Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z2.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  23 (1985) DRGANIA  UKŁADU  Z  NIESYMETRYCZNĄ   CHARAKTERYSTYKĄ S PRĘ Ż YS TOŚ CI  PRZY  PARAMETRYCZNYCH I  ZEWNĘ TRZNYM  WYMUS ZENIU KAZ I M I E R Z  SZABELSKI WALD EM AR  SAM OD U LSKI Politechnika  L ubelska 1.  Wstę p P rzeprowadź my  bad an ia  analityczne  drgań  ukł adu  należ ą cego  do  takiej  klasy  nieli- n iowych  ukł adów m echanicznych, które  zawierają   elementy  o  charakterystykach  sprę ż y- stoś ci  typu  kwadratowego.  Przyjmijmy  pon adt o,  że  ukł ad  charakteryzuje  się   również okresowo  zmienną   sztywnoś cią,  poddan y  jest  dział an iu  kinematycznego  wymuszenia zewn ę trzn ego  oraz  przedstawić  go  m oż na  w  postaci  dwumasowego  modelu  pł askiego z  liniowym  tł um ien iem  (rys.  la ) . Q ) Rys.  1 R ys.  lb  przykł adowo ilustruje  m odel fizyczny  takiego  ukł adu  w  przypadku  pionowych d rgań  ogum ionego pojazdu.  W  przypadku  tym m asa uresorowan a  M  poł ą czona jest z masą nieresorowaną   elem entem  pn eum atyczn ym  ( ł )  o  charakterystyce  sprę ż ystoś ci  w  postaci funkcji  drugiego  stopn ia  [6]  oraz  am ortyzatorem  (2) którego  charakterystykę   aproksym o- wan o  funkcją   liniową .  Elem en t sprę ż ysty  (3) przedstawia  koł o  którego  sztywność  promie- n io wa  ogumienia  n a  obwodzie  zewnę trznego  zarysu  opon y jest  zmienna  n a  skutek  nieje- dn orodn oś ci  jej  budowy  powstał ej  w  trakcie  procesu  technologicznego  [5],  [7]. Z mianę 224  K .  SZ ABE LSK I ,  W.  SAM O D U LSK I tej  sztywnoś ci  wokół   pewnej  wartoś ci  ś redniej  aproksymujemy  funkcją   harm on iczn ą w  postaci  dwóch  fal [7]. Z e  wzglę du n a adekwatność  m odelu — z  pewnym  przybliż eniem  wynikają cym  mię dzy innymi z zał oż enia .sł abego  sprzę ż enia  drgań  tylnej  i przedniej  osi sam och odu — moż emy traktować  go jako  odpowiadają cy  ukł adowi  przedniego  lub tylnego  zawieszenia  pojazdu. W dalszych  rozważ aniach skoncentrujemy  się  n a analizie drgań  tego typu ukł adów (rys. la ) 2.  Matematyczny  model drgań U kł ad  równań  róż niczkowych  ruch u  przyjmuje  postać Mz\ +h(ż 1 - ż 2 )+k(z 1   - Z aH &ifo- z 2 f  -   0 mż 2 - h(ż 1 - ż 2 )- k(z 1 - z 2 )- k 1 (z 1 - z 2 ) 2   =  c(t)[q(t)- z 2 ] gdzie: Zi i *2 — współ rzę dne  uogólnione, k 1 k 1   — współ czynniki  sztywnoś ci, h — współ czynnik  tł umienia, c(t)  — zmienny  współ czynnik  sztywnoś ci  elementu  (3), q(t)  — funkcja  przemieszczenia. Przyjmijmy  okresowo  zmienną   sztywność  elementu  (3) w postaci c{t)  =   c 1 - co c o s2 a r t oraz q{t)  =   q 0 COS{Qt- q>), gdzie: Ci — ś rednia  wartość  współ czynnika  sztywnoś ci, c 0 — amplituda modulacji  