciś nienia  piezome- tryczn e  wzdł uż  pun któw  leż ą cych  po obu stron ach  ekran u.  W  zależ noś ci  od geometrii obszaru  filtracji  oraz  wartoś ci  H t ,  H 2 , i  G  wię ksza  lub mniejsza  czę ść  ekran u  może być praktyczn ie  n ieprzepuszczaln a. 3.  Weź my  p o d  uwagę   problem  pł askiej  filtracji  stacjonarnej  do ukł adu drenów,umiesz- czonych n a warstwie nieprzepuszczalnej, zasilanych  przez infiltrację   w. Z uwagi n a  symetrię wystarczy  rozpatrzyć  tylko  obszar  filtracji  ja k rys. 3.  Jeż eli  infiltracja  jest  mał a  i  cał ą dopł ywają cą   wodę   m oże  dren aż przeją ć,  wówczas  n a  granicy  dren u m oż ua przyją ć p  = 0. D la  pewnej  wartoś ci  w  dren aż  zaczyna  pracować  pod  ciś nieniem,  a  ciś nienie  w  drenażu jest,  generalnie  m ówią c,  funkcją   zasilania  dren ażu  Q czyli p  =  f(Q).  P rzed rozpoczę ciem 13  M ech .  Teoret.  i  Stos. 3/ 86 434 B.  WOSIEWICZ obliczeń  nie  m oż na  n a  ogół   roztrzygną ć,  z  którym  przypadkiem  m am y  d o  czynienia. Realniejsze  modelowanie  pracy  dren aż u,  traktowan ego  ja ko  upust  pun ktowy,  polegać bę dzie  n a  przyję ciu  nieliniowego  warun ku  brzegowego: _  (  0  ,  Q  Go,   ( 4 1 ) gdzie  Q o   jest  graniczną   wartoś cią,  przy  której  dren  zaczyna  pracować  jako  przewód  pod ciś nieniem. 3.  D opł yw filtracyjny  do  systemu  drenów a) X!x,y) bl y ~~1   Ox "° T)h~n k(x,yl h- T+H2 x f c 4.  F iltracja  pod jazem  z  drenaż em: a) schemat  problemu, b)  obliczeniowa  idealizacja  zadania Bardziej  zł oż one  warun ki  pojawią   się   w  przypadku,  gdy  interesuje  n as  gł ównie rozkł ad ciś nień  i  prę dkoś ci  w  bezpoś rednim  są siedztwie  dren aż u.  N ależy  wówczas  rozpatrzyć rzeczywiste  poł oż enie  zwierciadł a  wody  w  dren ie. 4.  Przeanalizujemy  n a  koniec  problem  filtracji  pod  jazem  z  dren aż em  przy  ograni- czonej  mią ż szoś ci  warstwy  przepuszczalnego  grun tu  n iejedn orodn ego  (rys.. 4a).  Obliczenia O  FILTRACJI  USTALONEJ  4 3 5 (zwykle  numeryczne)  prowadzi  się  przyjmują c  obszar  filtracji  i warunki  brzegowe  jak n a rys.  4b, zakł adają c  w punkcie P  (drenaż)  ciś nienie p  — 0  [14] lub lepiej  wysokość piezo- metryczną   h =  T +H 2   •   W przyję ciu  takim  tkwi  zał oż enie, że cał a dopł ywają ca  do drenażu woda  jest  przez  dren aż  odprowadzan a  bez  zakł óceń. Alternatywnie  pu n kt  P  m oż na  traktować  jako  ujemne  ź ródło  punktowe  (upust) o  wydatku,  który  generalnie  mówią c,  jest  funkcją   róż nicy  ciś nień  na wlocie  i  wylocie drenażu (42) gdzie AH=h{P)- {T +H 2 ), oraz  strat  miejscowych  n a wlocie  i wylocie  oraz  wzdł uż  dł ugoś ci  drenaż u.  