Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z3.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3,  24, (1986) RUCH  OŚ RODKA  POROWATEGO  WYPEŁNIONEGO  CIECZĄ . OPIS  G LOBALN Y STEF AN   JAN   KOWALSKI Zakł ad Aeroakustyki IPPT  PAN   Poznań 1.  Wstę p Opis  ruchu  oś rodków  wieloskł adnikowych  budzi  wcią ż  jeszcze  wiele  kontrowersji. P rzedstawioną   w  pracy  [11]  (por.  też.  [13])  koncepcję   opisu  takich  oś rodków,  która pochodzi  od  Truesdella,  n ie  m oż na uznać  za  uniwersalną .  Wykorzystuje  się   w  niej  opis wzglę dem  barycentrycznego  ś rodka  mas  wszystkich  skł adników.  W  zwią zku  z  tym, równ an ia  bilansu  skł adają   się   z  czł onów  bę dą cych  dyskusyjnym  i  trudnym  do  zainter- pretowan ia  kon glom eratem  róż nych  wielkoś ci.  P o n ad t o ,  wą tpliwym  wydaje  się   wykorzy- stanie  tej  koncepcji  do  opisu  takiego  oś rodka, jakim  jest  porowate  ciał o  stał e wypeł nione pł ynem .  Tutaj  n aturaln ym  był oby  przyją ć  jako  bazę   odniesienia  konfigurację   ciał a  sta- ł ego,  a  nie  barycentryczny  ś rodek  masy.  Wtedy,  oczywiś cie,  równania  bilansu  dla  cał ej mieszaniny  nie  przybierają   formy  równ an ia  bilansu  dla  oś rodka  jednoskł adnikowego. N aruszon a jest  wię c  zasada  metafizyczna  Truesdella,  że  „ ruch  cał ej  mieszaniny jest  przed- stawiony  takim  samym  równ an iem  jak  ruch  jedn olitego  ciał a".  P on adto  w  równaniach ruchu  dla  oś rodka  porowatego  wypeł nionego  cieczą   powinno  być  uwzglę dnione  dość ewidentne  zjawisko  un oszen ia  czę ś ci  cieczy  zawartej  w  porach  przez  porowate  ciał o,  ' zwane  też  zjawiskiem  sprzę ż enia  ruchu  przez  m asę .  Z n an e  w  literaturze  równania  teorii mieszanin  nie  opisują   niestety  tego  zjawiska. M oż na  wskazać  dwa  typy  równ ań ,  które  uwzglę dniają   ten  efekt.  Są   to  równania zapropon owan e  przez  BI O T A,  [1],  i  D E R SK I E G O ,  [2].  K OWALSK I  W  pracy  [6]  i  nieco  ogól- niej  w  pracy  [7]  przedstawił   pewien  model  wskazują cy  n a  tranzytywnoś ć,  a  tym  samym n a  ekwiwalentność  równ ań  przedstawionych  przez  tych  autorów.  Był   t o  jedn ak  dowód ekwiwalentnoś ci  w  sensie  lokaln ym . P rzedm iotem  niniejszej  pracy  są   dwa  zagadn ien ia:  P o  pierwsze,  bazują c  n a  bilansie masy  i  pę du  (opis  globalny)  wyprowadzić  równ an ia  ruchu  dla  oś rodka  porowatego wypeł nionego  cieczą   z  uwzglę dnieniem  zjawiska  sprzę ż enia  ruchu przez  masę   i zmiennoś ci porowatoś ci  oraz  gę stoś ci  skł adników.  P o  drugie,  wskazać,  że  moż liwe jest  uzyskanie  tą tą   drogą   dwóch  róż n ych lecz  tranzytywnych  form  równ ań , a  mianowicie  równań  n a  wzór D erskiego  i  n a  wzór  Biota. 444  S.  J.  KOWALSKI U zasadnieniem  podję cia  postawionego  zadan ia jest  p ró ba  uporzą dkowan ia  zagadnień zwią zanych  z  opisem  ruchu  oś rodka  porowatego.  R ówn an ia  Biota,  przedstawion e  po  raz pierwszy  w  1956  r.,  stanowił y  przez  wiele  lat  bazę   d o  rozwią zan ia  szeregu  technicznie waż nych  zagadnień  zwią zanych  n p. z  propagacją   fal  w  n asycon ych  oś rodkach  porowatych (por.  n p .  [4]). Wiele  kontrowersji  budził   jedn akże  wystę pują cy  w  tych  równ an iach współ - czynnik  sprzę ż enia  ruchu  przez  masę   p 1 2 .  N ie  został   on  przez  Biota  dostatecznie  jasn o zinterpretowany,  a  indywidualne  jego  interpretacje  przez  n iektórych  autorów  prowadził y do  sprzecznych  wniosków.  Wspom n ian o  o  tym  w  pracy  [7], w  której  również,  w  oparciu o  przyję ty  tam  model,  podję to  próbę   bliż szego  jego  okreś len ia. Wyprowadzone  przez  D erskiego  w  1978  r. równ an ia, prostsze  w  swej formie  i  ł atwiejsze w  interpretacji,  budził y  począ tkowo  sprzeczne  opin ie.  P odczas  dyskusji  w  krę gu  zainte- resowanych  m oż na  był o  usł yszeć  i  takie,  że  stanowią   one  szczególny  przypadek  równ ań Biota., Obecnie  z  kolei  podaje  się   w  wą tpliwość  znaczenie  równ ań  Biota.  