Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z1.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 1,  23  (1985) JEDNOWYMIAROWY  CIĄ GŁY  MODEL  STATECZNOŚ CI  SPRĘ Ż YSTEJ PŁASKIEGO  DŻ WIGARA  SIATKOWEGO ROMAN   N AG ÓR SKI Politechnika  W arszawska 1.  Wstę p P rzedm iotem  pracy  są   równ an ia  i  przykł ady  rozwią zania  problemu  statecznoś ci  w  za- kresie  sprę ż ystym  pł askiego  dź wigara  siatkowego  o  gę stej,  regularnej  i  ortogonalnej  siatce prę tów  pryzmatyc2nych. Celem  tej  rozprawy  jest  podan ie  przykł adowej  realizacji  zaproponowanej  w  pracy  [1] koncepcji  budowy  równ ań  cią gł ego,  liniowego  m odelu  jednowymiarowego  statecznoś ci dź wigarów  siatkowych  ukształ towanych  n a  powierzchniach  w  postaci  jednoparametrowej rodziny  kon turów.  D o  sformuł owania  wymienionych  wyż ej  równań  wykorzystano  w  [1] metody  m echan iki  ko n t in u u m  z  wię zami  wewnę trznymi  [2] i równania  cią gł ego  dwuwy- miarowego  m odelu  rozpatrywan ych  dź wigarów  [3]. Rozważ ymy  pł aski  ustrój  w kształ cie  prostoką ta  (siatkowy  pł askownik),  dla  którego po przyję ciu  okreś lonych  hipotez geometrycznych  i statycznych  (analogicznych jak  w teorii prę tów  peł noś ciennych)  wyprowadzimy  równania  statecznoś ci w sensie  Eulera.  Podamy przykł ady  rozwią zania  dla  konstrukcji  w  kształ cie  wspornika,  utwierdzonego  wzdł uż jed- nej krawę dzi  i obcią ż onego  osiowo  wzdł uż krawę dzi  przeciwległ ej, przyjmują c  prę ty  o prze- kroju  prostoką tn ym  i stał e  charakterystyki  geometryczno- fizyczne  w  obszarze  dź wigara. Szczegół owe  zał oż enia, dotyczą ce  przyję tego  m odelu  statecznoś ci, podan o w  pracy  [1]. 2.  Równania statecznoś ci teorii dwuwymiarowej z wię zami wewnę trznymi Rozważ ymy  w przestrzeni  Ox1x2xz  obszar  prostoką tny  n a  pł aszczyź nie  (x1,  x2)  = =   (*> y)y bę dą cej  pł aszczyzną   podstawową   dź wigara  w  stanie  nieodkształ conym i niena- prę ż onym,  przyjmują c  (rys.  1) xi- *.e(0,L),  ^ 2 = ^ e ( - y' - |)-   ^ 2 l 1 ) Wykorzystamy  nastę pują ce  liniowe  równania  podstawowego  stanu  odkształ conego [1]: —  równ an ia  równ owagi 8  Mech.  Teoret.  i  S tos.  1/ 85 114 R.  