Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z2.pdf M E C H AN I K A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 2,  23  (1985) ZGINANIE  BELEK  LEPKOSPRĘ Ż YSTYCH  NA  PODŁOŻU  REOLOGICZNYM TAD EU SZ  SMOLEŃ W SI  w  Opolu Instytut  Inż ynierii L ą dowej 1.  Wstę p P raca  stanowi  propozycję   metody  do  analizy  statycznej  lepkosprę ż ystych  belek  o skoń- czonej  dł ugoś ci  i  dowoln ym  schemacie  statycznym,  spoczywają cych  na  podł ożu  reolo- gicznym  o  wł aś ciwoś ciach  dają cych  opisać  się   modelem  ciał a  liniowo- lepkosprę ż ystego. Z  pun ktu  widzenia  m echan iki,  zagadnienie  zginania  belek  spoczywają cych  n a  podł o- żu  odkształ calnym , m oż na  zaliczyć  do  dział u  poś wię conego  tzw.  zadaniom  kontaktowym o  niezmiennym —  z  góry  okreś lonym  —  obszarze  kon taktu.  N atom iast  pod  wzglę dem technicznym  zagadn ien ie  t o  dotyczy  waż nej  problem atyki  inż ynierskiej,  a  mianowicie współ pracy  konstrukcji  lub  jej  elementów  z  podł oż em,  na  którym  są   one  posadowione. Z  tego  wzglę du  rozwijanie  i  doskonalenie  matematycznych modeli  współ pracy  konstrukcji z podł oż em oraz  poszukiwanie  coraz  efektywniejszych  metod  rozwią zywania  zadań  z  tego zakresu  może  rozszerzyć  nie  tylko  sferę   poznawczą   zagadnienia, ale  także  bazę   moż liwoś ci poprawnego  rozwią zywania  kon kretn ych  zadań  z  praktyki  inż ynierskiej. Tem at  zginania  belek  spoczywają cych  n a  podł ożu  odkształ calnym  znajduje  wiele miejsca  w  literaturze  poś wię conej  współ pracy  konstrukcji  z  podł oż eni.  Szczególnie  efek- tywne  m etody  obliczeniowe  opracowan o  dla  rozwią zywania  zadań  z  tego zakresu  w  wersji sprę ż ystej,  n p.  [1, 2,  3,  4]. Wspóln ą   cechą   tych  metod jest  przyję cie  modelu  ciał a  liniowo- sprę ż ystego  do  opisu  wł asnoś ci  m ateriał ów, zarówn o  belki, jak  i  podł oż a. Przyję cie  takie znacznie  uł atwia  rozwią zywanie  wielu  kon kretn ych  zadań  inż ynierskich,  ale  uzyskiwane wyniki  bardzo  czę sto  wyraź nie  odbiegają   od  realnych,  gdyż  ukł ad  belka- podł oże  ma w  rzeczywistoś ci  cechy —  ogólnie  mówią c —  zdecydowanie  niesprę ż yste  (lepkosprę ż yste, lepkoplastyczne,  plastyczne  itp.).  Sprawiają   one,  że  aktualny  stan  naprę ż enia  i  odkształ - cenia  zależy  nie  tylko  od  aktualn ego  stan u  obcią ż enia,  ale  także  od  historii  procesu  defor- macji  belki  i podł oż a. Ewidentny  postę p  w  kierun ku  urealnienia  modelu  współ pracy  belki  z  podł oż em czynią prace  przyjmują ce  d o  opisu  cech  ukł adu  model  ciał a  liniowo- lepkosprę ż ystego.  D zię ki temu  moż liwe  staje  się   uję cie  cech  reolgicznych  m ateriał u belki  (n p. beton , ż elbet)  i  po- dł oża  (n p. grun t). Konsekwencją   takiego  opisu jest  niestety  znaczna komplikacja  matema- tycznej  stron y  zagadn ien ia  w  stosun ku  do jej  wersji  sprę ż ystej.  