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176  A.  M uc

for.  Similarly  as in  [1] we consider  deformation  of  an incomplete torus  as  the rotation ally-
symmetric  problem  in  broader  sense,  since  circumferential  displacements  are  allowed
for  (F ig.  1).  Thus,  geometric  assumptions  investigated  in  [1],  as  well  as  the  n otation  in-
troduced  there,  have  been  retained.  Let  th e  param eter  of  change  of  principal  curvature
K be  defined  as  an increment of  angle  in  the circumferential  direction

K^ d&ldd- l  (1.1)

The  Cauchy  strain rates  derived  in  [1] have  the following  form :

where

&>»,=   — - —^  - ,  dx
v
  =  - ^ - ,  (1.3)

„   6u'
r
  c o s <p +  du'

z
  s i n <p

S and  (  )' denote the derivation with respect to time- like param eter  T and material,  angular,
meridional  coordinate, respectively.  Other  symbols  used  in  (1.3)  den ote:

cp,  $  —  angular, meridional coordinate in deformed  and undeformed state,
• &, 8 —  angular,  circumferential  coordinate in  deformed  and  undeformed

state,
3

ę >
  3$ —  elongations  at the middle  surface,

Xq,  =   XyH, x#  =   x
v
H  —  parameters  of  increments  of  the middle  surface  curvature  change

of  unit  angle,
A  A  A  A

Ry — Ry{H, R  ~  R&)H— radii  of  undeformed  element,
u

r
  =   u

r
(H,  u

z
  =   u

z
)H—  radial  and  axial  middle  surface  displacements.

All  quantities are dimensionless, H is the half distance between sandwich sheets  ( Aden otes
dimension  quantity).

The  radii  of  curvature  in  current  configuration  r
v
,  / #  are  related  to  R

9
,  R$  by:

According  t o  [2]  the  dimensionless,  generalized  stresses  have  th e  following  form :

where N j  =  N j  / 2o
0
T ,  M

3
  =  Mj/ 2o

0
HT ,  Oj  =   aj/ a

0
,

OOA— tensile  yield  stress  of  sandwich  sheet  material,.
T —initial  thickness  of  sandwich  sheets.

Su perscript s+ o r- den o te quantities evaluated  in the exterior  or interior sandwich  sheets
respectively.



TOROIDAL  SHELL 177

Moreover,  the  system  of  equations  of  equilibrium  derived  in  [2, 3]  will  be  applied
here  in  the  following  fashion:

(RNy)'+R(psm<p(l+K)N&  + tp'IiS  =  0

(RS)' -Rip(l +K)MocoS(p-<p'RNv+RR,rpn  =  0  (1.6)

yS  =  O,

A A  A  A  A  A

where S  = S(2a0T—  shearing  force  (reaction), pn — pnHj2aQT—  normal  pressure.  For
the  uniform  presenting  of  the  final  system  of  equations,  we  transform  the  upper  system
(1.6)  to  the  convenient,  incremental  fashion:

0,

(1.7)

= 0.

2. Physical relations

The  material  of  working  sheets  of  perfect sandwich-wall is assumed to be elastic/per-
fectly-plastic, isotropic, perfectly incompressible and to obey the Huber-Mises-Hencky
yield condition. Under the assumption of plane stress state, this condition takes the form:

(<r*)2-<^ + K ) 2 = 1 (2.1)
The similarity of deviators will be generally applied in this paper as the physical law.
From among six possibilities postulated in Table 1 which complete those discussed in [2]
to the case when elastic strains are allowed for we shall use here the Prandtl-Reuss theory.

Table 1

Small
strains

Large
strains

Deformation theory
of plasticity

e , = y>st
Hencky-IIyushin H-I

e? - Ast
Nadai-Davis N-D I

Incremental theory of plasticity

elastic strains

neglected

Set = Sy>st
Levy-Mises L-M

de? = dAsf
Nadai-Davis N-DII

allowed for

Set — SystA 5*i
2G

Prandtl-Reuss P-R I

de? = dAs<;+ - ! - & ?
2G

Prandtl-Reuss P-R II

C — Cauchy stress tensor, H — Hencky strain measure, / = <p, #, z. Variants of constitutive equa-
tions



178 A.  Muc

Since  in  th e  problem  considered  we  deal  with  irrotation al  deform ation,  we  need  here
only  the principal  com pon en ts  of  H encky  strain  ten sor  instead  of  its  tensorial  expansions
in  broader  case  of  deformation  [4].  I n troducin g  dimensionless  scalar  factors  dip*  =
=> dfr/ loo  and  dimensionless  Kirchhoff's  m odulus  G  =  GI<?