W ten sposób moż emy  uwzglę dnić  rzeczywistą   moż liwość  przeprowadzenia  wody  przez  drenaż. F unkcja f(A  H)  jest jedn ak  nieliniową   funkcją   AH, a zatem  warunek  (42) w punkcie P bę dzie  nieliniowym  warunkiem  brzegowym. Taki  sposób  potraktowan ia  drenażu  wydaje  się   wł aś ciwy  wówczas,  gdy  interesuje n as gł ównie rozkł ad ciś nień i prę dkoś ci w pobliżu  drenaż u, a także wtedy, gdy  zamierzamy sprawdzić  warunki  filtracji  dla pię trzenia H t   wię kszego  niż  t o, dla którego  drenaż zapro- jektowan o. Problemy  podobn ego  typu  mogą   się  również  pojawiać  w zadaniach filtracji  dla zapór posadowionych  na powierzchniowej  warstwie  nieprzepuszczalnej  [15] przy  kontrolowanym odprowadzeniu  wody  z  warstwy  przepuszczalnej. 4.  Numeryczne  całkowanie  problemów  filtracji  z  nieliniowymi  warunkami  brzegowymi Efektywne  rozwią zanie  naszkicowanych  wyż ej  problemów  dla realnych  warunków filtracji  bę dzie  moż liwe  jedynie  n a  drodze  numerycznej.  Wś ród  numerycznych  metod cał kowania  równ ań  filtracji  najwię ksze  uznanie  zdobył y:  metoda  róż nic  skoń czonych (M R S)  [16], m etoda  elementów  skoń czonych  (M ES)  [17)  oraz  rozwijana  w  ostatnich latach  m etoda  elementów  brzegowych  (M EB)  [18],  [19]. N umeryczne  cał kowanie liniowych  problemów  filtracji  wymienionymi  wyż ej metodami sprowadza  zagadnienie  do rozwią zania  ukł adu  algebraicznych  równań  liniowych. W  przypadku  nieliniowych  warunków  brzegowych  M R S, M ES i  M EB prowadzą  do rozwią zania  nieliniowego  ukł adu  równań  algebraicznych  postaci: AX= B(X),  (43) gdzie  A  jest  nieosobliwą   macierzą   współ czynników  liczbowych,  X  wektorem  wartoś ci poszukiwanej  funkcji  w wyróż nionych  N  pun ktach  obszaru  filtracji  i/ lub  brzegu  a  B(X) wektorem,  którego  każ dy  wyraz  jest  w  ogólnym  przypadku  funkcją   wszystkich:^ (/  =  1, 2,,:.N). U kł ad  równ ań  (43) m oż na zapisać  inaczej w  postaci X  =   A~XB{X),  (44) z  której  w sposób  n aturaln y wynika  ogólny  wzór  rekurencyjny  metody iteracji  bezpoś red- 1 3 * 436  B.  WOSIEWICZ nich Z"+ 1  -   A" W ) .  (45) Znają c  (szacują c  lub  zakł adają c)  X" otrzymamy  jednoznacznie  okreś lony  cią g  przy- bliż eń  X1,  X2,  X3,  ....  Jeż eli  tak  otrzymany  cią g  X"  przy  n  - > oo zmierza  do  pewnej  gra- nicy  X*,  to  X*  jest  rozwią zaniem  równania  (43)  [20], M etoda  iteracji  bezpoś rednich  wymaga  jedn okrotn ego  zbudowania  macierzy  A i ob- liczenia  jej  macierzy  odwrotnej  A"1 ,  którą   z reguł y  m oż na  zapamię tać  w  miejsce  zwol- nione przez  A.  N a każ dym  kroku  iteracji  wystarczy  zatem wyliczyć wektor  B{X")  i wyko- n ać  mnoż enie  opisane  zależ noś cią   (45).  M etoda  obliczeń  jest  efektywna,  jeż eli  macierz A  jest  dobrze  uwarunkowana. Taki  sposób  prowadzenia  obliczeń  pozwala  na  istotne  oszczę dnoś ci  czasu  pracy E M C w  stosunku  do  bezpoś redniego  cał kowania  numerycznego  problemów  filtracji  prowa- dzą cych  do  nieliniowego  równania  róż niczkowego.  W takim  przypadku  zagadnienie sprowadza  się   bowiem  do  nieliniowego  ukł adu  równ ań  algebraicznych,  w  którym  współ - czynniki  macierzy  ukł adu  równań  są  funkcjami  rozwią zania.  