Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z4.pdf M E C H AN I K A TE OR E TYC Z N A i  STOSOWAN A 4,  24,  (1986) METODA  MACIERZOWA  W  ZAS TOS OWANIU  DO  OPTYMALIZACJI CHARAKTERYSTYKI  ODKSZTAŁCALNEGO  UKŁADU  STEROWANIA* STAN ISŁAW  D U BI E L M AC IEJ  M R Ó Z W ojskowa  Akademia  T echniczna St ero wan ie  lo t e m  o bie kt ó w  lat ają cych  realizo wan e  je st  najczę ś ciej  za  p o m o c ą   sił  a er o - d yn a m ic zn yc h  lu b  in n yc h  r ó wn o wa ż n ych  t ym  sił o m  o d d zia ł ywa ń .  J ed n a kże  n iezależ n ie  od st er o wa ń  wiele  wł asn o ś ci  o bie kt u  ist o t n yc h  d la  o pt ym alizacji  zwią zan ych  jest  z je go  ko n st - rukcją ,  je go  wewn ę t r zn ymi  p a r a m e t r a m i .  Z m ia n y  w  ko n st ru kc ji  o biekt u ,  wpro wad zen ie d o d a t ko wyc h  sp rzę ż eń  p o m ię d zy je go  elem en t a m i za sa d n ic zo  wpł ywają   n a c h a r a kt e r ru c h u . Z a d a n ie m  o p t ym alizacji  jest  u st a len ie  t a kic h  zwią zków  m ię dzy  u kł a d e m st ero wan ia  a  p a r a - m e t r a m i  ko n st r u kc yjn ym i  o bie kt u ,  aby  p r o c es  przejś ciowy  cał ego  u kł a d u  był  ja k  najszyb- ciej  t ł u m io n y. Z ależ n o ś ci  p o m ię d zy  p a r a m e t r a m i  o bie kt u  a  c h a r a kt e r e m je go  r u c h u  wyraż o ne  są   an a- lityczn ie  p rzez  wsp ó ł c zyn n iki  r ó wn a ń  r ó ż n ic zko wych  opisują cych  d a n y  p ro c es.  Z  tego wzglę du  o p t ym alizac ja  r u c h u  o bie kt u  m o że  być  wyko n ywa n a  n ie  t ylko  przez  d o b ó r  o d p o - wied n ich  o d d zia ł ywa ń  ze wn ę t r zn ych  i  p r o gr a m u  ic h  zm ia n y  w  czasie,  lecz  równ ież  przez d o b ó r  o d p o wied n iej  ko n st r u kc ji  o bie kt u  i  p a r a m e t r ó w  u kł a d ó w  wewn ę t rzn ych.  Syn teza o p t ym a ln yc h  u k ł a d ó w  p o wi n n a  u wzglę d n iać  o b a  o bsza r y  optym alizacji,  t a k  o bszar  stero- wań ,  ja k  i  o bsza r  p a r a m e t r ó w  o bie kt u . J a k o  szczególn y  p r z yp a d e k  z b a d a n o  d yn a m ikę   p o d ł u ż n e go r u c h u  sa m o lo t u z r u c h o m ym wa ż kim  st erem  wyso ko ś ci  i  o d kszt a ł c a ln ym  u k ł a d e m  st er o wa n ia  [4]. St o so wa n e  o zn a c ze n ia : C H   —  wsp ó ł c zyn n ik t ł u m ie n ia wisko t yc zn ego  w u kł a d zie  st ero wan ia( zred u ko wan y) , k  —wsp ó ł c z yn n i k  sztywn oś ci  zastę pczej  w  u kł a d zie  st ero wan ia, x H   —  z r e d u k o wa n y  wsp ó ł c zyn n ik  sztywn oś ci Ca  —  CrSH,  xH  =   k m  Tgu, r sH  — p r o m i e ń  b e z w ł a d n o ś ci  st e r u  wyso k o ś c i, m  —m a s a  sa m o lo t u m sB  —  m a sa  st er u  wyso ko ś c i, e H   —  o d legł o ść  ś r o d ka  m a sy  st eru  wyso ko ś ci  o d  jego  osi  o br o t u , Zn  —  współ rzę dna  osi  o bro t u  steru  wysokoś ci  wzdł uż  osi  z, *> Referat  wygłoszony  na  I  Krajowej  Konferencji  „Mechanika  w lotnictwie". 