Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 23 (1985) SO M E  E XI ST E N C E  AN D   U N I Q U E N E SS  R E SU LT S  I N   E LASTOSTATI C S  WI TH C O N ST R AI N T S  F O R  D I SP LAC E M E N T S  AN D   STR E SSE S Z D Z ISŁ AW  N AN I E WI C Z Instytut  Mechaniki Uniwersytet  W arszawski Th e  aim  of  t h e  paper  is  th e  investigation  of  some  class  of  problems  of  elastostatics with  con strain ts  for  displacem en ts  an d  stresses.  Th ere  are  considered  such  restrictions which  lead  t o  t h e  problem s  with  generalized  displacem ents  an d  generalized  stresses.  Some existence  an d  un iquen ess  results  are  proved. 1.  Basic  concepts  and  assumptions  of  elastostatics  with  constraints T h rough out  th e  paper  {&k}k=i.,2,3  den otes  a  fixed  orton orm al  basis  in  Euclidean 3- space  (£.  Th e  dual  basis  is  given  by  {e *}t = l i 2 t 3 ,  e  =   (du),  where  du,  i,j  =   1,  2, 3  is the Kron ecker delta, is  th e m etric ten sor in (£. If  x  e (5 then by  (xk)  we  denote the ortogonal coordin ates  of  x  relative  to  th e  basis  {e*},  x  =   &kXk,  an d  analogously  (x k )  are coordinates of  x  relative  to  th e basis  {ek  },x  — x k   e* (I n th e following  th e sum m ation convention  holds an d  th e  indices  i,J,  k,  ...  ru n  from  1  t o  3). Let  B  be  a bo u n ded  region  in (S with  th e regular  boun dary  SB, c.f.  [1], occupied  by  the body  in  its  un deform ed  state.  Th e  problem  will  be  analyzed  un der  the  basic  assumption of  th e  infinitesimal  th eory. Let  us  den ote  by  3)  th e  space  of  all  vector  functions  com pon en ts  of  which  relative to  t h e  basis  {e*}  are  square  in tegrable  together  with  their  first  partial  derivatives  in  B, i.e. 3)  =   {u  =   ( «k ( x) ) ,  xeB,  u.eH^ B),  fc—  1 , 2 , 3 ) , equipped  with  t h e  n o r m B  n where  Vu  =   ( «t i , )  is  t h e  gradien t  of  u  with  respect  to  x,  h  is  a  positive  con stan t  suitable choosen  in  th e problem  un der  con sideration . Th e  space  3) will  be interpreted  as th e  displa- cement  space  an d  its  elem ents  as  displacem ent  fields. E xtern al  forces  actin g  at  th e body  will be  represen ted  by  linear  con tin uous  functionals on 3), i.e. by  elements  of  3)*,  3)* bein g  t h e dual  of  3).  T o  the system  of  external  forces  will be  assigned  such  elem en t f*  of  3)*  t h at th e value  of  work  don e by  these forces  on  arbitrary 210  Z.  NANIEWICZ field  v e 35 is equal to the value of the functional  f*  at v. Assuming that the body is  subjected to  the  body  forces  b  =  (bk(x)),  xeB,bke  L2(B),  k  «=  1, 2, 3,  and  to  the  surface  traction p  =  (pk(x)),xe8B,pk  eL2(8B),k  =  1,2,3,  we  have  the  following  representation  for the  corresponding  functional  f*  e 3)*: ! =  fb­vdv+  J p ­ v i s ,  ve£>,  (1,1) ii 8B ­where  < •,  • >x  being  the  pairing  between  D*  and  D. Let us introduce S  as the  space of  all  symmetric tensor  functions,  components  of  which relative  to  the  basis  {e*®e'}Jfc|;.i,3,3i  are  square  integrable  in  B,  i.e. .  