Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z1.pdf M E C H AN I K A TE OR E TYC Z N A I  STOSOWAN A 1,  23  (1985) GRANICZNE  ZAGADNIENIA  ODWROTNE  DLA  RÓWNANIA  FALOWEGO KR Z YSZ TOF   G R YSA Politechnika Poznań ska Wstę p R ówn an ie  falowe  był o  wielokrotn ie  rozważ ane  w  literaturze  naukowej  ze  wzglę du  n a rozliczne jego  zastosowan ia.  G ł ówn ie bad an o je  pod  ką tem  znalezienia  rozwią zań  zagad- nień  począ tkowych  bą dź  począ tkowo- brzegowych. Tak  zwane  zagadn ien ia  odwrotn e  dla  równ an ia  falowego  zaczę to  badać  stosunkowo niedawno.  P rzez  takie  zagadn ien ia  rozum ian o  przy  tym  róż nego  typu  problemy,  m.in. —  zagadn ien ia wyzn aczan ia nieznanych, stał ych lub zmiennych współ czynników w rów- naniach, —  zagadnienie  identyfikacji  funkcji  opisują cej  ź ródła  zaburzeń, —  zagadn ien ia  identyfikacji  obcią ż eń  brzegu  obszaru  (tzw.  graniczne  zagadnienia odwrotne) i  in n e. W  odróż n ien iu  od  n ich zagadn ien ia  począ tkowo- brzegowe  zwykł o  się   nazywać  zagad- nieniami  prostym i  lu b  bezpoś redn im i,  [10]. P race  poś wię cone  zagadn ien iom  odwrotn ym  dla  równ an ia  falowego  spotyka  się   w  li- teraturze  stosun kowo  rzadko .  R ozważ ane  są   gł ównie zagadnienia jednowymiarowe,  wś ród których —  wg  rozezn an ia  au t o ra —  nieliczne  są   prace  dotyczą ce  granicznych  zagadnień odwrotnych. I stotą  tego  typu zagadn ień jest poszukiwan ie  warun ków  panują cych  wewną trz i  na  brzegu  rozważ an ego  obszaru  n a  podstawie  tzw.  wewnę trznych  odpowiedzi  przy  zna- nych  warun kach  począ tkowych.  Wewnę trzne  odpowiedzi  są   przy  tym  znane  na  pewnej powierzchni  (krzywej,  zbiorze  pun któw  izolowanych —  zależ nie  od tego, czy  rozpatrujemy zagadnienie  trój- ,  dwu-   czy jedn owym iarowe)  wewną trz  rozważ anego  obszaru,  przy  czym mogą   to  być  przemieszczenia,  prę dkoś ci  lub  in n e  wielkoś ci. W  pracy  niniejszej  rozważ ane  są   wielowymiarowe  graniczne zagadnienia  odwrotne  dla równ an ia  falowego.  N a podstawie  teorii potencjał ów wprowadzon o  reprezentacje cał kowe rozwią zań  pewnych zagadn ień prostych, a n astę pn ie sformuł owano równ an ia cał kowe, poz- walają ce  rozwią zywać  zagadn ien ia  odwrotn e.  Są   to  równ an ia  n a  gę stość  potencjał u opóź- nionego  warstwy  pojedynczej.  R ówn an ia  t e  wykorzystano  przy  rozwią zywaniu  trzech jed- nowymiarowych  zagadn ień  odwrotn ych,  dla  których  wyznaczono  rozwią zania  ś cisł e. 6  M ech.  Teoret.  i  Stos.  1/85 82  K.  G RYSA 1.  Potencjał y  opóź nione Rozważ my równanie  falowe -   4 r  - £- -) u(x, t)  =  -  - i / (X ] o, (x, o e o x r,  (i) gdzie  42 jest  pewnym  obszarem  regularnym  o  brzegu  kawał kami gł adkim. £? <=   i?1", gdzie E m  jest  w- wymiarową  przestrzenią  euklidesową;  m  =  1,  2, 3. P on adto  c  =   const  > 0 jest prę dkoś cią falową,  «(x,  t) jest funkcją  klasy C2a  naQxT ,  gdzie T   =   (0, t 0 ), t 0   <   +  oo, oraz/ (x,  t)  jest  lokalnie  cał kowalna n a  Qx  T . Jeś li  poł oż ymy f(x,  t) =   6(t)6(x- y),  (x,  t)eEmxT ,  yeEm,  wówczas  rozwią zanie równania  (1) otrzymujemy  w postaci  (por.  [1], §  9.13,  [2], §  5.9): 4nrc z rj(t- rlc) gd y x , y e £ 2 ,  (2) i v ( t - r j e)  gdy  x,  y e E \   teT , gdzie  4 ( ") J e s t dystrybucją  delta D iraca, r =  ]x—y|,  a ^ ( - )  jest  funkcją  H eaviside'a. Funk- kcję  V(x- y,  t)  nazywamy  rozwią zaniem podstawowym  równania (1). Wykorzystując  rozwią zanie  podstawowe  wprowadza  się  potencjał y  opóź nione,  które tutaj  zapiszemy  w  postaci  cał ek  ze  splotów  rozwią zania  podstawowego  i  odpowiednich gę stoś ci. Potencjał em  opóź nionym warstwy  pojedynczej  nazywamy  cał kę W S{x,t\ H)  =   c 2  J > ( x - £,  t)*H(S,t)dS{C),  (k,  t)eEmxT ,  .  (3) ta gdzie gę stość  potencjał u,  H(C,7), jest  funkcją  klasy  C 0 > 2  n a  8'Q x  T , 8Q  jest  brzegiem  ob- szaru  Q c  E'", * zaś  oznacza splot  rozumiany nastę pują co: (/ *£ )«=   !f(r)g(t- r)dt,  taT.  (4) o Potencjał em  opóź nionym warstwy  podwójnej  nazywamy  cał kę W D(x, t\ G)  =  c2 f  a F ( * ~ ; j ' 0  *(?«,  0 ^ ( 0 ,  (x, 0 e £ m x T,  (5) gdzie gę stość potencjał u,  G (£, f), jest funkcją  klasy CU2 nadQxT   oraz 8(  )/ Sn =   n •   y ( ) ; n(^)  jest  normalną zewnę trzną  w  punkcie S,eBQ.  ; Potencjał em  opóź nionym  obję toś ciowym  nazywamy  cał kę wv(x,  t\ f, u 0 ,  v 0 ) -  /  [wo(y)+ «o(y) jp +f(y,  0 *] v{x -  y, o^Ky),  (6) (x, 0  e Em  x  T , gdzie funkcja  M O(X) jest  klasy  C 3 n a Q,  funkcja  o 0( x) jest  klasy  C 2 n a  JO, funkcja  zaś / (x,  0 .  (x, 0  e Qx  T , jest  klasy  C 0- 2 n a D x  T, ograniczona n a  Q,  [7], s. 250 G RAN ICZN E  ZAGADNIENIA  ODWROTNE  83 Potencjał   W D  oraz  pochodn a n orm aln a potencjał u  W S doznają   skoku  przy  przejś ciu z  argumentem x  do  brzegu  8Q.  Zachodzą   zwią zki,  [3]: > t)lG)  m   \ [1 - c a j f l ) ] ^ ,o  + t e f,  gdzie fl'  =  E'"\ Q,  oraz J t e T ,  gdzie  znak  „ + "  dotyczy  przypadku,  gdy x 6 Q,  a znak  „ -  "  —  gdy  x e Q'.  F unkcja C(x; fl) jest  uogólnioną   funkcją   H eaviside'a  i ma postać' 1,  gdy  xelntQ,  intQ = Q\ 8Q, rt  HN   1 / 2 '  gd y x = C (x, u)  -   e 6 ( 0 , l ) ,  g d y x  = 0,  g d y x e i 3 ' , gdzie  3 S Q oznacza  zbiór  pun któw  gł adkoś ci  powierzchni  BQ,  [4],  Wartość  e jest  równa stosunkowi  ką ta  brył owego,  jaki  tworzy  powierzchnia  dQ  w  punkcie C,  do  peł nego  ką ta brył owego  (por. także  [5], s. 52 -  53). Cał ki  po prawej  stronie wzorów  (7) i (8) rozumie się w  sensie  wartoś ci  gł ównej  Cauchy'ego,  [6], s.  155. M oż na  udowodnić,  że  potencjał   W S jest  funkcją   cią głą   n a  brzegu  8Q obszaru  Q dla teT . W  dalszych  rozważ aniach  przy  obliczaniu  pochodnej  normalnej  nie  bę dziemy  rozróż- niać zbioru  punktów  gł adkoś ci  brzegu,  8 S Q,  od brzegu  8Q,  gdyż  krawę dzie  i  wierzchoł ki bę dziemy  traktować  jako  domknię cia  jednego  z pł atów  ograniczonych  daną   krawę dzią czy  krawę dziami,  zbiegają cymi  się   w danym  wierzchoł ku.  W praktyce  obliczeniowej  de- cyzję   o tym,  do  którego  pł ata  powierzchniowego  doł ą cza  się   krawę dź  (wierzchoł ek) po- dejmuje  się   w  oparciu  o  przesł anki n atury  fizykalnej. 2.  Reprezentacje  cał kowe rozwią zań  zagadnień  prostych W  oparciu  o twierdzenie  o wzajemnoś ci,  [2], s.  370,  moż na  udowodnić  nastę pują ce twierdzenie  o reprezentacji  cał kowej  rozwią zania  równania  falowego,  [2], s,  372- 373: T wi  e r d z e n i  e  1 N iech Q c  E'"  bę dzie  obszarem  regularnym  o brzegu  8Q.  N iech  funkcja  u(x,  t)  klasy C 2 ' 2  na Q  x  T speł nia  równanie  (1). Wówczas  dla x e F m a  miejsce  nastę pują ca  reprezen- tacja cał kowa: C{x;Q)u(x,i)  =   W S\ x,t -   W D(x,  t\ u)+W V(x,  t\ f,  u0, v0),  (10) gdzie  wo(x) jest klasy  C 3  na  Q,  v o (x)  jest klasy  C2  na Q,f{ • ,  t) jest  ograniczona i cią gła na ^> / (x>  0 jest  klasy  C 2  na  T  oraz 84 (11) a  C (x; Q) okreś lona jest  wzorem C(x;Q),  gdy  x£8Q, (12) lim (- +0 lim (- .0 8u(x, 8t K. u(x, t) G R YSA 0  =   wo(x)f xeQ, D la  x  =  |  6 542 cał ki  powierzchniowe  po prawej  stronie  wzoru  (10)  rozum ie się w  sensie wartoś ci  gł ównej  C auchy'ego.  • N a  podstawie  twierdzenia  1 m oż na udowodn ić inne twierdzenia  o reprezentacjach roz- wią zań  zagadnień prostych.  M ogą  to być  t ak  reprezentacje bazują ce  n a potencjale warstwy pojedynczej,  jak i  n a potencjale  warstwy  podwójnej.  Poniż ej  przedstawiamy  twierdzenia dotyczą ce  kilku  reprezentacji  cał kowych  rozwią zań  zagadn ień  prostych. T w i e r d z e n i e 2 N iech Q  c  Em  bę dzie  obszarem  regularnym  o brzegu  8Q. N iech funkcja  w(x,  t), klasy C 2 ' 2  n a Qx  T , speł nia równanie  (1) z warunkiem  brzegowym l i m  « ( x , 0 =   « 6 d . 0 .  t e T oraz z warunkam i  począ tkowymi  (11). F unkcja  u b (£, t) jest przy  tym klasy  C 1 ; 2 n a 8Q x T . Wówczas  funkcję  M(X,  t)  m oż na  wyznaczyć  ze  wzoru K(X, 0  -   W S(x,  t\ H) + W V(x,  t\ f, u 0 ,  ©o). ( x, 0  e I n t f l x  T ,  (14) przy  czym  gę stość  potencjał u warstwy  pojedynczej  speł nia nastę pują ce  równ an ie cał kowe: W S{$, t\ H)  = utf,  t) -   W V{t;, t\ f, u 0 ,  vo), (%,  t) e8Q  x T .  a  (15) Dowód: Rozważ my  dwa problemy  propagacji  fal, w  obszarze  Q  i  w  jego  dopeł nieniu  Q' = =   E'"\ Q.  N iech prę dkoś ci fal w obu  obszarach  bę dą  równ e c. Zał oż ymy, że w obszarze Q fala  opisana jest  funkcją  u'(x, t), (x, t) e Qx  T , speł niają cą  warun ek  brzegowy  (13) i  wa- runki  począ tkowe  (11). W  obszarze  Q'  fala  opisana jest  funkcją  u"(x, t),  (x, t)  e Q' x T , równą  funkcji  w'(x, t )  dla (x,  t)  eBQxT .  W  obszarze  Q'  zakł adamy  zerowe  warunki począ tkowe  oraz brak  ź ródeł  zaburzeń. N a mocy  twierdzenia  1 m oż na n apisać  nastę pują ce reprezentacje  cał kowe funkcji  u'  oraz  u": C(x;Q)u'(x,t)  =  W S\ x,t C(x;Q')u"(x,t)=  W slx,t ^ -   W D(x, t\ u')+W V(x, t\ f, u 0 , (16) 8u"' ] j- W D(x,t\ u"),(x,t)eE'"xT , 8n" D odając  zwią zki  (16)  stron am i i  oznaczając M(x,  0  =   C ( x;  Q)u\ x,  t) + C ( x;  Q')u"(x,  t),  ( x,  t) eEm  x  T   (17) ($,t)edQxT ,  n "=   - n ',  (18) G RAN ICZN E  ZAG ADNIENIA  ODWROTNE  85 otrzymujemy  wzór  (14).  