F akt ten  sprawia,  że  tylko dla  nielicznych,  wyidealizowanych  zadań  zn an e  są   poprawn e  i  praktyczne  w  stosowaniu 316  T.  SM OLH Ń rozwią zania  przy  obcią ż eniach  statycznych  i  dynamicznych,  n p .  [5, 6,  7].  G ł ówną   prze- szkodą   w  uzyskiwaniu  zadowalają cych  rozwią zań  w  zakresie  lepkosprę ż ystym  jest  róż- niczkowo- cał kowa  postać  równ ań  opisują cych  pracę   ukł adu  belka- podł oż e,  co  w  wielu realnych  przypadkach  wył ania zadania  brzegowe  wrę cz  niemoż liwe  d o  rozwią zania  w  spo- sób  ś cisł y.  Jedyną   szansą   są   wówczas  metody  oparte  n a  analizie  numerycznej. W  niniejszej  pracy  zaprezentowano  kompleksową   m etodę   wyznaczania  przemieszczeń i  sił   wewnę trznych  w  belkach  spoczywają cych  n a  podł ożu  odksztalcalnym  w  zakresie lepkosprę ż ystym,  poddanych  quasi- statycznym  obcią ż eniom  o  dowolnym  rozkł adzie i  przebiegu  w  czasie.  Sformuł owania  zadań  dokon an o  w  oparciu  o  analogię   sprę ż ysto- lepkosprę ż ystą   dla  wybranych  modeli  współ pracy  belki  z  podł oż em.  Ideą   m etody  jest wariacyjne  uję cie  zagadnienia  i  wykorzystanie  metody  elementów  skoń czonych  (M ES) w  wersji  pół analitycznej,  pozwalają cej  na  uniknię cie —•   kł opotliwej  pod  wzglę dem  nu- merycznym —  dyskretyzacji  skali  czasu.  M ateriał   belki  i  podł oża  potraktowan o  jako ciał a  liniowo- lepkosprę ż yste  o  odmiennych  param etrach  reologicznych  (tzn.  o  róż nych funkcjach  relaksacji  i  peł zania) w  wersji  zapropon owan ej  przez  G urtin a  i  Sternberga  [8], a  wię c  bez  konkretyzowania  typu  modelu reologicznego.  D zię ki  tem u  opracowan a m etoda stanowi  pewne  uogólnienie  metod  analizy  sprę ż ystej  n a  zakres  lepkosprę ż ysty. 2.  Sformuł owanie  zadań  brzegowych Przedmiotem  rozważ ań  jest  lepkosprę ż ysta  belka  o  skoń czonej  dł ugoś ci  i  dowolnym schemacie  statycznym,  poddan a  quasi- statycznym  obcią ż eniom  dowolnego  typu.  Poszu- kiwanymi  wielkoś ciami  są   t u t aj;  funkcja  ugię cia  belki  w  — w(x,  t)  —  opisują ca  proces deformacji  belki  oraz  funkcja  m om entu zginają cego  M  =   M(x,  t)  —  okreś lają ca  ewolucję stanu naprę ż enia w  belce.  P ostać równań  opisują cych  zależ eć  bę dzie  od  przyję tego  modelu podł oża  i  rodzaju  współ pracy  belki  z  podł oż em. W  zakresie  sprę ż ystym  zn an e  są ,  mię dzy innymi,  takie  modele  podł oż a, jak;  jedn oparam etrowy  —  typu  Win klera- Z im m erm an n a, wieloparametrowe —  typu  Wł asowa,  Wieghardta,  Schulcego  oraz  cią głe —  typu  pół prze- strzeni  lub  pół pł aszczyzny  sprę ż ystej. P unktem  wyjś cia  do  sformuł owania  zadań  brzegowych  bę dzie  róż niczkowe  równanie równowagi  belki  oraz  równ an ia  fizyczne  m ateriał u belki  i podł oż a. 1°  Belka  lepkosprę ż ysta  na  podł ożu  lepkosprę ż ystym  typu  