S  =  {C =  (Cw(x)),  xeB,  CM =  Clk,  CkleL 2(B)}. The  space  S  is  assumed  to  be  equipped  with  the  norm IjCHl  ­ / t r ( C Q *  =  /  Q ( C " * ,  C  e  6 . The  displacement­stran  relations  will  be  described  by  the  linear  continuous  operator E :  t ) ­ > S ,  which  assignes  to  any  v e T> the symmetric  part  of  the  displacement  gradient Vu,  i.e. E(v)  =  l/2(Vu + VuT), •or  equivalently E  =  (Ekl), Ea(y)  ( The  subspace  of  S  being  the  image  of  ©  by  the  mapping  E  is  said  to  be  the  space  of  all strain  fields.  The  whole  space  S  will  be  called  the  strain  space. Independently  of  S  we  introduce  the  space  £  of  all  symmetric  tensor  functions  T, components  of  which  relative  to  the  basis  { e t ® e , } t = l i 2 , 3 ,  are  square  integrable  in  B,  i.e. ) ,  xeB,  Tkl  =  r \  Tk'eL\B),  k,  / = 1 , 2 , 3 } , the  space X  being  equipped  with  the  norm HTIII =  J t r C T T ) *  =  J  TuTkldv,  T  eX. X  will  be  treated  as  the  stress  space  and  its  elements  as  stress  fields.  It  is  easy  to  see  that from  the  mathematical  point  of  view  the  spaces  Q  and  X  coincide.  The  main  difference between  them  follows  from  the  physical  interpretation. For  any  T e l  and  any  C e S  let 2  =  Jtv(TC)dv  =  J  T k'Ckldv.  (1.2) B B Under  the  above  denotation  the  value  of  virtual  work  done  by  the  internal  forces  corres­ ponding to  the stress field  T  e X  over  any  strain field  E(v), v e D,  can  be  written  as 2  =  Jtr(TE(v))  £>, which  is  assumed  to  satisfy  the  following  monotonicity condition < K T - K a, T - a >2  ^  c ||T - a ||Ś  VT, oe%, where c  is  a positive constant. It must be stressed, that in this approach the constitutive operator K may be non- linear. It  means  that  we  can  also  deal  with  problems  in  which  some physical  non- linearities are taken  into  account.  In  the  linear  case  K  coincides  with  a  compliance  field  tensor  K = =   (^WJU (X))I  x  G  B.  Then  the  above  monotonicity  condition  can  be  rewritten  in  the form In  the  paper  we  shall  deal  with  such  problems  of  elastostatics  in  which  admissible are only  certain distingushed  subsets  of the displacement speace D  and the stress  space  S. It  means  that  on  displacements  and  stresses  are  imposed  some restrictions which  will be called  displacement  constraints  and  stress  constraints, respectively.  To precise  these con- cepts  we  shall  assume  that in  every  problem  under consideration there are given  a priori two  subsets  U  <=   £>  and  Z  c  X  of  all  admissible  displacement  fields  and  stress  fields, respectively.  In  particular,  if  I I  =  2)  and  S  =  Z  then  we  deal  with  the unconstrained body. Throghout  the  considerations  we  confine  ourselves  to  some  class  of  constraints, na- mely  it  will  be  assumed  that I t  and £   are proper  convex  and closed  subsets  of  D   and  %, respectively1'. The equations of  equilibrium  in problems with constraints will be assumed  in the form of  the  following  condition f  tr(TE (v))< fo-  / b  •   \ dv-   f  p •   vefa- , where  T e S  is  the stress  field,  b and p have the same  meaning as  in  (1.1), r*  e£>*  is  the functional  which represents the work  of reaction forces  due to the displacement constraints, c.f.  [6]. The condition (1.4) states that the value of  work  done by  the  external forces  and  by  the  reaction  forces  over  any  v e 3)  is  equal to  the  value  of  work  done  by  the  internal  forces  over  corresponding  strain  field  E(v). In this approach together with the displacement constraints we have introduced reaction forces  which  have  to  maintain the constraints. As  far  as  the mathematical aspects  of the problem is  concerned it will  be  assumed  that the functional  r*  e 3) *representing the work of reaction forces  (contrary to the functional  f*  e 3)* which represents the work  of external forces)  can be  an  arbitrary  element of  T >*.  This  requirement is  due to the fact  that in the considerations  we  are  to  deal  with  a  wide  class  of  constraints and  therefore  we  ought to introduce  suitable  wide  class  of  reaction  forces  in  order  to  maintain  these  constraints. Thus we take into  account not only  functionals  r* of  the form j  =   J  r-   \ dv+  [s- vds,  Vve3),j B SB "  These  assum ptions  are  due the mathematical tool  which  will be  used  later. 212  Z.  NANIEWICZ where  r e L2(£)3  and  seL2(8B)3  are  interpreted  as  body  reaction  forces  and  surface reaction tractions, respectively, but also functionals  having the most general representation, namely,2', , =  /  (w •  v+tr(VwVvT))i  >  0,  W e l l .  (1.6) The above condition is said to be the principle of ideal displacement  constraints  [6 ­ 8]. It states that  the value of work  done by the reaction  forces  over  any virtual  displacement field  v—u, v eU,  is always non­negative. The constutive  relations  for  stresses  will  be  given in  the  form  of  the  following  condi­ tion ( t r [a (KT ­  E(u))] dv ­  [ tr [oG] dv = 0,  (1.7) B B which  has  to  be satisfied  for  any a e%,  where u  is the  displacement  field,  T  is the  stress field,  G e S  is  said  to  be  the  strain  field  incompatibilities  due  to  the  stress  constraints, [8].  Together  with  the  stress  constraints  we  have  introduced  the  strain  field  incompati­ bilities  which  have  to  maintain  these  constraints.  As  in  the  case  of  reaction  forces,  for every  stress field  T  admissible  by  the  constraints,  i.e.  T e 2 ,  we have  to  determine  a  set of all strain incompatibilities. In order to determine this set we shall assume that the stress constraints  are  ideal,  [8], i.e. Jtr[(a­T)G]«fo>0,  V a e S .  (1.8) B The above condition  is said to be the principle  of ideal stress constraints. It  states that the value of work done by internal forces  corresponding to any virtual stress  a—T, a e  S, over the strain field  incompatibilities  G is always non­negative. In  particular,  if the  stress constraints  are  absent,  i.e.  2  =  T,  then  from  (1.8) it  follows  that  G =  0 and  (1.7)  leads to the well known form  of the constitutive equations for  elastic body, namely KT­E(u)  =  0. Ideal  constraints  are  the  special  case  of  so  called  quasi­ideal  constraints  which  have been  discussed  in  [8]. Such  constraints  and  their  realization  are  defined  by  means  of  the z )  Since, as it is known,  35 is a Hilbert space with the  inner  product  given by (v, w) =  j  (wv+tr(VwVvT))dv,  v, w e 35, B so,  by Riesz Representation  Theorem  it  follows  that  an  arbitrary  element  of  35* can  be represented  in  the form  (1.5). EXISTENCE  AND  UNIQUENESS  213 known  proper  convex lower  semicontinuous  functions  (S: 35  ­> R and y:%­+ R,3),  suitable choosen  in  every  problem  under  consideration.  