Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z4.pdf


M E C H A N I K A
T E O R E T YC Z N A
i  STOSOWAN A

4,  24,  (1986)

F ILTRATION   R ESI STAN C E  OF   A  SYSTEM   O F   PARALLEL  CYLIN D ERS  AT
A  TRAN SVERSE  C R EEP I N G   F LOW

J AN   A.  K O Ł O D Z I E J

Politechnika Poznań ska

Abstract

The  subject  m atter of  th e presen t  considerations  is the problem  of  resistance  of  a  system
of  cylindrical  bars  un der  perpendiculal  creeping  flow.  This  system,  which  has  the  form  of
a  bun dle  of  parallel  bars,  is  treated  as  an  an tisotropic porous  medium, the flow  through  is
described  by  th e  D arcy  equation  of  filtration .  The  resistance  of  filtration  is  represented  as
a  dimensionless  perm eability  function  F

x
{q>),  where  <p  is th e ratio  of  th e volume  of  the bars

that  of  th e  entire  bun dle.

Th e  paper  con tain s  a  survey  of  theoretical  an d  experimental  works  concerning  the
problem  un der  con sideration s.

1. Introduction

The  problem  of  force  acting  on  a single circular  cylinder  placed  in  a transverse  uniform
stream  is  a  stan dard  problem  of  fluid  mechanics.  At  small  Reynolds  numbers  N avier  —
Stokes  equation s  governing  th e flow  become  Stokes  equations  {[1],  p .  436}.  It  should  be
pointed  out,  however,  t h at  Stokes  paradox  occurs  when  th e fluid  flow  is  perpendicular  to
the  cylinder  axis  an d  when  th e  boun dary  condition s  on th e cylinder  surface  and  at  infinity
can n ot  be  satisfied  sim ultaneusly.

Oseen  [2]  h as  suggested  th e  linearization  of  N avier —  Stokes  equations.  This  has  n ot
led  to  such  paradox.  N ow,  th ere  are  m an y  proposals  of  solving  the  boun dary  value
problem s  includin g Oseen  equation s concerning the transverse fluid  flow  uniform  at  infinity
aroun d  the  circular  cylinder  {see  e.  g.  references  in  [3]}.

Th e  problem  of  filtration  resistance  of  a  system  of  parallel  cylinders  is  also  of  great
im portan ce  con siderin g  the  technical  application s.  The  review  of  papers  regarding  the
resistance  of  a  system  of  parallel  cylinders  at  the  longitudinal  lam inar flow  is  given  in  [4]
emphasizing  th e  resistan ce  depen den ce  on  th e  volum e  fraction  of  th e  solids  an d  on  the
arran gem en t  of  th e  cylinders.

The  purpose  of  th is  paper  is  to  m ake  a  survey  of  th e  theoretical  an d  experimental
results  given  by  various  auth ors  concerning  th e  resistance  of  a  system  of  cylinders  at  the
transverse  flow.  O ur  con sideration s  will  be  restricted  to  small  Reynolds  n um bers.



538  J.  A.  KOŁOD ZIEI

I t  should  be  pointed  out  th at  in  the  case  of  the  relative  flow  to  the  infinite  system  of
cylinders  when  Stokes  paradox  does  n ot  exist,  alm ost  all  the  theoretical  considerations
regarding  the  transverse  flow  in  such  a  system  are  based  on  the  solution s  of  Stokes  equa-
tion s.

There are many  different  m ethods of representing th e resistance  of  a system  of  cylinders.
U sually  a drag  coefficient  of  a single cylinder  of this system  is  given.  I n  this paper  a bundle
of cylinders  is considered  as a porous medium , and perm eability  is  presented as  a proportio-
nality  coefficient  occuring  in  D arcy  filtration  equation s.  This  permeability  presents  the
above  mentioned  resistance.

2. A bundle of parallel circular cylinders as an anisotropic porous medium

In  some  theoretical  considerations  it  is  convenient  to  treat  a  system  of  parallel  circular
cylinders  as  a  porous  medium.  Such  a  model, for  instance, has  been  used  in  describing  the
phenomena  which  occur  in  the  production technology  of  m an - m ade fibres  [5],  [6]  as  well
as  in  the theory  of  fibrous  filtres  [7, 8]. This  enables  on e to  apply  an appropriate  filtration
law  for  the flow  phen om en a through  a  bun dle.  Since  we  restrict  our  con sideration s  to  of
small  Reynolds  num bers,  then  D arcy  law  governing  of  the  fluid  flow  th rough  a  porous
medium  can  be  used  {[9],  p.  400}.

Taking  in to  account  the  fact  th at  the  flow  resistance  depen ds  on  th e  flow  directions
th rough  ą   bundle,  then  D arcy  law  for  an  an isotropic  porous  m edium  should  be  applied:
th at  is

K
q  =   gr a d P  (1)

where q is the filtration  velocity,  P is th e pressure,  (JL   is t"he viscosity of the fluid  an d  K  is  the
permeability  tensor  (the  second  order  ten sor).