N AG ÓRSKI -   O =  0 , -   0 . statyczne  warunki  brzegowe dla  x  =   0 - ii dla x =   L * n 1  - dla ̂  =   -   y  L - m 21 w 2 2  = 2 ,  m 1  =   inĄ - fj,, - y = !,  — m2  =   'm +  fi, dla y  =  - r̂-L ==   'ml+ / tlt  m 22  =   'm2+ n2,  m2  -   ' Rys. 1 (2.2) (2.3) (2.4) (2.5) (2.6) gdzie  pali,  p*  i  nP# ,  m" —  oznaczają   skł adowe  stan u  n apię cia  typu  sił  i  m om en tów, qa,  q, h a , h i 'p*,  'p,  'ma,  'm  —  skł adowe  stan u  obcią ż enia zewnę trznego powierzchniowego  i  brze- gowego,  ra,  r, sa,  s  i  T", T,  / f;  / x —  reakcje  powierzchniowe  i  brzegowe  wię zów  wewnę trz- nych  (w  bazie  e lt   e 2 ,  e 3) —  a,  /? =   1,2,  rys.  1), —  zwią zki  geometryczne ST AT E C Z N O ŚĆ  P ŁASKIEG O  D Ź WI G ARA  SIATKOWEG O  115 Y*  =  v,x +  $2,  yj- p, , - ,̂  «?«#, „  A**&,y,  (2.7) *  n  *  n  *  n  *  tl gdzie  va,  v i  # K ,  5' są   skł adowym i  wektora  mał ego przemieszczenia  i  obrotu. —  zwią zki  fizyczne,  kt ó re  dla  dź wigara  prę towego  zł oż onego  z  dwu  rodzin  ortogonal- nych  prę tów  pryzm atycznych  sztywno  poł ą czonych  w  wę zł ach  i  osiach  równoległ ych  do linii  param etrycznych".*  =   const,  y  =   const  przyjmują   postać  (rys.  1): p 11   =  R,Yiu  P 12  =   RiYi.2,  P21  =  R11Y21,  P22  =  R11Y22, p 1  =   R1Y1,  p2  =   RuYi,  m1  =   S7H1,  m2  =   *S,iX 2 ,  (2.8) —  Ł J ^ r t j^ j  fit  —  O j  / VJ 2 >   >|'*  —  ^ 11  ^ 2 1  >   " *  —  ^ 11  'i  22  i gdzie ya/ J,  y a ,  xa!t,  xa  są   skł adowym i  stan u  odkształ cenia, R,i,RA,  Rj,  S  , S A,S  —  cią gł y- mi m iaram i  sztywnoś ci  sprę ż ystej  dla  prę tów  rodziny  A  (A  =   I,  I I ), —  zasady  idealnoś ci  wię zów  typu  kinematycznego  (geometrycznego) L   T^  ' /   J o  1 7 L =   0  (2.9) dla  dowolnych  wariacji  dv x ,  dvi, <5# a,  <5#(a  = 1 , 2 )  zgodnych  z  wię zami, —  zasadę   idealnoś ci  wię zów  typu  kinetycznego  (statycznego) o  1  - =   0  (2.10) dla  dowolnych  wariacji  óp^ ,  ...,  dnf  zgodnych  z  wię zami. Równania  wię zów  wewnę trznych  sprecyzujemy  w  p .  3. N astę pn ie  wykorzystam y  zlineryzowane  wariacje  równań  dla  zaburzonego  stanu  od- kształ conego  w  stosun ku  do  stan u  podstawowego  —  liniowe  równania  statecznoś ci  [1]: —  równ an ia  równ owagi +  3rl  -   0,  dpi2  + dp22dr2  =   0, =   0, 116  R.  N AG ÓRSKI s l  =   0,  (2.11) - y 21 dp + 8y 2 p 2l +y 2 3p 2l +8s 2  =   0, 2 =   0. statyczne warunki  brzegowe dla x  =  0 ~8p 11   =  3r 1 ,  - dp 12  =   a r 2,  - 8pl  =  8z, - 8m 11  -   ą «V  - Srh12  =   a,a2,  - 5 m1  =   8ft, dla x  =  L a / u  =   ar 1,  a;312  =   8x2,  dp1  m  dr, dm 11  -   a^1,  a m 1 2  =   a^2,  8m1  m d/ i, dla j  =   - y i o iai  _  fl- i  _ ^A22   ̂ 3 T 2  _ 5 ^ 2  =   3 T . . .  .  (2.14) 2 1  =   ar 1,  a/ 2 2  =   8r2,  8p2  -   Sr,  j 2  5 2  d zwią zki  statyczne dp 11   =  8p li   + 8y n p xl   + y n dp 11   + 3y 2l p 12   + y 2 iSp 12   - S yi p l  - y,  V . 8p2i  o (2.16) 8m xl  -   am 1 1 +  a r u 7 n u  +  yu fl/ » u   +8y 2 im 12   +  y 2l dm 12 - 8 7i m l - yi 8m\ 8m 12  = a/ ^ 2 1  =   8m2i  + 8 yil m 21   Ą - y^ Sm 21   +  8y 2i m 22 8m 22  -   2 2 8m 2  = ST AT E C Z N O ŚĆ  P ŁASKIEG O  D Ź WI G ARA  SIATKOWEG O  117 —  zwią zki  geom etryczne Yn  -   O i. *,  yi2  =   w 2 > x ,  y 2 ł   =   «>!  y 2 2  =   w2  , (2.17) oraz s Yi   m   dv.x,  8y 2   =   Sv ty , dyn  =   ^ I . * ,  a y 1 2  =   8v2i,«  ^y*2  =   8v2iX- m,  dytt  -   5oi, ,  +   fl# ,  Sy|2  «  ^ 2 i J !  (2.18) —  zwią zki  fizyczne a ^ 1 .  ^ z a y i ,  a^ 2 =  i X i a y 2 ,  dm 1  = s t 8x u   m 2 =  ś „ a «2 ,  (2.19) .  8m11  =   S^ Hu,  8m12  =   5 , 3 ^ 2 ,  a/ n 21  =   ~S n 8x 2U   8m 22  -   S n 5 « 2 2 , —  zasadę   idealnoś ci  wię zów  typu  kinematycznego /   /   (*• • 2 ' L +  J  [(8r16v 1 +dr 2 dv 2   + drdv  + d/ i 1 d& 1  + dfi 2 d&2 + 8ft8&)\   _  i  - (2.20) ]dx+ "~2L =   0, zasadę   idealnoś ci  wię zów  typu  kinetycznego  (2.21) +  (8y 22   -   8y* 2 )óp 22   + {Sy 1   -   dyf)  dp 1   + (8y 2   -   8y*) dp2  +  (dx, -   8x*) dm1 Ą .(dH 22 - dx* 2 )5m 22 )dydx  =  0 dla  dowolnych  dv a ,  dv,  ...,  dm* zgodnych  z wię zami  wewnę trznymi  (nał oż onymi  n a  przy- 118  R.  N AOÓRSKI rosty  stanu  przemieszczenia  i  napię cia  w  stosunku  do  stanu  podstawowego).  Symbol „d(...)"  oznacza  przyrost  danej  wielkoś ci  typu  geometrycznego  lub  statycznego. Rozważ ymy  również  uproszczenia  wymienionych  wyż ej  równań,  przyjmują c  w  (2.11), (2.16) Y af)   =  0 ,  y a   =   0  (2.22) oraz -   1.  l + ^ r «  = 1  (« -   U  2)  (2.23) Jeż eli  n a skł adowe  stanu  przemieszczenia  i napię cia  oraz  ich  przyrosty  nie  nakł adamy ż adnych wię zów,  to wobec  dowolnoś ci  i  niezależ noś ci  6v a ,  ..., <5#  i  dpaP,  ..., dirf  wynika z zasad  idealnoś ci  (2.9), (2.10) i (2.20),  (2.21), że skł adowe  reakcji  wię zów i miary  niezgod- noś ci  odkształ ceń  oraz  ich przyrosty  są   równe  zeru. Z atem  równ an ia  (2.2)-  (2.8),  (2.11)- (2.19) sprowadzają   się  do równań dwuwymiarowego  modelu cią gł ego  statecznoś ci  rozważ a- nego  dź wigara. W  monografii  [3] podan o  uzyskane  za  pomocą   szeregów  F ouriera  rozwią zania  tych równań,  tj. rozwią zanie  zagadnienia  n a wartoś ci  wł asne dla niektórych  typów  obcią ż enia i  warunków  podparcia  przy  dodatkowych  uproszczeniach  (pominię ciu  wielkoś ci  mał ych wyż szych  rzę dów).  