sztywnoś ci, co — czę stość  koł owa  wymuszenia  param etrycznego, Q — czę stość  koł owa  wymuszenia  zewnę trznego,  = nQi',  q o smq> =  (iPx oraz  pomijają c  niektóre  wyrazy  ze wzglę du  n a realn e  zał oż enie, że am plituda  m odulacji sztywnoś ci  jest  znacznie  mniejsza  od podwojonej  ś redniej  wartoś ci  współ czynnika  sztyw- noś ci c 0  < 2ci otrzymujemy  ukł ad  nieliniowych  równ ań  róż niczkowych  z  których  jedn o jest  równ an iem niejednorodnym i zawiera  okresowo  zmienny współ czynnik Mz\ +{ih l (ż 1 - Ż 2)+k(z l - z 2 )  + fixk(z i —z 1 ) 2   = 0 mz 2   -  / nhi (żx -   ż2) -   k(zx—z2)  -   (Mxkizx-  z2) 2  +  (2) D RG AN IA  UKŁADU   225 P odstawiają c  do  ukł adu  równ ań  (2)  /* =   0  otrzymujemy - Z j)  =   0 , mz 2 —k(z 1 - z 2 )  + c 1 z 2   =   0.  '  ' Przyjmują c  rozwią zania  równ ań  (3)  w  postaci Zj.  =   acospt  z 2   =   bcospt znajdujemy  —  przy  zał oż eniu,  że  a  i  b  są   róż ne  od  zera —  kwadraty  czę stoś ci  koł owych drgań  wł asnych  ukł adu liniowego  w  postaci Z akł adają c  m ał e  tł um ien ie  [4],  wprowadź my  współ rzę dne  quasi- normalne  dla  których przy  fi  —  0  n astą pi  rozprzę ż en ie  u kł ad u  równ ań  róż niczkowych.  W  tym  celu  dokonajmy liniowej  transform acji  współ rzę dn ych  w  postaci gdzie: myi  _  .  my 2 M(y x - - y 2 )  '  M(y t —y 2 )  ' _  k- Mpj  t  _  k- Mpl k  k Wprowadzają c  czas  bezwym iarowy r  = (ot oraz  wykorzystują c  zależ ność  (5),  z  równ ań  (2)  otrzymujemy i(yi  —y 2 )cos2t  + Q t   X\  COS,QT+ P t X\ Ayi  Ą   X\    ̂ ( ly2  2 ytf  ^Pi  I  L  \ P i I  Pi gdzie: o  Q mp\   '   r i   ~  mpl 226  K .  SZ ABE LSK I ,  W.  SAM OD U LSKI oraz Mp 2 hi  . mp\ AY  drugim  przypadku  gdy  A2  =   - —-  znajdujemy P2I  \   Pi / ĵ  iiAl/ ^- j sini3T -   yi)  cos  2 T + g 2 3.  M etoda  rozwią zań W badaniach drgań parametrycznych ukł adów nieliniowych  z symetrycznymi  charakte- rystykami  sprę ż ystoś ci  zazwyczaj  stosuje  się   metodę   bilansu  harmonicznych  [2],  [3]. Rozwią ż my  ukł adu równań  (6) i  (7) w  oparciu  o  perturbacyjną   metodę  mał ego para- m etru  [1].  D zię ki  temu  wyznaczymy  poszukiwane  wielkoś ci,  rozwią zując  ukł ad  reku- rencyjnych  równań  róż niczkowych  liniowych. Zbadajmy  drgania  ukł adu  odpowiadają ce  gł ównym  rezonansom  parametrycznym. W  celu  znalezienia  rozwią zań  okresowych  ukł adów  równań  (6),  (7)  przedstawmy  y 1 (r) i  y 2 ( T )  w  postaci  szeregów  potę gowych  wyraż onych  w  funkcji  mał ego param etru gdzie  y[ iy ,  yi l)   (i  =   0,  1,2  ...)  są   funkcjami  okresowymi.  Rozwią zania  okresowe  równ ań (6) moż liwe  są   dla  pewnych  wartoś ci  param etru X\ , który  również  przedstawimy  w  postaci szeregu  potę gowego .gdzie  a t (i  =   1,2...)  