Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  23 (1985) T H E  ST AT E  O F   E XT E N SI O N   O F   H O N E YC O M B  G R I D   ST R I P TOM ASZ  LEWIŃ SKI Politechnika W arszawska Instytut  Mechaniki  Konstrukcji  Inż ynierskich 1.  Introduction I n  th e  papers  [I  -  4]  con tin uum  models  of  elastic  hexagonal- type  grid  plates  in  plane stress  state  have  been  form ulated.  Th e following  Cosserat- type  models  have  been  analysed: two  versions  resulting  from  th e Wozn iak's  concept of  fibrous  Cosserat  media  and  so  called n —  models  correspon din g  t o  R ogula- Kun in 's  pseudocon tin uum  description.  M oreover a  simple  asym ptotic  H orvay's  model  h as  been  recalled.  In  the  mentioned  paper  [4]  an „ a  p rio ri"  analysis  of  a  ran ge  of  applicability  of  the  Cosserat- type  models  has  been  pre- sented  and  several  hypotheses  con cern in g  advan tages  and  disadvantages  of  the  considered differential  approach es  have  been  pu t  forward. Th e  „ raison  d 'et r e"  of  th e  present  work  is  to  elucidate  problems  concerning  accuracy of  the  Cosserat- type  m odels  of  dense  grid  plates.  Th e  error  analysis  is  carried  out  by  an example  of  a  grid  strip  with  hexagonal  structure  in  a  state  of  extension.  The  problem  is considered  in depen den tly  by  m ean s  of  analytical  approaches  based  on  continuum  descri- ption s as well as via  finite  element analysis  which  in th e considered case of  the  grid  structure can  be treated as an exact  m ethod  (the errors produced by  com puter program  are neglected). Th us  a  direct  error  analysis  of  th e  considered  con tin uum  models  viz.  errors  of  evaluating displacements  and  rotation s  of  n odes  as  well  as  internal  forces  at  th e nodes  is  performed. The  statical  problem  con sidered  m akes  it  possible  to  disclose  scale  effects  following here  from  th e  couplin g  of  con stitutive  equation s  by  means  of  B  tensor  (see  [1, 2]).  As  it has  been  pointed  out  in  [2 -  4]  m oduli  B  and  C are  determined  non- uniquely;  they  depend upon  the  choice  of  a  version  of  Cosserat- type  description.  These  moduli  can  be  treated as  small  param eters  of  t h e th eory.  Their  influence  on the final  analytical  results  is  various; the  aim  of  the  presen t  paper  is  t o  analyse  this  ph en om en on  an d,  if  it  is  feasible,  to  dis- , tinguish  th e  best  differential  approach  which  induces  errors  of  the  smallest  values.  The presented  „ a  p o st erio ri"  analysis  allows  us  t o  appreciate  the  hypotheses  of  the  paper  [4] which  have  been  obtain ed  by  „ a  p r io r i"  analysis  of  approxim ation  of  functions  S a!l (k) in  ^- represen tation. 2 * 188 T,  LEWIŃ SKI 2.  Formulation  of  the  problem Consider  an  infinitely  long  hexagonal  grid  strip  of  the  un it  thickness  in  th e  state  of extension,  F ig.  2.1. I ts  height  is  denoted  by  L .  Th e  rods  whose  axes  con stitute  hexagons of  sides  equal  to  /  are connected by  rigid  n odes.  A  position  of  th e  hexagon s  with  respect to  the  unloaded  boundary  lines  parallel  to  th e  h orizon tal  axis  of  symmetry  is  shown  in F ig.  2.1.  The  main  nodes  (cf.  [1 - 4])  are  m arked  by  circles.  