Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z1.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1.  23  (1985) M ETODA  ROZWIĄ ZYWANIA  RÓWNAŃ  RUCHU PRZY  INERCYJNYCH  OBCIĄ Ż ENIACH  RUCHOMYCH AN D R Z E J  R AD Z I E C KI Politechnika  Gliwicka 1.  Wstę p P roblem  dyn am iczn ych  obliczeń  konstrukcji  mostowych  jest  zł oż ony.  Wystę puje w  n im  zn aczn a liczba  param etrów  i  n ie  udał o  się   go  dotychczas  w  peł ni  rozwią zać. I stotn e  oż ywienie  w  rozwią zywaniu  zagadn ien ia  drgań  nieustalonych  konstrukcji, m .in.  przy  obcią ż eniach  ruch om ych , wnosi  elektron iczn a  technika  obliczeniowa.  Szczegól- nego  znaczenia  n abrał y  przy  t ym  m odele  dyskretn e  i  oparte  na  nich  metody  macierzo- wych  analiz  kon strukcji,  w  tym  zwł aszcza  m etoda elementów  skoń czonych.  M im o postę pu w  m atem atyczn ym  m odelowan iu  pracy  ukł adów  dynamicznych,  osią gane  rezultaty  nie mogą   zadowalać.  J ak  wyn ika z  analizy  dotychczasowych  prac w tej  dziedzinie,  charaktery- zują   się   one  podejś ciem  polegają cym  n a  rozwią zywaniu  odrę bnych  przypadków.  Bardziej zł oż one  geometrycznie  ukł ady,  wymagają ce  nawet  w  dyskretnych  modelach  obliczenio- wych  znacznej  liczby  współ rzę dn ych, przy  inercyjnym  traktowan iu  obcią ż eń  prowadzą   do duż ych  ukł adów  liniowych  równ ań  róż niczkowych  zwyczajnych  drugiego  rzę du  o zmien- nych  współ czynnikach,  których  rozwią zywanie  jest  bardzo  czasochł onne.  Wynika  to  z  ko- niecznoś ci  bezpoś redn iego  cał kowan ia  krok  p o  kroku  peł nego  ukł adu  (por.  YOSH ID A, WEAVER  [1],  BO R O WI C Z  [2]),  postę powan ie  takie  wymaga  generowania  i  odwracania macierzy  współ czynników  w  każ dym  kroku  cał kowym,  przy  czym  macierze  te,  jak  i postać wektora  obcią ż eń,  wyzn aczan e  są   n a  podstawie  funkcji  kształ tu. W  pracy  przedstawion a  zostan ie  efektywna  m etoda  formowania  i  rozwią zywania  rów- n ań  ruchu kon strukcji  poddan ych obcią ż eniom  zmiennym zarówn o  w czasie, jak  i w przest- rzeni.  W  szczególnoś ci  rozważa  się   ogólny  przypadek  inercyjnych  obcią ż eń  skupionych. Obcią ż enia  te  mogą   być  t rakt owan e  jako  grupy  m as  lub  lepkosprę ż ystych  oscylatorów pozostają cych  wzglę dem  siebie  w  dowolnie  zmieniają cym  się   ukł adzie. 2.  Idea metody W  propon owan ej  m etodzie wprowadza  się   oprócz stosowania  dyskretyzacji  geometrycz- nej  również  dyskretn e  podejś cie  do  opisu  wielkoś ci  bę dą cych  funkcją   czasu.  Jako  pun kt wyjś cia  przyję to  podstawowe  równ an ie  dynamiczne  metody  elementów  skoń czonych, 40 A.  RAD ZIECKI opisują ce  zachowanie się  konstrukcji  sprę ż ystych  z liniowym  thim ieniem , w  postaci podanej przez  ZIEN KIEWICZA  [3]: K8 +  CS +  M 8 + F   =   0, (2.1) przy  czym  w  rozpatrywanym  przypadku  oprócz  wektora  F   także  macierze  sztywnoś ci, tł umienia  i mas  (K, C i M ) są   zm ienne w  czasie.  D o rozwią zania  zagadn ien ia  dochodzi  się drogą   nastę pują cego  rozumowania. Zał óż my, że wystarczają ca  jest  znajomość  usytuowania obcią ż eń  tylko  w  wybranych  stosunkowo  odległ ych  chwilach  czasu  t ls   t 2 ,  ...,t m .  