Principles  of quasi­ideal  constraints are assumed  to have  the following  forms: (r^v­nX + p W ­ p W H ,  VveD,  (1.6)' for  the displacement  constraints, and 0,  Vi  =  jbo­\dv+  J to­yds,  VveD,  (1.10) B  as where  b0 e L 2(B)3,  p0  eL 2(dB)3  are the known  vector  functions  not depending  on  the displacement  field  u, and f,* e 35*  represents  external  forces  essentially  depending  on  the displacement  field  by the formula   lt4 ). For instance,  by means  of (1.11) we  can charecterize  the potential  forces  (C  being  Gateaux  differentiable),  the forces of friction  [1], the forces  of mutual  interaction  between  the body  and its foundation,  [1], e.c.t.5'. Summing  up,  foundations  of  elastostatics  with  constraints  for  displacements and stresses  are given  by  equation  of  equilibrium  (1.4),  constitutive  equation  for  stresses, (1.7),  constitutive  relations  for external  forces  (1.9) ­ (1.11), the principle  of ideal  (quasi­ ideal)  constraints  (1.6) ((1.6)')  and that  of the  ideal  (quasi­ideal)  stress  constraints (1.8) ((1.8)'). 2.  Generalized  displacements  and generalized  stresses In  this  Section  the  restrictions  will be given  leading to problems  with  so  called  genera­ lized  displacement  and generalized  stresses. Let us begin  the  formulation  of the  displacement  constraints. It is supposed  that  there 3 )  Here  and  what  follows  R  =  Ru{+os}. 4 )  F o r any convex  function  oc:X'­*•  R  we use the symbol  Z>(  Eqs.  (1.9) ­ (1.11) can  be reffered  to  as the constitutive  relations for  external  forces  f*. 214  Z.  NANIEWICZ is given  a  space  23, being  a closed  linear  subspace  of  T>,  and  an  element  u0  e 2)  such  that • | | E ( T ) | |a > c | M | x ,  v e 3 3 ,  (2.1) i.e.  on  35 Korn's  inequality  holds,  and UcSB+Uo  =  { v + u o : v e 2 3 } .  (2.2) For  instance,  such  situations  take  a  place  if  U  is  a  subset  of  all  displacement  fields  sati­ sfying  on  a  given  part  of  the  body  the  known  displacement  boundary  conditions. Moreover,  we  suppose  that  there  is  given  the  linear  continuous  operator  <£:£)  ­> 93 from  a  reflexive  Banach  space  Q  into  33 such  that ll*(q)lli  >  c||q||a,  q e Q , c > 9 , < 6 > ,  (2.3) and  there is known  the  non­empty  closed  convex  subset Q  c  Q  for  which U  = G+uo  = {v+uo:vetf}5  (2.4) where U  =  * ( & )  =  {v e  33:  v =  * ( q )  for  some  q e Q } .  (2.5) £} will  be  called  the  space  of  generalized  displacements  and  Q  the  set  of  all  admissible generalized  displacements.  The  set U  is the  image  of  Q.  by  the  mapping  «i», translated  by u0.  From  Eq.  (2.3) it follows  that to any displacement field  u admissible by the  constraints, i.e.  U E I I ,  corresponds  exactly  one  q e Q  such  that  u  =  33(q)+u0. In  order  to  specify  the  set of  all admissible  stress fields  we suppose that  there is  known linear continuous operator W :II  ­+ Z  from  a reflexive Banach space II into Z  with ||«F(n)||2  >  c\\it\\n,  n s H . o O .  (2.6) There is also  known  the  non­empty  closed  convex  subset  n  <= II  such  that 2  =  ?(IL)  =  { T e I : T  =  ? ( * )  for  some  TC  e  ń }.  (2.7) I I  will be called the space of generalized stresses  and ń  —  the  set  of  all admissible genera- lized  stresses. The set 2  is the image of  ft  by  the mapping  VP.  