Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z1.pdf


M EC H AN IKA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1,  23 (1985)

GROUP  THEORETIC  TECHNIQUE  FOR  THE  SIMILARITY  S OLUTION  OF
A  NON- LINEAR  ELAS TIC  ROD  S UBJECTED  TO  VELOCITY  IMPACT

WACŁAW  F R YD R YC H OWI C Z ,  M AN SA  C .  SI N G H

Faculty of  Mathematics, Informatics and Mechanics
Institute of Mechanics
University  of W arsaw
W arsaw,  Poland

Department of  Mechanical  Engineering
University  of Calgary
Calgary,  Alberta,  Canada

1,  Introduction

One  of  th e first  application s  of  the  dimensional  group  of tran sform ation s  to the  simila-
rity  solutions  of  problem s  in  fluid  mechanics  is  found  in  Birkhoff's  H ydrodynamics  [1].
The work  was  further  exten ded  for  application s  to partial  differential  equations  by  M organ
an d  M ichał   [2,  3].  M o r a n  an d  G aggioli  [4]  applied  it  to  a  system  of  partial  differential
equation s  arising  in  F luid  M echan ics  takin g  in to  accoun t  the  auxiliary  conditions.  M oran
an d  M arsh ek  [5] m ade  use  of  th e  matrices  of  exponents  of  the  param eters  of  a  group  of
tran sform ation s  t o  determ in e  th e  similarity  variables  of  a  system  of  partial  differential
equation s  along  with  th eir  auxiliary  con dition s.  Seshadri  and  Singh  [6]- made  use  of  the
similarity  characteristic relation sh ip  at th e wave front  to reduce a hyperbolic  partial  differen-
tial  equation  in to  an  ordin ary  differential  boun dary  value  problem  in  th e  case  of  wave
propagation  in n on lin ear  elastic  rods.  F rydrychowicz  an d  Singh  [7] applied  rmiltiparameter
dim ensional  group  of  tran sform ation s  to  th e  analysis  of  quasilinear  partial  differential
equation s  of  order  two  in two  variables.  I n  this  paper,  the technique  is  applied  to  the  study
of  wave propagation  in  a n on lin ear  elastic  ro d  subjected  t o time dependent velocity  im pact.

A  m ultiparam eter dim en sion al  group  of  tran sform ation s  is widely  applicable  t o a  variety
of  non- linear  dyn am ical  problem s  in fluids  an d  solids.  This  approach  leads  to th e determi-
n at ion  of  similarity  tran sform ation s  which  in  the  case  of  un idirection al wave  propagation
leads  to  a  similarity  represen tation  consisting  of  an  ordinary  differential  equation  and  th e
associated  auxiliary  con dition s.  M akin g  use  of  th e  similarity  characteristic  relationship
[6,  7], the wave front  can  be  located  in  th e tran sform ed  space.  I t  turn s  out  th at  in  the  case
of  a  n on lin ear  elastic  ro d  when  th e  similarity  characteristic  relation ship  is  satisfied,  the
kinem atical  con dition  of  com patibility  an d  th e  balance  law  of  linear  m om en tum  are  also
identically  satisfied  at  th e  wave  fron t,  [8, 9,  10],  F o r  general  non- linear  case  th e  location



20  W.  FRYDRYCHOWICZ,  M.  C.  SINGH

of the  wave front  in the transformed  space is  given  implicity  and  depends  on  the  slope  of
the  unknown  similarity  function.  However,  in  the  case  of  a  constant  velocity  impact  the
location  of the wave front  is obtained  explicitly. The  same  result  holds for  time  dependent
velocity­impact  and linearly elastic case. A solution  of similarity representation  is  obtained
by assuming the parameter  of the material nonlinearity,  q, to be close to unity. The solution
of general nonlinear case is obtained  by numerical approach. A similar problem was treated
by  D.  B. Taulbee  et  al  [11] as a special  case in their  study  of wave propagation  in  a  non­
linear  viscoelastic  rod.  However,  there  was  no  application  of  group  theoretic  approach,
and  their  results were  obtained  only for  odd  positive integral  values  of parameter  of  non­
linearity,  q.  Also  the  location  of  the  wave  front  in  the  transformed  space  was  assumed
fixed  and  the  similarity  variable  was  taken  to  be  unity  thereat  which  holds  true  only  in
special cases. In  general, under  this  assumption  the  kinematical  condition  of  compatibility
across the wave front  is not satisfied.  Furthermore  in the treatment  of their special case the
transformation  for y  =  0 is not the similarity transformation  since the variable t is no longer
present  in  the  similarity  variable.  In  this  paper  the  application  of  the  continuous  multi­
parameter  dimensional  groups  of  transformations  gives  the  similarity  representation  for­
mally,  the  location  of  the  wave front  and  the  boundary  conditions  are  obtained  precisely
nd the problem can be solved for  any  positive  value  of  the  parameter  of  nonlinearity,  q.

2.  Basic Equations

For a  non­linear  elastic  rod  the governing equations  are:

da  dv
­s—  = •  ­ g ­ K r ,  equation  of  motion  •  (la)

=  — _ _ t  compatibility  relation  (lb)

• dv 8  17 a \*1
—s—  «•  „  \  J constitutive  law  for  a  nonlinear  elastic  material  (lc)

8x  Bt  [\  fn,  I  y  v  '
where

8u  8u

x  >  0,  t  • ? 0,  q  >  0.