Zdeter- minowane  w  tych  chwilach  stany  obcią ż enia  ukł adają   się   w  kolejne  „ zdję cia  m igawkowe" przebiegu  cał ego  procesu  obcią ż enia.  Jeś li  dodatkowo,  w  miejscu  poł oż en ia  każ dego obcią ż enia  w  wydzielonych  chwilach  t t ,  wystę puje  wę zeł   (stopień  swobody)  generowanie macierzy  K ( i,  C (, i M<( oraz  wektora  F , , , może  odbywać  się   bezpoś redn io  n a  podstawie odpowiednich macierzy  ustroju  nieobcią ż onego,  bez  stosowania  funkcji  kształ tu.  W  tym celu  wprowadza  się   dwa  kryteria  doboru  wę zł ów  siatki  podział u  ustroju  n a  elementy. Obok  kryterium  dotychczas  stosowanego,  jakim  jest  wł aś ciwe  oddan ie  cech  geometrycz- no- materiał owych  obliczanego  ustroju,  wprowadza  się   nowe,  polegają ce  n a  takiej  ich lokalizacji,  by  w chwilach  t t   każ de  z  obcią ż eń  znajdował o  się   w  wę ź le  (rys.  1).  Jeś li  teraz F ig.  1 przyjmiemy,  że  znany  n am jest  wpł yw  zachowania  się   ukł adu  w  odcin kach  czasowych pomię dzy  „ zdję ciami"  (zagadnienie  to przedstawiono  w  pracy), t o  dysponują c  tak  usytuo- wanymi wę zł ami, przebieg  zmiennoś ci obcią ż eń i odpowiadają cą   m u  modyfikację   macierzy współ czynników  m oż na  opisać  i  wyznaczyć,  deklarują c  jedyn ie  n um ery  stopn i  swobody, okreś lają ce  poł oż enia  obcią ż eń  w  chwilach  czasu,  przyję tych  ja ko  obligatoryjne.  Obo- wią zuje  przy  tym  zał oż enie, że  ruch pomię dzy  kolejnymi  chwilami  odbywa  się   p o  torze prostym, z  prę dkoś cią   ś rednią. U dogodnienie  powyż sze  wystę puje  również  po  przeprowadzen iu  transform acji  redu- kują cej  liczbę   stopni  swobody  [3, 4]  (tzw.  kondensacji  stopn i  swobody)  pod  warun kiem zachowania  tych,  które  wydzielone  został y  ze  wzglę du  n a  drugie  kryterium .  D o ko n a ć  jej m oż na  przez  transformację   ukł adu  współ rzę dnych  uogóln ion ych : 8  =   L 8*, (2.2) IN ERCYJN E  OBCIĄ Ż ENIA  RUCHOME 41 gdzie  8 — wektor  (u) przemieszczeń  wę zł owych  ukł adu  wyjś ciowego,  8* — wektor  (n) przemieszczeń  wę zł owych  ukł adu  zredukowanego,  L — prostoką tna  (u x ń )  macierz  re- dukcji. M acierz L może  być znajdowana  w sposób  oparty na analogii  fizycznej  (por.  np.  [5]), a  nastę pnie  macierze  sztywnoś ci  i  mas, zredukowane  do  wybranych  stopni  swobody, otrzymujemy  z zależ noś ci K*  =   LrKL,  M *  =   I/ M L.  (2.3) P o  takiej  redukcji  przestaje  mieć znaczenie typ modelowanej  konstrukcji,  istotne  są   tylko numery  identyfikacyjne  pozostawionych  stopni  swobody,  przy  czym  nawet  znaczne zmniejszenie  ogólnej  bazy  współ rzę dnych  (n p. na  stć utek  wyeliminowania  obrotowych stopni  swobody)  nie m a wię kszego  wpł ywu  n a wartoś ci  podstawowych  parametrów  dy- namicznych  konstrukcji,  a przyczynia  się  zdecydowanie  do podniesienia  efektywnoś ci  dal- szych  operacji  matematycznych. 3.  