F rom  (2.6) it follows  th at to any  stress field  T admissible by  the constraints, i.e. T e S,  corresponds  exactly  one iv  ell such  that  T  =   ?(n),«\ Now,  let  us pass  to  the  governing  relations  of  the  problems  of  elastostatics  with  con­ straints  defined  above. By  Riesz  Representation  Theorem  the  stress  space  T  can  be  identified  with  the  dual of  <5.  Thus  < •,  • >2>  defined  by  (1.2)  can  be  treated  as the  paring  between  Z  and  S .  The adjoint  of the restriction  E  to  33, E | o ,  as the  operator  from  Z  into  93*, 33* being the  dual of  33,  will be  denoted  by  E*, W:Z  ­>  23*. Recall  that  E*  assignes  to  any  o e T  such  ele­ ment  E*w e  23*  that < E * o , T > i ­ < a , E ( y ) > a ,  v e 3 3 , (we  use  the  same  denotation  for  the  pairing  between  33* and  23  as  that  of  between  £>* and  £>). 6)  Throughout  this  paper  c denote  generic  positive  constants,  necessarly  t h e  same  at  each  occurance. 7)  The  physical  meaning  and  selected  applications  of  the  introduced  constraints  can  be  found  in  [3.4]. EXISTENCE  AND  UNIQUENESS  215 Assuming  that  the  displacement  constraints  given  by  (2.4)  are ideal, i.e.  (1.6)  holds, for  the  restriction  of  r* e£)*  to  93,  r*|ffl  e 33*,  we  obtain r*|ffls{v*eSB*:a  ^  0,  W e l l }  = =  {v*e33*:<**v*,p­q> c Ss0,  V p e Q } ,  u =  *(q)  + uQ,  (2.8) where * * :  93* ­» Q* is the adjoint  of 4>, Q* denotes the dual of Q, < •,  • >n is the pairing between £>* and £>. Let indQ: Q  ­ ^ R b e  the indicator function  of Q  and  Sind5:Q  ­> 2°* be its subdifferential,8).  Then  (2.8)  can  be written as * * r * | » 6 ­ a i n d f i ( q ) ,  q e Q .  (2.9) Analogously,  assuming  that  the  stress  constraints  (2.7)  are  ideal,  i.e.  (1.8) holds,  for the strain field  incompatibilities we obtain  the similar results to that given by  (2.9) namely n),  nett,  71 = ? ( « ) ,  (2.10) where  ?*:<5  ­+'11*  is  the  adjoint  to T,  II*  being  the  dual  of  II,  aindfi: II  ­• 2n* being, the  subdifferential  of  the  indicator  function  of  n ,  indfi: II  ­* R. By virtue  of  (1.10)  and  (1.11) for  the external  forces  we have * * f * | B e * * f J | 8 ­ 3 C ( q ) ,  (2.11) where f*|B  and  £*!» are the restrictions  of  f*  and  f,*  to  S3 (treated as elements of 33*) and C:£i ­»• R  is  the  function  defined  by 8%:Q  ­+ 2°*  is  the  subdifferential. Combining  equations  of  equilibrium  (1.4)  and  constitutive  relation  (1.7)  with  the reaction  force  relation  (2.9),  the  strain  incompatibility  relation  (2.10)  and  the  external force  relation  (2.11)  we  arrive  at  the  following  system  of  two  variational  inequalities for  the  basic  unknown  (q, 7t) e Q x II, provided that a function  C:Q  ­+ R, defined by %  Ł =   in da+ C , satisfies  the condition  8%  =   dind£  +  <9C.  In  the  foregoing  system  ~K:"X  -> & stands for  the  operator  given  by K ( - )  =   K ( - ) + E ( u0 ) .  (2.13) 8 )  Let a be  an arbitrary  proper  convex  function  defined  on a  Banach  space X.  Following  [10] we are th e  notation 8K(X) =   {x* eX*:  a.(y)- a.(x))  >  x   is  th e  pairing  between X*  and X,  2X*  stands  for  the  family  of  all subsets  of  X*.  