Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS86_t24z1_4_PDF_artyku³y\mts86_t24z4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA i  STOSOWANA 4,  24,  (1986) O  PEWNYCH  ROZWIĄ ZANIACH  RÓWNANIA  DYFUZJI  CZ.  II* JÓZEF   WACŁAWIK Akademia  Górniczo- Hutnicza,  Kraków W  m oim liś cie  do  Redakcji  M echan iki Teoretycznej  i  Stosowanej  [3] zwracał em  uwagę n a  n ieuzasadn ion e  stwierdzenia  i  wnioski  w  pracach  [1]  i  [2]. Polemikę   podją ł   ich  Autor dr  Eugeniusz  Bobula  [4]. Jego  odpowiedź  zawiera  liczne bł ę dy. P rzedm iotem  dyskusji  są   n iektóre  rozwią zania  równania  róż niczkowego i  ich  wł asnoś ci. W  równ an iu  (2) p(x,  t)  oznacza stę ż enie lub tem peraturę , x  —- oś liczbową , t —  czas, c(x,  t) —  sił ę   wymuszają cą   t ran sport ,  d(x)  —  dystrybucję   delta  D iraca. D r  Bobula  czyni  szereg  zał oż eń  [1].  M ię dzy  innymi  przyjmuje,  że  funkcja  p jest  parzysta: p(x,  t)  = p(—x,  t),  c — nieparzysta:  c{x, t)  =  —c(—x, t),  a W  odpowiedzi  [4] Autor  twierdzi,  że  rozwią zanie  równania  (2) posiada  wł asność skoń- czonej  prę dkoś ci  im pulsu  (pierwsza  stron a  odpowiedzi  16-   17,j).  M oż na  wykazać,  że  tak nie  jest.  D la  skrócenia  dowodu  rozważę   przypadek  c  =   0.  Parzystą   funkcję   p(x,  0) w wa- run ku  począ tkowym  przedstawiam  w  postaci  sumy  dwóch  funkcji:  p(x,  0)  =   u o (x)  + +  v o (x),  z których  każ da jest  parzysta.  P on adto przyjmuję ,  że  n o (x)  jest  gł adka,  zaś  v o (x) nie  posiada  pochodnej  wzglę dem  x  w  punkcie  x  =   0.  Rozwią zując  równanie ty  dp  , o ^ 8ł   "  8x 2  +   8x x=o- d(pc)  (6) otrzymuje  się   dwie  parzyste  funkcje  u(x,  t),  v(x,  t). Pierwszą   z  nich  m oż na  wyznaczyć  z  równ an ia 8u  8 2 L I  .  .  8u d d(x)  =   0, * W MTiS t. 22, z. 3 -  4,1984 roku został a opublikowana  odpowiedź Pana Eugeniusza Bobuli  na list Pa- na Józefa  Wacł awika  zamieszczony  w MTiS t. 20, z.  1 -  2,1982 r. Poniż ej zamieszczamy  polemiczny artykuł Pana Józefa  Wacł awika, którym to autor zamyka swój udział  w dyskusji  uważ ają c,  że w dostatecznym stop- niu  zwrócił   uwagę   na bł ę dy  zawarte  w  rozprawach  Pana E. Bobuli. 670  J.  WACŁAWIK drugą   zaś  z  równ an ia dv  8 2 v  dv  „dv  82v  dv 2 Suma  tych  rozwią zań  p(x,  t)  =  u(x, t)  + v(x,  t)  speł nia równanie  (6): d(x). 8(u+v)  d 2 (u+v)  8(u+v) 8t  8x 2  '  dx F unkcja  «(x,  t), jako  rozwią zanie  klasycznego  równ an ia  paraboliczn ego,  nie  posiada  wł as- noś ci  skoń czonej  prę dkoś ci  impulsu,  a  funkcję   p(x,  0) m oż na przedstawić  n a  nieskoń czenie wiele  sposobów  w postaci  sumy  u o (x)  +  v o (x),  o  skł adn ikach posiadają cych  podan e wyż ej wł asnoś ci.  