są   stał ymi  współ czynnikami,  które  wyznaczymy  z  warun ku  okreso- woś ci  unikają c  w  rozwią zaniach  wyrazów  sekularnych. W  przypadku  ukł adu równań  (7) param etr  X\  wyrazimy  w  postaci ) 2 =   l + 0 «1 + fł a 8 + . . .  (10) D R G AN I A  U KŁ ADU   227 P odstawiając  szeregi  (8)  i  (9)  oraz  (8)  i  (10)  odpowiednio  do  równ ań  (6) i  (7)  oraz  wpro- wadzając  oznaczenia Pi  P2 po  przyrówn an iu  do  zera  czł onów  przy  / J, 1 otrzymujemy  ukł ady  rekurencyjnych  równań róż niczkowych  liniowych.  W  celu  uniknię cia  rezon an sów  wewnę trznych,  wył ą czmy  przy- padek  szczególny  gdy  v  — - =- £-  jest  liczbą  cał kowitą. Pi 4.  Analiza  drgań  okresowych  ukł adu  bez  wymuszenia  zewnę trznego R ozpatrzm y  drgan ia  okresowe  u kł adu  opisan e  równ an iam i  (6)  i  (7)  w  przypadku gdy  Pi  =   Qi  =   P 2   =   Qz  — 0-  Ozn acza  to, że  n a  ukł ad nie dział a wymuszenie  zewnę trzne. N a  przykł adzie  m odelu  przedstawion ego  n a  rys.  lb  równoważ ne  jest  to  z  zał oż eniem, że ogum ion e  koł o  toczy  się  p o  idealnie  równej  nawierzchni. R ozpatrując  ukł ad  równ ań  (6)  zbadajmy  drgan ia  okresowe  dla  których  zgodnie  z  (9) przy  [i•   =  0  czę stość  at  jest  równ a  pierwszej  czę stoś ci  drgań  wł asnych  j?x.  Przyjmując y(°)  =   0  otrzymujemy (11) (12) (14) Z ał oż en ie  trywialnego  rozwią zan ia  y 2 0)   *=  0  wynika  z  równ an ia yP+v%  -   0, P rzy  wcześ niejszym  zał oż en iu, że  obie  czę stoś ci  drgań  wł asnych fi,p 2   są  niewspół mierne (v  n ie  jest  liczbą  cał kowitą ),  gdyby  y 2 0)  ^  0,  współ rzę dna  „ n ierezon an sowa"  y 2 (r)  nie zm ieniał aby  się  z  taką  samą  czę stoś cią  jak  współ rzę dna  „ rezon an sowa"  yi(r).  W  takich przypadkach  rozwią zanie  n iezaburzon e  J>2O)(T) stanowił oby  czł on  zakł ócają cy  okresowość funkcji  y 2 (r)  a  tym  sam ym  —  z  uwagi  n a  równ an ia  (5) —  również  drgań  opisanych  przez współ rzę dne  uogóln ion e. 228  K.  SZ ABE LSK I ,  W.  SAM OD U LSKI Podstawiają c  do  równ an ia  (12) / i0 )  = z  warunków  okresowoś ci  rozwią zań  otrzymujemy fej  =   0 , ską d  przy  a x  *fc  0 i b t   Ą= 0 znajdziemy gdzie Po  przekształ ceniach równanie  (12)  przyjmuje  postać Rozwią zaniem  szczególnym  tego  równ an ia  jest  funkcja z  o +   ^ x M e i a i 6 1 s i n 2 T r 3  lo natom iast  równania  (14)  funkcja i j ł-   / 1  , cos T + sin r — xAfe2fll> sin 2r+   T 1  -   1  ( 1 7 ) M i 6 i 2 ( 2 T x Af e : f l 1 l > 1 s i n 2 r +   9 ) T 2 Q T Podstawiają c  zależ noś ci  (17) i (18) do (15) z warun ku  zapewnienia  rozwią zań  okresowych otrzymujemy - ^ ia1+ i- ( a 2- 62) fl1+ yfl1^ D R G AN I A  U KŁAD U   229 2 f oraz ~ -   +vly[°>  =   0 otrzymujemy J  (21) (2 2 ) 230  K .  