Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z4.pdf M ECH AN I KA TEORETYCZNA i  STOSOWANA 4,  24,  (1986) ODPOWIEDNIOŚ Ć  MIĘ DZY  RÓWNANIAMI  TERMODYFUZJI  I  TEORII M IES ZANIN * J AN   K U BI K W yż sza Szkoł a Inż ynierska  w  Opolu Wiele form  t ran sport u masy  i  ciepł a w  ciał ach  stał ych i cieczach z powodzeniem moż na opisać  przez  równ an ia  termodyfuzji,  w  których  uwzglę dnia  się   fakt  czę stego  sprzę ż enia mię dzy  obu  rodzajami  przepł ywów.  P roblem atyka  ta  należy już  do  klasycznych  zagadnień fizyki  o  bogatej  literaturze  i  licznych  rozwią zaniach  zadań  począ tkowo- brzegowych.  Za- gadnienie  to  ulega  jedn ak  istotnej  komplikacji  jeż eli  n a  procesy  tran sportu  masy  i  ciepł a zacznie  oddział ywać  pole  n aprę ż eń  i  deformacje  oś rodka.  Przyczynę   tego  stanu  rzeczy należy  szukać  m .in.  w  in n ym  typie  równ ań  opisują cych  przepł yw  pę du  w  oś rodku  w  sto- sun ku  do  przepł ywu  ciepł a  i  m asy. W  ogólnoś ci  moż liwe  są   dwa  sposoby  ł ą cznego  opisu  tran sportu  masy,  ciepł a  i  pę du (krę tu)  w  oś rodku.  • Pierwszy  polega  n a poszukiwan iu  uogólnień klasycznych  równań termodyfuzji  i równań m echan iki.  Sposób  ten  ja k  wiadom o  —  prowadzi  do  równ ań  termodyfuzji  sprę ż ystej, lepkosprę ż ystej  itp. Wyróż n ia  się   przy  tym  szkielet  oraz dyfundują ce  wzglę dem  niego  czą st- ki  o  odmiennych wł asnoś ciach  kinem atycznych  i  dynamicznych. Z drugiej  strony  moż liwe jest  odm ienne  podejś cie,  kiedy  każ demu  rodzajowi  czą stek  przypisujemy  równoprawną kin em atykę   oraz  wł asnoś ci  przepł ywu,  które  zapewniają   wystę powanie  zarówno  dyfuzji ja k  i tran sportu ciepł a. Podejś cie  takie jest  oczywiś cie typowe  dla teorii mieszanin. Zauważ- my, że równ oprawn e potraktowan ie wł asnoś ci kinematycznych każ dego ze skł adników mie- szaniny  kon trastuje  ze  stosun kowo  prostym  i zawę ż onym  potraktowaniem  kinematyki  dy- fundują cej  masy  w  termodyfuzji.  I stotn ie, w  termodyfuzji  analizuje  się   tylko  kinematykę szkieletu, zaś  migrację   masy  opisuje  skalarowe  pole koncentracji, którego gradient  wyznacza dopiero  przepł yw  dyfundują cego  skł adn ika. P odstawy  teorii  m ieszanin  pochodzą   z prac C. Truesdella,  a  dalszy  jej  rozwój  zawdzię - czamy  A.  C. Eringenowi, J. D . I n gram owi, A. E. G reen owi, N . M illsowi. Termodynamiczne podstawy  teorii  po dał   I.  M iiller,  zaś  najpeł niejszy  wykł ad  zawiera  monografia  R.  Bowena [2]. N ieco inny był  rozwój  mechanicznych uogóln ień termodyfuzji,  które znajdujemy  w pra- cach  Ju.  S.  P odstrigacza  z  lat  sześ ć dziesią tych  oraz  W.  N owackiego  [7]  i  Aifantisa  [1]. Wiele  ciekawych  wyników  z  termodyfuzji  sprę ż ystej  a  także  z  uwzglę dnieniem  przepł ywu ł adun ku  elektrycznego, uzyskan o  w  oś rodku  pozn ań skim, natom iast równania  termodyfuzji lepkosprę ż ystej  p o d an o w  pracy  [6]. 