Th e  rods  are  assumed  t o  be made  of  isotropic  elastic  material,  Young  m odulus  an d  P oisson  ratio  being  den oted  by  E _ j x1 F ig.  2.1 and  v  respectively.  The  heights  of  rods  h  (measured  in  th e plan e  of  th e  strip)  are  assumed to  be constant. The slenderness  ratio v\   of  th e bars  is  equal  to  P/ h2.  I t is  assumed  t h at  rods are  sufficiently  slender  so  as  to  classical,  improved  (by  takin g  in to  accoun t  transverse shear  deformations)  theory  of  bars  can  be  applied.  M oreover  it  is  supposed  t h at  all  con- ditions  (concerning  th e  loads,  density  of  t h e  grid  as  well  as  wavelengths  of  deform ation pattern s,  see  [1 -  4])  being  a  starting  poin t  of  the  con tin uum  Cosserat- type  description are  fulfilled  here  so  as  t o  the  mentioned  mathematical  models  could  be  applied. The displacements an d rotation s of main nodes are approxim ated  by functions  tf,  '  =  0,  (3.5) lav'  ­4a 0)  and — in­ termediate  ones  0>!, y3,  Ł  < 0). Note  that  the  function  «*(*)  does  not  depend  on sign B  so that  u1  displacements  of B < 0 u ' l x ) ~1 U 2 (x,y') U2(x,y3l B > 0 m2lx mMx) B < 0 m2lx) m 1 lx) P22(x) Fig.  3.1 192  T.  LEWIŃ SKI main  and  intermediate  nodes  lieing  in  the  same  distance  from  the  longitudinal  axis  of symmetry  are  identical. The  function  u2  consists  of  two  term s; the first  of  them depends  on  sign.5  whereas  the second  one  is  independent  of  this  factor.  Thus  longitudinal  displacements  u%  vary  accor- dingly  to  the  choice  of  the  sections  being  drawn  along  main  or  intermediate  nodes  (cf. Fig.  3.1). The  function  cp(x)  is  proportional  to  sign B.  Thus  rotation s  of  main  and  intermediate nodes, which  lie  at  the same  distance  from  the  strip's  axis, have  same  absolute  values  and opposite  signs. Stresses p22  and m2  do n ot depend of  sign.fi  whereas  the stress  components p21  an d  m1 depend  upon this  factor,  cf.  F ig.  3.1. N onlinear  form  of  the  graphs  plotted  in  F ig.  3.1  results  from  coupling  of  constitutive equations  (B  <Ł  0).  The  results  obtained  can  be  devided  in to  two  groups  (a)  an d  (b). To  t h e first  group  these  quantities  belong  which  do n o t  vanish  if  one  substitutes  B  =   0; whereas  the quantities vanishing  in the case  of  B  =  0  constitute  (b)  group.  The  quantities of  (a)  type  have  nonvanishing  values  along  transverse  cross- sections.  The  quantities  of (b) type take  essential  values  in edge zones  only. These areas  which  can be treated as  effec- tive  carriers  (i.e.  domains  where  values  of  functions  cannot  be  neglected  in  com parison with the values  of  (a)- type functions) will be called further  5- effect  zones. D espite apparen t imprecision  of  this  definition  we  do  not see  any  need  t o give  a  precise  one allthough  such a  definition  can  be  formulated. In  the  subsequent  section  a  numerical  test  of  the  theoretically  obtained  qualitative results  and  corollaries  will  be  carried  out.  