Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  23  (1985) ANALIZA  DRGAŃ  PARAMETRYCZNYCH  UKŁADÓW  CIĄ GŁYCH PODDANYCH  S TAŁEMU  OBCIĄ Ż ENIU  POPRZECZNEMU Z  ZAS TOS OWANIEM  METODY  ASYMPTOTYCZNEJ I  M ETODY  ELEMENTÓW  SKOŃ CZONYCH JE R Z Y  OSISISKI Instytut  Podstaw Budowy  Maszyn Politechnika  W arszawska 1.  Wstę p W  analizie  drgań  param etryczn ych  istotną   rolę   m a  uwzglę dnienie  wpł ywu  obcią ż enia, stał ego.  Wpł yw  sił y  stał ej  n a  drgan ia  param etryczn e  w  ukł adach dyskretnych  był   badany przez  autora,  a  wyniki  tych  bad ań  przedstawion o  mię dzy  innymi  w  pracach  [5, 8, 9,  10]. W  pracach  au t o ra  i  E.  Kam iń skiego  [5,  10]  wykazan o,  że  w  liniowym  równaniu  drgań param etrycznych  z  obcią ż eniem  (tzn.  równ an iu  M athieu  ze  stał ą   sił ą   po  prawej  stronie) wystę puje  dodatkowa  rodzin a  rozwią zań  opisują ca  drgania  param etryczne  o  wł asnoś ciach odm iennych  od  podstawowych  drgań  param etryczn ych.  Wzmocnienia  rezonansowe  wy- stę pują   przy  stosun ku  czę stoś ci: i- i. a. . ..  (i) gdzie:  co—  czę stość  wł asna,  v —  czę stość  m odulacji  param etrycznej. Wł asnoś ci  drgań  tej  dodatkowej  rodziny  są   analogiczne  do  drgań  wymuszonych  har- monicznie  o  am plitudzie  zależ nej  od  współ czynnika  modulacji  parametrycznej.  D rgania tej  rodziny  mają   istotn e  znaczenie,  gdyż  n ie  m oż na  ich  wyeliminować  drogą   zwię kszania tł um ien ia.  D rgan ia  dodatkowej  rodzin y  drgań  param etrycznych  są   stateczne,  amplitudy przy  czę stoś ciach  rezon an sowych  mają   wartoś ci  skoń czone. Wł asnoś ci  drgań  param etryczn ych  wywoł anych  obcią ż eniem  zewnę trznym  o  wartoś ci stał ej w czasie był y an alizowan e  przez au t o ra również w ukł adach z nieliniową   sprę ż ystoś cią. W  pracach  [8,  10] przedstawion o  wyniki tej  analizy  dla  dwóch  charakterystyk  sprę ż ystych: cią gł ej  typu  x3  i  niecią gł ej  dla  u kł ad u  z  luzam i. D rgan ia  param etryczn e  są   równ ież  an alizowan e  w  ukł adach  cią gł ych;  powstaje  wię c pytan ie,  czy  wpł yw  obcią ż enia  jest  t ak  sam o  istotn y  dla  drgań  parametrycznych  ukł adów cią gł ych.  Wyjaś nienie  tego  zagadn ien ia  jest  celem  niniejszej  pracy.  Celowość  podję cia takiego  problem u  jest  zwią zana  zarówn o  z  praktyczn ym  znaczeniem  drgań  parametrycz- nych  zwią zanych  z  obcią ż eniem,  jak  i  z  faktem,  że  w  m onografiach  poś wię conych  w  cał o- 242  J.  OSIŃ SKI ś ci  drgan iom  parametrycznym  (n p.  G .  Schmidt  [12],  W.  Szempliń ska- Stupnicka  [13]) problem  ten  jest  cał kowicie  pominię ty. Analizę   przeprowadzon o  dla  dwóch  przykł adów:  drgań  gię tnych  belki  wywoł anych sił ą   osiową   i  drgań  belki  o  zmiennej  dł ugoś ci.  R ozważ ono  wzbudzenie  param etryczn e wywoł ane  funkcją   sinusoidalną   i  prostoką tną.  W  analizie  stosowan o  m etodę   numeryczną i  metodę   ś cisłą   (F ouriera).  