Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z1.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1,  23  (1985)

PH YSICAL  CORRECTN ESS  OF   COSSERAT- TYPE  MOD ELS
OF   H ON EYCOMB  G RID   PLATES

TOM ASZ  LE WI Ń SKI

Politechnika  W arszawska

1. Introduction

Formulated via phenomenological considerations micropolar theory of elasticity  (cf.  [1])
can be applied for  continuum description  of  dense, regular  grids.  This has been noted and
applied  by  Woź niak  et al. in numerous papers  pertaining to lattice- type  shells  and plates,
cf.  [2]. Wozniak's  approach is based  on variational  methods;  an  adequacy  ofthe  proposed
differential  model of  a  body  with  additional  degrees  of freedom  is  „ a priori" assumed. In
the first- order  approximation  (see  Sec. I ll  in  [2]) an in- plane plate motion is described  by
means of three independent functions  approximating displacements  and rotations of nodes.
The  governing  equations  of the  theory  have  a similar  form  to  those of the  plane- stress
theory of micropolar  media.  Therefore  the  Wozniak's  approach is a heuristic  one thus
the recalled  above  procedure does  not allow us  to perform  a physical  correctness analysis
of  the model provided  appropriate  numerical tests  are  not carried  out.

In the case of  simple layout grid plates  (in which neighbourhoods  of all nodes are con-
gruent) Wozniak's  algorithm  leads  to one set  of  effective  constants  describing  elastic pro-
perties  of  the  structure.  However  in  the case  of  complex  layout  grids,  one  can  derive  at
least two sets of B and C tensors  (cf.  [3]). In the present paper an attempt is made to eluci-
date questions  concerning the mentioned difficulties  in formulation  of  Cosserat- type mo-
dels  of  complex  geometry  lattice  plates.  An  attention will be  focused  on hexagonal  grids
belonging to the class of complex layout structures. I n order to have a new look at Wozniak's
continuum models results  of the work  [4] (pertaining to differential  models due to Rogula-
Kunin's  approach)  are  applied.

It  is  easy to  note  that  Cosserat- type  equilibrium  equations  expressed  in terms  of  dis-
placements  cannot  be obtained  by asymptotic  method,  e.g.  by formal  simplifications
(neglect of terms of higher  order) of equilibrium  equations found in  [4] by  Rogula- Kunin's
procedure;  thus  a  simple  correspondence  between  the  latter  and Woź niak's- type  equa-
tions is not valid. This fact is  obvious  since differential  models derived in  [4] (just  contrary
to  theories  outlined in  [3])  do n ot satisfy  stability  conditions.

In Sec. 5 a simple modification  of the second- order differential  approximation  (obtai-
ned in  [4]) will be proposed. The aim of  the procedures is  to formulate  a  well- established



54 T.  LEWIŃ SKI

Cosserat- type  equations, so called  x-  versions.  I n Sec. 6 an attem pt is  un dertaken to  examine
a  range  of  applicability  of  the  latter  versions  as  well  as  of  two  varian ts  resulting  from
Wozniak's  concept,  see [3].

2.  Basic assumptions

A  subject  of  our  considerations  is  a  plane- stress  statical  problem  of  a  honeycom b  grid
com posed  of  bars  whose  axes  constitute  hexagons  of  sides  being  equal  to  /,  cf.  F ig.  1,
I n  order  to  make  final  results  as  clear  as  possible  the  bars  are  assumed  to  be  prismatic
(thus  their  heights  h  are  constant  while  their  depth  is  of  un it  dimension)  an d  m ade  of  an
isotropic,  elastic  material  whose  properties  are  characterised  by  Youn g  m odulus  E  and

F ig. 1

P oisson's  ratio  v.  External  loads  (subjected  t o  lattice  join ts  only)  are  assumed  to  yield
plane- stress  plate  response  hence the  external  forces  are  supposed  to  be  subjected  in- plane
while  moments  should  be  n orm al  to  the  mid- surface  of  the  grid.  A  slenderness  ratio  of
lattice  rods  is  defined  by,  cf.  [3]

r] =   t2lh2.

A  param eter  Q defined  as  a  quotient  of  opening's  diam eter  to  a  spacing  between  centres  of
neighbouring  openings,  see  [3],  reads

6  =   f|/ 3»?-  l)/ l/ 3»7  (2.1)

As  it  has  been  pointed  out  in  [3] EJjP  =   E/ I2r)3'2  where  /   den otes  a  m om en t  of  inertia

of  a  constituent  bar's  cross  section.  Lattice  rods  are  assumed  t o  be  sufficiently  slender  so

as  to  known  m ethods  of  th e  theory  of  structures  could  be  applied.  Analogously  t o  [3, 4]

lattice  nodes  are  divided  in to  two  families  of  m ain  an d  in term ediate  ones,  see  F ig.  1.

D isplacements  and  rotation s  of  m ain  nodes  are  approxim ated  by  con tin uous  functions

if(xP)  an d  <p  (x1*). External  loads  subjected  to  m ain  an d  in term ediate  nodes  are characteri-

sed  by  functions  F1,  M,  Fa,  M,  respectively.



P H YSI C AL  C ORREC TN ESS  55

3.  Two versions  of  Woź niak- type  continuum descriptions

3.1.  Equilibrium equations in terms of displacements. A  set  of  the  title  equation s  has  a  form
similar  to  th at  kn own from  plane- stress problem of  m icropolar  media, see  [3]

1  =   0,
2  =   0,  (3.1)

[B{8
2
- d

2

2
)~2ad

2
]u

l
  + {- 2B8

lL
d

2
  + 2<xd

1
]u

2
 + [C(8

2

1
+.dl)~Ą a]<p + 'Y

3  =   0,

where

y  -   p« +  d
p
p\   T 3  =   y 3  +  d

e
m

s
  + e

a
p

P
"P,

(3.2)
(p\ p\   Y\   7 3 )  =   CF», F \  M , AQ/ P,  / ,  =   1,5 j/ 3 P .

Ricci tensor  is  den oted  by  ea / 3, an area of a recurren t  hexagon am oun ts  to  P.  Th e  effective
m oduli  X, (i  an d  x  are  uniquely  defined  in  bot h  Woź niak- type versions  examined in  [3]
whereas  B  an d  C m oduli  can  be  defined  twofold

i)  Klem m - Wozn iak's  version  (Sec. 3, [3])

EJ  r -   \ O )  +   n + )

ii)  the  second, au t h o r's  varian t  (Sec. 4,  [3])

«  2]/ 3.
V
.(3r,- rj)  EJ_

  }
/ J  .[(3

V
- rjf+(3T ,  +  T J)]  EJ_

(rj+l).(3r)  + Ąi)  I2'  '  3(?? +1)­(5? + 3??)  /

where  rj =  rj + 2.4(1 +v).

The  tensors/>a/3 and  m" are  dependent  upon  the  loads  subjected  to  intermediate  nodes;
their  definitions  are  given  in  [3],  [6].

