Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z1.pdf


M ECH AN IKA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA

1,  23  (1985)

JEDNOWYMIAROWY  CIĄ GŁY  M ODEL  STATECZNOŚ CI
S PRĘ Ż YS TEJ  SIATKOWYCH  DŻ WIGARÓW  POWIERZCHNIOWYCH

ROMAN   N AG ÓR SKI

Politechnika  W arszawska

1.  Wstę p

P rzedm iotem  pracy jest  stateczność  w  zakresie  sprę ż ystym  siatkowych  dź wigarów  po-
wierzchniowych  o  gę stej  i  regularnej  siatce  elementów.  Celem  rozprawy  jest  wyprowa-
dzenie  równ ań  jedn owym iarowego  modelu  cią gł ego  powyż szego  problem u  [1],  Poszuki-
wane  równ an ia  uzyskam y,  stosują c  koncepcję   kon tin uum  z  wię zami  wewnę trznymi  [2]
do powierzchniowego  oś rodka typu  Cosseratów,  bę dą cego  cią gł ym  dwuwymiarowym  mo-
delem  rozważ anych  dź wigarów  [3],

P rezentowany  p ro blem jest  zł oż ony. Stosowanie  opisu  dyskretnego  prowadzi  do  ko-
sztownych  obliczeń  lub  zn an ych  trudn oś ci  z  uzyskaniem  „ zamknię tych  rozwią zań"  szer-
szej  klasy  równ ań  róż nicowych  [4,  5]. Wykorzystanie  opisu  kontynualnego  [3]  powoduje
konieczność  cał kowan ia  równ ań  róż niczkowych  czą stkowych.  M oż liwość  otrzymania
rozwią zań  analitycznych  tych równ ań jest  ograniczony, n atom iast  przybliż one  cał kowanie
numeryczne jest  n a  ogół   równ ież  stosun kowo  kosztown e.  Z  powyż szych  wzglę dów  liczba
uzyskanych  do  tej  pory  rozwią zań jest  niewielka  i  dotyczy  szczególnych  rodzajów  kształ tu
i  struktury  dź wigara  oraz  typu  obcią ż enia  i  warun ków  brzegowych  (por.  n p.  [3],  [4]).
Wydaje  się  zatem , że celowe jest  poszukiwanie  prostych  i dostatecznie  dokł adnych modeli
statecznoś ci  rozpatrywan ych  dź wigarów,  zezwalają cych  n a  rozszerzenie  zakresu  moż li-
wych  do  efektywnego  rozwią zan ia  zadań  praktyczn ych.

W  tej  pracy  przyjmiemy  nastę pują ce zał oż en ia:
1.  P rzez zagadn ien ie  statecznoś ci  rozumiemy problem wyznaczenia  krytycznej  wartoś ci

obcią ż enia,  dla której  moż liwe  są   róż ne postacie poł oż enia równowagi.  Inaczej mówią c, dla
pewnej  wartoś ci  p aram et ru  stan u  obcią ż enia  istnieją   nieznikają ce  toż samoś ciowo  funkcje
okreś lają ce  stan  przemieszczenia,  zaburzają ce  podstawowe  poł oż enie  równowagi,  tak  że
bez zmiany  obcią ż enia  zewnę trznego  i warun ków  podparcia moż liwa  jest dalej  równowaga
konstrukcji.

2.  M at eriał   dź wigara  jest  liniowo- sprę ż ysty.
3.  P rzemieszczenia i odkształ cen ia są  m ał e, umoż liwiają ce  wykorzystanie  liniowej postaci

zwią zków  geometrycznych.

4.  W  równ an iach równ owagi,  w  statystycznych  warun kach  brzegowych  oraz  w  zwią z-
kach wią ż ą cych  skł adowe  pól  statycznych  i geometrycznych  w  bazie  konfiguracji  odkształ -

7  Mech.  Teoret.  i  S tos.  1/ 85



98  R-   N AG ÓRSKI

conej  i nieodkształ conej m oż na pom iną ć skł adn iki jawn ie  nieliniowe  wzglę dem  skł adowych
stanu  przemieszczenia.

5.  O  utracie  statecznoś ci  poł oż enia  równ owagi  decyduje  liniowa  czę ść  przyrostu
(wariacji)  równ ań  równowagi  wzglę dem  przyrostu  skł adowych  stan u  przemieszczenia,
zaburzają cych  stan  równowagi  podstawowej.

6.  Powierzchnia  podstawowa  dź wigara  w  konfiguracji  począ tkowej  róż ni  się   od  tej
powierzchni  w  konfiguracji  aktualnej  gł ównie  poł oż eniem w  przestrzeni  i  kształ tem , tzn.
zmiana  na  skutek  deformacji  dł ugoś ci elem entarnych ł uków  i  pól  elem en tarn ych powierz-
chni nie wpł ywa  n a stateczność poł oż enia równowagi.

7.  Stan podstawowy  (niezaburzony) konstrukcji  obcią ż onej  m oż na okreś lić  korzystają c
z  równań  liniowych  teorii  infinitezymalnej  (przy  uwzglę dnieniu  zasady  zesztywnienia).

8.  Speł nione  są   zał oż enia  stosowalnoś ci  cią gł ego  m odelu  pierwszego  przybliż enia
konstrukcji  siatkowych.  W  szczególnoś ci  powierzchnia  podstawowa  skł ada  się   z  pewnej
liczby  gł adkich  pł atów  niezbyt  zakrzywionych;  osie  elementów  tworzą   gę stą,  regularną
i  dyskretną   siatkę   krzywych  n a  tej  powierzchni  [3].