The boundary  conditions  for  a time  dependent  velocity  impact  applied  in the  direction  of
positive  x­axis are  assumed  to  be in the form  ,

(2a)

(2b)

(3a)

and

The initial conditions  are

8u
~8T^X

u(x 2

u(x,

­ Q , t ]

• • xw(t),

t  =  0)

I =  V

t)  =

=  o,

at  ,

o,

t

t

X >

>

>

o,

0,



G R OU P  THEORETIC  TECHNIQUE 21

~ (3b)

I n  the  above  equation s  x  is  th e  axial  coordin ate,  /  is  th e  tim e,  a  is  the  n orm al  stress,  u  is
the  displacem ent  alon g  th e  x  axis,  v  is  th e  particle  velocity,  e  is  th e  strain,  Q is  the  mass
density,  //  is  th e m odulus  of  elasticity,  q  is  th e m aterial  param eter  of  nonlinearity,  <S  an d  V

c

are param eters  of  th e velocity  im pact, x
w
(  t)  locates  the wave front  at any time t.  Compressi-

ve  stress  is  assumed  t o  be  positive.

I t  may  be  poin ted  out  t h at  t h e  initial  con dition s  (3a,  b)  are  a  consequence  of  t(2b),  as
at  t  — 0 th e wave fron t  in  (2b)  is  coincident with  th e origin  an d  (3a,  b)  follow.  Thus,  con-
dition s  (3a) an d  (3b)  are  red u n d an t an d  as  a  consequence  only  the conditions  (2a,  b)  need
t o  be  taken  in to  accoun t  in  th e  form ulation  of  th e  similarity  representation.

3.  Determination  of  four  parameter  group  of  transformations  G"  and
Derivation  of  similarity  transformations

I n  order  to  determ in e  th e  4- param eter  dim en sion al  group  of  transform ations  G%  (for
dim en sion al  group  of  tran sform ation s  see, for  instance,  [5], [7], [12],  [13],  [14],  [15])  under
which  the  system  of  equation s  (1)  together  with  auxiliary  conditions  (2),  (3)  are  invariant
we  in troduce  th e  following  8- parameter  group  of  tran sform ation s:

s"
pć  — A

x
x,  t  — A

t
t;  in depen den t  variables

\ 'fi  =   A^ n,  aq  =   A
B
{qq),  V

c
  =  A

V
V

C
;  physical  variables  (4)

u  — A
u
u,  v  BS A

o
v,  "a  =   A

a
a;  depen den t  variables

Where  A
x
,A

t
,A

ll
^ A

B
,  A

Vc
,  A

u
,  A

o
,  A

a
  are  eight  n on dim en sion al param eters  in troduced to

characterize  the  eight  param eter  dim en sion al  group  of  tran sform ation s.  I n  order  to  check
th e  invariance  of  differential  forms  involved  in  th e  basic  equation s,  the  group  Gf  may  be
enlarged  by  in cludin g  the  following  tran sform ation s

da
  A

-
XA

  Sa

18v\   dv
\ ~8x) 8x  *"  *

~8 t \ ~u\   = dt  L/"

( 5 d )

M akin g  use  of  th e  tran sform ation s  (4)  an d  (5)  th e  differential  form  of  ( la)



22 W.  FRYDRYCHOWICZ,  M.  C.  SIN G H

assumes  the  form

(6b)

which  yields  the  expression  (6a)  whenever

A
a
  m A

x
AT

l
A

e
A

tt
.  (6c)

Thus, (6a) is invariant un der the group  of tran sform ation s G%  an d its enlargem ent  consisting
of  equations  (5) when the group param eters satisfy  equation  (6c).  Similarly  th e  invariance
of  the  differential  form  of  (le)  implies

(6d)

(6e)

(6f)

j4j/   — JxySXly

an d the invariance  of  differential  form  of (lc)  yields
i  _i_  _i_

A  —A
  q

  A
q
  A

q

A a  — A x Af Afj

Combination  of (6c) with  (6e) leads  to

A  —  A  I-
1
  A 4 - 1  A  I'1  A  «- ]A

v
  — A

x
  A,  A

e
  A

lt

Substitution  of  (6f)  in t o  (6d)  and  (6c) gives

(6g)

(6h)

A A q—1 jq—1 A q — L j q—1

- 2 2  - 1 q

A  - ~ A
q
~

l
  A

q
~^   A

q
~

x
  A

q
~*Aa  — stx sit AQ Afi

F inally, th e boun dary  condition  (3a) is invarian t  un der  G f,  whenever

Ay
c
  =  Ax ~^ TA'r1'  ~°A~  '^ AY1.

Similar  treatm en t of th e  differential  expressions  of equation s  ( lb ,  d) an d (2b)  yields  n o
additional  independent relationships.  C onsequently,  (6f,  g, h, i) represent a system  of  four
equations am ong the eight param eters; therefore  at t h e m ost four  of th em can be  con sidered
to  be  independent. So, th e 4- parameter  group  of tran sform ation s  G*  assumes  the  form :

(7a)

(7b)

u =

V  =

X  =

y

A
x

• -   A
x
x,

• •   A
M
p,

=  A x 1 ^

l+q  2ą

i= l A,- l

l+q  1+ 4

5 - l  Aq- 1

2  2

* Att,

=  AB(Qq),

AT~r~ AI*-

Ae

A
e

4  q
q+ i jq—1

q  q

A/ i

u,

V,

?_
**

1
  V

?  c

a ~ ^Ar'A,  "­'At'cr.