M etoda  ś cisła  prowadzi  do  cią gu  równ ań  róż niczkowych zwyczajnych  ze  zmiennymi  współ czynnikami,  które  rozwią zano  metodą   asymptotyczną . N ajważ niejszą   zaletą   metody  ś cisł ej  jest  moż liwość  jakoś ciowego  przedstawienia  naj- waż niejszych  wniosków.  Jej  zastosowanie  jest  jedn ak  ogran iczon e  do  najprostszych  przy- padków  drgań  parametrycznych  ukł adów  cią gł ych.  W  m on ografiach  poś wię conych  drga- niom  parametrycznym  są   stosowane  przybliż one  m etody  analityczne  (n p.  G .  Schm idt [12], W  Szempliń ska- Stupnicka  [13]), których  moż liwoś ci  są   jedn ak  również  bardzo  ogra- niczone.  W  analizowanych  w  wymienionych  pracach  ukł adach  nie  uwzglę dnia  się   obcią - ż eń  poprzecznych  i  przyjmuje  się   znaczne  zał oż enia  upraszczają ce  w  opisie  tł um ien ia. Jako  funkcję   modulacji  parametrycznej  przyjmuje  się  jedyn ie  funkcję   sinusoidalną .  Z  tego wzglę du jednym  z  celów  niniejszej  pracy  jest  opracowan ie  m etody  numerycznej  pozwala- ją cej  w  szczególnoś ci  n a  analizę   ukł adów  z  niecią gł ym  wzbudzeniem  param etryczn ym poddanych  obcią ż eniu  poprzecznemu.  Podstawą   m etody  jest  aproksym acja  dowolnej unkcji  modulacji  parametrycznej  funkcją   odcinkam i  stał ą .  Rozwią zanie  w  tym  przypadku otrzymuje  się   poprzez  ł ą czenie  rozwią zań  otrzymanych  dla  poszczególnych  odcinków o  stał ej  sztywnoś ci. Równania  ruchu  odcinków  o  stał ej  sztywnoś ci  otrzym an o  m etodą   podział u  ukł adów na  elementy  skoń czone.  Podejś cie  takie jest  korzystne,  gdyż  pozwala  n a  analizę   ukł adów o  zł oż onych  kształ tach  i  warun kach  brzegowych.  D ział an ie  m etody  przedstawion o  n a przykł adzie  analizy  drgań  parametrycznych  belki  o  zmiennej  dł ugoś ci  z  prostoką tn ym wzbudzeniem  parametrycznym .  Wnioski  otrzym an o  w  niniejszym  opracowan iu  mają   cha- rakter  ogólny  i  dotyczą   wszelkich  ukł adów  cią gł ych  z  wzbudzeniem  param etryczn ym . 2.  Drgania  gię tne  belki  wywołane  sił ą   osiową z  uwzglę dnieniem  stał ego  obcią ż enia  poprzecznego P roblem  drgań  gię tnych  belki  wywoł anych  sił ą   osiową   bez  obcią ż enia  poprzecznego jest  problemem  znanym,  a jego  rozwią zanie  m oż na  znaleźć  w  m on ografiach  dotyczą cych drgań,  mię dzy  innymi  w  ksią ż ce  S.  Ziemby  [21],  Z .  Osiń skiego  [11]  lub  zbiorowej  pod redakcją   S.  Kaliskiego  [2].  Rozwią zania  przedstawione  w  tych  pracach  zm odyfikowano tak,  aby  moż na był o uwzglę dnić  wpł yw  obcią ż enia  poprzeczn ego  o  wartoś ci  stał ej w  czasie, Schemat  belki  z  obcią ż eniem  przedstawiono  n a  rys.  1.  Przyję to,  że  wł asnoś ci  lepko- sprę ż yste  m ateriał u m oż na  opisać  modelem  Voigta- Kelvina  oraz  że  sztywność  osiowa  jest nieskoń czenie  duż a. U kł ad  może  być  opisany  nastę pują cym  równ an iem : EId*y(x, t)  8 2 y(x,  t)  8f(x,  t)  d 2 y(x,  t)  _ _ _  .  +  F  ____ AN ALIZA  DRG AŃ 243 W  równ an iu  (2)  przyję to  nastę pują ce  ozn aczen ia: E—moduł   sprę ż ystoś ci  podł uż n ej, / —m o m e n t  bezwł adnoś ci  przekroju  belki, Q —  gę stość  m ateriał u  belki, F—pole  przekroju  poprzeczn ego  belki, T —  współ czynnik  tł um ien ia  zgodnie  z  przyję tym  modelem  tł umienia, P  —  zewn ę trzna  sił a  wzdł uż na  (rys.  1)  stał a  co  do  wartoś ci  i  równa  sile  zewnę trznej, q 0   —  natę ż enie  obcią ż enia  poprzecznego  (rys.  1), t —  czas, y,  x—- współ rzę dne  liniowe  (rys.  1), y= y( x, t) Rys.  1 Przyję to,  że  zewn ę trzna  sił a  wzdł uż na  zmienia  się   wg  zależ noś ci: Rozwią zania  równ an ia  (2)  poszukujem y  w  postaci  szeregu  funkcji: y„(x,t)  =   T n (t)U„(x)  =  T n (t)sinn- ^ . Obcią ż enie  zewnę trzne  przedstawiam y  również  w  postaci  szeregu: 00 V^  .  nizx n = l przy  czym  funkcje  Q„(t)  należy  wyliczyć  z  zależ noś ci: 1  f  mix 2  J  I o P o  wykon an iu  obliczeń  wg  wzorów  (6)  otrzym an o ^ 5 -   dla  n  =   1 , 3 , 5 . . . nn O  d l a  7z  =   2 , 4 ,  6 . . . (3 ) (4) (5) (6) (7) 244  J.  OSIŃ SKI P odstawiają c  (4),  (5)  i  (7)  do  (2)  otrzym an o  cią g  r ó wn a ń : Stą d  dla  okreś lenia  r„ (/ )  otrzym an o  równ an ie: f„ ( 0+ 2A„  r „ ( 0 + ( i  -   ^ncosv0  Po,  n=),2...,  (11) wobec  czego  wartoś ci  ju„, co*  okreś lone  wzoram i  (10)  są   zawsze  dodatn ie. Z  równania  (8) jest  widoczne,  że  w  przypadku  drgań  param etryczn ych  belki  z  obcią - ż eniem  otrzymujemy  do  analizy  nie  równ an ia  M ath ieu, lecz  odpowiadają ce  im  równ an ia, ale  z  sił ą   po  prawej  stron ie.  R ówn an ia  n iejedn orodn e  wystę pują   jedn ak  tylko  dla  n iepa- rzystych  wartoś ci  n. D la wartoś ci  parzystych  otrzymujemy  równ an ie jedn orodn e  (równ an ia M athieu),  których  rozwią zania  są   zn an e  i  przedstawione  w  podstawowych  m on ografiach poś wię conych  teorii  drgań  (n p.  [11, 21]).  Z  pun ktu  widzenia  celu  pracy  istotn e jest  okre- ś lenie  charakteru  rozwią zań  równ ań  niejednorodnych. D okł adn a  analiza  rozwią zań  równ an ia  tego  typu  został a  przeprowadzon a  w  pracach [5, 9],  gdzie  stosowano  metodę   asymptotyczną ,  przedstawiają c  rozwią zanie  w  postaci szeregu  potę gowego  wzglę dem  fi  oraz  m etodę   numeryczną .  Z godn ie  z  wnioskam i  z  wy- mienionych  prac  w  równ an iu  (8) mogą   wystę pować  dwie  rodzin y  drgań  param etryczn ych : podstawowa  rodzin a  drgań  parametrycznych  równ an ia  M ath ieu  oraz  dodatkowa,  której wystę powanie  jest  zwią zane  z  sił ą   P sn .  R odzin a  podstawowa  wystę puje  jedn ak  tylko  przy odpowiednio  mał ych  współ czynnikach  tł um ien ia.  