Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z1.pdf M E C H AN I K A TE OR E TYC Z N A I  STOSOWAN A 1,  23  (1985) WPŁYW  GRUBOŚ CI  NA  NOŚ NOŚĆ  GRANICZNĄ   I  STAN  ODKSZTAŁCENIA PŁASKICH  ELEMENTÓW  Z  KARBAMI  PROSTOKĄ TNYMI O  RÓŻ NEJ  OSTROŚ CI JÓZEF   MlASTKOWSKI Instytut  Podstawowych Problemów  T echniki  PAN W arszawa 1.  Wprowadzenie Z n aczn a liczba elem en tów m aszyn  i konstrukcji  inż ynierskich  m a postać pł askich  prę tów osł abionych  karbam i.  Karby  te  są   przyczyną   koncentracji  naprę ż eń,  które  mogą   znacznie przewyż szać  ś rednią   wartość  n aprę ż eń  obliczonych  jako  iloraz  sił y  przez  pole  przekroju poprzecznego. Przy  obcią ż eniach  quasi- statycznych  okreś lenie  rozkł adu  n aprę ż eń  i  teoretycznej  noś- noś ci  granicznej  pł askich  elem en tów  z  karbam i  jest  moż liwe  w  dwóch  skrajnych  przypad- kach, a mianowicie,  dla  pł askiego  stan u  odkształ cen ia i dla  pł askiego  stanu naprę ż enia. Rozwią zanie  kom pletn e  dla  pł askiego  stan u  odkształ cenia jest  moż liwe,  o ile  stosunek czę ś ci  poza  karbem  2c  do  przewę ż enia  2h  (rys.  lb)  jest  n a  tyle  duż y,  że pole  linii  poś lizgu leży  cał kowicie wewną trz  ko n t u ru prę ta  [1, 2]. Jeż eli jedn ak  wartość  param etru x  =   c/A jest mniejsza  od  wartoś ci  wynikają cej  z  przedł uż enia  siatki  linii  poś lizgu  w  obszar  sztywny (rys.  2), moż liwe  jest jedyn ie  oszacowanie  górnej  i  dolnej  oceny  noś noś ci  granicznej. W  rzeczywistych  kon strukcjach  wystę pują   czę sto  elementy,  których  grubość  (wymiar 2b na rys.  1) nie jest  n a tyle  m ał a,  aby  powstał  pł aski stan naprę ż enia, ani n a tyle  duż a,  aby powstał   pł aski  stan  odkształ cen ia.  Powstaje  wówczas  waż ny  problem ,  kiedy  teoretyczne schematy  pł askiego  stan u  n aprę ż en ia i pł askiego  stan u  odkształ cenia mogą   stanowić  dobre przybliż enie  rzeczywistych  warun ków  panują cych  w  elementach  o  poś redniej  gruboś ci. P róba  teoretycznej  analizy  tego  zagadn ien ia,  polegają ca  n a  doborze  odpowiednich  pól kinemalycznie  lub  statycznie  dopuszczalnych,  może dać jedynie  przybliż oną   ocenę   wielkoś ci 2b, niezbę dnej  dla powstan ia  stan u zbliż onego  do pł askiego stan u  odkształ cenia. Cał kowicie pewne  informacje  m ogą   być  uzyskan e  jedyn ie  w  sposób  doś wiadczalny! W.  S.  Ż ukowski  [4,  5,  6]  wykazał ,  że  w  prę tach  stalowych  z  karbam i  ką towymi  stan odkształ cenia  zbliż ony  jest  do  pł askiego  dla  stosun ku  b/ h  >  4. W  pracy  W.  Szczepiń skiego  i  J.  M iastkowskiego  [7] wartość  stosunku  b/ h jest  wię ksza od 2 w prę tach stalowych  z  karbam i  prostoką tn ymi  o zaokrą glonych  naroż ach. W  pracy  W.  N .  F in dleya  i  D .  C .  D ruckera  [8] wartość  stosun ku  b\ h  =   7  dla  pł askich prę tów  aluminiowych  oraz  b/ h  =   4  dla  próbek  stalowych  osł abionych  odpowiednio  na- cię ciami  ką towymi  i  prostoką tn ymi  z  zaokrą glon ymi  n aroż am i. a) \   \ \   \ \ \   V\ \ Ml \ \ t 40 M at e r i ał Lic zb a próbek 2hir[ mm] x  =  c/h PA 2 (Al  Mg  2 ) 45 6,6 5,9 b) - 50- - 110- — 2 h - - 2 2 0- Rys.  1 2c=40- T • 20- 0  Q2  04  0.6  0 8  '  TO  1 [ 72] P Ł ASK I E  ELEM EN TY  Z  KARBAM I  -   73 W pracy au t o ra  [9] stwierdzon o, że w prę tach