SZ ABE LSK I ,  W.  SAM OD U LSKI -   0   (23) (24) Postę pując  analogicznie jak  w  przypadku  poprzednim  znajdujemy a l j 2  =   ±  ~Y ]'Q2—4o2s1  ( 26) 2  I  c I  -   1 - „-  xMsla 2 b 2 sm2T +——• 3  16 +   ó i  £ i  a 2  sin T -   • s73- iTr  («2 - 6 2 ) c o s2T +   (28) - - - ^ - r  %Me\ a 2 b 2 %m2r oraz (29) vf  — 1  (v? —1)^2  2(vi — lK ^ i — 9)  l  32 P owyż sze  zależ noś ci  wykorzystujem y  w  ró wn an iach (30) 2 5.  Analiza  drgań  okresowych  ukł adu  z  wymuszeniem  zewnę trznym Zbadajmy  drgania  ukł adu  z  parametrycznym  oraz jednoczesnym  zewnę trznym  wymu- szeniem  drgań.  W  dalszych  rozważ aniach  ograniczymy  się  do  takich  przypadków,  dla których  czę stość  wzbudzenia  parametrycznego jest  równ a  czę stoś ci  wymuszenia  zewnę trz- nego  (co =   Q).  Zał oż enie  to  zasadniczo  rzutuje  n a  rozważ ane  rozwią zania.  P odstawowa D R G AN I A  U KŁAD U   231 bowiem  czę stość  drgań  param etryczn ych  rozpatrywan ego  ukł adu —  bez  wymuszenia zewnę trznego —  w  przypadkach  rezon an sów  gł ównych  jest  równ a  co. Jeś li  rozpatrujem y  drgan ia  ukł adu  z  ogumionym  koł em  (rys.  lb) ,  to  ze  wzglę du n a  zwią zki v  ^   2nv co =   —- ;  U  —  —- — gdzie:  v  —  prę dkość  jazdy,  R—  prom ień  koł a,  /  —  dł ugość  fali  nierównoś ci  drogi; zał oż enie  co =   Q,  odpowiada  jeź dzie,  p o  drodze  której  dł ugość  fali  nierównoś ci  okreś la zależ ność P odstawiają c  szeregi  (8)  i  (9)  do  ukł adu  równ ań  (6) przy  zał oż eniu yl 2 y  =  y 2 0)  =   0,  otrzy- mujemy (31) sin r,  (32) (33) —  (34) +v 2 Q 2 oos  % + v 2 P i ^ 2 ) 1 2 2  (35) P odstawiają c  do  równ an ia  (32) po  przekształ cen iach  znajdujemy Z  powyż szych  ró wn ań  dla  przypadku  P t   =   <2i  co  odpowiada  przyję ciu  w  funkcji  prze- mieszczenia  q(t)  wartoś ci  ką ta  przesunię cia  fazowego  q>  =   n/ 4  oraz  A t  i= 0  otrzymujemy =   ± (36) 2 3 2  K.  SŻ ABELSKI,  W.  SAMODULSKI Rozwią zaniem  szczególnym  równania  (32) jest  funkcja #>  xMĄ Al+ xM n atom iast  równania  (34) v i i  \ * + - ^ n~  T   ftwi  +  d2 e 2  b x  +vQ 2   cos T + V  —  i  \  /   / j  (37) 2 xMĄ a x   b x  sin 2T - - —-  P j ^  COS3T+ &! sin 3r) 5  16 xMe\ v 2   ,  P 2V2 * (ffef) (38) Wykorzystując  zależ noś ci: Qt ( ?1 po  przekształ ceniach  znajdujemy x  A\   ^y  A\   7 Podstawiając  szeregi  (8)  i  (10)  do  ukł adu  równ ań  (7)  przy  y^   m  y[0)  =  0  otrzymujemy -   - ^ x Me f ^ 2 o ) 3 - ól £ l V i ; 2 o ) +V1Q1 cos T + v \  P t   sin T D RG AN IA  UKŁ ADU   233 (41) +  oc x  vjQi  cos t+a t   v\  Py sin r + g 2  cos  T + P 2  SU IT (4 2 ) (4 3 ) (4 4 ) P ostę pując  analogicznie  jak  w  przypadku  poprzedn im  przy  zał oż eniu,  że P 2   =  £>2  znaj- dujemy | ^  j / ^ 2 2 l )  +  ̂ -   (45) y ^ M £ M !  +  - ^%M ^(^- Z>2 2)cos2r + 1  -   1  ( 4 6 ) - -̂  % M e \  a 2  b 2  sin 2T + - —r-  g 2  (a 2   cos 3 T + b 2   sin 3 T) 3  lo Wykorzystując  zależ noś ci al- bl  = a 2 b 2   = otrzymujemy  również [Ql+Pl- 2(a i ,Q 2 a 2   + a l P 2 b 2   + d 2  e 1 Q 2 b 2   + 5  M ech .  T eoret .  i  Stos. 2/ 83 234  K .  SZ ABE LSK I ,  W.  SAM OD U LSKI [~  b 2   -   a 2   , 32 6.  Przykład  liczbowy  i  badania  analogowe Badania  analityczne  zilustrowano  przykł adem  liczbowym  przyjmują c  nastę pują ce dan e: [ N s 1 ~m~  ' m  =   100  [kg],  d  =   150000  [N / m ],  MX =   0,4  [l/ m ], ? 0  =   0,01  [m ]. N a  podstawie  (4)  obliczono P l   -   14,3182  [l/ s],  ^ 2  =   46,8507  [l/ s] Wykorzystują c  wyniki  analityczne  oraz  zależ noś ci  (5)  sporzą dzono  wykresy  am plitud A 1 ^ ,  A 2 ^ ,  / 4\ 2), A 2 2)  odpowiadają ce  współ rzę dnym  z% i  z 2   oraz  wartoś ci  bezwzglę dnych przemieszczeń  ś rodków  drgań  \ X Zi \   i  |Z Z J  obu  mas  w  przypadkach  braku  i  wystę powaniu wymuszenia  zewnę trznego.  Wielkoś ci  te  przedstawiono  w  funkcji  rozstrojen ia  czę stoś ci wymuszenia  parametrycznego  a  zgodnie  z  zależ noś cią i)1 W  celu  sprawdzenia  poprawnoś ci  badań  analitycznych  przeprowadzon o  badan ia analogowe  na  maszynie  M E D A  43H .  Badaniom  analogowym  p o d d an o  ukł ady  równ ań róż niczkowych  wyraż onych  we  współ rzę dnych  uogóln ion ych  z t   i  z 2 ,  przy  autom atyczn ej zmianie co —  czę stoś ci  wymuszenia  param etrycznego.  P isak  rejestrował   graniczne  wartoś ci wychyleń  kreś ląc  obwiednię   am plitud.  W  celu  okreś lenia  przedział ów  dwuznacznoś ci rozwią zań  rejestrację   analogową   przeprowadzon o  przy  zwię kszaniu,  a  n astę pn ie  zmniej- szaniu  wartoś ci  w.  Z  tego  też  wzglę du  symulacja  an alogowa  speł nił a  również  rolę   badań statecznoś ci  rozwią zań. Wyniki  badań  analogowych  przedstawiono  ł ą cznie  z  wynikam i  badań  analitycznych, nanoszą c  n a  osiach  odcię tych  wartoś ci  co oraz  odpowiadają cych  im  wartoś ci  rozstrojenia czę stoś ci  a. N a  rysunkach  przedstawiają cych  wykresy  am plitud  w  funkcji  czę stoś ci,  literam i  „a" oznaczono  krzywe  odpowiadają ce  am plitudom  drgań  ukł adu  bez  wymuszenia  zewnę trz- nego, natom iast literami  „ i "  —  krzywe  dotyczą ce  am plitud  drgań  ukł adu  z  wymuszeniem 1.00 0.75 0.50 025 krzywa  teoretyczna krzywa  analogowa 0,092 0.28- 0,076 Rys.  2 14.90 -0.076 k r z y w a teoretyczna krzywa analogowa -0,064 Rys.  3 krzywa teoretyczna krzywa analogowa 0.06 0, 0.02 14,00 14,20 [ 14.40 krzywa teoretyczna