I t  has  been  proved  in  [10- 12]  th at  th e  permeability  ten sor  is  a  sym m etric  tensor.
Therefore,  in  a  general  case  of  an isotropy  an d  of  any  selection  of  th e  coordin ate  system,
th e  permeability  tensor  has  six  independent com pon en ts.

I n  our  case,  when  a  bun dle  of  parallel  circular  cylinders  is  considered,  th e  filtration
properties  along th e direction perpendicular to the bun dle axes are th e same an d th e number
of  ten sor  permeability  com pon en ts reduces  to  two,  [4], which  can  be  described  by

JEJ,  =   SF
n
(<p)  (2)

an d

K
x
  m  SFJfp).  .  (3)

I n these relations K^  an d K
L
  are the  com pon en ts of the  perm eability  at  th e parallel an d  per-

pendicular fluid  flow  towards  a bundle, respectively,  S stan ds for  [an  area  of  a  cross- section
correspon din g  to  one  cylinder  at  th e  average,  F^ ę )  an d  FJjp)  are  th e  n on dim en sion al
functions  characterizing  the  permeability  at  th e  fluid  flow,  parallel  an d  perpendicular
towards  a  bundle,  respectively,  and  <p  represents  a  volum e  fraction  of  th e  solids.  T h e pa-
ram eter  <p  is  defined  as  a  ratio  of  volume  of  the  cylinders  to  t h e bulk  volum e  of  a  system.

F o r  regular  arrays  of  the cylinders  the volume  fraction  93  can  be  expressed  by  m ean s  of



F I L T R AT I O N   RESISTAN CE  O F . . . 539

the distance b between  th e adjoining  cylinders  an d by the radius a of the cylinders. In Table 1

th ere  are  form ulae  of  ę ,  S  values  an d  oth er  parameters  for  some  regular  arrays  of  the

cylin ders.

Table  1.

ł

_s
b

E

t riang ular
ar r ay

0   O
o  o  o  o  o

0   O  O  O  O  O
o  o  o  o  o

o  o  o  o  o  o
o  o  o  o  o

o  o

0.90690  (2g- )'

0.8660

0.0697g

s q u a r e  a r r a y

0   0   O  0   O  O
o  o  o  o  o  o
0   O  O  0   O  O
o  o  o  o  o  o
o  o  o  o  o  o
O  0   O  O  O  O

0.785398  p S- ) '1

1

0.10004

h e xag o n al
array

0   O
o  o  o  o

O  0   0   0
O  O  0   0

o  o o  o
o  o  o  o

0   O

0.604600 p § - )2

1.1299

0 . 0 8 0 9 3

no. 4

0   O
o  o  o  o

o  o  o
o  o  o  o  o

0   O  O
O  O  0   O

o  o

0.777301  p | - )2

1.0104

0.04301

no. 5

O  0   0   O  0

0   0   0   0   0   O

0   O  O  O  O  O
o  o  o  o  o

O  O  0   O  O  O
O  O  O  O  0   0

0.841B10 (- 2S- )2

0.9330

0.07311

no- 6

°  o °  °  °0  o ° o  o  o  o
0  o o o °  °
°  o °  o °  o
o  o °  o  °

o  o  0  o  o  o
O  o  °  O 0

0.841810 (- ^Ł)2

0.9330

0.07311

I n  th e  presen t  paper  th e  results  of  other  auth ors  regarding  the flow  resistance  at  per-

pen dicular  flow  with  respect  t o  t h e  cylinders  are  shown  an d  com pared  by  means  of  the

n on dim en sion al  perm eability  functions  F
±
(<p).-  Since some of  the results  are given by  means

of  the drag  coefficient  of  a single cylinder  of  th e system,  we  assume  in our calculations th at

the  pressure  d ro p  at  the fluid  flow  th rough the system  is  balanced by  the drag  forces  of the

cylinders.

3. Functions  F,(w) at any values of  f and at 11  ^—\  <̂  1 for some regular arrays of

the cylinders

Th e  theoretical  study  of  t h e  flow  of  viscous  fluid  through  th e  regular  arrays  of  the
cylinders  (especially  square  an d  trian gular  array), continues to  attract the interest  because
of  th e im portan ce of  regular  configurations  in  th e design  of  many heat and mass  transfer
equipm ents.  T h e  creepin g  flow  aroun d  th e  circular  cylinders  in  the  square  an d  triangular
arrays  was  discussed  in  [13], m akin g  use  of  the analitical- numerical m ethods. Those consi-
deration s  are  based  on  two- dim ensional  Stokes  equation s,  and  boun dary  value  problems
are form ulated  for  the recurren t cells  of  these  systems  (F ig.  1). The governing  equations of
the fluid  flow  an d  a  p art  of  th e  boun dary  condition s  are  satisfied  exactly  by  the  assumed
solution s  (boun dary  con dition s on th e con tin uous lines  of  a  boun dary  in  F ig.  1).  F or  the
rem aining p art  of  th e boun dary  condition s the collocation m ethod is  applied  i. e. the bou-
dary  con dition s are satisfied  exactly  in th e finite  n um ber of  poin ts on the boun dary  (on the
doted lines  of  th e bo u n dary  in  F ig.  1).  Th e calculations have  been done practically  for  the
ran ge  of  th e volum e  fraction,  when  0  <  <p  <  y

max
.  Th e graphs  of  the function  F

x
(<p)  obtai-

ned  on th e base  of  th e results  from  [13] are  shown  in F ig. 2.