3.2.  Strain energy as a positive definite function.  Strain  energy  of  the  structure  is  postive
definite  provided,  [3]

fi  >  0 ,  a  >  0 ,  fi + X>Q,  C  >  0 ,  B 2 <  C­pL.  (3,5)

4.  Unstable  quasicontinuum  micropolar­type  equilibrium  equations

4.1. Derivation of governing equations.  Focus  attention  on  Cosserat­type  equations  (3.1).  On
noting  that  B  ~  /,  C  ~  I2  one  can  make  following  remarks:

a)  two  first  equilibrium  equations  involve  zero­order  (with  respect  to  powers  of  /)
terms  of  displacement­type  and  a  first­order  term  relevant  to  nodal  rotations';

b)  the last  equation  involves first­order  terms  of  displacement­type  arid  a  second­order
term  depending  upon  the  rotations.
The  procedures  put  forward  in  [3] did  not  explain  why:

a)  two first  equations  do not  involve first­order  terms being dependent on displacements.
Does  it  yield  from  approximations  only  or result  from  specific  properties  of  the  hexagonal
grid?



56  T.  LEWIŃ S KI

b)  the  last  equation  does  n ot  involve  secon d- order  term s  of  displacem ent- type;  also
herein  the  same  question  arises.

Answers  to  the  above  questions  are  supplied  by  quasicon tin uum  con sideration s,  [4].
C om pare consequent  second- order  equation s  ((6.1)  in  [4]) with  E qs.  (3.1) of  Cosserat- type
theory. F irst of all it can be stated t h at m oduli  A, / A  an d  a  (being involved  in bo t h compared
sets  of  equations)  have  been  identically  defined  (cf.  ( 3. 8) 1 _ 3  in  [3]  an d  (6.2) x_ 3  in[4]).
Thus  both  approaches  (based  on Wozn iak's  [3] an d  R ogula- Kun in 's,  [4], concepts)  result
in th e same definitions  of  elastic  m oduli X,  fi  an d  a, being  depen den t u p o n slenderness  ratio
of  bars  only  and  th us  being  in depen den t  of  th e  in tern ode  spacing  /.

N ote  t h at equations  similar  to  th e  Cosserat- type  (3.1)  can  be  derived  from  th e  second-
order  Eqs.  ((6.1) in  [4]) provided  in  th e latters  all  th e term s  involving  derivatives  u p  to the
second  order  are  retain ed:

1  -   0,

-   0,  (4.1)

[ ( ) ]  [  =   0,

where

B°  =   /?/,  C °  =   yl2.  (4.2)

M oduli  /3  an d  y  have  been  defined  by  E qs.  ( 6. 2) 4, 6  in  [4]. H en ce we  obtain

V  (  ,
^   T j^   rj+

f  ( 3
V

-

T j^   rj+1  I"  I
2
  '

r,  1  EJ_
1+ iyJ  /   '

Quantities p"  and  Y3  are  equal  to  functions  'pa  an d 'Y3  em ployed  in  [4].  I n  a  zero- order
approxim ation we  have

j>«  —  pa  | pa  |  ty  _ e^ggY3,  y 3  =   y 3  |  r]_~  *!  Y3,  (4 4)
2>r)  +  rj  ff  +  'ir)  '

The derivation  of  Eqs.  (4.1)  (which will be  called  further  quasicon tin uum  micropolar- type
equilibrium  equations)  violates  accuracy  principles  form ulated  in  [4]  where  th e  approxi-
m ation  procedure  has  been  called  consequent  provided  all  th e  term s  proportion al  to
/ ", p  ^  s, (s is fixed)  are being  retained.  I n  th e  n ext  section  an  im proved  accuracy  analy-
sis  will be  presented.  Th e approxim ation s  of  govern in g  equation s  correspon d  t o  a  certain
form  of  density  of  strain  energy  of  th e  structure.  Th us  various  approxim ation s  of  three
equilibrium equations are reflected  in the form  of  th e  one scalar  function  which  stan ds  for
the energy  of the grid.  This m eth od of error analysis  is n o t new,  th e idea  was  originated  by
Koitę r  in  th e paper  [5] pertain in g  to  th e  Kirchoff- Love  shell  th eory  an d  u p  till  n ow  it  is
often  applied  to  th e  accuracy  analysis  of  so  called  im proved  theories  describing  plate  and
shell  behaviour,  see  [6].

4. 2.  The  micropolar- type  approximation  as  a  mode 1  of  „moderate"  rotations.  The  energy  criterion,

Strain  energy  of  th e  infinite  hexagon al  grid  a m o u n t s  to  ,



P H YSI C AL  C OR R E C TN E SS  57

E
c
  = y P  J £   K®«fa*wL   «, /ff  =  1, 2, 3

m, n

where  the  h exagon 's  area  of  a  side  /   h as  been  den oted  by  P,  P  =   l.5\ / J- 12\   wa,  =   «K,
iv3  =   <p;  th e  sum m ation  has  been  im plied  over  all  m ain  nodes  which  con stitute  a  plain
(Bravais- type)  lattice  of  th e  grid.  The  values  of  <Ż ><$ functions  were  given  in  [4].  On
passing  to  fc- representation  we  arrive  at  (the proof, is  om itted  here)

d
2
k  =   4- n2- dk.d^ jP

where th e dom ain of  th e un it cell  of  the reciprocal lattice h as been denoted by  P;  a  discrete
F ourier  tran sform  of  a  discrete- argum ent  function fm  has  been  denoted  by / ( k) .  Certain
approxim ations  of  of  ^ ( k ) ,  cf.  [4], result  in  differential  models,  particularly  (as  it  will
be  shown  further)  —  in  C osserat- type  m odels.

I n troduce  dimensionless  variables  \ F " =   ua  \ L ,  where  [L ] =   m.  Let  L   =   / / e.  The
density  of  strain  energy  of  th e  grid

can be  rearran ged  to  th e  form

(4.5)

Let us  define  dim ensionless  quan tities  r  an d 6 by  m eans  of  the  formulae

T  =   / |k|,  c o s©   =   fcj/ lkl,  sin(9  =   k
2
/ \ k\ .

Within th e fourth- order  approxim ation  (with  respect  to th e powers  of  £ a)  the  coefficients
a

a
p can be  expressed  by  m ean s  of  th e following  equation s,  cf.  E qs.  (6.1) in  [4]

T 2  F   3 T 2  T 2  1
-   —£  O  +  a) +  (A +  i w- a ) c o s

2 6> - - jg- (/ «  +  a ) - —  (A +  ̂ - «) c o s
4 6>  ,an  £  i )

F  3 T 2  3 T 2

(  +  )

-   T - C O S4 0  +  sin 4©  +   2sin 2 6> c o s2 0) ] •
a

33
  =

r2

8

+   / T Ó . c o s0 ( c o s2 @- 3 si n2 0 )  L



58  T.  LEWIŃ SKI

«i8  =  ~   TJ8COS2@-   ^ ( 5 c o s 4 0 - 3 s i n4 0 - 6 c o s2 0 s i n 2 0 )  +

- 2a sin 0+ - T - T2 sin 0|  ,

T3  /   3  \ 1
- rB  s'm20  +  - jr- / 5sin20(cos26>  +  3 si n 2 0 )  +  ;'  2 a c o s@—~ r T 2 a c o s0  .

