Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z4.pdf M EC H AN I KA TEORETYCZNA i  STOSOWANA 4,  24,  (1986) M E T O D A  AU T O M AT YC Z N E G O  U KŁAD AN IA  R ÓWN AŃ   R ÓWN OWAG I  W O BL I C Z E N I AC H   ST AT YC Z N YC H   O R T O T R O P O WYC H ,  LI N I OWO- SP R Ę Ż YS- T YC H ,  C I E N K O Ś C I E N N YCH   P R Ę T ÓW  P R YZ M ATYC Z N YC H   O  D OWOLN YM P R Z E K R O J U   WI E LO O BWO D O WYM Z E N ON   G ÓR E C KI Instytut  Okrę towy  Politechniki  Gdań skiej 1.  U wagi  wstę pne W  pracach  [1],  [2], [4] przedstawion o  m etodę   obliczania  naprę ż eń i  przemieszczeń dla prę tów  pryzm atycznych  cienkoś ciennych  o przekroju  zam knię tym.  P odan o  zał oż enia pół - bezmomentowej  teorii  powł ok  i  pół bezm om en towej  teorii  ramowo- powł okowej  opraco- wanych  n a podstawie  podan ej  przez  W.  Z . Wł asowa  ogólnej  teorii prę tów  cienkoś ciennych [3],  R ozważ an ia  pro wadzo n o  w  obliczeniach  statycznych  kadł ubów  statków  bezgrodzio- wych. • W  celu  zautom atyzowan ia  obliczeń  opracowan o  m etodę   konstruowania  macierzy współ czynników  u kł ad u  róż n iczkowych  równ ań  równ owagi.  P odstawę   metody  stanowi uogólnienie  wzoru  Wł asowa  n a obliczanie  liczby  stopn i  swobody w pł aszczyź nie  przekroju poprzecznego  prę ta  oraz  sposób  kon struowan ia  funkcji  kształ tu ip dla  przemieszczeń  stycz- nych.  C ał ość postę powan ia  przystosowan o  w program ie  n a maszynę   cyfrową   do  generowa- n ia  macierzy  współ czynników  ukł adu,  w  których  interpretacja  niewiadomych  nie jest w  trakcie  pracy  m aszyny  zn an a. W  celu wykon an ia  obliczeń  wystarczy  podać nastę pują ce  informacje  dotyczą ce  analizo- wanej  kon strukcji: —  liczbę   wę zł ów  w  przekroju  poprzeczn ym  prę ta —  tablicę   poł ą czeń  wę zł ów  mię dzy  sobą —  współ rzę dne  wę zł ów  w  dowoln ym  kartezjań skim  ukł adzie  współ rzę dnych —  charakterystyki  geom etryczn e  i m ateriał owe elementów  mię dzywę zł owych  (gruboś ci odcinków,  m oduł y  Youn ga,  Kirchhoffa  oraz  liczby  P oissona) —  obcią ż enie  zewn ę trzne  elem entów  prę ta  oraz  rodzaj  warun ków  granicznych. 2.  C ał kowita energia  mechaniczna ukł adu M acierzowa  postać  równań  równowagi R ozpatrujem y  prę t  pryzm atyczn y  cienkoś cienny  posiadają cy  w przekroju  poprzecznym skoń czoną   liczbę   zam kn ię tych  kon t u rów  (rys.  1). 520 Z .  G ÓRECKI N a  każ dym  kon turze  zamknię tym  Ki  przekroju  wprowadzam y  współ rzę dną  krzywo- liniową  s  mierzoną  po  dł ugoś ci  kon turu.  W  każ dym  pun kcie  kon t u ru  K t   wprowadzam y ukł ad  trzech  wersorów  7 it   ń t ,  i ( ,  lewoskrę tny,  taki  że 7; —  wersor  zgodny  z  kierunkiem wzrostu  współ rzę dnej  s,  ń t   —  wersor  norm alnej  zewnę trznej  do  kon turu,  b t   —  prosto- padł y  do  dwóch  pozostał ych i  skierowany  zgodnie  ze  skrę tnoś cią  osi  z  (rys.  1). i 3 A 5 t/r* '  In Rys. T  2 S  4 5   6 1. 