(7c)

(7d)

(7e)

(7f)

In  the  above  relations  S% is a 4­parameter  subgroup  of G%.  Also,  the  equation  of  characte­
ristic  is conformally  invariant  under  G%  (see  theorem  3 in [7]). It turns  out  that  the  kinema­
tical  condition  of  compatibility  across  the  wave  front  [8, 9,  10],



GROUP  THEORETIC  TECHNIQUE 23

r  du{x, t) 1 =  Fj8u(x,  t)  8u(x,  i)  dxw(t)
dt  \  [  et

and  the  balance  law  of  linear  momentum

dir

8u(x, t)

(8)

(9)

across the singular surface,  [8, 9,  10], are also invariant under the group G%. The symbol of
square  bracket,  [ •],  in  (8) and  (9) means the jump  of the function  across the wave  front.
The proof  of invariance  is similar  to  that  given in  [16], and is omitted here.  This implies,
that  the  conditions  on  the  wave  front  do  not  give  further  restrictions  among  the  group
parameters  and the parameters  are essential.

The dimensional matrices  associated  with the dimensional group of transformations Gf
assume  the  forms:

A:

q­

q­
2

q
i  '

q
i  '

2q
q­l

l+q
q­l

2

q
q­l

C:

q­l

o,
o,
l + q

q­\

q­\

q
q­l  '  q­l_

1

I,  0,  0,  0

1.  0,

o,
0,

l+q  .•
q­\  '  q­l

0,

1,

q
q­l  '  q­l]

1
0

q

(10a)

(10b)

(10c)

The matrix BC, constructed  by augmenting the matrix B with C, has the rank, r  =  4, while
the matrix  C has the rank, s  =  3 (since q  > 0). These properties  of the matrices BC arid C
indicate that  since r  > s the similarity transformations  for  the problem formulated  above,
can be  obtained.

Theorem  2  in  [7]  indicates  that  the  group  Gf  has  [n+m+p­r]  ­  [ 3 + 2 + 3 ­ 4 ]  =  4
functionally  independent absolute invariants, where n is the number of dependent variables,
m — independent variables, p — physical parameters. Making use of formulae  (1.16) ­ (1.21)
(1.21)  of  [7]  we  obtained  respectively:  ,

• W ",  (U)

(12a)

where Fl2  and yu,j  — 1, 2, 3, provide linearly independent  solutions to

r.
» " 1

Co>2

Ca>3

Cti)4

hx
hi
hi
bu.



24 W.  FRYDRYCHOWICZ,  M.  C.  SIN G H

Takin g  in to  account  (10b, c), th e above  equation  (12a), can be  written  as

1 2

0

1

0

0

0

0

0

1

+   yi2

0

0

1

0

+ Yl3

( 1 + 9 )
q- \

1+q
  b

q- l

q
q- l

q

9 - 1  _

1

0

0

0

The system  of  equations  (12b) gives

q
Yl3  -

g - 1
1 +   Sf'

f u  =   - m,  where  m  =  1 + 8
q+1  '

Substituting  (13a,  b)  in to  (11)  we  obtain

where

9 9

1 +  4
- i

(12b)

(13a)

(13b)

(14a)

(14b)

(14c)

N ext,  the  functionally  independent  absolute  in varian ts  are  determ in ed  as  new  depen den t
variables  F

}
,j  =  1, 2, 3:

'[»<:]*"»  (15a)

iv
c
f",  (15b)

F
3
  =   <y[t]Ai2[/ j,]l:ii[Qq]x"[v

c
Y",  •   (15c)

wh ere  A
J2
  a n d Ajra  p r o vid e  lin ea r ly  in d e p e n d e n t  so lu t io n s  t o

621

b
22

Z>24

3

D i a l

Cffll

cra2

Ć / l'

an ,  y  =   l , 2 , 3 (16a)

Taking  in to account th e elements  of  matrices  B  an d  C, from  equation s  (10), equation  (16a)
becomes



G R OU P  THEORETIC  TECHNIQUE 25

A i

1  -

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1 + g

l  +  g  ,

g

g

"7 1

jf-   1, 2, 3.  (16b)

9 - 1  _

In relations  (16) a
ja
  are the elements of the matrix A,  (10a). For./  =   1 the solution of  (16b)

can  be  expressed  in  the  form

An  -   0 ,  A1 2  =   0 , -   - 1,

hence,  the invariant  F^   assumes  the  form
F.  —  M K - 1 / - ( 1 + ' 5 >

If j  =   2, the system  of  equations  (16b) leads  to

Substitution  of  (19) into  (15b)  results  in

Finally,  setting 7 =   3  we  obtain  form  (16b)

.  20

The last  invariant  of the group G%  assumes  the form

Ą   -   o f  «+ 1  if  «+ 1  (fitff 8 +  1  1/   «+ l

(17a)

(17b)

(18)

(19a)

(19b)

(20)

(21a)

(21b)

(2 2 )

The set  {rj, F
lt
F

2
,F

3
}  of independent absolute invariants  of G%, given by  (14a), (18), (20)

and  (22), gives the following  similarity  transformations:

x

where

n -
u(x,t)  =

v(x,  t)  -   V
c
t

s
F

2
(r{),

a(x,t)  =   K
x
t

m
>FM,

K y

<23a)

(23b)

(23c)

(23d)

(23e)



26  W.  FRYDRYCHOWICZ,  M.  C.  SINGH

f'  (23t)
i

^,  (23g)

4.  Similarity  Representation

Making  use of  the  similarity  transformations  (23), the  system  of equations  (1)  and
auxiliary conditions  (2) can be reduced to an ordinary  boundary  value problem. The  partial
derivatives  appearing in equations  (1), can now  be expressed  in terms  of  similarity  trans­
formations  as