8  \   4  / J

The d m odulus has  been defined  by  (6.2)5 in  [4]. Let  Xd  m eans  a  wavelength  of  th e  defor-
m ation  pattern  in  k  direction;  X

d
  =   2^/ |k|.

Thus  the magnitude  r  is:

r  =   2nl/ X
a
 =   ~L —~  ~  3.6275- —

j / 3  A
d
  / Id

where b  =   /  j/ 3  stands for  th e spacing  of m ain n odes. F r o m now  on  th e  T quan tity  will  be
supposed  to be  less th an  one, T <  1;  this  yields  X

d
  >  3.6275  b.  Th e  param eters  r  and  e

are  interrelated  by  means  of  the  formula  r/ e  =   2TTL  jX
d
.

Let ę
0
  and «0  stand for  the absolute  values  of  th e  tran sform s  ę   an d  m ax  M"  measured

at  the fixe9  node  O  of  the grid.'The  param eter <p
0
  •   lju

0
  — (ś pol&o)

 e  determines  the rela-
tion  between  rotation  and  displacements  of  the  n ode  O.  D epen din g  upon  th e  assumed
estimates  of  value  of  this  param eter  three  types  of  equation s  describing  hexagonal  grid
behaviour  can  be  distinguished:

a)  cp
0
 ejW

0
  ~  T 2  —  the  state  (model)  of  infinitesimal  rotation s,

b)  <p
0
  E/ P

0
  ~  T  —  th e  state  (model)  of  small  rotation s,

c)  <p
0
  E ~  W

Q
  —  th e  state  (model)  of  m oderate  rotation s.

The relation a  ~  b  (which  reads:  a is  of  th e same  order  as  b)  should  be  un derstood  in
the  sense  similar  to th at used  in  the literature  devoted  t o  the  th in  shell  theories,  cf.  [5, 6].

Within  the frames  of  th e m entioned deformation  classes  differential  models  of  an  arbi-
trary  accuracy  order can be  formulated.  A  brief  analysis  of  approxim ation  of  strain  energy
density  e  in  two  cases  b)  and  c) will  be  carried  out  below.  T h e  case  a)  will  n ot  be  dealt
with  here.

Ad  b)  O n  in sert in g  $>0  ~  — y>0  in t o  (4.5)  we  h a ve

m= 0

Three first  terms  of  this  expansion  correspond  to th e  approxim ation  of  e which  yield  a  se-
cond- order  model  derived  in  [4],  Sec.  6,  E qs.  (6.1).  T h e  presen ted  derivation  provides
a  deeper  insight  into  the  assumptions  (implicitly  and  tacitly  assumed  in  [4])  which  are
a  basis  of  this  model.

On  neglecting  all  the term s  except  for  th e  two  first  ones  th e first- order  m odel,  cf.  [4],
Sec.  7,  occurs.

The  first  term  of  the  expansion  is  related  to  th e  zero- order,  asym ptotic  or  H orvay's
theory,  see  [4], Sec.  8.



P H YSI C AL  C OR R EC TN ESS  59

1  A

Ad  c)  On  substitutin g  ć j>
0
  ~  W

o
  in to  (4.5)  we  obtain

e

co

m =  0

117/   |

By  neglecting  th e  term s  of  higher  order  th an  second  (i.e.  proportion al  to  r",  p  >  2)  we

arrive  at  the  expan sion  which  correspon ds  to  the  micropolar- type  approxim ation .  Also

herein  it  can  be  poin ted  out  t h at  the  approach  presented  has  revealed  an d  elucidated

assumptions  which  con stitute  a  basis  of  th e  Cosserat- type  models  of  fine  hexagonal  net-

works.

4.3. Stability.  N ecessary  an d  sufficient  stability  condition s  of  Eqs.  (4.1)  (in  the  spirit  of
Kunin,  [7]) will  be  arrived  at .  Accordin g  to  this  definition  stability  of  equilibrium  is  satis-
fied  provided  an  energy  expressed  in  term s  of  th e wave  vector  components  k

a
  is  positive

definite.  Stability  implies  bo t h  existence  an d  uniqueness  of  solutions.
The  E qs.  (4.1)  are  stable  in  the  considered  m ean in g  when  and  only  when  the  matrix

(2(i + X)y
2
  + (p  + a)x

2
  - (2B°xy  + 2axi)Mx,y)  -

B
0
(x

2
- y

2
)- 2ayi  - (2B°x- y- 2u- x- i)  C°(x

2
+y

2
)  + 4a

is  positive  definite'for  arbitrary  x,yeR.  I t can be  shown  (cf.  [8]) th at the  above  condition

can  be reduced  t o  t h e  system  of  inequalities  involving  effective  m oduli  X, / x,  a,  B°  an d  C °

i t i > 0 Ar t > 0 A2 / a - ) -A  > 0 A

(4.6)
> 221)

+   /
By virtue  of  the definitions  (6.2) t _ 3 ,  [4], of  X, fi an d a m oduli it can be  stated  th at  a  <  p  +

+  X.  The last  con dition ( 4.6) 3 reduces  to th e  form

C°  >  C ° =   (B°)2IQ*  + a).  (4.7)

The  m oduli  X, ft  an d  «  satisfy  th e  con dition s  ( 4. 6) !_ 3  whereas  th e  inequality  (4.7)  is  n ot
fulfilled  for  real  grids.  Therefore  E qs.  (4.1)  obtain ed  by  formal  (allthough justified  in  the
previous  section)  sim plification s  of  th e  second- order  Eqs.  (6.1),  [4],  are  unstable  in  th e
meaning  of  K un in .

4.4. Strong ellipticlty.  Stron g  ellipticity  of  a  partial- differential  equation  system  implies
(see  [9])  the  solution s  featured  by  th e  properties  similar  to  those  kn own  from  a  classical
theory  of  well- established  boun dary  value  elliptic  problem s  involving  a  one function  to  be
sought.  If  boun dary  con dition s  are  admissible  th e  stron g  ellipticity  suffices  for  existence,
uniqueness  and  con tin uous  depen den ce  the  solution  u p o n  th e  boun dary  conditions.

Consider  a  correctly  supported  hexagon al  grid  plate.  Solutions  are  un ique  and  always
exist  as  it  clearly  follows  from  th e  theory  of  structures.  This  con tin uum theories  ough t  to
ensure  (apart from  specific  cases  which  are  n ot  dealt  with  here) the  solutions  t o  be  unique
that  holds  good  provided  th e m oduli  X,  p,  x,  B°  an d  C °  satosfy  the stron g  ellipticity  condi-
tion .