Tutaj  n '  oznacza normalną zewnę trzną  do dii. G ę stość potencjał u W S, H(J;,  t) , wyznacza  się z równania  cał kowego  (15), które  otrzymuje  się,  wykorzystując (14),  (13) i cią gł ość  potencjał u  W S  n a  powierzchni  dii. W zwią zkach  (16) potencjał y  W D dla x  =  Ł , e 8 ii  rozumie się w sensie wartoś ci  gł ównej Cauchy'ego.  a T w i e r d z e n i e  3 N iech  ii  c  Em  bę dzie  obszarem  regularnym  o brzegu  80s. N iech funkcja  w(x, t) klasy C 2 ' 1  na iix  T  speł nia równanie  (1) z warunkiem  brzegowym  (13)  oraz z warunkami  po- czą tkowymi  (11). Wówczas  funkcję  t/ (x, t), (x, t) e I n t  iixT   moż na wyznaczyć  ze  wzoru «(x,  0  =   -   W D(x,  t\ G)+W V(x,  t\ f,  H 0 , o 0 ) ,  (19) przy  czym gę stość  potencjał u warstwy  podwójnej  speł nia nastę pują ce  równanie cał kowe dla , 0 -   JKD(«, f|G)  =  K 6 ( £ ,  t) -   W V(Ę , t\ f, u0, v0),  (20) Cał kę W D po lewej stronie równania (20) rozumie się w sensie wartoś ci  gł ównej Cauchy'ego. D Dowód: Rozważ my  dwa problemy  propagacji  fal,  podobnie jak w  dowodzie  twierdzenia  2. Zał óż my przy tym, że funkcja  w"(x,  t) nie speł nia warunku  (13), speł nia natomiast warunek nastę pują cy: | £ « , 0 -   - "fjprt f.O.  C«r*)GftOx7\   (21) gdzie  n ' =   — n "  jest  normalną  zewnę trzną  do  3i3. D la  funkcji  «'(x,  <) i  w"(x,  0  prawdziwe  są  reprezentacje  (16).  D odając je stronami, wprowadzając  oznaczenie  (17)  oraz  oznaczając G ( £ , 0  =  «' ( £ , 0 ~ «"( £ , 0 >  (S,t)e3QxT ;  (22) otrzymujemy  wzór  (19).  G ę stość potencjał u  W D, (?(£, t), wyznacza  się z równania  cał ko- wego postaci  (20), które  otrzymuje  się, wykorzystując  (19), (13) i (7). T w i e r d z e n i e  4 N iech ii  c  Em  bę dzie  obszarem  regularnym  o brzegu  dii. N iech funkcja  w(x, t) klasy C 2 - 2 na ii  x T  speł nia równanie  (1) z warunkami  począ tkowymi  (11)  i z warunkiem  brze- gowym Hm  WjdL- u&.t),  tsT,  (23) gdzie  «„(£, 0  jest  funkcją  klasy  C 0 > 2  n a 3i3 x 71. Wówczas  funkcję  M(X, 0 , (x, t) elntQx  T ,  moż na wyznaczyć  ze wzoru  (14), przy  czym gę stość  potencjał u warstwy  pojedynczej  speł nia nastę pują ce  równanie  cał kowe dla (£, t) e ediixT : sh  (24) =   «„ ({, 0 -   ~  WVCS, t\ f,  Mo,  «o). 86  K.  G RYSA Cał kę  powierzchniową  po  lewej  stronie  równ an ia  cał kowego  (24)  rozumie  się  w  sensie wartoś ci  gł ównej  C auchy'ego.  • D owód twierdzenia 4 jest analogiczny  do dowodu twierdzenia 2. R ówn an ie  cał kowe (24) otrzymuje  się  wykorzystując  (14),  (23)  i  (8). T w i e r d z e n i e  5 N iech  Q  c  E'"  bę dzie  obszarem  regularnym  o  brzegu  8Q.  N iech funkcja  u(x,  t)  klasy C 2 ' 2  n a Q  x  T speł nia  równanie  (1) z warun kam i począ tkowymi  (11) i z warun kam i  brzego- wymi  postaci  (13) n a  czę ś ci  S y   brzegu  oraz postaci  (23) n a  czę ś ci  S 2   =   8Q\ S l .  Wówczas funkcję  u(x,  t)  m oż na wyznaczyć  ze wzoru  (14), przy  czym gę stość  potencjał u opóź nionego warstwy  pojedynczej,  H(C, t),  (£, t)e  8QxT ,  speł nia nastę pują ce  zwią zki  cał kowe: równa- nie  (15)  dla  (£, t)eSj.x.T oraz  równanie  (24)  dla  (£, t)eS 2 xT .  o Dowód: P ostać  (14)  reprezentacji  cał kowej  funkcji  u(x, t),  (x,t)e  ln t  Q  x  T , jest  niezależ na od rodzaju  warunków  brzegowych  (por. dowód  tw.  2).  Jak  pokazan o  w  dowodach  twierdzeń 2 i 4, z postaci  (14) funkcji  u(x,  t),  (x,  ł )  e  ln t  Q  x  T i  z wł asnoś ci potencjał u W S n a brzegu 3Q  obszaru  Q  wynikają  zwią zki  (15) i  (24). W  szczególnoś ci  gdy  dla  (£, t)  eS l x  T ,  okreś- lona jest  funkcja  u b (C, t),  a  dla  (£, t)  e  S 2   x  T —  funkcja  «„(§, t);  wówczas  gę stość  H{g,  t) potencjał u  W S musi  speł niać odpowiednio równ an ie (15)  dla  (£ ,  t)  e  S x xT i  równanie  (24) dla (C, t)eS 2 *T .  a M oż na  udowodnić,  że jeś li  istnieje  rozwią zanie  ukł adu  równ ań  cał kowych  n a  gę stość H(£, t),  (C, t)  e  dQx  T ,  potencjał u  W S,  tzn .  ukł adu  skł adają cego  się  z  równ ań  (15)  dla (<*, 0  e  St  x  T  i  (24) dla  (£, ł ) e  S 2   x  T , to jest  on o jedn ozn aczn e. 3.  