Z godn ie  z  wyn ikam i  prac  [5,  9]  pod- stawowy  rezonans  parametryczny  w  okolicy  stosun ku  czę stoś ci: —  -   0,5  '  (12) O) AN AL I Z A  D R O AŃ   245 wystą pi  jeż eli  speł niony jest  warun ek: f  > Vn  (13) gdzie  y„ —  współ czynnik  tł um ien ia  bezwymiarowego  okreś lony  wzorem : Korzystają c  z  zależ noś ci  (10)  otrzym an o  z  (13)  p o  przekształ ceniach  warun ek: Z godnie z  (11) wartość  pod pierwiastkiem jest zawsze dodatn ia. Wzór  (15) okreś la  warunek, jaki  musi  speł nić  am plituda  skł adowej  harm onicznej  wymuszenia,  aby  wystą pił   podsta- wowy  rezon an s  param etryczn y.  Widoczne  jest,  że  najgroź niejszy  jest  rezonans  n  — 1, gdyż  prawa  stron a  zależ noś ci  (15)  roś n ie  bardzo  silnie  ze  wzrostem  n.  Jeż eli  tł umienie jest  dostatecznie duż e, t o warun ek  (13) nie jest  speł niony, i wówczas  rozwią zanie  równania (8)  skł ada  się  jedyn ie  z  dodatkowej  rodziny  drgań  parametrycznych  zwią zanej  z  sił ą   P s „. Rozwią zanie  w  tym  wypadku  m oż na  przedstawić  w  postaci  szeregu  rozwią zań: T „(t)  =  x st +(Ji[a l CQs{vt—cp i )] + n 2 [x p - \ - a 2 ń n{2vt—c?2)]  dla  n  =   1, 3,  5  ...  (16) Sposób  okreś lenia  poszczególnych  skł adników  rozwią zania  przedstawiono  w  pracach au t o ra  oraz  E.  Kam iń skiego  [5,  9].  W  przypadku  badan ym  w  niniejszej  pracy  wynoszą o n e: J7o_ Ot  =   Q F / 2 t g?> l  = 2/ i„ a> 2 - v 2 ' (17) (co 2 - 4v 2 ) 2   +16  Ę v 2 Rozwią zania  okreś lone  wzorem  (16)  mają   ch arakter  drgań  wymuszonych  harmonicznie — wystę pują   stateczne  drgan ia  okresowe  o  skoń czonej  am plitudzie.  Zwię kszenie  współ czyn- n ika  tł umienia  n ie  powoduje  wyeliminowania  tych drgań , a jedynie  ograniczenie ich ampli- 246  J.  O SI Ń SKI tudy.  Czę stoś ciami  rezonansowymi  są   czę stoś ci  okreś lone  wzorem  (1):  podstawowy  rezo- n an s  wystą pi  w  strefie  v  =  to 1 ,  czyli: N ależy  również  zwrócić  uwagę ,  że  wystę powanie  dodatkowych  drgań  param etrycznych zwią zanych  z  obcią ż eniem jedynie  dla  nieparzystych  wartoś ci  n  nie jest  zależ noś cią   ogólną wystę pują cą   we  wszelkich  ukł adach  cią gł ych  ze  wzbudzeniem  param etryczn ym ,  lecz wystę puje  jedynie  w  ukł adach z  warun kam i  brzegowymi,  takim i  jak  n a  rys.  1.  W  rozwią - zanym  w  rozdział ach 3 i 4 przykł adzie ukł adu  z  innymi  warun kam i  brzegowymi  wystę puje również  rezonans  dla  wartoś ci  parzystych  (n  — 2). 3.  Drgania  gię tne  belki  o  zmiennej  długoś ci D rgan ia  gię tne  belki  wywoł ane  zmianą   w  czasie  jej  dł ugoś ci  został y  przean alizowan e w pracach J. Zają czkowskiego,  J. Lipiń skiego  i G . Yam ady  [17,  18, 19,  20]. Schem at ukł adu przedstawiono  n a  rys.  2.  W  badan ym  ukł adzie  moż liwe  są   dwie  sytuacje.  W  pierwszej belka  jest  nieruchoma w  kierunku  osi  X,  a  zam acowanie  wykonuje  ruch  okresowy  w  kie- • Ą  So L(t) Rys.  2 run ku  osi  X,  w  drugiej  zamocowanie jest  nieruchom e, a  ruch  okresowy  wykonuje  belka. Przyję to  dla  obu  wymienionych  przypadków,  że  dł ugość  swobodn a  belki  (tzn.  odległ ość mię dzy  koń cem  swobodnym  belki  a  począ tkiem  zam ocowan ia)  zmienia  się   okresowo wg  wzoru: gdzie:  l 0   —  dł ugość  ś rednia  belki,  f(t)  —  dowoln a  funkcja  okresowa. P aram etr  \ x musi  być  zawarty  w  zakresie: 0  <  p  <  1,  ( 2°) Wł asnoś ci  materiał u opisano  modelem  Voigta- Kelvina.  