Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z4.pdf


M E C H A N I K A
TE OR E TYC Z N A
i  STOSOWAN A

4,  24,  (1986)

ELASTIC  PLATE  REINFORCED  BY  SYSTEM  OF  SLENDER  CORDS

AN D R Z E J  G AŁ KA

IPPT ,  PAN , W arszawa

Summary

U sin g  th e results  of  [I] th e governing  system  of  relations  for  an  elastic  plate  reinforced
by  a  system  of  slender  cords  has  been  derived.  T h e solution to  the axially- symmetric  boun-
dary  value  plan e  problem  h as  been  obtain ed  and  discussed.

1.  I n troduction . Let  Q  be  th e  regular  region  in R2  occupied  in the reference  configura-
tion  by  th e elastic  plate, which  is  reinforced  by  system  of  cords. We  assume  th at the cords
coinside  with  curves  F

k
,  k  — 1,  ...,n.  We  denote  by  t

k
(x),  n

k
(x),  x  e l ' s  th e fields  of  unit

vectors  tan gen t  an d  n o rm al  to  t h e  curve  F
k
,  respectively.  Let s

k
(x)  and  e

k
(x)  be  the values

of  ten sion and  strain , respectively  in cords F
k
.  We  assume  th at the cords  are slender,  so the

values  of  ten sion  in  cords  are  restricted  by  th e  con dition s s
k
  >  0.

F ig. 1.

We  are  to  derive,  within  th e  ran ge  of  th e linear  static  elasticity,  the local  relations  des-
cribing  boun dary  value  problem  for  a  plate  reinforced  by  a  system  of  slender  cords.  U sing
th e  obtained  local  relation s  we  are  to  solve axially- symmetric  boundary  value  problem  for
an  elastic  circular  plate  reinforced  by  a  system  of  slender  cords.

The  stą tring  poin t  of  t h e  analysis  is  th e  system  of  relations  which  have  been  proposed
in  [1]; n am ely:



650  A.  G AŁ KA

1°  global  equilibrium  equation

n

jtr[S(x)L v(x)]ds+ £  f  tr[t
k
(x)®t

k
(x)L v(x)]s

k
(x)dl  =

=   jp(x)v(x)dl+fb(x)v(x)ds,  VveV,  (1.1)
8a  ó

2°  constitutive  relations

e
k
(x)~K

k
(x)s

k
(x)  e 8x

K
 +  (S

k
(x))

3°  strain — displacement  relations
1

E(x)  =  L u(x),  L v  ==  —-  (Yv  +   ( V») 7) ,

(1.3)
**(*)  =   t r [ ^ ( x) ® 4( x) L »( x) ] ,

where:  S(x)  is the stress  tensor,  b{x)  is th e body  force,  p(x)  is  the surface  force,  x^C s) is

the  indicator  function  of R+  e.  a.

( 0  for  j £ i ? +

for  ,? ś i?+

and  ^%i?+(̂ ) is a subdifferential  on  in dicator  function  at th e  poin t s.
2.  Basic  relations.  Tn order  to  obtain  th e  local  relation s  from  the global  equilibroum

equation  (1.1)  we transform  the  integrals  appearin g  in E q.  (1.1)

/   tr[S(x)L v(x)]ds  =   /  S%njdl-   J Slfadxhlx2  + ]?  f  {S'JJv^ jdl  (2.1)
a  8  k \ r

/   J  ]
8Q  a  km\ rk

and

I  tr[t
k
®t

k
L v%dl  =  s

H
t%\

Xmy
» - Stttvtl^ A  -   f  U

k
Ą s

k
  + t

l

k
 ~^ - \ v

t
dl,  (2.2)

where  [S"J]  a  S'J- S'J,  S%(y) =  UmS iJ(x),  S'J(y)  =   lim Sw( jc) ,

(x- y)nk> 0  ( x- j))nfc< 0

x
k
  is the  curvature  of curve F

ki
  symbol  d( - )jdl den otes  derivative  in th e  direction  tan gen t

to a curve, y\ , y\  are th e points of intersection  curve F
k
 an d  boun dary 8Q of th e  region Q.

