Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z2.pdf M E CH AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  23  (1985) Z AST O SO WAN I E  Z M O D YF I K O WAN E J M E TOD Y KRYŁOWA- BOG OLU BOWA D O  BAD AN IA  D R G AŃ   SWO BO D N YC H   U KŁAD ÓW N D 2LIN IOWYCH KRZ YSZ TOF   G OŁ OŚ *  / Politechnika  W arszawska Instytut  Podstaw  Budowy  Maszyn W  pracy  przedstawion o  rozszerzenie  metody  Krył owa- Bogolubowa  dla  rozwią zywania pewnej  grupy  równ ań  róż n iczkowych.  P rzedstawioną   m etodę   zastosowano  do  badania drgań  swobodnych  nieliniowego  ukł adu  opisanego  przez  Z.  Osiń skiego  równaniem  róż- niczkowym  trzeciego  rzę du. 1,  Wprowadzenie Analiza  drgań  u kł ad u  m aterialn ego  polega  najczę ś ciej  n a  badan iu  rozwią zań  róż nicz- kowego  równ an ia  drgań .  W  wielu  przypadkach  rozwią zania  te  nie  są   zn an e.  Analizę opiera  się   wtedy  n a  bad an iu  rozwią zań  przybliż onych.  Jedną   z  moż liwoś ci  stosowanych do  rozwią zywania  nieliniowych  równ ań  ruchu  drgają cego  są   metody  mał ego param etru. Są   one  oparte  n a  zał oż en iu, że  nieliniowa  czę ść jest  m ał a  w  stosunku  do  liniowej.  M oż na ją   zatem  uzależ nić  od  param et ru  mają cego  mał ą   wartość  fi  <ś 1. R ówn an ie  ruch u  drgań  swobodn ych  bez  tł umienia  m a  n a  ogół   postać: X+OJ 2 X  =   / jf(x,  x),  (1) gdzie:  [i  oznacza mał y  param etr, za ś / ( x,  x) jest nieliniową   funkcją   przemieszczenia i prę d- koś ci.  M etoda  postę powan ia  przy  rozwią zaniu  równ an ia  (1)  został a przedstawiona  przez Krył owa i Bogolubowa  [1, 2]. Sposób  przedstawion y  przez  Krył owa- Bogolubowa  został   rozszerzony  przez  P opova [3] n a  równ an ia  z  liniowym  tł um ien iem postaci: x+2hx+co 2 x  =  fjf(x,  x).  (2) Badaniem  rozwią zań  ró wn ań  postaci  (2)  zajmował   się   też  Bojadziew  [4]. M odyfikację   (rozszerzenie)  przedstawionych  podejść  do  badan ia  drgań  nieliniowych swobodnych  ukł adu  zam odelowan ych  równaniem  róż niczkowym  trzeciego  rzę du  przed- stawił   Osiń ski  [5, 6]. 308  K.  G OŁOŚ N ieliniowe  drgania  opisane  równ an iem  róż niczkowym  trzeciego  rzę du  był y  też przed- m iotem  rozważ ań  M ulh ollan d'a  [8]. W  pracy  przedstawion o  rozszerzenie  m etody  Krył o- wa- Bogolubowa  stosowanej  w  pracach  [5, 6, 7].  P rzedstawion y  sposób  uż yto  do roz- wią zania  równ an ia  drgań  swobodnych  systemu  uwzglę dniają cego  wpł yw  tarcia  wewnę trz- nego  i  relaksację   [6]. 2.  