^  .  (24a)

~  = Vct^~ «[ÓFM ­  mr)F'2(r,)},  (24b)

^  = K.Kt^­^F'M,  (24c)

g  (24d)

yn)].  (24e)

Substituting  (24a) and  (23c) in (le) results

FM  = (l+d)FM­>nvFx(v)>  <  (25a)

the  equations  of motion,  (la), can be expressed  in terms  of  similarity  transformations  as

qF'M­  ­SF^  + mrjF'M:  (25b)

and the constitutive  law (lc),  taking into  account  (24d,  e), assumes the  form

F'2(v) ­  ­  mi  Fi(ri) + qmnFt \n) F'M.  (25c)

The boundary  condition  (2a) also can be transformed  to the similarity  space, as

^ ( 0 )  = 1 ,  .  (26a)

and by the use of equations  (25a, b) and (26a)  we obtain

Fi(0) = i r y  *  ^(0) = ~ y  •  (26b> c)

It  should  be pointed  out, that  boundary  conditions  (26) are not linearly  independent  and
only one of them can be taken  into  account for further  consideration.

The  boundary  conditions  on the wave  front  will  be determined  on the basis  of the si­
milarity  characteristic — relationship  [6,7] and the relation  between  F3(rj) and F[(j}). The



GROUP  THEORETIC  TECHNIQUE  27

system of coupled equations  (1) leads to  the partial  differential  equations  of second  order
in terms of stress as

^  i l  i!i  ifclL  /  Scr \2
(  }

Making  use  of  theorem  3, given  in  [7], we know  that  the  equation  of  characteristics  of
quasi­linear partial  differential  equation  (27) is invariant  under the group Gf.  This  allows
us to transform  the location  of the wave front  into  the similarity space. The characteristic
equation  of  (27) has  the  form

"̂  = te) ̂   (28a)
Making use  of the equation  (23d),  (28a) becomes

and hence

^ " )  ^ 2  F»2  iv)dX­  ( 2 8 c )

Integration  of both  sides of  (28c) gives

For the characteristic passing through the origin the constant c becomes zero, hence on the
wave  front  the  following  relation  holds

:\
m

( » 7 W ) » ? H > »  (28e)

where ??w is the location  of the wave front  in the transform  space.
Finally,  after  substituting  the  values  of  ^  and  K  in  (28e),  the  similarity  characteristic
relation  assumes the  form

It can be easily shown that whenever the characteristic relation,  (29) holds, the kinematical
condition  of  compatibility,  (8), across  the  singular  surface  and  the  balance  law  of  linear
momentum,  (9), are identically satisfied.  The calculations  are similar  to that  given in  [16]
and  are  omitted  here.  The  relation  (29)  locates  the  wave  front,  however,  this  is  given
implicitly.  In  order  to  state  full  boundary  value  problems  we  need  one  more  boundary
condition.  This will  be  obtained  by the  use of  the  relation  between F3(rj) and  F[(rj).  The
constitutive law,  (lc), is equivalent  to

(30)



2g  W.  FRYDRYCHOWICZ,  M.  C.  SINGH

Making  use of the  similarity  transformations  (23), it is found  that  (30) becomes

(31)
Now, we can eliminate  F2(rj) and F^rj)  between  equations  (25a, b, c) to  deduce  a  single
differential  equation  in terms  of  F^rj):

\[~F'M]  a  ­m2nllF'M­m(m­26­l)riFi(ri)­ó(d+l)FM  = 0,  (32a)
with  boundary  conditions

Fi(t)  ­  «]w) ­  0  and  (32c)

IMV^'.  (32d)

During  the derivation  of equation  (32a) the relation  (31) has been  used  and  the cha­
racteristic  relation  (29) becomes  (32d) after  the substitution  of  (31).  The  boundary  con­
dition  (32c) is obtained on the basis of physical consideration,  since the displacement  u(x, t)
is a continuous  function  and must  equal  zero  at the wave  front.

The boundary  value problem  (32) is in agreement  with a special case of a more  general
problem  given in  [17], however  the solution  in  [17] is  obtained  only  for  almost  nonlinear
case. The boundary  value  problems  (32) can not be considered  for  arbitrary  values  of the
parameters  <5 and q, suitable restriction given by equation  (14c) must be taken  into  account.
Also in order to include the physically  interesting  case of an applied  velocity  impact  which
is infinitely  large at t = 0 followed  by a decay in time, the parameter  ó is  permitted to take
on  negative  values.  However, it  seems  reasonable  to  consider  only  those  cases  for  which
both  the impulse and displacement  at the origin are finite.  According  to equations  (23b, c)
we must  then  require

b  >  ­ 1 .  (33)

The  restriction  on parameter  <S and q given  by  (14c), which  requires  m to be positive and
inequality  (33) implies  that  for q — \, linear  case,  <5 can assume  any real  number  greater
than  ­ 1 . It  turns  out that  this  assumption  is  valid  not  only  for  q =  1, but  also  for any
0 < q ̂   1. However,  when  q  > \, 8 has to  satisfy  the inequality

­ l < < 5 < i i | ~ .  (34)

5.  Closed Form  Solutions of Some  Special  Cases

a).  Linear  elastic  rod, q = 1, subjected  to time  dependent  velocity  impact  5 >  — 1
For some special cases closed form solutions can be obtained for the system of  equations