Z atem  funkcja  p(x,  t),  bę dąc  sumą   u(x,  t)  +  v(x,  t),  n ie  może  mieć  wł asnoś ci skoń czonej  prę dkoś ci  impulsu. Powyż sze  jest  także  dowodem,  że  funkcja  p(x,  t),  bę dą ca  rozwią zaniem  równ an ia  (2), nie  może mieć wł asnoś ci  lokalizacji  zaburzenia.  W  kwestii  tej  dr  BQbula  wypowiada  się   na drugiej  stronie  odpowiedzi  [4]  w  punkcie  ad  2.4. Autor  odpowiedzi  [4]  (stron a  pierwsza  w.  16d)  stawia  pytan ie  „ Czy  ...  równ an ie  (2) posiada  ź ró d ł o ?" i podaje  negatywną   odpowiedź,  stwierdzają c  w uzasadn ien iu, że równanie to  nie  zawiera  funkcji  niezależ nej  od  rozwią zań.  Ź ródło  w  równ an iu  przedwodn ictwa  nie musi  być  niezależ ne  od  poszukiwanej  funkcji.  P rzykł adem  m oże  być  równ an ie  opisują ce przewodnictwo  cieplne  w  rezystorze  znajdują cym  się   p o d  napię ciem,  opł ywanym  strumie- niem  nieizotermicznym,  gdy  oporn ość  zależy  od  tem peratury. W  przypadku  rozważ anym  w  pracach  [1] i  [2] ź ródło  wystę puje  w  pun kcie x  =   0.  Jego wydajnoś ć,  w  przedziale  czasu  t  e  (rfx,  f2),  m oż na  wyliczyć cał kują c  wyraż enie  n a  strumień 0(x,  t)  wzglę dem  zmiennej  t: ti 2f  0(x,t)lx= o- dt G dyby  nie  był o ź ródła  to  ską d  „ brał aby  się "  m ateria  lub  energia  odpł ywają ca  od  pun ktu x  =   0  strumieniami  o  przeciwnych  zwrotach !? Autor  przyją ł,  że  dla  \ x\  >  \ K(t)\  funkcja  p(x,  t)  =   0  (odpowiedź  [4]  stron a  pierwsza w.  4d).  F unkcja  t a  speł nia równanie  (2) przy  x  e  (— oo,  +   oo) a  n ie tylko  przy  \ x\  >  \ X(t)\ , jak  to  napisano  w  odpowiedzi.  N atom iast  wyraż enie 1 p(x,  t)  = 0  \ x\ nie jest  rozwią zaniem  równ an ia  {6}.  Współ czynnik  w  równ an iu  {6}  przy  X +  0 jest  funkcją regularną .  Rozwią zanie vi  W + 1 (V)Vt &  T  ' ft przy  x  =  X{t)  zeruje  się ,  a jego  poch odn a  wzglę dem  x  w  tym  pun kcie jest  róż na  od  zera ROZWIĄ ZAN IA  RÓWNANIA  D YFU ZJI.  671 N a  zewną trz  linii  x  =   K(t)  rozwią zania  (7) nie m oż na zatem przedł uż ać rozwią zaniem  ze- rowym .  F un kcja  przedł uż ona  rozwią zaniem  zerowym  odpowiada  równaniu  podanem u przez  J.  Szarskiego  w  przypadku,  gdy  speł nione  są   dodatkowo  warunki  [2], podan e  też w liś cie do Redakcji  [3] (wzór  (4) i nastę pny). Warun ki te oznaczają ,  że intensywność  ź ródła energii  (materii) w  pun kcie x  — 0  dostosowan a jest  do jej  odbioru  w pun ktach  \ x\  -   \ X{t)\ . W  celu wykazania,  że  obydwa  wzory  na strumień, podan e przez E. Bobulę   i M . Smolu- chowskiego  są   identyczne w  odpowiedzi  (stron a druga  pun kt  ad  2.2)  zależ noś ci  (1) i (5)  [3] został y porówn an e ze sobą !  