9.  Bę dziemy  rozważ ać  ruszty  powierzchniowe  zł oż one z  dwu  lub  trzech rodzin  prę tów
w  przybliż eniu  pryzmatycznych,  dostatecznie smukł ych i  sztywno  poł ą czonych w wę zł ach,
oraz  powł oki  perforowane  o  stał ej  gruboś ci,  zł oż one z  dwu  rodzin  elementów  o  niezbyt
duż ej  szerokoś ci,  tworzą cych  siatkę   ortogon aln ą .

10.  Równania  idealnych  wię zów  typu  kinematycznego  i  statecznego  są   cał kowalne
i  liniowe.

11.  Równania jednowymiarowego  m odelu  statecznoś ci  wyprowadzim y  dla  dź wigarów
ukształ towanych n a powierzchni w kształ cie jedn oparam etrowej  rodzin y kon turów ł ukowo
gł adkich.

Wymienione  wyż ej zał oż enia ograniczają   oczywiś cie  zakres  stosowalnoś ci  prezentowa-
nej  dalej  teorii. Jednak  przypadki  speł niają ce  przyję te  postulaty  stanowią   z  praktycznego
pun ktu widzenia waż ną   klasę  konstrukcji.  P ewne wą tpliwoś ci  mogą   n asuwać silne zał oż enie
liniowoś ci  równań  statecznoś ci. Wydaje  się   jedn ak,  że  dla  okreś lenia  krytycznego  obcią ż e-
n ia  powodują cego  „ globaln ą "  utratę   statecznoś ci  dź wigarów  dostatecznie  „ sm ukł ych "
wzglę dem  jednego  z  charakterystycznych  wymiarów,  wyprowadzon e  w  pracy  równania
mogą   być  uż yteczne.  .

W podanych dalej  równaniach i wzorach  bę dziemy  stosować  uję cie  ten sorowe w  notacji
wskaź nikowej.  Konwencja  sumacyjna  dotyczy  wskaź ników  oznaczonych  mał ymi literami
greckimi  przyjmują cymi  wartoś ci  „ ł " i  „ 2 ".

2.  Równania statecznoś ci teorii dwuwymiarowej
z  wę ż ami wewnę trznymi

N iech  n  oznacza  pł at  powierzchni  podstawowej  dź wigara  powierzchniowego  w  konfi-
guracji  począ tkowej,  parametryzowanej  współ rzę dnymi  ( u a) ,  ( r a , « 3 )  i  (ra,a3)  —  bazę
i  kobazę   lokalną , g

xll
,  b

afl
,  e

al>
 —  tensor  metryczny,  krzywiznowy  i  pseudoten sor  Ricciego,

(...)  I —sym bo l  powierzchniowej  pochodnej  kowarian tn ej,  n  — nar
a
  =  n

a
r

a  —  wersor
norm alny  d o  przekroju  norm alnego  powierzchni  n,  w  szczególnoś ci  brzegowego b%
(rys.  1).



ST AT E C Z N O ŚĆ  SIATKOWYCH   D Ź WI G AR ÓW  P OWI E R Z C H N I OWYC H   99

Przez  n
0
  oznaczymy  obraz  n  po  deformacji,  przez  ( 7 a ,  S3)  i  (/ ",  a3)—  bazę   i  kobazę

lokalną ,  ga/ )  —t e n so r ^metryczny  przy  parametryzacji  n0  również  współ rzę dnymi  (w"),
a przez n  -   nar

a
  =  n

a
r

a
  wersor  n orm aln y  do  przekroju  normalnego n

0
,  bę dą cego  obrazem

przekroju  n orm aln ego  n.

Rys.  1

N a  mocy  zał oż en ia  4,  6,  p o  wykorzystaniu  znanych  z  geometrii  wzorów,  przyjmiemy

+  y
a
a

3
,  a

3
  =   a

3
- y

a
r

a
,  (2.1)

gdzie

y«/ j  =   ©/i l« -   Kp v,  y
a
  =   v\

a
 + biv

p
,  (2.2)

jest  wektorem  przemieszczenia  i  &  —  &
a
T

a
-

J
r- tfa

z
  —  rozpatrywanym  dalej

wektorem  mał ego  o bro t u  czą stki  oś rodka.
Oznaczymy  przez  p^   i  m^  gę stość  liniową   sił y i m om en tu oddział ywań wewnę trznych

w  oś rodku  w  przekroju  o  n orm aln ej  n.
D okonują c  rozkł adu

otrzymujemy  p o  uwzglę dnieniu  (2.1)  zależ noś ci

Wprowadzają c  gę stoś ci  powierzchniowe  obcią ż enia  zewnę trznego  typu  sił  i  momentów
?  =   Q"^ a+co

3
,  li  =   har

x
+ha

3
  i  gę stoś ci  liniowe  obcią ż enia  brzegowego  'p  =   'par

a
+'pa

3
,

m  =   'mar
a
+'ma

3
  otrzymujemy  w znany sposób  przy  wykorzystaniu  zał . 4 i 6 i  (2.3),  (2.1)

równania równ owagi  elem en tu  „dn"

=   0,  p%  +  * „ /   +  ?• +  r  -   0.
+    ̂ +  ̂ - O,  (2.5)