When  ę   approach es <p
max

  th e function  Jp^ can be  calculated  in the approxim ate m anner
basing  on Keller  paper  [14]; in which the flow  th rough a n arrow  gap  between  two  adjacent
cylinders  was  analysed.  Keller  assumed  t h at at  amall  Reynolds  num bers  the flow  through



540 J .  A.  K O Ł O D Z I E J

a)

o
o
o

p
a
o

c of
io
o

II

3 | x

E

b)

V2u>= 0

F ig.  1.  The formulation  of  the boundary  value  problems  in  recurrent cells  for  the square  and  triangular
array  in the paper  [13] where  A  B  C  D  is  the reccurrent cell  for  the  square  array,  A  B  C  D  EF
is  the recurrent cell  for  the traingular  array, ca  is  the vorticity,  y>  is  the stream  function,  V2  is  the

two- dimensional  Laplace operator

the narrow  gap can be described using  the  hydrodynamic lubrication theory. His assump-
tion  and the results  have  been tested  by  H uston  [15] numerically.  F rom  [14] results th3lf
the pressure difference  Ap  at the perpendicular flow  through the gap is

Ap =
8|/ 2

where Q is  the total volume flux  per unit lenght  of the gap.  Substituting  Ap  =  b gradx P
and Q  = qb to (4) Keller obtained the filter  velocity  q for  the square array in the form

8 |/ 2 ( i / 2 - a )5 / 2
<l  —

According  to  this  result  the  nondimensional permeability  function  for  the  square  array
gets  the  form

where E = =   0.100036.



F tLTRATION   RESISTANCE  O F . . . 541

0.001

0.000

Fig. 2.  The theoretical nondimensional permeability function F
t
  versus the volume fraction  q>\   1  — Kuwa-

bara  cell  model  [17]  {eq.  (7)}, 2 — H appel cell  model  [16]  {eq.  (8)},  3 — the  square  array — eq.
(6), 4 — the  hexogonal  array — eg.  (6), 5 — the  triangular  array — eq.  (6), 6 — the array  no 4 in
tab.  1 — eq.  (6), 7 — the array  no 5 and 6 in tab.  1 — eq.  (6), 8 — the  square  array  [13], 9 — the

triangular  array [13]

Sangani  and  Acrivos  [13]  applayin g  the  same  concept  as  Keller  probably  n ot  knowing
his  paper,  have  got  th e  sam e  result  for  the  square  array.  M oreover,  their  results  give  the
possibility  of  determ in ation  of  value  of  the  con stan t  E  in  (6)  for  th e  triangular  array.

In  this  paper  for  th e  rem ain in g  arran gm en ts  of  the cylinders  given  in Table  1,  the  con-
stant  E  in  (6)  basing  on  Keller  concept is  specified.  The  graphs  of  functions  F

L
,  according

to  (6),  are  shown  in  F ig.  2.

4. Functions  Fx(< p) at cp Ą  1 for the random and regular arrays of the cylinders

I t should  be poin ted out t h at for  the regular  arrays  as well as for  th e ran dom arrangement

of  the cylinders  th e case  when  the volume  fraction  q>  is  small  (<p  - 4 1) has  been  exhaustively

examined. This  arises  from  th e fact  that- there is  a wide possibility  of th e  use of  the  asympto-

tic  m ethods  in  th e  theoretical  con sideration s.

F or  th e first  tim e  t h e  problem  of  th e  resistance  of  fluid  flow  through  a  parallel  bundle

of the  cylinders  for  th eir ran dom arran gem en t was  considered by  H appel  [16] and  Kuwabara

[17].  They  used  a  cell  m odel  in  which  every  cylinder  of  a  radius  a was  enclosed  in thought,

by a coaxial  cylinder whose  radius was  determ ined by  the relation c  =   a\ \ / ę .  In such a ring-

shape  zone these  auth ors  solved  th e boun dary  value  problems  with  two- dimensional  Stokes



542  J-   A.  KOŁOD ZIEJ

equation  but  they  employed  different  condition s  on  the  outer  cell  boun dary,  however.
Specifically,  Kuwabara  assumed  th e  vanishing  of  vorticity  while  H appel  th e  vanishing  of
viscous  stresses  on  the cylinder  surface  of  radius  c.  T h at  is  why  th e formulae  defining  the
function  FJ<p)  on  the groun d  of  their  results, fiffer  in  form.