7 Przemieszczenia  powł oki  zadajemy  w  postaci  wektora  przemieszczenia  R  (z,  s)  funkcji dwóch  zmiennych  z,  s gdzie:  z —  współ rzę dna wzdł uż  belki s —  współ rzę dna w  kierun ku  obwodowym i rozkł adamy w bazie  lokalnej 7, ń, b  (rys.  1) R(z,  s)  =   u(z,  s)  •   b+v(z,  s)  •   l+w(z,  s)  •   n,  (2.1) N a przemieszczenia  n akł adamy wię zy powodują ce,  że współ rzę dne wektora  przemieszczenia m oż na wyrazić w  formie  sum  iloczynów  dwóch  funkcji  o zm iennych  rozdzielonych, =  £  Ui(z)q>i(s) v(z,s)= k- l w(z, s)  =   £  W j(z)   X j(s) (2.2.1) (2.2.2) (2.2.3) w  których funkcje  zmiennej  z:  U t {z), V^ z),  W j(z)  są  funkcjami  poszukiwanym i,  zaś  funk- cje współ rzę dnej s:  q>i(s),  y>k(s), %j(s) stanowią  bazy, w których  rozł oż one są  przemieszczenia R(z,s). Przyjmując  m ateriał   sprę ż ysty  ortotropowy  o  osiach  ortotropii  b,  I, n  i  uwzglę dniając zał oż enia poł bezmomentowej teorii powł ok  [1] otrzymujemy  wyraż enie  n a cał kowitą  energię « sprę ż ystą  odkształ cenia dv \   du l dv 3w  dv  \   M 2  , • fl-   +  - fl-   +   n ~ }*  ^ z du \   dv lte}~ds (2.3) U KŁ AD AN IE  RÓWNAŃ  RÓWN OWAG I. 521 gdzie: 1 - 1 .2 Ex,  E 2   —  m oduł y  Youn ga "12.^21  —  stał e  P oisson a G   —  m o du ł   ś cinania  (Kirchhoffa) d  —  grubość  powł oki  (stał a n a  odcinku  mię dzy  wę zł ami) K  —  zam kn ię ty  ko n t u r L   —  dł ugość  powł oki. Obcią ż enia  powł oki  zadajemy  w  postaci  wektora  p  (z,  s)  funkcji  dwóch  zmiennych  z,  s i  również  rozkł adamy  w  bazie  ń , I,  b p(z,  s)  =  p„(z,  s)  •   n+p s (z,  s)  •  l+p b (z,  s)  •   b.  (2.4) P racę  sił   zewnę trznych  zapisujemy  w  postaci: L  L A =  /   [fp(z,ś )- R(z,s)ds]dz =  J 0  K 0  K (2.5) Wykorzystujemy  dalej  zał oż en ia  teorii  ramowo- powł okowej  [1]  w  której  hipotezy  defor- macji  wystarczy  n arzucić n a  funkcje  u(z,  s),  v(z,  s)  a  m ian owicie: (2.6.1) (2,6.2) u(z, s) =  2 1  Ut(z) •   0t(s) m v(z, s) =  2 1  V*& •   W^ a  funkcje  w{z,  s)  —  £  W j(z)Xi(s)  nie są  potrzebn e do peł nego opisu  przemieszczeń  ponie- waż  są  jedn ozn aczn ie  okreś lone  przez  funkcje  v(z,  s)  [1], Z  warun ku  ekstrem um  funkcjonał u  cał kowitej  energii  mechanicznej  p o  wykorzystaniu (2.6)  i  wprowadzen iu  zapisu  macierzowego  otrzymujemy  ukł ad  równań  róż niczkowych T , [M„,] T - [M V ,J' T 2 f rr ]+[M FF ] (2.7) Szczegół y  obliczeń  m acierzy  współ czynników  po dan o  w  [1]. 522 Z .  G ÓRECKI 3.  M etoda  ukł adania równań  równowagi  dla prę ta  pryzmatycznego o przekroju  dowolnym  wieloobwodowym 3.1. Opis metody.  R ównania  równowagi  (2.7)  są   równaniam i  róż niczkowymi  drugie- go  rzę du.  Ich  liczbę   okreś lamy  n a podstawie  niewiadomych  przemieszczeń  binormalnych i  stycznych  do kon turu w oparciu o przyję tą   hipotezę   deformacji  (2.6).  Liczba  niewiado- mych  odpowiada  liczbie  funkcji  kształ tu 2- (n+k).  (3.1) D o  rozważ ań  wybieramy  funkcje  kształ tu k(s) nie uwzglę dniają   wpł ywu sił  osiowych  w prę cie są  zatem stał e n a  odcinku  mię dzywę zł owym. Liczba  funkcji  CJ, odpowiada  liczbie  stopni  swobody  w kierun ku  bin orm aln ym  (równa liczbie wę zł ów w ramie bę dą cej  przekrojem  poprzecznym prę ta cienkoś ciennego). P odobn ie liczba  funkcji  y  odpowiada  liczbie  stopni swobody  w pł aszczyź nie przekroju  prę ta. W  dowolnym  przekroju  wieloobwodowym  istnieją   ograniczenia  kinematyczne  zmniej- szają ce  liczbę   stopni  swobody  i wprowadzają   ograniczenia n a dobór  funkcji  tp.  Okreś lenie liczby  stopni swobody w pł aszczyź nie przekroju  prę ta i dobór funkcji  f  wymagają   szerszego omówienia. 3.2.  Okreś lanie liczby stopni swobody w płaszczyź nie przekroju prę ta:  Liczba  stopni  swobody  W elementu  pł askiego  wyraża  się  wzorem  [3] t  w =  2n- c  (3.2) gdzie: w — liczba  stopni  swobody  w pł aszczyź nie  przekroju  prę ta n — liczba  wę zł ów c — liczba  odcinków  ł ą czą cych  wę zł y. W  przypadku  przekroju  dowolnego  skł adają cego  się  z wieloką tów  dowolnego  kształ tu wzór ten  nie jest  sł uszny  (rys.  4c, d,  t ) . U KŁAD AN IE  RÓWNAŃ  RÓWN OWAG I. 523 Poniż ej  przedstawim y  wyprowadzenie  wzoru  pozwalają cego  okreś lać  liczbę   stopni  swo- body  dla  dowolnego  przekroju  wieloobwodowego.  Kształ t profilu  okreś lamy  przez podanie liczby  wę zł ów  i ich współ rzę dnych w  dowolnym ukł adzie kartezjań skim  oraz przez podan ie tablicy  poł ą czeń  mię dzywę zł owych  (n p. rys.  1,  tab.  1). Wprowadzamy  poł ą czenia  fikcyjne mię dzy  wę zł ami takie  aby  cał y  profil  skł adał   się   tylko  z trójką tów  (liczba wę zł ów nie może ulec zm ianie). T aka figura  m oże w  pł aszczyź nie przemieszczać  się   tylko jako  ciał o  sztywne i  posiada  trzy  stopn ie  swobody. a) b) e) t) Rys.  4. Tablica  1. Współrzę d- na  X Wspótrzę d- na  Y • j^Nrwez- wez4cr~- - 4g 1 2 3 U 5 6 7 8 X1 Y1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 X2 Y2 2 1 0 0 1 0 0 0 0 X3 Y3 3 1 0 0 1 1 0 0 0 Xi YA t, 0 1 1 0 0 1 0 0 X5 Y5 5 0 0 1 0 0 1 1 0 X6 Y6 6 0 0 0 1 1 0 0 1 X7 Y7 7 0 0 0 0 1 0 0 1 X8 Y8 8 0 0 0 0 0 1 1 0 Jeż eli  w  <  3  (rys.  4d —  m oże  być  n awet  liczbą   ujemną ),  oznacza  to, że  pewne poł ą czenia mię dzywę zł owe  mogł yby  nie  istnieć,  a  profil  był by  n adal  ciał em  sztywnym.  Stą d  wniosku- jemy,  że  pewne  poł ą czen ia  są   „ przesztywniają ce".  Liczbę   tych  poł ą czeń  m oż na  okreś lić z  zależ noś ci z  =  3- w  (3.3) gdzie: z —  liczba  „ przesztywn ień ". Przyjmujemy,  że  liczba  „ przesztywn ień "  z  skł ada się   z  sumy Z  —  Z ± +Z 2 . (3 . 4 ) 524  Z .  G ÓRECKI Liczby  z t   i z 2  okreś lamy  nastę pują co.  Zał oż ymy, że jakiś fragment  profilu  bez poł ą czeń fik- cyjnych  skł ada się  z pewnej figury  geometrycznej, która zbudowan a jest z trójką tów.  