(32).  For instance, if we consider a linear  elastic material  (q ­  1) then the  function

P M  =  T ^ ( l ­ v y +
S >  0 < ^ l ,  < 5 > ­ l , q m i ,  (35)



GROUP  THEORETIC  TECHNIQUE  29

satisfies  equation  (32a)  and boundary  conditions  (32b,  c,  d),  see  [6,  18]. The  similarity
function,  F3(r]), may  then  be obtained  by substitution  of equation  (35) into  equation (31)

' F M - ( l - * 7 ) d > 0 « i j * l , « > - l , ff-l.  (36)
The  displacement  and the stress  distribution  in the  original  (x,  t) — space  can now  be
easily  expressed by making  use of equations  (35) and (36) in equations  (23b) and (23d) to
obtain

\  ,  d > ­ l ,  q m l ,  (37a)

1 - t f y l  .  <5> - 1 ,  q=\,  (37b)

or
1  /  xV+6

^  ,  0 > ~ 1 , ff-1.  (38a)

o(x,t)  = (iiQV*yi2\t  ,  < 3 > ­ l ,  q = l , ]  ( 3 8 b )
\  c  I

where  c is the velocity  of wave  propagation  in the linear  elastic  rod.  We can express the
above  relations  in  nondimensional  form  for  convenience  in the evalutaion  of  numerical
results.  For this  purpose  we set

x  =  —  and  1 =  —  '  (39)
XQ  to

where x and t are dimensionless, x0  and t0 have the same dimension as x and t respectively,
otherwise they have nonzero but arbitrary magnitudes. On this basis  we  obtain  the  following
nondimensional  expressions:

„tv  7\  1  (

r.a3j}A  •*(<"­*)'.  <5 >  ­ 1 ,  q ­  1.  (40b)

where  .  x  = x ~  = r\t.  (40c)

b). Nonlinear elastic rod q > 0 subjected to step velocity impact, d  —  0
The  second  class  of closed  form  solutions  is for  step  velocity  loading,  6 =  0.  In  this

case  equation  (32a) reduces to

J'fa)  = o  (41)
which is identically  satisfied  if Fi'ty)  =  0. Thus, the  general solution is given by

The  boundary  conditions  (32b, c, d) give

c,  =  1  and  c2  =  ­ 1 ,  ­  (43)



30  W.  FRYDRYCHOWICZ,  M.  C.  SI N G H

which  implies,  th at for any  q > 0
»?,, =   !•   (44)

H ence,
FM  » 1- ti,  0 < rj 4  1,  ó =  0,  #  >  0.  .  (45)

Thus, for a nonlinear  elastic  bar with  step  velocity  impact,  the  function  F
3
(rj)  related to

stress by equation  (23d)  assumes,  the  form

i_

F
3
(rj) =   ( ~ F J ( J ? ) ) «  -   1, '  0 ^

  v
  <  1,  q >  0,  <5  =  0,  (46)

I n the manner similar  to case  a) the displacement  u(x, t) and  the stress a(x, t) for the con-
stant  velocity  impact  can be expressed  in nondimensional  form.  Taking  in to  account (39)
and  the  solution  (45)  and  (46)  and  the  similarity  transformation  (23)  we obtain  respecti-
vely:

u(x,  t) =   vAl- K^ A  =   V
c
(t- Kx),  q>0  (47a)

0 ( x , O  =  £ i ,  4 > 0  ( 47b)
o r

^ pJl  i  q>Q,  0 =  0,  (47c)
c'O

1

Ą _  =
 q

  l + «  ,  q >  0,  <5  =  0,  (47d)

where

x  — x — —  -   nt  '  r47e^

and Cj =  - rp,  where K given by (23e), is the velocity  of  propagation  of the  elastic  wave in

the  non- linear  material.  When  q = \ ,a  ==  \   which  is in agreement  with  th at  obtained  in
[18].

c).  Almost  non- linear  material  for q  close  to  unity
A valid analytical  approximation  can be obtained for the param eter of the non- linearity

q  close  to unity.
F or  an  almost  nonlinear  rod  we  assume  th at th e param eter  q assumes  the values  close

to  unity  such  that

Si.  (48a)
I t is understood  in equation (48a) th at the slope  of similarity  function  F

t
(rj)  is n ot zero and

does  not tend  to infinity  at any poin t  0 <   r\  <  rj„.  With  the above  approxim ation  the
similarity  representation  given  by  equations  (32a,  b, c, d) assumes  the  form

[1 - m VJ t f ' f a ) -m ( m - 2 3-   \ )r,F[(rj)- d(d + 1 ) F^ )  =  0,  0 < y < »?,,, (48b)

=   ti
w
)  =  0,  (48d)



G R OU P  THEORETIC  TECHNIQUE  31

where

??w  =   —- ,  an d  q  £   1,  m  >  0.  (48e)

I t  should  be pointed  out, th at the parameter  of  nonlinearity  of  material, q, is  still  included
in  the similarity  representation  (48), since  the parameter m  depends  on q.  The  approxima-
tion  is  made  only  in  one  term ,  namely  [—Fl(rj)].  F ollowing  the method given  in  [17] and
applying  directly  the  theorem  5,  page  369  of  Kaplan,  [19], two  linearly  independent  solu-
tions  of  equation  (48b)  are  obtained  as

- 2m)

X
2

s
s\   <

(<5 -   4m  +  1) (6 -   4m)  (<5 ~  2m(s  -   1) +   1)  (<5 -   2m(s  -   1))

