Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z1.pdf




B.  SKALMIERSKI

pień ki  naroż nikowe!boczne)

elastyka  Eulera  drugiego  typu  (a.< 90°l

elastyka  Eulera  drugiego  typu  ( a 2 < 90°l

górny
pieniek
skrajny

Rys. 1

Jeż eli  n a  prę t  smukł y  w  stanie  wyboczenia  sprę ż ystego  dział ają   sił y  P  (rys.  2),  to  wy-

woł ują   zginanie  m om entem M  =   P  (f- y),  gd zie/   =   y
ma

*.  Z atem zgodnie  z teorią   zginania

[3]  m am y:
1   D

y),  (i.i)
Q  EJ

yj
  '»

gdzie — jest krzywizną , E —  m oduł em Youn ga,  a  / —  m om en tem  bezwł adnoś ci  przekroju

prę ta.

P onieważ -—  =   - —-, gdzie  'ds jest  infinitezymalrtym  przyrostem  dł ugoś ci  ł uku  osi  od-
Q  as

dv
kształ conej  prę ta,  przeto  róż niczkując  ( l. l)  wzglę dem  s  oraz  zauważ ają c,  że  - f-  =   sin  cp,

as

otrzymujemy '

d
2
q> P  .

(1.2)

V
Rys.  2



KSZTAŁT  SKRZYPIEC

Tabela  1

a

V

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46

X

0.0000000
0.0174532
0.0349065
0.0523598
0.0698132
0.0872666
0.1047201
0.1221738
0.1396277
0.1570821
0.1745371
0.1919929
0.2094499
0.2269083
0.2443687
0.2618315
0.2792973
0.2967667
0.3142406
0.3317199
0.3492056
0.3666990
0.3842014
0.4017143
0.4192396
0.4367790
0.4543349
0.4719098
0.4895067
0.5071284
0.5247788
0.5424618
0.5601819
0.5779444
0.5957549
0.6136200
0.6315472
0.6495448
0.6676226
0.6857913
0.7040638
0.7224544
0.7409801
0.7596604
0.7785180
0.7975805
0.8168797

60°

y

0.0000000
0.0001523
0.0006093
0.0013714
0.0024389
0.0038125
0.0054931
0.0074818
0.0097797
0.0123884
0.0153004
0.0185447
0.0220965
0.0259670
0.0301590
0.0346753
0.0395192
0.0346940
0.0502037
0.0560523
0.0622446
O.O687853
0.0756799
0,0829342
0.0905546
0.0985481
0.1069222
0.1156850
0.1248457
0.1344139
0.1444004
0.1548169
0.1656763
0.1769927
0.1887818
0.2010607
0.2138487
0.2271669
0.2410392
0.2554921
0.2705556
0.2862636
0.3026547
0.3197731
0.3376695
0.3564030
0.3760431

X

0.0000000
0.0177218
0.0354438
0.0531662
0.0708891
0.0886127
0.1063374
0.1240632
0.1417904
0.1595196
0.1772509
0.1949848
0.2127219
0.2304627
0.2482078
0.2659580
0.2837141
0.3014771
0.3192480
0.3370281
0.3548186
0.3726212
0.3904377
0.4082697
0.4261197
0.4439900
0.4618834
0.4798028
0.4977518
0.5157341
0.5337541
0.5518167
0.5699273
0.5880920
0.6063177
0.6246122
0.6429847
0.6614450
0.6800048
0.6986772
0.7174776
0.7364236
0.7555355
0.7748376
0.7943578
0.8141300

0.8341946

59°

y

0.0000000
0.0001546
0.0006187
0.0013926
0.0024765
0.0038714
0.0055781
0.0075978
0.0099317
0.0125814
0.0155487
0.0188356
0.0224443
0.0263775
0.0306378
0.0352285
0.0401528
0.0454146
0.0510179
0.0569673
0.0632674
0.0699238
0.0769421
0.0843286
0.0920903
0.1002346
0.1087696
0.1177042
0.1270482
0.1368123
0.1470079
0.1576480
0.1687467
0.1803194
0.1923833
0.2049575
0.2180630
0.2317237
0.2459659
0.2608195
0.2763183
0.2925006
0.3094105
0.3270986
0.3456237
0.3650550
0.3854738