60 T.  LEWIŃ SKI

The  set  of  Eqs.  (4.1)  is  strongly  elliptic  when  an d  only  when  th e  m atrix

:
2
  + (fj. + <x)- y

2
  {X + ix — a)xy  B

0
(x

2
—y

2
)'

~*)- x- y  (2(A + X)y
i
  + {n + ct)x

2
  —2B°xy

B
0
(x

2
- y

2
)  - 2B°xy  c

o
(x

2
+y

2
_

is  positive  definite  for  arbitrary  x,  y  e R.  On  using  Sylvester  theorem necessary  an d  suffi-
cient  conditions  of  strong  ellipticity,  [8]

2/t +  A >  0 A/ i +  a  >  0  A

(4.8)

are  arrived  at.  Therefore  stability  implies  strong  ellipticity  con dition  so  t h at  ellipticity
analysis  does  n ot yield  additional  restrictions  im posed  on  m oduli  JB° an d  C °.  Th us  Eqs.
(4.1)  are  n ot  strongly  elliptic.

5.  Formulation  of  stable  quasicontinuum  Cosserat- type  x- modcls

5.1. Modification of the modulus C 9. I n  the  preceding  sections  instability  an d  non- ellipticity
of  Eqs.  (4.1),  which  approxim ate  difference  equilibrium  equation s  (3.4),  [4],  on  their
solutions, have  been shown.  I n order  to  construct  a  stable  system  of  equation s  (which will
be  called  a —  equations)  a  modification  of  th e  last  equation  ( 3.4) 3,  [4],  expressing
a  balance  of  moments  of  the m ain n ode i, will be  carried  out. Th e modified  equation  reads

i?3l(U 1) +  i?32(U 2) +  ̂ 3 3 ( 9 )  +  ̂ 3 ( F 1 , F 2 ,  M )  -   0,  (5.1)

where

" a  =   ( «I , «a) ,  <P -   (<PK,  V),  *  =   1, 2,  K- I,  ..„VI,
*  *  *  *  *  *  (5- 2)

F a  =   (F*, Fi,  F*,F*),  M   =   (M k,  M h,  M c,  M)

F ig.  2



P H YSI C AL  CORRECTN ESS  61

Quantities  (««,  <PK),  K  =   I,  ..., VI ,  denote displacements  of  main  nodes  surrounding  the
main  node i to  which  Eq.  (5.1)  is  referred,  cf.  F ig.  2,  (ua,  <p)  mean  displacements  in  the

i  n ode; Fj,  Ms,  J =   a,  b, c,  denote forces  and moments  subjected  to  intermediate modes
surrounding  i;  Fa,  M  stand  for  similar  quantities  referred  to the latter  node  .By  means  of
^ 3j,  &3  difference  operators  determined by  the coefficients  $ffi  and  Sty* (see  Eqs.  (3.5)
in  [4]) are denoted.

The  object  of  the modification  is  an  operator i f  3 3

f +
]/3  n  3]/ 3

vi
^  EJ

T  (5.3)

Let  the differential  expression

C^
2
cp{x°)- Au.<p{x°),  V 2  =   S !  +   a I ,  ff  =   l , 2  (5.4)

be  approximated  by  a weighted  difference  expression  S?
33

(<p)

^ 3 3 ( 9 )  =   Ą «)V|cp~ 4a«p  (5.5)

where
vi  vi

^/ \ / J,  tp^ xp+^ - p- ^ Vj.  (5.6)

The  parameter x is taken from  the interval  [0,1] hence the weighted  coefficients  are  assumed
to  be  positive.  The.  expression  <p approxim ates  th e  value  99(1)  with  an  error  of order  I 2

The  expression  V|<p approximates  the laplacian V2<p with  an error of fourth  order. Thus  th e'
RH S  of  Eq.  (5.5) approxim ates  (5.4) with  an error  of  second order.  By  equating  (5.3) with
the  R H S  of  (5.5)  two  relations  involving  C(°x)  and a are  obtained.  The first  one yield the
known  definition  (6.2) 3 ,  [4], of  th e modulus  a.  The second  one results  in ,

C ° w  =   C  +   3 ( l - x ) a /
2

^ ! ? '
  (5-7)

If x  =   1 we  have  C°
±)

  =   C °.  Thus  a simple  generalisation  of the definition  (4.3)2 is  found.
The  modulus  C°̂   (being  dependent u pon «  param eter) varies considerably  when  x  changes
its  value  from  zero  to  one.  If  x  =  1/3

EJ

r  -  c
and  thus the Wozniak- Klemm's  m odulus  C\   see  (3.3) 2,  occurs. I t is  worth mentioning that
the  modulus C, ( 3.4) 2, resulting  from  the  second  version  of  constitutive  equations,  differs
inconsiderably  from  Cft,  =   C°  provided  the  bars  are  sufficiently  slender  (rj a rj)



62  T.  LEWIŃ SKI

1/3  1/3  \   EJ
1  3  /   ~ c  ( 5 - 9 )

5.2. Stability  condition. Lower  and upper bounds of the modulus C °( ).  E xa m in e  for  wh a t  valu es  of
x  the  modified  system  of  Eqs.  (4.1)  (viz.  in  which  a  quan tity  C °  is  substituted  by  C(%)
satisfies  stability  as  well  as  ellipticity  conditions. Stability  (or  stron g  ellipticity) condition
(4.7):

implies  the domain of  variation  of  a param eter to  be  decreased  to the interval  [0, y.
s
)  being

dependent  upon  th e  slenderness  ratio r\ .
If  r/   x  i] we  can  evaluate

24 V  +  26fy+ 17  rt_  ,
T 5 F   ~  °- 7  f o r  ??  >̂ 25.

One  can  require  th e  C(°K)  m odulus  to  satisfy  inequality  (3.5) 3  resulting  from  positive  de-
term ination  of  strain  energy  expressed  in  terms  of  strain  com pon en ts y

a/ !
  an d  x

a
.

Cc°j  >  Cli,  =   (B°)
2
/

F
  (5.10)

that  decreases  the  upper  boun d  of  «:  x  e  [0,  x,,) where  ^  <  «s .  The  definition  of  xd  ex-
pressed  in  terms  of  r\   will  not  be  reported here.

The  upper  bound  of  C°
xy

 :  C°
x)
  <  C°

0)
  does n ot follow  from  physical  consideration s but

from  the  condition  of  positivity  of  weighted  coefficients  in  ( 5. 6) 2 .  Th us  th e  modulus
C°

x)
  can  vary  in  the  limits  ,

Cp°.d.  <  C{% <  C °0 )  or  C?  <  Cgo  >  Q °0 ) .  (5.11)

5.3.  K- representation interpretation of the proposed „stabilisation procedure". Remarks  on the range of
applicability  of  the micropolar- type «- models. T h e p r o p o se d  m o d ific a t io n  of  i f 3 3  o p e r a t o r  c an

be  interpreted as  an approxim ation of  the  function  P~ x.  $ 3 3 ( k )  defined  by  Eq.  (3.5) in [4],
Accuracy  analysis  of  this  approxim ation  is  outlined  below.