M oreover  the  errors  induced  by  Cosserat- type models  as  well  as  by  asymptotic  model  (in which  B  =   C  =   0) will  be  examined. REMARK  1 N ote that in the problem  considered  a density  of  strain  energy e   = - - (p^ y ̂+ m'xj  (3.10) does  not depend  of  the choice  of  main  nodes, i.e.  of  sign  B. REMARK  2 Consider  analogous  problem  of  extension  of  a lattice- type  strip  of  hexagonal  structure rotated  at an angle  n/ 2 from  the position  considered  above  (as in  F ig.  3.1).  I t  can be  pro- ved  that in  this  case  an  assumption  of  one- dimensionality  of  a  stress  state  leads  t o  a con- tradiction;  the boundary  conditions  of  the form  of  (3.1)  cannot be  fulfilled. REMARK  3 Examine rotations  of  the boundary  nodes lieing  at  a  distance  of  L / 2 from  th e  longitu- dinal  axis  of  the  strip,  subjected  to  stretching  stresses  a yy   =   N / L ,  in  t h e  limiting  case L   - *  co  at  /  =   const.  By  inserting  x  =   0  into  (3.6)3  and  taking  into  account th at  L   - > co the  following  formula ;  i  v  i *  1  ( fr+ *)fr+ «) X12 is  obtained. The R H S of  Eq.  (3.11) involves effective  elastic moduli  only. I n the  subsequent section  an  accuracy  of  the  derived  formula  will  be  examined. HONEYCOMB  GRID  STRIP  193 4.  Numerical  analysis  by  displacement  method The  subject  of  the  numerical  analysis  are  plane  grid  structures  A  and  B  (see  Fig.  4.1 where  the  quarters  of  the  structures  are  shown).  The  rods  are  assumed  to  be  made  of a  steel  with  Young  modulus  E  =  2.106­  107  N/cm 2 .  Transverse  shear  deformations  of the  rods  are  neglected.  Cross­sections  of  bars  are  rectangular  \xh  where  h  =  \  cm  or h  =  2  cm.  The  internode  distance  /  is  equal  to  10  cm.  The  both  grids  are  subjected  to stretching  longitudinal  forces  P  =  8660.250  N  (cf.  Fig.  4.1)  hence  the  mean  stress  of tension  reads a  =  — £ —  =  1000  N/cm2. /1/3/2 The  state  of  extension  is realized  by  various  ways  (exemplary  loads  are  shown  in  Fig. 4.1). For  further  analysis  only  these  results  are  important  which  do  not  vary  under  various, statically  equivalent  systems  of  loads.  The  aim  of  the  numerical  tests  is  to  create  a  one­ ­dimensional  state  of  deformation.  Thus  at  some  distances  from  the  loaded  boundaries of  the  strip the  displacements,  strains  and  stresses  (apart  from  the displacements  u2  parallel to  strip's  horizontal  axis)  ought  to  assume  stable  values,  viz.  independent  of  the  distance of  the  section  from  the  loaded  ends.  Numerical  computations  (performed  with  the  aid of  the  program  STRAINS  75,  computer  ODRA  1305)  confirm  this  supposition  which can  be  interpreted  as  „discrete  analogy"  of  Saint  Venant  principle.  However,  transverse­ forces  in  horizontal  bars  (which  occur  due  to  the  fact  that  the  strips  A  and  B  are  of  finite­ length)  do  not  satisfy  this  condition;  their  values  are not  periodical.  Nevertheless  it  should be  stressed  here  that  these  forces  are  negligible  in  comparison  with  transverse  forces  in bars  whose  axes  are  situated  at  angles  ± TC/3 from  the  horizontal  symmetry  line.  