Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z4.pdf


M E C H A N I K A
TE OR E TYC Z N A
i  STOSOWAN A

4,  24,  (1986)

ANALOGIA  S PRĘ Ż YTO- LEPKOS PRĘ Ż YS TA  W  PÓŁPRZESTRZENI
ZE  STARZENIEM

BRON ISŁAW  LE C H OWI C Z ,

Z BI G N I E W  PIEKARSKI

Politechnika  Krakowska

W  pracy  rozpatrzon o  an alogię   sprę ż ysto- lepkosprę ż ystą   ze  starzeniem  dla  zagadnień
typu  szczeliny  i stem pla w pół przestrzen i, przy  róż nym peł zaniu postaciowym x i  obję toś cio-
wym.  Przyję to,  że w  rozważ an ach problem ach n a brzegu  pół przestrzeni (x

3
  =   0) nie dział a-

ją   n aprę ż en ia  styczne  (<713  =   0,  a23  =  0).  D o  rozwią zania  problem u  zastosowana został a
m etoda  transformacji  F ouriera.  W  pierwszej  czę ś ci  pracy  został a  przedstawiona  metoda
stosowania  operatorów cał kowych uwzglę dniają cych  starzenie. W trzeciej  czę ś ci  omówiono
wł aś ciwą   analogię   i  rozpatrzon o jej  przypadki  szczególne.

1.  W  zapisie  ten sorowym  zwią zki  fizyczne  dowolnego,  liniowego,  lepkosprę ż ystego
oś rodka  mają   postać  [1]

1
s

u
  =   2jxa

u
  — -   <Jy Xa

kk
,  (1)

gdzie:  i,j  =  1,2,3,  d
u
  —  delta Kron eckera,

e
t
j  —  skł adowe  ten sora odkształ ceń,

ay  —  skł adowe  ten sora n aprę ż eń,

Wystę pują ce  w  (1) wielkoś ci  2fi,, 1  są   operatoram i  cał kowymi Volterry  II- go  rodzaju [2]

(2)

A s  Ax( 0[l  + / ( . . . ) Kt, r) d x ],  (3)

których  dział anie n a  dan ą   funkcję   okreś lone jest  ogólnie  wzorem :

Ky  =  Afc(0  [^(0+   Jy(r)K(t,  r)dz].  (4)

F unkcje  (t^ t),  X
t
(t)  bę dą ce  współ czynnikami  Lam ego, okreś lają   odkształ cenie  natych-

miastowe  oś rodka, ją d ra  / *(Ć , T),  K{t,x) n atom iast odkształ cenie spowodowane  peł zaniem ze
starzeniem . G dy ją d ra  w  (2), (3) zależą   od róż nicy  O T ) czasu  obserwacji  t i czasu  r  okreś la-

9  Mech. Teoret. i  Stos.  4/ 86



610  •   B.  L E C H O WI C Z ,  Z .  P I E K AR SK I

ją cego  historię  m ateriał u,  oraz  współ czynniki  fi
t
{t),  h(t)  są  stał e, wtedy  oś rodek  m a wł as-

noś ci  ustalone w czasie,  czyli  nie  zachodzi  starzenie.
Jak  wiadomo,  n p. z  [2], równ an ie  cał kowe Volterry  Il- go  rodzaju

*( 0  =  *i( 0  [y(t)+  j}'(r)K(t,  x)dx]  (5)

m a  zawsze,  ze wzglę du  n a  y(t),  jednoznaczn e  rozwią zanie  gdy zn an a  funkcja  k
x
(t)  jest

cią gła w przedziale t
1
  <  r  <  t ją dro K(t,  r) jest ograniczone i cią głe w trójką cie  x

x
  < r  < t,

Ti  < t  <  T , oraz gdy  funkcja  x(t)  jest cał kowalna. Rozwią zanie  równ an ia  (5) m oż na wtedy
zapisać  w  formie

F unkcja  dwóch zmiennych R(t,  r) jest rezolwentą  ją dra K (t,  r), którą   obliczamy  n p. z rów-
nania  cał kowego

K{t,  T )- R(t,  r)  = j  K(t, 6)R(0,  r)d6  (7)
T

Wprowadzają c  symbolikę   operatorową   równ an ia  (5),  (6)  m oż na  przedstawić  w  postaci:

X =  Ky,  (8)
oraz

y -  jp. m
1  ~  1

gdzie ~   jest  operatorem odwrotnym  do  operatora K. D ział anie—-   n a funkcję   x(t)  jest dan e
K  K

przepisem

i* =  i|-,   00)
K

  K
i

przy

R=l-   J(...)R(t,x)dx,  (11)

gdzie R (t,  x) jest  rezolwentą   ją dra  K (t, x).