Rozwią zanie  równania  ruchu W  pracy  podję to  analizę   równ an ia  ruchu  ukł adu  opisanego  nastę pują cym  równaniem róż niczkowym: "x  + k'x+  lx+a> 2 x  — fjf(x,  x, x,  x),  (3) gdzie:  x  oznacza  przemieszczenie,  k,l,co2  stał e  m ateriał owe, fi  mał y  param etr,  a / j e s t nieliniową   funkcją   przemieszczenia  i  pochodn ych  przemieszczenia. R ównanie  postaci  (3) był o  przedm iotem  rozważ ań  w  pracach  [5,  6]. W  prezentowa- nym  podejś ciu  do  rozwią zania  równ an ia  (3)  zapropon owan o  m etodę   Krył owa- Bogolu- bowa  odpowiednio  zmodyfikowaną .  Rozwią zanie  równ an ia  (3) przedstawion o  w  postaci równania : x  =  a+bcosy> + fiU 1 (a,b,ip)  + fj, 2 U 2 (a,b,ip)+  ...  (4) Wartoś ci  zmiennych a, b, I/J  W zależ noś ci  od czasu przedstawion o  w formie  ukł adu  równ ań : _ _  =   - _ - =   - v b+[iB l (a,b,f)+ti 2 B 2 (a,b, v >)+  ...  (5) R ówn an ie  charakterystyczne  równ an ia  (3) m a p o st ać: 2   =  0  (6) W  pracy  przyję to  zał oż enia jak  w  [5,  6]. Z ał oż on o,  że k  >  0,  /  >  0, a>  >  0,  zatem  równ an ie  (6) m a jeden  pierwiastek  rzeczy- wisty  ujemny  i  dwa  zespolone  o  czę ś ciach  rzeczywistych  ujemnych.  W  ukł adzie  równań (5), |  oznacza bezwzglę dną   wartość  rzeczywistego pierwiastka  równ an ia  (6), i)  bezwzglę dną wartość  rzeczywistej  czę ś ci  pierwiastka  zespolonego,  a  f  bezwzglę dną   wartość  czę ś ci  uro- jon ej  tego  pierwiastka.  N ieznane funkcje  u x {a, b, f),  A(a, b, y), B(a, b, ip), C(a, b, y>)  wy- znaczamy  po podstawieniu  pochodn ych  x, x, x  (z uwzglę dnieniem  (5)) i  x  do  równ an ia (3).  P orówn ują c  współ czynniki  przy  tych  samych  potę gach  otrzymujemy  rekurencyjny ukł ad  równ ań  czą stkowych  róż niczkowych.  W  celu  jedn ozn aczn ego  wyznaczenia  A,  B,  C wprowadzon o  dodatkowe  warun ki M E T O D A  K R YŁ O WA- BO G O LU BO WA  309 2TT \   Ux(a, b,  f)cosyidy>  — 0, b 2n I  i7i(fl,  &, f)sintpdip  =  0, b 2„ (7 ) ^ ( fl )  ^ , yi)cosfdy)  =   0, o C/ 2(«, i ,  fjsinipdf  =   0. o Z fizycznego  pun ktu widzenia  wprowadzenie  tych warunków  oznacza nieistnienie w  rozwi- nię ciu  funkcji  u t ,  u 2   pierwszych  harm on iczn ych wpł ywają cych  n a  wartość  dwóch  pierw- szych  wyrazów  rozwinię cia  funkcji  (4). Znają c  ukł ad  równ ań  n a  A,  B,  C  rozwią zujemy  go.  Wyznaczone  wielkoś ci  wstawiamy do  ukł adu  (5).  U kł ad  ró wn ań  (5)  rozwią zujemy  n a  drodze  numerycznej, przy  czym  stał e ao,b 0 ,ip 0   wyznaczamy  z  warun ków  począ tkowych. 3.  Zastosowanie  metody  (Przykł ad) W  pracy  zastosowan o  procedurę   do  równ an ia  drgań  swobodnych  przedstawionego w  pracy  [6]. R ówn an ie  m a  p o st ać : 'ej + xq+uq+(o 2 q  -   — / J,^ q 3 — fxy'q*- fid'p  (8) Rozwią zanie  równ an ia  (8)  przewidziano  w  postaci  ukł adu równań  (4)  i  (5). Róż niczkując  prawą   stron ę   równ an ia  (4)  i  uwzglę dniając  (5)  otrzymano  wyraż enia n a  q,  q, q.  