Moreover it  should  be  emphasised  that  periodicity  od  some  quantities  occurs  in  some  boundary layer  only,  e.g.  the  moments  in  horizontal  bars,  reaching  the  greates  values  in  the  vicinity of  the  unloaded  edges,  vanish  rapidly  towards  the  strip's  horizontal  axis;  the  greatest, moments  only  (in  B  strip­at  the  first,  say,  six  nodes  lieing  at  the  edge)  satisfy  the  desired one­dimensional  state  of  stress  condition  whereas  the  other  (negligible)  values  vary  at random. The  complete  set  of  numerical  results  will  not  be  reported;  indeed  not  they  are  of essential  importance  here.  In  the  subsequent  section  selected  results  will  be  given  together with  analytical  results  obtained  by  approximate  differential  models  discussed  in  the  paper. 5.  Accuracy  analysis  of  the  continuum Cosserat-type and asymptotic approaches This  section  is  devoted  to  comparison  of  results  analytically  obtained  in  Sec.  3  with results  produced  by  computer  analysis  (outlined  in  Sec.  4)  of  the  A  and  B  structures,  cf. Fig.  4.1. Such  comparison  can  be  carried  out,  because a)  honeycomb  grids  A  and  B  satisfy  the  desired  regularity  and  density  conditions, b)  strip­type  forms  of  A  and  B  structures  as  well  as  the  loads  subjected  ensure  (as  it has  been  pointed  out  in  Sec.  4)  a  one­dimensional  state  of  stress  so  that  the  fundamental assumption  of  the  presented  in  Sec.  3  analytical  approach  is  fulfilled, c)  deformations  of  structures  vary  smoothly  except  for  the  B  zones  lieing  at  unloaded. < o. bo s [194] HONEYCOMB  G RID   STRIP 195 edges.  Th us  t h e  m ath em atical  models,  based  on  th e  assum ption  t h at  strain  energy density  depen ds  on  th e  first  deform ation  gradien ts  only,  may  be  applied. P rior  t o  perform in g  an  accuracy  analysis  of  the  considered  differential  models  of h on eycom b grids,  let th e effective  elastic m oduli  of  the  structures A  and B, un der the assum- ption  of  slenderness  of  bars  (rj  «  rf), be  c o m p u t ed 1'.  T h e  following  models  are  examined: Klem m  an d  Woź n iak  version  (see  [2], Sec.  3)  with  th e  set  of  con stan ts  (A, ft,  a, Bv,  C), second  Woź n iak  —  type  (I I )  version  (see  [2],  Sec.  4)  with  the  moduli  {X, \ i, oc,  B*, C A) a n d  x  —  models  (see  [4],  Sec.  5)  leading  to  th e  con stan ts  (A, fj,, a B°,  C° X) ). Th e  values  of  th e effective  m oduli  are  set  up  in Table  5.1. 5.1  Approximation  of  displacements  of  nodes. 1.  Displacements  u 1   perpendicular  to  the  strip's  horizontal  axis T h e  displacem en ts  u1  of  th e n odes  188,  189,  . . . ,  198, lieing  alon g  the lines perpendicular t o  th e  h orizon tal  axis  of  t h e  strip  A  (cf.  F ig.  4.1),  obtained  via  displacement  m ethod  (de- n o t a t io n s:  V)  as  well  as  by  th e  con tin uum  m odels,  are  shown  in  F ig.  5.1.  Relevant  graphs of  relative  errors  in duced  by  t h e  latter  approach es  are  plotted  in  F ig.  5.2.  These  errors are  com puted by  assum in g  th e  results  of  th e  displacement  m ethod  as  „ exact"  ones. Table  5.1 U  10cm h l c m ] a b 1 2 n 100 25 M N / c m 2 ] 563178 109S390 p [ N / c m 2 ] 11781 91532 alN/ c m 2 ] 1487 11099 Bv[ N/ cm] 58907 457661 B"[N/ cm] 29453 228831 EPtN/cm] 5U70 398165 l=10cm hlc m ] a b 1 2 CV[ N] 393694 3081580 C A [ N ] 99160 7 9 3 2 7 9 C,°0)[ N] 542434 4271500 C(> ] 319324 2486630 q > ] 96215 701747 Th e  „ exact "  results  confirm  t h at  behaviour  of  ul  function  is  nonlinear.  