Równania cał kowe  dla  zagadnień odwrotnych Jak już wspomniano we wstę pie,  zajmiemy  się tylko  granicznymi zagadnieniam i odwrot- nymi,  tzn. zagadnieniami,  w  których  wyznacza  się  funkcję  M(X, t),  (x,  t)  e  (Q\ dQ*)xT , n a  podstawie  tzw.  wewnę trznej  odpowiedzi  (w  skrócie  W O),  którą  jest  funkcja  opisują ca przemieszczenia  lub  inne wielkoś ci  d la  (x, t)  e  8Q*  x  T , gdzie  8Q*  jest  powierzchnią  regu- larną,  ograniczają cą  obszar  Q*  c  Q  <=   Em. Przyjmiemy  nastę pują cą  definicję  W O: Definicja N iech  Q  c  Em  bę dzie  obszarem regularnym  o brzegu  8Q.  N iech i3*  c  Q  bę dzie  obsza- rem regularnym o brzegu  3Q*.  N iech T   =   (0, t 0 ),  t 0   <  + co, bę dzie przedział em  czasowym. a)  F unkcja  u*(x,  t),  (x*,  t)  e  8Q*  x  T , może opisywać  W O  przemieszczeni ową  (W OP), eś li  «*(x*, t)  jest  klasy  C2'2  n a  8Q*  x  T . b)  F unkcja  g*(x*, t),  (x*,  t)  e  8Q*  x  T ,  może  opisywać  W O  typu  gradientowego  lub odkształ ceniowego  (WOO), jeś li g*(x*, 0  jest klasy  C 1 ' 2  n a  8Q*  x  T . P oszukiwana  funkcja M (X, t),  (x, t)  e Q  x  T , bę dą ca rozwią zaniem  równ an ia  (1), musi wówczas  speł niać warunek Hm  - * g l i L.  *• (*• , Q.  teT ,  (25) gdzie  n (x*) jest  n orm aln ą  zewnę trzną  do  dQ*. G RAN ICZN E  ZAGADNIENIA  ODWROTNE 87 c)  Funkcja u*(x*, t), (x*, 0  e dQ* x T ,  może opisywać  W O prę dkoś ciową  (W OV), jeś li ©*(x*, 0  jest  klasy  C2A  na  dQ* xT .  a W  zbiorze  dQ* x T  dopuszcza  się  istnienie  hiperpowierzchni  na  których  W O  do- znają  skoku. Obszar Q*  c  Q  c  E'" może być taki, że di)* n  8Q  #   0.  N a rys.  1 przedstawiono trzy najbardziej  charakterystyczne przypadki zbiorów Q* i Q.0  funkcjach  u o (x), v o (x)  i/ (x, t), wystę pują cych  w sformuł owanych niż ej  problemach,  zakł ada się, że są  odpowiedniej  klasy róż niczkowalnoś ci. n\ oH a)  30 b)  5 £ 1  =   t l  i n" J j  B,u B 2 B h. '  B,=  Q\ I i" s*= aQ*\ 3ń ann 9n KTS, aa c)  a n =   6  si Rys. 1 Problem 1 Niech i3 i Q* bę dą obszarami regularnymi takimi, że Q*  <=  Q  c  £ '". Niech dana bę dzie funkcja  u*(x*,  t),  (x*, f) e  dQ* x  r  oraz  funkcje  «0 ( x)  i  ^o(x), x eQ,  takie, że w* opisuje W OP,  przy czym lim  M *( X*, t)  =  u o (x*), /- .o Niech ponadto dana bę dzie funkcja/ (x,  t),  (x, t)  e QxT ,  opisują ca  prawą  stronę równa- nia  (1), oraz współ czynnik c = const. Należy wyznaczyć  taką  funkcję  H(X, t),  (x, t)  e  (Q\ dQ*)  x T ,  dla  której lim  u(x,t)  = u*(x*,t),  teT ,  (27) oraz  speł nione, są  warunki  począ tkowe  (11).  Ponadto  należy  wyznaczyć  funkcje  u b (J;,  t) i u„(C,  t),  (Ę ,  ł ) edQxT ,  stanowią ce  prawe  strony  zwią zków  (13) i  (23). p Zał óż my  najpierw,  że  znana jest  funkcja  w„(£, t),  (§, t)edQx  T .  Wówczas  na  mocy twierdzenia 2 moż na przedstawić funkcję  w(x, t), (x5 / ) e Int Q x T , w postaci (14). W szcze- gólnoś ci  dla  x  =  x*  G  8Q*  mamy w(x*, 0  -   W S(x*, t\ H) + W V(x*, t\ f,  H 0 , oo),  (x*, 0  s3i2*  x T ,  (28) przy czym gę stość potencjał u  opóź nionego warstwy pojedynczej  wyznacza się na podstawie równania  cał kowego (15). 88  K.  G RYSA Jednakże  funkcja  u b (C,t),  (C,t)e8QxT ,  jest  jedną  z  funkcji  poszukiwanych.  Jeś li funkcja  w(x, t)m&  być rozwią zaniem  prqblemu  (1), to na mocy zwią zków  (27) i  (28) otrzy- mujemy  w  miejsce  równania  (15)  nastę pują ce  równanie  cał kowe n a  gę stość  H potencjał u W S: W S(x*,  t\ H)  =   w*(x*, t)-   W V(x*,  t\ f,  uo,  v 0 ), lub wykorzystując  (3), c 2, J V( x*- £,  t)*H(C,  t)dStf)  =   «*(x*, t)-   W V(x*,  t\ f,  u 0 ,  vo),  (29) 81} (x*, t)  s  8Q* x T . Warto tu zwrócić uwagę  na  fakt,  że wykorzystanie  twierdzenia  3 w miej- sce  twierdzenia  2 nie zmienia  typu  równania  cał kowego  n a  gę stość  potencjał u  (por. wzór (19)).  Równanie to  w  dalszym  cią gu  pozostaje  równaniem  I  rodzaju. P o wyznaczeniu funkcji  H (£, t),  (§, t)e8QxT z  równ an ia (29), funkcję  u(x,  t),  (x,  t)  e e lnt Q x T , wyznacza się ze zwią zku  (14), a  u b (£,,  t)  i w„( ,̂ 0>  (£>  t)edś 2x  T ,  na  podstawie zwią zków  (15) i (24). Szczególnym  przypadkiem  problemu  1  jest  zagadnienie, w  którym  brzeg  dQ*  obszaru Q*  c  Q  ma  czę ść  wspólną  z  brzegiem  dQ  (rys.  lb).  Wówczas  równanie cał kowe  (29) ma dla  (x*, t)  e  (8Q  n  dQ*) x T  tę  samą  postać  co  równanie cał kowe  (15), a  funkcja  u b (Z„  t) jest  dla  (£, t)  e  (8Q  n  8Q*) x  T   równa  funkcji  M *(X*,  t). Problem 2 N iech Q i  D * bę dą  obszarami regularnymi  takimi, że Q* a  Q  a  Em.  