W  argumentacji podkreś la  się   niemoż ność  ich  uzyskania  z  równ ań  bilan su  m asy  i  pę du,  przypisują c  jed- nocześ nie  ten  plus  równ an iom  D erskiego,  które  został y  wł aś nie  w  ten  sposób  wyprowa- dzone  (Biot  wyprowadził   swoje  równ an ia  korzystają c  z  równ ań  Lagran ge'a).  W  niniejszej pracy  podję to  próbę   wyjaś nienia  tych  wą tpliwoś ci. Konkluzją   ostateczną   niniejszych  rozważ ań  jest  stwierdzenie,  że  równ an ia  Biota wynikają   z  bilansowania  skł adników  zdeterm in owan ych  funkcją   porowatoś ci  obję toś- ciowej  (równą   ś redniej  porowatoś ci  powierzchniowej),  n at om iast  równ an ia  D erskiego wynikają   z  bilansowania  skł adników  zdeterm in owan ych  funkcją   efektywnej  porowatoś ci powierzchniowej*.  M oż liwa  jest  ich  wzajemna  tran zytywn oś ć,  a  zatem  i  ekwiwalentnoś ć, jeś li  chodzi  o jedn ozn aczn ość  opisu  zjawisk  zachodzą cych  w  oś rodku  porowatym  wypeł - nionym  cieczą ,  wywoł anych  oddział ywaniami  zewnę trznym i. 2.  Zał oż enia  geometryczno- kinematyczne Rozważ ać  bę dziemy  izotropowy**  oś rodek  porowaty  wypeł niony  cieczą   o  statystycz- nie  równom iernym  rozkł adzie  por.  D o  opisu  ruch u  takiego  oś rodka  wykorzystywać bę dziemy  metody  i  zał oż enia m echaniki  oś rodków  cią gł ych.  Wym aga  to  zapostulowan ia dodatkowo  istnienia cią gł ych  i róż niczkowalnych  funkcji,  przyporzą dkowują cych  każ demu pun ktowi  trójwymiarowej  przestrzeni  Euklidesa  obję toś ciowego  udział u dan ego  skł adnika w  rozważ anym  oś rodku.  N ie  bę dziemy  się   tu  zajmować  kon struowan iem  takich  funkcji. Wspomnimy  jedynie,  że  w  m echanice  oś rodka  porowatego  taką   funkcją   jest  porowatość obję toś ciowa,  którą   bę dziemy  tu  oznaczać  sym bolem :  / „ ( *,  0 -   W  oznaczeniu  tym  x  jest pozycyjnym  wektorem  pun ktu  przestrzeni  Euklidesa,  a  t  ozn acza  czas.  P rzy  zał oż eniu obowią zują cym  w  tej  pracy,  że  ciecz  wypeł nia  cał kowicie  pory,  funkcja  t a  wyraża  uł amek obję toś ciowego  udział u  cieczy  w  dan ym  pun kcie  przestrzen i.  Obję toś ciowy  udział   ciał a porowatego  (szkieletu)  wyraża  się   wtedy  ja k o :  1—f v {x,  t). *  W  pracy  [8]  autor  wprowadził   poję cie  podział u fizycznego  i  kinematycznego  mieszaniny  w  zależ- noś ci  od  tego  czy  posł ugiwano  się   funkcją   porowatoś ci  obję toś ciowej  czy  funkcją   efektywnej  porowatoś ci powierzchniowej. **  G eometrię  oś rodka  porowatego  o  anizotropowej  przepuszczalnoś ci Czytelnik znajdzie  w pracy [9]. R U C H   OŚ ROD KA  P O R O WAT E G O ... 445 Odnoś nie  opisu  ruch u  rozważ anego  oś rodka  przyjmujemy  nastę pują cą   koncepcję . Z akł adam y, że pole prę dkoś ci szkeletu  v(x,  t) jest cią głe i róż niczkowalne w cał ym  obszarze z  wyją tkiem  być  m oże  powierzchni  niecią gł oś ci  (w  tym  także  powierzchni  brzegowych). P ole  prę dkoś ci  cieczy  m oże  być  n atom iast niecią gł e, tzn . dwie  czą steczki  cieczy  znajdują ce się   obok  siebie  mogą   poruszać  się   z  prę dkoś ciami  róż nią cymi  się   skoń czoną   wartoś cią. N iecią gł ość  t a  wynika  z  un oszen ia  pewnej  iloś ci  czą stek  cieczy  przez porowate  ciał o  stał e. Wyróż niamy  wię c  pole  prę dkoś ci  czą stek  cieczy  mają cych  prę dkość  róż ną   niż  prę dkość szkieletu  i  pole  prę dkoś ci  czą stek  unoszonych  przez  szkielet,  przy  czym  nie  interesuje  nas profil  prę dkoś ci,  a  ś rednia  wartość  wyraż ają ca  obję toś ciowy  wydatek  cieczy  n a jednostkę czasu.  F unkcję  obję toś ciowego  wydatku  cieczy n a jednostkę  czasu i powierzchni oznaczamy przez  w(x,  t)  i  zakł adam y, że jest  on a  cią gła  i  róż niczkowalna  w  cał ym obszarze  z  wyją t- kiem  być  m oże  powierzchni  niecią gł oś ci.  Istnieje  jeszcze  problem  okreś lenia  efektywnej powierzchni,  n a  której  wydatek  m a  miejsce.  N a  powierzchni  myś lowego  przekroju  może się   bowiem  znajdować  powierzchnia  cieczy,  której  czą stki  mają   w  kierunku  cf  prę dkość Vi. Stwierdzamy  zatem ,  że  obserwacja  pola  prę dkoś ci  cieczy  n a  przekroju  może  stanowić podstawę   do  wyróż nienia  powierzchni  efektywnego  wydatku  cieczy  a e .  