The  function  P ~ 1 0 3 3 ( k )  can  be  expressed  by  the  form ula

^  ^ 3 k t J )  - 1]  (5.12)

where  the relations

$  =   "4a,  - 4 . 5 ^ ' |)  =   y

have  been applied. The constants a  an d y  have been defined  by  E qs.  ( 6. 2) 3 |f i  in  [4]. Com-

ponents  of  tj  vectors  are, see  F ig.  1 in  [4]

t ,  =   ( - 0 . 5,  -   1/ 3/ 2),  t a  =   (0.5,  -   j/ 3/ 2),  Jtm  -   d ,  0) .

I t  can be  shown  th at th e function  $> 33(k) varies  alm ost  in depen den tly  of  the wave  vector
direction  provided  r  =   /  •   |k|  <  3,  th us,



P H YSI C AL  C OR R EC TN ESS 63

J ^ c o s( / j/ 3  (0,  |k|) t , )  =   2- C O S( 1.5T) +

hence

=   4 a -   9 - y[ c o s( 1 . 5 r ) - l ],

The  modification  proposed  in  Sec.  5.1  correspon ds  to  the  approxim ation

^ - ^ a s C k)  =   4oc +  y( J I ) /
2 |k|2  =   4a  +   y( K ) - r

2

where  y( J t )  =   C(°K)/ /
2,  y(i>  =   y,  Y(*i>y>  if  « s ( 0 ,  1).

F ig.  3  displays  variation s  of  the  fu n c t io n /

9  a.OL- P
0 3 3 ( k )

and  its  approxim ation  (Eq.  5.14)

1

(5.13)

(5.14)

(5.15)

(5.16)

The  diagram s  in  F ig.  3,  are  foun d  for  r\  »  rj  =   50  (///i  «  7)  th us  y/ a  =   0.6275.
As  it was  possible  t o  suspect  it  can be  stated  t h at g( 1 )  curve  yields  the best  approxima-

tion  off.  F or wave vectors  satisfying  the con dition  r  <  1.5  a relative  error  of  approxima-
tion o f/ by  g,

n
  is less t h a n 10% an d less th an 2.5% provided  x  <  1.  If  an  accuracy  analysis

is confined  to th e beh aviour  of  the  function  # 3 3 (k)  on e can conclude th at unstable  Cosserat-
- type  m odel which  em ploys  t h e  set  of  m oduli  X, fi,  a, B°,  C°

u
  approxim ates  „ rotation al

waves"  (i.e.  two- variable  con tin uous functions  in terpolatin g  rotation s  of  main  nodes)  of

lengths  Ad  =   —  >  2nl  with  some per  cent errors  only. C onsiderably  worse  result is  yielded

from  th e  set  of  m oduli  (X, fi,  a,  B°,  C°
0)
).  If  r  <  0.25  a  relative  error  approxim ation  of

/ b y  g(o) is  less  t h a n  4.7%.  T h e  latter  con dition m ean s  t h at  „ rotation al  waves"  of  lengths
X

d
  >  8nl  X  23.14  /  are  adm itted with  5% error  whereas  th e wave pattern s  of  X

d
  >  4 •   n  •   I

are related t o  18% of error. Therefore  accordin g to th e choice of  the  param eter x  e  (0, 1) the
„ rotation al wave p a t t er n s" of  len gths  X

d
  >  A(K) where  Xw  e  (6.28  /, 25.14  /)  are  admissible.

9

6

7

6

5

3

2

1

J

/

/ /

so/  /
/  /
/

0.1 0

— — - ~

ł fl  2.5

—. —L^
ii

0  3.5

F ig.  3



64  T.  LEWIŃ SKI

The above  analysis  is  somewhat  incomplete since  our  atten tion has  been focused  on the
function  $ 3 3 ( k )  only.  To  make- up  the  considerations  a  complete  analysis  of  approxima-
tions  of  all  functions  # a j 3  should  be  given.

M ention  yet  that the constant function  h(r)  =   4 supplies  a  better  approxim ation  of the
function  /   that  g

ix)
  functions  provided  ,

Y
w
/ y  >  2.  (5.17)

Therefore  x parameter cannot be to sm all; if not the carried out modification  of  #>3 3  induces
the greater  error th an  a  simple  neglect  of  the term COV29? in  ( 4. 1) 3.  I t is  easy  to  show  that
lower  boun ds  of  C °:  C°,

d
.  an d  C °  do  n ot  satisfy  (5.17),  i.e.  C°.

d
.  >  2Cf1}  =   2 •   y •   I

2
.

N evertheless  it  is  m ore  purposeful  to  retain  the  term  C°V2q>  in  (4.1) 3  th an  to  neglect  it
(and further  to eliminate rotation s q> from  Eqs, (4. l ) l f  2 ,  see  [4],  Sec. 6) in order to  formulate
well- established  stable  theory.  H owever  the  stability  is  achieved  at  the  sacrifice  of  the ap-
proximation condition.

6.  Comparison  of  Wozniak's  and  >c- raodels.
Further  remarks  on  accuracy  analysis

6.1.  Governing equations. G overning  equations  (3.1)  an d  (4.1)  have  similar  forms.  As  it
has been mentioned is  Sec. 4 both systems  of partial  differential  equations involve the same
moduli  A,  /« and a.  Qualitative  differences  distinguish  between  two  sets  of  m oduli  B  and  C;
to  this  topic  Sec.  6.4  will  be  devoted.  Essential  quan titative  differences  occur  in  functions
approximating effects  of external loads. D efinitions  (4.4) of/ ?"  an d Y3  can n ot be  rearranged
to  the  form  (3.2), viz.  Eqs.  (3.2)  do  n ot  involve  fr  bu t  their  derivatives  only.  The  latter
fact  can be  treated  as  a  shortcoming  of  the theory.  Th e  definitions  of  Y3  an d  'Y3  are  also
different.  I n the case  of  slender  rods  (Ijh  >  7, r\  >  49,  say)  'Y3  depends  inconsiderably  on

Y
3  and, if  r\   -> oo we  have  'Y3  -> Y3;  on the  other h an d in  ^- models  there  is:  Y3  - >•   Y3-

*
—0.573  provided  rj - »  oo.

6.2. Existence and uniqueness of solutions.  The  existence  and  uniqueness  of  solutions  are
ensured  by:

a)  stability  (4.6)  or  strong  ellipticity  (4.8)  conditions —  in  th e  case  of  K- models;  .
b)  positive  definiteness  of  strain  energy  expressed  in terms  of  y  and  x  tensors  (3.5)  —

in  both  approaches  due  to  Wozniak's  concept.
I t  is  worth  stressing th at the latter  condition is  stronger  t h an  the  former.