N iech dana bę dzie funkcja  g*(x*, t),  (x*, t)  e  3^3* x 71, oraz funkcje  M O ( X )  i  *>o(x), x  e  i3, takie, że g*  opisuje W OO, przy  czym lim g*(x*,  0  = (30) /_o  8t  dn(x) N iech  dana  bę dzie  funkcja/ (x,  t),  (x, t)  e  Qx  T ,  opisują ca  prawą  stronę  równania  (1), oraz współ czynnik  c  —  const. N ależy  wyznaczyć  taką  funkcję  w(x,  *) ,  (x, t)  e  QxT ,  dla  której  speł nione są  warunki (25) oraz  (11). Ponadto należy  wyznaczyć  funkcje  wh(£, t)  i  w„(£, t),  (£, t)  e8QxT ,  stano- wią ce  prawe  strony  zwią zków  (13) i  (23).  • Rozważ my  najpierw  sytuację,  w  której  8Q*  n  8Q  =   0  (rys.  la) .  Zał óż my, że  znana jest funkcja  u b (C,  t),  (£, t)  s8Qx  T .  F unkcję u(x, i),  (x, t)  e  I n t Q  x  T, moż na  przedstawić w  postaci  (14). Róż niczkując  ten  wzór  otrzymamy Vu{x,t)  ~VW S(x,t\ H)  + VW V(x, *|/ ,tfo,Co),  (x,  0 skąd  dla x  =   x*  e  3i3* moż na —  wobec  (25) —  otrzymać  zwią zek n ( x*) -   [VM(x, 0]x= x»  =   g*(x*,  0  =   - ™r  (**> on(x  )  (31) (x* ,  / | / ,  t/o,  ©o).  (x* ,  0 przy  czym gę stość  #   potencjał u  PFS1 wyznacza  się  na podstawie  równania cał kowego  (15). G RAN ICZN E  ZAGADNIENIA ODWROTNE  89 Jednakże  funkcja  u b (C,  t),  (§,  t)e  dQx  T ,  jest  jedn ą  z  funkcji  poszukiwanych.  Jeś li więc funkcja  w(x,  t),  (x, t)  e Qx  T ,  m a być rozwią zaniem  problem u  2, to gę stość  H  musi być  wyznaczona n a podstawie  równ an ia  cał kowego  (31).  Równanie  to  moż emy  przepisać w  postaci f  BV(x*  — !:.t)  8W V 8n(x*}  '  J  ^  J an (x*, 0  e <9,Q* x T . Rozważ my teraz sytuację, gdy  3Q* n  8Q  =  $ 2   i= 0  (rys.  Ib).  Wówczas dla x*  =  !; e S 2   pochodna  normalna  potencjał u  opóź nionego  warstwy  pojedynczej  do- znaje  skoku  (por.  (8)). Zatem dla  x*  =  Ę e S 2 w  miejsce  równania  (32) mamy (33) ( f , »| / , «o, t »o) , Cf iOe f t xr, a  dla  (x*, 0  e  ( a i 3 *\ S 2 ) x T — równanie  (32).  Tak  więc  w  przypadku,  gdy  dQ* n C\ 8Q  ź  0,  ukł ad równań  cał kowych  na  gę stość  7f  potencjał u  W S skł ada się  z  dwóch równań ,.z których jedno jest I rodzaju, a drugie —  II  rodzaju. Po  wyznaczeniu  funkcji  H(C,  t),.  (§,  0  e Si3x  T,  funkcję  w(x, 0,  (x, r ) e l n t  flxT, wyznacza się ze zwią zku  (14), zaś  w6(C,  t),  M„(£, f)>   (?=   0   e  ^ ^ x  71,  na podstawie  zwią zków (15)  i (24).  Jeś li  8Q*  n  3Q  =  S 2   =ć 0,  wówczas  dla  x*  - i  eS 2   u n &, t)  =   g*(C,  t)  i  po znalezieniu  gę stoś ci  H  funkcję  «„(£,  t)  wyznacza  się  tylko  dla  (£,  / ) e (8Q\ S 2 )x  T . Problem 3 Niech Q  i Q* bę dą obszarami regularnymi, takimi, że Q*  cz Q  c  Jj'".  Niech dana bę dzie funkcja  o*(x*, f)3  (x*, 0  e 3Q*x  T,  oraz funkcjauo(x)  i  vo(x), xe i 2 ,  takie,że  v*  opisuje W 0V, przy czym I'm  v*(x*, t)  = v Q (x*),  x* e  8Q*.  (34) Niech dana bę dzie funkcja/ (x,  t),  (x, t)  e QxT ,  opisują ca  prawą  stronę równania  (1),  oraz współ czynnik  c  =  const. Należy wyznaczyć taką funkcję  w(x, t), (x, t)  e QxT ,  dla której speł nione bę dą warunki (11) oraz warunek n m  2L  _ , , *( *• , , ),   f e r .  (35) Ponadto należy wyznaczyć  funkcje  u b (C,  t)i  u„(C,  t),  (C, t)ecQx  T ,  stanowią ce prawe stro- ny  zwią zków  (13) i  (23).  o Zał óż my, że znana jest funkcja  u b (C,  t),  (£,  t)ecQx  T .  Funkcję  w(x,  (),  (*, 0  6 Tnti3 x  T , moż na  przedstawić  w  postaci  (14).  Róż niczkując  ten wzór  po czas e otrzymujemy 90  K.  G RYSA skąd  dla x  =  x* e 8Q*  m oż na — wobec  (35) — otrzym ać  zwią zek 8W V (*t\ fu). t\ f,  «o i Vo),  (x*, t) e 8Q*  x T ,  (36) przy  czym  gę stość  H potencjał u  W S wyznacza  się n a podstawie  równ an ia  cał kowego (15), Jednakże funkcja  u b (C, t), (§, t)e8Qx  T , jest jedną  z funkcji  poszukiwanych.  Jeś li  więc funkcja  u(x, t),  (x, 0  e Q x  T , m a być rozwią zaniem  problem u  3, to gę stość  H  musi być wyznaczona  n a podstawie  równ an ia  (36), które moż emy przepisać w postaci c> /  - F ( y ; 0  * ms. o^c© -  **(**> o - (37) 8W V 7TT  ^ik  j  l>  \ J  )  M()  j  Ł / 0/   J  V"™1  ł   * /   *-   Ł / ««  A  i  • Przechodząc  w  (37) z  chwilą  ć do zera  otrzymujemy  zwią zek  (34). Przejś cie  t o  wynika z wł asnoś ci  potencjał u  obję toś ciowego  W V (por.  [7], s. 247 i 249 -  251; w  monografii tej wprowadzono  inne niż w przedstawionej  pracy  oznaczenia). Cał kując  n atom iast  (37) od  0 do  t, wykorzystując  (14) i  przechodząc z  t  do zera  otrzymujemy  ( 11) x. Po  wyznaczeniu  funkcji  H(%,  t),  (£,,  t)  e 8Qx  T , funkcję  u(x, t),  (x, t)  e TntJQ x T ,  wy- znacza się ze zwią zku  (14), a u b (£, t) i u„(Ę , t),  (£, t)e8Qx  T , n a podstawie  zwią zków  (15) i  (24). W  sposób  podobn y ja k  wyż ej  m oż na  także  sformuł ować  problem y  odwrotn e, w  któ- rych n a róż nych czę ś ciach  powierzchni  8Q*  dane są  róż nego  typu  W O. Tego  rodzaju  pro- blemy prowadzą  do ukł adów równań  cał kowych n a pł atach  otwartych,  przy  czym  istnienie i jednoznaczność rozwią zań  tych  równań jest  sprawą  otwartą.  