8  Mecli.  Teoret.  i  S tos.  4/ 86 594  J.  KU BIK Konsekwencją   formalną   obu podejść  są   rozbudowan e ukł ady równ ań  charakterystyczn e dla  zadań  brzegowych  teorii  mieszanin i wzglę dnie  proste  równ an ia  termodyfuzji.  I stotn ie, w  teorii  mieszanin  ruch  każ dego  skł adn ika  opisują   trzy  równ an ia,  którym  odpowiadają w termodyfuzji  równ an ia ujmują ce  tylko  ruch szkieletu  oraz skalarowe równ an ia t ran spo rt u pozostał ych  skł adn ików. P rzedstawion e  porówn an ie  sugeruje,  że  celowe  jest  okreś lenie  tej  klasy  przepł ywów wieloskł adnikowej  mieszaniny,  kt ó ra  m oże  być  aproksym ową na  przez  równ an ia  term o- dyfuzji.  P on adt o, poszukiwan a  w pracy  odpowiedn iość mię dzy  lokaln ym i  postaciam i  bilan- sów  teorii  mieszanin i  termodyfuzji  m oże  poś redn io  sł uż yć  do  uzasadn ien ia  poprawn oś ci równ ań  termodyfuzji. W  cał ej  pracy  korzystam y  z  tradycyjnych  oznaczeń stosowanych  n p. w prą cych  [2, 4,  5, 8] 2.  Równania  bilansów  mieszaniny  wieloskładnikowej P rzedstawimy  równ an ia  bilansów  masy,  pę du,  energii  d la ka ż d e go  ze skł adn ików mie- szaniny z osobn a oraz dla cał ej mieszaniny w postaci globalnej  i lokaln ej. W literaturze przed- m iotu zn an e są  ju ż  dosyć  zł oż one propozycje  tych bilansów,  w których uwzglę dnia  się  róż nfe rodzaje  oddział ywań.  W niniejszym  opracowan iu  an alizować  bę dziemy  jed n ak  najprostszą postać tych bilansów,  zakł adają c jedyn ie, że w czł onie ź ródł owym bilan su  dla  pojedynczego skł adnika  wystą pi  oddział ywanie z pozostał ym i skł adn ikam i m ieszaniny.  Oddział ywanie t o interpretujemy  kolejno jako  p rzekaz  m asy,  pę du, energii  i en tropii od pozostał ych  skł adn i- ków.  "• • • • • <• :,  '  :  • Bilans  masy  dla pojedynczego  skł adn ika m a postać  ( a  =  0,  1, 2 ... n)  . zaś  bilans  masy  dla  cał ej  mieszaniny A- (e+   ...  + e ) + R°+  ...  +R"  =  0, czyli (2.2) m  R 0 +   ... =   0>  przy  czym P rę dkość  v?  każ dego  ze  skł adn ików  m ieszaniny  m o ż na  przedstawić ja ko  sum ę   prę dkoś ci barycentrycznej  w*  oraz  przyrostu  ł Ą {vf  = TERMOD YFU ZJA  A  TEORIA  MIESZANIN. 595 Bilans  masy  przyjmie  wówczas  formę (2. 3) • Wprowadzając  z  kolei  koncentrację   ca  =  —  skł adnika  (f)dV+ dv* 596  J'  KU BIK a  bilans pę du dla cał ej  mieszaniny  przyjmie  formę V 2 f £ a.  V  a  A gdzie: Bilans  energii  dla  cał ej  mieszaniny  przedstawiamy  w  formie  uwzglę dniają cej  również  prze- kaz  energii  Ea  do  skł adnika  (a), a  pochodzą cy  od  pozostał ych skł adn ików. a  V  a  V  a  A (2.8) zaś  po  wykorzystaniu  poprzednich  bilansów  i  wprowadzen iu  wielkoś ci: bę dzie W  powyż szym  równ an iu  posił kowano  się  równoś ciami a (2.10) Bilans  energii  przedstawiliś my  tutaj  dla  cał ej  mieszaniny,  pomijając  bilans  dla  pojedyn- czego  skł adnika.  