N a  każ dym  kroku  itera- cyjnym  musimy wówczas budować macierzy  A( X)  i znajdować jej  macierz odwrotną   [21]. W  zagadnieniach  nieliniowych z powierzchnią   swobodną   powstaje  problem  wyznaczenia nieznanego  brzegu  obszaru  filtracji.  Rozwią zanie  m oż na  uzyskać  poprawiają c  jedn o- cześ nie wektor  X"  i poł oż enie powierzchni swobodnej  [22] lub formuł ują c problem z  wyko- rzystaniem  teorii  nierównoś ci  wariacyjnych  [23], M etoda  iteracji  bezpoś rednich  jest  wygodną   metodą   rozwią zania  równ ań  (43) o ile proces  iteracyjny  jest  zbież ny.  Zbież ność metody  m oż na  oszacować  wykorzystują c  wyniki pracy  [20]. Oznaczamy  przez  a^   elementy  macierzy  A " 1  i wprowadź my  funkcje gffl- gaubjiX).  (46) i- i Zał óż my,  że  gdy X i X'  należą   do obszaru  D  zawierają cego  wszystkie  wektory  X"  to  ist- nieją   liczby  dodatnie c tJ (i,j  =   1, 2,  ... N )  takie,  że cyto- xfl.  (47) J - l Proces  iteracyjny  opisany  formuł ą   (44) jest  zbież ny  o ile  n orm a K macierzy  C  speł nia warunek  [20] N ) l .  (48) Jeż eli  funkcje  gi{X)  są  róż niczkowalne,  a ich  pochodn e  ograniczone w obszarze  D,  to - t hc -   '  (49) czyli  liczby  c t j ograniczają   z góry  pochodne  dgi/ dxj. I m  norma AT jest  mniejsza  (wyrazy  c t]  bliż sze zera), tym  zbież ność  szybsza. O  FILTRACJI  USTALONEJ 437 Z wrócić  należy  uwagę ,  że  w  problem ach  praktycznych  z  nieliniowymi  warun kam i brzegowymi  tylko  czę ść  wyrazów  wolnych  b,-  jest  funkcją   i  to  ograniczonej  liczby  niewia- dom ych  Xj,  pozostał e wyrazy  wolne  są   stał ymi. Wówczas  n a  podstawie  (48) zdecydowana wię kszość  wyrazów  cy  m oże  być  wprost  równ a  zeru. W  zreferowanych  w  niniejszej  pracy  przykł adach  posł uż ono  się   konsekwentnie m etodą   iteracji  bezpoś redn ich. 5.  Przykłady  obliczeń R ozpatrzm y  dwa  proste  przykł ady  numerycznego  cał kowania  problemów  opisanych w  p .  2 i  3  (porówn aj  równ ież  przykł ad  analizowany  w  [24] za pomocą  M EB). 1.  Pierwszy  przykł ad  dotyczy  jednowymiarowej  filtracji  w  warstwie  wodonoś nej o  jedn ostkowej  mią ż szoś ci  z  odcinkowo  zmiennymi  wł aś ciwoś ciami  oś rodka  (rys.  5a). x  V  • •   ; •   • • •i y, T b) 5. N ieliniowa filtracja  w warstwie wodonoś nej z odcinkowo zmienną  przepuszczalnoś cią:  a) ogólne warunki zadania,  b)  siatka  róż nicowa,  c) rozkł ad  ciś nień  wzdł uż  dł ugoś ci  warstwy P rzepuszczalnoś ci  okreś lone  są   form uł am i  (18). Przyję to  nastę pują ce  wartoś ci  wsgół czyn- n ików  k oi   =   k 02   =   1,  «i  =>  0,005  i  a 2   =  0, 01.  Warun ki  brzegowe  dla  funkcji  p L (x) dla  0  ^  x  <  a  i p 2 (x)  dla  a  <  x  <  b  są   nastę pują ce -   200,  p 2 (b)  =   100,   Pl (a)  =  p 2 (a), 8x 438  B.  WOSIEWICZ R ówn an ia  róż niczkowe  problem u  mają   postać lx~\ e  ~8x~] Jest  rzeczą   oczywistą ,  że  w  analizowanym  tu  elem en tarn ym  przykł adzie  równ an ia  (51) m oż na  scał kować  bezpoś redn io.  D la  ilustracji  zastosujemy  jed n ak  opisan e  poprzedn io przekształ cenia  linearyzują ce.  