0
,  we  obtain :

(2.2)

(2.3)

Equations  of  internal  equilibrium  (1.7)  an d  kinem atic  relation s  (1.2) -  (1.4),  together  with
the  physical  equations  (2.1- 2.2),  con stitute  system  of  fundam ental  governing  equation s.
They  determine  th e  vector  of  un kn own  variables

<P
u

r

u
z

N
IP

M
S

Pn
K

where  in  (2.3)  the  two  last  are  loadings  param eters.  We  assume  the  vector  as  th e  basic
in  our  approach,  other  uknowns  N

6
,  M$  and  scalar  factors  dip* can  be  simply  elim inated

by  applying  (2.1)  and  (2.2).  I n  this  way  the  problem  may  be  reduced  to  th e  solution  of
system  of  six  nonlinear,  coupled,  partial  differential  equation s,  linear  with  respect  to  t h e
time- like  param eter  r.

3. Basic differential equations

I n  the P- RI  formulation  we  consider  tim e  derivatives  of  first  six  com pon en ts  of  vector
F  (2.3)  three  kinematic —  Su

r
,  8u

z
,  6cp  an d  three  static —  6N

ę
,  6M

ę
,  6S  as  basic  ukn own s

for  the  governing  system  of  differential  equation s:

6 '

Ó«;  =

bu'
z
  =  -

(3.1)

+<p'ÓS- - R
f
(dF

+
  -   6F- )S,



TOROID AL  SHELL

SM ' =  J?p

05"

179

-   (3.1)

+ R
ip
\ ~(dF

+
  -

9
-   dp},

where,  new  uknown  is  defined

dF*  =   2\ ~

and  scalar  factors  dip*  takes  the form:

0

(3.2)

for  elastic  domain.

for  elastic  domain.

To  determine  all  eigth  components of  vector  F  (2.3), we have  to complete the system  of
differential  Eqs.  (3.1)  by  two  additional  equations — equation  of  trajectory

h{F) -   0

and  definition  of  a  monotonically  increasing  quantity  as  time- like  parameter

(3. 4)

(3- 5)

4.  Numerical  solution  of  the  problem

The  basic  system  of equations  (3.1 -  3.5) as the system  of partial,  differential  equations
describes  the initial/ boundary  problem.  I t can be  reduced  to two independent  problems,
initial  and boundary  problems,  by  discretization  of  time- like  parameter  r  along  the  tra-
jectory  (3.4) into intervals  J T ,  with  T 0 =  0 corresponding to the beginning  of the process.
F or  each  step of time  r

t
,  we assume, the simplest,  linear  extrapolation for vector F  accor-

ding  to  Euler's  form ula:

r| I = I ,  =  r | r = t w + ą = , M ,  * > i  (4.1)

which  is  also  valid for  the derivatives  with  respect  to  tj)  variable  of F.  The above  relation
(4.1)  must  be completed  by  th e condition at  % =   r 0  (the initiation  of the  process)  which
takes,  generally,  the  form :

r| T = r o  =  r o .  (4.2)

F or  the problem  considered  the vector  of initial  condition has the form:



180 A.  Muc

0
0
0
0
0
0

(4.3)

Other  forms  of  the  initial  vector  Fo  depend  on  the  assumed  material  of  the  shell  (for
a rigid/perfectly-plastic material the seven or the eight component of Fo must be different
from zero) or on the considered initial, geometrical imperfections of torus.

Replacing all components of vector  F and its derivatives with respect to  (j> variable
in the system of equations (3.1 - 3.5) by the relation (4.1) we obtain at each step of time
ti(i $J 1) the system of ordinary differential equations with respect to (j> variable for the
uknown increment  &T\tmtui, Finally, for each step T, we need eight boundary conditions.
Generally, they takes the form:

=  Vc =lj,o  =  VD (4.4)

where  LC,LD are arbitrary operators and V c , VD — arbitrary vectors. In the case consi-
dered in this paper, the meridional section remains closed and symmetric about  <j) = 0
so (f>c = 0 and <f>D  — n. Thus, the operators  Ic,  Lr> has following representation