(d- 2m(s~l)+l- m)(d- m(2s- l))\  ...
, ( 2 ł + l) ( l+ fl)  I"  l  }

The  general  solution  of  equation  (48b)  in  terms  of  two  linearly  independent  functions

Fi^ iv)
  a n d  J^i2)(9?)  c a "  be  written  as

FM  =   ei F{l\ rj) + c
2
 F{

2
\ n),  (49c)

where  c
t
  and c 2  are con stan ts to be determined from  the boundary  conditions. M aking  use

of  the  boundary  condition  (48c)  the  value  of  c
x
  is  obtained  as

i  (5Oa)
an d  on the basis  of  the boun dary  condition  (48d) we  obtain

'  < 5 O b >

where  ?yw is  given  by  (48e).
Thus,  on the basis  of  equations  (50a, b) the solution  (49c) can be  written  as

S H  ' (5la)
0< fl< —,  (51b)

m
an d under the condition th at the param eters q and d must satisfy  the inequalities  (33) or (34).
F urtherm ore, it may be remembered th at the solution holds for  the values  of q close to unity.
The numerical  analysis  shows  th at the solution given by  (51) gives  an  acceptable  approxi-
m ation  for  0.5  <  q  <  1,5.  This  would  approximate  the  behaviour  of  such  engineering
materials  which  are  n ot ideał y linearly  elastic  but  are  close  to  it.



32  W.  FRYDRYCHOWICZ,  M.  C.  SINGH

The  nondimensional  expressions  for  displacement  u(x,  t)  and  stress  a(x,  t)  for  the
almost  nonlinear  case assume the  forms

^ S ^ .  (52a)

) ] f ,  » ^ 0 ,  (52b)

where  F[{rj)  is  the  derivative  of  F^rj)  evaluated  on  the  basis  of  (51).  The  results  are  in
agreement  with  those  obtained  in  [17].

6.  Numerical  Solution

Numerical  solution  of  nonlinear  similarity  representation,  equations  (32),  is  obtained
by  Gear  method  for  precision  and  convenience  [20, 21]. The  Gear  subroutine  package  is
available, for  instance, in  MULTICS  computer  system. It  solves the initial value  problem
for  a system  of  ordinary  differential  equations  given  in  the  form

J'=/0>>0,  (53a)
with initial values

X'o)  =  Jo,  (53b)

where y,  y  a n d / a r e  vectors  of  order  N  >  1. With  a  subroutine  for  the  calculation  of  / ,
the  GEAR  package computes a numerical solution of equations  (53) at values of the  inde­
pendent  variable  t  in some interval  [/0,  T\,  as desired  by the  user.  It  must  be  remembered
that the right­hand side/of  the ODE's must be a well defined  function  of  y  =  y(t)  and  t.
Thus, it cannot involve y at previous values of t as for example in delay  or  retarded  ordinary
differential  equations or in integro­differential  equations. The approach used in the  GEAR
package  are linear  multipoint  methods  of  the  form

£  j E  (54)
Jml

where yk  is  an  approximation to y(tk),  yk  = f(yk,  tk) is an approximation  to y(tk),  and  h  is
a  constant  step  size:  h  =  tk+l~tk.  In  the  case  of  the  Adams  method  of  order  /  we  have
kt  =  1  and  k2  =  l—l.  In  the  case  of  the  backward  differentiation  formula  (BDF)  of
order  I,  also  called  Gear's  stiff  method,  we  have  ki  «  I and  k2  =  0.  The  BDF's  are  so
called  because, on  dividing throught  by hfi0,  they  can  be regarded  as  approximation  for­
mulas for yn  in terms of y„,  y„_ls  ,..,yn_{.  In  either case, <Xj  and ft] are constants  associated
with  the  method,  and  /?0  >  0.  The  latter  means  that  equation  (54)  is  an  implicit  equa­
tions for yn  and is in general a nonlinear algebraic system that must be solved on every step.
The fact  that the order of a given method  is /  means that,  if  equation  (54)  is  solved  for  yn



GROUP  THEORETIC  TECHNIQUE  33

with  all past  values  being  exact,  then yn will  differ  from  the correct  solution  of the ODE by
a  local  truncation  error  that  is 0  (A'+1)  for  small  h.

A  prime  feature  of  GEAR  package  is its ability  to  solve  stiff  ODE problems.  Also,  it
contains,  as  aft  option,  a  method  well  suited  for  non­stiff  problems  as well,  namely  the
implicit  Adams  method  with  functional  (or fixpoint)  corrector  iteration,  also  called  the
Adams­Bashforth­Moulton  method.  In  this  analysis  both  the  stiff  and  non­stiff  methods
are  implemented  in  a  manner  which  allows  both  the  step  size  and  the  order  to  vary  in
a  dynamic  way  throughout  the  problem.

For  details concerning the Gear's  stiff  method  we  refer  the  reader  to  Hindmarsh  [20],
where  a description  of method,  testing  examples,  and listings  of subroutines  can be found.