10 B.  SKALMIERSKI

Tabela  1  (cd.)

a

47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60

60

X

0.8364544
0.8563517
0.8766291
0.8973587
0.9186317
0.9405659
0.9633171
0.9870969
1.012204
1.039074
1.068383
1.101252
1.139724
1.188073

°

y

0.3966714
0.4183859
0.4413052
0.4655749
0.4913774
0.5189450
0.5485807
0.5806918
0.6158436
0.6548553 ,
0.6989797
0.7502711
0.8124347
0.8931491

59°

X

0.8546006
0.8754082
0.8966920
0.9185475
0.9410972
0.9645033
0.9889869
1.014859
1.042575
1.072842
1.106838
1.146716
1.197021

y

0.4069780
0.4296854
0.4537414
0.4793276
0.5066761
0.5360892
0.5679733
0.6028944 •
0.6416726
0.6855656
0.7366420
0.7986521
0.8794295

Cał kują c  otrzymujemy:

Stą d  mamy.

1  ld<p\ 2  P

co  prowadzi  do  okreś lenia  współ rzę dnych  x  oraz

(1.3)

(1- 4)

cosq>d<p

s m V  - s i n2 - b

_  1  f  sin ę d<p

21/  —  ̂ °

(1.5a)

(1.5b)

Wzory  (1.5) i (1.5b) przy przyję ciu - = -=   1  został y  stablicowane  dla  ką tów  a  =»  60,  59.
ŁJ

które  mogą   być  wykorzystane  przy  konstruowaniu  zarysu  ł uków AB  oraz  CD  (tabela  1),
Przy  konstruowaniu  konturu proponuję   przyją ć  ką ty  oq  oraz  x

2
  równe  sobie, tzn. a x  =   x2

(w  skrzypcach  Stradivariego  60°).



KSZTAŁT  SKRZYPIEC

2.  Kształ t luku  BC

11

Studia  nad kształ tem talii  skrzypiec  prowadzą   do spostrzeż enia,  że kształ t „ C " mógł  być
osią gany  przez  przył oż enie  do  koń ców  prę ta  jednocześ nie  sił y  P  i  momentu  skupionego
M

a
  (rys.  3).  R ówn an ie  róż niczkowe  odkształ conej  postaci  prę ta  bę dzie  nastę pują ce

P  .
"  lj

sin(p
>

co  prowadzi  d o  cał ki  pierwszej

2\ dsl  "  2\ EJ
1  ldcp\ 2  1  lM

a
\

2
  P

P on ieważ

EJ

gdzie  ga  jest  prom ien iem  krzywizny  koń ców  prę ta,  p r zet o :

d<p

dJ
4 P

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

Rys.  3

Przyjmują c,  że  w  począ tku  u kł ad u  współ rzę dnych  prom ień  koł a  ś ciś le  stycznego  do
krzywej  odkształ con ej  postaci  prę ta  wynosi  Q

0
,  n apiszem y:

stą d

Qol

4P

1 1
i H i/ 1

i

AP
o

a
sm* 2   '

sin

1 -   JS»

(2.5)

(2.6)



12 B.  SKALMIERSKI

Tabela  2

a

<P

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
. 14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30'
31
32
33
34
35
36
37

0
1
2
3

36°

X

0
0.052301709
0.104258308
0.155543577
0.205866263
0.254981353
0.302695708
0.348868462
0.393407359
0.436262529
0.477419095
0.516889674
0.554707490
0.590920422
0.625586140
0.658768259
0.690533411
0.720949081
0.750082051

. 0.777997334
0.804757456
0.830422026
0.855047496
0.878687065
0.901390691
0.923205165
0.944174233
0.964338749
0.983736837
1.002404074
1.020373655
1.03767657
1.054341768
1.070396310
1.085865517
1.100773109
1.115141338