D la przykł adu jeś li  8Q*  = -   Sf  u  S | i 8Q* n  8Q  =  0 , przy  czym n a Sf  dan a jest  W OP,  a n a S 2 * -   W OO,  to w celu wyznaczenia  gę stoś ci  H  potencjał u  W S trzeba  rozwią zać  ukł ad  równ ań  cał kowych, na które skł adają  się równanie (29) dla (x*, i) e S\  x  T o r a z równ an ie  (32) dla (x*, t)  e S* x T , W  nastę pnej  czę ś ci  pracy  rozważ ymy  pewne  jedn owym iarowe  przypadki  zagadnień odwrotnych.  Ponieważ  wówczas  x 6 E1,  więc  w  miejsce  x  bę dziemy  pisać  x.  Również  oś Ox lt   orientują cą  przestrzeń  E1,  oznaczymy  Ox. 4.  Zagadnienia jednowymiarowe W  przypadku zagadnień jednowymiarowych,  gdy x s  U 1 , obszary  Qi  Q*  są  odcinkami lub  pół prostymi, a ich brzegi  8Q i 8Q* — zbioram i  pun któw  izolowanych.  Potencjał y  W S i  W V oraz  cał ki  powierzchniowe, wystę pują ce  w równ an iach cał kowych  (33), (32) i  innych przyjmują  szczególnie  prostą  postać.  Jeś li  Q  =   {x e E1  : 0  <  x  <  1}  =  (0,1)  <=•   El, wów- czas 8Q  =  {x: x  = 0 v x  =  1}  ==  {OJ}, a. wspom n ian e wyż ej  potencjał y i cał ki  przyjmują postacie  nastę pują ce:  • ' (x,t)eE l xT ,  (38) G RAN ICZN E  ZAGADNIENIA  ODWROTNE  91 wv(x,  t\ f, u 0 , ©o) -   - %•  j  [»oO>) +  « O ( J ) - ^  +f(y,  0 * I n(t- (x,t)eE 1 xT ,  (39) ł ~ d V 1 Tutaj  «(x*) jest równe  1 lub  - 1. G dy Q  =  {x e E1  : x  >  0}  =   (0, oo) c  jC1, 5i3  =   {0}, we wzorach  (38) i  (40) trzeba  pominą ć sploty  zawierają ce  H(l, t),  we wzorze  zaś  (39) — górną   granicę   cał kowania zamienić  na  + oo. Problem 4 Niech Q  =   {x  e j?1  : x  >  0}  =   (0, co) oraz niech Q*  =   (x*,  oo) x*  >  0 (rys. 2). Roz- waż my dla takich obszarów  problem 1, w którym dana jest funkcja  n*(x*,  t),  t eT ,  opisu- ją ca  W OP, funkcje  u o (x),  v o (x),  xeQ,  speł niają ce  warunki  (26),  oraz  funkcja  f(x,  t), (x, t)s  QxT ;  współ czynnik  c  =  const.  Należy  wyznaczyć  funkcję   u(x, t),  (x, t)  e ( i 3 \ \ {x*}) x T ,  speł niają cą   warunek  (27) oraz warunki  począ tkowe  (11). Ponadto należy  wy- znaczyć funkcje  w6(0,  t)  oraz  w„(0, t),  t eT ,  stanowią ce  w  rozważ anym  przypadku  prawe strony zwią zków  (13) i  (23).  a an = {o) an Ą Ą Rys.  2 Wobec  (38) równanie  cał kowe  (29)  przyjmuje  tutaj  postać  nastę pują cą: ', *!/ . Wo»»o),  teT .  (41) Równanie  to  ł atwo  rozwią zuje  się   w  transformatach  Laplace'a.  Otrzymujemy -   ~ e x p  l- =~- ł_O#*(je*. s)-   W V(x\   s\ f,  u 0 ,  v 0 )],  (42) gdzie  nadkreś lenie  oznacza  przetransformowaną   postać  funkcji;  s — parametr  transfor- macji. Zwią zek  (14) ma w  rozważ anym  przypadku  postać  nastę pują cą: t\ f,  u o ,v 0 ),  (x,t)eQx.T ,  (43) 92 K .  G R YSA Wstawiając  prawą  stron ę zwią zku  (42) do przetransform owanego  wzoru  (43) i  odwracając transform aty  znajdujemy • v  __  v ^ C  / +  \   c • W V(x,t\ f,u o ,v o ),  (x,t)sQxT , f,u o ,v o )  + /  + gdzie iU(x,t)  dla  t  Ss 0, \ 0  dla  /  <  0. Funkcję  W V(x,  t\ f,  u o ,v 0 ),  (x, t) e QxT ,  moż na przekształ cić do postaci x+ct J  v 0 Q>)dy + 1 1 x- ct - J  f  f{y,x)dydx,  (x,t)sQxT (45) 0  x- c{t- x) znanej jako  rozwią zanie  d'Alemberta  drgań  struny,  [8], s.  583. O funkcjach  u Q ,  v 0   i /   za- kł ada  się przy  tym, że są  nieparzystymi  funkcjami  argum en tu  x  e E1.  Jak  ł atwo  spraw- dzić, funkcja  u{x,  t), okreś lona  wzorem  (44), speł nia  warun ki  (11) i  (27). Wynika  to stą d, że dla t  = 0 i x—x*  < 0 m a miejsce  równ ość u*(x*,-*L i)  =  wv[*r zwią zana  z  faktem,  że  dopóki  zaburzenie  nie dojdzie  od brzegu  do pun ktu  x*, dopóty wartość  funkcji  H (X*,  t) w tym  punkcie zależy  tylko  od warun ków  począ tkowych  i  funkcji opisują cej  wewnę trzne  ź ródła  zaburzeń  (por. także  [10]). Wykorzystując  zwią zki  (13) i  (23) oraz fakt,  że  W V(0,  t\ f,u o ,  v o )  =  0,  znajdujemy %( 0 , 0  =   u*  [x*, t+   * -̂ , "o , ©o),  teT, 1  \ 8U*(X*,T )  dW V(x* > r\ f,u 0 ,v 0 )'\ - TL  dr  ~JT  " L i , (46) 8W V(x,t\ f,u 0> v 0 ) 3x teT . Problem 5 N iech  Q  =   (0, / ) oraz niech i3*  =   {x e E1  : 0  < ^  < x  <  x 2   <  / }, (rys. 3). Rozważ- my  dla takich  obszarów  problem  1, tzn . problem , w którym  dan a jest  funkcja  w*(x*, t), (x*,  t)  e £Q* x T , opisują ca  W OP, funkcje  wo(x)  i  vo(x),  x  e Q,  speł niają ce  warunki (26) oraz funkcja  f(x,  t),  (x,  t) e Q x T  i  współ czynnik  c  =   con st.  