P* +  h +  s  =   0,



100  R.  N AG ÓRSKI

oraz statyczne warunki  brzegowe

P*n
f
  =   y  +  r",  P>n„  -   > +  T,

gdzie  r", risa,  s  oraz  T",  ri  ft,  p  są  skł adowymi  w  bazie  ( F a ,  a3)  reakcji  typu  sił  i  mo-
m entów  odpowiednio  n a  n

0
  i  8n

0
  wię zów  wewnę trznych  typu  kinematycznego  nał oż o-

nych  a priori  n a stan przemieszczenia oś rodka  [1,  2].
G eometryczne  warunki  brzegowe  przyjmujemy  w  postaci

»«  =   '««,   o - ' ®,   # «  =   ' # «,   #   = ' #   (2.7)

gdzie  'v
a
,  'v  oraz  '# «,  i?  są  skł adowymi  danego  n a  brzegu  wektora  przemieszczenia  'v

i  obrotu ' #  w bazie  (?*, a 3 ) .
Postulujemy  idealność wię zów  typu  kinematycznego  za  pom ocą  zasady

J  (radv
a
  +  r<5fl +  sad&

a
 + sdv)dn+  J  (z

a
bv

a
  + %dv +  / fd&

a
  +  / j£&)d{8n)  =   0,  (2.8)

dla  dowolnych wariacji  dv
a
,  dv,  d§

a
,  d& zgodnych  z wię zami,  których  równ an ia  sprecyzu-

jemy  dalej.
Zwią zki  fizyczne  przyjmiemy  w  postaci  (por.  [3] i zał . 2)

gdzie  A*^ ,  ,..,B*S  oznaczają  tensory  sztywnoś ci  sprę ż ystej,  a f t ,  ^  —  Skł adowe
tensorów odkształ cenia.

Jeż eli nakł adamy  n a skł adowe stan u napię cia wię zy idealne  [1,  2],  to  przy  uwzglę dnie-
n iu  (2.1) 3 mamy

-   0  (2.10)

dla  dowolnych  wariacji  dpa?,  dpa,  dmap,  dma  zgodnych  z  wię zami  typu  kinetycznego,
których  równania  sprecyzujemy  dalej, n atom iast  (por.  [3] i zał . 3)

y*  =  v^   + b^  +  e^ p,

Rozważ ymy  przypadek, gdy  oś rodek jest cią gł ym dwuwymiarowym  m odelem  dź wigara
siatkowego  (por. zał . 8,  [3])  zł oż onego z  kilku  rodzin  A  (A  =  I ,  I I , I I I , ...)  elementów,
których  osie  tworzą  regularną  siatkę  dyskretną  krzywych  n a  powierzchni  podstawowej
(rys.  1).

Wprowadzamy  n a  n  wzdł uż  każ dej  krzywej  rodziny  A  orton orm aln ą  bazę  (t
a
,  Q,

gdzie  t
d
  jest  wersorem  stycznym,  t

ń
  =   a

3
  x  t

d
  —  n orm aln ym , przy  czym

U^ PK,  t
A
"t

a
l

a
.

  :  .  (2.12)

Jeż eli  f
d
  = °taf

a
, t%  =   t^ f

a
  są  odpowiednio  obrazam i  t

A
  i  t

A
  p o  deformacji,  to zgodnie

z  zał .  4, 6 m oż na  przyjąć

Ż '- <2.  f=?
A
.  (2.13)



STATECZN OŚĆ  SIATKOWYCH   D Ź WIG ARÓW  POWIERZCH N IOWYCH   101

W  przypadku  rusztu  prę towego  (por.  zał . 9) przy  uwzglę dnieniu  (2.13) jest  [3]

A
),  A«*  -

A

(2.14)

gdzie

p . J .  «,  l i p  r  v
Rń  ~fT'  *d  ~W'  R=   ui-

(2- 15)
A

J
A  ?.  Ć Z.A  A  «  _  - ^̂l • '/I

przy  czym i J j,  G^ oznaczają  m oduł  Youn ga  i m oduł   skrę cania,  l
A
,  l

A
 — dł ugość elementów

rodziny A i odległ ość m ię dzy „ są siedn im i" elementami tej rodziny  (rys.  1), A
Ai
J

A
,  J

A
,JA  —

pole  przekroju  oraz  osiowy  i  gł ówne  ś rodkowe  m om en ty  bezwł adnoś ci  tego  przekroju

wzglę dem  osi T
A
,f

A
, ~a

3
(A =  I, I I lub A  -   I , I I ,  I I I ) .

N atom iast  dla  powł oki  perforowanej  przy  wykorzystaniu  (2.13)  mamy  (por.  zał .

9 i  [3])

v  ,  ^  . v  (2- 16)

A  '  r

gdzie

Mi  J  \ ViS
u
  S

n
  J

D   E
A
u  ~  h

A
ua

A
  v  t,Ą U  .  _.

- n̂l  5  «,  «,  ,  Aj  —  L2  ,  O/-1  ,  .AS2  >  ^  ̂ ~   Ł 2  '  K*'11)

d
2  v  E

A
a

A
dl

A

SA  =   fcj  2 ( 1 - H - )1  5 j  =

przy  czym  £ , ł>  oznaczają  m o d u ł   Youn ga  i współ czynnik  P oissona,  J — grubość  powł oki,

kj  — współ czynnik  skrę cen ia  dla przekroju  prostoką tn ego;  znaczenie a
A
,  a

A
,  b

A
,  b

A
 wy-

jaś n iono  n a  rys.  2 (A  = 1 ,  I I ) .