Jedn akże czytelnik  pracy  [1] nie znajduje  w niej tych  rozważ ań, ani  równ oważ n ych.  N at o m iast  wywody  przedstawione  w  rozprawie  [1]  są   sprzeczne  ze stwierdzeniami  zawartym i  w  pun kcie  ad  2.2  odpowiedzi.  D r Bobula  podaje,  że  c(x,  t) jest sił ą   wywoł ują cą   tran sport  (n p. str.  35  i  36  rozprawy  [1]). Ponieważ  z  porównania  (1) i  (5) wynika powin n o  tam znaleźć  się   stwierdzenie,  że  c(x,  t) jest  stosunkiem  iloczynu  sił y  wywoł ują cej tran sport .F i ruchliwość  czą steczek  u do współ czynnika dyfuzji  k, ze znakiem minus. G dyby nawet  przyją ć,  że  wzór  (1)  sugerowany  w  pracy  [1] pochodzi  od  M .  Smoluchowskiego  [8] oraz,  że wywód  Au t o ra  pracy  [1] jest  wynikiem  zał oż enia (8) to  przecież  wyraż enie  w  licz- n iku  uł am ka wJFjest prę dkoś cią   konwekcji  ([8] str. 1105 wzór  (4)), o której w pracy  [1] nie ma wzm ian ki.  G dyby  n awet  Autor  przyją ł,  że c(x,  t)  jest  stosunkiem  prę dkoś ci  konwekcji  do współ czynnika  dyfuzji,  który  m a  wartość  skoń czoną,  to  jakie  fizyczne  znaczenie  m a  nie- x skoń czenie  wielka  prę dkość  konwekcji  wynikają ca  z  przyję cia  c  =  • *%- . r  ,  przy  x  rosną - l(r—  t) cym  do  ±  oo. Jak  m a  być  speł nione równanie  cią gł oś ci w  ś wietle wł asnoś ci cieczy  i gazów!. W  tej  sytuacji  nie  zachodzi  przypadek  sugerowany  w  pun kcie  ad.  2.3.  P on adto  pozostają aktualn e  uwagi  o  niezgodnoś ci  zwrotów  bodź ców  i  przepł ywów  termodynamicznych  [3]. D o  pewnych  wniosków  prowadzi  także  analiza  wymiarów  fizycznych  poszczególnych skł adn ików wzorów;  n a przykł ad w  rozdziale  o „ cofaniu  się "  dyfuzji,  wzór  (24) str. 28  [1]. G dyby  zachodził  proces  odwrócenia  dyfuzji  (druga  stron a  [4] w.  8.9g)  to moż na mówić o  tworzeniu  się   struktury,  w  takim  rozumieniu jak  to  podają   I.  Prigogine,  P.  G lansdorff, G .  N icolis  [5],  [6], W.  Ebeling  [7]. Wedł ug  cytowanych  m on ografii  warun kam i  koniecznymi  wystą pienia  takiego  procesu są : —  otwarty  ukł ad term odyn am iczn y, —  przebieg  procesu  poprzez  stany  dalekie  od  równowagi, • — nieliniowość  równ ań  opisują cych  dynamikę . M uszą   być  speł nione wszystkie trzy warun ki  i to jeszcze nie zawsze wystarczy do  powstawa- n ia  struktury.  W  przypadku  rozważ anym  przez  d r  Bobulę   warunki  te  nie zachodzą .  Opis m atem atyczn y  oparty jest  n a  fenomenologicznych  prawach  F ouriera lub  F icka  (czyli  tak, ja k  w  liniowej  term odyn am ice procesów  nieodwracalnych), równanie  bilansu  jest  liniowe. Odn oś n ie  pun ktu  ad.  2.4.  Autor  rozważa  równ an ia  bilansu  (nie zachowan ia!)  ze  ź ródł em w  pun kcie  x  =   0. 