According  to  Kuwabara  results  the function  ^(9?)  is

while  on th e base  of  H appel  results  we  have

Kirsch  and  F uchs  [18] tested  experimentaly  H appel  an d  K uwabara  form ulae  using  the
regular  triangular  array  and  found  a  good  agreement  especially  with  Kuwabara  results.
The  experiment  consisted  in  takin g  the  ph otograph s  of  th e  streamlines  n ear  one  of  the
cylinders  of  a bundle.

Spielman  and  G oren  [7], using  the  concept  of  Brin km an  [19]  proposed  a  competitive
cell  model.  They  suggested  th at instead  of  considering  the flow  th rough t  a  system  of  the
cylinders,  the flow  aroun d  a  single  cylinder  could  be  analysed,  takin g  in to  accoun t  the
influence  of  the remaining cylinders  by  an  addition al drag  term in  Stokes  equation s. U sing
the  results  of  these  authors  we  obtain

where  K
o
  and  K

x
  are  modified  Bessel functions  and  x  is  th e  function  of  cp,  determ ined by

H asimoto  [20]  considered,  am ong  other  things,  the  problem  of  th e  transverse  flow
through  a  biperiodical  system  ogf  the cylinders.  H e m ade use  of  F ourier series  in  order  to
solve  Stokes  equations.  F or  the  square  array  his  results  give

(11)

G olowin  and  Lopatin  [21] using  the  theory  of  th e  elliptic  functions  gave  th e  solution
describing  the  transverse  flow  for  two- dimensional  regular  system  of  cyrcular  cylinders.
With  the  help  of  M iyagi  m ethod  [22]  they  found  th e  exact  solution  of  two- dimensional
Stokes  equations,  but  boundary  conditions  were  satisfied  in  th e  approxim ate  m anner.
According  to  their  results  functions  F

x
  are:

—  for  the square  array

- 1. 478+ 2<? + 0( < p
2 ) |,  (12)

—  for  the  triangular  array

[ c ( ^ ) | (13)



F I LT R AT I O N   RESISTAN CE  O F . . . 543

I n  [23], using  H asim oto m eth od [20], the force  acting  on one cylinder  of  the  square and
triangular  array  of  th e  cylinders  was  calculated  preserving  the  higher  order  of  terms  as
compared  with  [20]  an d  [21].  On  the  groun d  of  these  results  functions  i*̂   have  a  form :

—  for  the  square  array

1
In  - 1. 476 +   2©-

for  th e  trian gular  array

-   _ J
1
  Sn

(1 4 )

(15)

In  the paper  [24] th e m eth od of  singularities  [25 -  26] was  adopted to biharmonic equa-
tions  which  has  produces  som e  rigorous  and  reasonably  accurate formulae  for  the  square
array

Fi  =  ~ In  -
1-  - 1.47633597+ 2c> 1.77428264<p2 +

+ 4.0770444<p3 -   4.84227402/ +0(cp5)] •
(16)

and  th e  trian gular  array

F
x
  =   j -- Q -   In  1.497504972 +   2<p- 0.5?>

2- 0.739137296?>4

2.534145018<p5

l,275793652c>

(17)

The  com parison of  th e theoretical results  FJjp)  at  7?  <̂   1 for  the square  and the triangu-
lar array proposed  by  th e above  m entioned auth ors with th e results accurate at any values  ę
is  given  in  T ab.  2  an d  3.  Th is  com parison  indicates  th at  the  most  rigorous  formula  (16)
for  the  square  array  agrees  with  Sangani  and  Acrivos

Table  2

triangular  array

9

0.05
0.10
0.20
0.30
0.40
0,50
0.60
0.70
0.80
0.85

[13]

0.6353240 (- 1)*
0.3974563 (- 1)
0.1955034 (- 1)
0.1033165 (- 1)
O.5383OOO (- 2)
0.261643 (- 2)
0.110913 (- 2)
0.36101 (- 3)
0.61728 (- 4)
0.13151 (- 4)

[24]  for. (17)

0.6354171 (- 1)
0.3978988 (- 1)
0.1955205 (- 1)
0.1034246 (- 1)
0.5452870 (- 2)
0.289646 (- 2)
0.195553 (- 2)

[23]  for. (15)

0.6384032 (- 1)
0.4009054 (- 1)
0.2065982 (- 1)
0.1070209 (- 1)
0.5820720 (- 2)
0.310938 (- 2)
0.162440 (- 2)
0.86242 (- 3)

[21]  for.  (13)

0.6317386 (- 1)
0.3957280 (- 1)
0.1995158 (- 1)
0.1177638 (- 1)
0.8287620 (- 2)
0.736677 (- 2)
0.807018 (- 2)

0.6353240  (- 1)  =   0,6353240x10- 1,  etc



544

Table 3

<P

0.05

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.75

[131

0.6426735 (- 1)
0.4027386 (- 1)
0.1940617 (- 1)
0.9718170 (- 2)
0.458947 (- 2)
0.187776 (- 2)
0.56721 (- 3)
0.73964 (- 4)
0.79177 (- 5)

J. A. ]<OŁODZIEJ

square array

[21]  for.  (12)

0.6436752 (- 1)
0.4076695 (- 1)
0.2114524 (- 1)
0.1297005 (- 2)
0.948129 (- 2)
0.856043 (- 2)
0.926384 (- 2)
1.108812 (- 2)

[20]  for.