Wielkoś ci  v, &  oznaczają  (w pun ktach przecię cia krzywych  siatki  dyskretnej)  przemiesz-

czenia  i  ką ty  obrot u  wę zł ów  dź wigara.

Jeż eli  przez  P
A
  =  P

A
1°+P  t°+PJt

3
  i M

A
  =  Mj°  + M  7°

a
+M  a

3
  oznaczymy  wektor

sił y i m om en tu w przekroju  ś rodkowym  prę ta rodziny A  (rys.  3), to  zgodnie z zał oż eniami,

cią gł ego  m odelu  rozważ an ych  ustrojów  oraz  (2.13)  mamy  [3]



102 R.  N AG ÓRSKI

= a n

—  b , = B n —-

- I

.4-   L.z:
- ~ idr

Rys.  2

A

PA  =

M,  ™ M
A
  -

(2.18)

•   Zał oż ymy  dalej,  że  powierzchnia  n  jest  utworzon a  przez  jedn oparam etrową   rodzinę
odcinkowo  gł adkich  i  spójnych  kon turów  P ( u x )  (M 1  6 (u\ ,  ti^ })  tak,  ż ef  (w*) n  - T(Mfc)  =   0
dla  ul

a
  J=  ul  oraz n a brzegu  róż nym  od F(ul)  (gdy  F{ul)  n ie jest  kon turem  zam kn ię tym  —

—  8F(ul)  ^  0 )  dane  są   jedynie  statyczne  warunki  brzegowe.  N a  brzegu  r( t / J)  (gdy
Fu(\ )  ?Ł  / "(u^) mogą   być  one statyczne  lub  geometryczne  (zgodne  z  przyję tymi  wię zami).
Jako  zmienną   u2  powyż szej  klasy  powierzchni  podstawowej  oś rodka  przyjmiemy  param etr
kon turu  IXw1).

Rozważ ania  poniż sze  ograniczymy  do  cał kowalnej  i  liniowej  postaci  równ ań  wię zów
typu  kinetycznego  (por.  zał .  10,  [1, 2])

^vs,  v, St ^ M i  (2- 19)

Rys. 3

1 , 2
gdzie  ^ K  są   nieznanymi  przemieszczeniami  uogóln ion ym i,  vaK,  ...,  $K  znanymi  funkcjami

Wię zy  typu  kinetycznego  postulujemy  w  postaci  wyraż ają cej  czę sto  stosowany  w  prak-
tyce  fakt  pomijalnoś ci  wpł ywu  niektórych  skł adowych  stan u  napię cia  n a  zachowanie  się
dź wigara

< f  m«\   m«na
m
m

a
,  (2.20)



STATECZN OŚĆ  SIATKOWYCH   DŹ WIG ARÓW  POWIERZCHNIOWYCH   103

gdzie  7if,  . . . , < „   są  param et ram i  przyjmują cymi  wartoś ci  „ 0 "  lub  „ ł " w  zależ noś ci  od
tego,  czy  dan a  skł adowa  jest  pom ijan a  czy  dowoln a.  F orm aln y  zapis  (2.20)  powyż szych
wię zów  zezwala  n a  niewyszczególnienie  n a  etapie  ogólnych  rozważ ań,  którą  z  wielkoś ci
statycznych  m oż na  uzn ać  za  pom ijalnie  mał ą.

Zajmiemy  się  n astę pn ie wyprowadzen iem  równ ań  statecznoś ci.  Przyjmiemy,  że  skł ado-
we  stanu  obcią ż enia  są  n a  tyle  duż e,  że  bez  zmiany  warunków  brzegowych  moż liwe  są
róż ne postacie poł oż en ia równ owagi  okreś lone przez  zaburzenie  stanu  podstawowego  przez
dodatkowe  wektory  m ał ego przesunię cia  dv  -   8v

a
r

tx
  + 8va

3
  i  obrotu  8§  =  8&

a
r

a
+8§

a

3

zgodne z wię zami  (2.19), tj.  okreś lone  przez  przyrosty  8f
K
(K  =  1, 2,  ...,N )  przemieszczeń

uogólnionych  (por.  zał .  1)

(8v
a
,  dv,  M

a
,  8ff)  =   £  KV«K>  »*.  0 « ,  &

K
)8fK  + (v

aK
,  l

K
,  §

aK
,  §

K
)8y>'

K
].  (2.21)

1

Wykorzystując  fakt,  że  „ cał kowity"  i  „ podstawowy"  stan  przemieszczenia,  napię cia
i  odkształ cenia  speł n ia  równ an ia  i  zwią zki  (2.2),  (2.4)  -   (2.11),  (2.19).  (2.20)  oraz  uw-
zglę dniając  zał oż enie  5  otrzymujemy  równ an ia  problem u  statecznoś ci:

równ an ia  równ owagi

•   dp%- tfdpP  + dr  o  0,  8p«\
a
 + b

a/ !
8p«e +  8r=>0,

^ )  + 8s
a  =   0,  (2.22)

p
  fY  fy

  =   0,

statyczne  warun ki  brzegowe

dp^ np  m  8r
a
,  8pił   =   8x,  dfiPrtp =  8/ f,  8m%  =   dp,  (2.23)

geometryczne  warun ki  brzegowe  (zgodne  z wię zami  typu  kinematycznego)

dv
a
  = 0 ,  dv  =   0,  <9#« =   0,  8& =   Ó,  (2.24)

gdzie

3y«e  -   dvp^ - b^ dv,  d
Ya

  =   dv\
a
 + bgdv

f
  (2.24)

oraz

S
p*  ,  .