G dyby t ę   figurę   rozpatrywać  oddzielnie  miał aby  „ przesztywnienia". Takich fragmentów  może być wię cej  a suma  wszystkich  „ przesztywn ień "  daje  n am  licz- bę  z 1 .  Oczywiś cie jeż eli  „ przesztywnień"  we fragmencie  profilu  nie m a to z x   =  0.  G dy teraz wprowadzim y  r  poł ą czeń  fikcyjnych  i okreś limy  liczbę   z  wedł ug  wzoru  (3.4)  to jest mo- ż liwe,  ż ezj.  Ą=  z 2 . Oznacza  to, że pewne poł ą czenia fikcyjne  dają   „ przesztywn ien ia".  Liczbę poł ą czeń fikcyjnych,  które  dają   „ przesztywnienia"  okreś lamy  przez  z 2 . Wprowadzają c  pewną   liczbę   poł ą czeń  fikcyjnych  (wię zów  dodatkowych)  ograniczamy liczbę   stopni  swobody.  Mają c" na uwadze,  że poł ą czenia  fikcyjne  dawać  mogą   „ przesztyw- n ien ia"  to liczba  wię zów  ograniczają cych  liczbę   stopni  swobody  jest : r t   =  r- z 2 .  .  (3.5) Rzeczywistą   liczbę   stopni  swobody  k  okreś lamy  n astę pują co: k  =   w + z + / v  (3.6) Wykorzystują c  (3.4) i  (3.5) i wstawiają c  do  (3.6)  otrzymujemy k  =  w + z 1 +z 2   + r- z 2   (3.7) stą d: k  -   w + Zy + r.  (3.8) Wzór  (3.2)  m oż na  wię c  zapisać  w  postaci w -   In -   c t   = 2n- (p+r).  (3.9) Jest  to „ poprawion y"  wzór  Wł asowa  uwzglę dniają cy  przesztywnienia.  P oszczególne  litery oznaczają : c x   — ł ą czna  liczba  poł ą czeń  mię dzywę zł owych  rzeczywistych  i  fikcyjnych p  —liczba  rzeczywistych  poł ą czeń  mię dzywę zł owych r  — liczba  fikcyjnych  poł ą czeń  mię dzywę zł owych Jeż eli  (3.9)  wstawimy  do  (3.8)  otrzymujemy. k  = w+z L  + r  -   2n- {p  + r)+z Y +r,  (3.10) stą d: k  =  2n- p+z L .  (3.11) Ostatnia zależ ność oznacza, że w celu okreś lenia liczby  stopni swobody  profilu  w pł aszczyź- nie przekroju  należy  obliczyć  liczbę   „ przesztywnień"  z t .  P ozostał e  wielkoś ci  nip  są  dane. M ają c  dane n i  obliczone k  okreś lamy  liczbę   niewiadomych  funkcji  Uj, V t   (j  =  1, 2, ... ... n, I =   1,2, ... k) a tym  samym  liczbę   równ ań  róż niczkowych  równowagi. Przykł ad.  P rzekrój  n a rys.  5a skł ada  się  z  samych  trójką tów.  Korzystają c  z  wzoru  (3.2) otrzymujemy  w -   1. Jako  ciał o  sztywne  przekrój  ten m a 3  stopnie  swobody  stą d  liczba „ przesztywn ień "  z x   =  2. Przekrój  n a rys.  5b zawiera  czę ść  4- 5- 6- 7- 8- 9- 10- 11- 12  skł adają cą się  z trójką tów.  R ozpatrują c tę  czę ść  oddzielnie  otrzymujemy  z wzoru  (3.2)  w =   2 (n =  9, c  =  16). Stą d  wynika,  że posiada  „ przeszt ywn ien ia'^!  =   1. R ozpatrują c  cał y  profil  otrzy- mujemy  z wzoru  (3.11)  k  -   4 (n =   12, p  =  21, z t   =  1). U K Ł AD AN I E  R Ó WN AŃ   R Ó WN O WAG I . 525 b) /   5 /   B / / 10   11   12 5 r  8 / 10   11   12 10   11   12 d) e) 10   11   12 / / / / /   5 / / / / ' R V /// .// '? / / / 10   11   12 Rys.  5. P rzekrój  n a  rys.  5c zawiera  dwie  czę ś ci  skł adają ce  się   z trójką tów.  