N ie uzyskano  do  tej  pory,  w  przekon an iu  autora,  zdawalają cych (prostych i dostatecznie dokł adnych) rozwią zań  problem u  statecznoś ci  rozważ anego  dź wi- gara  (w ramach  przyję tego  w tej pracy  liniowego  modelu  cią gł ego)  dla wielu  innych  prak- tycznie  waż nych  rodzajów  obcią ż enia  i  podparcia.  * 3.  Równania teorii  jednowymiarowej Przyjmiemy  nastę pują ce  liniowe  równania  idealnych  wię zów  typu  kinematycznego w postaci  cał kowalnej [1] »i  =   W i~0 2 y,   v 2  =   w z ,  v  =   w 3  +  0 1 y, (3.1) & gdzie w L , w2, w3 , 0± ,  02,  q>i, 2 +  c?3,  y*2  =  0, t  t- (pu  p*f-  9»i,  «5 -   0,  (3.2) «*i  «  0,  «*s  =  A, gdzie  ( ...) ' =   d(...)/ dx. ST AT E C Z N O ŚĆ  P Ł ASKI EGO  D Ź WI G ARA  SIATKOWEG O  119 Wię zy  typu  kinetycznego  przyjmiemy  w postaci  wyraż ają cej  fakt  pomijalnoś ci  niektó- rych  skł adowych  stan u  n apię cia  n a zachowanie  się ustroju  [1] n«Jm<*,  nf  =   n « m m\   (3.3) gdzie 7if,  n% ri$, ?t« przyjmują  wartoś ci  „ 0 " lub  „ 1 "  w zależ noś ci  od tego, czy dan a  skł a- dowa  stan u napię cia m oże być pom in ię ta, czy nie. P o wyznaczeniu z (2.2) -  (2.6) reakcji  wię zów, a z (3.1)  wariacji  skł adowych  stanu  prze- mieszczenia i p o podstawien iu  do  zasady  idealnoś ci  (2.10)  otrzymujemy  po wykonaniu cał - kowania  wobec  dowolnoś ci  i  niezależ noś ci  <5w1;  ..., ÓX  równ an ia  równowagi  modelu jednowymiarowego  dla stan u  podstawowego  (x s  (0,  L)) PT   + /  -   0,  P f  + / 2»  =  o,  PT  +f»  =   o, Mf- Pf+gf  =  0,  Mf- Pf+gf   m   o, * P X2 dy, P x ydy,  Pf  .  /   ^rfy,  .  Aff  = . 4 „  £ *L 4 ' oraz warun ki  brzegowe  (x =  0,  L) i 7  -   'P? a   lu b   W i   =   'w lx , PZ  -   'P^   lub  w 2   -   'w 2a , P% -   'P? a   lub  w 3   =   V3 a , Mf  =   'Mf a   lu b  6>! =   '0 la , Mt='M 9 2a   lub  6>2 =   '< 92a>  (3.5) M\   -   'M L  lu b 

J +  A),  Pf  =  i ? ? ^ - ^ ),  Ml -   - Sjfii, p f  =   ii!( c»3- ©2) ,  Mf gdzie Sf = 1 2  (3.10) L C'cp  lic *  T   Cip  12, O 7" ,  o> i =   7im  ojLi,  o j  =   nm  ctjL, citp  _ 1 o  f  rpA  A  12  C7  r 3  oA  „ 2 2  c  /" O3  —  n,nOjl- ,,  1  —  "T T ' ' 1 !) !  «/ • "  >  °  —  nm  ^Ili- i- W przypadku  gdy przekroje  prę tów  dź wigara  są  prostoką tne o osiach gł ównych  równo- legł ych  do  osi  u kł ad u  współ rzę dnych  (rys.  1), mamy ( 1  , l  Ji  =   TTj.A/ 1- r- Al  =   TTp Aj,  - f<2  =   ^ P  Aij- y— I  ,  Ji  =   JIpAf  j - 1  , 2 r  \  2  /  _  \  2 Z- 2 ^  -   12'"""" E„\ L j\ L l[\ fal  \ hi gdzie K  = R L  = ^ - ajd  L ,  (3.12) przy  czym  a  , d  oznaczają   szerokoś ci  (w pł aszczyź nie podstawowej  konstrukcji)  i  grubość elementów rodzin y A,\   =   I m _  —  dł ugoś ć, E  iG  moduł y Youn ga  i skrę cania  {A  =  I, I I ). 