3p
P*

 +
  g«%f

yi
dpl>r +  Bfopl*)  -   ĝ hSp?  +  Sfapt),

Bp? =   V  +  y
v
8pfr  + 8y

y
pt>v,  (2.26)

8hł   m  8nł   +  y
y

zwią zki  fizyczne

8p  =   A8y
s
,

8m
a  -   B ^ ,

zwią zki  geometryczne

-   b
a§

8v  - fy M ,  8y*  m  8v\
a
 + bi



104  R.  N AG ÓRSKI

oraz  zasadę  idealnoś ci  wię zów  kinematycznych

J  (8r
a
8v

a
  + 8r8v + 8s«8§

a
 + 8s8&)dn  +  j  (8r*Sv

a
  + 8xdv  + Ą u Wa  + 8[id§)d{8n)  -   0,

(2.29)

i  kinetycznych

^
?
  d4^ m

a
]d7z  =   0,  (2.30)

przy  czym

df*  =   nf8paf),  8p"  =   na
p
8p",  8m

a(l  =   T gSbnP,  8ma  =   fadnf.  (2.31)

W  zależ noś ciach  (2.31)  param etry  nf,  ...,  ST",  przyjmują  wartoś ci  „ 0 "  lub  „ 1 " ,  przy

czym  w  stosunku  do  (2.20)  odróż n iono  nf,  ..., ^  od  nf,  ...,  n%, z  uwagi  n a  fakt,-   że

pomijalność  pewnej  skł adowej  stan u  napię cia  w  stan ie  podstawowym  m oże  być  nieuza-

sadniona  w  stanie  zaburzonym  i  odwrotn ie.

Jeż eli  nie  n akł adamy  wię zów  wewnę trznych  to  wobec  dowolnoś ci  i  niezależ noś ci

dv
a
,  ...,  d& oraz  dp"?, ...,  dm* z  zasad  idealnoś ci  (2.8),  (2.10)  i  (2.29),  (2.30)  wynika,  że

r a  =   r  =   0,  sa  =   s  =   0,  T "  =   r  -   0,  aa-  =   u  =   0,
(2- 32)

oraz
dr"  =   3r  =   0,  Sf'  =  8s  =  0,  8ra  ==  8%  =  0,  ^Ma  =   3«  =   0,

(2.33)
•  dyla,  5ya  =   ^ y„ ,  - cl ŝ =

Z atem wyprowadzone  równ an ia  sprowadzają  się  d o  równ ań  statyki  i  statecznoś ci  mo-
delu  dwuwymiarowego.

Otrzymane  rezultaty  mogą  być  podstawą  dalszych  uproszczeń .
Z godnie z  ogólnym  postulatem liniowoś ci  prezen towan ej  w  tej  pracy  teorii  przyjmiemy

(por.  zał . 7), że w  równaniach  stanu  podstawowego  (2.4),  (2.5)

y
a
p  =   0,  £ a  =   0.  (2.34)

Czę sto  w  praktyce,  zwł aszcza  w  przypadku,  gdy  zn an y jest  rozkł ad pap,  pa,  mal>,  ma  za-
kł ada  się, że  stan podstawowy  oś rodka jest  „ sztywn y",  tzn . równ oś ci  (2.34)  uwzglę dnia  się
również  w  (2.22),  (2.26).

I n n e  moż liwe  uproszczenia  wyprowadzonych  równ ań  i  zwią zków  dogodn ie  i  bardziej
stosownie jest rozważ ać  dla kon kretnych p o d wzglę dem  kształ tu i struktury  typów  dź wigara
oraz rodzajów  obcią ż enia  i warunków  podparcia.

3.  Równania statecznoś ci  modelu jednowymiarowego

P o wyznaczeniu  z (2.5), (2.6) skł adowych  reakcji  wię zów,  a z  (2.19) wariacji  skł adowych
stanu przemieszczenia  i p o podstawieniu  do zasady  idealnoś ci  (2.8), wykorzystaniu  zgodnie
z  zał .  7  zwią zków  (2.34),  zależ noś ci  (2.20)  oraz  n  =   {F{ul),  u1  e  <u\ ,  ul}}  otrzymujemy



ST AT E C Z N O ŚĆ  SI ATKOWYC H   D Ź WI G AR ÓW  P OWI E R Z C H N I OWYC H   105

po  wykon an iu  cał kowan ia  wobec  dowolnoś ci  i niezależ noś ci  dy>
K
(K  =   1,2,  ...,N )  uogól-

nione  równ an ia  równ owagi  st an u  podstawowego  [6,  7]
2  2  1 1 2  1

X
P'K  - QK- W K  + QK+K- FK  =   0  (u1 e(u\ ,  ul))  (3.1)

i warunki  brzegowe
2  2  1 2  1  1

• W K- ^ K- ^ K+FK  =   - G
Ka

  lub  fK  =  VK
a
,

2  2  2  (3- 2)
X
P

K
  -   G K a  lub  1/4 =  ^  (M

1 =   Mi),

gdzie  uogóln ion e  sił y  wewn ę trzn e,  zewnę trzne  przę sł owe  i  brzegowe  okreś lone  są  odpo-
wiednio  wzo ram i:

Y  C  I  Y  Y  V  Y  \   - J~^

V  f* i  V  V  Y  V  \   i  /

ni)  "  ***  VJ7
Y  C l  V  Y  Y  Y  \   l/   o

F
K
  =  I Xff'Vg.j^  + qv

K
 + Aa# aK +  h$

K
)  — — = -

r  n*3  [[' «v

przy  czym  L du1  «=  d ( ^ i n ( u 1 ) ) ,  jeś li  BFiu1)  ^  0 ;  (...)'  -   d(...)ldul,  n atom iast
y  Y  Y  Y Y  Y  Y  Y

(3.4)

S22

P odstawiają c  (2.19)  do  (2.11)  i  wykorzystują c  zn an e  z geometrii  powierzchni  wzory
znajdujemy

y* =
N

Y  Y  Y  Y

gdzie  y
apK

,  y
aK)

  y
a/ )K

,  y
aK

 są  okreś lone  za  pom ocą   (3.4),  <5a/3 — jest  symbolem  Kron eckera.
Zwią zki  fizyczne  odwrotn e  d o  (2.9)  zapiszemy  w  postaci

(3.6)
gdzie  Va/3f,,,  ..., 9«f są  ten soram i  podatn oś ci  sprę ż ystej.  Stosunkowo  ł atwo może je  wyzna-



106  R-   N AG ÓRSKI

czyć  w  przypadku  rusztu  prę towego  i  powł oki  perforowanej  (por. (2.14)  -  (2.17)), gdy
A  «•   I, I I i dyskretna  siatka  osi elementów pokrywa  się  z ortogon aln ym i liniami parametry-
cznymi  powierzchni  podstawowej.

U wzglę dniając  (3.6) i  (2.10)  w  zasadzie  idealnoś ci  (2.20)  otrzymujemy

- Y$)n%  -   0,

(nie  sumować  wzglę dem  a,/ ?).
N a  podstawie  (3.5),  (3.7)  ł atwo  znajdujemy  wyraż enia  n a niezerowe  skł adowe  stanu

napię cia w funkcji  y>
K
,  ip'

K
, yi' . P ostać tych wyraż eń  jest  n astę pują ca:

N  3  N  3  .

N  3  ,  N i,  (3.8)

K= li= l

gdzie wprowadzono  oznaczenia

i t
l )  =  f

K
,  W , ii,  dla  i  m  1, 2,  3.  (3.9)

P o  podstawieniu  (3.8) do  (3.3)!  2  otrzymujemy  uogóln ion e  zwią zki  fizyczne
N  3  N  3

y  =  yy
i  =  l

gdzie

i = i i = i  t- i  i= \

/ • („i)

=   J (rffyvKptf + Ky
aK

pl  +3$^
K
ntf  + j&t

aK
ml)  — F ^

(3.11)

W  przypadku  gdy wszystkie param etry  nf,  . . . , < '  są  równ e jedn oś ci,  to p o bezpoś red<
nim uwzglę dnieniu  (3.5) w (2.9) wobec  y*?  =>  y%i, y« = y$, x

a/ }
  =>  x$p, x

K
  =>  tit  (por.  (2.10))

a  nastę pnie w  ( 3.3) , , 2  uzyskujemy  nastę pują ce  wzory  n a uogóln ion e  sztywnoś ci

k =

oraz

(3.12)



STATECZN OŚĆ  SIATKOWYCH   D Ź WIG ARÓW  POWIERZCH N IOWYCH   107

®  j  [A^   A*  B# ^   *  (3.13)

4L
VS22

y3 r I  *

^ - L =   J  U l K l V  82
y3 f  /

=   J U ^1
r(> )
J  V  J j

r(u>)  V  S22

P o  uwzglę dnieniu  (3.10)  w  (3.1),  (3.2)  ł atwo  otrzymujemy  równania  róż niczkowe
i  warunki  brzegowego  jedn owym iarowego  m odelu  stanu  podstawowego  —  równania  sta-
tyki jednowym iarowej  teorii  infinitezymalnej.

N astę pn ie  wyprowadzim y  równ an ia  stan u  zaburzonego.  Obliczają c  z  (2.22),  (2.23)
przyrosty  reakcji  wię zów, a  z  (2.19) wariacje  skł adowych stanu przemieszczenia, i uwzglę d-
niają c w  (2.29), wykonują c  cał kowan ie przy wykorzystaniu  znanych z geometrii powierzchni
wzorów,  zależ noś ci  (2.20), (2.31) oraz  n  —  {Fty1),  u1  e <«},  u1^ )} otrzymujemy  wobec do-
wolnoś ci  i  niezależ noś ci  dy>

K
(K =  1, 2,  ...,N )  równ an ia  równowagi

łdł °
K
" -  dh'  - W  +  dOl  =  0,  (w1 e (u\ , ul))  (3.14)

i warunki  brzegowe

d&l- dW Z  =  0  lub  df
K
  =  0,

(3.15)
%  =   0  lu b  dę '

K
  =   0  (w1  -   «4)

gdzie wprowadzon o oznaczenia

f  (;^%K  ł , ?
1 ^ + M \ K + m 4 K )  - pL-  du\

(3.16)

e
gdzie y

apK
,  y

aK
,  «a j 3 x,   XxK  są   okreś lone za pom ocą  (3.4).