Czę ść pierwsza  (linia cią gła  i  przerywan a)  2- 3- 5- 6,  dla  której  z "  =   0  oraz  czę ść  drugą   (linia  cią gła  podwójna) 4- 5- 7- 8- 10- 11- 12 dla  której  z"  =  0.  Korzystają c  z  wzoru  (3.11)  otrzymujemy  liczbę   stopni swobody  k  =   3  («  =   12, p  =  21, z L   =  0). P odobn ie  obliczamy  liczbę   stopni  swobody  dla profilu  n a  rys.  5d  (Je  =   4). P rzekrój  n a  rys.  5e n ie zawiera  czę ś ci  skł adają cej  się  z trójką tów,  a zatem nie m a „ prze- sztywnień"  (linią   przerywaną   zazn aczon o  poł ą czenia fikcyjne).  W  tym  przypadku  k  =   7 {»  .  12, p  -   17, z x   =   0). 3.3.  Wybór  i budowanie funkcji  kształ tu.  Rozpatrujem y  dwa  przypadki: 1.  P rzekrój  prę ta jest  sztywny 2.  P rzekrój  prę ta  n ie jest  sztywny. 3.3.1.  Przekrój prę ta jest ciałem sztywnym.  P rzekrój  prę ta  bę dą cy  ciał em  sztywnym  posiada trzy  stopnie  swobody.  W  tym  przypadku  funkcje  y>  okreś lamy  nastę pują co: a)  wybieramy  jeden  trójką t  (dowolny)  wchodzą cy  w  skł ad figury  wyznaczają cej  przekrój poprzeczny  prę ta cienkoś ciennego  (zawsze  istnieje  co najmniej  jeden  trójką t  w  przypad- ku  ciał a  sztywnego) b)  przyjmujemy  jeden  z  wierzchoł ków jako  chwilowy  ś rodek  obrotu c)  zakł adam y  o bró t  trójką ta  o  ką t  a  =   1  i  okreś lamy  przemieszczenia  na  boku  przeciw- legł ym  do  chwilowego  ś rodka  obrotu,  przemieszczenia  styczne  tego  boku  traktujem y jako  zadan e d)  okreś lamy  wszystkie istnieją ce  przemieszczenia  styczne  n a  pozostał ych elementach kon - turu  od  zadan ego  przemieszczenia. 526 Z .  G ÓRECKI W  ten  sposób  otrzymujemy  pierwszą   z  funkcji  ip. Pozostał e funkcje  okreś lamy  w  ten  sam sposób  przyjmują c  za  chwilowe  ś rodki  obrotu  kolejne  wierzchoł ki  trójką ta. Poniż ej  przedstawimy  przykł ad budowania  funkcji  ę   dla  przekroju  sztywnego.  Rozwa- ż amy  przekrój  sztywny  jak  n a rys.  6. Wę zły ponumerujemy w  sposób  dowolny.  Wybieramy jeden  trójką t  n p.  1- 2- 6. Z a chwilowy  ś rodek  obrotu przyjmujemy  wę zeł   1 i  obracamy  o  ką t «i  •   1. Przekrój  przemieś ci się  jak  n a rys. 7. Przed przystą pieniem  do okreś lania  funkcji  ^ 1 Rys.  6. Rys.  7. n a poszczególnych prę tach posł uż my się  nastę pują cym  rozumowaniem. Wybieramy  odcinek AB  (rys. 8) i dokonujemy jego obrotu wzglę dem  chwilowego  ś rodka  obrotu 0. P un kty A  i B po obrocie przyjmują   poł oż enie C i D. Przeprowadzamy proste przez A  i B oraz przez C i D. Sjest  punktem przecię cia  się   tych prostych. M oż na wykazać,  że  ką t  a x  (ką t  przecię cia  się prostych ABS  i CDS) jest równy ką towi  a (co ł atwo moż na sprawdzić prostym rachunkiem). Jak  wynika  z rys.  8 przemieszczenie styczne  odcinka AB  n a kierunku AB  (kierunek współ - rzę dnej  s) jest równe- A AB   m  SA- SC  (3.12) lub A M   =   SB- SD.  (3.13) Okreś lone  relacjami  (3.12) lub  (3.13) przemieszczenie  styczne jest  po  prostu  funkcją   ip dla odcinka  AB. Postę pując  w podany wyż ej  sposób potrafimy  okreś lić  przemieszczenia  styczne  dla  każ- U KŁAD AN IE  RÓWNAŃ   RÓWNOWAG I.  527 dego  prę ta  przy  zadan ym  przemieszczeniu  innego  prę ta  (rys.  7), a  tym  samym  funkcję   ip x . F unkcje  f 2   i  Vi  okreś lamy  analogicznie. 3.3.2. Przekrój prę ta nie jest dał em sztywnym.  P rzekrój  prę ta  nie  bę dą cy  ciał em  sztywnym posiada wię cej  niż trzy  stopn ie swobody.  W  celu  okreś lenia  funkcji  yj postę pujemy  nastę pu- ją c o: a)  wprowadzam y  poł ą czen ia fikcyjne  mię dzy  wę zł ami  w  takiej  liczbie  aby  cał y  przekrój skł adał   się   z  sam ych  trójką tów  (liczba  wę zł ów  nie  może  ulec  zmianie —  prę ty  fikcyjne nie  mogą   się   krzyż ować ). b)  P rzekrój  zł oż ony  z  sam ych  trójką tów  jest  ciał em  sztywnym  wię c  moż emy  okreś lić  trzy funkcje  y> dla takiego profilu  w sposób podan y w p. 3.3.1 pracy. Oczywiś cie  przemieszcze- n ia  bę dą   rejestrowan e  tylko  dla  poł ą czeń  rzeczywistych  bez  wzglę du  n a to  czy  wybrany trójką t,  którego  wierzchoł ki  są   chwilowymi  ś rodkami  n a  boki  utworzone  z  poł ą czeń fikcyjnych  czy  rzeczywistych. c)  P ozostał e funkcje  w  iloś ci  (/c- 3) okreś lamy  z warun ku  wystą pienia  moż liwoś ci  deformacji przekroju. P rzy okreś lan iu k- 3 funkcji  ip postę pujemy  w  sposób  opisany niż ej. W  tym celu  wybiera- my  dowolny  prę t fikcyjny,  usuwam y  go  i  sprawdzam y  czy  taki  przekrój  jest  n adal  ciał em sztywnym  (tzn. czy jest  t o  prę t  „ przesztywniają cy"  czy  nie).  Jeż eli  przekrój  bę dzie pozosta- wał   ciał em  sztywnym  usuwam y  kolejny  prę t fikcyjny  i postę pujemy  jak  poprzednio (proces powtarzam y  dotą d  d o pó ki  przekrój  pozostaje  ciał em  sztywnym). W  przypadku  kiedy  prze- krój  już  nie jest  ciał em  sztywnym  otrzymujemy  czworoką t  (przynajmniej  jeden),  który  n a pewno  może  się   deform ować. Wybieramy  dwa  są siednie  wierzchoł ki czworoką ta  i zakł adam y, że się   nie  przemieszczą . W zwią zku  z tym m oż emy  okreś lić przemieszczenia dla czę ś ci przyległ ej do odcinka ł ą czą ce- go  te  wierzchoł ki —  są   równ e  zero.  P ozostał e  dwa  wierzchoł ki  czworoką ta  przemieszczą się . Wybieramy  p rę t ł ą czą cy wierzchoł ek nieruchom y z ruchomym i przyjmujemy,  że obróci się   o  ką t  a  =   1.  Z  relacji  geometrycznych  okreś lamy  ką t  o jaki  obróci  się   prę t ł ą czą cy po- został e  dwa  wierzchoł ki  (ruchom y  i  nieruchom y) oraz  okreś lamy  przemieszczenia  styczne prę ta  ł ą czą cego  wierzchoł ki  ruch om e.  W  n astę pn ym  kroku  okreś lamy  przemieszczenia elementów  przyległ ych  d o  obracan ych boków  i  boku  przesuwanego. Zilustrujemy  sposób  postę powan ia rysunkiem 9. N a rys.  9a przedstawiono profil  rzeczy- wisty z wprowadzon ym i  poł ą czen iami fikcyjnymi  (linia przerywana)  o 7 stopniach  swobody. N a  rys.  9b  przedstawion o  profil  po  usunię ciu jedn ego  poł ą czenia fikcyjnego.  