W  pierwszym  z  omówionych  po- wyż ej  przypadków  (belka  nieruchom a)  ukł ad  m oże  być  opisany  równ an iem : AN ALIZA  DRGAŃ   247 z  warunkami  brzegowymi: y(i(t),  0  =   0, ), 0   _ • 4.0. Przyczyną   wzbudzenia  param etrycznego  jest  w  tym  przypadku  okresowa  zmienność dł ugoś ci  belki.  W  drugim  z  omówionych  powyż ej  przypadków  (belka  ruchoma,  nieru- chome  zamocowanie)  ukł ad  może  być  opisany  równ an iem : _ .  d*y  dv5  8 z  warunkami  brzegowymi  w  postaci  (22).  Równanie  (23)  zapisano  korzystają c  z  pracy Z .  Zają czkowskiego,  J.  Lipiń skiego  [18].  W  równaniach  (21)  i  (23)  przyję to  oznaczenia analogiczne  do  oznaczeń  w  równ an iu  (2). W  równaniu  (23)  w  stosunku  do  równania  (21) wystę puje  dodatkowy  wyraz,  który  fizycznie  przedstawia  osiową   sił ę   bezwł adnoś ci  belki ruchomej.  Sił a bezwł adnoś ci jest  okresowo  zmienna w czasie, a wię c jest również  przyczyną wzbudzenia  drgań  parametrycznych.  Analiza  przedstawionego  zagadnienia  przeprowadzo- n a  w  pracach  J.  Zają czkowskiego,  J.  Lipiń skiego,  G .  Yamady  [18,  19, 20]  dotyczył a  wy- ł ą cznie  problemu  statecznoś ci  parametrycznej,  wobec  czego  wpł yw  stał ego  w  czasie  ob- cią ż enia  a  nie  był   w  niej  uwzglę dniony  (q  nie  wpł ywa  n a  statecznoś ć ).  P on adto  wyniki przedstawione  w pracy  [18] są   bardzo uproszczone —  pomija  się  wpł yw  tł umienia, a wzbu- dzenie  parametryczne jest  wywoł ane  jedynie  funkcją   sinusoidalną .  W  niniejszym  opraco- waniu  podję to  próbę   rozwią zania  równania  niejednorodnego  (z  uwzglę dnieniem  obcią - ż enia  q),  uwzglę dniając  również  tł umienie. Z e  wzglę du  n a  zł oż oność problem u  analizę   ograniczono  do  pierwszego  z  omówionych powyż ej  przypadków  badanego  ukł adu  (ruchome  zarriocowanie,  belka  nieruchoma), a  wię c  do  analizy  drgań  parametrycznych  wywoł anych  okresową   zmianą   dł ugoś ci  belki. P roblem  drgań  parametrycznych  wywoł anych  osiową   sił ą   bezwł adnoś ci  zostanie  rozpa- trzony  oddzielnie  ze wzglę du  n a  zł oż ony i  nieliniowy  charakter  tego  wymuszenia.  W  kon- sekwencji  postawione  zadanie  sprowadza  się   do  rozwią zania  równania  (21).  Problem ten jest jedn ak  bardzo  zł oż ony ze wzglę du  n a wystę powanie  zmiennych w czasie  warunków brzegowych  (22). Z adan ie m oż na  sprowadzić  do  problemu  ze stał ymi w  czasie  warunkami brzegowymi,  dokonują c  zamiany  współ rzę dnych  za  pomocą   podstawienia: x  =  zl(t).  (24) P o  wykonaniu  przekształ ceń  zgodnie  z  (24)  otrzymano  równanie: 248  J.  OSIŃ SKI z  warunkam i  brzegowymi: Xi,  0  =   0, 8y(i,t)  _ f t 8z , 0  _  n2  ' , 0 Widoczne  jest  jedn ak,  że  po  wykonaniu  przekształ cenia  (24)  otrzym an o  stał e  w  czasie warunki  brzegowe  (26).  