ze stopu alum inium , osł abionych karbami ką towymi,  pł aski  stan  odkształ cen ia  praktyczn ie  realizuje  się   już  dla  stosunku  b/ h  >  3. Z  przytoczonego  przeglą du  prac  wynika  duża  róż n orodn ość  ocen  wartoś ci  granicznej param etru  A =   b/ h, którą   dla celów  praktycznych  m oż na z dobrym przybliż eniem  przyjmo- wać  za  począ tek  realizowan ia  się   w  elem entach z  karbam i  pł askiego  stan u odkształ cenia. Podstawową   przyczyną   tej  rozbież noś ci jest t o , ż e% pracach tych badan ia przeprowadzane był y  w  sposób  wycinkowy  i  fragmentaryczny.  Wyniki  te  wię c nie  dają   podstaw  do  uogól- nień, zwł aszcza,  że bad an ia przeprowadzan o  n a próbkach wykonanych  z róż nych materia- ł ów  i  osł abionych karbam i  o  odm iennych  konfiguracjach. P róbę   wyjaś nienia  tego  zagadn ien ia  podją ł   autor  w  pracy  [10]  w  oparciu  o  badania pł askich  elementów wykon an ych  z  dwóch  róż nych  stopów  aluminium i osł abionych karba- mi  okrą gł ymi  o  róż nej  ostroś ci.  Stwierdzon o, że  w  przypadku  karbu  okrą gł ego, graniczna wartość  stosun ku  gruboś ci  do  przewę ż enia,  powyż ej  której  w  elemencie powstają   warunki pł askiego stanu odkształ cen ia, wah a  się   od 2 do 7,5. Wartość ta zależy  od rodzaju  materiał u i  od  ostroś ci  karbu.  W  ś wietle  tych  wyników  ł atwiej  zrozumieć  spotykaną   w  literaturze róż n orodn ość  ocen  granicznej  wartoś ci  param etru  A =   h/ h. W  prezentowanej  pracy  zaję to  się   pokrewnym  zagadnieniem,  a  mianowicie  podję to próbę   okreś lenia  warun ków  powstawan ia  pł askiego  stan u  odkształ cenia  w  elementach osł abionych  karbam i  prostoką tn ymi  o  róż nej  ostroś ci. 2.  Rozwią zanie  sztywno- plastyczne  dla  pł askiego  stanu  odkształcenia Teoria  stan u  n aprę ż en ia  i  odkształ cen ia  w  pł askim  prę cie  osł abionym  obustronnie symetrycznymi  wycię ciami  i  poddan ym  rozcią ganiu  jest  oparta  n a  zał oż eniu,  że  panuje w  n im pł aski stan  odkształ cen ia. Teoretycznie nastą pi  t o  wtedy,  gdy  stosunek  bjh  (rys.  lb) dą ży  do n ieskoń czon oś ci. Jedn akż e, ja k wykazują   wyniki badań doś wiadczalnych,  rozwią za- nia  dla  pł askiego  stan u  odkształ cen ia mają   praktyczne znaczenie już  przy  gruboś ci  b  kilka- krotn ie  przewyż szają cej  charakterystyczny  wymiar  h.  Okreś lenie  wię c  n a  drodze  ekspery- m entalnej,  kiedy  teoretyczn e schematy  pł askiego  stan u  odkształ cenia mogą   stanowić  dobre przybliż enie  rzeczywistych  warun ków,  stanowi  istotn y  problem  naukowy.  Jest  to  o  tyle waż ne, że  w  wielu  rzeczywistych  kon strukcjach  wystę pują   elementy  o  skoń czonej  wartoś ci stosunku  bjh. Wyznaczenie  obcią ż enia  granicznego  elementów osł abionych symetrycznymi nacię ciami o dowolnym kształ cie o part e jest n a zał oż eniu, że cał y najwę ż szy  przekrój ulegnie uplastycz- nieniu.  Stan n aprę ż en ia w  są siedztwie  brzegu  jest  wówczas  zależ ny jedynie  od  istnieją cych na  nim  warun ków.  K o n t u r  karbu jest  brzegiem  swobodnym,  a  wię c warunki  brzegowe  są n a  nim  jedn ozn aczn ie  okreś lon e.  Rozwią zując  zagadnienie  brzegowe  C auchy'ego  m oż na wyznaczyć  z  obu  st ron  symetryczne  siatki  linii  poś lizgu  do  osi  prę ta  (wstawka  n a  rys.  2). M etoda  p o d an a  przez  R.  