Oznaczmy  ele- m en tarn ą   powierzchnię   obserwacji  przez  da,  a  znajdują cą   się   n a  niej  powierzchnię   efek- tywnego  wydatku  przez  da e (  c  & ) .  W  rozważ aniach  bę dziemy  się   posł ugiwać  stosunkiem tych  powierzchni,  t j. f e (x,  t)  =   da e {x,  t)/ da(x)  i  nazywać  ten  stosunek  efektywną   poro- watoś cią   powierzchniową .  N a  rys.  la  przedstawiono  element  izotropowego  oś rodka b) Rys.  1 p o r o wa t ego  wypeł n io n ego  cieczą .  D la  u proszczen ia  obliczeń  przedstawion o  sum ę   m ikro - powierzch n i  efektywn ego  wyd a t ku  w  form ie  kwa d r a t u  o  bo ku  a.  U ż ywając  przyję tych t a m  ozn aczeń  okreś limy  efektywną   p o r o wa t o ść  powierzch n iową   ja k o :  • fe  — ~b 2  " (2.1) N a t o m ia st  p o r o wa t o ść  obję toś ciowa, kt ó r a  stan owi  st o su n ek  obję toś ci  wszystkich  po ró w 446  Si  J.  KOWALSKI do  cał kowitej  obję toś ci,  wyraża  się jak  nastę puje: 3a 2 b  _ a2 *"  £3  b2 '  ( 2- 2) Posł ugując  się naszym  modelowym  rysunkiem  objaś nimy  jeszcze  dwie wielkoś ci, a miano- wicie:  rzeczywistą  porowatość  powierzchniową  i ś rednią  porowatość  powierzchniową. Pierwsza  z nich jest na ogół  nieregularna. Wedł ug rys.  la porowatość t a przyjmuje  wartoś ci: (a 2  + ab)/ b 2  — n a  odcinkach AB i C D , a 2 jb 2  —n a  odcinku BC . Z e  wzglę du  n a nieregularnoś ć,  posł ugiwanie  się tą  wielkoś cią  jest  kł opotliwe.  D latego wprowadza  się poję cie  ś redniej  porowatoś ci  powierzchniowej,  bę dą cej  ś rednią  wartoś cią z  rzeczywistych  porowatoś ci  powierzchniowych. Tą  ś rednią  wartość  okreś lamy  odnosząc  wartoś ci  rzeczywiste  n a poszczególnych  odcin- kach  do cał ej  dł ugoś ci i sumując  je. A  wię c: a a 2   b- 2a_  a  +   ab  a a .  b 2 a Jp  ~  b2  b  b2  b  '  {  } Zauważ my,  że ś rednia  porowatość  powierzchniowa  jest  równ a  porowatoś ci  obję toś cio- wej t j. : / i- 3- p.- / ,.  (2.5) Ilość  cieczy  unoszonej  przez  szkielet  w dan ym  kierun ku jest  2a 2 b.  Róż nicę  ś redniej  poro- watoś ci  powierzchniowej  i efektywnej  porowatoś ci  powierzchniowej  bę dziemy  uważ ać za  m iarę iloś ci  cieczy  unoszonej  przez  szkielet  i ozn aczać: / • • / ,- / .- 2- jj-.  (2.6) W  naszych  rozważ aniach  niezależ nymi  funkcjami  bę dą  wię c:  efektywna  porowatość powierzchniowa: / . =  £ .  (2.7) oraz  porowatość  obję toś ciowa: gdzie dv oznacza  obję tość  cał kowitą  elementu  porowatego,  a dv p  c dv oznacza  obję tość porów  zawartych  w tym  elemencie. Bę dziemy  pon adto  zakł adać, że  dla  oś rodka  izotropo- wego  porowatość  obję toś ciowa  jest  równ a  ś redniej  porowatoś ci  powierzchniowej. 3.  Równania  cią gł oś ci  masy Rzeczywiste  obszary  zajmowane  w  przestrzeni  przez  ciecz i  szkielet  rozważ anego oś rodka  mogą  być  spójne, jedn akże  na ogół  nieregularne. C ał kowanie po  takich  obszarach R U C H   OŚ ROD KA  P O R O WAT E G O . . .  447 mogł oby  być  wię c  bardzo  kł opotliwe.  N iedogodność  tą   eliminujemy  wykorzystują c wł aś nie  okreś loną   w  poprzednim  punkcie  funkcję   porowatoś ci.  Jeś li  Qr s  i  Q}  oznaczają odpowiednie  rzeczywiste  gę stoś ci  szkieletu  i cieczy,  to  masę   szkieletu i cieczy  w  dowolnym obszarze  B,  ograniczonym  gł adką ,  zamknię tą   i zorientowaną   n a  zewną trz  jednostkowym wektorem  norm alnym  n  powierzchnią   8B,  moż emy  okreś lić  jak  nastę puje: m s (t)  =  f  Q' S (X,  t)dv s (x,  t) =  f  Q„(X,  t)dv(x),  (3 u W/ (0  =   /   Q}{x, t)dv p (x,  t) =   fg f (x,  t)dv(x).  n   2 ) B„C)  B Tutaj  B s {t)  i  B p (t)  oznaczają   odpowiednio  obszary  zaję te  przez  szkielet  i  przez  ciecz w  obszarze  B tzn .:  B s (ł )  <=  B i  B p (ł )  c=  B oraz  B s {t)\ jB p {t)  =  B. Wielkoś ci: &( *,  0  -   ers(x, t)[l - f v (x,  / ) ],  (3.4) eA*,  f)  = eK*. t)Mx,  t),  (3.5) przyję to  nazywać  gę stoś ciami  parcjalnymi,  odpowiednio  szkieletu  i  cieczy.  