H owever, th is  effect  is  so  un con siderable  t h a t it  can n ot be  shown  in  F ig.  5.1. I t can be n oted th at the greatest  errors  are  in duced  by:  t h e  zero- order  approxim ation  an d  th e  un stable  (x  =   1) m odel.  Apart  from  th is  a  very  good  (0.5% -  0.6%  error)  approxim ation  of  u1  by  (x  =   0) version  is  worth  em phasisin g.  Th e  second  (II)  version  provides  a  slightly  better  results t h an  th e  first  (I)  on e. On  th e  basis  of  com pu t at ion s  which  are  n ot  reported  herein  it  can  be  stated  th at  in th e  case  of  h  — 2  cm  relative  errors  are  greater  t h an  in  the case  of  h  ~  1 cm. Ań  analysis  of  th e  u1  displacem en ts  in  B  strip  do  n ot  lead  to  new  conclusions.  N ever- theless  th e analysed  relative  errors are  smaller  in  th is  case:  th e  (/ )  version  induces  ca.  1.4% errors  (in  A  case —2 . 3 % ) ;  th e  (II)  ver sio n —1. 07%  (in  A  case —c a .  1.75%);  (x  =   0) m odel  —c a .  0.34%  (in  A  case —0. 60% ) ;  («  -   1)  version- ca.  4.4%  (in  A  case  —7.35%) . Therefore  th e m ore  dense  a  lattice is  th e better  are  results. 2.  Displacements  u 2   parallel  to  the  horizontal  symmetry  axis I n  order  t o  exam ine  u2  displacem ents  a  slightly  m ore  complex  procedure  should  be applied  since  these  displacem en ts  change  their  values  along  the  strip's  axis.  Apart  from *'  For  the  definition  of  i\ , see  [2]. v ­  results  obtained  by  displacement method  with  the  aid  of the program  STRAINS 5.0­ 2 . 5 ­ 0.5 asymptotic  model " version  I version  II 186 169 190 151  192 Fig. 5.2 193 194 195 196 [196] HONEYCOMB  GRID  STRIP 197 this an approximation  of main and intermediate nodal translations  u2 should be considered separately,  see  Fig. 3.1. The  displacements  u2  of  the  nodes  188, ...,  194  (A  strip)  are  shown  in  Fig.  5.3. Non­ linearities  of  functions  / i , f2  interpolating  „exact"  translations  of  main  and  intemediate nodes  respectively  can  be  noted,  but,  on  taking  into  account  that  their  deviations  from the  straight  lines  are  very  small,  it  could  not  be  shown  in  Fig.  5.3.  However,  differential theories  produce curvings  of  u2 functions  much  stronger. _ J  | _ . I  Strip A I  h=1cm 194 The displacements  w2 of main nodes are approximated  in a different  manner than ana­ logous displacements of the intermediate nodes. An error analysis of u2 along cross­sections perpendicular  to the horizontal  strip's axis proves  (cf.  Fig. 5.3, see also  [5], where approp­ riate  graphs  were  plotted)  that  main  nodes'displacements  are  over  estimated  whereas the  intermediate  ones are  underestimated.  Approximation  errors  of the main nodes'trans­ lations  u2  decrease  in  the  edge  5­zones  while the  analogous  errors  of computing  the dis­ placements  of the intermediate  nodes increase in  this zone. A behaviour  of relative  errors along  the  horizontal  strip  axis  from  the  loaded  edge  to  the  transverse  symmetry  axis is worth  examining.  The  relevant  graphs  are  plotted  in  Figs.  5.4,  5.5.  Absolute  values  of relative  errors  grow  rapidly  in  the  vicinity  of  the  symmetry  axis where  u2 tends to  zero; then  their  values  go  down  and  again  grow  at  the  loaded  boundary.  