The mapping Xex is  said  t o  be  th e  subdifferential  of  a. 216  Z . N AN IEWICZ In  particular, if constraints for  generalized  stresses  are absent, i.e. n  =  I I , then (2.12) reduces to  the following  system  of  relations = 0 , for the basic unknown (q, re)  e Q x I I . If only „ dead" loads act at the body then £  =   ind£ . The system  (2.12) can be  represented  in  equivalent  form  as  follows / t r p f( «) ( E *( p ) - E *( q ) ) ] «fo-   / b 0  •   ( *( p ) - *( q) ) < fo B (*(p)- *(q))< fr+ ?(p)- |(q)  >  °>  VpeQ,  (2.12)' 5= 0,  Vo e l l . Now, let  us  assume  that the realization  of  the constraints  are  quasi- ideal,  i.e.  (1.6)' and (1.8)' hold. In this case the governing  relations take the form  of two following  variational inequalities in  which  ( q , 7 t ) e Q xI I  is  the  basic  unknow,  provided  that  the  function  oc:Q- > R, defined  by a =   (ł  +  C,  satisfies  the  condition  da  =   dfi + dĘ , where  p(p) =  p(4»(p) + +  u 0),  Vp e Q  and  y(p)  =   YO^(P))>  Vp e ll,  and  5a,  By  stand  for  the  subdifferentials of a and y,  respectively. 3.  System  of  variational inequalities The general form  of the governing  relations for  problems of  elastostatics  with constra- ints for displacements and stresses  given by  (2.4) and (2.7) takes the form of two variational inequalities  (2.12) — for  the ideal constraints, and (2.15) — for  the quasi- ideal constraints. In  this  Section we  shall  consider  more general  abstract  problem  which  can  be  stated as  follows:  find  (u,  R  and f.Y* - >•   R  are  proper  lower  semicontinuous  functions  on, F a n d  Y*, dy:V- +2v*  and  d?:Y*­+2r  are  subdifferentials  of q>  and  y,  respectively f  is a given  fixed  element  of V*.  The  norms  on  V  and  Y  will  be  denoted  by  || • ||K  and || •  || y ,  respectively. Note,  that  putting  in (3.1)  V = Q, 7 = I P , L =  W*E*,  ':V ~* R  setting ">. = ')*:(V)*  ­* R is the  conjugate  of  q>'. Theorem 3.1,  [2]. Suppose  that (i)  ||IV||r  > c\\u­\\\  WeV,  c > 0; (ii)  {Krj­Ka,rj­ayy^c\\rj­a\\^,  Vi),(reP,  o  0; (iii)  dip + da,'  is maximal  monotone. Then  (3.2) has at least  one solution.  Moreover,  the solution is unique  with  respect to a. As  an immediately  consequence of the above  Theorem  we have 4  Mech.  Teoret.  i  Stos. 2/85 218  Z .  N AN IEWICZ T heorem  3.2.  Suppose  th at (i)  v  =  0  Ve e K e r L ; (iii)  \ \ bo\ \ ,>c  iń £ Q e Ker L (iv)  (Kri- Ko,  rj- ay Y   ^   c||»?- cr||?*  \ / iq,aeY*, (v)  dip + da'  is  maximal  m on oton e. Then  (3.1)  has at least  one  solution.  The solution  is  un ique  with  respect  to a.  M oreover, if{u,  a) is  a  solution  of  (3.1)  then  for  any Q  e Ker I-   th e pair  (U+Q, a) is  also  a  solution of  (3.1). In  Theorem  3.2  conditions  (i) -  (iii)  assure  the maximal  m on oton icity  of  da.  I n  fact, from  (iii) we have  th e  surjectivity  of  (£')*»  i.e  I m ( L ') *  =   (V)*,  which  together  with  (i) and  (ii) guarantees  th at  a'  is  a  proper  lower  semicontinuous  convex  function.  As  it  is known,  subdifferentials  of  such  functions  are maximal  m on oton e m appin gs [5]. I n  particular,  if  ip =  0  on  Y*, then  8f  = 0  an d th e sum  dy+da,'  reduces  to da.', which  is maximal  m on oton e. Thus  th e  condition  (v) in Th eorem 3.2 is  satisfied  immedia- tely.  M oreover,  the  second  inequality  in  (3.1) becomes  th e  equality.  