672  J-   WACŁAWIK W  celu  zbadan ia jak  zmienia  się   poch odn a z  cał ki: 0 0 —  00 za. p(x,  t)  podstawiam  wyraż enie  (24)  [1]: p(x,t)-   - 2-p Wobec  parzystoś ci  p  ze  wzglę du  na  x  otrzymuję p(x,t)dx  =  2 /   p(x, t)dx =  \ - 2x\ r-0- 1+ 4ar(r- 0~ Cał ka t a jest nieskoń czenie wielka  (— 00). G dy t- *  r rosną  wartoś ci  obu  czynników  (r—t)'1 i  (r- 0~ł . N atom iast  gdy  lim  p(x,  t)  =   0  (o takim  przypadku  Autor  pisze  [1]  lecz  nie  wynika  to A- - »± 00 z  wzorów)  wystarczy  scał kować  równanie  (6)  wzglę dem  x:  x 0 0 3 I  / >(x, +  2- - 0 0 Widać,  że  o  zmianie  w  czasie  cał ki  z  energii  lub  iloś ci  m aterii  decyduje  ź ródło  w  punkcie x  =   0  i że  cał ka  ta nie jest  stał a  w  czasie. W  swoim  liś cie  do  Redakcji  [3] nie  kwestionował em  twierdzenia  J.  Szarskiego  [2], N a  zakoń czenie  pragnę   oś wiadczyć,  że  niniejszym  zapowiadam  zakoń czenie  swego udział u  w  dyskusji  niezależ nie  od  tego  czy  dc. E.  Bobula  prześ le  odpowiedź  i  czy  zostanie on a  wydrukowana  czy  nie.  U waż am  bowiem,  że  w  dostateczn ym  stopn iu  podkreś lił em w  swoich  recenzjach  i  listach  do  Redakcji  M TiS  bł ę dy,  n ieuzasadn ion e  stwierdzenia i  wnioski  prac  [1],  [2],  [4]. N iestety  trudn y  problem  m atem atyczn ego  opisu  dyfuzji  i prze- wodnictwa  ciepł a ze skoń czoną   prę dkoś cią   zaburzenia, pozostaje  otwarty.  Jego  stan  podaje monografia  K.  Wilmań skiego,  n a  co  zwrócił em uwagę   w  poprzedn im  liś cie  [3]. Literatura 1.  E. BOBULA,  Równanie zachowawczej dyfuzji  w przestrzeni dystrybucji a moż liwoś ć wpł ywu  na  jej przebieg, Z N   AG H , G órnictwo, z.  104, Kraków,  1979 2.  E. BOBULA, Pseudoiródlowa hipoteza transportu parabolicznego,  rę kopis  wraz  z  recenzjami  oraz  pismem Jacka  Szarskiego,  zł oż ony w Bibliotece  Jagielloń skiej,  praca  doktorska  U J,  1974,  r. 3.  J. WACŁAWIK,  L ist  do  redakcji,  Mechanika  Teoretyczna  i Stosowana,  t. 20, z. 1- ^2,  1982. r. 4.  E. BOBULA, Odpowiedź na list J.  W aclawika do Redakcji Mechaniki T eoretycznej i Stosowanej,  Mechanika Teoretyczna  i Stosowana,  t. 22, z. 3- T- 4, 1984 r. 5.  P. G LANSDORFF,  I .  PRIG OOIN E,  T hermodynamics  of structure,  stability  and fluctuations, Wiley — lnters- cience, N . J. 1971 r. ROZWIĄ ZAN IA  RÓWNANIA  D YF U ZJI.  673 6.  G .  N ICOLIS,  I .  PRIG OOIN E,  Self—organization  in nonequilibrium  systems, Wiley — Interscience,  N . J., 1977 r. 7.  W.  EBELIN G , Strukturbildung und irreversible  Prozessen,  Treubner,  Lipsk, 1976 r. 8.  M. SMOLUCHOWSKI,  Ann. der Physik, 48,  1915. L ist  wpł yną ł do Redakcji dnia 7 marca  1986 roku. 13  Mech.  Teoret.  i  Stos.  4/ 86