P o wstawieniu  wyliczonych  pochodn ych do lewej  strony równania (8) i  porów- naniu  wyrazów  przy  tych  samych  potę gach  mał ego param etru / j,  otrzymano  rekurencyjny ukł ad  równ ań . R ówn an ie  utworzon e  z  wyrazów  stoją cych  przy  / x°: =  0.  (9) R ównanie  to jest  speł nione toż sam oś ciowo  wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy: =   0  (10) U kł ad  równ ań  (10) jest  speł niony zawsze,  ponieważ  — f  i  - łj  —if  są   pierwiastkami  rów- n an ia  charakterystycznego  (6). D la  wyznaczenia  funkcji  Ai,B l} C lt   korzystają c  z  przed- stawionych  wyż ej  warun ków  otrzym an o, nastę pują cy  ukł ad  równ ań : 310  K.  G OŁOŚ W 2 8 2 A ^  f (37? -   2«) +  3tta  ^   +  3^ 6  ~-   -   3 f 2 ^ -   +  c, b(3C* -   3TJ2+ Zrpc-   a) + gdzie: *) 2 +cX2  =  - ^ p- ^ yPW - FYGy^ +j  dP(3r)l;r))+ ( 2 C 2 ) 2 Z 6 3 ? d 0 C 2 3 m 3 3 2 0 c 1 6  =   - S ^ - ^ Rozwią zując  powyż sze  równ an ia  znaleziono  zależ noś ci  n a  AXJB^ ^ I A x   =  D^ a^ +D^ ab 2 B 1   = D 13 b 3 +D 1 ^ a 2 b  (12) d  =  Z > 1 5 6 2 + i ? 1 6 a 2 METOD A  KRYŁ OWA- BOGOLUBOWA  311 Wartoś ci  współ czynników  D ł l 5  Dl2,  D13,  D14,  D15,  D16  są  nastę pują ce: Da  =  c u / ( 4 f a - 2 x £ + a ), 13  =  ( As  •   e 6 - c1 3  •   e2)/ (g! •   e 6 - e5  •   e 2 ) , i*  =  (cie •   e s - C i4 •   e 4) / ( e 3  •   e g ~ e 7  •   e4), is  =  (cis- e s - Ci3- e 1 )l(e 2 - e s ~e 6 - e 1 ) > 16   = (cie e,  =   « — e 2  = e3  = —a, e 8   =   3 f 2 - 3 jj2 - 2 Wstawiając  (13) do (5) otrzymano zależ noś ci  na pochodne a, b,  y> h  =   - £a+na(D n a 2 +D 12 b 2 ), b  =   - ^ + ^ ( D1 3 6 2 + - D i 4 f l2 ) ,  (14) y> =  co+fi(D ls b 2 +D 16 a 2 ). W  pierwszym  przybliż eniu  rozwią zanie  równania  (8) ma postać q  =  a+bcosrp.  (15) Przedstawiony  ukł ad równ ań  (14) rozwią zanio  numerycznie stosując  procedurę Runge'go- Kutty  czwartego  rzę du.  D o obliczeń  przyję to  nastę pują ce  wartoś ci  stał ych: x - 5-   10- 3, O) 2 m  1, 5  - l O9 , / J.«  - 1, 2-   101 4, y  -   3- 101 1, <5  =  2 - 10 -8 . oraz  warunki  począ tkowe a 0  =  fl(0) =  0,0005, Ao  =  i(0)  =  0,001, f 0   =  V (0) =   0. znaleziono  rozwią zania  dla wartoś ci  mał ego  parametru p  =  0,001  i  0,1.  Wykresy  zmian a(t),  b(t)  i tp(t) dla fi  =  0,1 i podanych wyż ej wartoś ci  przedstawiono  na  rys. 1. 312 103 8- 10'' 6- 10"' M ir* 2- 104 K .  G O Ł O Ś ^ \   i  i  i T ~ ~ i — 1  '  •   i — • — - _ I  1  1 10 tit] Rys.  1.  Przebieg  a(t),  b  (/ )  i  y  (O- 10 t t s ] Rys.  2.  Przebieg Przebieg  rozwią zania  q{t)  dla  róż nych  wartoś ci  u przedstawion o  n a  rys.  2.  