Winklera Róż niczkowe  równanie  równowagi  belki  opartej  n a  podł ożu odksztalcaln ym  m a znaną postać gdzie  q(x,  t)  jest  funkcją   obcią ż enia  cią gł ego, n atom iast p(x,  t)  —  tzw.  odporem podł oż a. Zwią zek  fizyczny  dla  belki  wynika  z  ogólnego  równ an ia  kon stytutywn ego  dla  ciał a liniowo- iepkosprę ż ystego  [8, 9] a tJ (x,  t)  =   E lM (t)  - X-   ds kt (x,  t),  (2.2) Z G I N AN I E  BELEK  LE P K OSP R Ę Ż YSTYCH 317 sprowadzają cego  się  —  przy  zał oż eniu  izotropii  m ateriał u i  zredukowaniu  do  parametrów opisują cych  stan  n aprę ż en ia  i  odkształ cen ia  w  przekroju  belki  —  do  postaci d 2 w(x,  t) M{x,  t)  =   - E 0 J-   deif)  -X dx2 (2. 3) gdzie  e(t)  jest  bezwymiarową   funkcją   relaksacji  m ateriał u belki,  E 0 J  —  sztywnoś cią   belki n a  zginanie.  Symbol  „- X-"  ozn acza  mnoż enie  splotowe, Zwią zek  fizyczny  dla  podł oża  przyję to  —  przez  analogię   do  wariantu  sprę ż ystego  — w  postaci  [5] p(x,  t)  =   JRodr(t) • * w(x,  t),  (2.4) w którym  r(t)  oznacza  bezwymiarową   funkcję   relaksacji  m ateriał u podł oża typu  Winklera, a  R o   jest  stał ym  param etrem  tego  podł oż a. P odstawiają c  prawą   stron ę   równ an ia  (2.4)  w  miejsce  p(x,  t)  w  równaniu  (2.1),  otrzy- muje  się d 2 M(x,  t) dx2 - R o dr(t)  • %  w(x,  t)  =   - q(x,  ł ). (2. 5) R ówn an ia  (2.3)  i  (2.5)  posł użą   do  sform uł owania  zadania  wariacyjnego  dla  metody elementów  skoń czon ych. 2°  Belka  lepkosprę ż ysta  na  podłożu  lepkosprę ż ystym  typu  Własowa F orm uł a  współ pracy  belki  z  podł oż em typu  Wł asowa  opiera  się   n a zał oż eniu zgodnoś ci przemieszczeń  pion owych  i  poziom ych  w  obszarze  kon taktu  belki  z  podł oż em.  Wskutek tego  obcią ż enia  poprzeczn e  wywoł ują ,  oprócz  m om en tu  zginają cego  i  sił y  poprzecznej, także  sił ę   osiową . P ( t '  a(x.t>  Mit) (a) - Ulx.t) ;  \ wlx.tii  \ Li.  x (b) n- i Rys.  1, 318  T .  SM OLE Ń Z równań równowagi  elementu belki  (rys.  lc) wynikają  nastę pują ce  zależ noś ci  pomię dzy sił ami  wewnę trznymi  a  obcią ż eniem  i reakcjami  podł oż a: ^fU lfcO.  (2.6) —   ( ^ t ~  =/>(*. t)- q(x,t),  (2.7) ~ £ ~  -   IX*.  0 +  *(*. 0  •  A.  (2.8) Warunki  zgodnoś ci  przemieszczeń  punktów  obszaru  kon taktu  belki  z  podł oż em  pro- wadzą  do równań  (rys.  lb) Oi(jc, 0  -   w(x,  0 ,  (2.9) *, 0 =  «(x,  0 - Równania fizyczne  dla  belki,  wyraż one  przez  funkcję  przemieszczeń  punktów  osi  belki u(x,  t)  i  w(x,  t),  otrzymuje  się ze  znanych  zależ noś ci  geometrycznych  oraz  warunków równowagi  wewnę trznej  przy  wykorzystaniu  równania (2.2) M{x,  t) -   - E o   Jde{t) *  dy9j£  ()  ,  (2.11) N (x,  t) .  £ 0^rfe(r)  - )f  ^  °  ,  (2.12) gdzie  E 0 A  jest  sztywnoś cią  osiową  belki. Zwią zki  fizyczne  dla  podł oża  przyję to  w nastę pują cej  postaci: p(x,  0  =  R o dr(t)  - X-   w(x,  t),  (2.13) v 2 (x,t),  (2.14) gdzie  s(t)  oznacza  bezwymiarową  funkcję  relaksacji  podł oża  przy  deformacji  wzdł uż linii  kontaktu. Równania  (2.6)  •+•   (2.14)  stanowią  ukł ad  dziewię ciu  równ ań .  Redukując  ten ukł ad równań  do postaci  zawierają cej  jedynie  funkcje  przemieszczeń  u(x,  t)  i  w(x,  t),  otrzymuje się  dwa  równania E 0 Jde{t)  - )f —2 - J -L  + Ro  •  dr{t)  - )f w(*.  t) + S a ds{t)  - X-   — Y - ^ - h dx 2 =   q(x,  t),  (2.15) [u(x,E 0 A •  de(t) *  ^ A- So  •  ds(t) *  [u(x, t)- k&%$]  =  0. P odobnie jak dla poprzedniego  modelu  współ pracy,  równ an ia  (2.15)  wykorzystane zostaną  do sformuł owania  zadania  wariacyjnego  w  postaci  wygodnej  do  zastosowania M E S. Z G I N AN I E  BELEK  LEP KOSP R Ę Ż YSTYCH   319 3°  Belka  lepkosprę ż ysta  na  podł ożu  typu  pół pł aszczyzny  lepkosprę ż ystej W  odróż nieniu  od  dwóch  poprzednich modeli  podł oż a, model  podł oża  cią gł ego  cha- rakteryzuje  się  tym,  że  obcią ż enie  zadane n a jego  powierzchni  wywoł uje  przemieszczenia nie  tylko  w  obszarze  tego  obcią ż enia,  ale  również  poza  nim.  Przyję cie  takiego  modelu podł oż a, chociaż wydaje  się  najbardziej  realne, wymaga  jednak  odwoł ania się do skompli- kowanych  rozwią zań  klasycznych  zadań  brzegowych  w  teorii  sprę ż ystoś ci  (np. zagadnie- nia  Boussinesqa  i  C errutiego  [10, 11]). W  aspekcie  kinematycznej  współ pracy  belki  z  podł oż em moż liwe  są  dwa  przypadki. W  pierwszym  zakł ada  się  jedynie  zgodność  pionowych  przemieszczeń  punktów  osi  belki z odpowiadają cymi  im pun ktam i podł oż a. W drugim zakł ada się dodatkowo także zgodność przemieszczeń  stycznych  do  linii  kon taktu  belki  z podł oż em. Ograniczając  rozważ ania  do  przypadku  pierwszego,  dla  okreś lenia  zwią zku  mię dzy przemieszczeniami  pionowymi  pun któw  osi  belki  w(x,  t)  i  odporem  podł oża p(x,  t), wykorzystano  znany  wzór  F lam an ta  [3] W (pc, t) =   - - ^ £- fp(ylL>  t)h\ £j2L dy+A,  (2.16) w  którym  b  jest  szerokoś cią  belki,  E p   moduł em  sprę ż ystoś ci  pół pł aszczyzny,  natomiast A  dowolną  stał ą.  P rzenosząc  zwią zek  (2.16) —  w  oparciu  o  analogię  sprę ż ysto- lepko- sprę ż ystą  —  na  przypadek  pół pł aszczyzny lepkosprę ż ystej,  otrzymuje  się i w( |,  t)  =   £- dc(t)  - X-  J  p(rj,  t)\ n\ i- ri\ dri+A(t),  (2.17) 0  o gdzie  c(t)  jest  bezwymiarową  funkcją  peł zania m ateriał u podł oż a, C o  =   bEp,  k  —  x/ L , n  =   y/ L . D ą ż ąc  do  maksymalnie  prostego  sformuł owania  omawianego  zadania  brzegowego, pozwalają cego  n a  uniknię cie  koniecznoś ci  przekształ cania  równania  cał kowego  (2.17), jako  wielkoś ci  poszukiwane  przyję to  funkcje  w(£, t)  ip(i,  t).  