Jeż eli  teraz wszystkie poł ą czen ia fikcyjne  potraktujem y  ja ko  rzeczywiste  to profil  ten jest  n adal  sztyw- ny  (wynika  t o  z  relacji  (3.2)  i  (3.9)).  D opiero  usunię cie  poł ą czenia 5- 3  rys.  9c  powoduje moż liwość  wystą pienia  deformacji  w  pł aszczyź nie  przekroju  (linia  pogrubion a). Zał oż yliś my, że  wierzchoł ki  5 i 6  są   n ieruchom e,  stą d  czę ść 4- 5- 6- 7- 8- 9- 10- 11- 12  profilu nie  przemieszcza  się .  P rę t  2- 5  obróci  się   o  ką t  a j ,  spowoduje  to  obrót  prę ta  1-4  o  ką t  k(s)  w  sposób  opisany  wyż ej  moż emy  przy uż yciu  maszyny  cyfrowej  autom atyczn ie budować  macierze  współ czynników  ukł adu  rów- n ań  (3.14)  dla  prę tów  cienkoś ciennych  pryzmatycznych  o  przekroju  wieloobwodowym zamknię tym  skł adają cym  się   z wieloką tów  dowolnego kształ tu. 4.  Przykłady zastosowań N a  rys.  10,  11,  12,  13  przedstawion o  kilka  przykł adów,  dla  których  za  pomocą   ma- szyny  cyfrowej  uzyskan o  funkcje  kształ tu  q>  i  f.  D la  zadanego  profilu  maszyna  cyfrowa wybrał a  kierunek  wzrostu  współ rzę dnej  obwodowej  j  (obieg)  i  w  zależ noś ci  od  przyję tej współ rzę dnej  obliczone  został y  funkcje  ip.  N a  rys.  14,  15  przedstawiono  róż ne  funkcje kształ tu  ip uzyskane  dla  tego  samego  profilu  w  zależ noś ci  od  sposobu  przyję cia  poł ą czeń fikcyjnych  i  numeracji  wę zł ów.  D la  tego  przypadku  wykorzystano  sposób  rozwią zywania Przekrój  poprzeczny F u n kc je \|> 0.07000 Rys.  10. 4  Mech.  Teoret.  i  Stos.  4/ 86 530 Z .  G ÓRECKI y[m l 20 Przekrój  poprzeczny 7 potoczenie fikcyjne x[m) 10 II1 3 U.2 I I I I I I I 0,2  0,2 Rys.  11. 1 3 2 I. 1 i y[ m] '  Przekrój  poprzeczny pofą czenia fikcyjne x[ m] 16  20 Obieg Rys.  12. [JEJ] t t ­ — n n = 9 7 Z M U M I I 70'0 9 * i l l l l l l l l l l l l l l Z \ mini 80'0 Ol'O 9 7 Z mu  iiiiiiiin 80'0 70'0 Minn E 1 ==: 1 90'0 "Vk M n 9  700  5 • 7 * 90'0 70'0 EE 9 7 E t 700 1,  ^ 1 9||||i L 7 Z r8 lfllUlHUJ % Ł 1 9 I IrafflT 3 m m n m 5 ) I 9 7 z 9  i \ irn­mTrrnnTUT \ m z t k y[m] 20 15 ft I '1  / x!m] Obieg f 5 1  ł 2   3 0.2000 Rys.  13. y, 20 10 1 6 , V y y s s A 3 i. X 1 %_ i rrj 6 5 2 1 3 4 0,1 liiuiiMiniiii 1   2 Vi 6  3 5  4 UiJliiaiiiiili 1 0,1 0,1 o Q*  o* 4 1 1   2 ^ 3 6  1  31 Mllkf)| l| | | 0,1 5 t. imi^iiiniu0,2 .  Rys.  14. u1 6 5. IWIII ^ 4 IIVrjlH - 0,1 Illl 2 3 /. 1 6 2 4 iiiiutaiiiiiii 0,1 B i = [532] U KŁAD AN IE  RÓWNAŃ   RÓWNOWAGI. 533 10 f  3 1 .  t 1   2 6  3 S  4 10 1 % 1 b S 177)777- 2 3 4 K S i mir 1  2 6   ̂ 3 lllllll^llllll 0.1 MMII i i 5  - 0,1  4  5  - 0,2  4 1 =6 1   2 4»3 1 i IIIBIIIIIII • o; o" 5  - 0,2  4 Rys. 15. 1   2 Vi 6  3 - 0,1 mmmmmi 5 i 1 — równań  równowagi  przedstawion y  w  [1]. U zyskan o  dokł adnie te  same  wartoś ci  naprę ż eń i  przemieszczeń  w  poszczególnych  przekrojach  przy  tych  samych  warunkach  obcią ż enia i  zam ocowan ia  koń ców  (rys.  16). 