122  R.  N AG ÓRSKI Zauważ my,  że  równ an ia  stanu  podstawowego  rozdzielają  się  n a  niezależ ne  ukł ady opisują ce I.  Rozcią ganie  (ś ciskanie)  osiowe  (wj, I I .  Zginanie z pł aszczyzny dź wigara  (M>3  ,  q>2) I I I .  Zginanie w pł aszczyź nie dź wigara  (w 2 ,  0 2   > fs) IV  Skrę canie  (< 91; i, oraz 8y n   =   5wi —36> 27,  3y1 2  =  dw'2,  8y21  ==   —892,  8y22  =   0, 3yt  -   Swa +  a ^ i y,  8y2  =   3© !,  (3.15) 3yfi  =  8w[- 8Q' 2 y,  . 3yf2  =   dw'2- B ,  a«Ji  =  o,  a«|2 =  w. Wię zy  typu  kinetycznego  przyjmiemy  również w postaci  (3.3) 8p«P  m £# 8p# ,  8p« m  fc p dp«,  8nf* =  wjfSirf*,  am a  =  ^ 3 m a ,  (3.16) gdzie parametry rftf, ..., ̂   przyjmują  wartość  „ 1 "  lu b  „ 0 ", przy  czym w stosun ku  do  (3.3) niekoniecznie te same przyrosty  skł adowych stan u n apię ciapaf>,  ..., w" mogą  być pom in ię te, co  skł adowe  w  stanie  podstawowym  (a, /? =   1, 2). P o  wyznaczeniu z (2.11) -  (2.16) przyrostów  reakcji  wię zów, a z (3.13)  wariacji  skł ado, wych  stanu przemieszczenia i po  podstawieniu  do zasady  idealnoś ci  (2.12)  oraz  uwzglę d- nieniu zwią zków  (2.16), (3.14), (3.15) i zasady  idealnoś ci  (2.21), zwią zków  fizycznych  (2.19) oraz  wyraż eń  (3.16)  otrzymujemy  po wykonaniu  cał kowan ia  i  wykorzystan iu  oznaczeń (3.6)  wobec  dowolnoś ci  i  niezależ noś ci  dw lt   ...,  6X równ an ia  równ owagi 8Pf  +  (8w[ PY -   80' 2  Mf -   80   2   P%  -   8w' 3   P? -   80[ Mf)'  +  (w[ 8PY -   0' 2  8Mf -   0 2   dPJt - ft'  -   0, o, ST AT E C Z N O ŚĆ  P Ł ASKI E G O  D Ż WI G ARA  SIATKOWEG O  123 M 2   + 80 l P»)'  + (w' 3 8P? + 0' 1 8Mf  + 0 1 8PZy  «  0, 8Mf+  (3w' 3 Mf + - ~Ł 2 8©lP?j   + L ' 3 8MI+~ [8Mf  -   ~L 2 0' 2 8P?-   w 3 dMf  - '38Pf  =  0, 8Mf  + (8w[Ml- 89 2 Ml- 8w' 3 Mf)'  +  (w[8M\ - 9 2 8M% + 8Pf  + 8w^ Pi~P?)  + 8w' 2 PZ + w^ dP®- PZ)  + w' 2 dPZ .  0,  (3.17) 8Mf  + (8w' 2 Mf- 80 1 M$)'  + (w' 2 8Mf~0 1 8M'i)'  - 8PZ- 8w' 1 Pl v + f  8P?- 8Pl)  =   0,  ' 8Mf  + (8w' 3  M\ +80,.  Mf)' + (w' 3  8M\  + 0 t   8Mf)' + 8P% -   8P% + ®  f0 1 dPZ  =   0, 8H*'- 8Mf- dM*- dw[Mt+- ^ L 2 d0 2 P 3 v ~w[dMf+- ^ L 2 0 2 8P 3 v  =  0 oraz warunki brzegowe + w' 1 8Py- 0 2 dMi- © 2 dP 2 v - w 3 dP 3 v - 0 1 8Mf  -   0  lub  3w t   =   0, 8P^ Ą - 8w' 2 P^ - 89 i _P^   + w 2 8P^ - 0 1 8P^   =  0  lub  8w 2   =   0, 8P? + 8w 3  P r  +  8&\  Mf  + 80 1 P?  + w 3  8P? + 0[ 8M% + 0 X  8P^  =   0  lub  8w 3   =   0, f + 8w' 3 M e z +  - ^ L 2 80[P?  + w 3 8Mi+  - ^ L 2 0[dP?  =   0  lub  80,  =   0, 8Mf  +8w' 1 M e 2 -   - ^ - L 2 80 2 PT - 8w' 3 Mf-   ~L 2 86[P^ '+  (3.18) +  w [dMf  -   ~L 2 0 2 8P?- w^ Mf^ - ^ - L 2 ©',8Pt  =   0  lub  80 2   ==   0, w' 1 Mf- 80 2 M 2 D - dw 3 M 3 D   + w' l 8Mf- 0 2 8M$- w 3 8Mt  =  0  lub  3 ź a Af ^ e i ^ Mf  =  O  lub  8ę 2   =  0,  ^ e i a M I  =  0  lub  3c>3  =   0, 8H X   =  0  lub  8X =   0, 124  R-   N AG ÓRSKI gdzie  sił y uogóln ion e P?,  ..., M l  wyraż ają   się  za pom ocą   (3.6), a ich przyrosty  BP? S   ...,  8M X n astę pują co: \ l  iL  \ l dPZ  =   /   8plldy,  8P?  -   J  8p12dy,  BP? -   f  dpldy, l  x  Il i - 1 ,2~  \ ~   < 3 - 1 9 ) 8p  dy 9   dM\  =   dm  dv,  fiM\   =   cm\   dy>  • 1  i- Z  —- 1 1  ,  1 ?  1 ; =   . J  dmldy,  8HX =   J  8m12ydy,  8M X  =   J  3m 22i/ );, - L l  - It  _± 1 2 przy  czym •   a  *  *  (3.20) dPf  =   R%d

3  =   0 , a f f *  -   0  l u b  3 A  =   0 , 4 .  S t a t e c z n o ś ć  s t a n u  o s i o w e g o  ś c i s k a n i a Równania  stanu  podstawowego  skł adają  się z równania  równowagi  (3.4), i  warunków brzegowych  (3.5)i,  zwią zku  fizycznego  (3.9)j PY  =   'P &  lub  Wi =  V l a )  (4.1) Rozważ my  dla  przykł adu dź wigar  w kształ cie wspornika  obcią ż ony  sił ami o  wypadko- wej  TPIa  =   - P. T ak jest  n p. gdy  wę zły  krawę dzi  x  = L  obcią ż one są równomiernie  rozł o- ż onymi  sił ami  o  gę stoś ci  'P1  —  —P\ L .  Wtedy  bowiem  zgodnie  z  (3.8)  dla a =  2 jest '• Pik  — ~P,   a.  pozostał e brzegowe  sił y  uogólnione  są równe  zeru. Rozwią zanie  równ ań  ( 4. 1) 1 ( 3  d l a / "  =  0, rcj 1 =  1 i przy  warunkach  brzegowych W i  -   0  dla  *  =  0,  P r -   - P  dla  x  =  L   (4.2) wyraża  się  nastę pują co: W i  = ;  _   £ Ł }  PY =   _ P .  ( 4 . 3 ) R ó w n a n i a  r ó w n o w a g i  s t a n u  z a b u r z o n e g o  ( 3 . 1 7 )  u p r a s z c z a j ą  s i ę  p o  u w z g l ę d n i e n i u  ( 4 . 3 ) i  ( 3 . 2 0 )  d o  p o s t a c i v'l  -   0 5 R%(d\ V2  -   8