Eliminując funkcję  momentu zginają cego  M(x,  t)  z  równ ań  (2.1)  i  (2.3)  oraz  doł ą czając  równanie  (2.17),  uzyskano nastę pują cy  ukł ad  równ ań  cał kowych: i  i E 0 J - ueyi)  - ft  j  —- 4̂  u\ ^   —  iijuqi 6 de{t)  -X /   d4Wh'  °  &($- ri)dn+  \   P<7I,  t)d{£  -   r,)d V   =   qQ,  t), *   n (2.18) i f  w(r),t)ó(S- V )dri  + - ^ dc(t)  y-  f  p(rj,t)]n\ C- ri\ dr]  =  A(t), o  °  o który  opisuje  zginanie  belki  lepkosprę ż ystej  n a  cią gł ym  podł ożu lepkosprę ż ystym  trakto- wanym jako  pół pł aszczyzna. 320 T .  SM OLE Ń 3.  Wariacyjne  uję cie  zadań  brzegowych Mają c  na  uwadze  wykorzystanie  metody  elementów  skoń czonych  do  rozwią zania sformuł owanych  zadań  brzegowych,  dokon an o  wariacyjnego  uję cia  tych  zadań .  Wyko- rzystano  ogólny  schemat  postę powania  wynikają cy  ze  znanego  twierdzenia  Wainberga w  teorii  równań  operatorowych.  Zgodnie z tym  twierdzeniem  [12], dla równania  operato- rowego  postaci Au+ f= 0,  (3.1) istnieje  funkcjonał  !F(u) (3. 2) którego  warunek  stacjonarnosci  prowadzi  do równania  (3.1).  W  formuł ach  (3.1) i (3.2) A  jest  operatorem  równań  zadania  brzegowego,  u  wektorem  poszukiwanych  rozwią zań, f  wektorem  funkcji  zadanych,  natomiast  symbol  <  • ,  •   > oznacza  iloczyn  skalarny.Ogól- nym warunkiem  istnienia  funkcjonał u  (3.2) jest  potencjalność  operatora A, która  dla  ope- ratora  liniowego  zachodzi  wówczas,  gdy  operator  ten speł nia  warunek  symetrii  [12] < Au,  v>  =   < u,Av>, (3. 3) gdzie  u i  v  traktowane  są   jako  elementy  przestrzeni  H ilberta  3P A   rozwią zań  równania (3.1),  z iloczynem  skalarnym  postaci < u(x, 0 . ,   0> - , 0  #•   v(x,  t)dx. (3. 4) Wariacyjne  uję cie  zadania  brzegowego  1° Równania  (2.3) i  (2.5) — odpowiadają ce  pierwszemu  zadaniu  brzegowemu  — moż na zapisać  w  nastę pują cej  postaci  operatorowej: - _ dx Q ( • • • ),  - • * ( • • •) Porównują c  równanie  (3.5)  z  (3.1) ł atwo  stwierdzić,  że u  - w(x,t)\ ' A  = E a J f  = 0 (*»0 (3.6) gdzie  ó(t) jest  funkcją   D iraca  natom iast  c(t) =  if"1  {1/ if  [e(t)]}. Ponieważ  operator  A  jest  w  tym  przypadku  symetryczny,  wię c  istnieje  funkcjonał typu  (3.2). Realizują c  iloczyny  skalarne  w  (3.2), otrzym ano Z G I N AN I E  BELEK  LE P KOSP R Ę Ż YSTYCH   321 L  L - -̂ Rodr(t)- X~  fw(x, b x >   t)dx. (3. 7) Z aprezen towan e  uję cie  wariacyjne  pierwszego  zadan ia  brzegowego  pozwala  n a  nieza- leż ne traktowan ie  pól  przemieszczeń  i  m om etów  zginają cych,  co  stanowi  zaletę   z  punktu widzenia  m etody  elementów  skoń czon ych. Wariacyjne  uję cie  zadania  brzegowego  2° P rzedm iotem  rozważ ań  są   tutaj  równ an ia  (2.15),  którym  moż na  n adać  postać  opera- torową   (3.1)  o  nastę pują cej  st ru kt u rze: A  = E 0 J- de  - X-  - V-T  ( . . . ) - &  •   5"o < *  - X-  I T  ( . . . ) + ^ o ^  - )f  (• • • )> Ą *  - X-   - r-   (• • •) a x *  a x 4  dx O P odobn ie ja k  w  pierwszym  zadan iu  brzegowym,  symetria  operatora  (3.8)  zapewnia  istnie- nie  funkcjonał u  typu  (3.2). Realizują c  formuł ę   (3.2)  dla  wyraż eń  (3.8), otrzymano  funkcjo- nał z,  L ^ 2 ( M ,  W )  =- - E0Jde(t)  - X-   w Iy (x,  t)- ^ w(x,  t)dx- ^ - - ds(t)-¥r w"(x, t)^w(x,  ł )dx+ 1 . 