Formowanie  macierzowego  równania  ruchu Istnieją   dwa podstawowe  m odele inercyjnych  obcią ż eń  ruchomych;  masa  poruszają ca się   bezpoś rednio  p o konstrukcji  i  oscylator,  czyli  masa,  której  dział anie przekazuje  się   za poś rednictwem wię zi  sprę ż ystej  z liniowym  tł umieniem.  W  obu przypadkach  przemieszcze- nia, poprzeczne  odcin ka  toru,  n a którym  aktualnie  wystę puje  obcią ż enie,  moż na  wyrazić przez  wartoś ci  przemieszczeń  wę zł owych  oraz  zał oż onych  funkcji  aproksymacyjnych (kształ tu).  N a rysunku  2  pokazan o  odcinek  toru  zawarty  pomię dzy  punktam i  s(<;- i) F ig. 2 i p(tf), w  których  wystę pują   stopnie swobody  <5f i    współ rzę dne wektora  obcią ż eń wę zł owych  wynoszą Ff  -   N T M(y  - oraz  równ an ie  równ owagi  ruchom ej  wię zi  sprę ż ystej  (rys.  2b) v  dW \ dt + k M(y- W )  = (3. 8) (3.9) gdzie  v  współ rzę dna wychyleń  masy  n a  zawieszeniu  sprę ż ystym. D la  wartoś ci  it  -   1,0  otrzym ujem y: F*  -   0, F*  = - y  =  0 . (3.10) (3.11) D oł ą czenie  dodatkowego  równ an ia  (3.11)  do  ukł adu  równ ań  równowagi  dynamicznej ustroju  wyjś ciowego,  n a  skutek  pojawienia  się   nowego,  (przemieszczają cego  się )  stopnia swobody  y,  powoduje  rozszerzenie macierzy współ czynników ukł adu.  Schemat  modyfikacji macierzy  sztywnoś ci  i  m as  oraz  gen erowan ia  wektora  obcią ż eń  w  chwili  t t   przedstawiono n a  rysun ku  4.  I  tym  razem m oż liwe jest  uwzglę dnienie  wielu  róż nych  oscylatorów.  U lega wówczas  zwię kszeniu  w  odpowiedn im stopn iu liczba  współ rzę dnych,  nie wpł ywa  t o jedn ak n a  sposób  gen erowan ia  powyż szych  macierzy. kM - kM - kM kM M V M 9 M Rys.  4 44"  A.  R AD Z I E C K I M acierz  tł umienia  n a  tym  etapie  nie jest  m odyfikowana.  U zasadn ien iem  takiego  po- stę powania jest przede wszystkim mał y wpł yw  n a postacie i czę stoś ci  drgań  wł asnych, a wię c na  dokł adn ość przeprowadzanej  w  dalszym  toku  transformacji  wł asnej.  P on adto  za  takim podejś ciem  przemawia  wcią ż  jeszcze  niejednoznaczne  okreś lanie  tej  macierzy  przy  rozpa- trywaniu  wszystkich  aspektów  tł umienia  (zwł aszcza  tł um ien ia  konstrukcyjnego). 4.  Rozwią zanie równań Po  skompletowaniu  bloków  K*  ,  M *  i  F *  dla  wszystkich  chwil  t t ,  wydzielonych z ogólnego  czasu trwania  obcią ż enia, do rozwią zania  u kł ad u  równ ań  równowagi  dynamicz- nej  stosowana  jest  m etoda  oparta  n a  analizie  m odaln ej  przy  zał oż eniu,  że  wś ród  liczby uwzglę dnianych  czę stoś ci  drgań  wł asnych  nie  wystę pują   ich  wartoś ci  wielokrotne.  W  tym przypadku  zagadnienie  wł asne  rozwią zywane  musi  być  dla  stan u  konstrukcji  w  każ dej z  chwil ( K * - < M * ) 8 *( 1  =   0.  (4.1) Celowe  wykorzystanie  tzw.  redukcji  dynamicznej  [4] polegają cej  n a  opuszczeniu  rów- n ań  odpowiadają cych  wyż szym  czę stoś ciom,  a  wię c  n a  nieuwzglę dnianiu  udział u  tych postaci,  które  mają   pomijalne  mał y  wpł yw  n a  drgan ia  wypadkowe  ukł adu,  umoż liwia  już n a  tym  etapie  ograniczenie  liczby  obliczanych  najniż szych  czę stoś ci  i  odpowiadają cych  im wektorów  drgań  wł asnych.  