=  LD=  [d,  d, 0 , 0 , 0 ,  d,  S, 6] (4.5)

and first six components of  Vc and  Vr> are equal to zero. Using the semi-inverse method
(shooting method) the two-point boundary problem (4.4) ca be converted into Cauchy's
problem. By employing Newton-Raphson's method one can determine, missing, initial
components of vector  F at <f> = # c by assuring the boundary conditions at </; =  4>D. To
improve the effectiveness of the iterative (Newton-Raphson's) procedure, the Lagrange
quadratic extrapolation formula is used in searching of uknown, missing, initial compo-
nents of vector  6F at ̂  = </> c . We start our calculation at  x = T 0 where the initial vector
Fo is known (4.3) and the whole shell is elastic. Applying the numerical integration along
the coordinate  cj> (for example Runge-Kutta IV) after extrapolation (4.1) and the usage
of shooting method, we find the distribution of  dF\T^T along (j> variable. Then, we cal-
culate J T | I = I I according to the scheme (4.1) and get the distribution  dr\raT for the new,
initial values .f|'_Tj. The described procedure can be repeated along the trajectory (3.4)
with increasing time-like parameter r — (3.5). We assume the distribution of elastic and
plastic zones at the beginning of each time step  rt (it is identical to the distribution at
T = Tf-i). The assumed zones are corrected by checking the condition (2.1) and scalar
factor  of* at </>j such as to fulfill the mentioned conditions as well as the boundary con-
ditions (4.4). The procedure is continued to the appearance of singularity of equations
(3.1 - 3.3) which corresponds to the zero of the denominator of  dtp*, when

2o$-o% = 0 (4.6)



T O R O I D AL  SH E LL 181

5.  N umerical  examples

The  initial  geometry  of  a  torus  is  completely  defined  by  two  dimensionless  radii  which
were  assumed  in  numerical  calculations  as  follows

R
ę
  =  50,  i ? 0 =   1000.  (5.1)

T o  illustrate  different  processes  of  plastic  deformations  of  the  shell  we  restrict  our  consi-
derations  to  two  strictly  determined cases  of  the loading  trajectory  (3.4)  and  the time- like
paraineter  (3.5).  I n  th e  first  case  we  assume  th e  loading  stations  and  the  independent
param eter  T in  the  following  way:

an d  in  the  second  case

Pn -   *

Pn =  c'<

K —  T

(5.2)

(5- 3)

where  c  is  an  arbitrary,  real  con stan t.  On  each  step  r<,  the  boundary  conditions  (4.4)
takes  the  following,  explicit  form :

[Ó93,  6u
z
,  6S,  6K,  dp„]  =   [0,  0,  0,  0,  ÓT ]  for  ^  =   OAJT  (5.4)

in  the  case  of  the relations  (5.2)  and

[dq>,  dtiz,  6S,  6K,  dp
n
]  =   [0,  0 , 0 ,  dr,  C Ó T ]  fo r  ([>  =   OATC  (5.5)

in  th e  second  case  (5.3).
The  process  of  acting  of  internal pressure  is  the  elastic  one. The first  point  of  plasti-

fication  of  the  shell  (at  <j>  =  rc/ 2) corresponds  to  termination  of  the  process  (the  limit

1.0

0.5

0.1

°iL

—< 2 L5 ?~

Of"
**• • —< —»

L

e\a

R,=50

•   " ~

1

P.

Aic  zone

— —

Pr =0.02U

0 . 0 1 2 _

0.005

30°  60*  90°  120°

Fig.  2

150°  *



1.0

0.1

-0.1

n R

— — - ^

»——.^

elastic zone

\
\ I\

0.0214

L.P

i

I

R;io°

30°  60°  90°  120°  150°

Fig.  3

elastic  zone
plastic zone

30°  60°  90°  120°  150°  i>

0.1

-0.1

[182]



TOROIDAL  SHELL 183

carrying  capacity — L.P.)  because  the  conditions  (2.1)  and  (4.6)  are  satisfied  simulta-
neously. Redistributions of meridional and circumferential stresses are shown in Fig. 2
and 3.

The influence of bending (the second analyzed case — (5.3) and (5.5)) causes antisy-
mmetry of redistribution of meridional stresses as well as the great development of plastic

1.0

zone — elastic zone exists only in the neighbourhood of § =  n/2 (see Fig. 4,5). The limit
point (4.6) — L.P. is also achieved at the edge of elastic zone at <j) =  n/2, so the evolution
of meridional strains is inconsiderable — Fig. 6. Similar results concerning to in-plane
bending with internal pressure was obtained by C. R. Calladine [6]. The presented examples
show also essential influence of type of material of working sheets compare the results
with [5].