11  M ech .  Teoret.  i  Stos.  4/ 86 642  S.  D U BIEL,  M.  M R Ó Z Sf,  .  • — współ rzę dna  osi  obrotu  steru  wysokoś ci  wzdł uż  osi  x, X d   —  przemieszczenie  rą czki  drą ż ka  sterowanego  w  kierun ku  x, V(U;  V;  W ) —  prę dkość  lotu  i  jej  skł adowe  wzgl.  odpowiednich  osi  ukł adu  Oxyz, p,q,r  —p r ę d k o ś ci  ką t o we  o b r o t u  sa m o lo t u  wzgl.  o d p o wi e d n i c h  osi, L   —  m om en t  przechylają cy, M  —  m om en t  pochylają cy, N   —  m om en t  odchylają cy, M  —  m om en t  pochylają cy, I H   —  masowy  m om en t  bezwł adnoś ci  steru  wysokoś ci  wzgl.  osi  obrotu, I y   —  m om ent  bezwł adnoś ci  sam olotu  wzgl.  osi  Oy, M H   —  m om ent  zawiasowy  steru  wysokoś ci, P(t)  —  zewnę trzna  sił a  wymuszają ca, Q  —  cię ż ar  sam olotu, Mwz  —  sterują cy  m om en t  zawiasowy  steru  wysokoś ci, T   —c ią g  silników 1.  Równania  ruchu  samolotu Rozpatruje  się  podł uż ny ruch  sam olotu  o  napę dzie  odrzutowym .  Przyjmuje  się,  iż  ruch odbywa  się  w  pionowej  pł aszczyź nie,  kt óra  pokrywa  się  z  pł aszczyzną  symetrii  sam olotu. R ówn an ia  ruchu zapisan o  posł ugując  się  ukł adem osi  przepł ywu  Ox a   z„,  którego  począ tek umieszczono  w  ś rodku  masy  sam olotu.  Z ał oż on o,  iż  sam olot jest  brył ą  sztywną,  n atom iast ukł ad  sterowania  sterem  wysokoś ci  jest  odkształ calny,  charakteryzują cy  się  odpowiednią sztywnoś cią  i tł umieniem. Przyję to  ustalony  ruch  prostoliniowy  sam olotu  okreś lony  nastę pują cymi  param etram i V  =   v o,  y a   =   Yao,  @  =  ®o,  «  =   «o  =   &o~Yo,  <5«  =   <5//o  —  kąt  wychylen ia  steru wysokoś ci  dla  ustalon ego  ru ch  sam olotu. P on adto  zakł ada  się,  iż  mał e  perturbacje  V  nie  mają  istotn ego  zn aczen ia  dla  procesu  opty- malizacji,  a wartoś ci  ką tów  y  i  a są  m ał e pozwalając  n a linearyzację  (sin  • £  ~  • £  ; cos  £   g £   1).  D odatn ie  zwroty  sił   i  m om en tów  dział ają cych  n a  sam olot  przyję to  jak  n a  rys.  1. Schemat  odkształ calnego  u kł adu  sterowan ia  sterem  wysokoś ci  p o kazan o  n a  rys.  2.  Przy powyż szych  zał oż eniach  ukł ad  równ ań  opisują cych  ruch  sam olotu  wzglę dem  trajektorii lotu  poziomego  m a  post ać: ̂ ^ i  ̂ (1.2) O P T YM ALI Z AC JA  U K Ł AD U   STEROWAN IA. 643 gdzie: Rys.  1.  U kł ad  współ rzę dnych  osi  oraz dodatnie kierunki  sił , momentów i  ką tów p,L,   A Rys.  2.  Schemat  odkształ calnego  ukł adu  sterowania  steru wysokoś ci V  '6H+ CH-   bH -  bH  =   mn- ~ da  cfa d t +   dt  • (1 . 3) (1.4) ii* 644  S.  D U BIEL,  M .  