Jak  wynika z  wykresu, przebieg  q(t)  dla  ^  =   0,1  bardzo  m ał o  róż ni  się   od  przebiegu  dla  ju  =   0.  Ruch opisany  równaniem  (15)  przedstawia  drgan ia  zanikają ce.  D rgan ia  te  odbywają   się   okoł o ś rodka  drgań,  którego  poł oż enie nie jest  stał e,  ale  który  przemieszcza  się   dą ż ąc  asym pto- tycznie  do  pewnego  ustalonego  poł oż enia. Am plitudę   drgań  okreś la  b(t).  Wł asnoś ci  te są   obserwowane  przy  badan iu  drgań  tł um ionych  tarciem  wewn ę trzn ym  [7]. 4.  Wnioski P rzedstawione  w  pracy  uogólnienie  m etody  Krył owa- Bogolubowa  stan owi  rozszerzenie dotychczas  stosowanego  podejś cia.  U zależ nienie  param etrów  A,  B  i  C  od  zmiennych a,  b,  y> umoż liwiło  dokł adniejsze  rozpatrzen ie  drgań  swobodn ych  u kł ad u  drgają cego. Czę sto  w  badan iach  zależy  gł ównie  n a  wyznaczeniu  zm ian  am plitud  ukł adu  a, b  oraz przesunię cia  w  fazie  • ę  w  zależ noś ci  od  czasu.  P eł ne  podan ie  postaci  ukł adu  (14)  pozwala n a  bardziej  precyzyjne  przeanalizowanie  tych  wielkoś ci.  Jedn ocześ n ie  z  m atem atyczn ego METOD A  KRYŁOWA- BOGOLUBOWA  313 punktu  widzenia  zastą pienie  rozpatrywan ia  równ an ia  (3)  (w  przykł adzie  (8))  ukł adem równań  (4)  i  (5)  (w  przykł adzie  (14))  stanowi  poważ ne  uł atwienie. P rezentowana  proce- dura  postę powan ia  m oże  być  wykorzystana  do  efektywnego  badania  drgań  ukł adów  m o- delowanych  równ an iam i  róż niczkowymi. L it erat u ra 1.  H . H .  KpbiJioB,  H . H .  BorojiiOBOB,  Beedenue  e neAuneunym  jiiexcmiiKy,  Ai  M  e I I P H M E H E H H E  MO,U,HcJ>HD;HPOBAHHOrO  M E TOflA  KPLIJIOBA- BOrOJIIOBOBA AH AJI H 3A  CBOEOflH BIX  H EJIH H EEtH BIX KOJlEBAH H fł   C H C TE M B  paSoTe  paccMOTpeno  n eJiH H efabie  CBoSofliibie  KOJieBaHHH   CH CTCMŁI.  C flenano  anajiH 3  acHMnTo- TH iecKoro  peuieiiH H  flH dpdpepeumiaji&H oro ypaBHeHHH  B CMwene  KpM JioBa- BoroJiio6oBa. o6o6meH H e  Kon iien qn H   npefljio>KeH H ott  OCH H CKH M  # J M  peiuen iw;  ^HcJidpepeHqHaiibH ypaBH emiH   T peT tero  pH fla. S u m m a r y TH E  U SE OF   M OD IF IC ATED   KRYLOV- BOG OLIU BOV  M ETH OD  I N  TH E ANALYSIS  OF   F REE N ON LI N E AR  OSCILATION S  OF  SYSTEMS The  paper  deals  with  the  free  nonlinear vibrations  of a system.  The asymptotic solution in the  sence of  Krylov- Bogoliubov  of  a  differential  equation  is  investigated.  The extension  of  the  idea  proposed  by Osiń ski  to solve third  order  nonlinear  differential  equation is made. Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia 2  maja  1984 roku 10  M ech .  T eoret .  i  Stos.  2/ 85