I t  implies  t h at  if ( «t ,  a),  ( «2, a) are any solutions  of  (3.1), then ux —u2  e K er L .  As a results  we can  formu- late  the  following T heorem  3.3. Suppose  th at (i)  q>(v)  =   v =  0  Ve s KerL; (iii)  \ \ L v\ \ r   >  c  inf  ||o + e ||y,  v  e  V,  c>  0; Q S  K xr  L i (iv)  y>BsO  o n P ; (v)  ^ - AT ff. ł j- ff^ ^ c I l i j- a l U,  Vf},aeY*. Then  (3.2) has at least  one  solution.  The solution  is un ique  with  respect  to a.  M oreover, if  ( «!,  a) and (u 2 , a) are any solutions  of  (3.2)  then M a - w2  e K e r L . F rom  our  considerations it follows  th at  the  con dition  (iii) in Theorem s  (3.2)  an d  (3.3) plays  the  fundamental  role  in th e existence  of  solutions  to th e problem  un der  considera- tion. As it is known  this  con dition is  equivalent  t o th e closedness  of th e image  of L,  I m L in  Y,  [9]. Let us consider  the case in which  L : V - > Y can be represented in th e following  com po- sition  L =  AB, where  A :X  - *•   Y an d  B: V - *•  X  are  linear  con tin uous  operators, X  is  a  re- flexive  Banach  space.  N ote,  t h at  setting  A  = ? *  and  B  =  E *  we  obtain  L  =  T * E * . The  below  lemma  characterizes  in terms  of A  and B conditions  under  which  ImL is a  closed subspace  of  Y. Lemma  3.1. Suppose  that  A  is surjective,  i.e. I m ^  =  Y, and that  there  exists  an  abso­ lute  constant  c  > 0  such  that  ||2to||x  ^  c||a||v, V© e  V.  Then  ImL,  where  L  =  AB, is a  closed  linear  subspace  of  Y if  and only  if  Ker,4+Im.fi  is a  closed  linear  subspace  of  X. Proof.  {Sufficiency).  Assume  that  K e r ^ 4 + I m 5  is  closed  and  that  {Lvn},  vneV, n  =  1,  2 , . . . ,  converges  to  y,  i.e.  Lvn  ­+ y  as  n ­> oo.  It  suffices  to  prove  that  y  =  Lv for  some  v e  V. By the surjectivity  of A  we can find  a  constant  cx  >  0  with E XI ST E N C E  AN D   U N I QU E N E SS  219 Th e  sequence  {ABv„}  satisfies  C auchy  con dition .  F rom  (3.3)  it  follows  th at  we  can  find {x„}, x n   e  Ker A  such t h a t  {Bv n   + x n }  is C auchy  sequence, so it converges.  By the assumption th e  limit  of  this  sequence  belongs  to  KerA  + lmB,  i.e.  Bv„ + x„ - »  Bv + x  as  «  - >  oo  for som e  v  eV  an d  x  e  K er A.  H en ce  ABv„  - > ABv  and  consequently  we  obtain  y  — ABv  = =   L v. (N ecessity).  Assume t h at Bv„ + x n   - > x  a sn  - >  oo, wherew„   e  K,  JC„ e  K e r ^ ,  n  =   1,2,  . . . . F ro m  th e  con tin uity  of  A  we  have  ABv n   - *  / 4x.  But  the ran ge  of  L  =   ^  JS  is  closed  by  the assum ption  and  therefore  / Lr  =   ABv  for  some  » e F .  H ence  x  =  Bv + x  for  a  certain x  e  K er ,4.  This  com pletes  th e  proof  of  th e  lem m a. Th e  above  Lem m a  shows  t h at  the  closedness  of  Im  L   is  equivalent  to  the  closedness of  th e  sum  K e r ^  +  I m i?  (un der  suitable  assum ption s  related  to  A  and  B).  N ow  we  give som e  usefull  result  for  th e  sum  of  closed  lineare  subspaces  of  a  H ilbert  space  to  be  again closed. L emma  3.2.  [11]  Let  X  be  a  H ilbert  space  and  let  M  and  N   be  closed  linear  subspaces of  X.  Let  us  den ote  by  R  th e  in tersection  of  M  an d  N ,  i.e.  R  =  M  nN .  