H illa  [11]  pozwala  obliczyć  w  sposób  numeryczny  rozkł ad  na- prę ż eń i n oś n ość graniczną   dla dowoln ego kształ tu karbu  [2]. An aliza  teoretyczna wykazuje, że n aprę ż en ia n orm aln e n a  osi  próbki  z  karbam i  są   znacznie wię ksze od naprę ż eń równych granicy  plastycznoś ci  m ateriał u  gdzie  Pmax jest  najwię kszą   sił ą   rozcią gają cą   próbkę   z  karbem . Otrzymane  wartoś ci  a*i i  er* był y  podstawą   do  sporzą dzenia  wykresów  tych  wielkoś ci w  funkcji  gruboś ci  X =   b/ h.  Wykresy  te  wyznaczono  dla  pię ciu  grup  próbek,  a  wię c  dla wszystkich  pię ciu  wartoś ci  param etru  $• —  e/ h  charakteryzują cych  ostrość  karbu.  N a  rys. 5 i 6 podan o przykł adowo przebieg  tych wykresów  dla  dwóch  wartoś ci  (i. Rozpatrzmy teraz przebieg  wykresu  c*, n a rys.  5. Widać  wyraź nie,  że  zależ ność  ta  ma począ tkowo  przebieg  krzywoliniowy,  a nastę pnie przechodzi w  prostolin iowa  fazę   ustabili- zowaną .  P rostoliniowa  czę ść  wykresu  bierze  począ tek  w  pun kcie  przecię cia  z  przerywaną linią   o równaniu  I  =   4,8. Oznacza t o , że  od wartoś ci  X  =   4,8  przyrost  gruboś ci  próbki nie m a wpł ywu  n a wielkość  granicy  plastycznoś ci.  M o ż n na wię c  uważ ać,  że w  rozpatrywanym przypadku  dla  X ^  4,8  w  elemencie  realizuje  się   stan  odkształ cenia bliski  pł askiemu. Tę wartość  param etru  X, od  której  bierze  począ tek  prostolin iowa  faza  wykresu  or*,,  nazwano wartoś cią   graniczną  i oznaczono przez X ei .  W podobn y sposób  okreś lono wartoś ci  graniczne param etru  X tI   dla  pozostał ych grup  próbek,  osł abionych karbam i  o  innej  ostroś ci.  D rugi taki  przykł ad podan o n a  rys.  6. W  tym  przypadku  Agr  =•   5,6.  P rzebieg  pozostał ych wykre- sów podan o w postaci zależ noś ci współ czynnika zwię kszenia  n oś n oś ci gran iczn ej/ w  funkcji gruboś ci  X =  b/ h (rys.  7). Z rys.  7 wynika,  że najszybciej  stabilizuje  się  wykres  odpowiada- ją cy  karbom  o najwię kszej  ostroś ci. W  elementach osł abionych nacię ciami ł agodnym i,  stan graniczny  pojawia  się   znacznie  póź niej,  a  wię c  dla  wię kszych  gruboś ci. P Ł ASK I E  ELEM EN TY  Z  KARBAM I 77 R ys.  5 300 2 200 100 °PL-   ' n  = 0,509 ,   ' 3,5 C —0   1 5,6 — ffJ«241,0_ ffpir=175,0 Rys.  6 Obok wykresów  odpowiadają cych  granicy  plastycznoś ci  o1*,, dla  wszystkich  pię ciu  grup próbek  sporzą dzono  także  wykresy  wytrzymał oś ci  n a  rozcią ganie  KyKOBCiKyiKyiTaTbi  3KcnepH Meirra.jiLH oro  nccjie,noBaHHH   BJ I I M H J M   TOJU H KH H   o6pa3ua  c  n p a - MoyrojiEHMM   Ha,Kpe3OM   pasiumnoii  reoMexpH H   Ha e r o  H ecymyio  cn oco6n ocT t . On peflejien bi  npefleJiŁH we  TOJU ITH H BI  CTepWHeft,  n p n  KOTopwx  peajmayeTCH   imocKoe  fle(J)opM H po- BaHHoe  cocTOH ime. S u m m a r y TH E  I N F LU E N C E  OF   TH E  TH I C KN ESS  ON   TH E  YI ELD   LOAD   O F   ELEM EN TS  WITH A  R EC TAN G U LAR  N OTCH   OF  VARIOU S  G EOM ETRY The  influence  of  the thickness  on the yield  load  of  elements  with  a  rectangular  notch  of  various geometry  was tested. The limit values of the thickness for which practically  the plane state  of  strain  OCCUTS were determined. Praca został a zł oż ona w Redakcji  dnia 22 listopada  1983 roku