Wynikają one  z zamiany  zmiennych w cał kach  (3.1) i (3.2) przez podstawienie  (2.8), t j. : dva(x,  0  -   [ł  - / „ ( *,  0 ] * ( * ) ,  (3.6) dvp(x,t)  - / , ( *,  t)dv(x).  (3.7) Korzystają c  z zasady  zachowania  masy  szkieletu i cieczy  piszemy: m s (0  = - fo  j  el(*>  0 *i ( *,  0 +   J  [$l(x,  t)da„(x, t)]v(x, t) •  n -   0,  (3.8) f    t)dv p (x,  t)+  J  [tf(x, t)da e (x, t)]w(x,  t) •  n+ 8 • B/0  8B.(f) P  (3.9) +   J  [eK*.0*ii(*.OM *,0'»  =  o. Pierwsze  cał ki w (3.8) i (3.9) okreś lają   lokalne zmiany masy, natomiast cał ki powierzchniowe wyraż ają   strumienie  m as,  przy  czym:  8B,{t),  8B e {t),  8B u (t)  oznaczają   odpowiednio: powierzchnię   szkieletu,  powierzchnię   efektywnego  wydatku  cieczy  i  powierzchnię   un o- szenia  cieczy  przez  szkielet  n a  powierzchni  dB;  dB s (t)\ jdB e (t)vdB„(t)  —  8B. W  poprzednim  punkcie  okreś liliś my  powierzchnię   unoszenia  cieczy  przez  szkielet jako  róż nicę   pomię dzy  uś rednioną   cał kowitą   powierzchnią   cieczy  i  powierzchnią   efek- tywnego  wydatku  cieczy.  Taka  definicja  implikuje  aby  da s  okreś lać  również jako  ś rednią, a  nie  rzeczywistą , powierzchnię   szkieletu.  D okonujemy  wię c  nastę pują cej  zamiany zmien- nych  w  cał kach  (3.8)  i  (3.9): da,(x, t) -   [l- f„(x,  t)]da(x), da e (x,t)=f e (x,t)da(x),  (3.10) da u (x,t)=\ f v (x,t)- f e (x,t)]da(x). 448  S.  J.  KOWALSKI P on adto  wykorzystujemy  zależ noś ci  (3.6) i  (3.7) oraz  twierdzenie  G aussa- Ostrogradz- kiego.  Po dokon an iu  przepisanych  operacji  otrzymujemy: in s(t )  ,  w i ^   +ó iy 6s ( X}  t)v (x t   t)\ dv{x)  =  O,  (3. M f (t)=  f\ 8 ^ f^ -   + div[Q e (x,t)w(x,t) + Q u (x,t)v(x,t)]^ dv(x) = 0,  (3.12) B przy  czym: 6e(x, t) =  Q}{X, t)f e {x,  t), Q„(X, ł ) =  QKX, t)\ f u (x,  ł )- f c (x,  t)],   ( 3 - 1 3 ^ nazywać  bę dziemy  odpowiednio  parcjalną   gę stoś cią   cieczy  swobodnej  oraz  parcjalną gę stoś cią   cieczy  unoszonej  przez  szkielet.  Łatwo  zauważ yć  n a  podstawie  (3.13) i (3.5),  ż e: Qf{x,  t) =  Q e {x,  t)+Q u {x,  t).  (3.14) Cał kowita  gę stość  oś rodka jest  sumą   gę stoś ci  parcjalnych  (3.4) i  (3.5),  t j. : S(x, 0- fo(*i  t)+Q f (x,t).  (3.15) Z  równań  (3.11)  i  (3.12)  wynikają   nastę pują ce  równ an ia  cią gł oś ci  masy  odpowiednio szkieletu  i  cieczy: de, dt • +divQ s v =  0,  (3.16) (3.17) W  równaniu  cią gł oś ci  masy  cieczy  (3.17)  uwzglę dniono  konwekcję   cieczy  przez  szkielet. Z  pun ktu widzenia  kinematyki  wydaje  się  sł usznym  dokon ać takiego  rozdział u skł ad- ników,  aby ich  pola  prę dkoś ci  był y jedn orodn e.  R ówn an ia  (3.16) i  (3.17)  sugerują   w tym wzglę dzie,  aby  szkielet i unoszoną   przez niego  ciecz traktować jako jeden  skł adnik, a ciecz swobodną   jako  drugi  skł adnik. Jeś li  napisać równ an ia  bilansu  masy  dla  tak  wyróż nionych skł adników,  to otrzymalibyś my,  {por. też.  [7]}; dt =   Qt,  (3.18) (3.19) Ul Wielkoś ci  p* i Q* wyraż ają   fakt,  że masy  skł adników  wyróż nione z pun ktu widzenia  kine- matyki nie muszą   być zachowane. M usi być natom iast zachowana masa cał kowita oś rodka, czyli: e *+ e *  =  0.  (3.20) F izycznie Q* = ~Q*  wyraża  prę dkość wzajemnej  wymiany  masy  cieczy  swobodnej  i cieczy unoszonej  przez  szkielet.  Jest  ona  zależ na  od ewolucji  param etrów  stanu, w tym  przede wszystkim n a prę dkoś ci deformacji.  D latego, zdaniem autora, wielkość Q* = ~Q* powinna być  okreś lona  równaniem  konstytutywnym. R U C H   OŚ RODKA  POROWATEG O... 449 4.  Analiza  oddziaływań  mechanicznych P roblem  oddział ywań  mechanicznych  w  oś rodku  wieloskł adnikowym  jest  niezwykle zł oż ony.  P oś wię cono  m u  kilka  prac, n p .  [5],  [10],  [11],  [12], mim o to  trudn o uzn ać go  za definitywnie  rozwią zany.  Kon trowersyjn a  jest  definicja  tzw.  parcjalnego  naprę ż enia. D efinicję   taką   p o d ał   T R U E SD E LL,  [11],  lecz  został a  on a  podważ ona  przez  G U R T I N A, O LI VE R A  i  WI L L I AM SA,  [5].  M oż n aby  się   z  aprobatą   odnieść  do  propozycji  przed- stawionej  przez  tych  autorów,  a  także  niezależ nie  przez  OLI VE R A,  [10], gdyby  przedsta- wion ym  przez  n ich  rozważ an iom  m atem atyczn ym  n adan o  sens  fizyczny.  