The  global  equilibrium  equation  have  to be satisfied  for  arbitrary  functions  v e V;
H ence  using  (2.1)  and  (2.2), we arrive  at local  relation s

sy- b'- O,  xeQ\ [jr
k
,

xe8Q,

^  1 ] %  xeF
k
,  (2.3)

s
k
  =   — h

k
,



R E I N F O R C E D   ELASTIC  P LATE .  651

where h
k
  is  the known  value  of  a traction in the cord at the boundary  (in the tangent direc-

tion tk).
Eqs.  (1.2),  (1.3)  can  be  written  as

&ij  —  Jl  ijlm  ̂ ,

e
k
  =   K

k
s

k
,  if  s

k
  >  0,  (2.4)

e
k
  <  0,  if  s

k
  =   0,

an d

—  (it

e
k
 ^   tltfa

  ( 1 5 )

respectively.
Eqs.  (2.3), (2.4),  (2.5)  constitute the basic  system  of  relations  descvibing  boundary  —

value  plane  problem  for  a  plate  reinforced  by  a  system  of  slender  cords.
3.  Example.  Let  the  elastic  circular  plate  with  the  concentric  hole  be  isotropic  and

homogeneous.  We  assume  th at  the  plate  is  reinforced  by  a  system  of  slender  cords  which
coincide with  curves  Q =   t,

k
  =   const,  k  =   1,  ..., n — 1, fŁ   e (a, b). Let  to  =   a and  £„  =   b,

and let the plate be loaded at the boundary Q  — a and Q =   b by  the  known  radial  tractions
p

a
  and p

b
,  respectively.  In  order  to  obtain  displacements,  stresses,  strains  and  tractions in

cords  we  shall  use  the relations  obtained  in Sec. 2. Takeing  into acount the axial  symmetry
of the pertinent problem we shall  writte relations  (2.3), (2.4) and (2.5) in the polar coordina-
te  system  as  follows:
1°  equilibrium  equations

(QSe(e)),e- s0(e)  =  o

S
B
(a)  =   - p.,  S

e
(b)  =   - p

b
  (3.1)

where  S
e
  and  S

e
  are  the m ain values  of  the stress,  tensor,

2°  constitutive  relation s

1

E

^ - vS
e
),  (3.2)

Ks
k
  for  s

k
  >  0

f *  " 0  for  ^  =   0.

3°  strain —  displacement  relations

In  order  to obtain  solution  of  the problem  given by  Eqs.  (3.1), (3.2), (3.3), we  consider
separately  the following  four  cases:



652  A.  G AŁ KA

(i)  All  c o r d s  a r e  u n st r e sse d :

s
k
  =  0,  e

k
^ 0,  fo r  k  =   1 , . . . ,  M —1 ,

(ii)  All  c o r d s  a r e  st r e sse d :

s
k
>0,e

k
  =  Ks

ki
  fo r  k  =   1 , . . . ,  n—1,

(iii)  C o r d s  d ,  •••»  CiT- i  a r e u n st r e sse d  a n d c o r d s  £
k
,  ...,  t «_ i  a r e  st r e sse d :

J)t  =   0 ,  efc ̂  0 ,  fo r  / t • > 1,  . . . , f c - l,

j f c  >  0 ,  ek  =  Ksk,  fo r  /c =   / c, ...,  n — 1,

(iv)  C o r d s  £ i , . . , ,  CiT- i  a r e  st ressed  b u t  c o r d s  C
k
,  • • • ,  Cn- i  a r e  n o t :

s
k
  >  0 ,  e k  =   Ksk,  fo r  /c =   1,  ...,k—l,

*  J S =   0,  efc ̂  0 ,  fo r fe =   fe,.,.,  n — 1 .