Istnienie odwrotnego  operatora ~ -  jest zapewnione  przez  istnienie jedn ozn aczn ego  rozwią -
K

zania  (6).
M oż na  udowodnić  [3], że liniowa  kom binacja  operatorów  cał kowych  Volterry  Il- go

rodzaju  (n p. postaci  (2) lub  (3)), oraz  ich  iloczyn  da  się   sprowadzić  do  operatora tego sa-
mego  rodzaju  o ją drze  zł oż onym

(...)
T l



AN AL O G I A  SP R Ę Ż YSTO- LE P KOSP R Ę Ż YSTA...  611

oraz

AB  =  a
1
(t)b

1
(t)[\ +  J  (...)C(t, x)dĄ ,  (13)

TJ

gdzie:
t

C(t, T) =  B{t, T )+^ ±A(t,   x)+- J^ Jb(6)A(t,&)B(0,  r)d®.  (14)

Aby  otrzymać  ją d ro  (14)  należy  w obliczeniach  stosować  przekształ cenie  D irichleta  [2].
W  przypadku  ogólnym  iloczyn  operatorów jest nieprzemienny. Przy "wyznaczaniu operato-
rów  odwrotnych  do sumy  lub iloczynu  operatorów  Volterry  należy  najpierw  otrzymać
wyraż enia  typu  (12) lub  (13) a nastę pnie obliczyć  odpowiednie  rezolwenty.

U wzglę dniając  wszystkie  powyż sze  rozważ ania  równania  fizyczne  (1) dają  się zawsze
przedstawić  za  pomocą  wzorów

w  których  £tk
Zł oż enie trzech operatorów w (15) nie jest  przemienne, ponieważ ją dra  w tych operatorach
zależ ą -  oddzielnie  od t i r. P rzy  obliczaniu  wartoś ci  drugiego  skł adnika w  (15)  należy  ko-
rzystać z wyraż eń  (12),  (13), i (10).

2.  N . K.  Arutun ian  w  [4] udowodnił   istnienie  anologii  sprę ż ysto- lepkosprę ż ystej
w  trójwymiarowym  oś rodku  Teologicznym,  przy  takim  samym  peł zaniu  postaciowym
i  obję toś ciowym,  czyli  o stał ych  współ czynnikach  Poissona.  Zwią zki  fizyczne  (1)  dają się
sprowadzić  do zwią zków  stosowa  .iych  przez  Arutuniana, gdy  przyję te  zostaną  nastę pują ce
równoś ci

^ P  [  /  ]  (16)
oraz:

*«- [̂l+ / (...)Ą foT)dr];  (17)
n

gdzie  ją dra  F x , F 2 mają  postać

a  wielkoś ci

r ) ,  (20)

di(t,  T) =  ^ jL +y- Jf,  r)C(t,  T ) ,  (21)



612  B.  LECH OWICZ,  Z.  PIEKARSKI

są   funkcjami  peł zania, w  których  m oduł   Youn ga  E  (t),  współ czynniki  P oisson a  v
x
(t),

v
2
(t,  x), oraz  funkcja  C  (t, r)  okreś lane  są   doś wiadczalnie.

Oś rodek,  w  którym  zachodzą   warun ki

"iC 0  =  va(f,  T ) - =   v -   c o n st ,  (22)

prowadzą ce  do równoś ci

F
t
(t,  T) =  F

2
(t,  r)  -   - E(t)- ^ d(t,  T ) ,  (23)

m a  takie  samo  peł zanie postaciowe  i obję toś ciowe.  Istnienie analogii  sprę ż ysto- lepkosprę-
ż ystej  udowodnił  Arutun ian  dla takiego  wł aś nie  oś rodka.