0.6444710
0.4084652
0.2122482
0.1304962
0.956086
0.864001
0.934341

(ID

(-D
(- 1)
(- 1)
(- 1)
(- 2)
(- 2)
(- 2)

1.11677 (- 2)

[23]  for.

0.6429091
0.4030285
0.1969884
0.1107578
0.862503 (
0.112661 (

(14)

(- 1)
(- 1)
(- 1)
(- 1)
- 2)

1 \

(24)  for.

0.6427752
0.4027017
0.1937730
0.950263
0.370187

(16)

(- 1)
(~1)
(- 1)
(- 2)
(- 2)

collocation  calculations  within  0.3%  when  ę   =   0.2,  4%  when  q> =   0.3  an d  deteriorates

rapidly  thereafter.  The  most  rigorous  formula  (17)  for  the  train gular  array  agrees  with

Sangani  and  Acrivos  calculations  within  0.1%  when  cp =   0.3,  1.3%  when  cp  =   0.4,  10%

when  cp  =  0.5  and  deteriorates  rapidly  thereafter.

The  experimental investigations  for  small  values  of  cp have  been  carried  out  by  Sullivan

and  H ertel  [27], Boumstart  [28] and  Billing  [29]. Sullivan  and  H ertel  applied  Kozeny- Car-

man  hydraulic  radius theory  [30] from  which  one could  obtain

F
  . J L z ^
1
  4np<p

(18)

where  constant p  needs  further  experimental  investigation.  M en tion ed  auth ors  assumed

p  -   6  on  basis  of  their  first  experimental  observations.  In  futher  experiments  [31 -  32]

Sullivan  found  out that  at  small  values  of  <p,  p  depends  on  changes  of  cp an d  formula  (18)

loses its mesning. Sullivan  results  induced desistance  from  futher  application  of  the hydrau-

lic radius  theory  to the filtration  flow  through  the  system  of  the  cylinders.

In  the literature  concerning the  air  filters  [33]  the  following  empirical  form ula  is  used

r*

th at is the approximation to D owson  experimental results  [34] which con cern small  packing

densities  for  the ran dom cylinder  arran gm en t  in  a  parallel  bum dle.

The  results  of  some  authors  for  F^ cp)  at  cp 4  1 are  shown  in  F ig.  3  the  com parison of

the  theoretical  and  experimental  indicates  th at  experimentally  established  permeability  is

greater  than  the  theoretical  one.  This  can  be  explained  by  the  difficulties  in  preserving

perfectly  uniform volume fraction  in experiment such uniformity  is  assumed  in th e theoreti-

cal  considerations. Then, in the experiment,  greater  quan tity  of  the fluid  can flow  through

the  regions  of  less  packing  density  producing  greater  permeability.

In  order  to  get  the theoretical  model  m ore  approxim atin g  to  the  experim ental  results,

Yu  and Soong  [8] have proposed a generalization of H appel an d K uwabara  m odel. C ontrary

to  H appel an d  Kuwabara  model in which  the distorsion  of  the flow  due  to  th e interaction

was  replaced  concentrically  to  each  single  cylindrical  rod,  Yo  an d  Soon g  proposed  the



FILTRATION   RERISTANCE  OF. 545

Fig. 3.  The  theoretical and  empirical  nondimensional permeability  function  F
±
  for  rp  <Ą  1 versus  q>;  1 —

Kuwabara  cell model  [17]  {eq.  (7)}, 2 —  H appel cell model  [16]  {eq.  (8)}, 3 —  Sulivan  and H ertel
[27]  {eq.  (18)}, 4 —  the square  array  obtained  by:  G olovin and Lopatin  [12]  {eq.  (12)}, H asimoto
{[20]  eq.  (11)},  Sangani  and Acrivos  [23]  {eq.  (14)},  D rummond and Tahir  [24]  {eq.  (16)},  5 —
the  triangular  array  obtained  by  G olovin  and  Lopatin  [21]  {eq.  (13)},  Sangani  and  Acrivos  [23]
{eq.  (15)}, D rummond and Tahir  [24]  {eq.  (17)}, 6 —  H appel cell model improved by Yu and Soong
[8],  7 —  Kuwabara  cell  model  improved  by  Yu  and  Soong  [8], 8 —  Spielman and  G oren  [7]  {eq.
(9)},  9 —t h e  empirical  formula  of  D owson  {eq.  (19)},  O —t h e  experiments  of  Billing  [29],

x  —t h e  experiments  of  Baumstart  [28]

filtration  m odel  consisting  of  th e ran dom  distribution  of  the parallel  circular  cylinders.
The  average  pressure  d ro p  th rough  th e filtration  region  was  determined  by  the random
cell m odel of h ydrodyn am ics. Assuming  th e particular probability  distribution they obtained
good  agrrem en t  of  their  th eoretical  results  with  th e  exp erim en t alises  [28 -   29].