(i)  Assume that s
k
  =   0 hold for  A: -   I,  ...,n  — \ .  F rom  (3.1)3  we  see,  that  S e  is  a conti-

nuous  function  at  points  C
k
.  Eqs.  ( 3 . 1 ) l j 2 ,  ( 3. 2) l i 2  and  (3.3) 1> 2  represent  th e  system  of

equations  for  an  elastic  plate.  In this  case  the following  solution  holds

(3.4)
1 \

The  constants A
lt
  C

±
  can  be  found  from  boundary  conditions  (3.1)2

a
2
b

z
(p

b
- p

a
)  p

B
a

2
- p

b
b

2

Relations  (3.4)  represent  the  solution  to  the  problem  un der  consideration  provided  that
strains  e

k
  in  cords  F

k
,  which  are  due  to  loadings  p

a
  and p

b
  satisfy  conditions

F rom  aforementional  conditions  we  get

P»>- Ł Pa,  (3.6)

where

Since  A
+1

[X
k
'
+1
  4 l\ \ K  for fe =   1, ..., n- 2,  then  it  follows  t h at  the  inequalities  (3.6)

are  satysfied  if

(p^ p^ eB^ BtuBl,  (3.7)
where

a,P
b
)eR

2
;

Pa
  >  0,

Pb
  ź  Pa- §

Bl  =  JG>«,/ >») e - R2;  A,   ^ 0 ,   P b >   Pa



R E I N F O R C E D   ELASTIC  P LATE .  653

If radial tractions p
a
,  p

b
 satisfy the condition (3.7) then the solution to the pertinent problem

is given by the relation  (3.4) in which  constants A
t
,  C

±
 are determined by Eqs. (3.5).

(ii)  If s
k
  > 0 holds  for k =  1  n- \ ,  then  form  (3.1)3  it follows  that  the  stress S t

is discontiuons for Q =   £fc,fc  =  1, ...,n- \ .  Then the system of Eqs. (3.1)^  (3.2)1> 2, (3.3)1>2
has  the solution  in every interval  (Ck- i,  Ck) in the  form

A  A-
S

e
  = —j- + 2Cfc,  Ą  =   2j- +2Cfc,

(3.8)
l- v  I  v  \

E
B
  = —jjr—\ 2C

k
—-

I
A

k
J,  w =   QE@,

F rom  Eqs.  (3.1)3,  (3.8)t  we get

s
k
  =  C

k
(2C

k+1
 -   2C

k
)+l~(A

k+1
-   A

k
)  (3.9)

and from  Eqs.  (3.3)3,  ( 3. 8) l t 2  it follows  that

In  order  to  determine  constants  A
k
,  C

k
  we take  into  account  boundary  conditions

(3.1)2,  equations  ek = Ksk, k =  1, ...,«—1  and  the  continuity  conditions  for the  displa-
cement field.  The  continuity  conditions  for  displacement  at every  Q —  C

k
 and equations

e
k
  =  Ks

k>
 k = 1, ..., n—1, leads  to the following  recurrent  relations  for constants  A

k
,  C

k

A
k+1

  = n Ą ł ( St 2 C b 2 C t ł l  =  *kAk+pk2Ck  (3.11)

where:
yA  —.  if  —.

Ck  C ft  ( 3. 12)
v  -   -   -   (l- v)2

Yk ~  l—- jr- K>  $k
  m

  C
k
K,  K=  —  .

F rom  (3.11) constants A
k
,  C

k
, k =  2, ..., n can be expressed in term of constants  A

lf
  Cx

A
k
  = c

k
Ax+d

k
2Cy,  2 Ci- flb Î + WC 1 ,  (3.13)

where
b

k+i
  =   <t

k
d

k
+p

k
b

k
,

d
k+1

  =y
k
d

k
  + 8

k
b

k
,  (3.14)

a x  =  0, 6 L =  1,  d  =  1, J t  =  0.