Przedstawiają c  postać  ruchu  w  chwili  t  jako  liniową   kombi- nację   wektorów  wł asnych  8*y(,()  mamy K  =   [ 8 S u, ( ) S S 2 ( t l )  ...  6 jW ł jĄ ,  =   AS ( i z„ ,  •   (4.2) gdzie  1  <  k  <:  n —  liczba  przyję tych  do  obliczeń  współ rzę dnych  gł ównych, A*, f — macierz  ortogon aln a  k  wektorów  wł asnych  z  wagą   m as z, ; —  wektor  współ rzę dn ych  gł ówn ych  w  ch wili  tt. D yspon ują c  wid m am i  wartoś ci  wł asn ych  c o 1 ( ( / ) ,  oj2lti),  ...,coki, t)  o raz  m acierzam i  Ajj(| przeprowadzam y  diagon alizację   u kł a d u  w  każ dej  obligatoryjn ej  ch wili: (4.3) d  d 2 Otrzymane  tą   drogą   kolejne  postacie  rozprzę ż onych  równ ań  równowagi  dynamicznej m oż na  przez  aproksymacje  funkcji  współ czynników  oraz  obcią ż enia  każ dego  z  równań zastą pić  jednym  ukł adem k  rozseparowanych,  liniowych  równ ań  róż niczkowych  zwyczaj- nych  drugiego  rzę du  o  zmiennych  współ czynnikach  w  bazie  współ rzę dnych  gł ównych: Kj<  k.  (4.4) Separacja  równ ań  ruchu  pozwala  zastą pić  cał kowanie  kro k  po  kroku  cał ego  ukł adu, cał kowaniem  kilku  pojedynczych  równ ań .  F un kcje  współ czynników  oraz  obcią ż enia '  każ dego  z  równań  (4.4)  m oż na  wyznaczyć  stosują c  jedn ą   z wielu  m etod  interpolacyjnych. I N E R C YJN E  OBC I Ą Ż EN IA  RU CH OM E  45 Rozwią zanie  tych równ ań przy  wykorzystaniu  maszyn  cyfrowych  nie  nastrę cza  wię kszych trudnoś ci,  n iewiadom e  wartoś ci  funkcji  i jej  pochodn ych  obliczane  mogą   być  przez  za- stosowanie  jedn ej  ze  zn an ych  m etod  cał kowan ia  numerycznego.  Po  okreś leniu  wektorów z,  ż  i  z  w  wybran ych  pu n kt ach  czasu,  wyraż enie  tych  wielkoś ci  w  bazie  współ rzę dnych n aturaln ych  odbywa  się   n a  podstawie  transformacji  (4.2).  W  przypadku  niepokrywania się  zał oż onych n a wstę pie  obligatoryjnych  chwil  z tym i pun ktam i n a  osi  czasu,  w  których chcemy  uzyskać  param etry  ruch u  kon strukcji,  zachodzi  konieczność  interpolacji  wartoś ci wektorów  wł asnych. Wprowadzenie  oscylatora  zm ienia  rozpatrywany  ukł ad  w  sposób  jakoś ciowy,  prowa- dzą c  również  do  zm ian y jego  widm a  czę stoś ci  drgań wł asnych. Zazwyczaj  jedn ak  czę stość drgań wł asnych oscylatora  znajduje  się  w dolnych rejonach, tego widma i gdy  sprzę ż enie jest w istocie znaczą ce, n ie wystę puje  niebezpieczeń stwo  pom inię cia jego wpł ywu  przy odrzuce- niu  równ ań  odpowiadają cych  dalszym  czę stoś ciom.  Współ czynnik  tł umienia  równania zwią zanego  z  czę stoś cią   oscylatora  m oż na  przyją ć  jako  stał y  i  okreś lić  z  zależ noś ci  2y  = =   c M jM.  Z astosowan ie  analizy  m odaln ej  pozwala  również  un ikn ą ć  generowania  i nastę p- nie  dalszego  przekształ cen ia macierzy  tł um ien ia  ustroju,  której  postać  (w  aspekcie  zł oż o- noś ci zjawiska) jest  t r u d n a do  okreś lenia.  