G . A. P rokopowicz w pracy  [5] wykazał ,  że om awian a  an alogia  przy  róż n ym peł zaniu
postaciowym  i obję toś ciowym  m a miejsce  w przypadku  oś rodka  dwuwym iarowego.  W roz-
waż aniach  swoich  przyją ł   ją dra  typu  (18),  (19).

G . A. C. G rah am w pracy  [6] wyprowadził   tzw.  uogóln ion ą   analogię   dla oś rodka  trój-
wymiarowego  (pół przestrzeni), przy  róż nym  peł zaniu  postaciowym  i  obję toś ciowym,  ale
dł a  wł asnoś ci  Teologicznych  ustalonych w czasie,  czyli  bez starzen ia.  G rah am  przyjmował
również,  że obszar  w którym  zadan e  są   warun ki  brzegowe  (obszar  ko n t akt u  stem pla lub
szczeliny)  jest  zmienny w  czasie  w zadany  sposób.  G dy  obszar  ten jest  w  czasie  stał y,  m a
miejsce  analogia  Lee- Alfreya.

3.  W pracy  niniejszej  wykazano  istnienie  analogii  sprę ż ysto- lepkosprę ż ystej  w  oś rodku
trójwymiarowym  przy  róż nym peł zaniu postaciowym  i obję toś ciowym,  przy  uwzglę dnieniu
starzenia, dla zagadnień typu  szczeliny  i stempla, gdy obszar  ko n t akt u (brzeg) jest zmienny
w  dowolny  sposób.  Rozważ ać  bę dziemy  pół przestrzeń, w której  wprowadzon o  kartezjań-
ski  ukł ad  współ rzę dnych Xi,  x%, x

s
,  tak, że "zmienne  x

x
,  x

2
  zadan e  są  n a brzegowej pół -

pł aszczyź nie, tzn . dla x
3
  — 0. W tak  okreś lonej  pół przestrzeni rozpatrywan a  analogia  sprę -

ż ystolepkosprę ż ysta  da się  zapisać  za pom ocą   nastę pują cego  twierdzenia.
Jeż eli  warunki  brzegowe  mają   post ać:

dla  naprę ż eń  stycznych

o
i3
  =   <r23  =  0  (24)

n a  cał ej  pł aszczyź nie x
3
  =  0, oraz gdy

a)  dla szczeliny

o- 33 =   *o(*i»  *a» 0  dla  x
u
x

2
  eQ(x%(t),  x°

2
(t)

s
  t),  (25)

0
  Xl

,x
2
$Q

v(x
t
,  x

2
,t)  x

t
,x

gdzie  a
o
(x

1
,  x

2
,  t)  jest  zadanym  naprę ż eniem,  n atom iast  v  (x

ls
  x

2
,  t)  jest  nieznanym

przemieszczeniem,
b)  dla stempla

w3  -   uo(xi,x2,  t)  dla  xu  x2eQ(x1(ł ),x°2(t),  t),

S(x
1
,x

2
,t)  x

t
,x

2
eQ

gdzie  u
Q
  (x

t
,  x

2
,  t) jest  zadanym  przemieszczeniem,  n atom iast  s  (x

x
,  x

2
,  t)  nieznanym

naprę ż eniem.



AN AL O G I A  SP R Ę Ż YSTO- LE P KOSP R Ę Ż YSTA...  613

to  wtedy  rozwią zanie  problemu  zawsze  da  się  sprowadzić  do  ukł adu dwóch  sprzę ż onych
ze  sobą  równań  cał kowych  postaci

FW {x
u
x

2
,t)  =  -

ć
>n

2
p{x

1
,x

2
,t),

gdzie  funkcje  w  i p  są  równ e  odpowiedn io: dla  szczeliny  v  i  cr0,  oraz  dla  stempla  J  i M 0.
Wielkość  £? (x?,  (0=  x°(t),t)  jest  dowolnym, zmiennym obszarem n a pł aszczyź nie x 3  =   0.
F unkcje x°(t),  x