1  III  J o  o L  L +  ^ - R o dr(t)  - X-  J  w(x,  t)  - X-  w(x,  t)dx  + - jS o ds(t)  - X-  ju'Qc,  t)  • %•  w(x,  t)dx  + 0  0 L  L +  1- Sods(t)  - X-  f  w'(x,  0  - X-  u(x,  0 & + i ^ -   &( 0  -  ̂[   u"(x, t) - X-   «& "o  6 L  L  0 - < 7 ( ! , oi  ro Operator x "I E 0 J " [ o ] - rj), d(t)  * (. . . )6 (f- rj) (3.10) jest  w  tym  przypadku  operatorem  cał kowym.  F akt  ten  wył ania  konieczność  sprawdzenia jego  symetrii  (3.3). W  rozważ anym  zadan iu  brzegowym v= Rozwijając  warunek  symetrii  (3.3),  otrzym an o - < u, Av>  = - X-  J o ,  0   - X- f ( i f  / »i(f, 0 - X- b ,  t)d£+ < !  i o ,  t)  - X- , t) i  i f ( b; o C ał kowanie  przez  czę ś ci  oraz  uwzglę dnienie  warun ków  brzegowych  pozwala  zredukować wię kszość  skł adników  w  (3.11), z  wyją tkiem  tych, kt ó re  zawierają  cał ki  podwójn e.  Jedn ak dzię ki  formalnej  zamianie  zmiennych  w  jednej  z  cał ek  podwójnych  i  wykorzystaniu  sy- metrii ją dra  cał kowego l n | | - ł /|  =   ln |??- f  |, staje  się o n a iden tyczn a z drugą cał ką  podwójną, a  zatem  skł adniki  te  również  ulegają  redukcji,  co  ostatecznie  dowodzi  symetrii  operatora równ ań  (3.10), a więc  istnienia funkcjonał u  typu  (3.2). M a  on  postać Z G I N AN I E  BELEK  LEP KOSP R Ę Ż YSTYCH   323 b i  i }  t)  - X-  w(g,  t)d£   +  L  f  p(C,  t) - X- b + "- gr- rfc(O  - X-  J  J  ln|f- ł j|/ ?( |,  O  - X-  />(*?,  O < *?< #+ °i  ,  (3.12) W  zakoń czeniu  tej  czę ś ci  pracy  wydaje  się  rzeczą  celową  zwrócić  uwagę na problem warunków  brzegowych,  które nie był y dotychczas przedmiotem rozważ ań. Sposób  ich uw- zglę dnienia  z reguł y wią że  się  z zastosowaną  metodą rozwią zania  zadania, dlatego  szersze omówienie  tego  problemu  ma  miejsce  w  nastę pnej  czę ś ci  pracy,  dotyczą cej  realizacji MES. 4.  Realizacja  metody  elementów skoń czonych Algorytmy  realizowane  w metodzie elementów  skoń czonych, których punktem wyjś cia są  wariacyjne  zasady  podejmowanych  zadań  mechaniki  konstrukcji,  cechuje — typowa dla  tej  metody — duża  uniwersalnoś ć.  Wyraża  się  to  przede  wszystkim  niezależ noś cią schematu  postę powania  (przy  konstrukcji  tych  algorytmów)  od  przyję tej  zasady  waria- cyjnej  podejmowanego  problemu. W  niniejszej  pracy przedstawiono algorytm rozwią zania  w MES dla pierwszego  zadania brzegowego  traktując  ten  algorytm  jako  przykł ad,  a  zarazem  wzór  do  opracowania po- dobnych  algorytmów  dla  pozostał ych zadań  brzegowych.  