W  zbiorze współ rzę dnych gł ównych istnieje  mia- nowicie  m oż liwość  okreś lan ia  współ czynników  tł um ien ia  n ie  tylko  wedł ug  hipotezy  tł u- mienia  masowego  czy  tł um ien ia  Teologicznego  wg  warian tu  Voigta,  ale  również  wedł ug hipotezy  ustalon ego  dekrem en tu,  tł um ien ia  mogą   one  być  wreszcie  specyfikowane  indy- widualnie  dla  każ dej  postaci.  • S.  Przykład Opierają c  się   n a  przedstawion ej  m etodzie  dokon an o  rozbudowy  systemu  program o- wego  I D I M - 34  [7]. N o wa  konfiguracja  systemu  [5] pozwolił a zachować jego  otwartoś ć. W  pracy  przedstawion o  an alizę   dwóch  przykł adów, do  których  dane ustalon o n a  pod- stawie  obliczeń  zam ieszczonych  w  pracy  [2].  Belkę   swobodnie  podpartą   obcią ża  się   raz masą   n ieresorowan ą   i  drugi  raz  tą   samą   masą   n a  zawieszeniu  liniowo- sprę ż ystym  z  tł u- mieniem.  Obcią ż enia  poruszał y  się   ze  stał ymi  prę dkoś ciam i.  Obliczenia  prowadzone  był y dla  trzech  róż nych  m odeli  ustroju  charakteryzują cych  się   róż ną   liczbą   stopni  swobody. M odele t e, ozn aczon e B4,  B8  i  B16  skł adają   się   odpowiedn io  z 4,  8 i  16 elementów  prę to- wych  o  równych  dł ugoś ciach  (oznaczonych l x ,  l 2   i I3). D an e  fizyczne  belki  wyn oszą :  m oduł   sprę ż ystoś ci  E  =   21 •   10 1 0 N / m 2 ,  m om en t  bez- wł adnoś ci /   =   0,01  m 4 ,  pole powierzchni przekroju  F  =   0,1  m 2 ,  dł ugość belki  /  =   20,0 m, dł ugoś ci elem en tów; I,  =   5,0 m, l 2   =   2,5 m, / 3  =   1,25  m, m asa obję toś ciowa  #  =   267584kg/ Im 3 ,  współ czynnik  tł um ien ia  y  =  0. W  poszczególnych  m odelach  przeprowadzon o,  zgodną   co  do  zasady,  kondensację stopni  swobody, i t a k  kolejne  m odele ustroju  (B4, B8 i B16) zredukowan o do 5,9  i 17 stopni swobody, pozostawiają c  t e, kt ó re  są   przemieszczeniami  poprzecznymi wszystkich  (również podporowych)  wę zł ów.  W  każ dym  m odelu  liczba  stopni  swobody  stanowił a równocześ nie o liczbie pun któw  obligatoryjnych  n a osi  czasu,  a funkcje  obcią ż enia  i czę stoś ci  drgań wł as- nych  z  równ ań  (4.4)  aproksym owan o  wielomianam i  Lagran ge'a  o  stopniu  maksymalnie 46 A.  RAD ZIECKI moż liwym  do  osią gnię cia  w  danym m odelu, tj.  odpowiednio  4- tego,  8- mego  i  16- tego  stop- nia. W  przypadku  obcią ż enia  belki  ruchomą  masą  bezpoś redn io,  param etry  obcią ż enia wynosił y:  m asa M  =  133792  kg,  a jej  prę dkość  v  =   8,8595 m/ s.  U zyskan e  w  każ dym  obli- czeniu przebiegi  czasowe  ugięć  pun ktu  ś rodkowego  belki  (rys.  5)  nie  róż niły  się  znaczą co mię dzy  sobą,  jak  również  w  porówn an iu  z  przebiegiem,  którego  wykres  zamieszczono w  pracy  [2]. 0,006 1 a 5  o, \ \ SO 0, >^~ - 5  / V»  X i  V  . O tw i Rys. 5 W  tabeli  1  przedstawiono  dwie  wartoś ci  charakterystyczn e  powyż szego  wykresu otrzymane  przy  kolejnych  m odelach ; są  t o :  ugię cie  m aksym aln e  (w^ )  oraz  ugię cie  wy- stę pują ce  w  chwili  zjazdu  obcią ż enia  z  belki  (w%).  P o n ad t o  w  tabeli  tej  podan e  został y dwie  pierwsze  czę stoś ci  drgań  wł asnych; ustroju  nieobcią ż onego  (f t   i / 2 )  i  ustroju  w  mo- mencie gdy  ruchom a m asa  znajduje  się  w  ś rodku  belki  {f[,  i  f 2 ) . Tabela 1 Model B4 BS B16 w" "max [m] 0,11661 0,11804 0,11741 [m] - 0,0158 - 0,0219 - 0,0212 A: [H z] .  