0
0.069671195
0.138508245
O.20576O283

y

0
0.000456188
0.001816010
0.004054030
O.OO713O37O
0.010993991
0.015586305
0.020844810
0.026706153
0.033108544
0.039993434
0.047306548 >
0.054998398
0.063024408
0.071344779
0.079924199
0.088731463
0.097739061
0.106922768
0.116261256
0.125735728
0.135329597
0.145028196
0.154818525
0.164689030
0.174629409
0.184630449
0.194683878
0.204782249
0.214918826
0.225087496
0.235282696
0.245499334
0.255732744
0.265978626
0.276233009
0.286492212

0
0.000607408
0.002408220
0.005341790

37"

X

1

" T
0
0.052304563
0.104280760
0.155617292
0.206034588
0.255295280
0.303209750
0.349636984
0.394481703
0.437689037
0.479237968
0.519134525
0.557405392
0.594092301
0.629247343
0.662929224
0.695200341
0.726124597
0.755765789
0.784186472
0.811447183
0.837605937
0.862717928
0.886835382
0.910007517
0.932280579
0.953697924
0.974300144
0.994125208
1.013208612
1.03158354
1.049281019
1.066330068
1.082757852
1.098589816
1.113849816
1.128560239
1.142742123

1
= 4

0
0.069672950
0.138563318
0.205937146

y

0
0.000456225
0.001816590
0.004056910
0.007139110
0.011014266
0.015625930
0.020913508
0.026815188
0.033270276
0.040220882
0.047612995
0.055397059
0.063528179
0.071966054
0.080674745
0.089622345
0.098780612
0.108124578
0.117632183
0.127203928
0.137062556
0.146952773
0.156940990
0.167015110
0.177164327
0.187378966
0.197650332
0.207970585
0.218332633
0.228730039
0.239156934
0.249607957
0.260078185
0.270563087
0.281058476
0.291560473
0.302065470

0
0lO00607501
0.002409660
O.OO534867O



KSZTAŁT  SKRZYPIEC 13

Tabela  2  (cd.)

P o d st awiają c  (2.6)  d o  (2.4)  o t r zym u je m y:

GC

<P

4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37

36°

X

0.270821206
0.333257918
0.392807126
0.449351076
0.502884227
0.553479937
0.601262065
0.646383110
0.689008589
0.729306523
0.76744078
0.803567142
0.837831231
0.870367654
0.901299907
0.930740760
0.958792893
0.985549664
1.011095922
1.O355O8822
1.058858588
1.081209236
1.102619223
1.123142036
1.142826722
1.161718353
1.179858439
1.197285294
1.214034355
1.23013846
1.245628107
1.260531659
1.274875544

y

0.009317620
0.014227550
0.019957274
0.026395351
0.033438887
0.040996372
0.048988453
0.057347446
0.066016204
0.074946735
0.084098830
0.093438789
0.102938309
0.112573543
0.122324309
0.132173441
0.142106258
0.152110127
0.162174111
0.172288682
0.182445486
0.192637156
0.202857153
0.213099641
0.223359385
0.233631664
0.243912199
0.254197097
0.264482801
0.274766048
0.285043833
0.295313382
0.305572126

37°

X

0.271213743
0.333966398
0.393927005
0.450965739
0.505061542
0.556271654
0.604704976
0.650501055
0.693814716
0.734805459
0.773630550
0.810440784
O.8453781O8
0.878574496
0.910151626
0.940221074
0.968884792
0.996235763
1.022358714
1.047330857
1.071222600
1.094098228
1.116016514
1.137031299
1.157191996
1.176544048
1.195129335
1.212986533
1.230151432
1.246657220
1.262534725
1.277812639
1.292517708
1.306674905

y

0.009337840
0.014272777
0.020042248
0.026536812
0.033654513
0.041303890
0.049494994
0.057889135
0.066697931
0.075782074
O.0851OOO34
0.094616850
0.104303047
0.114133703
O.124O87673
0.134146925
0.144296010
0.154521616
0.164812205
0.175157715
0.185549323
0.195979242
0.206440561
0.216927111
0.227343357
0.237954308
0.248485439
0.259022634
0.269562131
0.280100475
0.290634489
0.301161235
0.311677992
0.322182230

d<p
Us

, \ 2 sin — i /  \ 2i

it  + _i.l- fr.  1.
^ o /   si n 2_ ^  L  \ e o / J

(2.7)