P odobn ie  postą pimy  w  przypadku  nierównoś ci  wzrostu  en tropii,  którą podamy  także  dla  cał ej  mieszaniny. N ierówność wzrostu  entropii dla  mieszaniny  m a postać 2 fc- a.  V  a  A 1,1  « gdzie: T E R M O D YF U Z J A  A  TEORIA  M IESZ AN IN .  597 W  podan ych  równ an iach  przyję to  powszechnie  stosowane  oznaczenia, w szczególnoś ci zaś przez  g, Qa, w k ,vl,  wg, Ra,  Qa  Ff,  &?, f&, QaU«,  QaKa,   e a S\   e V ,  q a  oznaczono  kolejno gę stoś ci  cał ej  mieszaniny  i  skł adn ika,  prę dkość  ś rednią  i  skł adnika  (a)  oraz  przyrost prę dkoś ci  w  stosun ku  do  wartoś ci  ś redniej,  ź ródło  masy,  sił ę  masową,  przekaz  pę du od pozostał ych  skł adn ików,  ten sor  n aprę ż en ia  skł adn ika,  energię  wewnę trzną  i  kinetyczną, en tropię,  ź ródło  oraz  strum ień  ciepł a  skł adn ika  a. 3.  Porównanie równań bilansów teorii mieszanin i  termodyfuzji Lokaln e  formy  równ ań  bilansów  masy,  pę du,  energii  i  nierówność  wzrostu  entropii pozwalają  na porówn an ie ich z analogicznymi  równ an iam i wystę pują cymi  w  termodyfuzji. I stotn ie,  bilanse  masy  i energii  posiadają  postacie  zbliż one, zaś w bilansie  pę du mieszaniny wystę puje  skł adnik  £  Qau^ iij  róż nią cy  ten  bilans  od analogicznego  w  termodyfuzji. Przyjmujemy  w równ an iach bilansów  mieszaniny, że sił a masowa,  energia  wewnę trzna  oraz en tropia jedn ostki  masy  każ dego  z n  skł adników  są  takie  same,  tzn. Fl  =  Ff  =   ... =   Ff, U 1   =  U 2   =  ...  =  U", S 1   — S 2  =  ...  =   S". Z ał oż enie to prowadzi  do nastę pują cego  ukł adu bilansów  teorii  mieszanin dS   Q r  U P rzeanalizujemy  teraz  dalszy  szczególny  przepł yw,  kiedy  ^ e"«"M "  ~  0  Zachodzą  tutaj a dwie  moż liwoś ci (eO  istnieje  jeden  wyróż niony  skł adn ik  o  dominują cej  gę stoś ci  £>°  (n p. szkielet  ciał a  kapi- larn o- porowatego),  tak, że zachodzi [ e °  >Q Ó ,  8=1,2,...  n] *  [||e°«?ll  • * Ol.  •   ( 1 2 ) o raz: tzn .  prę dkość  ś rednia  Q  W  I jest zbliż ona  do  prę dkoś ci  skł adn ika o gę stoś ci  Q°,  CO m a miejsce w  czasie  migracji  rozproszon ego  skł adn ika  w  szkielecie. (e 2 )  istnieje  kilka  skł adn ików  o porównywalnej  masie  Q° ~  g1  ~  ...  ~   0] (3. 3) 598  J-   KU BI K oraz Zauważ my,  że konsekwencją   przyję cia  ograniczeń  (3.2) i  (3.3) są  również  nierównoś ci Q°K°>(fK s ,  0 = 1 , 2 ,  ...»  (3.4) w  przypadku (ej) W; ^ / Rys.  2.  