1,1005 1,1001 1,1001 [H z] 4,4323 4,4018 4,4006 fi [H z] 0,89762 0,89751 0,89750 fi [H z] 4,4323 4,4018 4,4006 W  tabeli  2 zamieszczono wartoś ci  ugięć  w£ a x  i  w",  uzyskiwane  przy  wykorzystaniu  mo- delu B8 z uwzglę dnieniem  zmiennej  (od  1 do  4) liczby  form  wł asn ych. Rezultaty  zawarte  w  tabelach  1 i  2  potwierdzają  dobrą  zgodn ość  wyników  otrzyma- nych przy uwzglę dnieniu  róż nej liczby  stopni swobody  oraz gł ówne znaczenie  podstawowych form  drgań  wł asnych.  U zasadnieniem  owej  stabilnoś ci  rozwią zań,  otrzymywanych  przy wykorzystaniu  proponowanej m etody, mogą  być wykresy funkcji  przedstawionych  n a rys. 6 i  rys.  7.  N a  pierwszym  z  nich  znajdują  się  wykresy  funkcji  czterech pierwszych  czę stoś ci IN ERCYJN E  OBCIĄ Ż ENIA RUCHOME 47 Tabela 2 Liczba postaci 1 2 3 4 [m] 0,11850 0,11804 0,11839 0,11839 [m] - 0,021906 - 0,021906 - 0,021831 - 0,021831 drgań  wł asnych, uzyskan e  z  aproksym acji  przy  dziewię ciu  pun ktach obligatoryjnych.  Za- równo  charakter  ich  zm ien n oś ci  (wystę powanie  m in im ów  lokalnych  w  liczbie  równej  nu- merowi  czę stoś ci),  ja k  i  wartoś ci  am plitud,  wskazują   n a  moż liwość  uzyskiwania  naj- wię kszych  dokł adn oś ci  aproksym acji  funkcji  najniż szego  rzę du,  a  wię c  najbardziej  zna- czą cych.  Rysunek  7  zawiera  cztery  pierwsze,  rozwinię te wzglę dem  form  wł asnych,  funkcje obcią ż enia, które  podzielon e został y przez  odpowiadają ce  im funkcje  czę stoś ci  drgań wł as- nych.  T ak  okreś lone  funkcje,  w  przypadku  gdy  pomija  się   wpł yw  inercji  obcią ż enia  (ob- r od / s] 100O 75,0 50,0 25,0 '\   Z" ^  .• '"X "\  f i  : \ i \   / '••   •* H J-3 j - 2 0,00 0,25 0,50  0,75 Rys. 6 48 A.  RAD ZIECKI 100 win 100 200 300 fjltl U jlt ) / \ \ \ 75   1 / DO  * 2 3 6 Rys. 7 cią ż enie sił ą ), decydują   o wartoś ci  zmiennych w  czasie  am plitud —  oscylują cych  sinusoidal- nie  z  wł aś ciwą   czę stoś cią  —  funkcji  podcał kowych  rozwią zania  D uh am ela (5.1). i Mr) sin — r)]dr. (5.1) G dy  pomija  się   tł umienie, te dwie  wielkoś ci;  am plitudy i  czę stoś ci  mają   decydują cy  wpł yw n a  udział   kolejnych  postaci  w  rozwią zaniu  wypadkowym. W  przypadku  obcią ż enia  przyję tej  belki  masą   n a  zawieszeniu  sprę ż ystym,  parametry oscylatora  wynosił y:  M  =   133792  kg,  k M   =  262500  N / m , c M   =   37480  N s/ m , a jego  prę d- ko ś ćv  =   11,206 m/ s. U zyskany  wykres  ugię ć  dynamicznych  pun ktu  ś rodkowego  belki  pokazan o  n a  rys.  8, a  wartoś ci  wielkoś ci  charakterystycznych  (okreś lonych  poprzedn io)  zamieszczono  w  ta- beli  3. W  obliczeniach  przy  każ dym  m odelu  uwzglę dniono  trzy  gł ówne  formy  wł asne,  przy czym pierwsza jest tu formą   wynikają cą   z wprowadzen ia oscylatora. P orówn an ie  zmiennoś ci wartoś ci zestawionych  w  tabelach  1 i 3 pozwala  stwierdzić —  mniejszy  tym  razem —  wpł yw liczby  stopni swobody  n a zgodność wyników.  