Trudn o  n p . uwierzyć,  aby  czę ść  wewnę trzną   parcjalnego  naprę ż enia,  zwaną   też  czę ś cią   ź ródł ową, m oż na  był o  a  priori  sform uł ować  w  warun ku  brzegowym,  jak  to  sugerują   autorzy. P oniż ej  przedstawim y  wł asny  pu n kt widzenia  odn oś n ie kwestii  oddział ywań w  oś rodku porowatym  wypeł nionym  cieczą ,  nie  zaniedbują c  przy  tym  sugestii  przedstawionych przez  wyż ej  wymienionych  autorów.  N a począ tku  uczynimy  dwa  istotne zał oż en ia: zanied- bam y  dewiator  w  cieczy  ja ko  pomijalnie  mał y  w  porówn an iu  z  dewiatorem  w  szkielecie (nie  oznacza  to,  że  zan iedbujem y  lepkość  cieczy)  oraz  pomijamy  ciś nienie  dynamiczne w  cieczy,  tzn .  zakł adam y, że  zarówn o  ciecz  swobodna  jak  i  ciecz  un oszon a przez  szkielet podlegają   w  dan ym  pun kcie przestrzen i takiem u  samemu  ciś nieniu rzeczywistemu  p(x,l). da N ~ + M V Rys.  2 Rozważ my  dowoln y  obszar  B  przestrzeni,  do  której  odwzorowano  badany  oś rodek i  rozdzielm y  ten  obszar  n a  czę ś ci  A  i  C  za  po m o cą   gł adkiej  powierzchni  S,  zorientowanej jedn ostkowym  wektorem n orm aln ym e  (rys. 2a). Wydzielmy  n a tej powierzchni element da. N a  rysun ku  2b  zazn aczon o  przez  da r   rzeczywistą   powierzchnię   cieczy,  przez  da e   powierz- chn ię  efektywnego  wydatku  cieczy, a przez da p   ś rednią   powierzchnię  cieczy n a elemencie da. Jeś li  ts  oznacza  rzeczywiste  n aprę ż en ie  w  szkielecie,  a  r  =   — pe  rzeczywiste  naprę ż enie w  cieczy,  to  oddział ywanie  szkieletu  w  C  n a  szkielet  A  oraz cieczy  w  C  n a ciecz A  moż emy wyrazić  n astę pują co: fJ4,C)-   J(l- f r )?da, s f ff (A,  C) =   ffjfda, (4. 1 ) (4. 2) przy  czym  za  pracę   [5]  przyję to  oznaczać  przez f ajj (A,  C)  oddział ywanie  powierzchniowe skł adn ika  /?  w  C  n a  skł adn ik  a  w  A;  f r   — da r lda  oznacza  tu  rzeczywistą   porowatość powierzchniową   w  dan ym  pun kcie  przestrzeni. C ał kowite oddział ywanie powierzchniowe 14  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3/86 450  S.  J.  KOWALSKI substancji  w  C na substancję  w A przez powierzchnię  £ jest  sum ą: f ss (A,  C) +f ff {A,  C) -   /   ftto,  (4.3) gdzie  t  oznacza  cał kowity  (uś redniony)  wektor  naprę ż enia,  równy  sumie  wektorów  par- cjalnych. Jednakże już  w punkcie 2 wspomnieliś my,  że korzystanie  z funkcji  porowatoś ci  rze- czywistej  mogł oby  być kł opotliwe  ze wzglę du  n a jej  nieregularnoś ć.  P o wtóre,  gdyby potraktować  formuł y  (4.1)  i  (4.2)  jako  definicje  parcjalnych  wektorów  naprę ż enia, to wył ania  się trudność  przyporzą dkowania  tym  oddział ywaniom  odpowiednich  popę dów zdeterminowanych  kinematyką  oś rodka.  Parcjalny  wektor  naprę ż enia  musi  więc być tak  skonstruowany,  aby moż na  był o  mu  jednoznacznie  przyporzą dkować  popęd  parc- jalny,  a jednocześ nie  powinien  on  speł niać warunki  twierdzenia  Cauchy o liniowej  zależ- noś ci  wektora  naprę ż enia  od jednostkowego  wektora  n orm aln ego. Jeś li  z kolei  w równaniach  (4.1) i  (4.2)  zastosujemy  inną  funkcję  porowatoś ci  n i ż /r , to  nie moż emy już  mówić, że  parcjalny  wektor  naprę ż enia wyraża  tylko  wzajemne  oddzia- ł ywanie  tego  samego  skł adnika  przez  powierzchnię  S. W ś lad  za definicją  podaną  przez TRUESDELLA.,  [11], mówi  się ,̂  że  dany  skł adnik  podlega  parcjalnemu  n aprę ż en iu, jeś li jego  dział anie na  dowolnie  pomyś laną  diafragmę  jest  równoważ ne  dział aniu wszyst- kich  skł adników  n a  zewną trz  diafragmy  n a  materiał   tego  skł adnika wewną trz  diafragmy. Wedł ug tej  definicji  zamiast  (4.1) i (4.2) powinniś my  n apisać: f«(A,  C)+f sf (A,  C) =   fss(e)da,  (4.4) s f„(4,  C) +f / s (A,  C) =  /   J{e)da,  (4.5) s przy  czym  tutaj f„f{A,  C)  wyraża  oddział ywanie  cieczy  w C na  szkielet  w A, natom iast ff S (A,  C) wyraża  oddział ywanie  szkieletu  w C n a  ciecz w A. Jeś li  zamienimy  obszary  A i C wzajemnie  ze  sobą, pozostawiając  niezmienioną  orien- tację  powierzchni  S, to zamiast  (4.4)  i  (4.5)  otrzym am y: / „ (C , A)+f sf (C,  A)=  f  s%- e)da,  (4.6) s ffAC, A) +f fs (C,  A)  =   /  sf{- e)da.  (4.7) s Z  zasady  akcji  i  reakcji  mamy:  / „( C, 4)  -   - f„{A,  C),  fff(.C,A)  -   - f/ M,  C), f sf (C,  A)  =   - f JS (A,  C), fj- s (C, A)  =   - f sf {A,  C). Wykorzystując  liniową  zależ ność  wek- tora  naprę ż enia od wektora  normalnego,  t j. :  s"(c)  =   — sa(— e);  a.  ~ s,f,  otrzymujemy, na  podstawie  (4.4)- f- (4.7),  relację ;: f sf (A,C)=f fs (A,C),  (4.8) wyraż ają cą  pewną  symetrię  oddział ywań,  a  mianowicie,  że ciecz  w C dział a  n a szkielet w  A z  taką  samą  sił ą  jak  szkielet  w C n a  ciecz w A.  G U R T I N ,  OLI VE R  i WI LLI AM S,  [5], nazwali  taką  symetrię  oddział ywań  paradoksem .  P roponują  oni nastę pują cą  korektę definicji  Truesdella.  Postulują,  aby we  wzorach  (4.4)  i  (4.5)  przyjąć  «"(»)  ź  s/ *(- n); R U C H   OŚ ROD KA  P O R O WAT E G O ...  451 a  =   s,f  i  uzupeł nić  te  formuł y  o  powierzchniowe  oddział ywania  wewnę trzne  f s / (A,  A) iffsiA,  A).  Wtedy  wektory  gł ówne sił  powierzchniowych  mają   postać: f„(A,  C) +f sf (A,  C) +1,(4  ,A)=  J  t\ e)  da,  (4.9) s f„(4,  C) +f, E (A,  C) +f, t (A  , A ) =  f  t f (e)da,  (4.10) s przy  czym t a (e)  m s a (e)+k a (e)  =  - t«(- e).  (4.11) W  pracy  [5]  nazwano  sa(e)  zewnę trznym  a  k a(e)  wewnę trznym  wektorem  naprę ż enia. Korzystają c  z  liniowej  zależ noś ci  parcjalnych  wektorów  naprę ż enia  ts(e)  i  tf(e)  od wektora  norm alnego oraz ze wzoru  (4.3) znajdujemy  nastę pują ce  relacje: AAA,  C)  =   - ~\ f sf (A,  A)+J sf (C,  CD], (4- 12) .  f, s (A,  C)  =   —j\ MA,  A)+f fs (C, C)]. Wykorzystują c  te  relacje  we  wzorach  (4.9) i  (4.10)  otrzymujemy: fm(4t  c)+ fM,A)- fsf(C,C)   =   j  md^ (4.13) Wyraż enie  [f s / (A,  A)—f sf (C,  C)] bę dzie  róż ne  od  zera  na  powierzchni  S  przy  zał oż eniu f S f(A,  C)  #   o lub ff S (A,  C)  ^   0  wtedy  i  tylko  wtedy, jeś li  n a  tej  powierzchni bę dą   istnieć ź ródła  sił   powierzchniowych,  co  naszym  zdaniem jest  moż liwe  tylko,  jeś li  S  bę dzie  po- wierzchnią   osobliwą . Konkludują c  stwierdzamy  że  zał oż enie  a  priori  f a p(A,  C) i=-   0,  a  ^  /?  prowadzi  do kontrowersyjnego  wyniku  wystę powania  ź ródeł   sił   powierzchniowych  na  dowolnej  po- wierzchni  S,  poprowadzonej  myś lowo  przez  oś rodek. N aszym  zdaniem,  oddział ywania  krzyż owe  skł adników  wewną trz  obszaru  ze  skł ad- nikami  n a  zewną trz  obszaru  nie  istnieją ,  z  wyją tkiem  być  może  powierzchni  osobliwych lub  dalekich  oddział ywań.  M ogą   istnieć  natomiast  oddział ywania  krzyż owe  pomię dzy skł adnikami  wewną trz  samego  obszaru.  M amy  tu  oczywiś cie  n a  myś li  oddział ywania in n e  niż  te,  które  wystę pują   w  zwią zkach  fizycznych  (por.  n p.  [1],  [3]).  W  zwią zkach tych parcjalne naprę ż enie w danym skł adniku zależy  od deformacji  wszystkich  skł adników, lecz  są   to  oddział ywania  dylatacyjne. N ie  jest  naszym  celem formuł owanie ogólnej  definicji  parcjalnego  naprę ż enia.  Wydaje się  jedn ak, że definicja  taka  powinna okreś lać izomorfizm  parcjalnego  pę du i  czą stkowych sił   powierzchniowych.  Jeś li  mieszanina  znajduje  się   w  równowadze  wewnę trznej,  tj.  gdy nie  wystę puje  ruch  wzglę dny  skł adników, brak jest wtedy  parcjalnych  pę dów i nie zachodzi potrzeba  posł ugiwania  się   poję ciem  parcjalnego  naprę ż enia. 14* 452  S. J.  KOWALSKI W  tej  pracy  przyjmiemy  zatem  f afi {A,  C) -   0,  x ̂   / ?.  Oddział ywania  wewnę trzne bę dą   wtedy  samozrównoważ one  n a  powierzchni  myś lowego  rozdział u, t j. : f«p(A,  A)+f a „(C,  C)  =  0 n a  S.  (4.14) M oż na  im n adać  okreś lony  sens  fizyczny.  Wielkość  f S f(A,  A)  może  n p .  wyraż ać  oddzie- ł ywanie  na  szkielet  cieczy  przez  niego  unoszonej  itp. Z  powyż szych  konkluzji  wynika,  że n a  parcjalny  wektor  naprę ż enia  skł adają   się oddział ywania  zewnę trzne  z  tym  samym  skł adnikiem  oraz  oddział ywania  wewnę trzne z  pozostał ymi  skł adnikami,  czyli: A,A)=  Jf(e)da, ffM,  C)+MA,  A)=  j  tf(e)da. s F ormuł y  (4.15)  sugerują   pewną   dowolność  w  kon struowan iu  parcjalnego  wektora naprę ż enia.  