Wprowadzają c  nowe  zm ienne  P t   i  P 2   wedł ug  formuł y  (14) uzyskujemy  równ an ia  róż niczkowe - —j1 -   =   0,  (0  <  x  ^  a)  i  ~j~i~   =   0,  (a  ^  x  «S b).  (52) Warun ki  brzegowe  dla  funkcji  P x   i  P 2   bę dą   miał y postać  n astę pują cą: PM  =  200e,  P 2 (b)  =   lOOe, PKa)  « 400i>3(«),  J ^ - . - ^ L.  ( 5 3 ) D o  rozwią zywania  problem u  zastosowan o  m etodę   róż n ic  skoń czon ych.  Rozmiesz- czenie  wę zł ów  i  ich  numerację   pokazan o  n a  rys.  5b.  Z astosowan o  klasyczne  operatory róż nicowe  oparte n a róż nicach centralnych.  U kł ad  równ ań  róż nicowych  m a  p o st ać : - X,- l +2X t - X t+i   =   0  i=l,2,  3, 6, 7,  8;  (54) gdzie: Xi  =   P t (is)  dla  i  -   0 , 1 , 2, 3, 4 oraz X,  =  P 2 [(i- l)s)  dla  / = »  5, 6, 7, 8, 9. Warunki  brzegowe  (53)  w  postaci  róż nicowej  mają   postać  nastę pują cą: X o   =   200e,  X 9   =   lOOe, V-   rtrt  j/ " y  V  V  —  V  V - « 4  —  -  ̂v  ^ - ^ S?  - 4̂  - A $  —  - 6̂ —  - ^ 5' Wprowadzają c  warun ki  brzegowe  (55)  do  ukł adu  równ ań  (54)  otrzymujemy  dogodny do  iteracji  ukł ad  równ ań  algebraicznych  (43)  z  nieliniowoś cią   w  wektorze  wyrazów  wol- nych.  U kł ad  m oż na  prosto  rozwią zać  korzystają c  z  formuł y  (45)  po  przyję ciu  startowej wartoś ci  p^ a)  =  p 2 {a)  =   0,5  [pi(0)+p 2 (b)]  =   150,  ską d  x  =   448,6.  P o  oś m iu  iterac- jach  uzyskano  rezultaty,  w  których  x^ —xj  <  [pi(a)~p 2 (b)]/ l00.  U zn an o  je  za  rozwią - zanie  analizowanego  problem u  nieliniowego  i  pokazan o  n a  rys.  3c  (w  ciś nieniach  rzeczy- wistych).  W  tabeli  1  zestawiono  wartoś ci  P y   i  P 2   otrzym an e  m etodą   róż n ic  skoń czonych oraz  wartoś ci  ś cisłe  otrzym an e  przez  scał kowanie  równ ań  (51)  z  warun kam i  (50),  a  także rzeczywiste  ciś nienia  p t   i  p 2 . Zwrócić  należy  uwagę ,  że  w  analizowanym  problem ie  otrzym an e  za  pom ocą   M R S wartoś ci  ciś nień  P x   i  P 2   zmierzają   do  wartoś ci  rzeczywistych,  gdyż  funkcje  P t   i  P 2   są funkcjami  liniowymi,  a  równ an ia  (54)  odzwierciedlają   ten  fakt  w  sposób  dokł adn y. O  FILTRACJI USTALONEJ 439 D ru ga  uwaga  dotyczy  zbież noś ci.  Oszacowana  n a  podstawie  (48)  n orm a  macierzy  C wynosi  w  tym  problem ie  K  =  0,76,  stą d  stosun kowo  wolna  zbież ność  m etody. Tabela  1 N r wę zła 1 2 3 4 5 6 7 8 x\ b 0,125 0,250 0,375 0,500 0,500 0,625 0,750 0,875 Wartoś ci  i*i i P 2 M etoda  róż nic skoń czonych 509 474  ' 440 405 410 376 341 306 Wartoś ci  ś cisłe 509,03 474,39 439,76 405,14 410,35 375,72 341,09 306,46 Wartoś ci  ciś nieńT  f  (4Ł  IVyuwA  vl U l l l vl l weczywistych 186,84 172,74 157,58 141,18 141,18 132,37 122,70 111,99 2,  P rzykł ad  drugi  dotyczy  problem u  filtracji  analizowanego  jako  pierwszy  w  p .  3. K on kretn e  obliczenia  wykon an o  przyjmują c  nastę pują ce  proporcje  dla  obszaru filtracji  T / L   =   1,  Hy/ L   =   1,  H 2 / L   =   0,  B/ L  »  1/ 2,  t/ L   =   1/20 i ograniczają c  obszar filtracji  z  lewej i prawej  stron y  fundam entu  n a  odległ ość  3L .  