6.3.  Boundary conditions.  In Sec, 4 boun dary conditions of  ^- versions  have  n ot been formu-
lated.  H owever,  since  the  governing  equations  of  these  models  have  similar  form  t o  Woz-
niak's  equations it seems reasonable t o subject  th e solutions  t o similar  boun dary conditions,
cf.  Eqs.  (7.3)  in  [3].

6.4. Analysis of moduli B and  C, I n  the  paper  [3]  (cf.  Sec.  3  of  th e  present  work)  two  ver-
sions  of  constitutive  equations  of  Woź niak- type  models  resulting  in  different  m oduli  £
(J5V,  B")  an d  C(CV,  C A) have  been proposed.  C onsiderations based  on th e quasicontinuum



PHYSICAL  CORRECTNESS 65

approach  (Sec. 4) yield  the  one  definition  (4.3)  of  B°  and  C°. In  Sec.  5  the  one­parameter
definition "(5.7)  of  the  modulus  C°x)  has  been  derived.

Variations  of  moduli  B(g),  Q e  [0.8,  1]  (ratio  Q being  defined  by  (2.1))  are  plotted  in
Fig.  5 in  the  case  of  v  =  0,3  (so  that  rj =  r? + 3.12).  The  following  inequalities  hold  true

B\Q)<B9(S)<BV(S),  e e  [0.8,1].

Differences  between  B* and  B°  are  considerable.  If  one assumes B°  as exact  difinition  of  B
deviations  of  B* from  B°  attain  to  100% relative  error.

0.010

0.005

0.001

0.80  0.82  0.84  0.86  0.88  0.90  0.92  03U  0.96  0.98  p

Fig. 4

Consider  variations  of  moduli  C°x,(g),  C*(Q) and  dffe).  The  family  of  curves  C°x)(p)
covers the  area  between  C(°0)G>) and  C,(Q)  or  Cp.d.(e)  curves. In  Fig. 4 two  curves  C*(Q)  —
=  C(°i;3) and  C(°i;2) lieing  within the  mentioned  „admissible"  area and  a curve  C

A(@) outsi­
de  this  region  are  plotted.

0.010

0.008

0.005

0.001

V=0.3

m i

0.80 0.8& 0.8B 092 0.96 105

Fig.  5

S  Mech.  Teoret.  i  Stos.  1/85



66  T,  LEWIŃ SKI

6.5. A range of applicability  of two models due to Wozniak's  concept. An alogou sly  t o  t h e  m ethod
applied t o ^- versions,  cf.  Sec. 5.3, an accuracy  an alysis  of  t h e t wo m o d els  d u e  t o  Wozn iak's
con cept  can  be  carried  o u t :  .

i)  Wozn iak- K lem m 's  varian t .  ,  ,
E xam in e  approxim at ion s  of  fun ction s  $ a p ( k)  (see  [4])  co rresp o n d in g  t o  E qs.  (3.1)  of

I  version  in  which  m oduli  A,  / J,,  oc, B'  a n d C " are  em ployed.  An  an alysis  will  be  restricted to
&

3k
  an d  S

k3
  (k  -   1, 2,  3)  fun ction s  ap p ro xim at io n s  of  wh ich  are  n on - trivial  i.e.  d o  not

result from  neglect  of  h igh er  order t erm s in t h e expan sion s  (5.2),  [4]. By virt u e  of  an equality
0

3k
  =   0

k3
  it  is  sufficient  t o  an alyse  t h ree  fun ction s  &

k3
,  k  =   1, 2,  3,  on ly.

Approxim ation  an alysis  of  $ 3 3 ( k )  ou t lin ed in  Sec.  5.3  m akes  it  possible  t o  evaluate the
errors  of  appro xim at io n  of  t h is  fun ction  in du ced  by  Wo zn ia k's  m o d els.  N am ely,  bearing
in  m in d t h at E q.  (5.8) h o ld s  good,  a n  an alysis  of  a p p r o xim a t io n  by  t h e I  m o d el  reduces to
t h e  analysis  of  th e case  of  %  —  1/ 3.  A  curve  g a , 3 )  is  displayed  in  F ig.  3.  O n  assum in g  t h e /
fun ction  to be  appro xim at ed by  g( i / 3 )  with  a  12% er r o r  a  qu an t it y  A(x)  (cf.  Sec. 5.3) am oun ts
t o  X

iU3)
  =  4- 7i- l  x.1.26b.  T h u s  on ly  sm o o t h regu lar  lon g  „ r o t a t io n a l waves"  q>  of  X

d
  >

>  A(1/ 3)  m ay  be  adm it t ed .
C on sider  a  fun ction  <Z>t  3 ( k )  an d  its  a p p r o xim a t io n  r ela t ed  t o  t h e  I  version .  F irst  few

term s  of  &i  3  written  out  explicitly  read,

P-
1
—S

13
(k)  s  —  T 2 c o s 2 6 > - - ^ - ( c o s4 @- 3 s i n4 0 - 6 c o s2 0 s i n 2 0 )  +   (6.1)

where  (ace.  t o  n otation s  in troduced  in  Sec.  4.2)  /  •   k  =   x  (cos  6,  sin  &)  whereas  the  follo-

wing expression

i 5 - 1 —0 i 3 ( k )  ss  i —T
2 c o s2 0 - 2 i T si n < 9,  / Sv  =   B" II  (6.2)

a  a  i

corresponds  to the first  (I ) version. The  approxim ation  errors  being induced by  (6.2)  depend
considerably  upon  the  wave  vector  direction  an d  attain  the  greatest  values  when  k

2
  =   0.

One  can show th at  if  lattice  bars  are  slender  (rj  >  50,  say)  a relative  error  of  evaluation  of
absolute  values  of  complex  function  &

13
  is  n ot  less  t h an  15%  for  arbitrary  k

x
  >  0  and

am oun ts  to  17%  if  cos  0  =   0.25.  Th us  n o  m atter  how  the  functions  M" an d  99 are  regular
approxim ation  errors  of  | 0 1 3 |  are  at  least  about  15%.  I n  th e  case  of  k x  =   0  the  errors
induced  by  (6.2)  are less t h an  in th e previous case and  ten d  to  zero  provided k

2
  - *•   0.  Defor-

m ations  of  k  — (0,  k
2
)  direction  an d  of  wavelengths  %

d
 j>  &nl  are  associated  with  4.6%

error  of  evaluating  of  \ &i
3
\ ,  an d  if  X

d
  >  Anl  the  errors  in crease  t o  15%.