M R Ó Z Wyeliminowują c  z równań ką t y a   i jego pochodne  oraz pomijają c  równanie (1.1) jako, że lot jest  poziomy ze  stał ą  V {Ya  -   Yao  =  0,  sina  s  a) , równanie  (1.2) moż na zapisać w postaci  (1.2') ^ L   = b- a- g,  (1.2') gdzie: Uwzglę dniając  (1.2') w równaniach (1.3) i (1.4), otrzymuje się  ukł ad równań ruchu samolo- tu z odkształ calnym ukł adem sterowania w nastę pują cej  postaci: +C+  oc  -   a 0  •   dII+al  •   6H+ft,  (1.5)dt2 gdzie: a0  =   — - M s JH  \   IH  1 \   in  /  J ' •  (\ Ą - Y)- \  [\   I   mBeBSH\   M < t l . „   •   M L  hi  \   In  I  h  \   'n W zapisie  macierzowym ukł ad równań  (1.5) i  (1.6) przedstawia  się   nastę pują co: x  =   A- x + F ( O,  (1.7) gdzie: X±   =   Ct',  X2  —  Ot  ',  X3  =   Ofl',  X4  =   OJJ  I O P T YM ALI Z AC JA  U K Ł AD U   STEROWAN IA. 645 0 2 1 0 4 1 1 « 2 2 0 a 0 « 2 3 0 0 0 2 4 1 « 4 4 • 0 fx 0 /• a 2 2  =   — a 23 "Współ czynniki- oznaczone  *5  są   tymi  parametrami, które  należy  w  procesie  optymalizacji dobrać  celem  zapewnienia  odpowiedniej  charakterystyki  napę du  ze wzglę du na tł umienie procesu  przejś ciowego. 2.  Optymalizacja parametrów dynamicznych Wł asnoś ci  dynamiczne  obiektu  reprezentuje  macierz  stanu A,  zatem dla  optymalizacji parametrów napę du sterów zapewniają cych  najszybsze tł umienie wahań samolotu  rozważ a- nia  sprowadza  się   do  analizy  ukł adu bez  wymuszeń,  czyli x  =   A- x.  (2.1) Wartoś ci wł asne macierzy stanu A  okreś lone są  przez równanie charakterystyczne  o postaci: I A T I I  —  0. gdzie:  I —jest  macierzą   jednostkową ,  a  , / "  dla  i  =  1, 2,  3, 4]  stanowią   wartoś ci  własne macierzy  A. Macierz  A  nie  musi  posiadać  rzeczywistych  wartoś ci  wł asnych,  ale  ponieważ  |A- r  l|  =  0 ma współ czynniki  rzeczywiste,  to  wszystkie zespolone  wartoś ci  wł asne muszą   być  parami sprzę ż one. 4 Ponieważ trA  =  J j  r t ,  a dla  najszybszego  tł umienia  procesu  przejś ciowego  ż ą da  się   aby wartoś ci  wł asne był y  niezależ ne  i  posiadał y jednakowe  ujemne  czę ś ci  rzeczywiste  a  [1, 3] zatem: »ff«- ~.   (2. 2) Zgodnie z tzw.  Sylvestra warunek  ujemnych  wartoś ci  o- jest speł niony, gdy: 4 detA =   [Jrt>0. i Warunek  optymalizacyjny  uzyskuje  się  na drodze przekształ cenia macierzy  stanu A  w ma- cierz  A  stosują c  przekształ cenie x  =   y e 0 ' ,  .  (2.3) zatem: y =  A- y,   (2.4) 646 S.  D U BIEL,  M.  M R ÓZ gdzie: A=   A- d, i  wówczas  tr (A -   a I)  =  tr A -   n •   a =  0 Poszukuje  się   takich  wartoś ci  C H   i  x H   aby  rozwią zanie  równ an ia  (2.4)  był o  rozwią - zaniem  nierosną cym. Ponieważ  ś lad  macierzy  A  jest  równy  zero tr A  =   0 , zatem  wartoś ci  wł asne det A  winny  być  urojone lub równe  zeru  [1]. Przekształ camy w tym celu  wyznacznik  charakterystyczny  macierzy  do wielomianu |A- a)l|  =  {~\ )n[(o"- p L m n - 1  +p 2 w"- 2  + ... +(- l)"p„].  (2.5) Współ czynniki/ ; (i =  1, 2, ..., n) tego  wielomianu  wyraż ają   się  za pomocą   elementów ma- cierzy  A  w sposób  nastę pują cy: =   5 u + 3 a 3 +   ... +anl,  = =   tr A, d 2 —jest  sumą   minorów  gł ównych  (tj. minorów poł oż onych symetrycznie  wzglę dem  gł ów- nej  przeką tnej)  stopnia  drugiego  macierzy  A 7 1 - 1 a u   a u cfji  a J3 p 3   — jest  sumą   minorów  gł ównych  stopnia  trzeciego y j > i, Ps  = n- 2 2 a u  a,j  a lh h  >  j  >  i, itd, a p„  =   det A, gd z i e :  ~a H  = a u   — a. Rozwią zanie  równania  bę dzie  nierosną cym  jeż eli: Pi  >  0,  dla i —  parzystych, Pi =  0,  dla i — nieparzystych. Otrzymuje  się  w ten sposób  warunki  na charakterystykę   ukł adu  napę dowego  steru, a wię c na  C H  i x H ,  która zapewnia  najł agodniejsze  sterowanie  samolotem przy  najkrótszym  czasie trwania  procesu  przejś ciowego. D la  rozpatrywanego  przykł adu A  ma  postać: - o-   1  0  0 02i  a 22   — a  a 23   a 2 * 0  0  - er  1 «4 i  «42  a% 3   a% A - a  poszukiwane  warunki  są   nastę pują ce: p±  = tr A  i=  - 4 f f + f l2 2 + aJ4  = 0, O P T YM ALI Z AC JA  U K Ł AD U   STE R OWAN I A.  647 p 2   =   3a2- a(2a 22 +at 4 )- (a 2l   + ai 3 )  >  0, p 3   =   - 2a3  + o2(2a 22 +a% 4 )  + 0(a 2l - a 22 a% 4 +a$ 3 +a4 2 +a 2 4)+  (2.6) +  (a4.2a 2 3- a 22 ai 3 )  =   0, p 4   -   det A  =   < 7 4 - c r3 ( a 2 2 +  fl|4) +   ff 2(a22^4- «l3- «42«24~«22)  + +   (T(fi(22fl43- «42fl23+ a21.a*l- fl24«4j)  +  («23fl41- a2ia*3)  >  0. N ajszybsze  tł um ienie  wym aga  aby  współ czynnik  a% 4  był   co  do  bezwzglę dnej  wartoś ci jak  najwię kszy.  Z atem jego  wartość  należy  dobrać  pod  tym  ką tem  widzenia,  uwzglę dniając moż liwoś ci  konstrukcyjne. P onieważ zaś  C H   —jest  współ czynnikiem  tł um ienia  w  ukł adzie wychylenia  steru  wysokoś ci, wię c  m oż na  dobrać  współ czynnik  a% A   drogą   zwię kszania  ——^ ——  oraz M\   Wartość — m oż na  wstę pnie  d o brać  dla  izolowanego  n apę du  sterów.  Z  relacji  najszybszego  tł umienia dla  ukł adu  oscylacyjnego  wynika P ozostaje  wię c  dobran ie  odpowiedniej  wartoś ci  współ czynnika  a% 3 . Wykorzystuje  się do  tego  celu  warun ek  n a/ > 3  =   0,  z  którego  wynika,  że  a%3  winna  mieć  wartoś ć: ( 2 ' 8 ) Wartość  t a  musi  p o n ad t o  speł niać  warun ki p 2   >  0  i  p 4   >  0, czyli  det  A > 0 dla  n —  parzystego. Zresztą   ten  ostatn i  warun ek  jest  warun kiem  koniecznym  statecznoś ci  ukł adu  w  ogóle. I stotn e znaczenie  mają   t u relacje  mię dzy  współ czynnikami wiersza  drugiego  i  czwartego macierzy  A.  Szczególnie  istotn ą   rolę   odgrywa  ich  zależ ność  od  prę dkoś ci i wysokoś ci  lotu jak  i stosunek  poch odn ych współ czynników  aerodynamicznych  samolotu i sterów.  Szczegó- ł owe  omówienie  ich  wpł ywu  n a  strukturę   ukł adu  sterowania i na  optymalne  wartoś ci  od- powiednich  współ czynników  wymaga  oddzielnego  opracowania. Wnioski Z astosowan ie  nowej  m etody  syntezy  liniowego  ukł adu  dynamicznego  przedstawiono  n a uproszczonym  m odelu m echanicznym . U proszczenia idą   t ak  daleko  a b y\   jednej  strony  dać jak  najbardziej  przejrzysty  obraz  stosowania  m etody  i  wynikają cych  z tego  korzyś ci,  z dru- giej  zaś  stron y  aby  m odel  nie  zniekształ cał  n adm iern ie  sensu  fizycznego  procesu.  