D la  cienkiej  warstwy  ogra- niczają cej  od  doł u  obszar  filtracji  przyję to  k t  =   0.001&,  gdzie  k  jest  współ czynnikiem filtracji  w  obszarze  oraz  G  =   12  ja k  dla  ił ów  [25]. D o  obliczeń  zastosowan o  m etodę   elementów  brzegowych  [18],  przyjmują c  elementy dwuwę zł owe  o liniowej  zm iennoś ci h i • ——  wzdł uż brzegów.  Wzdł uż dolnej granicy  obszaru on filtracji  przyję to  15  wę zł ów  rozmieszczonych  równom iernie  co  0,5  L .  Wzdł uż  dolnej i  górnej  wody  wę zły  zagę szczono  zdecydowanie  w  pobliżu  fundamentu  (najmniejsza 23  Zł odległ ość  0,01  L ,  a  najwię ksza  L ).  aby  uzyskać  poprawn y  rozkł ad  - 5—. Cał kowita  liczba on wę zł ów  wynosił a  46.  W  rozwią zaniu  startowym  przyję to,  że  doln a  granica  obszaru  fil- tracji  jest  cał kowicie  nieprzepuszczalna.  W  dalszych  iteracjach  poprawion o  rozkł ad - 5—  w  poszczególnych  wę zł ach podział u n a  elementy korzystają c  z formuł y  (37). P o pię ciu oy iteracjach  wartoś ci  - r—  ustalił y  się   we  wszystkich  wę zł ach  z  dokł adnoś cią   do  pię ciu  cyfr znaczą cych.  Wartoś ci  wysokoś ci  piezometrycznych ustalił y się  z  dokł adnoś cią  do pię ciu  cyfr znaczą cych ju ż p o trzech  iteracjach. N a rys. 6 pokazan o ostateczny rozkł ad wysokoś ci  piezo- metrycznych i funkcji  - —-  wzdł uż prostych  v  =   0 i y  =   T .  Obliczenia wykazał y, że w odleg- 8y ł oś ciach  wię kszych  n iż  /  =   0,75  L   od  fun dam en tu  od  strony  wody  dolnej  cienka  warstwa ił u jest  praktyczn ie  nieprzepuszczalna  przy  powyż ej  przyję tych  param etrach  filtracyjnych i  geometrycznych.  Obliczone cał kowite zasilanie  obszaru  wynosił o  O,556fc,  wypł yw  poniż ej 440 B.  WOSIEWICZ 6.  Rozkł ad  wysokoś ci  piezometrycznych  i funkcji  Bh/ dy  wzdł uż prostych  y  =   0  i  y  =   T   dla  problemu filtracji  pod  fundamentem  przedstawionego  na  rys.  1 fundamentu  0,499fc, a pozostał y przez warstwę  ił u ograniczają cą   obszar filtracji  od warstwy drenują cej  (q  =   0,058&). Obliczenia  porównawcze  wykonane  m etodą   elementów  [22]  prowadził y  do  prawie identycznych  rezultatów  (/  =   0,73L ,  q  =   0,058/ c). W  przeliczonych  zadan iach  tego  typu  (por.  [22])  cią g  przybliż eń  X°,  X1,  X2,  ...  miał ch arakter  oscylacyjny,  zarówn o  dla  M E S jak  i  M E B  a  rozwią zania  uzn an e za  poprawn e uzyskiwano  p o  3- 8  iteracjach. 6.  Podsumowanie P rzeprowadzona  dyskusja  i  przytoczon e  przykł ady  wykazał y,  że  przy  rozwią zywaniu problemów  filtracji  ustalonej  pojawiać  się   mogą   zadan ia  z  nieliniowymi  warun kam i brzegowymi.  M a  to  miejsce  przy  linearyzacji  problem ów  z  nieliniowymi  równ an iam i konstytutywnymi  oraz  przy  obliczeniowej  idealizacji  zł oż onych  zadań  filtracji. Linearyzację   opisaną   w  p .  2  m oż na  wykonać,  jeż eli  przepuszczaln ość  oś rodka  (rozu- m iana  szeroko)  zależy  wył ą cznie  od  poszukiwanej  funkcji.  