5. Functions  ]')(< }> ) at values of Knudsen numbers in a transition region

The  classical  th eory  of  th e  filtration  is  built  upon  the hydrodynamics  of  the  crreeping
flow  (Stokes  equation s)  an d  upon  th e boun dary  con dition s of the velocity  field.  The boun-
dary  con dition s  refer  t o bot h  th e  radial  and tan gen tial  velocity  components.  These compo-
nents  are equal  zero  on the surface  of pores.  F ibres  in some of the types  of  the  air  f litres
are m ade t o a size which is n o t far from  the mean free  pat h of gas  molecules. Then Knudsen
num ber  K n =  2 A/a (where  A is th e mean free  path of gas molecules), may  reach  relatively
high  values,  particularly  when  filtration  takes  place  at th e  reduced  pressures.  F o r  10"3  <
<  K n  <  0.25, i. e. in  th e tran sition  region,  th e calculation  of  the  pressure  drop  requires
the use of  th e  slip  bo u n d ary  con dition for  the tan gen tial  c om pon en t  of the velocity.  With
the  use of  this  bou n dary  con dition  an d Kuwabara  cell  model,  Pich  [35]  found  out  th at
the  n on dim en sion al  perm eability  at cpĄ   1 gives th e form

In —  -   l.5- 0.5(p2  + 1.998Kn

F±
  Sn(\   + 1.996  K n ) n

(20)

5  Mech.  Teoret.  i  Stos.  4/ 86



546 J.  A.  KOŁOD ZIEJ

Other,  more  complicated  considerations  for  the  flow  at  Knudsen numbers  in transition
region  have  been  done by  Spielman and  G oren  [7] as  well  as  by  Yu  and  Soong  [8]. The
experimental  investigations  concerning  the  transition  region  have  been  carried  out  by
Robinson  and  F ranklin [36]. Their  results  referring  to  nondimensional permeability  of
a  system  of  the cylinders  at  the reduced pressure  are shown  in  F ig. 4.

0 . 0 5 -

Fig. 4.  The theoretical  and empirical  nondimensional  permeability  function  F
x
  versus Knudsen  numbers;

1 — Pich cell model  [35]  {eq.  (20)}, 2 — Yu  and Soong  [8], 3 —  Spielman and G oren  [7],  x  —  the
experiments  of  Robinson  and  F ranklin  [36]

6. Conclusions

The analysis  of  the presented results  leads to the following  general conclusions:
a)  The theoretical nondimensional permeability  for  the  transverse  flow  through  a  system
for  the regular  and ran dom arrays  of the cylinders at very  small values  of valume fraction
weekly  depends  on  the  arrangment  of  the  cylinders.  This  approximately  the  following
formula  is  valid:

<p
(21)

b)  At  very  low  values  of  the volume fraction  the theoretical nondimensional  permeability
of  the transverse flow  is two  times less  than  that of  the longitudinal  flow  {see  Eq.  (24) in
[3]},  and  it  results  in

F
tt
- 2F

Ł
.  •   (22)

c)  F or the square array  of  the cylinders the following  approximate formulae  are valid  with
an  error  less  than  5%

F
l
  =   - -̂   In —- 1. 47633597+ 2c >~  1.77428264c)2+

+ 4.07770444?)3- 4.84227402c)4  ,  for  0  <  <p  Ś  0.3,

[
It  \  1/215/2

for  0.4

(23)

(24)



F I LT R AT I O N   RESISTAN CE  O F . . .  547

th e  trian gular  array  of  th e  cylinders  th e  approxim ate  following  formulae  are valid

with  an  error  less  t h a n  10%

F
±
  =   ~  In —  - 1.497504972+ 2^- 0.5c>2- 0.739137296(^4  +

"  2 . 5 3 « 4 5 0 1 V  1  . '  .  . .
  ( 2 5 >

e)  A  "d ist u rban c e"  of  t h e  uniform ity  of  th e  volum e  fraction  of  a  system  has  a  large;

influence  on  t h e  filtration  resistan ce.  This  is  observed  in  the  experiments,  where  t h e

filtration  resistan ce  is  approxim ately  smaller  by  a  half  th an  obtained  from  the  theore-

tical  con sideration s.  Th is  may  be  due  to  th e  difficulties  of  preserving  the  uniformity

of porosity  in  t h e  experim en ts.  Therefore  the em pirical  relations  are  of  great  im portan ce.

References
*

1. W. J.  P ROSN AK,  Mechanika pł ynów, t. I, PWN , Warszawa 1970.
2.  C. W. OSEEN , Vber die Stokes'sche  Formel und iiber eine verwandte Aufgabe  in der Hydrodynamik, Ark.