Z a  taki model  uzn an o  sterowan ie  podł uż n ym  ruchem  sam olotu,  przy  zał oż eniu, że  mał e  pertur- 648  S.  D U BIEL,  M.  M R Ó Z bacje  prę dkoś ci  n ie wpł ywają   w  sposób  istotny  n a wzajemne  sprzę ż enie  dyn am iki  lotu sa- m olotu i dynam iki  ukł adu sterowania.  P otwierdzenie  sł usznoś ci takiego  zał oż enia wymaga porówn an ia  wyników  ukł adu  uproszczonego  i  ukł adu  pomijają cego  te  uproszczenia. Z agadnieniu  temu  poś wię cona  bę dzie  oddzielna  praca. Korzyś cią   uproszczonego  modelu jest  przejrzystość  uzyskanego  wyniku  w  postaci za- leż noś ci  (2.8).  P okazan o  w  n im sprzę ż enie  charakterystyki  dynamicznej  sam olotu  i od- kształ calnego  ukł adu sterowania.  Z naczenie tej zależ noś ci  jest  szczególnie  istotn e dla  pro- cesu  projektowania. D odatkową   korzyś cią   jaką   daje  zastosowanie  propon owan ej m etody syntezy jest prosto- t a  w  uzyskaniu  odpowiednich  czę stoś ci  wahań  ukł adu. U ł atwia t o rozwią zanie  równ an ia dla ukł adu przekształ conego. Wyznaczenie  pierwiastków  czysto  urojon ych  dla  wyjś ciowego ukł adu 4- go  rzę du sprowadza  się  do rozwią zania  równ an ia bikwadratowego.  D aje to  moż li- wość uniknię cia stanów  krytycznych  [2] dla przypadku  kiedy  czę stoś ci zbliż ają   się  do  siebie. Z  pun ktu  widzenia  praktycznego  posiada  to niebagatelne  znaczenie. Literatura 1.  S. D U BIEL,  L iniowy  ukł ad dynamiczny o najszybszym  tł umieniu. Mech. Teoret. i Stosów. III/ 1986. 2.  S.  D U BIEL,  M.  PU RWIN ,  Stan krytyczny  w ukł adzie sterowania rakietą  w wią zce prowadzą cej.  Biul. WAT nr  10  (326)  1979 r. 3.  A.  H .  FonyEEHqEBj  HmneipaAbHbie Memodu  e  dunaMUKe.  K n e ś  1967  r . 4.  A. KRZYŻ AN OWSKI,  Dynamika nieautonomicznego  ruchu  samolotu z odkształ calnymi  ukł adami sterowania —  rozprawa  doktorska  WAT.  Warszawa  1982 r. P  e 3 w  M e n P H M E H E H H E  M AT P H ^ H O r O  M E T O M   K 0n T H M H 3AD ; H H   HE>KECTKOfi[ C H C TE M LI yilP ABJ I E H H il orrn iM H 3aicH n  CHCTeMbi,  o 6 e c n e i i H B a i o m a H   caiwoe  G bic T p o e  3 a i yxa H i i e  n e p e xo fl H o r o n p o q e c c a  pjw  jiu M ea n o H   C H C T C M M  o n u c a u H o H   M aT epiraH o- BeK T opH biMH   yp a BH e jo r a M H . yCJIOBH H   B  M aTpH IH OH   (boplYie  flaiOT  B03M0>KH0CTb  6 t I C T p o r o  yCTaH OBJieH H H   COOTBeTCTByiOIUHX Kosi})(J)HHHeHTOB  flnH   JiH tieH H M X  CHCTeMj  a  B  G oJiŁuiH H CTBe  c ji yya e B  ypaBn eH JM i yn p a sji J i e M b i x  flH H aM n- MecKHX  o6- teKToB n p H BefleH bi B ^ o p iwe  M a i p a t m o fl  cucTeM M  yp a B n e H H H . fljia  H JiJiiocTpaqH H   MeTOfla  n p H B e fle n  n p i m e p  flU H aM H KH   n p o fl o n B H o r o  flBiiH