P ostę powan ie  linearyzują ce jest  celowe  i  z  reguł y  korzystne,  a  stan dardowe  m etody  linearyzacji  sprowadzają   się   do wprowadzenia  odpowiednio  dobran ego  poten cjał u.  W  takim  przypadku  nieliniowoś ci pojawiają   się   w  warun kach  brzegowych  zawierają cych  poch odn e  poszukiwanej  funkcji, tj.  warun ku  drugiego  i  trzeciego  rodzaju  n a  brzegach  zewnę trznych  i  warun ek  cią gł oś ci przepł ywu  n a  granicach  warstw  o  róż nej  przepuszczalnoś ci.  Z wrócić  należy  uwagę ,  że dla  innych  typów  nieliniowoś ci  (n p. przepuszczalność  zależ na  od  gradien tu  funkcji  poszu- kiwanej)  znalezienie  podobn ego  przekształ cenia  nie  wydaje  się   w  ogólnoś ci  moż liwe. Obliczeniowa  idealizacja  zł oż onych  problem ów  filtracji  m oże  prowadzić  do  nielinio- wych  warunków  brzegowych,  w  których  ciś nienie jest jawn ą   funkcją   przepł ywu, poch odn a n orm aln a  do  brzegu  (przepł yw)  jest  funkcją   ciś nienia  bą dź  do  nieliniowych  zwią zków pomię dzy  ciś nieniami  w  pewnych  pun ktach  obszaru  filtracji. Rozwią zanie  realnych  problem ów  filtracji  z  nieliniowymi  warun kam i  brzegowymi wymagać  bę dzie  prawie  zawsze  zastosowan ia  m etod  n um eryczn ych.  M o ż na  je  wykonać wykorzystują c  powszechnie  zn an e  m etody  n um eryczn e.  P rzeprowadzon e  obliczenia O  FILTRACJI  USTALONEJ  4 4 1 przykł adowe  wykazał y  peł ną   przydatn ość  M R S,  M E S  i  M E B  do  rozwią zywania  analizo- wan ych  problem ów. Algebraiczny  ukł ad równ ań  nieliniowych  otrzym an y  w  tych  m etodach m a  w  przypadku nieliniowych  warun ków  brzegowych  postać  (43),  z  której  w  sposób  n aturaln y  wynika form uł a  iteracyjna  (45).  W  kolejnych  iteracjach  macierz  ukł adu  równ ań  pozostaje  stał a, a  zm ien ia  się   wył ą cznie  prawa  stron a. Jest  to bardzo  korzystne  z pun ktu widzenia  kosztów prowadzen ia  obliczeń  n um eryczn ych. Z agadn ien ia  zbież noś ci  M R S,  M E S  i  M E B, ich  dokł adnoś ci  oraz  efektywnoś ci  w  p o - szczególnych  typach  zadań  filtracji  z  nieliniowymi  warun kam i  brzegowymi  wymagają dalszych  badań  i  wielu  obliczeń  porównawczych. Literatura 1.  J.  BE AR ;  Hydraulics of  groundwater,  M c G raw- H ill,  N ew York, 1979. 2.  G . KovAcs;  Seepage Hydraulics, Akademiai  Kiadó,  Budapest 1981. 3.  I I . H.  IloJiyEAPHHOBA- KotiHHA; T eopun demiceuun ipymnoeux eod, HayiKI% 1/ 1972, c.  180 -  186 10.  M . M .  ^jEnmiorAj  HeKomopue neAuneuiibie  sadami  meopuu ffiu/ ibinpauuu,  T eop.  H   nprnoi. iwex. ( M H H C K ) ,  1982,  B.  9,  c.  69  -   74 U .  W. M .  JEN TOW,  Hydrodynamiczna teoria filtrowania cieczy z  teologicznymi anomaliami,  Rozpr.  I nż ., t.  27,  1979, z.  4,  501  -   516. 12.  A.  F ORYŚ,  Konsolidacja  warstwy sprę ż ystej przy  nieliniowym prawie przepł ywu, Arch.  H ydrot.,  t. 26, 1979,  z.  2,  s.  251- 271. 13.  C . H .  H YMEPOBJ  JI . A.  IIAH ACEIIKO; K  eonpocy  o (fiujibmpauuii  e lopiaotimaAbHOM  HanopHOM  nsiacme npu  naAW iuu  uecoeepmenHoU  nojtynponuuaeMoii  duacppaeMbi,  H 3B.  