The form of the limit carrying capacity curve in the pn~K system will be discussed se-
parately.



184 A. M uc

References

1.  J. SKRZYPEK, Kinematics and statics of symmetric and finite  deformations of  an  incomplete  toroidal shell
Bull. Ac. P ol. Sc Tech., 28, 1980, 113 - 120.

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Bull. Ac. P ol. Sc Tech.,  28, 1980, 121  - 126.

3.  J.  SKRZYPEK,  P. G .  H OD OE, Techn.  Rep. AEM- M1- 12,  U niv.  of  M innesota,  Minneapolis,  1975.
• 4. C. TRUESDELL, R. TOU PIN ,  T he classical field  theories,  Handbuch der Physik HI/ i, Berlin—H eidelberg—

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5.  J.  SKRZYPEK,  M. Ż YCZKOWSKI,  T ermination  of processes of finite  plastic  deformations  of incomplete

toroidal shell,  SM  Arch.  8, 1983, 39- 98.
6.  C. R. CALLADINE,  L imit  analysis of  curved tubes,  J.  Mech. Eng. Sci., E, 2, 16, 1974, pp. 85 -  87.

P  e 3  IO  M e

OG H OBblE  yn P ABH E H H K  C H M M E T P H ^ I H t lX
flEcD OPM AmiH   TOPOH tfAJILH BIX  OBOJIO^IEK

B  pa6oTe  npeflcraBjieH a  ocH oBH aa  CHdeivia flmJxbepeH U H ajiBH bix ypaBH eH H ił  oimcbiBaiomH X  yn p y-
TomiacTHijecKHe flecbopM aijH H  Ba^ejibH oH ,  TopoiłflajiŁHOH   o6oJioln<H  noflBeprH yTOH   H 3rH 6y  B IIJIOCKOCTH
rjiaBH3Hbi  H   fleiicTBino  HopMajibHoro  «aBJieHHH.  Ilpo6jieM a  ctbopM yjmpoBaH a  Ha ocHOBaHHH  TeopHH

flei|)opiviai(H H   IIpaH flTjiH - PeH cca  (H O KOHe^orbix  nepeM emeH H ft).  IIpeflnoJiaraeTCH   vro  MaTepnaJi



T O R O I D AL  SH E LL  185

H ecyurn x  cn oeB  yn pyro- n # eaJibH on jiacTH iecKH H,  HeoKHMaeMbift  H   nofl^nH H eTca  ycnoBH io  Tei<yMecTH
Xy6epa- M n 3eca- reH K H.  P accyH yjeH ti  pa3H bie  BapaaH Tti  ynpaBJienH H  n poqeccoM   H  pa3H bie  onpe# ejieH ira
napaiweTpa  BpeiweHH.  n p e fljio we n  Meroff  H ywepiraecKoro  pemeH H fl  STOH   npo6jieM Łi.

S t r e s z c z e n i e

POD STAWOWE  R ÓWN AN I A  SYM ETRYCZ N YCH   OD KSZTAŁCEŃ
SPRĘ Ż YSTOPLASTYCZN YCH   P OWŁ OKI  TOROID ALN EJ

W  pracy  przedstawiono  podstawowy  ukł ad  równań  róż niczkowych  opisują cych  sptę ż ysto- plastyczne
odkształ cenia  sandwiczowej  powł oki  toroidalnej  zginanej  w  pł aszczyź nie  krzywizny  gł ównej  i  obcią ż onej
ciś nieniem  normalnym.  Problem  został   sformuł owany  w  oparciu  o  teorię   mał ych  odkształ ceń Prandtla-
Reussa  (uwzglę dniono  jednak  skoń czone  przemieszczenia).  Z ał oż ono,  że materiał  warstw noś nych toroidu
jest  sprę ż ysto/ idealnie- plastyczny,  nieś ciś liwy  i  podlega  warunkowi  plastycznoś ci  Hubera- Misesa-   H enc-
kye'go.  Rozważ ono  moż liwoś ci  róż norodnego  sterowania  procesem  jak  również  róż nych  definicji  umo-
wnego parametru czasowego.  Z aproponowano także metodę  numerycznego rozwią zania  tego problemu.

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  31  stycznia  1983  roku

2  Mech.  Teoret.  i  Stos. 2/85