Moż emy  n p .  skonstruować  wektory  parcjalne  odniesione  do  efektywnej porowatoś ci  powierzchniowej,  bą dź  też  ś redniej  porowatoś ci  powierzchniowej.  W  pierw- szym  przypadku  oddział ywania  wewnę trzne  wynikają   z róż nicy  rzeczywistej  i  efektywnej porowatoś ci  powierzchniowej,  a  w drugim  przypadku  z  róż nicy  rzeczywistej  i  ś redniej porowatoś ci  powierzchniowej.  Przyjmiemy,  że  iloczyn  rzeczywistego  naprę ż enia  dział a- ją cego  w  danym  skł adniku  przez  odpowiadają cą   m u  powierzchnię   dział ania jest  funkcją regularną .  Przy  ż ą danej  gł adkoś ci  obszarów  i  funkcji  moż emy  naprę ż enia  parcjalne t1, dział ają ce  n a  szkielet  wraz z unoszoną   cieczą   oraz  naprę ż enie  parcjalne  t2, dział ają ce  n a ciecz  swobodną   wyrazić  jak  nastę puje: t'=  (\ - f r )f- {f r - f c )pe,  (4.16) t z  =  - PU.  (4.17) D la  tego  przypadku: ł   =   (1 - f r )t\   s'  =   - pf r e,  ą  -   - *J  -   - (fr- fc)pe. Są  to naprę ż enia parcjalne, skontruowane w  oparciu o rzeczywistą   i efektywną   porowatość powierzchniową .  N atom iast  naprę ż enia  parcjalne,  skonstruowane  w oparciu  o  rzeczy- wistą   i  ś rednią   porowatość  powierzchniową   przyjmują   postać: f  =  (l- f r )f- (f r - f p )pe,  (4.18) t f =- pf p e.  (4.19) T utaj: s° -   (1 - f r )k  /   =   - f rP e,  k°  =   - W  =   - (f r - f P )pe. Jak  ł atwo  zauważ yć,  wektory t1 i ts  oraz t2 i tf  róż nią   się   mię dzy  sobą   wartoś cią   ciś nienia wynikają cą   z róż nicy  ś redniej  i  efektywnej  porowatoś ci: (4.21) Wzory  (4.16)- (4.21)  są   istotne przy  formuł owaniu  warunków  brzegowych. R U C H   OŚ ROD KA  P O R O WAT E G O ...  453 5.  Równania  bilansu pę du Rozważ my  ponownie  pewien  obszar  B  ograniczony  gł adką  i zamknię tą   powierzchnią 8B,  zorientowaną   n a  zewną trz jednostkowym  wektorem  normalnym n. Bilans  pę du cieczy swobodnej  zawartej  w tym  obszarze  wyraża  się   nastę pują co: f(- P.fan)da+  J( 6 }f e X+F 21 )dv  =  (  / g}f„wdv)'.  (5.1) SB  B  B Tutaj  Xoznacza  sił y masowe,  a Fx%  sił ę  oddział ywania pomię dzy skł adnikami  (sił ę   dyfuzji). Z astą pmy  funkcję   porowatoś ci f e   w równaniu  (5.1)  funkcją   ś redniej  porowatoś ci  f p . M am y  wię c: / (- Pf p n)da+  f  (Q}f p X+F f l)dv -   ( J  Q }f P wdv].  (5.2) SB  B  B W  powyż szych  równ an iach  przyję liś my  nastę pują ce  przyporzą dkowania  sił   powierzch- niowych  i  pę dów: t 2  =   ~Pfit^ Qffw,   5 tzn .  okreś lonej  porowatoś ci  przy  niezmienionym p,  przyporzą dkowana  jest  okreś lona ilość  masy  biorą cej  udział  w ruchu  przy  niezmienionej  prę dkoś ci  ruchu  w.  Oczywiś cie, cał kowite zmiany czasowe  prawych  stron równań  (5.1) i  (5.2) bę dą   się  róż nić prę dkoś ciami konwekcji.  W pierwszym  przypadku  rozważ amy  bowiem  tylko  ciecz  swobodną ,  która m oże  mieć jedynie  prę dkość  konwekcji  w, a w  drugim  przypadku  cał ą   ciecz,  która  cha- rakteryzuje  się   prę dkoś cią   konwekcji  zarówno  w jak  i v  (por. pun kt 3). R ówn an ia  (5.1) i  (5.2), po  rozpisaniu  prawych  stron i zamianie  cał ek  powierzchnio- wych  n a  obję toś ciowe,  przyjmują   postać: f  (grudo 2 +  6e X+F 2l )dv=  ji^ V -   + divQ e w®w)dv,  (5.4) ,  (5.5) B gdzie  ozn aczon o: O 2  =   - Pfe,  °i  =  ~Pfv  < 5' 6) Bilans  pę du  szkieletu  i unoszonej  przez  niego  cieczy  (traktowanych jako  jeden  skł adnik) opisuje  równ an ie: /   t1da+  f  [(e s  + e«)X+F l2 ]dv  -   ( J( Qs +Q u )vdv)'.  (5.7) SB  B  B Jeś li  wykorzystamy  wzór  Cauchy  dla  naprę ż eń  (tl(n)  jest  liniową   funkcją   wektora  nor- malnego) : t 1  =   aln,  (5- 8) oraz  uwzglę dnimy  fakt,  że masa  (Q S  +  Q U )  posiada  prę dkość  konwekcji  v, t o  równanie 454  S.  J.  KOWALSKI (5.7)  moż emy  przepisać  w  postaci: \ (db/ o 1   + (Q s +Pu)X+F l2 )dv  =   |  w*  ®u>v  +div(Q s +e u )v®v\ dv.  (5.9) B  B  *•   J R ówn an ia  (5.4)  i  (5.9)  opisują   ruch  skł adn ików  zdeterm in owan ych  efektywną   poro- watoś cią   powierzchniową   (skł adniki  kinem atyczne).  Wobec  dowoln oś ci  wyboru  obszaru B,  moż emy  je  n apisać  w  postaci  lokaln ej: U l V( T  i  »•   r  v e s  '  KUJ  Jf  > (5.10) Dt  ' przy  czym,  przy  przekształ ceniach  prawych  stron  wykorzystan o  równ an ia  cią gł oś ci (3.18)  i  (3.19),  oraz  oznaczon o  d{')/ dt  =   3 ( - ) / ^ + w g r a d ( > ).  D(- )/ Dt  =  d(- )jdt+ H >grad(- )- Sił y  dyfuzji  speł niają   warun ek: F 12 +F 2i  -   0.  (5.11) Obecnie  ł atwo  zauważ yć,  że  równ an ie  kom plem en tarn e  do  (5.2)  powin n o  m ieć  p o st ać: J  fda+  f( es X+F")dv  -   ( /   [(e s +Q«)v- Qu w]dvY  (5.12) dS  B  B M asa  szkieletu  i  cieczy  unoszonej  przez  szkielet  mają   prę dkość  konwekcji  v.  D la  wektora naprę ż enia  t*(n)  wykorzystamy  formuł ę   C auch y: t s  =   + e 1 3  F ) +  d i v[ ( e n «  +  e i 2  V)®v], (5.16) R U C H   OŚ ROD KA  P O R O WAT E G O . . .  455 gdzie  o zn a c zo n o : 0 = 0 —  =   -   ®"®f  -   (5171! Z róż n iczkujemy  prawe  stron y  ró wn ań  (5.16)  wprowadzają c  ozn aczen ia: don  j .  „,  SQI2  J-   * 1  v  =   Qn,   a t   + d ivg1 2 t ?  =   gf2,  Q8t (5.18) — «* * 8t  • —«*'  ^ '  ^ Otrzym ujem y: diver5H - gj.X'+ f̂   =   Q*tv + Q*2 V+QiiV  +  Qiz  V» g r a d ( / + Q f X + f  -   gJ 2 *«+ e !2 *  F +  g 1 2 i 5 + o 2 2 F ,   ( 5 <  1 9 ) przy  czym  „ k r o p k a "  n ad  sym bolem  ozn acza  poch odn ą   m aterialn ą   z  prę dkoś cią   kon - wekcji v,  a „ p r i m " p o ch o d n ą  m aterialn ą   z  prę dkoś cią   konwekcji  V.  Wielkoś ci  Q\ 2   =   —Q*I i  o **  =   —Q* 2 ,  p o d o bn ie  ja k o*  =   —o *  powin n y  być  okreś lone  równ an iem  konstytu- tywn ym . R ó wn an ia  (5.10) i  (5.19), jeś li  pom in ą ć w n ich  czł ony ź ródł owe, są  analogiczne  odpo- wiedn io  ja k ró wn an ia  D E R SK I E G O ,  [2], i  BI O T A,  [1]. 6.  U wagi  koń cowe P rzedstawim y  jeszcze  kilka  uwag  uzupeł niają cych  dotychczasowe  rozważ ania. Bez dowodu, gdyż ł atwo t o  sprawdzić,  podam y,  że pom inię cie  dewiatora  n aprę ż eń  w  cieczy implikuje  autom atyczn ie  sym etrię   rozważ an ych  przez  n as  parcjalnych  ten sorów  n aprę - ż en ia,  t j. : ff1  =   ( ( T 1 ) 7  i  ffs  =   ( < r s ) r .  C 6 - 1 ) Aby  okreś lić  wartoś ci  brzegowe  parcjaln ych  ten sorów  n aprę ż en ia,  należy  znać n a brzegu :  rzeczywistą   wartość  wektora  n aprę ż en ia  w  szkielecie  f,  rzeczywiste  ciś nienie cieczy p,  rzeczywistą   po ro wat o ść  powierzchn iową   / ,  oraz  efektywną ,  jeś li  korzystam y z  ró wn ań  (5.10),  lu b  ś redn ią,  jeś li  korzystam y  z  ró wn ań  (5.19),  porowatość  powierzch- niową .  Wt edy: ^ n  =   (1 - f r )  i s   -   (f T  ~fe)pn  m  funkcja  dan a,  ^ a 2 n  =   —pf e n  = funkcja  dan a, lu b : ff'n  =   (1 - / ,) ts-   (f r - f P )pn  = funkcja  dan a, a f   —  ~pf p   — funkcja  dan a. Jeś li  w obszarze  B przem ieszcza  się   z prę dkoś cią   c powierzchn ia  niecią gł oś ci  S, zorien to- wan a  jedn ost kowym  wektorem  n orm aln ym  e  (rys.  2a),  to n a  tej  powierzchni  zacho- 456 S.  J.  KOWALSKI (6.4) dzą   nastę pują ce  warun ki  cią gł oś ci  kinem atycznej  i  dyn am iczn ej: —  dla  skł adników  kinematycznych [\ Q s +Qu)(v- c)- e\ ]  =   0 ,  [\ Q e (w- ć )- e\ ]  =  0 , [ I *1 !]  =   [\ QS +  QU)V(V  —  C)  •   e\ ],  [\ t2\ ]  —  [\ Q e w(w  —  c)- e\ ], —  d l a  s k ł a d n i k ó w  fi z yc z n yc h [le.( «- c) ««|]- 0,  [\ QAV~C)  -   e\ ] -   0, I l' *|]  -   [ I ( e u «  +   e i 2  V){v- c)  •   e\ ],  [ |^ |] =   [\ (Q 12 v  +  Q 22   V){V- Ć )  •   e\ ],   ( 6 > 5 ) przy  czym  [\ q>\ ]  =     M e OTED KEH H E LTOP H CTOń  CPEJTBI  BBin OJI H E H Ofł   5KH.HKOCTŁIO.  OBI Ę H li  O I I H C Ł paSoTBi  HBjmeTCH   BbiBeflerone  H3  6anaH ca  Maccw  u  KoraraecTBa  flBH *eH H fi  ypaBH emrfł flJW  nopHCTOH   Cpeflfel  3an0JIHeHH0H  H. ŷ JHTŁIBaeTCJI npH   3T0M   COnpjBKeHHe  flBH - H cemw  KOMnoHeHTOB ' le p e c  M accy,  jraiweH emie  n opucTocm i  u  IU IOTH OCTH   KOMUOHeirroB. noi