Wyznaczyć  należy  funkcję u{x,  t),  (x, t)e  (Q\ 8Q*)x  T ,  speł niają cą  warunek  (27), oraz  warun ki  począ tkowe  (11). P on adto należy wyznaczyć  funkcje  u b (C, t)  oraz «„ (!, t),  (£, t)£dQx  T ,  stanowią ce w roz- waż anym  przypadku  prawe  strony  zwią zków  (13) i  (23).  • G RAN ICZN E  ZAGADNIENIA  ODWROTNE 93 - x = x2 Q = ( o , n en= {o,i} Rys.  3 Wobec  (38)  równ an ie  cał kowe  (29) przyjmie  tutaj  postać  ukł adu  równ ań  n a  funkcje H(0, t) i H{1,  t), t e T : Z - * , 1 xnw,t)- t- n\ t  — c I H(l,  t) m (47) m   — [u*( Xi>   t) -   W V(x„  t\ f, u 0 ,  ©o)], c i  — 1,2. U kł ad  równ ań  cał kowych  (47)  bez t ru du  rozwią zuje  się  w  transform atach La- place'a.  Otrzymujemy H(0,s)  = ;«*(*!, s) -   l ^ K ^ !, s\  f,  «0, *>o)] exp csinAl—> ?i \ c  / - \ u*(x 2 ,s)- W V(x 2>S \ f,u 0 , H(l,s)=  - inhl — s)csinA \ [u*(x L ,s)- (4 8 ), -   [u*(x 2 ,  s) -   W V(x 2 ,  s\ f, M 0. gdzie  L  — x 2 —x l .  Zwią zek  (14)  m a w tym przypadku  postać (49) + W V(x,t\ f,u o ,v o ),  {x,t)eQxT . Wstawiają c  prawe  stron y  wzorów  (48) do przetransform owanego  wzoru  (49) i  wykorzystu- ją c  zwią zki  z tablicy  B.2 z m on ografii  [9] do odwrócenia  tran sform at  otrzymujemy 00  r  /   \   / U(X, t) (i, t)ed£2x  T . C ytowane wzory  otrzym an o w pracy  [10] n a drodze odmiennej  od przedstawionej  tutaj.  Wyznaczenie  wzorów  opisują cych  funkcję  «„(£,  t), ( |,  t)e8Qx  T , nie przedstawia  wię kszych  trudn oś ci, dlatego  ich  tutaj  n ie bę dziemy  przy- taczać. Problem 6 N iech  Q  =  (0,  oo) oraz  niech Q*  =>  (x*, co), x*  > 0  (rys.  2).  Rozważ my  dla  takich obszarów  problem  3, tzn . problem , w którym  dan a jest  funkcja  © *(**, i), t e T ,  opisują ca W 0V,  u Q (x);  v o (x),  x eQ,  speł niają ca  warunek  (34),  oraz  funkcja  f(x,  t), (x, t) e  QxT i  współ czynnik  c — const.  Wyznaczyć  należy  funkcję  u(x, t),  (x, t) e QxT ,  speł niają cą warunek  (35)  oraz  warunki  począ tkowe  (11).  P on adt o  należy  wyznaczyć  funkcje  H 6 ( 0, () oraz  M „ (0,  t),  i e  T ,  stanowią ce  w  rozważ anym  przypadku  prawe  strony  zwią zków  (13) i  (23). D Wobec  (38)  równanie  cał kowe  (37)  przyjmie  postać  n astę pują cą: x*,t\ f,u o ,v o ),  teT ,  (51) R ównanie t o rozwią zujemy  w  tran sform atach  Laplace'a.  Otrzymujemy W V(x*,  s\ f,u o ,v Q )],H(0, s) :-  ~   exp |- ^ ij [~  v*(x*, s) -  W V(x*, s\ f,uo,vQ)],  (52) Z  porówn an ia  zwią zków  (52) i  (42)  widać,  że mają  on e  analogiczną  budowę.  Postę pując dalej  t ak jak  w problem ie 4 otrzymujemy  ostatecznie u(x, t) =   J  v*(x\  z)drr) (t-   - £™-)  -  W V [x*, t -   ^ f \   '  C  " '  "'  "j  ($ty + W V(x,t\ f,u 0 ,v 0 ),  (x,t)eQxT , Zwią zki  opisują ce  funkcje  M 4( 0, t) i w„(0, t), teT ,  wyznacza  się podobn ie ja k  w problemie 4. 5.  Uwagi koń cowe P rzedstawion a w pracy  m etoda rozwią zywania  granicznych  zagadn ień  odwrotn ych dla równ an ia  falowego,  bazują ca  n a  cał kowym  sformuł owaniu  problem u,  pozwala  bez  trudu sformuł ować  równ an ia  cał kowe lub  ukł ad  równ ań  cał kowych n a  gę stość  poten cjał u opóź- nionego warstwy pojedynczej  bez wzglę du  n a rodzaj  W O i wymiar  zagadn ien ia. W  przypad- G RAN ICZN E  ZAGADNIENIA  ODWROTNE  95 ku  zagadnień  jedn owym iarowych  równ an ia  te  przyjmują   bardzo  prostą   postać,  pozwala- ją cą   n a  otrzym an ie  rozwią zań  ś cisł ych.  F akt  ten  jest  wart  podkreś lenia,  gdyż  graniczne zagadnienia  odwrotn e  teorii  przewodnictwa  cieplnego,  którym  gł ównie poś wię cano  uwagę w ostatnich latach , n ie  doczekał y  się  jeszcze rozwią zań  ś cisł ych. D o  budowan ia  równ ań  cał kowych  dla  zagadnień  odwrotnych  rozpatrywanych  w  pracy wykorzystano  reprezen tacje  cał kowe  rozwią zań  zagadnień  prostych,  zawierają ce  potencjał opóź niony warstwy  pojedynczej.  Jak  pokazan o w  problem ie  1, wykorzystanie  reprezentacji cał kowych  zawierają cych  poten cjał   opóź niony  warstwy  podwójnej  nie  zmienia  typu  rów- nania  cał kowego  n a  gę stość  poten cjał u.  Budowanie  równ ań  cał kowych  dla  problemów 1 -  3  i  ich  jedn owym iarowych  egzemplifikacji  w  oparciu  o  twierdzenie  3  nie  nastrę cza wię kszych  trudn oś ci  i  dlatego  w  pracy  nie  poś wię cono  im  uwagi. Interesują cy  jest  fakt,  że  cał ki  powierzchniowe  ze  splotów  m oż na w  przypadku  zagad- nień  trój-   i  dwuwym iarowych  sprowadzić  do  cał ek  potrójnych.  