Wiedzą c,  że  przyję ty  rodzaj  obcią ż enia  prę ta  powoduje  jego  odkształ coną   postać  sy-

metryczną   wzglę dem  osi  y  napiszem y  wzory  analogiczne  do  (1.5)



14 B.  SKALM I E R SKI

X =

y =  QJ  -

c o s <pd<p

I  ,2  s i n 2 - y  r  /

\ eo/   ' •   2 a  L  \eo

(2.8a)

sin  —

(2.8b)

Wzory  (2.8) pozwalają  n a  okreś lenie  kształ tu talii  skrzypiec.  Wartoś ci  liczbowe  współ -
rzę dnych x  oraz y, dla róż nych wartoś ci  ką ta  a oraz róż nych stosunków  krzywizn  w cen trum
i  n a  koń cach  prę ta  dla  g

a
  =   1 zestawiono  w  tabeli  2.

3. S posób wyznaczenia zarysu boczków

Zaczynamy  od  przyję cia  ką ta  /?.  K ąt  ten  w  skrzypcach  klasycznych  jest  bliski  30°.
Z dowolnego  pun ktu D  (rys.  4) prostej  /  kreś limy  prostą  m pod ką tem /?. N astę pn ie  przyjmu-
jemy  n a  prostej  m  pun kt  C.  D o  odcinka  (CD)  kreś limy  n astę pn ie  symetralną,  a  z  pun ktu
D  prostą  prostopadł ą  do prostej  /  do pun ktu przecię cia  z  symetralną  odcin ka  (CD).  Otrzy-
mujemy  pun kt  E.  P un kt E  ł ą czymy  z  pun ktem  C.  Otrzym an y  trójkąt  CDE  jest  trójką tem
równoramiennym  o  podstawie  CD  oraz  o  ką cie  DEC  =  2  fi.  N astę pn ie  korzystając  z  ta-
beli  1 wyznaczamy  stosunek  najwię kszego  y  do  najwię kszego  x  i  obliczam y:

;.  / «  * ZEłl(C£).  (3.1)

,  Rys.  4



KSZTAŁT  SKRZYPIEC  15

Z nają c  wartość  /   wyznaczam y  pu n kt  0  bę dą cy  począ tkiem  ukł adu  współ rzę dnych  x,  y.

N a  podstawie  rys.  4  zauważ am y,  że  E'C  =   X
max

  oraz  / • =   Y
m
„  (duż ymi  literami  X

oraz  Y  oznaczam y  współ rzę dne  n a  rysuffku).

Oczywiś cie  zachodzi

oraz

y  = - ZsSLy,  (3.3)

przy  czym

Y  Y
•  ̂ m a x  J  m a x

Wzory  (3.2)  i  (3.3)  umoż liwiają   wyznaczenie  współ rzę dnych  X  i  Y  n a  podstawie  tablicy  7,
co pozwoli  n a wykreś lenie  ł u ku DC  zarysu  boczków.  W  dalszym  cią gu  przez  pun kt  C  pro-
wadzimy  prostą   n  tworzą cą   z  osią   /  ką t  W ,  n a  której  wyznaczymy  pun kt  B, z którego  pro-
wadzimy  prostą   k  pod  ką tem  /? do  osi  /  (rys.  1).  Przecię cie  prostej  k  z  prostą   /  wyznacza
p u n kt  Ą .

Ł u k  elastyki  pom ię dzy  pun ktam i  A  i  B  wyznaczamy  tak  sam o jak  elastykę   o ł uku  CD?

P un kty  C i B  (rys.  1) ł ą czymy elastyką   wg  tabeli  2  wykreś lając  ją   tak, aż eby  w punkcie C
ł ą czą ce  się   krzywe m iał y wspólną   styczną .  Sposób  wykreś lenia  ł uku  elastyki  Ć B jest analo-
giczny  do  sposobu  wykreś lenia  ł uku  DC  wcześ niej  opisanego.