BH H H T,  T. 1263  1978, c.  54- 57 14.  T .  P I WE C KI ,  Z .  SOKOLSKI,  O  rozwią zywaniu niektórych zagadnień  filtracji  ustalonej,  Arch.  H ydrot., t.  17, 1970, z.  2, s.  161- 167, 15.  K.  CZYŻ EWSKI,  W.  WOLSKI ,  S.  WÓJC IC KI, A.  Ż BIKOWSKI;  Zapory  ziemne,  Arkady,  Warszawa,  1973. 16.  L.  C OLLATZ ;  Metody  numeryczne rozwią zywania  równań  róż niczkowych,  PWN , Warszawa, 1960. 17.  O.  C.  ZIEN KIEWICZ,  T he Finite Element  Method, M e G raw- H ill,  London, 1977. 18.  K.  EPEEBH H , C.  YOKE P ;  IJpuMenenue  Mernoda  ipaHummx sjie/ AenmoB  e mexnuKe,  M a p ,  MocKBa, 1982 19.  Boundary Elements, P roc.  5th I n t.  Conference,  H iroshima  1983, Springer  Verlag, Berlin  1983 (Ed. C. A.  Brebbia,  T.  F utagami,  M .  Tanaka). 20.  J,  LEORAJ,  Praktyczne  metody analizy numerycznej.  WTN ,  Warszawa, 1974. 21.  B.  WOSIEWICZ,  Analiza  numeryczna nieliniowej filtracji  ustalonej,  Arch.  H ydrot.,  t. 29, 1982, z.  1/2, s.  53- 76. 22.  B.  WostEwicz, Analiza zagadnień filtracji ustalonej z nieliniowymi równaniami konstytutywnymi, Rocz. AR  P ozn ań ,  R ozpr.  N aukowe t .  162,  1986. 23.  J. T.  OD E Ń ,  T. H .  K I K U C H I ,  T heory of  Variational  Inequalities with Application  to Problems of Flow T hrough  Porous Media, I n t. J. Eng.  Science, t. 18, 1980, n r  10. 442  B.  WOSIEWICZ 24.  P. K.  BENERIEE,  R.  BurrERFrELD  (ed);  Development in  Boundary  Element  Method,  Applied  Science Publishers,  London,  1979. 25.  A.  K E Z D I , Handbook of  Soil  Mechanics,  vol.  1, Akademiai  Kiadó,  Budapest,  1974. P  e 3  IO  M  e H E JI H H E ftH Ł I E  KPAEBŁIE  yC JI OBI 'M   B  SAflA^AX  yC TAH OBH BI I I E fiC fl  # H JI LT P AU ;H H B  p a 6o ie  n oKa3an o,  ^ T O  B  3a # a ia x  ycTaHOBHBineiicH   cbwiLipaiiH H   MoryT  IIOH BJIH TBCJI H we  KpaeBbie  ycjioBH H .  npoaH ajiii3H poBaH o  ranmmbie  n pH wepbi  TaKHX  sappa. pemeH H H   sa fla i  dpHJibTpaqHH  c  HejiHHefiHbiMH   KpaeBMiwn  yanoBHHMH  npeflnoweH O  H3BecTHwe H   (iweTOfl  KOHetiHbix  pa3H0CTeHj  Mexofl  Kone^H bix  3neMeHTOB, MeTOfl  rpaH H H H bix D jie- ) .  Bo n p o c  CBOAH TCH   K peaieH H io  CHcieMbi  H ejiH H eiiiibix  ajireG paiwecKH X  ypaBH eraift  ( 43) , n paM bix  HTepariHH   ( 45) . pe3yjibTaTbi  p S u m m a r y N ON LI N EAR  BOU N D ARY  CON D ITION S F OR  STEAD Y  SEEPAG E  PROBLEM S It  is  shown  in  the paper  that nonlinear  boundary  conditions  can  appear  for  steady  seepage  problems. Characteristic  examples  of  the  problems  are  discussed. Known  methods  (finite  difference  method,  finite  element  method  and  boundary  element  method) are  proposed  for  solving  steady  seepage  problems  with  nonlinear  boundary  conditions.  The  discretized system  can  be  written  as  a  set  of  nonlinear  algebraic  equations  (43),  which  is  solved  by  direct  iteration technique  (45). Results  for  two  typical  problems  are  included. Praca  wpł ynę ł a do  Redakcji  dnia  2  lutego  1984  roku