Wynika  to  z  postaci  roz- wią zania  podstawowego  ró wn an ia falowego,  (2). W  przypadku  gdy/ (x, ł )  =   0, (x, t)  e  Q  x x T ,  oraz  zerowych  warun ków  począ tkowych  fakt  ten  znacznie  upraszcza  zagadnienie rozwią zania  problem u  odwrotn ego. G dy  obszar  Q  <=  Em,  m  — 2,3,  m a  zł oż ony  kształ t,  wówczas  przy  rozwią zywaniu zagadnień  odwrotn ych m oż na posł uż yć się  m etodą  elementów brzegowych,  czę sto wykorzys- tywaną   do  rozwią zywania  zagadn ień  prostych,  [16 -   19],  gdyż  pun ktem  wyjś cia  dla  tej metody jest  wł aś nie  sprowadzen ie  rozważ anego  problem u  do  ukł adu  równań  cał kowych, zawierają cego  cał ki  powierzchn iowe. Literatura 1.  W.  N OWACKI,  T eoria sprę ż ystoś ci, PWN ,  Warszawa  1970. 2.  A. C.  ERIN OEN , E. S.  SU H U BI, Elastodynamics,  vol. I I — Linear  Theory,  Academic  Press,  New  York 1975. 3.  K. G RVSA,  Zagadnienia odwrotne w teorii nieustalonego przewodnictwa  cieplnego  i  w dynamicznej  teorii naprę ż eń  cieplnych,  w przygotowaniu. 4.  M. E.  G U R TI N ,  T he linear theory  of  elasticity, w: Encyclopedia  of Physics, vol. VIa/ 2,  Springer- Verlag, Berlin 1972. 5.  P. K. BAN ERJEE, R. BU TTERH ELD , Boundary element methods in engineering science,  McG raw- Hill  Book Co.  (U .  K.)  Ltd., London  1981. 6.  A. PISKOREK, Równania cał kowe, WN T,  Warszawa  1971. 7.  H . MARCIN KOWSKA,  W stę p do teorii równań róż niczkowych  czą stkowych,  PWN , Warszawa  1972. 8.  J.  OSIOWSKI, Zarys  rachunku operatorowego,  WN T  Warszawa,  1972, 9.  A. H .  ZEMAN IAN ,  T eoria  dystrybucji i analiza transformat,  PWN , Warszawa  1969. 10.  K. G RYSA,  O zagadnieniu  odwrotnym  dla równania falowego,  Mech. Teoret.  Stos., 20, 1  - 2  (1982). 11.  M. M.  LAVREN T'EV,  Ob odnoj obratnoj zadace  dla volnovogo  uravnenia,  D AN   SSSR, 157, 3 (1964). 12.  W.  G .  ROMAN OV, N ekotoryje  obratnyje zadać i dla uravnenia giperbolić eskogo  tipa, N auka, N owosybirsk 1972. 13.  A. S.  BLAG OVESCEN SKIJ,  Obratnaja zadaca dla volnovogo  uravnenia s neizvestnym istocnikom, w: Proble- my  matematiceskoj  fiziki, vyp. 4, Izd. LG U ,  1970. 14.  R.  BU RRID G E,  T he Gelfand- L evitan,  the  Marchenko,  and the  Copinath- Sondhi  integral  equations  of inverse scattering  theory in the context of  inverse  impulse- response problems, Wave M otion, 2 (1980). 15.  M . M.  LAVREN T'EV,  K. G .  REZN ICKAJA,  V.  G .  JACH N O, Odnomernyje  obratnyje  zadać i matematiceskoj fiziki,  N auka,  N owosybirsk  1982. 96  K.  G RYSA 16.  R. P. SH AW, Boundary integral equation methods applied to  wave problems,  w: D evelopments in BEMs- t ed.  P. K. Banarjee  and R. Butterfield,  AS Publ.  Ltd., London 1979. 17.  W. J. MAN SU R,  C. A. BREBBIA, N umerical implementation of the boundary element method for  two  dimen- sional transient  scalar  wave propagation problems,  Appl.  M ath. Modelling,  6  (1982)  299 -  306. 18.  D . M.  MISLJEN OVIC,  Boundary element method and wave equation, Appl.  M ath.  Modelling,  6  (1982) 205  -  208. 19.  D . M. MISLJEN OVIC,  T he boundary element method in shock waves  analysis,  Appl.  M ath.  Modelling, 6 (1982)312- 315. P  e 3 io  M  e TP AH H ^H BI E  OBPATH M E  S A^ A^ H   JUISL   BOJI H OBOrO  YP ABH EH H H B  daTHH  npe#cTaBJieEC£>i MHoroiwepHbie  rpamire  oG paiiibie  3aflatiH   pjnn  BOJiHOBoro H irrerpajibH bie  penpe3eHTai(HH   pemeHHH   HanaJiBHo- KpaebiBX  3afla^i  BbmefleH bi  n a  ocHOBe  TeopHH   n o- JXnst o 6p an ibix  safla1!  c4)opMyjiHpoBaHW  H H TerpajibH bie  ypaBH eH na  B K O T O P H X  HeH3BecTHoft H BjineTcn  nnoTHocTŁ   n oieH ą n ajia  n p o d o r o  CJIOJI.  yn oTpe6jiH H   3Ty H iiTerpanBH yio  dpopiwy- jinpoBKy  H attflenbi  ToiH bie  peiueHHH  Tpex  oflHOMepHbix  rp an an H bix  oSpaTH bix  3aflai. Praca  został a zł oż ona w Redakcji  dnia  1 lutego 1984 roku S u m m a r y BOU N D ARY  IN VERSE  PROBLEMS  F OR WAVE  EQU ATION The  multidimensional boundary inverse problems for the wave equation  are considered.  On the basis of the potential theory  the integral  representations for the  solutions  of  the initial- boundary  problems are derived.  N ext, the integral  equations  for  the inverse  problems  are  formulated,  in  which  density  of the simple  layer  potential  is  an uknown  function. The  exact  solutions  for three one- dimensional  inverse problems  are  found  by  means  of  the integral formulation.