4. Uwagi i wnioski

Z auważ am y,  że  n a  podstawie  uzyskanych  tabela  1 i  2 mogliś my  wyznaczyć  zarys  bocz-
ków.  Ogólnie  m o ż na  stwierdzić,  że  skrzypce  starowł oskie  mają   luki  pomię dzy  pień kami
skrajnymi  a  n aroż n ikowymi  bard zo  zbliż one  do  elastyk  Eulera  drugiego  typu  (a  < 90°).
Odkształ con e  boczki  rozcią gają   pł yty  rezon an sowe  wzdł uż prostych  ł ą czą cych  pień ki  nale-
ż ą ce  do  tej  samej  elastyki  E ulera.

P roste  wyznaczają ce  kierun ki  tych  sił  przechodzą  przez cen trum tzw. „ policzków".  Wy-
padkowe  sił   od  elastyk  rozcią gają   cał e  pudł o  wzdł uż  osi  pudł a  rezonansowego.  W  przy-
pad ku  równej  sztywnoś ci  zgin an ia  prę tów  sił y utrzymują ce je w stanie równowagi  są  wię ksze
w  przypadku  krótszych  ł uków, z tego powodu  doln e „ po liczki" mogą   być bardziej  naraż one
n a  pojawienie  się   sił   ś ciskają cych,  pochodzą cych  od  nacią gu  strun .  Jeż eli  zatem  pom iar
wskazał by,  że doln e, , policzki" drgają   z niedostateczną  mocą , to w celu polepszenia wł asnoś ci
akustycznej  n ależ ał oby  zwię kszyć  napię cie  boczków.  W  tym  celu  m oż na  odkleić  dolny
pien iek  skrajny  wraz  z  są siadują cymi  boczkam i  i  przesuwają c  go  nieznacznie w  gł ą b  pudł a
rezonansowego,  pon own ie skleić  czę ś ci  rozklejone.  Jest  t o jeden ze sposobów  korygują cych-
rozkł ad  sił  wewnę trznych  w  pudle  rezon an sowym .

P rawdopodobn ie  Stradivarius  dokon ywał   podobn ych  korekt  w  trakcie  kon struowan ia
nowego  in strum en tu.  Z a  tym  twierdzeniem  przem awia  fakt,  iż jego  instrumenty  róż nią   się



16  B.  SKALMIERSKI

wymiarami  [1],  co  wskazywał oby,  iż  Stradivarius  formy  uż ywał   jedyn ie  do  wstę pnego
kształ towania  boczków,  po  czym  zdejmują c  je  z  formy  m iał   duże  pole  do  dział an ia  przy
formowaniu  optymalnych sił  sprę ż ystych  kształ tują cych pola naprę ż yn pł yt rezon an sowych .
Konsekwencją   takich zabiegów  jest  odejś cie  od kształ tu formy.  M ógł   n p .  po zdję ciu  wień ca
z formy  odkształ cić go  dość  dowolnie  bez  listewek,  a  n astę pn ie  przyklejają c  listewki  po-
wracać  do  kształ tu wyjś ciowego  odpowiadają cego  formie.  T o  zbliż enie  się   pon own ie  do
kształ tu  wyjś ciowego  mogł o być  korygowane  ze wzglę du  n a  konieczne sił y.

N aturaln ie  poprawki  te  nie  mogł y  naruszać  zasadniczo  podstawowych  wym iarów.
N iemniej  jedn ak  każ dy  z  in strum en tów  Wielkiego  M istrza  uzyskiwał   in dywidualn e  pro -
porcje  i jest  m ał o prawdopodobn e,  aż eby  Stadivarius  dla  każ dego  z  nich budował  odrę bną
formę .