P odstawiają c  (2.19)  do  (2.2), (2.25) znajdujemy  (por. (3.5))

YV
O
  K + Y°  KĄ4­ + di  (i KW +1  KĄK)\ >



108  R-   N AG ÓRSKI

(3.17)
[cd.]

gdzie  (por. (3.4))

v  v
Y°K  ^   Y«K- <$$I}K-  (3.18)

Postę pując  analogicznie jak  przy  wyprowadzeniu  zwią zków  (3.5) -  (3.8)  otrzymujemy

n a  podstawie  (2.27),  (2.28),  (2.30),  (2.31)

8y*  =   _

i  2  n  2  \ l  (3.19)

V f !  2  /'  '  2
X = l

a nastę pnie
JV  3  .  AT  3

Km 1  f.  1  # =   1 (=   1
(3.20)

N   3  N  ?

jr= i ; = i  JC= I 1= 1

gdzie

^ V K " 1 '  =   dyic> dyK) dy>K  d l a  i  =   1 , 2 ,  3,  (3.21)

i  i  i  i  i

8ptf, 8p%, 8mf,  8m% są   znanymi  funkcjami  zmiennych  (u a)  (równymi  o d p o wi e d n i o / ^

Pl, mf,  ml, jeś li n f  =  nf,  n« =  nj, < f  =  nff,  «•   =   ag).
U wzglę dniając  (2.20), (2.31) w  (2.26), a nastę pnie w  (3.16) przekształ cam y wyraż enia na

o  c
8W K,  3&K nastę pują co:

(3.22)

gdzie

(3.23)



ST AT E C Z N O ŚĆ  SI ATKOWYC H   D Ź WI O AR ÓW  P O WI E R Z C H N I O WYC H   109

J
• rc1)

+  t

VS22

K]- ^dr,
Viii

=   J [g
rc1)

JL ,dr,   ( 3 . 2 3 )

U- Ji.

^ ^   + yj&Bf

g22

P o  podstawien iu  ( 3. 17) 3 ) 4  do  ( 3. 23) 3 , 4 ) a  (3.20)  do  (3.23)x  2, 5, 6  i  uwzglę dnieniu  (3.21)

m oż na  wielkoś ci  (3.23)  ł atwo  doprowadzić  do  postaci  (j  -   1, 2, 3)

gdzie przykł adowo jest  (por.  (3.11))

gi  r  U  e  '  „
KŁ  J  \   p  VaKWL  T-

AT  3   ,   *   W  3

( 3. 25)
e'  C  *  e  '

&KL   =   W pY*BK.dp\



110  R .  N AG Ó R SK I

•   •   ,  .  al

Zależ ne  od  skł adowych  stanu  napię cia  w  stanie  podstawowym  miary  sztywnoś ci  < P |Ł >
( ? '

< J |Ł   moż na  po  wykorzystaniu  (3.8)  przedstawić  w  funkcji  liniowej  przemieszczeń  uogól-
nionych tego  stanu

N  3  .  JV  3  .

•   for.  = 21  Phi?- ",  *h=  22  ML ^ - 1'  (3.26)
/ =   1  j=   1  /-1  /-1

i podobnie zależ ne od deformacji  konfiguracji  począ tkowej  miary sztywnpś ci  W £
L
, 0^

L
  moż-

na  po  uwzglę dnieniu  (3,17)i.a»  (3- 9)  wyrazić  nastę pują co:
W  3   .   (  W  3   .

fe  =   £2  &&.$- ».  &L =   U ^ife^y- 1'-   (3.27)
Jml  y =  l  J - l  ; = 1

Wyznaczając  z  równań  (3.1),  (3.2),  (3.10).jednowymiarowego  problem u  brzegowego
uogólnione  przemieszczenia  ip

K
  w funkcji  param etru stanu  obcią ż enia,  a  nastę pnie podsta-

wiając je  do (3.26), (3.27) otrzymujemy  n a podstawie  (3.14), (3.15) i  (3.22), (3.24) równania
jednowymiarowego  uogólnionego  zagadnienia  na  wartoś ci  wł asne,  z  którego  obliczamy
krytyczne  wartoś ci  param etru  obcią ż enia  i  postacie  wyboczenia  okreś lone  przez  df

K
.

Jeż eli  pominiemy  wpł yw  deformacji  powierzchni  n  w  stanie  podstawowym  n a  wyż ej
opisany  problem  statecznoś ci  dź wigara,  to  zgodnie  z  (2.34)  w  zwią zkach  (3.22)  należy
przyjąć  (por.  [1])  .

bW \   =   0,  dh  =  0.  (3.28)

4.  Uwagi koń cowe

Wyprowadzone  w  p .  3  ogólne  równania  mogą  być  podstawą  budowy  jednowymiaro-
wych  modeli statecznoś ci.

-  Jeż eli kształ t i struktura dź wigara  odpowiada  przyję tym  w pracy  zał oż eniom, a  szeroko
rozumiane  doś wiadczenia  wskazują  na  praktycznie  uzasadnioną  moż liwość  przyję cia  hi-
potez  geometrycznych  i  statycznych  prowadzą cych  do  rozważ anych  postaci  równ ań  wię-
zów, to w  wyniku  postę powania  opisanego w p . 3  otrzymujemy  stosunkowo  prosty  model
zagadnienia.  Oczywiś cie  istotnym  czynnikiem  jest  również  typ  obcią ż enia  zewnę trznego
i  warunków  podparcia  oraz relacje  mię dzy  charakterystykami  geometrycznymi  dź wigara.