1}  8X)  (moż liwą   teoretycznie  czwartą   postać  dla Wi  =f(x)  przy / (0)  =   0  i  P  =   J^i?57CR?+ - Rr') należy  odrzucić ja ko  fizycznie  niedopusz- czalną ). Stosują c  znane  postę powanie  dla  zagadnienia  n a  wartoś ci  wł asne  dla  równ ań  róż nicz- kowych  zwyczajnych  o  stał ych  współ czynnikach  otrzymujemy  n astę pują ce  wyraż en ia  lub równania algebraiczne  n a podstawowe  wartoś ci  wł asne —  wartoś ci  obcią ż enia  krytycznego i  odpowiadają ce  im  funkcje  wł asne —  postacie  wyboczenia  (dla  n^   =   n™  =   n^   =  7t]l = (4.7) x ST AT E C Z N O ŚĆ  P Ł ASKI EGO  D Ź WI G ARA  SIATKOWEG O I 27 oraz 2V- a 3   =  R 2 dw 2   =   ^  1 - c o s— 71 P2\ RI J R & 2~P 2 (R2'  +  Ri) 2L 2L * «2 1 a 3   - ' n  R 2 ~P 2  A   .„   n  x "XT' .   0, (4 . 8 ) (4- 9) gdzie  A  jest  stał ą  dowoln ą.  Skrę tnej  postaci  wyboczenia  nie  podajemy. N astę pn ie  zbadam y  m oż liwość  uproszczenia  otrzymanych wyż ej zależ noś ci  n a  wartoś ci obcią ż eń krytycznych.  W tym celu wykorzystamy  równ an ia (3.21) i warunki brzegowe  (3.22), które  p o  uwzglę dnieniu  (3.20),  (4.3)  doprowadzam y  do  postaci k\ dw'{  m  0,  RZ(8w' 2 '- d a< Pl  =  &p2 =  a^3 =  o,  8x =   o , —  dla x =   L iiv3wi  = 0,  ^ ( ^ - f t p s ) - ^̂   =  0, )- P8w 3   -   O,  Sf(80[  + dX)—  - r—L280[  =  0,  (4.12") 12 *  *  •   * Sfd 0 0 0 0 VD O 43 ,6 ro 00 0 " 8 CO 14 8 ro ro CO 90 0 14 ,4 37 ,0 8 CO 14 4 a [133] 134  R .  N AG Ó R SK I N a  podstawie  (4.7) -  (4.9),  (4.17) -  (4.28)  wyznaczono  wartoś ci  krytyczne  param etru obcią ż enia  P  przyjmują c Em  3 •   107  J^ L ;  v  =   ł / 6,  ni2  =   1 oraz  «I (  an,  d\  =   d „ ,  1 I ;  l n ,  L ,  L   zgodnie  z  tabeli  1.  R ezultaty  obliczeń  zamieszczono "w tabeli  2.  D odatkowo  w  tabeli  3 podan o wartoś ci  m iar  sztywnoś ci  (zgodnie  z  numeracją z  tabeli  1). Stwierdzono,  że  dla  rozpatrywanych  danych  liczbowych  róż nice  mię dzy  P'{,  P%,  P | oraz  odpowiednio  P lt   P 2 ,  P 3   nie  przekraczają >O,l%,  a  róż nice  mię dzy  P l   i  P\   —  0,5%. Z  przedstawionych  w  tabeli  2  wyników  wnioskujemy,  że  wartoś ci  P 2 ,  P\   praktyczn ie pokrywają   się   (poza P 2 ,P\ z  pozycji  9,  11, 21, 22 w tabeli  2).  Róż nice mię dzy  P 3   oraz  Pl, P{  są   bardzo  duż e. N atom iast zbliż one  do  siebie  n a  ogół  wartoś ci  P\ ,P\ ,  P{v/   pewnych przypadkach  róż nią   się   m ał o od  P 3 , a w  innych przypadkach  róż nią   się   stosun kowo  znacz- nie, przy  czym  najbliż sza  P 3   jest  wielkość P |  (mniejsza  od P 3 ,  a  wię c bezpieczna  z  pun ktu widzenia  projektowania).  W  rozpatrywanym  przykł adzie  wyniki  przybliż one  są   bliskie ś cisł ym (w ram ach rozważ anego  m odelu) w przypadku  gię tnej  postaci wyboczenia,  a w  przy- padku  postaci  skrę tnej  obarczone  są   wię kszymi  bł ę dam i. Zauważ ymy,  że  wielkoś ci Pil u / L   są   dokł adnym i  wartoś ciami  krytycznymi  obcią ż enia dla  prę ta  o dł ugoś ci L   i  o  przekroju  ptostoką tn ym  a t y.