M at.  Astronom.  P hys.  6,  (1910), p.  20.
3.  H . YAN O,  A.  KI E D A, An approximate method for  solving  two- dimensional low- Reynolds- number fow past

arbitrary  cylindrical bodies,  J. F luid  Mech. 97, part  1, (1980), p.  157.
4.  J. A.  KOŁOD ZIEJ, Filtration Resistance of  a System of  Cylindrical Bars under  Conditions of L ongitudinal

L aminar Flow, Archiwum  Budowy  Maszyn, 27, zeszyt  4, (1980), str. 487,  (in  Polish).
5.  A.  SZAN IAWSKI,  A.  ZACH ARA,  Hydrodynamic  Problem  of  Multifilament Spinning,  Chemickie  Vlakna,

26, n o. 1 -  2,1976, p . 96.
6.  A.  SZAN IAWSKI,  Equations of steady flow  through slightly curved multifilament  bundles,  Archiwum Me-

chaniki  Stosowanej,  29,  n o . 4, (1977), p .  519.
7.  L. SPIELMAN , S. L. G OREN , Model for  Pressure Drop and Filtration Efficiency in Fibrous Media. Environ.

Sci. and Technology,  2, n o. 4,  (1968), p.  279.
8.  C. P. Yu, T. T. SOON G , A  Random Cell Model for  Pressure Drop Prediction  in Fibrous Filtres,  J. Appl.

Mech., 42, n o . 7, (1975), p .  301.
9.  J.  H AP P EL,  H . BREN N ER,  L OW   Reynolds number  hydrodynamics,  N oordhof  Inter. Pub., Leyden, 1973.

10.  J. F ERRAN D ON : L es lois de I'iioutement  de filtration, G enie Civil, n p. 2, (1948), p.  125.
11.  M. POREH , C. ELATA,  An analytical derivation ofDarcy's  law, Israel Journal of Technology, 4, (1966),

p .  214.
12.  S. P. N EU M AN ,  T heoretical Derivation ofDarcy's  L aw, Acta  Mechanics, 25, (1977), p.  153.
13.  A. S. SAN G AN I, A.  ACRIVOS,  Slow flow past periodic arrays of  cylinders with application to heat transfer,

I n t.  J.  M ultiphase  F low,  8, n o. 3, (1983), p.  193.
14.  J. B. KELLER,  Viscous flow  through  a grating or lattice of cylinders.,  J. Fluid  Mech., 18,  (1964),  p.  94.
15.  V. H U STON ,  T he Stokes flow  past  infinite  row of equal, parallel,  circular cylinders,  J. Phys. Soc. Japan ,

27,  (1969), p .  1693.
16.  J. H AP P E L,  Viscous Flow Relative to Arrays of  Cylinders, AIChE Journal, 5, n o. 2, (1959), p.  174.
17.  S.  KU WABARA,  T he forces  experienced by randomly  distributed parallel circular  cylinders  or spheres  in

a viscous flow  at small Reynolds number,  J. Phys. Soc. Japan, 14, n o. 4, (1959), p .  527.
18.  A. A.  K H P I I I J  H . A.  O Y K C ,  T enenueoicudKocmu « cucntejue  napaA/ ieAbHuxumuHdpoe, pacnoAooicemmx

nepneHduKyAHpHo  nomoKU,  npu  MOAUX  HUMOX PeiMnbdca.  > K . I I . M .  H  T . < t > o  H p. 6, (1966),  c r p .  101.

5»



548  J.  A.  KOŁ OD Z IEJ

19.  H . C. BRIN KM AN ,  A  calculation of  the  viscous force  exerted by flowing fluid  or  a dense swarm  ofparticles
r

Appi.  Sci.  Res.,  Al,  (1947),  p .  27.
20.  H .  H ASIM OTO,  On  the periodic fundamental  solutions of  Stokes  equations and  their  application to viscous

flow  past  a cubic array of  spheres, J. F luid M ech., 5, P art 2,  (1959), p .  317.
2 1 .  A.  M .  F OJI OBH H J  B.  A.  JI OH ATH H ,  T euemie  SHSKOU  oicudicoanu nepes  deoHKonepnodimecKuu  pad  iju-

jiuubpoe.  n . M . T . < £ > . 3  H p. 2,  (1968),  CTp. 99.
2 2 .  T.  M I YAG I ,  Viscous flow  at  low Reynolds  numbers past  an infinite  row  of  equal  circular cylinders,  J. P hys.

Soc.,  Japan , 13, n o . 5,  (1958), p . 493.
23.  A.  S.  SAN G AN I,  A.  AC M VOS,  Slow flow  through a periodic array of spheres,  I n t .  J. M ultiphase F low, 8, n o .