Similar  diagrams concerning B structure are plotted in Figs. 5.6, 5.7. In this case a stabilization of errors along the  strip  axis  is  readily  seen. 55  77  99  121  U 3  165  187  209  231 n o d es F ig.  5.4 20 " " • — ^ = j 1—«_ 1 — • _ - Jt=0 ~ r— asymptotic  approac Str h= -~  — — •   i — * —  - . P A cm -   I Ł —  . — . — — . —  — ^ - — ^ - ^ , — . ^ \ A ) \ i 22  tt  66  88  110  132  154  176  198  220 nodes F ig.  5.5 20 KT  10 1O 0 - 10 L asymptotic :p p r jach / Stl h ip  E • 1cr i i n —̂' ——- 17  51  85  119  153  187  221  255  289  323  357  391  425  459  493  527  561 n o d e s F i g.  5.6 [198] HONEYCOMB  G RID   STRIP 199 10 5 0 - 5 ^ - 20 o I x=1 * — = Strip B h=1cm_ = asyr - m npto ic c Jt=Q pprć ach" — •   ~ _ = . 1\ 34  68  102  136  170  204  238  272  306  340  374  408  442  476  510  544  578 nodes F ig.  5.7 It  is  worth  stressing  that  approximation  errors  of  displacements  of  nodes  of  the  B strip are less than analogous errors in the case of  the A  strip.  Thus  the errors vary  together with  the  density  ratio  l/ L .  Moreover, it  was  tested  that  the  errors  grow  if  the slenderness ratio  r\  increases. 3.  Rotations  of  nodes  q> Rotations  of  the  nodes  lieing  along  the  cross- section  lines  perpendicular  to  the  strip horizontal  axis  are  set  up  in  Tables  5.2a,  5.2b;  the  values  of  rotations  are  increased  1000 times.  The results of the fable  5.2a  are shown in F ig.  5.8.  A  similar behaviour of  T  =  s i n a c o s a ( / 1 ­ ^ 2 2 ) ­ s i n 2 a ­ / ? 1 2 + c o s 2 a ­ J p 2 1 , m  =  sin a  •  m1 + cos a  •  m2, where  a  denotes  an  angle  between  t  and  x1  axis. On  the  basis  of  the  above  formulae  the  stresses  at  the  sections  perpendicular  to  the bars  joint  in  main  nodes  of  the  grid  can  be  found.  The  longitudinal  force,  the  transverse force  and  the  moment  at  the  nodes  are 2 V « c r ­ Z ] / 3 ,  r = T ­ / | / 3 ,  M  =  m ­ / ] / 3 , respectively. 3  Mech.  Teoret.  i  Stos.  2/85 202 T.  LEWIŃ SKI it)  approximate  slope- deflection  equations'method. A  main  idea  of  th e  m eth od  consists  in  applying  equation s  which  express  in tern al forces  in  term s  of  strains,  i.e.  by  m ean s  of  th e form ulae  (3.3),  [2]  in  (I) version  or  (4.1), [2],  in  (II) version.  Thus  only  in  th e  two  m entioned  cases  of  con tin uum  descriptions  this m ethod  can  be  applied. F ig.  5.10 Hi)  exact  slope- deflection  equations'method I n tern al  forces  can  be  calculated  by  substituting  th e  values  of  n odal  displacem ents (translations  and  rotations)  in to  slope- deflection  equation s  well  kn own  from  th e  classical theory  of  bars.  H owever,  it  occurs  th at  such  apparen tly  n atural  procedure results  in  com- pletely  incorrect  outcomes.  The  appropriate  negative  examples  are  presented  in  [5]. Th e- refore  this  method  will  n ot  be  applied  in  further  analysis. Strip B h =  1cm 3,6  3.7  3,8  3,9  4,0  Zj  V  43  V-   %&  .6 (longitudinal  forcesM O^N ) i  4,6  4,7  4,8 - r3r  -   * F i g.  5.11 HONEYCOMB  GRID  STRIP 203 1.  Longitudinal  forces Sloping  bars.  