krzywa analogowa U.30 aih/s] ^ 2 5 14,50 Rys.  4 Rys.  5 5* [235] 0,75 0,60 - £ £ 0,45- 0.30- 0.15­ krzywa teoretyczna krzywa analogowa 0,084 0,037 0 a -0,047 -0,086 4500 46.00 46.85 uli/sl 48,00 49,00 Rys. 6 0.14 k r z y w a teoretyczna k r z y w a a n a l o g o w a 45,0 46,0 46,80 W11/9] Rys. 7 48,0 49,0 0,14 krzywa teoret. - krzywa analog. oc 47.20 [236] D RG AN IA  UKŁADU 237 0,18 1 3 0.10 0.06 0.02 " 5 - \ I V - I k r zy w a k r zy w a \ t e o r e t yc zn a a n a l o g o w a - 0,037 0  - 0,005 W.O  z.8.0 wli/ s] Rys.  9 w=47,80tl/ s] Rys.  10 zewn ę trzn ym.  Wyniki  badań  dla przypadku  rezon an su  wzglę dem  czę stoś ci  drgań  wł asnych PL  przedstawiają   rysunki  2, 3, 4 i  5. Wyniki  badań  dla  przypadku  rezonansu  wzglę dem  drugiej  czę stoś ci  drgań  wł asnych p 2   przedstawiają   rysunki  6, 7,  8  i  9. Rys.  10  przedstawia  przykł adowo  przebieg  czasowy  drgań  zarejestrowany  w  trakcie badań  analogowych.  Ilustruje  on przesunię cie  ś rodka  drgań . 7.  Analiza  wyników  badań  i  wnioski  koń cowe Przebiegi  krzywych  am plitudowych  otrzym an ych  n a  drodze  rozważ ań  analitycznych oraz  symulacji  analogowej  ś wiadczą   o  dobrej  zgodnoś ci  wyników  obu rodzajów  badań , a  tym samym  o poprawn oś ci  dociekań  analitycznych.  Jedynie dla am plitud  drgań  masy M przy  sam ym  wymuszeniu  param etryczn ym  i  rezonansie  wzglę dem  p 2   rozbież ność  tych wyników  wynosi  okoł o  12%. 238  K.  SZABELSKI,  W.  SAMODULSKI Krzywe  amplitudowe  dla  ukł adu  z  nieliniową   sprę ż ystoś cią   typu  kwadratowego  od- chylają   się   w  stronę  mniejszych  czę stoś ci  wymuszenia  drgań ,  tak jak  w  przypadkach  mię k- kiej  charakterystyki  sprę ż ystoś ci  z  nieliniowoś cią   sześ cienną.  N ajwię ksze  am plitudy drgań  statecznych  stwierdzono  dla  dolnej  masy  m  przy  rezonansie  wzglę dem  drugiej czę stoś ci  drgań  wł asnych p 2 ,  zarówno  w  przypadku  samego  wzbudzenia  param etryczn ego, jak  również  jednocześ nie  dział ają cego  z  nim  wymuszenia  kinem atycznego.  Szerokość obszaru  niestatecznoś ci parametrycznej w  przypadku  rezon an su wzglę dem  drugiej  czę stoś ci drgań  wł asnych p 2 ,  jest  okoł o  7,2 razy  wię ksza  od  szerokoś ci  obszaru  dla  rezon an su wzglę - dem  c zę st o ś c ią.  P orównują c  prawe  gał ę zie krzywych  am plitudowych  „a"  i  „b"  —  odpo- wiadają cych  rozwią zaniom  statecznym —  należy  stwierdzić  znaczny  wpł yw  wzbudzenia parametrycznego  na  wartoś ci  am plitud  drgań. U naocznia  się   to  tendencją   do  zbliż ania  się   obu  tych  krzywych  wraz  ze  zmniejszaniem czę stoś ci  co  począ wszy  od  prawej  granicy  obszaru  niestatecznoś ci  param etryczn ej.  