4,  (1982), p. 343.
.24.  J.  E .  D RU M M ON D ,  M.  I .  TAH I R ,  L aminar  viscous flow  through regular arrays  of  parallel solid cylinders,

I n t.  J.  M ultiphase F low,  10, n o . 5,  1984,  p.  515.
25.  J. E.  D RU M M ON D , Heat flow  in a region  interlaced with cylinders and conductivity  of  wool,  N ew Zealand

J.  Sci., 14,  (1971), p . 621.
26.  W.  T.  PERRIS,  D . R .  M C K E N Z I E ,  R.  C. M e  PH ED RAN ,  T ransport properties of  regular array of cylinders,

P roc.  Roy.  Soc.  London, A369,  (1979),  p.  207.
27.  R. R.  SU LLIVAN ,  K . L. H E R TE L,  T he  Flow of Air  T hrough Porous Media,  3.  Appl.  P hys., 11,  (1940), p .  761.
28.  J.  BAUMSTART,  Upper Atmospheric Monitoring  Program, Atom ic  Energy  C om m ision,  R eport  AE C U -

4280,1959.
29.  C . A.  BI LLI N G , Effect  of  Particle Accumulation  in Aerosol Filtration, P h . D is. Thesis, California I n stitute

of  Technology,  1966.
30.  P . C.  CARMAN ,  Fluid flow  through granular bends, T ran s. I n st. C hem. E n g.,  15,  (1937),  p.  150.
31.  R.  R.  SU LLIVAN ,  Further Study  of  the  Flow of  Air  T hrough  Porous  Media,  3.  Appl.  P hys.,  12,  (1941)

p .  503.
32.  R.  G .  SU LLIVAN ,  Specific  Surface  Measurements  of  Compact Bundles  of  Parallel Fibers,  3.  Appl.  Phys.,

13,  1942, p . 725.
33.  C. N . D AVIES,  Air  Filtration,  Academic  P ress, Lon don & N ew  York,  1973.
34.  S.  V.  D AWSON ,  T heory of  Collection  in Airborne Particles by  Fibrous Filtres, P h . D is. Thesis,  H arvard

U niversity,  1969.
35.  J.  P I C H ,  T heory of  Aerosol Filtration,  Aerosol  Science, ed.  C . N . D avies,  1976.
36.  M .  ROBIN SON ,  H .  F R AN KLI N ,  T he Pressure Drop of  Fibrous Filter of  Reduced  Ambient  Pressure,  3. Aero-

sol  Science, 3, (1972), p. 413.

P  e  3  IO  M   e

*H J I t T P AL T H O H H O E  C O n P O T H B J I E H H E C H C T E M L I  n AP AJI JI E JI LH BI X  I XM JI H H flP OB

nonEPE^H OM   n on sym - iM   OBTE KAH H H

paSoTW  H BH CTCH   npoS/ ieiwa conpoTU BJieH M   UbiJiHimpHMecKHX  CTepwHeft  n pH  n o n ep eq -
HOM noji3yjH M  o6ieKaH irn.  CiicTeiwa  B BH# e  napajiJiejiŁ H oro  rtyMKa  cTep^Keini,  cqmaeTCH   amraoTpoiraoH
nopHCTOH   cpefloii,  B  KOTopoH   Te^eim e  onHCbiBaeTCH   ypaBnetmeiH   4)EMbTpau;Hn  JCapcu.  ynoM H H yroe
conpoTHBjieHHe  npefl,CTaBJieHO  n p a  noMomw  6e3pa3MepHOH   cbynrajHH   npoHHuaeMocTH   F±  ((p),  rfle  ę  —
oTHomeHHe  o6Eeiwa ciepH Ojeft  K o6meMy  o6&eMy n yn a .

B  paSoTe  npH BeaeH   o63op  TeopewraecKH X  H  3KcnepnMeH TajibH tix  paSoT,  Kacaiom n xcn  conpoTH B-
JieHHH  CHCTeMbI CTep>KIKft  ynOMHHyTOJi oSTeKaHHII.

S t r e s z c z e n i e

OP ÓR  F I LTR AC YJN Y  U K Ł ADU   R Ó WN O LE G Ł YCH   C YLI N D R Ó W  P R Z Y  P O P R Z E C Z N YM
OPŁ YWIE  P EŁ Z AJĄ C YM

P rzedmiotem  pracy jest  zagadnienie  oporu  ukł adu prę tów  cylindrycznych  przy  poprzecznym  opł ywie
peł zają cym.  U kł ad  w  postaci  równoległ ej  wią zki  prftów  potraktowan o  jako  anizotropowy  oś rodek  poro-



J.  A.  KOŁOD ZIEJ  549

waty, w  którym  przepł yw  opisany jest  równaniem filtracji  D arcy.  Wspomniany  opór przedstawia  się   przy-
pomocy  bezwymiarowej  funkcji  przepuszczalnoś ci F

x
  (93),  gdzie  <p jest stosunkiem obję toś ci  prę tów  do obję -

toś ci  cał kowitej  wią zki.
W  pracy  dokonano przeglą du  prac teoretycznych i  doś wiadczalnych  dotyczą cych  zagadnienia  oporu

ukł adu  prę tów  przy  wspomnianym  opł ywie.

Praca wpł ynę ł a do Redakcji dnia 20 maja 1983  roku.