The  graphs  of  functions  which  interpolate  values  of  longitudinal  forces n  sloping  bars  513 ­  512,  ...,  524 ­ 525  (viz.  in  bars  which  are  inclined  from  the  horizontal symmetry  axis  of  the  strip  at  angles  ±7t/3,  see Fig.  4.1)  are plotted  in  Fig.  5.11. By  means of a  prime  (F, IF)  and  the  lines —. —. —.,  the  results  due  to  (ii) method  are  distinguished. The  best  results  are  produced  by  («  =  0)  version,  the  worst — by  the  asymptotic  and unstable  (x  =  1)  models. Horizontal  bars.  Appropriate  graphs  are  shown  in  Fig.  5.12.  Similarly  to  the  preceding case the best results yield from  (I), (II) and particularly  from  (u  =  0) versions; the worst­are produced  by  {x  =  1)  and  the  asymptotic  versions.  The  latter  model  does  not  describe  the jB­effect,  of  course. 2.  Transverse  forces Sloping  bars.  The  functions  interpolating  transverse  forces  in  bars  5 1 3 ­ 5 1 2 , . . . , 524 ­ 525  of  B  strip  are  plotted  in  Fig.  5.13.  The  remarks  concerning  approximations  of 6  7 8  9  10  11  12  13  U  15  16  17 (longitudinal iorces)­iO"3[Nl Fig.  5.12 18  19 3* 204 T .  L E WI Ń SKI 51 5 51 7- 51 9- 51 8 5 2 1 - 5 20 - 5 22 S 23 >j IT) c sym ptot Strip B h = 1a n c  m 5dGl \ \ t i1 • n' \J \ !rl70  7.1  7.2  7.3  7.4  7.5  7.6  7.7" 7.8 '/ es1 / 9  8.0 (transverse  forcesl- 10"3 F ig.  5.13 longitudinal  forces  in sloping  bars  can  be transferred  to th e  considered  case  of  transverse forces.  I t can be mentioned yet  t h at the  m ethod  (ii) becomes  in correct in 5- zones. Horizontal bars.  Transverse  forces  in the horizon tal  bars  are equal  to zero  provided the  considered  strip  is  infinitely  long.  Th e  analytical  solution  found  in  Sec.  3  (which  is based  on the  assumption  of  an  one- dimensional  stress  state) is  obtain ed  by virtue  of th e approximate way of fulfilling  the boun dary  con dition s.  Specifically  th e  con dition p2i  =  0 on  the loaded  boundary  is  substituted  by  an in tegral  expression  ( 3.1) 8.  Th us  p 21  ^  0 in  each  Cosserat  version  whereas  the  m entioned  con tradiction does  n ot  hold  in t h e  zero- order theory where the condition p21  =  0 is n ot in con trast t o th e assum ption of onedim en- sionality  of the state of stress.  A dom ain of essential  values  of p2X  is a 5- effect  zon e. Th us th e  solution  T  = p21- l]/ 3  =  0 is  approxim ated  exactly  only  by  th e asym ptotic  m odel. 3.  Approximation  of  bending  moments Sloping  bars.  The  functions  approxim ating  m om en ts  at th e n odes  of  th e  ba r s:  513 - 512,  ...,  527 -  526  in B strip  are  plotted in F ig.  5.14.  One  can  poin ted  ou t  t h a t th e  second version  I I ' ,  method  (ii) provides  a very  good  approxim ation  whereas  th e  ordin ary  m eth od (i) leads  (in the case of the same version)  t o errors of ca.  50%.  Two  times  increased  results of  (II) version  are  shown  in  F ig.  5.14,  th e appropriate  graph  being  den oted by 2 M n .  Th e coefficient  2 results  from  th e ratio  I?  / 2?A  =  2  when  v\   — r\ . T h e  physical  in terpretation of  nf  in  (II) version  especially  an d  also  in other  versions  is n o t  clear  an d  is  retain ed in this  paper as open  question ;  some  theorems  on  this  problem  are  form ulated  in  [5]. Horizontal  bars. Appropriate  graphs  standing  for  m om en ts at n odes  of t h e  bars  511 - 528,  . . . , 527- 544  in  B  strip  are  displayed  in  F ig. 5.15. Th e considered  m om en ts are 5 1 3 ­ 51 5 ­5 16 ­5 18   51 7 ui  Si! t­  in DC ­5 20 5? 