Czą stka z wyróż nionym elementem oraz: ^ e p K°p e v K\   p  = O,l,...,k  y - fc + 1 , ' . . . ,«  (3.5) dla  przypadku  ( e 2) , które  pozwalają   pom iną ć  skł adniki  J^ Q"iĄ Ka w  bilansie  energii. a Jeż eli  teraz  dokonamy  podstawienia  wg  relacji lub M ' ' = 2  {ja  '<>a w ? ) « = - S  (Mf^x *  (3- 6) a  ' a to  tensor Mf }  charakteryzować  bę dzie  przepł yw  masy  wywoł any  gradientam i  pól  naprę ż eń tf } .  Zauważ my  przy  tym,  że  przepł yw  ten  ustanie, kiedy  t,) =   ......  =   t?j. T E R M O D YF U Z J A  A  TE OR I A  M IESZ AN IN .  599 W  klasycznej  termodyfizji  w  ciele  stał ym przepł yw  masy  w  bilansie  energii  reprezentuje strum ień  M ajf,  gdzie  M"  jest  potencjał em  chemicznym  dyfundują cego  skł adnika  a  f t strum ieniem  masy.  Wyn ika  stą d,  że  peł ną  zgodn ość  równań  bilansów  termodyfuzji  i teorii mieszanin  moż emy  uzyskać  jedyn ie  w  przypadku,  kiedy  Mfj  =  M^ dij. Z achodzi  wówczas J£   S  2  ,  ,  (3.7) czyli  potencjał   Mfj  =   —  *fj  należy  zastą pić  wyraż eniem  M a  =   - ^ t",  gdzie  ta  =   tf t . U zyskam y  wówczas  nastę pują cy  ukł ad  bilansów dw Q dw Q ~dt   =   eF '   +  tlk ' k '   ( 3 ' 8 ) l   +  (t kJW j ~q k - e r  lq k \ analogiczny  jak  w  termodyfuzji. Literatura 1.  E. C. AIFAN TIS, Diffusion of  a perfect fluid in a linear elastic stress field, Mech. Res. Comm. 3, 245 -  250 1976, 2.  R. M . BOWEN ,  T heory of Mixtures, in .: Continuum Physics, Acad. Pres N ew York  1976, 3.  A. C. ERIN G EN , J. D . IN G RAM, A continuum theory of chemically reacting media, Int. J. Eng. Sci 5,189 - 222 1967, 4.  A. E.  G REEN , P. M . N AG H D I , A  theory of mixtures, Arch. Rat. Mech. and Analysis  24, 243 -  263, 1967 5.  J. KU BIK,  T hermodiffusion flows  in a solid with a dominant constituent, Ruhr-  U ni Bochum, If M  44,1985, 6.  J.  KU BIK,  Analogie  i podobień stwo  liniowych  oś rodków odksztalcalnych,  ZN  Poi. Ś L, M on. 38, Gliwice 1975, 7.  W. N OWACKI,  Certain problems of thermodiffusion  in solids,  AMS, 23, 6,  1971, 8.  I .  M U LLER,  T hermodynamik. (D ie G rundlagen  der  M aterialtheorie)  Bertelsmann  U niversitatsverlag D usseldorf 1973, 9.  K. WiLMAŃ SKi, On thermodynamics and function of  states of  non- isolated systems,  Arch. Ration. M ech. and  Analysis  45, 251 -  281, 1972, 10.  K.  WILMAN SKI,  Podstawy  termodynamiki fenomenologicznej,  PWN , Warszawa 1974. P  e 3K>   M e COOTBECTCTBHE YPABHEHHH  T E P M 0flH O *y3H H  H   TEOPHH   CMECEfł B  craTbe  cpaBH eH o ypaBHeHHH  TeopHH  CMecił  ypaBH emmMH   TepMOflHKHe 600  J.  KU BIK S u m m a r y RELATION   BETWEEN   EQU ATION S  O F   TH ERM OD IF F U SION   AN D   TH OSE  OF   TH E TH EORY  O F   M IXTU RES The equations  of  the theory  of  mixtures  and  those  of  the viscoelastic  thermodiffusion  are  compared. It results  from  the comparison particular flows  of  the theory  of  mixtures  supply  the equations similar  to the equations  of  the  viscoelastic  thermodiffusion. Praca wpł ynę ł a do Redakcji  dnia 18 kwietnia 1985 roku.