Konkretny  przykł ad  zastosowania  przedstawionej  koncepcji  uję cia  problem u  statecz-
noś ci wraz  z propozycją  dalszych  uproszczeń otrzymanych  równ ań  zamieszczono w  pracy
[8].

Prezentowane  w p. 2 i  3 rozważ ania  wskazują,  że uogólnienie  koncepcji  n a  przypadek
teorii  geometrycznie  nieliniowej  jest  moż liwe.  Jedn ak  zł oż oność  odpowiednich  równań
i  wzorów  oraz  stopni  trudnoś ci  uzyskania  rozwią zania  tych  równ ań  znacznie  wzrasta.

Pewne inne uogólnienia i rozszerzenia w  zakresie liniowym  moż liwe  stosunkowo  ł atwo
do adaptacji  na zagadnienie statecznoś ci  (w rozumieniu tej pracy) zawiera  poś wię cona  pro-
blemom statyki  i  drgań  obszerna  rozprawa  [7]. Rozszerzenia  te dotyczą  gł ównie  struktury
dź wigara,  kształ tu  powierzchni  podstawowej  i  postaci  równ ań  wię zów  wewnę trznych.



STATECZN OŚĆ  SIATKOWYCH   DŹ WIG ARÓW  POWIERZCHNIOWYCH   J U

W  pozycji  [7]  poruszon o  równ ież  tem atykę   poprawnoś ci  i  dokł adnoś ci modelu  jednowy-

miarowego  i p o d an o bardziej  wyczerpują cą   literaturę  dotyczą cą   cią gł ych modeli  dź wigarów

siatkowych  i  m echan iki  ko n t in u u m z  wię zami  wewnę trznymi.

Obszerną   bibliografię   problem u  matematycznego  formuł owania  zagadnień  z  mecha-

niki  ustrojów  siatkowych  (w  tym  zagadnienia  statecznoś ci)  zawierają .monografie  [3, 4,5]

oraz rozprawa  przeglą dowa  [9],

Spis  literatury

1. R. N AG ÓRSKI,  Stability  of  a  one- dimensional  continuous  model surface  lattice  beams,  Bull.  Acad.  Polon.
Soi.,  Serie  Sci.  T e c h n . ,  30, 5 - 6,  1982.

2.  C z. WO Ź N I AK,  On the non- standard continuum  mechanics.  I. Basic  concepts.  Contimta with  constrained
kinematic fields.  II. Continua  with kinetic and kinematic- kinetic constraints, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie
Sci. Techn., 24, 1,  1976.

3.  Cz.  WOŹ N IAK,  Siatkowe  dź wigary powierzchniowe,  PWN , Warszawa 1970.
4.  W.  G U TKOWSKI,  Regularne  konstrukcje prę towe,  PWN , Warszawa 1973.
5.  H . FRĄ CKIEWICZ,  Mechanika  oś rodków siatkowych, PWN ,  Warszawa 1970.
6.  R. N AG ÓRSKI, Statics  and vibrations of  a one- dimensional continuous model of surface lattice beams,  Bull.

Acad.  Polon.  Sci.,  Serie  Sci. Techn., 30, 5 -  6, 1982.
7.  R. N AG ÓRSKI, Jednowymiarowe  modele  cią gle siatkowych  dź wigarów powierzchniowych,  Zesz. N auk.  Poi.

Warszawskiej,  Seria:  Bud.  (w druku).
8.  R.  N AG ÓRSKI, Jednowymiarowy cią gł y model statecznoś ci sprę ż ystej pł askiego dź wigara siatkowego,  Mech.

Teor. i Stos. (ibid.).
9.  W. G U TKOWSKI,  Mechanika  ustrojów siatkowych,  U sp. Mech., t.  1, nr 3/ 4, 1978.

P  e 3 io  M e

OflH OM EPH Oft  HEITPEPBIBHOft  MOflEJIH   CETKOOEPA3HBIX

yn p yr a x  ITOBEPXHOCTHBIX

H acTOflmeii  p aSo iŁ i  H BJIH IOTCH   jinH eH H tie  ypaBH emwi  ycrottMHBoCTH  B cM ticne  S&iep a
n oBepxH ocn ibix  yn p yr n x  CHCTCM  C r yc r o ń  peryjmpH OH   ceiKoft  aneiweHTOB.  3 T H   ypaBH emm  nojiyjeH H
B  pesynbTaTe,  npHMeneHHH   n o jio we m d ł   MexaHHKH   KOHiHRynia  c  BHyipenHbiMH   CBH35IMH   *I .  Bo3bHHKa

noBepxHOCTH   THna  KoccepaTOB  H BjiH wmeH cn  H enpepH BH oii  Mofleneii

S u m m a r y

STABILITY  OF   A  ON E- D IMEN SION AL  CON TIN U OU S  MODEL  OF   LATTICE- TYPE
ELASTIC  SU RFACE  STRUCTURES  r

The  paper  deals  with  linear  equations  of stability  for  a  one- dimensional  continuous  model  of  elastic
surface  structures  with  a  dense  regular  lattice  of  elements.  The equations  were  obtained  by  applying
Wozniak's  concept of continuum mechanics with internal constraints to equations of stability  of  Cosserats'
surface,  being  two- dimensional  continuous model for surface  grids  and perforated  shells.  The  condition
of  stability  in  the Euler  sense  was  formulated,  i.e. the  adequate  one- dimensional  boundary — value
problem was presented.

Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia  16 listopada  1983 roku