Consider  the errors  of  evaluating  of  | ^ 2 3 ( k ) | .  The first  few  term s  of  &23  are

O C . J

(6.3)



P H YSI C AL  C ORREC TN ESS  67

E quation s  of  the  (I)  version  result  from  th e  approxim ation

.  (6- 4)

If  k
x
  =  0  the  approxim ation  errors  vanish.  F o r k

2
  =  0 &  wavelength  8 •   nl  corresponds  to

2.2%  error  of  evaluatin g  of  |< P as|j  if  h  -   4rc/  an  error  am oun ts  to  8.5%,  I n  th e  case  of
k

x
  =  k

2
  (©  =   n/ A)  wavelengths  A,, >  &nl correspon d  t o  5%  error,  and  if  X<i  >  Ant—  to

15%  error.

The  above  analysis  proves  t h at  approxim ation  errors  of  \ 0
ki
\ ,  k  =   1, 2, 3,  are  of  th e

same  order  (12%—15%)  in  th e  case  of  wavelengths  Xj  >  Anl.
ii)  Varian t  I I .

I n this version  approxim ation  of  | $ 3 3 | is considerably  better th an in the first  (1) version.
A  curve  g

g(r)  -   - ^ jS
33

(k)  =  4+  ^ T \   y  =   Ć JP

'• ''- ,"'  '  4

approxim ates  the fun ction / (cf.  F ig. 5.2) with  an error of  12% provided  X
d
  >  - ~nl  »  2.42b,

an d  with  3.2%  error  for  X
d
  >  2nl.

C on sider  &
13

  fun ction .  Accordin g  to  th e  wave  vector  direction  a  relative  error  of
evaluatin g  of  \ $

13
\   is  less  or  great  th an  th at in duced  by  Klemm- Wozniak's  equations. I n

the  case  of  k
l
  — 0,  k

2
  >  0  an  error  of  9%  is  associated  with  deformations  of  wavelengths

li  >  4-   jil  (in  I  ve r sio n —  15%).  Th e  error  decreases  t o  0%  provided  k 2  - +  0.  Assume
t h at  k

t
  >  0, k

2
  =  0.  If  k

t
  - > 0  the error  tends to 43% an d decreases  (what is  a paradox)  to

17% for  X4 =  2nl.  I n t h e c a se / o f  k
L
  =   k

2
  th e errors  induced by  both  (I) and  (II) versions

are  iden tical.

C on sider  approxim ation s  of  |<P 23Ok)|. I n both  cases:  k x  =   0, k 2  >  0  and  k t>  0, k 2  — 0
th e  errors  are  equal  t o  th ose  in duced  by  the  I  version :  2.2%  for  A,,  >  8sr/   an d  8.5%  if
la  >  Anl.  I n th e case  of  k

x
  =   k

2
  an  approxim ation  error  of  \ $

23
\   is equal  to  16.5%  provi-

ded  X
d
  >  8?r/  th us  it  is  greater  t h an in th e I version  where  this  error  is  about  5%.

Therefore  approxim ation  errors  of  \ <P
3k

\   h esitate:  from  inconsiderable  errors  induced
by  th e  approxim ation  of  | $ 3 3 |  t o  essential  errors  related  to  <P13  in  the  particular  case  of
k

2
  =   0.  N ot e  t h at  in  th e  case  of  deform ation s  relevan t  t o  the  vector  k  =   (0, k

2
),  displa- '

cement  waves  of  X
d
  >  Anl  correspon d  t o  10%  errors  what  is  rather  a  small  value  if  one

takes  in to  accoun t  t h at a wavelength  l
A
d  min  =   Anl  is  relatively  sh ort  with  respect  to  the

in tern ode  distan ce.  D isplacem en t  waves  of  th e  direction  k  =   (k
lt
  0)  are  related  to  the

errors  of  about  40%.  Th us  th e  I I  varian t  is  characterized  by  the  lack  of  symmetry  of
approxim ation s;  direction s  k

t
  an d  k

2
  are  n ot  equivalent  here.

7.  Concluding remarks

Th ree  C osserat- type  m odels  for  fine  hexagonal  grids  have  been  analysed:

i)  warian t  I  (due  t o  Woź n iak  an d  Klem m )  involving  m oduli  X, JJL ,  a,  B  an d  C .

ii)  warian t  I I in which  m oduli  X, fi,  a, B  an d  C are em ployed  ...,- .,,4,\   ,.„   •   •



68  T.  LEWIŃ SKI

iii)  *- models  with  m oduli  X, fi,  a,  B°  an d  C°
K)

,  « e [ 0 ,  x
s
).

I n  order  t o  estimate  ranges  of  applicability  of  the  m en tion ed models  approxim ation
errors  of  $ 3 p  an d  $>p3,  ft  —  1, 2, 3,  induced  by  each  approach ,  have  been  examined.

Ad  i)  I t  has  been  shown  th at  approxim ation  errors  of  \ <P
k3

\   are  equal  t o  ~  15%  for
deformation  pattern s  of  wavelengths  Ad  >  4nl.  Th is  value  of  errors  results  from  the,
approxim ation  of  all  of  th e  functions  &

k3
,  k  =   1, 2, 3

Ad ii)  The considerable  approxim ation  errors  pertain  to  the  functions  <Z>a3,  a  =   1,2
These  errors  depend  upon  the  wave  vector  direction .  T o  wave  deform ation  pattern s  of
k  =   (fcj,  0)  a  40%  error  of  evaluation  of  \ 0

13
\   is  related

Ad  iii)  The  essential  errors  occur  in  approxim ation  of  th e  function  &
33

  an d  strongly
depend on a choice of  a param eter x.  I n th e limiti  ng case  of  x  =  0  an  18%  error is  related
to  rotation al wave pattern s of  kt  >  4nl  whereas  if  x  —  1/3  an  an alogous  error  is  equal  to
12%.

The presented  error  analysis  is  obviously  simplified  since  n o relation s between  resulting
errors of the sought  functions  if  and <p and errors of  approxim ation s  imposed  on  functions

. &>u(k) have been given. N evertheless  the proposed  accuracy  analysis  allows us to  formulate
the following  rem arks.

1.  I t  is  impossible  to  suspect  which  of  the  versions  considered  (i  +   iii)  induces  the
greatest  errors  of  evaluating  displacements  u1  an d  w2  whereas  it  is  almost  apparen t  that
the  (ii)  version  should  yield  th e  best  evaluation  of  n o d al  rotation s (p.

2.  The unstable  varian t  x  —  1 (iii) can be employed for  exam in in g local effects  resulting
for  instance  from  an  influence  of  con cen trated n odal  loads.

3.  The  version  (iii)  allows  us  to  consider  an  effect  of  changes  of  the  param eter  x  on
solutions  of  boun dary  value  problem s.  C om putation s  perform ed  for  several  values  of
H e  (0, xs)  yield results  which  are  divisible  in to two  groups  (a)  an d  (b). Results  of  (a) type
are  stable  with  respect  t o  variations  of  «  whereas  th e  (b)- results  do  n ot  satisfy  th e  latter
condition.  Apart  from  this,  a  zero- order  H orvay's  asym ptotic  m odel  (see  [4])  involving
displacements  u1,  u2  only,  can be  employed.  Results  of  (a) type  vary  inconsiderably  thus
only  these results  are reliable.  N evertheless  results  of  (b) type  are  of  great  interest,  because
despite the fact  th at their values  are evaluated  incorrectly,  valuable  qualitative  information
is  obtained.  I n  cases  of  simple  states  of  stress,  to  (a)  group  displacements  belong  while
rotation s  belong  to  (b)  group.