F rom boundary  conditions  (3.1)2  we obtain

1  L = ; v  (3.15)- 1 ^ + 2 ^ = ^ ,

Taking  into  account  (3.13), we  get

L   =  - p.,  v^ +itnlC,  -   - p
0
  (3.16)

where  v
n
 =  1/fe2  c„  +  a„,  / u

n
 =  1/ 62  4, + i, , .



654  A.  G AŁ KA

Th e  forementioned  system  of equation s  h as th e  solution  of th e  form

A  =   - j(pb-

where  A =   \ ja2/ j,
n
—v„.

C on stan ts A
k
,  C

k
  will be given by

Q  =  - jV>
n
Pa  ^ T Pb)  (3.17)

Ak  =
 1  [

Pb
 V

k
~1p  ^ A

2Ck  =   T r * r* ~  1?

N ow, th e range of th e boun dary  traction s £„,/ >,, should  be  determ in ed  such t h at  inequalities
s

k
  > 0,k  =  1, ...,n—l  hold. We  can prove  th at sequences  of con stan ts a

k
,b

k
,  c

k
,d

k
,  which

are  given  by  (3.14)  are m on oton ie

a
k  < 0 ,  1 < b

k
  <  b

k+1
,

(3.19)
cfc  <  1,  0  <  dk  <  dk+l

(3.20)

H ence

v<

Let  us in troduce  th e  following  den otation s

1

(3.21)

„ 1  1

1  ; 6  -

an d  n ote t h at  /£ > 0. C on dition s s
k
  >  0 lead  to th e ran ge  of boun dary  traction s  as follows

n  < n  —  k  =  1  n—l  (3 22)

because  / J + i/ / *+ i  <   / £/ #  an d /f «  AJ,  inequality  (3.22)  fulfield  for each  k -   1, ..., B - 1 if

where

a , pb)  £  i?  ;  J70  < 0,  Pb < Pa'

^2  =   j ( f t , f t ) e i !2 ;  i?a > 0  pb<  Pa- fa

If  traction s p
a
,  p

b
  satisfy  th e con dition  (3.23),  th en th e  solution  to th e pertin en t problem is

given by relations  (3.8), (3.9), (3.10) in which  con stan ts A
k
,  C

k
 are determ in ed by E qs.  (3.18).

(iii)  If Sk =  0 for k =  1, ..., k— 1  an d  s
k
  > 0 for k  = k, ...,« — 1  then  th e  stress  S

e
  is

con tin uous  on the interval  (a, C
k
)  an d  discon tin uous  for  Q =   t,

ki
k  =  k  n —l .  System



R E I N F O R C E D   ELASTIC  P LATE .  655

of  equations  ( 3 , l ) l s  ( 3 . 2 ) l i 2 )  ( 3. 3) l i 2  has  the solution  given by  (3.8) in which for  Q e (a,  £k),
we  have  to substitute  k = k  and for Q e (Ci- i,  £/ ), i = k+l,  ..., n  we  have  to substitute
k  =  i the  values of tension  in  cords F

k
,  k =  k,  ...,»— 1 are  determined by relation  (3.9)

and the values of strain e
k
 by  relation  (3.10).  Constants A

k
, C

k
, k = k,  ..., n, which  appear

in the solution,  are determined  analogously  as befor,  i.e., from  boundary  conditions  (3.1)2,
Eqs.  e

k
  — Ks

k
 for k = k, ...,n- \  and  from  continuity  condition  for displacement.  The

continuity  condition  for the  displacement  field  and  equations:  e
k
 =  Ks

k
 lead  to  recurent

relations  (3.11)  for  k =  k, ..., n — 1. F rom these relations  constants  A
u
  d,  i =  k+l,  ..., n

can  be  expressed  in term  of constants A
k
,  C

k
.