N a przykł ad, dla  rezonansu wzglę dem  drugiej  czę stoś ci  p 2 ,  am plituda  drgań, przy  a. =  0  masy m  w  przypadku  dział ania samego  wymuszenia  param etryczn ego  stanowi  okoł o  82%  war- toś ci  amplitudy  przy  jednoczesnym  dział aniu  obu  rodzajów  wymuszeń,  n atom iast  dla masy  M  udział   ten  wynosi  okoł o  80%. P odczas  symulacji  analogowej  —  speł niają cej  również  rolę   badań  statecznoś ci —  nie stwierdzono  drgań  odpowiadają cych  lewym  gał ę ziom  „ a "  teoretycznych  krzywych  ampli- tudowych.  Ś wiadczy  to  o  tym,  że  drgania  przedstawione  tymi  krzywymi  są   niestateczne. Ponieważ  badan ia  analogowe  przeprowadzon o  przy  cią gł ym  zwię kszaniu,  a  nastę pnie zmniejszaniu  wartoś ci  co,  w  rezultacie  otrzym an o  obwiednie  am plitud  drgań  statecznych. N a  rysunkach, wzdł uż krzywych  amplitudowych  ozn aczon o  strzał kam i kierun ki  ruchu pisaka,  a  tym  samym  zmian  wartoś ci  am plitud  wraz  ze  zmianą   czę stoś ci  co.  Stwierdzono przy tym przeskoki  am plitud wystę pują ce  w miejscach  zaznaczonych strzał kam i pionowym i. Rezultaty  te  potwierdzają   znaną   w  teorii  drgań  zasadę   zrywania  am plitud  wzdł uż pion o- wych  stycznych  do  krzywych  amplitudowych. We  wszystkich  rozpatrywanych  przypadkach  (rys.  4,  5,  8,  9)  bezwglę dne  wartoś ci przesunię ć  rosną   wraz  ze  zmniejszaniem  czę stoś ci  co.  D la  rezon an sów  wzglę dem  p t   i  p 2 bezwzglę dne  wartoś ci  przesunię ć  dla  masy  M  są   wię ksze  od  masy  dolnej  m. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  J. J.  STOKER,  N onlinear  vibrations  in mechanical  and electrical systems, N ew  York,  1950. 2.  Ch.  HAYASHI,  Drgania  nieliniowe  w ukł adach fizycznych,  WN T  Warszawa 1968. 3.  W.  SZEMPLIŃ SKA- STUPNICKA,  Uogólnienie  metody  bilansu  harmonicznych  do  wyznaczania  parametrycz- nych rezonansów  kombinowanych,  Prace  I.P.P.T.  PAN   1977. 4.  S. P.  STRIEŁKOW,  W wiedienije  w teoriju  kolebani],  N auka,  Moskwa 1964. 5.  M.  MITSCH KE,  Dynamika samochodowa,  WKŁ,  Warszawa 1977. 6.  W.  WOJN O,  Zawieszenia pneumatyczne w pojazdach  drogowych. 7.  H .  SPU S,  Badanie wpł ywu  niejednorodnoś ci  opony na drgania  pojazdów, Postę p w  badaniach  pojazdów samochodowych,  Wydawnictwo  PAN ,  Kraków 1976. D RG AN IA  UKŁADU   239 P  e 3 w  M e KOJIEEAH H .H   C H C TEM fcl C  H E C H M M E T P E M E C K O H   XAP AKTE P H C TH KOH  y r i P y r O C T H n P H ' n AP AM E T P K M E C K O M   H   BH EH IH EM  BO3.H EH CTBH H B  pa6o T e  HCCJieflyiOTCH   KOJieSam ro  CHCTeMbi  n p i i  flsyx  C Ten eirax  C BO 6O # Ł .I  C HeJiHHeHHoii  yn p yr o c T t io T u n a ,  a  Tai- oKe  c  J I H H C H H WM   3aTyxaH H eM   n p a  napaM eTpH ^ecKOM   Bo36yH