2
(t)  są param etryczn ym równ an iem brzegu tego  obszaru.  K(x

t
  ,x

2
,P

t
,  P

2
)

jest  funkcją  G reen a  odpowiedniego problem u —  dla  szczeliny  wynosi

dla  stempla zaś
K  (v  v'  P  P  \   —  OT T HY  —P\ 2A- (y  P  "\ 2i—1/ 2  (nn~\

Operator  F jest  operatorem  cał kowym  Volterry  II- go  rodzaju  postaci

w  którym  wielkoś ci/ (r)  i  F(t,  r)  zależą  od typu  zagadnienia  i typu  materiał u oś rodka. D la
problemu  szczeliny,  zgodnie  z  punktem  1., ma kształ t

• ^ = 2 ^ — ^ -,   (30)

G
natomiast  dla  stempla

gdzie mamy

Jedno- jednoznaczne rozwią zanie  drugiego  równania ukł adu (27) moż na przedstawić  w pos-
taci

W (x,  , x
2

, t ) =  -   4T I 2  —p(x
t
  , x

2
, t )  (33)

P o  wstawieniu  (33)  do  pierwszego  równania  ukł adu  (27)  otrzymujemy  równanie  cał kowe

x2 ,  0  (34)

analogiczne  do  równ an ia  dla  odpowiedniego  problemu  sprę ż ystego,  w  którym  czas  t jest
parametrem .  F unkcja  w  ( £ l 5  | 2 ,  ż)  zadana w  obszarze  £?(x°(0>  ^°(0»  0  J

e s t  podstawową
wielkoś cią  w  przedstawianej  analogii.  P o jej  znalezieniu,  z  odpowiednich  wzorów  moż na
okreś lić  naprę ż enia  i  przemieszczenia  w  dowolnych  punktach  pół przestrzeni. W  rozważ a-



614  B.  LECH OWICZ,  Z.  PIEKARSKI

nych problemach przemieszczenia  «i,  w2, w3 (korzystając  z podwójnej  transformacji  F ourie-
ra) dan e są  wzoram i:

„ .  J_  f  f J  ł   1 _
1  "  2n  J  J  [  ]/ a, 2 + B2  l+G

—  CO  —C O  '  '

+ co +co r /

2JI  J  J l + G

x  g- i/ ^+ P
2 « . ei(«*,*fi*Hdatdp,  (35)

= i f f
Wielkość  D = D (a, $, t) okreś lona  jest  za pomocą  uzyskanych  z podstawowego  ukł adu
(27)  funkcji  u ( f1 ; £ 2 , r) i S

1 ( | 1 } £it  t) nastę pują cymi  wzoram i:
a)  dla  szczeliny

06)

b)  dla stempla

iD =   \   ,.„ f  TT  aChihtfie- ^ f+ttodSidSi  (37)
27r j/ «2 + i 9

2

  o J J

Wstawiając  wzory  (36)  lub  (37)  do (35), p o obliczeniu  cał ek,  otrzymujemy  funkcje  prze-
mieszczeń  t/ x,  »2, M3 za pomocą  których  ze znanych  wzorów  teorii  sprę ż ystoś ci  moż na
wyznaczyć  tensory  odkształ ceń i naprę ż eń w cał ej pół przestrzeni.

D yskusję  równania  (34) przeprowadzimy  rozpatrując  dwa  przypadki:
a)  Rozdzielenie zmiennych.

G dy  funkcję  p (x
i}
  x

2
, t) zadaną  w obszarze Q =  Q {t) zapisać  m oż na w  postaci

x
l
,x

2
,t)  = ]?p

k
{Xy,  x

2
)A

k
(t)  (38)

fc/ i

to  ze zwią zku  (33)  m am y
n

^
l

,  x
2
)B

k
(t),  (39)

kil

gdzie:

B
k
(t)  = j

A l t
.  (40)

Znając  nastę pnie  rozwią zania  w
k
  równań  skł adowych  problem ów  sprę ż ystych

W*(£i, b , t)K(x
u
x

3
,  $uh)dhd$*  = P

k
(x,, x

2
)  (41)