Takie  sprę ż yste  formowanie  wień ca  boczków  wym aga  wię kszych  umieję tnoś ci  lutn ika.
D rewn o, jak  t o niektórzy  okreś lają,  przystosowuje  się , i wydawał oby  się , że p o  pewn ym

okresie  sił y  w  wień cu  boczków  zanikną .  D oś wiadczenie  jedn ak  pokazuje,  że  jakkolwiek
procesy  releksacyjne  prowadzą   do  osł abienia  sił  wewnę trznych,  to jedn ak  n ie  sprowadzają
ich  do  zera.  Jest  istotne, aż eby  naprę ż enia residualne  był y  wł aś ciwe.  N aprę ż en ia te  trwają
przez dł ugie lata w  drewnie, gdyż podtrzymuje je  zdoln ość drewn a  do regeneracji  n aprę ż eń.

H ipoteza naprę ż eniowa nie tylko  podsuwa  koncepcję   optym alnego rozwią zan ia kształ tu
wień ca  boczków,  ale  również  wzbogaca  sztukę   lutniczą   o  jeszcze  jeden  elem ent,  o  pole

- naprę ż eń wstę pnych  w  pł ytach  rezonansowych.  Z n an y i ceniony lutn ik  Akadem ii  M uzycz-
nej  w  Katowicach  Stefan  Wę grzyn  wykonał  już  kilka  egzem plarzy  skrzypiec,  których  za-
rys  boczków  ś ciś le  odpowiada  kształ tem elastykom  E ulera.

Bibliografia

1.  W.  H .  H I LL, A. F .  H I LL, A.  E.  H I L L , Antonio Stradivari  His  L ife  and  W ork  (1644  -   1737)  1963  by D over
Publications,  I nc.,  N ew  York.

2.  M.  T.  H U BER,  T eoria  sprę ż ystoś ci,  czę ść  I I .  PWN ,  Warszawa 1954.
3.  B.  SKALMIERSKI,  Mechanics and  Strenght  of  Materials,  Elsevier — PWN ,  1979.
4.  B. SKALMIERSKI,  Drgania pudla  rezonansowego  skrzypiec. Zeszyty  N auk.  P oi. Ś l.  „ G órn ictwo"  Z . 89,

G liwice  1978.
5.  B.  SKALMIERSKI,  T he  Statics  and  Dyiam'cs  of  the  Sound  Box of  Stringed  Ivstruments.  Bulletin  D s

L'Academie,  Vol. XXIX,  N o 9- 10,  1981.
6.  B.  SKALMIERSKI,  T he  Construction  of  Old  Italia \  Violins: A  T entative Explaiation.  Bulletin  D a L'Aca-

demie,  Vol. XXIX,  N o 9- 10,  1981.

P  e  3 w  M e

BH,H   CKP H IIKH   A  3JI AC TH KA  Sfł JI E P A

B  CBH3H   c paSoiaMH   [4,  5, 6] B  KOTOPHX  npe^cTaBJieHo  rnnoTe3y  cei<peia  xopoiuero HHCTpyiweHTa,
3fleci> paccMoTpeHa sajja^a  BochMepKororo  BHua  CKPHIIKH. OKa3WBaeTca,  T I O  H3  npefljioweH oro  ru n o -
ie3a  BbneKaet Kom- yp CKPHIIKH   cocrosmuft  H3  KPHBWX  B03HHKaiomnx u s ynpyroJi fle(J)opM aaH H  I- HSKHX



KSZTAŁT  SKRZYPIEC  17

TaKHM   o6pa3OMj  ncxoflff  H3 npoSJieMM   DjiacTHKH   Sftjiepa  npeAJio>KeK  Meiofl  onpefleneroiH   KOH -
Typa  CKpiinKH.

S u m m a r y

SH APE  O F   TH E  VIOLIN   AN D   E U LE R 'S  ELASTICS

In  connection with  earlier  papers  [4, 5, 6]  where  a hypothesis  of  a secret  of good  instrument had been
presented, here we consider the problem of  the eight- shaped violin. It turns out,  however, that the hipothesis
implies  the violin  contour consisting  of  th e curves  resulting  from  the elastic displacement  of  slender  bars.
Thus,  departing  from  the  problem  of  Euler's  elastics,  the  method  has  been  proposed  to  determine the
instrument contour.

Praca został a  zł oż ona  w Redakcji  13 marca  1984  roku