Ai  =   M .  ^ ) ^ ,
-   .  (3.24)

2C, =   fl,(*)^l+ &(fc)2Ct

where:

a
i+1

  = a.
l
c

l
(k)+§

i
a

i
{k),  b

t+1
  =  x

t
d

l
(k)+fabric),

c,+ i  -   ytc
t
(k)+d

iai
(k),  d

i+k
  =   ytdM+dtbttk),  (3.25)

a
k
(k)  =  0,  bsik)  -   1,  cgQc)  =  1,  d

k
(k)  =   0.

F rom  boundary  conditions  (3.1)2  we  get

+ Q  A l  ^ f n  =   - A .  (3.26)

U sing  (3.24)  we  obtain  the  system  of equation for A
k
,  C*,  solution  of which  is given  by

4 F   =  4Q>t- I*n<k)p
a
),  2CF .  4 - ( ^ f t - ^ - f t ),  (3.27)

Zl  Zl  \   flz  /

where:

^  (  =   ^5-   d
n
(k)+b

n
(k),

Constants A
i}
  Ci i =  it,  ...,  n  can  be  expressed  in the  form

A,  -   ^

(3.28)

F rom  conditions Ą  >   0, i  *•   k, ,.., n— 1 we  obtain the following  restriction  on the bounda-
ry  tractions

pb< p*M'  '- *"'- - -1'  (i29)



656  A.  G AŁ KA

where:

lf(k)  =  - ^  qi(k)- r
t
(k),  I'tik)

r
t
(k)  =  at(k)- t- L c,Qe),  q

t
(k)

<
^ - v  —  ^ Qc).

I n  the  case  under  discussion,  conditions

( |  )  0  (3.30)

ought  to be  satysfied  for  /  =   1,  ...,  k— 1.  F rom these  con dition s  we  get  inequalities

(3.31)

Conditions  (3.29)  and  (3.31)  are  fulfield  if

(Pa,p
b
)eB

k

3
,

B
k

3
~{(p

a
,p

b
)eR

2
;

  Pa
^ 0,  pJUlM- t  <  Pb <  PnW *$-   (3.32)

If  boundary  tractions  p
a
,  p

b
  satisfy  the condition

M - l

(p
a
,p

b
)eB

3
  =  U   Bk

3
  (3.33)

then the solution to the problem under consideration is given  by  relations  (3.8), (3.9),  (3.10)
in  which  constants  A

k)
  C

k
,  k  =   1, ...,  n  are  determ ined  by  (3.28)  an d  wehere  A

k
  =   A

k
,

C
k
=  Cf  for  k  =   1,  . . . , fc - l,

(iv)  In  this  case  s
k
  >  0  for  k  =   1, ...,  / c - 1  and  s

k
  =  0  for  /c =   k,  ...,  n — \ .  Then  the

stress  S
g
  is  discontinuous  for  Q =   Ci,  i  =   1,  ...,  k— 1,  System  of  E qs.  ( 3. 1) l 5  ( 3.2) 1 > 2,

( 3.3) 1 ( 2  have  the solution  given  by  (3.8), in which  for  Q e  ( C ;- i,  CO. t  ~  1=  •••>  ^— 1 we  have
to  substitute  k  =   /  and  for  Q e  (Ck~i, b) we  have  to  substitute  k  =   k.  C on stan ts  A

k>
  C

k
,

k  =  I,  ...,k  which  appear  in  the  solution  are  determined  by  th e  procedure  analogous  to
th at  given  above.  F rom the ciontinuity  condition for  th e  displacement  field  an d  from  rela-
tions  e

k
  =  Ks

k
,  k  ~  1,  , ., , &—!,  we  obtain  reccurrent  relations  (3.11)  for  k  =  1, ...,  k- \ .