The  ortogonal projection  of  X  o n t o  R  will  be  den oted  by  P,  P:X  - *  R.  Suppose  th at  there  exists  e  >  0 such  t h at \ \ x- Px+y- Py\ \ x   Z  e  (*) for  any  x  e  M a n d  y  e  N such  t h at  ||jc—Px\ \ x   =   1 and  \ \ y—Py\ \ x   —  1. Then the sum  M+N is  a  closed  subspace  of  X. Proof. Let  {x„+y n }  be  a  sequence  in  M+N   (x„ e  M,  y„ eN ,  n+\ ,  2,  ...)  converging to  x  an d  such  t h at  \ \ x„- Px„\ \ x   =   1,  \ \ y,i~Py n \ \ x   =   1.  n  =   1, 2,  . . . .  We  have  to  prove t h at  x  e  M+N .  F irst,  we  will  show  t h at  the  sequence  {x„—Px n }  satisfies  Cauchy  condi- tion .  Suppose  t h at  it  is  n ot  t ru e.  Then  there  exists  d  >  0  and  a  sequence  {k„}  of  n atural n um bers  t h at for  any  n atural  n um ber  n.  F r o m  t h e  con tin uity  and  linearity  of  P  we  have P(Xn+y n )  =   Px n   + Py n   - * Px,  as  n  ->  oo. Since  th e  sequence  {x„+y„—P(x„+y„)}  converges,  it  h as  to  satisfy  Cauchy  condition. H en ce \ \ Xn+n  ~Px n +k  +yn+ k ,—Py„+ k   —x a  + Px„—y„ + Py n \ \ x - *Q,  n - >  oo.  (3.5) F o r  th e  simplicity  of  den otation s  let  us  put «„,  =   x m - Px m   an d  /?,„  =   y m - Py m ,  m  =  1, 2, ... U n der  th e  above  den otation s  (3.4)  an d  (3.5)  take  th e  form I K + *, , - a J lx  S5  <5>  «  =   1»2,  ...  (3.6) an d ||«ii+ *  ~•   0,  as  n  - >•   oo.  (3.7) From  (3.6)  and  (3.7)  we  obtain ^ Ż h—"  +   " + *"  "  - > 0,  as  n  - >  co .  (3.8) ll««+ *.- a»llx  11   0  a s  n  - *•   o o . * «+ )(„ (3.10) l lx - P  T fjlx  / k„   x n -   G   M, =   1,  f i - 1 , 2,  ... i n p I similarly  for  -  ̂ —^- p—  I and  takin g  in to  accoun t  (3.10)  we  arrive  at the con tradiction '  llPn+ Jfc„- - Pnll.Y  / with  the  assumption  (*). Thus  sequences  {x„—Px„} in  M  an d  {y„—Py,,}  in N   have  to  sa- tisfy  Cauchy  condition. F rom  the closedness  of  M  an d N   it follows  t h at th ere exists  x  e  M and  yeN   that  x n - Px a   - * x  and  y„- Py„  - * y.  Hence  x„+y„ =   x„+y„- Px n - Py„  + +P(.x„+y n )  - * x+y+Px  and  finally  we  obtain  x  — x+y+PxeM+N .  This  ends  the proof  of  th e  lemma. 4.  Existence  and  uniqueness  results N ow,  on  the  base  of  the  results  given  in  Section  3  we  shall  form ulate  some  sufficient conditions  for  the  existence  an d  uniqueness  of  solutions  to  problem s  governed  by  systems (2.12)  and  (2.14). Let  us  begin  with  problem s  in  which  on  generalized  displacem ents  and  generalized stresses  are imposed  some  restrictions.  I n  this case  th e correspon din g  system  of  variation al inequalities  takes  the  form  (2.12).  P uttin g e  II, Ę *  being  the  conjugate  of  %,  denoting  by  5R the  intersection  of  Ker  *F * and  I m  E4»,  i.e. 9J  =   Ker*F *  n  Im E4>  and  by  P ^  the  ortogon al  projection  on  9?, P^ :  ©   - > (3,  we  arrive at  the  following EXISTENCE  AND  UNIQUENESS  221 Theorem  4.1.  Suppose  that  (2.1),  (2.3)  and  (2.6)  hold.  Moreover,  let  the  following conditions  be  satisfied: (i)  K is maximal monotone operator with the  domain  D(K)  =  X  such that there exists positive  constant  c, c  >  0,  with (ii)  There exists positive constant e, e.  >  0, suchthatfor  any or  e Ker ?*,  ||cr­F3{o||2  = 1  and  any  YJ  e ImEO,  | |IQ—JPSHTT] 112 =  1 the  following  inequality  holds >  e; (iii)