In  application  of  Gear  method  to the  solution  of  the  system  of  equations  (32),  first
of  all it is reduced  to  a system  of two first  order  equations

(55a)

yM+  K~j~  yfa)  (55b)

-my
with  initial  conditions

( 5 6 a )

j 2 ( 0 )  m F[(0) =  a,  (56b)

Where,  as first  approximation,  <x is evaluated  from  the series  solution  for almost  nonlinear
case,  equations  (51). It  turns  out  that  the  slope  of  the  function  FiO?)  does  not  change
sharply  with  the  parameter  of  nonlinearity  q  in the  neighbourhood  of r\ =  0.  Thus,  the
second  initial  condition  (56b) can  be  determined  from  the  analytical  solution  of  almost
nonlinear  case. The correction  for  oc is obtained  by taking  into  account  the boundary  con­
dition  (32c, d) in  such  a way that  the error  in r]w,  equation  (32d) is kept  less  than 10"

3.
Then,  the boundary  value  problem  is numerically  solved  by making  use of  Gear  method.
Computations  were  made  for  d  =  0  and  q  =  1.25  and  results  were  compared  with  the
corresponding  solution for almost  nonlinear  case. The numerical  results  obtained  by  Gear
method  were  also  compared  with  those  obtained  as  close  form  solutions  for  q =  3 and
<5  =  0.  In  both  the  above  cases  the  numerical  results  were  in  good  agreement  with  the
corresponding  exact  solutions.

Effect  of time  dependence  of impact,  through  the variation  of  parameter  <5, is  shown
in Fig.  1 for a linear case, q  =  1. It may bs noted that whereas the value of  F^tj),  in  general,
decreases  with increase  of  <5, the value  of f]w is independent  of  d and remains fixed  as unity.
Corresponding  variation  of  of as  against  x  are shown  in  Fig.  2.  Solution  for  almost non­
linear  case  with  5 =  1 is given  for  values  of 0.5  <  q 4  1.5 in Fig. 3. It is clear  that in this
case  r]w varies with  q.

Corresponding  values  of a are given  in Fig. 4, where  it  is seen that  the values  of  a and
xw  decrease with decrease in the values of q. In Fig.  5 is shown  the effect  of  variations in the
parameter  of nonlinearity,  q for  a constant  velocity  impact,  5 =  0 and a fixed  F, it  is  seen
that  value  of  a  approaches  unity  as  q ­> 00.

3  Mech.  Teoret.  i  Stos.  1/85



0.75

0.50

0.25

Rys. 2

[34]

7 = l,q »1­0

1.0  X



0.6

0.4

0.2

\

1

V
1 1

8 =  1

J
q ­1.9
q = l.25

q  =0.9
q  =0.75
q=0.5

ST.il
0.0 0.2 0.4 0.6  0.8

Fig.  3

1.0 1.2 1.4

0.03

0.02

0.01

-

-

8»

i Xi i

1.0, T = 0.01

\

1 1 1 1 1  1  1  1 > v  1  1  1
0.00 0.005  Q0I0

3*

0.015  0.020  0.025  0.030  0.035

Fig.  4

[35]



36 W-   FRYDRYCHOWICZ,  M.  C.  SIN G H

a
1.5

1.0

8.» 0 , any q > 0 , 7 * 1.0.

0.5

1.0 2.0 3 . 0 4. 0 5.0

F ig. 5

References

1.  G .  BIRKH OFF, Hydrodynamics,  Princeton  U niversity  Press,  Princeton,  N ew Jersey, 1950.
2.  A. J. A.  MORG AN ,  T he reduction  by  one  of  the  number of  independent variables in some  systems  of

partial differential equations,  Quart.  J.  M ath. 2,  1952, 250- 259.
3.  A. D .  M ICH AŁ, Differential invariants and invariant partial differential equations under continuous trans-

formation groups  in normal linear spaces,  Proc. N atn . Acad. Sd. U SA, Vol. 37, p . 623, 1952.
4.  M . J. MOH AN , and R. A. G AG G IOLI, Reduction of the N umber of Variables in Systems of Partial Differen-

tial Equations  with Auxiliary  Conditions,  SIAM   J. Appl.  M ath.,  16, 202- 215, 1968.
5.  M . J.  MORAN   and K. M. MARSHEK, Some matrix aspects  of  generalized  dimensional analysis,  Journal

of  Engineering Mathematics, Vol. 6, N o . 3, 1972, p.  291.
6.  R.  SESHADRI and M. C. SIN G H , Similarity analysis of  wave propagation  in  nonlinear  rods, Arch.  M ech.

Vol. 32, 6, 933  -  945, 1980.
7.  W.  FRYDRYCHOWICZ  and  M. C.  SIN G H , Group theoretic and similarity  analysis of  hyperbolic partial

differential equations,  Report  233, D epartment  of  Mechanical  Engineering,  The U niversity  of  Calf-
gary, 1982.

8.  C. TRUESDELL and R. TOU P IN , T he classical field  theories,  H andbuch  der Physik, Vol. I I I / l,  Sects.  175
176,180 and 181, Berlin. Springer,  1960.

9.  P. J.  CH EN , Growth  and tiecay of  W awes  in Solids, H andbuch  der Physik, Vol.  VI a/ 3, pp. 303 -  402.
Berlin, Springer, 1973.

10.  J. D . ACHEN BACH, S. M.  VoGELand  G . H ERRMAN N , On Stress  W aves in  Viscoelastic  Media  Conducting
Heat. Irreversible  Aspects  of  Continuum  Mechanics  —•  T ransfer of  Physical  Characteristic in  Moving
Fluids,  Ed. by  H . Parkus  and L. I. Sedov, Wien, Springer, 1968.

11.  D . B.  TAULBEE, F  .A. COZZARELLI and C. L. D YM , Similarity solutions to some non- linear impact problems,
Int.  J.  N onlinear  Mech.,  6, 1971.