ANALOGIA  SPRĘ Ż YSTO- LEPKOSPRĘ Ż YSTA...  615

w  których czas jest  param etrem , szukane  rozwią zanie  problem u  lepkosprę ż ystego,  z zasady

superpozycji,  otrzymujemy  w  formie

n

w(f i,  f a, 0  -   -   4 ^ 2 £  M î >  f a» 0 Ą ( 0.  (42)
ku

W  przypadku  gdy  ją d ra  operatorów  2fi,,  X zależą  od  róż nicy  argumentów

p(t,  T)  =   fiit- i),

k(t,r)  =  A(f- - r),   ( 4 3 )

przy  stał ych  współ czynnikach  Lam ego  natychmiastowego  odkształ cenia

(44)

otrzymujemy  an alogię  rozpatrywan ą  przez  G rah am a,  n atom iast,  gdy  zachodzą  równoś ci
(16),  (17)  przy  (22),  (23)  dostajemy  analogię  omawianą  przez  Arutun ian a.

b)  Obszar  cał kowan ia  stał y  w  czasie.
Jeż eli  w  równ an iach  (27)  zachodzi  zależ ność

i 3 ( x? ( 0 ,  x°(0>  0  =   ^ O i .  *°)  =   con st.  (45)

wtedy,  p o jedn ozn aczn ym  przedstawieniu  w  ( ^ ,  f  2  0
  z a  pomocą  funkcji  »( £ t ,  f2  0  wzo-

rem

mamy  z  (34)  równ an ie

, x 2 ,  0 ,  (47)

które  okreś la  rozwią zanie  problem u  sprę ż ystego  z  czasem jako  param etrem . P o  wyznacze-
niu  funkcji  v  z  (47)  rozwią zanie  zagadn ien ia  lepkosprę ż ystego  ze  starzeniem  otrzymujemy
ze wzoru  (46). Jeż eli  przyjmiemy,  że zachodzą  warun ki  (42), (43), (44) i  (45), wtedy  z  rów-
n an ia  (34), po zastosowan iu  transformacji  Laplacea wzglę dem  czasu, otrzymujemy  analogię
Lee- Alfreya.

Literatura

1.  Si.  H .  P ABOTH OB,  IIoA3yvecmb  ejieMemioa KoncmpyKifuu.  H3A-   H ayi<a3  1966.

2.  A.  PISKOREK,  Równania  cał kowe, WN T,  Warszawa  1971.
3.  Z . PIEKARSKI, praca doktorska,  Politechnika  Krakowska,  1971.
4.  N . K. ARU TU N IAN ,  Some problems in T heory of  Creep  in Concrete Structures,  Pergamon  Press, London,

1966,  (przekł ad z rosyjskiego).
5.  G .  A.  PROKOPOWICZ, T.M .M ,  20,  6,  1956.

6.  G . A. C. G RAH AM,  Report  N o  PSR- 47, 2- 1966, N orth  Caroline  State  U niversity.



616  B.  LECH OWICZ,  Z.  PIEKARSKI.

P  e 3 w  M  e

ynpyro—ynpyroB^3KAii  AHAjionra  jcyia: nojiynjiocKocTH   co  CTAPEH H EM

B  pa6oTe  o6cJiyH <flaeicn  yn p yr o  —  ynpyroBH 3KaH   aH ajiorH H   c  yMeTOM   CTapemM   Rim  o6i>eMHOH

H   cflBH roBoii  non3yqecTH .  I I o n yie H bi  p en rem ra  3afla*i  i n n a  Tpem H H ti  H   niTainna  flna  TpexM epH oro

noJiynpocrpaH CTBa  n p n  npep,nonox<emm
3
  WTO  3O H M  KOHTaKia  H3MeHHioicfl  JIIOSŁ IM  o6pa3OM.

S u m m a r y

ELASTIC  —  VISCOELASTIC  AN ALOG Y  F OR  A  SEMI- SPACE  WITH   AG E I N G .

The  concept of elastic — viscoelastic  analogy  for  non —  invariant in time materials with  various  devia-
toric  creep laws has  been considered.  The particular  solutions  forrcrack  and  punch problems  in  three —
dimensional half — space have  been solved. It was  assumed  that  the contact boundaries  may  change arbi-
trarily.

Praca  wpł ynę ł a  do  Redakcji dnia 18 kwietnia 1985 roku.