5.  Wnioski P rzedstawion a  w  niniejszej  pracy  m etoda  pozwala: a)  ukł adać  równ an ia  równ owagi  w  obliczeniach  statycznych  prę tów  cienkoś ciennych pryzmatycznych  o  dowoln ym  przekroju  zamknię tym  wieloobwodowym b)  autom atyczn ie  budować  macierze  współ czynników  ukł adu  równań  równowagi  (3.14), w  których  in terpretacja  niewiadom ych  nie jest  w  trakcie  pracy  maszyny  cyfrowej  znana c)  rozwią zywać  ten  sam  problem  przy  róż nych  funkcjach  kształ tu.. Literatura 1.  Z.  G ÓRECKI, Zastosowanie pół bezmomentowej teorii powł ok w obliczeniach ortotropowych  liniowo- sprę ż ys- tych prę tów cienkoś ciennych pryzmatycznych o przekroju wieloobwodowym  zamknię tym. M echanika  Teoretyczna  i  Stosowana  1982,  T. 20 Zeszyt  3 -  4 str.  339 -  359. 2.  Z .  G ÓRECKI,  Zastosowanie pół bezmomentowej  teorii powł ok  do  obliczeń  kadł ubów  bezgrodziowych. Praca  doktorska.  Instytut  Okrę towy  Politechniki  G dań skiej,  G dań sk  1980  (nieopublikowana). 3.  B. 3 .  BJIACOBJ  T omocmemueynpyeue  cmepoicmt.  rbcyflapcTBeHHbrii  H3flaT.  H3.- MaT. JI H T . M ocraa 1959. A.  J. WIĘ CKOWSKI,  J. D R EWKO,  M .  SPERSKI,  Równania równowagi  i  obliczenia numeryczne  powł ok liniowo- sprę ż ystych o  wielospójnym  prostoką tnym  przekroju.  I I  Konferencja  Konstrukcje  powł okowe,  teoria i  zastosowanie,  G oł uń  6 - 10.11.1978. q= 100 SSs i  if 1 — 1 ~o  ' z=70 - 0 Obcigż enie q= 100 Z =30 - 0 Rozkł ad y  nap r ę ż eń 1 I jj a o m •   - 0 z= 0 - 0 .i ll W il ll l II II IM II II - 0 mi ,  - 0 z= 10 - 0 S == 1 1 I" z= 4 0 IIIIIW M Ii z= 5 0 - o 1 o S ~0  ' z=80 " 0 ~o S O Ol i I a ~0  ? z= 90 ~0 •   Ro zk ł ad y  n a p r ę ż eń  < r zs 1,400,2 z=40 " 0 - 0 2= 10 IBB.7 5000,2 Z =50 - 0 \   - 5000,2 ~ 0 = i o ii  ~0 z=20 = | 3  ;- i ~o  ' z=60 " 0 — = 1 li ll lS II II I „0  i Z=100 - 0 | 4400,2 Z=60 - 0 - 2600,3  . . 11 Ifct  III It p neii 4600,0 z= 90 4600, 0 Rys. 16. z= 100 10 000.0 [534] U KŁAD AN IE  RÓWNAŃ   RÓWN OWAG I.  535 P  e 3 so  M  e M E T O fl  ABTOM ATH WE C KOrO  n O C T P O E H H fl  YP ABH E H H H   PABH OBECH fl  B  PACTffiTE C T AT H H E C K H X  O P T O T P O I I H BI X,  J I H H E ffflO - yilP yr H X,  T O H K O C T E H H blX  I I P H 3 - M AT H H E C K H X  C TEP > KH EH   npoH 3BOJibH oro B  paSoTe  H cnoJit30BaH o  npH H ijH nti  nony- 6e3MOMeHTHOH   TeopHH   o6ojKwei- c  B  p a c i e i a x npH3MaTjraeciKHeft  npoiMBOJibH oro  MH orocBJi3H oro  n o n ep eir a o r o CTpoeHHH   RHd34>epeHi(HaJibHBix  ypaBHeiHift  paBHOBecHH   npHHHiwan  cneqnajiŁH biił   meiofx  KOH - (byHKUHH   dpopMH  —  ę   fljia  KacaTenbH bix  iianpH H ceH H ii.  IlpHBefleHHbiH   MeToA  npHMe- H eno  B  nporpaM M e  Ha  3 B M   K  aBTOMaTH^ecKOMy  reH epH poBaH H io  MaTpw paBHOBecHH,  B  K O T O P U X  H irrepnpeTaijH H   HeH3BecTHbix  BO BpeMH   p a So t w H eH 3BecTiia.  3 T H M   MeTofloM.  Mo>i