The  remarks  formulated  above  are  confirmed  in  [10]  in  th e  specific  case  of  infinitely
long  grid  strip  of  hexagonal  structure  subjected  to  lon gitudin al  forces.  Specifically,  the
rem ark  1 occured to  be  accurate; allthough  approxim ation s  of  n odal rotation s are  charged
with  errors,  the  I I  version  seems  to  induce  the  smallest  ones.  N onetheless  it  should  be
poin ted out here th at the Cosserat- type  models provide  th e description qualitatively  correct,
particularly  the  altern ate  vanishing  variation  of  rotation s  of  m ain  and  interm ediate no-
des  lieing  along  the  lines  perpendicular  t o  the  strip's  h orizon tal  axis  being  successfully
predicted.

References

1.  W.  N OWACKI, T heory of  unsymmetrical elasticity  (in Polish),  PWN , Warsaw  1981.
2.  Cz.  WoŻ NiAK, L attice- type  shells  and plates  (in  Polish), PWN , Warsaw  1970.



P H YSI C AL  CORRECTN ESS  69

3.  T.  LEWIŃ SKI,  T W O versions  of  W oiniak's  continuum  model of  hexagonal- type grid plates, Mech. Teoret.
'  Stos., 23, 3/4,  1984.

4.  T.  LEWIŃ SKI, Differential models  of  hexagonal- type grid plates, Mech. Teoret. Stos., 22,  3/ 4,  1984.
5.  W. T. KOITER,  A  consistent first  approximation  in the general theory of  thin elastic shells,  Proc. IU TAM

Symp.  Theory  of  thin  shells,  D elft  1959;  N orth  H olland  P.  C o., Amsterdam  1960,  pp.  12 -  33.
6.  W.  PIETRASZKIEWICZ, Finite rotations and L agrangean description in the non- linear theory of shells,  PWN

Warsaw- Poznań  1979.
7.  I . A.  K.UNIN, T heory of  elastic media with microstructure  (in Russian)  N auka, Moscow  1975.
8.  T.  LEWIŃ SKI,  Continuum  models of  lattice- type hexagonal plates, (in Polish), D octor's  thesis, Technical

U niversity  of  Warsaw  1983.
9.  M. T. VISIK, On strongly elliptic systems of differential equations  (in Russian), M at. Sb., 29, (71),  3,1951.

10.  T.  LEWIŃ SKI,  T he state of  extension  of  honeycomb grid strip, Mech. Teoret. Stos., 23, 2,1985.

P  e 3 w  M  e

AH AJI H 3  <J>H 3H raECKOH   n P ABH JI BH OC TH   M OflEJI Etf  THETA  KOCCEPATOB
C E T ^ AT L I X  T E K C ArO H AJI LH tlX  riJI AC TH H OK

B  pa6oTe  pacaviaTpHBaeTCH   npo6jiei«a  4>H3irqeci<OH   KoppeKTHOCTH   MHKponoJiHpHoit  MOflejiH
rei<carOH aJibH bix  ruiHCTHHOK.  TIpoaH ajiH 3H poBaH bi  TpH  BapnaH Ta  TaKnx  TeopH ft:  RBe  Bepciffl
B03HHKa  H  nceBflOKOHTHHyaJIbHŁie  x- MOflCJIH   nOJiytleH H   nyTCM  COOTBeTCTByiOIHHX  MOflI«J)HKamiH

ypaBH enirii  P oryjiH   —  K yu n H a.
Yn p yr n e  CBOHCTBa pemeTKH  onpefleJiH ioicn  n p n  noMoiuH   acbcbei- ciHBHbix  Moflyjieii  A,  ft,  a,  B  H   C .

llepBbie  Tpa KOHcraHTbi  onpeflejieH bi  oflHO3Ha^HO,  B  TO BpeMH   I O K  3:M m < pon on 3pH bie"  MOflyxm  B  H   C
3a6ncHT  OT Bbt6opa  BapHaHTa  MCTORa  KOHTKHyaJihHoft  onHCH  peme'TKH.  KpoMe  T oro ,  aHami3HpóBaHHbie

6pa3om  y<jHTWBaioT  BJIH H H H C  H arpy30K  B  „ nocpeflCTBeH H bix"  y3n ax  KOHCTpyKUHH.
BepcHH   onHCH   Tun a  KoccepaTOB  OTseMaeT  neKoiopaH ,aH npoKCH Mai(H H   (byHKL(nH   &

a
p(fs)

B  oKpecTHocTH   K =   0.  IIpeflCTaBJieH   an ajm a  npn6jiH>KeHHH   Tex (byHKL(HH  c  noM omio  KOToporo  tbopniy-
jinpyioTCH   rn n oTe3bi  KacaiouniecH   rpaH im  npHMeHemiH  flH dpdpepeimH H jibH bix MOfleneft.

S t r e s z c z e n i e

AN ALIZA  F I Z YC Z N EJ  POPRAWN OŚ CI  M OD ELI  TYPU   COSSERATÓW
PRĘ TOWYCH   TARCZ  H EKSAG ON ALN YCH

W  pracy  podję to  problem  fizycznej  poprawnoś ci  modelu  mikropolarnego  prę towej  tarczy  heksago-
nalnej. D okonano analizy  trzech wariantów  teorii wykorzystują cej  ten model: dwie wersje  teorii  Woź niaka
oraz  pseudokontynualne  x  —  modele  otrzymane  drogą   modyfikacji  równań  Roguli  i Kunina.

Wł aś ciwoś ci  siatki  są   okreś lone  za pomocą   moduł ów zastę pczych  A, fi,  a, B  i C. Pierwsze  trzy  stał e  są
jednoznacznie  okreś lone,  podczas  gdy  moduł y „ m ikropolarn e" B  i  C zależą   od  wyboru  wariantu  metody
kontynualnego  opisu  tarczy.  P on adto analizowane  wersje  w  róż ny  sposób  uwzglę dniają   obcią ż enia  przy-
ł oż one do wę zł ów  poś rednich.

Każ dej  wersji  opisu  typu  Cosseratów  odpowiada  pewna  aproksymacja  funkcji  <P
a
p(M)  w  otoczeniu

k  =   0.  Przeprowadzono  analizę   aproksymacji  tych  funkcji  i  na jej  podstawie  sformuł owano  hipotezy  do-
tyczą ce  obszarów  stosowalnoś ci  omawianych  modeli  róż niczkowych.

Praca został a zł oż ona  w Redakcji  dnia 19 wrześ nia  1983 roku