and  hence  (3.14)  holds.
F rom  boundary  conditica  (3.1)2  we  get

A+ 2Q - - /V  ±
r
A

l
-  + 2C

li
=~p

b
  (3.34)

Substituting  (3.14)  into  (3.34), we  obtain  the  system  of  equation s  for  A±  an d  C l s  solution
of  which  is

=   - JO  (Pb- KPa)>  2C
X
  =   - j~  \ v^ p

a  T
p

b
n
k  £lf  \   a

where



R E I N F O R C E D   ELASTIC  P LATE . 657

The  form ulas  for  con stan ts  A
k
,  C

k
  have  the  form

A  =   - jz\
n
k  L (3.35)

J t  L  \   a

F rom  inequalities  s
k
  >  0,  k  =  1  k— 1 we  obtain  the  following  restriction  for  loadings

where

F rom  con dition s

we  obtain

Pb  <  Pa- j;  for  i  =   1,  ..., / fc- l

/   =

(3.36)

Pt
t-

C on dition s  (3.36)  an d  (3.37)  are  fulfield  if

(pa,pb)eBl,  B%-
X-

U  j  / 'a

(3.37)

- } .  (3.38)

If  boun dary  traction s p
a
,  p

b
  satisfy  th e  condition

n - l

0»«,A)e2»4=  U (3.39)

then  the  solution  is  given  by  relation s  (3.8),  (3.9),  (3.10)  in  which  constants Ak,  C
k
,  k  =

=   1,  ..., k  are  determ in e  by  (3.35),  an d  where  A
k
  =   A

k
,  C

k
  «•  C

k
  for  A; =  k+l,  ...,  n.

N o t e  t h at  every  pair  from  sets  B l 5  B 2 ,  B 3 ,  B 4  is  disjointed  an d  th at  Btu  B2<a  B3
u Ą   =   R2.  F o r th e case  n  =   4  t h e  aforem entioned  situation  is  ilustrated  on F ig.  2.

(

\   B 3  - '

B  - Ę23

Y

/

• /

/

Pb

— .

A

/

A

/
/

N-

Pa

F ig.  2.

12  M ech .  Teoret.  i  Stos.  4/ 86



658  A.  G AŁKA

F or  (j>
a
, p

b
)  e  Bx  the  solution  is  given  as  in  (i), for  (pa,  pb)  e  B2  as  in  (ii),  for  (pa,  pb)  g  B3

as  in  (iii)  for  (p„,  p
b
)  e  JB4  as  in  (iv).

References

1,  Cz. Woż NlAK,  Materials reinforced by system  of  cords with constrained tensions,  J.  Techn. Phys.

P  e 3 10  M  e

yn pyrAii  I I JI AC T H H A  AP M H P OBAH A  T H E K H M H   BOJI OKH AM H

H 3noJib3yfi  pe3yjiBTaTti  n ojiy^em iwe  B [1]  BbiBefleno  ocHOBHyio  CHCTemy  OTHomeHHft  fljra  yn pyrofi
nnacTHHH   apiwaposaH ofi  TH SKH M H   BajioKHaMii.  Jl^aioTca  T o^H tie  pemeH H e  nJiocKOH   oceBo- CHMMeTpn-

S t r e s z c z e n i e

TARCZA  SPRĘ Ż YSTA  WZM OCN ION A  U KŁAD EM   WIOTKICH   CIĘ G IEN

Korzystają c  z rezultatów uzyskanych  w pracy  [1] wprowadzono  podstawowy  ukł ad zwią zków lokalnych
dla tarczy sprę ż ystej wzmocnionej  ukł adem wiotkich wł ókien.  Rozwią zano  osiowo- symetryczne  zagadnienie
brzegowe dla  pierś cieniowej  tarczy  sprę ż ystej  wzmocnionej  ukł adem n  wł ókien  rozmieszczonych  koncent-
rycznie.

Praca  wpł ynę ł a  do Redakcji dnia  26 lutego  1986 roku.