O ile przy  obcią ż eniu masą ,  wyraź ne  ustabi- aoo 0,002 0,004 Q006 0,25  0,50  0,75  1,00 % \ \   , /   M / Q- V- • a-   i w  .  J K f Rys. 8 INERCYJNE  OBCIĄ Ż ENIA  RUCHOME 49 Tabela 3 Model B4 B8 B16 [m] 0,13037 0,13087 0,13148 [m] 0,00516 0,00576 0,00581 A [Hz] 0,22233 0,22293 0,22293 fi [Hz] 1,1005 1,1001 1,1001 fi [Hz] 0,22183 0,22262 0,22274 [Hz] 1,1083 1,1043 1,0970 lizowanie  wartoś ci  porówn ywan ych  wystą piło  w  m odelach  B8  i  B16,  to  przy  obcią ż eniu oscylatorem wynik  uzyskany  przy  najprostszym  m odelu B4 jest również bliski pozostał ym. U zasadnienie  powyż szego  i  tym  razem  m oż na  znaleźć  analizują c  przebieg  funkcji,  od których  zależy  rozwią zan ie  zadan ia. N a rys.  9 pokazan o  wykres  funkcji  pierwszych  pię ciu czę stoś ci  drgań  wł asnych.  P om im o  że  obraz  przebiegu  tych  funkcji  wydaje  się   ś wiadczyć o  ich  stał ej  wartoś ci,  zawierają   one  jedn ak  pewną ,  niewidoczną   w  tej  skali,  zmienność w  czasie.  Tym  razem wystę puje  tendencja  odwrotn a,  niż t o  miał o  miejsce  przy  obcią ż eniu bezpoś rednio  masą .  O tóż  w  kolejnych  funkcjach  czę stoś ci  pojawiają   się   nie  minima, lecz maksyma  lokaln e  w  liczbie  równej  n um erowi  danej  postaci  drgań  (liczą c  z  pominię ciem 0,00 4  M ech .  T eoret.  i  Stos.  1/85 rad/ s. 1000 750 2S,0 - i- s J- 4 j - 3 J=2 1- 1 0,25  050  0,75  1,00 Rys.  9 50 A.  RAD ZIECKI postaci  wynikają cej  z wprowadzenia  oscylatora), jak  również  obserwuje  się   zan ikan ie war- toś ci  ich  am plitud  wraz  ze  wzrostem  n um eru  czę stoś ci. Rysunek  10  zawiera  wykresy  trzech  pierwszych  funkcji  obcią ż enia  w  konwencji  okreś- lonej  wcześ niej.  F unkcja  o  numerze  j  — 1  jest —  rozwinię tą   wzglę dem  form  wł asnych i  podzieloną   przez  wł aś ciwą   czę stość —  prawą   stron ę   równ an ia  oscylatora.  Jest  on a  po- dobnie  uformowana  jak  pierwsza  funkcja  równ an ia  belki  i  przy  zał oż onych param etrach ukł adu m a znacznie mniejszą   am plitudę . D alsze, nie pokazan e funkcje  mają   ten sam kształ t jak  n a rys.  7. - 100 v.,00 100 too 300 Ijltl s s \ 25  Q \ fts  D s. / ,00 2  ™ 3 Rys.  10 Mają c  powyż sze  n a  uwadze,  jak  i  brak  widocznych  róż n ic  pom ię dzy  wykresem  ugię ć pun ktu ś rodkowego  (rys. 8), a analogicznym wykresem  zamieszczonym w pracy  [2], moż na stwierdzić,  że powodem  tak  dobrych  rezultatów  jest  z jednej  stron y  m odel matematyczny ustroju,  który już  przy  niewielkiej  liczbie  stopni  swobody  pozwala  uzyskać  z  dużą   dokł ad- noś cią   podstawowe  param etry  drgań  swobodnych,  z  drugiej  zaś  ł agodny  przebieg  pierw- szych  funkcji  czę stoś ci  i  obcią ż enia,  pozwalają cy  n a  dokł adn ą   ich  aproksymację . 6.  Wnioski Przedstawiony  sposób  powią zania  współ rzę dnych  przestrzeni  i  czasu  um oż liwia  efek- tywną   analizę  drgań  wymuszonych  praktycznie  dowolnych  konstrukcji  w  zakresie  liniowo- sprę ż ystym  przy  ruchomych  obcią ż eniach  inercyjnych  traktowan ych  jako  grupa  niezależ- nych  mas  skupionych  lub  pojedynczych  oscylatorów.  • Efektywność  zaproponowanej  metody  wynika  z  dwuetapowej  redukcji  współ rzę dnych ukł adu  =   statycznej  i  dynamicznej.  Redukcja  statyczna  ukł adu  (kondensacja  stopn i  swo- body) pozwala  zmniejszyć  ogólną  liczbę  współ rzę dnych n aturaln ych , ograniczają c je jedynie do  tych,  które  mają   istotny  wpł yw  n a  drgania  ustroju.  Redukcję   dynamiczną  —  w  tym przypadku  —  umoż liwia  zaproponowany sposób  rozwią zywania  ukł adów równ ań  o zmien- nych  współ czynnikach przez  ich  diagonalizację   interpolacyjną   n a  podstawie  diagonalizacji w  okreś lonych  chwilach.  Wykorzystanie  rozwinię cia  wzglę dem  form  wł asnych,  a  wię c rozwią zania  ukł adu  we  współ rzę dnych  gł ównych m a jeszcze tę  zaletę , iż  czyni  stosunkowo IN ERCYJN E  OBCIĄ Ż ENIA  RUCHOME  51 gł adkimi  funkcje  bę dą ce  współ czynnikam i  i  wyrazami  wolnymi  równań  odpowiadają cych najniż szym  form om ,  co  podn osi  dokł adn ość  ich  aproksymacji  n a  podstawie wartoś ci  stabli- cowanych.  N ajczę ś ciej  już  kilka  pierwszych  równań  postaci  modalnej  wystarcza  dla  uzys- kania  wyników  technicznie  dokł adn ych. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  D .  M.  YOSH ID A,  W. J. R.  WEAVER,  Finite  element  analysis  of  beam  and  plates  with  moving loads 1ABSE  Publications,  31, 1,  1971. 2.  T.  BOROWICZ,  W ytę ż enie belek pod  obcią ż eniem  ruchomym,  Arch.  Inż. Lą d.,  24, 2,  1978. 3.  O. C.  ZIEN KIEWICZ, Metoda  elementów  skoń czonych,  Arkady,  Warszawa  1972. 4.  J. H ,  ARG YRIS  i inni, Metody  obliczeniowe  w mechanice  nieliniowej,  1PPT  PAN ,  Ossolineum,  Wroclaw 1977. 5.  A.  RAD ZIECKI,  J.  WESELI,  Obliczenia  dynamiczne  w  otwartym  systemie  metody  elementów  skoń - czonych ID1M- 34, XXVI  Konf. N auk.  KIL iW   PAN   i  KN   PZIT B,  Ref.  t,  1, Krynica 1980. 6.  A.  RAD ZIECKI,  Analiza  ustroju  mostowego  poddanego dział aniu  zł oż onych  ukł adów  skupionych  sil ruchomych,  Arch.  Inż.  Lą d.  29,  1- 2,  1983 7.  J.  WESELI,  Metoda  elementów skoń czonych,  programy do  obliczania  konstrukcji inż ynierskich, Czę ść II, wyd.  w  ramach  mat. XXIV  Konf.  N auk.  KILiW  PAN   i KN  PZITB w  Krynicy,  G liwice  1978. P  e  3  IO  M  e M E TOJI  P EI I I EH H fl  YP ABH EH H M   flBH H CEH H JI  I I P H   H H E P T H blX  n O AB H *H L I X H ArP Y3K AX B  paGoTe  npefleraBJieH   M eio a  o6pa3OBannH   H  peuieH iw  ypaBiieH H ii  ffBumwwt  KOH crpyiumii,  nofl- Bep>KenHbix  fleiicTBH io  noflBH>Kiifaix  imepTH H X  iiarpy3oi< )  pacciwaTpiiBaeMbix  B  Bitne  r p yn n  cocpeflo- • rcraeHHbix  Mace  H JI H   BH 3K0- yn pyrnx  ocunJU M TopoB. llpiraera  OTflenŁHŁie  H arpy3iai  Mory?  ociaBaTBca no  oTiioiuenH io  i< ce6e  B npn3BOJibH o  n3MeiiH iomeMcn  cooTH omenH H . B  npeflJiaraeMOM   cnoco(5e  p e u ie im u  ncnoJib3OBaii  Meiofl  KOHeiiRŁix  aJieiweHTOB,  B  KOTOPOM  KpoMe i-i flnciifi  M C TO^ nnn  o n iican n n 3 T O T  CIIOCOG   peu ieH u a  no3BaJi«eT  3t])cpeKTiiBH erpyKTypu  B  jm n eft u o - yripyro ił   o S n a c r a  n p n  CJIO>KHWX  noflBii>KHwx  H arpy3Kax. BbrreKaeT  n 3  flBysTaiinoii  peflyi