G R OU P  THEORETIC  TECHNIQUE  37

12.  I . P.  EISEN H ART,  Continuous groups of  transformations,  D over  Publications, New York  1961.
13.  W. F . AM ES, N onlinear Partial Differential  Equations in Engineering, Vol. I I , Academic Press, New  York

1972.
14.  L. V.  OVSIAN N IKOW,  Group  Analysis of  Differential Equations, English  edition,  Academic  Fress, New

York,  London  1982.
15.  W.  FRYD RYCH OWICZ  and  M . C. SI N G H  Application  of  a Multiparameter  Group of  T ransformations  to an

Impact  Problem of  a  N onlinear  Viscoelastic  Mod,  in  „N onlinear Deformation W aves",  1UTAM   Sym-
posium, Tallinn,  1982,  E ditors:  U .  N igul,  J.  Engelbrecht,  Springer,  Berlin  1983.

16.  W.  FRYD RYCH OWICZ  and  M. C. SI N G H , Group and Similarity Analysis of  W ave Propagation  in N onlinear
Viscoelastic  Rod,  R eport  300,  D epartment  of  Mechanical  Engineering.  The  U niversity  of  Calgary,
1984.

17.  W.  FRYD RYCH OWICZ  and  M . C.  SIN G H ,  W ave propagation in  nonhomogeneous  almost nonlinear thin
elastic  rods,  Arch.  M ech., 34, 4, p. 437  -  454,  1982.

18.  "M.  C.  SIN G H  and W.  F RYD RYCH OWICZ,  W ave propagation  in  nonhomogeneous  thin elastic  rods subjected
to time  dependent velocity impact,  The J. Acoust.  Society  of America,  67,  1982.

19.  W.  KAPLAN ,  Ordinary differential equations,  Addison- Wesley,  Reading,  1968.
20.  A.  C. H IN D MARSH , GEAR:  Ordinary Differential Equation System  Solver,  Lawrence  Livermore  Labora-

tory,  Report  U C1D - 30001, Revision  3, D ecember,  1974.
21.  C.  G EAR  WILLIAM ,  N umerical  initial  value problems  in  ordinary differential equations,  Prentice- H all,

I nc.,  Englewood  Cliffs,  N ew  Jersey,  1971.

P  e  3  10  M   e

P EIU EH H E  riOJCOEH JI  H E JI M H E H H OF O  Yl l P y r O r O  CTEPJKH fl  U.OJX  BO3JI.EH CTBH EM
H M n yjI BC A  C KOP OC TH   C  IIOMO1H IO  M E TOflA  r P Yn n O B B I X  nP EOBP A3OBAH H fl

IIpeo6pa3OBaH iiH   no&o/ ÓKfi flJifi OC H OBH M X  ypaBH eni- m  flBiiwceiuiH   H ejiH H eiteoro  yn p yr o r o  CTep>iara

nofl fleiicTBH eM  coyflapeH iM   co  C KopocTtio  3aBHCHMofl  OT BpeiwenH   n ojiy^ien bi  nyTCM   npHiweHeHHH   r p yim

npeo6pa3OBaH H ii.  F Ioflo6H e  npefleraBJieH O  B  BHfle  CH CTCM M  H eniiH eH H bix  oSbiKHOBeHHbix  flutbdpepen-

U,HaJIBHbIX  ypaBHeHHH   C  rpaHHMHMMH   ycnOBHflMH   B  TO^Ke  BO3HHKH0BeHHH   BOJIHbl  H   H a  BOJIHOBOM

cbpoH Te.  P e m e n H a  aaM KnyToro  T an a  SL I J I H   n o jiy^ eH H   B  iienH neiiiioM   cnyxiae  n p n  coy# apeH H H   c  nocTO-

CKopocTLio  u  B  jiHHeiiHOM   c n yq a e  n p H   c o yflap eu m i  c  nepeM eH H oii  ci<opoCTi>io.  P euieH n e  B

n oJiy^eH o  fljw  n c w m  H ejiH H eiiH oro  cjiy^aH ,  Tai< i<ai<   AJI H   o S m e r o  n en H H eiiiioro  cjiy^ aa  n wiy

M iicnenH bie  p em en H H .

S t r e s z c z e n i e

TRAN SF ORM ACJE  POD OBIEŃ STWA  W  P RZ YP AD KU   ZAG AD N IEN IA N IELIN IOWEG O
PRĘ TA  SPRĘ Ż YSTEGO  P OD   D Z IAŁAN IEM   IM P U LSU   PRĘ D KOŚ CI  PRZY  POMOCY

M ETOD Y  PRZEKSZTAŁCEŃ   G RU POWYCH

Transformacje  podobień stwa  dla  podstawowych  równań  ruchu  nieliniowego  prę ta  sprę ż ystego  pod
dział aniem  impulsu  prę dkoś ci  otrzymano  przy  wykorzystaniu  przekształ ceń przestrzennych.

Przedstawienie  podobień stwa  otrzymano jako  system  nieliniowych,  zwyczajnych  równań  róż niczko-
wych,  w warunkach  brzegowych  w  począ tku  ukł adu i na  froncie  fali.

Wyprowadzono  równania  w  postaci  zamknię tej  dla  przypadku  liniowego  zależ nego  od czasu  impulsu
prę dkoś ci  oraz  nieliniowego  niezależ nego  od  czasu  impulsu  prę dkoś ci.-

Cał y  szereg  rozwią zań  otrzymano w przypadku  prawie  nieliniowym,  natomiast w ogólnym przypadku
nieliniowym  przedstawiono  rozwią zania  numeryczne.

Praca został a zł oż ona w Redakcji  7 sierpnia  1984 roku