P rzekształ cone równ an ie  otrzym ał o jedn ak  zł oż oną   postać  prak- tycznie  niemoż liwą   do  rozwią zania  przybliż onymi  m etodam i  analitycznym i.  Konieczne jest  wię c  zastosowanie  metody  numerycznej.  Jej  podstawą   jest  aproksym acja  dowolnej funkcji  modulacji  parametrycznej  f(t)  (wzór  (19))  funkcją   odcin kam i  stał ą .  Rozwią zanie w  tym  przypadku  moż na  uzyskać  drogą   ł ą czenia  rozwią zań  liniowych;  R ówn an ia  ruchu dla  poszczególnych  odcinków  liniowych  otrzym an o  drogą   podział u  belki  n a  elementy skoń czone.  Sposób  podział u  n a  elementy  i  tworzenia  macierzy  sztywnoś ci,  bezwł adnoś ci i  tł umienia  opracowano  n a  podstawie  m on ografii  J.  Szmeltera  i  zespoł u  [15]. Przyję to  podział   ukł adu  n a  elementy  belkowe.  P rzy  tworzen iu  macierzy  sztywnoś ci uwzglę dniono  jedynie  naprę ż enia  wywoł ane  m om en tem  gną cym.  P om in ię to  wpł yw  sił y poprzecznej. W  macierzy  bezwł adnoś ci  przyję to  współ czynniki  mas  odpowiadają ce  współ rzę dnym liniowym  i  momenty  bezwł adnoś ci  odpowiadają ce  współ rzę dn ym  ką towym.  Są   to  wię c zał oż enia  nieco  ogólniejsze  (uwzglę dnienie  m om en tów  bezwł adnoś ci)  niż  w  równ an iu technicznym  belki.  Pierwszym  etapem  rozwią zania  jest  analiza  zagadn ien ia  wł asnego  dla poszczególnych  odcinków  liniowych.  D rugim  etapem  jest  okreś lenie  rozwią zań  dla  po- szczególnych  odcinków  liniowych.  E tap  ten jest  wykonywany  róż nymi  m etodam i  w  zależ- noś ci  od  przyję tych  zał oż eń. W  przypadku  ogólnym  korzysta  się   z  numerycznych  m etod rozwią zywania  równ ań  ruchu  (kon kretn ie  z  metody  R ungego- Kutty  czwartego  rzę du). N ajkorzystniejsza  jest  sytuacja,  gdy  m oż na  zał oż yć,  że  ukł ad  speł nia  warun ki  roz- przę gania.  W  szczególnoś ci  wymaga  t o  przyję cia,  że  m acierz  tł um ien ia jest  proporcjon aln a do  macierzy  sztywnoś ci  lub  bezwł adnoś ci,  lub  też  przyję cia,  że  postacie  drgań  są   nieza- leż ne  od  tł umienia  (m etoda  m odaln a —•   om ówiona  w  m on ografiach  J.  Kruszewskiego i  zespoł u  [6]). Tł umienia takie  są   powszechnie  przyjmowane  w  analizie  dyn am iki  z  uż yciem M ES  (np.  J.  Szmelter  [14],  J.  Langer  [7],  J.  Kraszewski  i  inni  [6]).  W  tym  przypadku ukł ad  równań  m oż na  uproś cić  wprowadzają c  współ rzę dne  gł ówne  i  pomijają c  równ an ia odpowiadają ce  wyż szym  czę stoś ciom  ukł adu.  P rzy  rozprzę gan iu  (wprowadzan iu  współ - rzę dnych  gł ównych)  równ ań  korzystan o  z  prac E.  Kam iń skiego  [4] i  autora  [9].  P odstawą do  rozprzę gnię cia  jest  analiza  zagadnienia  wł asnego  dla  ukł adu n ietł um ion ego. Rozwią zania  dla  poszczególnych  odcinków  otrzym an o  w  t ym  przypadku  ze  zn an ych zależ noś ci.  P o  otrzymaniu  rozwią zania  we  współ rzę dnych  gł ównych  w  koń cu  dan ego odcinka liniowego  należy  dla  obliczenia  wartoś ci  współ rzę dnych uogóln ion ych  opisują cych stan  ukł adu  wykonać  przekształ cenie: x(tK)  =   T.