1 a T 5? 3 I f \ Strip h=1cm 30 M i  V L, I j I i j i 35  * ! 40  iN'Cm] -3 Fig.  5.14 i n , Strip  B h=1cm.. 1000 5000  10000 bending  moments Fig.  5.15 [205] 206  T.  LEWIŃ SKI negligibly  small  comparatively  with  m om en ts in  sloping  bars  except  for  the  one m om en t (in  th e  bar  511  -  528)  which  is  of  th e  sam e  order  as  m om en ts  in  sloping  bars.  H owever, exactly  this  maximal  m om en t  is  approxim ated  in  th e  best  way,  specifically  by  (I )  and (IF )  m ethods. C on tin uum  models  supply  qualitatively  correct  description  of  the  ben din g  m om en ts in  horizontal  bars.  H owever,  quan titative  errors  are  con siderable;  the  best  results  yield from  (I I ')  m ethod. 6.  Concluding  rem arks 1)  N umerical analysis  confirms  an existence  of ^- effect  zones which  have  been predicted previously  by  the analytical  considerations  based  upon  Cosserat- type  models  (the  asymp- totic  model  does  n ot  describe  this  effect).  N um erical  test  proves  t h at  th e  effective  height of  this  zone  is  evaluated  with  various  degrees  of  accuracy,  th e  m inim al  errors  yield  from the  (II) Wozniak's  version  and  from  the  unstable  (x  =  1)  m odel.  Both  analytical  consi- derations  and finite  element  com putations  show  th at  th e  Ł  zon e's  height  H  varies  alm ost independently  of  the  strip's  height  L   so  th at  a  relative  height  of  B  zon es:  H/ L   decreases if  L   grows. 2)  Quantities  characterizing  states  of  stresses  an d  strains  of  th e  grid  can  be  divided (as  has  been  done  in  Sec.  3)  into  two  groups  (a)  an d  (b).  C om puter  analysis  confirms that  such  a  division  is  reasonable.  Quantities  of  (a)  type  take  essential  values  in  every point  of  the  strip's  cross- sections  whereas  (b) —  quantities  take  inconsiderable  values outside  the  B —  effect  domains. I n  the  .S- zones  relative  errors  induced  by  th e  con tin uum  models  are  extrem e  since exactly  in  these  zones  gradients  of  if  and  iepeH iiH ajitH bix  MofleJieK,  cp asn eH bi  c  cooTBeTCTByiomHMH   pe3yjiŁTaTaiwH,  n o n y- Ha  OCHOBe  HCXOflHOft flH CKpeTH Oii MOfleJIH  KOHCTpyKKHH. aajiH tfflwe  npeflno>KeH H Ji,  K acaiom n ecn  none3HOCTH   H iwoflejieft  THna  K o c c ep a  H  Mo.ae.nH   Xo p Ba a . 208  T.  LEWIŃ SKI S t r e s z c z e n i e ROZCIĄ G AN IE  PASMA  SIATKOWEG O  O  STRU KTU RZ E  PLASTRA  M IOD U Przedmiotem  rozprawy  jest  analiza  statyczna  pasma  prę towego  o  strukturze  heksagonalnej  rozcią - ganego  sił ami równoległ ymi do jego brzegów.  Przemieszczenia  wę zł ów i sił y wewnę trzne  w prę tach badano za pomocą  modeli kontynualnych typu  Cosseratów:  dwóch wersji  zgodnych  z ogólną   koncepcją   Woź niaka oraz tzw  x — wersji  zaproponowanych  przez  autora w  pracy  [4] oraz —  za  pomocą   modelu  asymptotycz- nego H orvaya. Wyniki  analityczne porównano z wynikami  numerycznymi otrzymanymi metodą   przemiesz- czeń. Sformuł owano  szereg  wniosków  dotyczą cych  uż ytecznoś ci  i  zakresu  stosowalnoś ci  modeli  typu Cosseratów  i  modelu  H orvaya. Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  30  czerwca  1983  roku