Ą . 5.  Uwagi koń cowe  # N a  podstawie  uzyskanych  w  p .  4  rezultatów  m oż na  wnioskować,  że  przyję cie  niezależ- nych param etrów  obrotów  wę zł ów w  stosunku  do param etrów  obrot u  przekroju  x  =   const (por.  (3.1),  (3.13))  m a  istotne  znaczenie  przy  form uł owan iu  jedn owym iarowego  m odelu rozważ anego  w  pracy  dź wigara.  Oznacza  t o ,  że  form alne  przeniesienie  hipotez  typu  Bcr- noulli'ego- Timoshenki- Wł asowa  z  teorii  dź wigarów  pelnoś ciennych  n a  kon strukcje  siat- kowe może  prowadzić  do  znacznych  bł ę dów  (por.  również  [4]). Oczywiś cie  m oż na  był o  przewidzieć,  że  najmniejszą   z  wartoś ci  krytycznych  param etru obcią ż enia  w  rozważ anym  w p . 4 przykł adzie jest  P t   i m oż na ją   ł atwo wyznaczyć  w  sposób ś cisły  na  podstawie  zarówno  modelu  dyskretnego,  jak  również  dwuwymiarowego  m odelu cią gł ego.  P rzedstawiona  analiza  m a  przede  wszystkim  n a  celu  zbadan ie  stopn ia  trudn oś ci rozwią zywania  problem ów  statecznoś ci  w  ram ach zapropon owan ego  m odelu  jednowym ia- rowego  oraz moż liwoś ci  dalszych  jego  uproszczeń.  P rzykł ady  innych,  bardziej  technicznie interesują cych  zagadnień  statecznoś ci  (jak  n p. problem u  utraty  pł askiej  postaci  zginania) bę dą   przedm iotem  dalszych  prac  autora.  Peł niejszego  wyjaś nienia  wymaga  równ ież  zakres stosowalnoś ci  omówionego  modelu  jednowym iarowego. STATECZNOŚĆ  PŁASKIEGO  DŹ WIGARA  SIATKOWEGO  135 Spis  literatury 1.  R.  N AG ÓRSKI, Jednowymiarowy  cią gł y model statecznoś ci sprę ż ystej siatkowych dź wigarówpowierzchnio- wych, (ibid.). 2  . Cz.  WOŹ N IAK,  On  the  non- standard  continuum mechanics.  I.  Basic  concept.  Continua  with  constrained kinematic fields.  II.  Continua with  kinetic  and  kinematic- kinetic  constraints,  Bull.  Acad.  Polon.  Sci. Serie  Sci. Techn., 24,  1,  1976. 3.  Cz. WOŹ N IAK,  Siatkowe  dż wigary powierzchniowe,  PWN , Warszawa  1970, 4.  R.  N AG ÓRSKI, Jednowymiarowe  modele  cią gł e siatkowych dź wigarów powierzchniowych,  Zesz. N auk. P o!. Warszawskiej,  Seria:  Budownictwo  (w  druku). P  e 3 ro M  e O JtH O M E P H O fi  H EIIPEPŁiBH OKt  M OflEJIH   CETKOOEPA3H LIX yn p yr a x  IIJIACTH H OK paSoT M   H B J M I O T C H   jiH H eitabie  ypaBH em isi  ycTofttaiBOCTH   n pjiM oyron biioH   ceTi