&ft, ),  (27) AN AL I Z A  D R G AŃ   249 gdzie: X —  macierz  kolum nowa  współ rzę dnych  uogólnionych T ;  —  macierz  wektorów  wł asnych  ukł adu  w  / - tym  odcinku  liniowym, t K   —  czas  zakoń czenia  Mego  odcinka. D la  rozpoczę cia  nastę pnego  odcinka  należy  wykonać  przekształ cenie: H   (t  *1  =   TO-   ~x.(t  1  C2K\ gdzie: C ; + 1  —  macierz  kolum nowa  współ rzę dnych  gł ównych  ukł adu  w kolejnym  odcinku linio- wym, T 0 i + 1  —  macierz  odwrotna  do  macierzy  wektorów  wł asnych  ukł adu  w  kolejnym  odcinku liniowym. P o zakoń czeniu każ dego  kolejnego  odcinka należy  wykonać  przekształ cenie analogiczne do (27,  28). P rogram  przygotowano  w  ten  sposób,  aby  po jedn okrotn ym  rozwią zaniu  zagadnienia wł asnego  moż na  był o  wielokrotnie  znajdować  rozwią zania  dla  róż nych  obcią ż eń,  róż nych czę stoś ci  wzbudzenia  parametrycznego  i  róż nych  tł um ień.  Jest  to  istotne,  gdyż  czas  roz- wią zania  zadania  wł asnego  jest  stosunkowo  dł ugi.  P rogram jest  przystosowany  do  pracy w trybie  konwersacyjnym  umoż liwiają cym  bezpoś rednio  wprowadzenie  przez  uż ytkownika róż nych zestawów  danych. Wyniki  mogą   być wyprowadzane  na drukarkę  lub  bezpoś rednio n a  rejestrator  przygotowują cy  wykresy  rozwią zań. 4.  Przykład  numeryczny W  pracy  przedstawiono  rozwią zania  dla  ukł adu  z  rys.  2  z  danymi  liczbowymi: dł ugość  ś rednia  belki  (wzór  19)  / 0  =   0,92855  m, wymiary  przekroju:  b  =   0,02  m ;  h  =   0,02  run, współ czynnik  zmiany  dł ugoś ci  (wzór  19):  fi  — 0,0714  ,  (29) moduł   Younga  E  -   2,1 •   1 0 u  N / m , gę stość  m ateriał u:  Q -   7850  kg/ m 3. W  przykł adzie  zbadan o  problem  wzbudzenia  parametrycznego  funkcją   niecią gł ą, tzn .  przyję to,  że  po  przesunię ciu  ruchomego  zamocowania  (rys.  2)  z  jednego  poł oż enia skrajnego  w  drugie  nastą pi  zatrzymanie,  a  nastę pnie  rozruch  i  przesunię cie  w  drugą stron ę .  Odpowiada  to  funkcji  / (*) przedstawionej  n a  rys.  3.  Jeż eli  sterowanie  ruchem jest takie,  że  speł niona jest  zależ noś ć: hKfleHHbIX KOJre6aiiHfi. S u m m a r y TH E  AN ALYSIS  OF   PARAM ETRIC  VIBRATION S  O F   C ON TIN U OU S  SYSTEMS  WITH CON STAN T TRAN SVERSAL  LOAD IN G  BY  ASYM PTOTIC  M ETH OD   AN D  F I N I TE  ELEM EN TS The  analysis of  parametric vibration in a system with constant  transversal loading is  presented. Two examples  are  considered:  flexural  beam  vibrations generated  by  axial  force,  and  varying  length  beam vibrations.  The asymptotic  method  is  applied, and numerical  method  with the use  of  finite  elements. It has  been found  that  an additional  class of  parametric vibration exists in the system with parametric exci- tation.  Properties these vibrations are similar to those  of  harmonic  force. Praca został a zł oż ona w  Redakcji dnia 14  wrześ nia 1983 roku