W  realizacji  celu kierowano  się koncepcją  analitycznego  uję cia  czasu  i  wykorzystania  ś cisł ego  zadania w  zakresie  sprę ż y- stym  do  aproksymacji  poszukiwanego  rozwią zania  lepkosprę ż ystego. Podział   belki  na  elementy  i  aproksymacja  rozwią zania D la  aproksymacji  rozwią zania  zadania  dokonano naturalnego  podział u belki  na  ele- menty  skoń czone  w  sposób  pozwalają cy  uniknąć  kł opotów  zwią zanych  z  niecią gł oś cią funkcji  sił  wewnę trznych  w  punktach  przył oż enia  obcią ż eń  skupionych  (rys.  2). Zgodnie z koncepcją,  aproksymację  pola  przemieszczeń i pola momentów  zginają cych w  obrę bie  elementu przyję to  w  postaci  [13] w e (x e ,  t)  =   a\ {t)r)\ {x e )  + cĄ (t)rj%{x e ) + a%(t)rj%{x e ) + a,l{t)r)%{x e )  =  «;(09.(*„).  (4.1) gdzie y\ (x e )  =   sh(x e x e )sm(x e x e ),  rj e 2 (x e ) =   sh(«exc)cos(«exc), yl(x e )  =  ch ( «e^ e) sin ( «exe) ,  r)%(xe)  -   ć h(xexe)cos(xexe), 324 T .  SM OLEŃ T,  . TD   *  UJ \   L»J  «.i  IE- II  E  m ^eltment  typowy M 2 ^  *"  M 1 i W i Ti, e»1 N ieznane  wektory  funkcyjne    aKOfliW  =  w».(0  «;(/ .,  0  =  ra.( 0  - > »:(/ ., o =   m(p),  [K]  =   [ T I I K l ^ i n ,  otrzymano w(p)  =  —  f(p). (4.19) Z G I N AN I E  BELEK  LEP KOSP R Ę Ż YSTYCH   327 Pojawia  się  teraz  problem  rozwią zania  algebraicznego  równania  macierzowego  (4.19), lecz  nie  jest  to  moż liwe  poprzez  bezpoś rednie  odwrócenie  macierzy  tego  równania,  po- nieważ  zawiera  on a  czynnik  analityczny  g(p).  Jedn ak  dzię ki  twierdzeniu  H am ilton a  [15], odwrotn ą  m acierz  równ an ia  (4.19)  m oż na  otrzym ać  przy  pomocy  jej  rozkł adu  spektral- nego SK]+g(p)  [S]  =   [ W T K fG H gO ? )  {/}>  [W]- 1,  (4.20) gdzie  {I}  jest  macierzą  jedn ostkową,  n atom iast  {G }  macierzą  spektralną,  a  [W]  macierzą wł asną  rozszerzonego  zagadn ien ia  wł asnego  [15] [K]x  =   g[S]x.  (4.21) Taka  postać  m acierzy  równ an ia  (4.19)  pozwala  n a  jej  odwrócenie  przy  jednoczesnym wył ą czeniu  czynnika  analitycznego  g{p)  poza  operacje  macierzowe,  mianowicie < [ K ] + g( p ) [ S] > - 1  =   [ W K f G R g O K I j r H W *]  = N  N V  1  V  de(v) =   >  — v  [V„] =   >  "  \ rJ.._  r ył   (4.22) n =   1  n — 1 gdzie N  jest wym iarem  macierzy  równ an ia  (4.19), n atom iast  [V„] są  macierzami powstał ymi z  iloczynów  ten sorowych  wektorów  wł asnych  przez  siebie,  odpowiadają cych  kolejnym wartoś ciom  wł asnym  g„  równ an ia  (4.21).  Przy  takim  podejś ciu,  rozwią zanie  równania (4.19)  m a  postać N w(?)  =   V  0 n (t)  - X-   [V„ ]f(0,  (4.23) n = l gdzie G lobaln y  wektor  sił   wę zł owych  m(t)  otrzymuje  się  z  równania  (4.17)  poprzez  jego retransformację  i  podstawien ie  rozwią zania  (4.23) m ( 0  =   {K\ - \ [T ]  £  T n {t)  - X-  [V„]f(O -   [Q]m(0>  (4- 24) n = l gdzie G lobaln e wektory  v/ (t)  i  m(t)  determinują  pola  przemieszczeń  i  sił  wewnę trznych  w po- szczególnych  elem en tach,  zgodn ie  z  przyję tą  aproksymacją. 5.  Przykł ady  obliczeń  numerycznych W  celu  wykazan ia  efektywnoś ci  przedstawionego  algorytmu  w  M E S,  dla  podję tego zadan ia,  opracowan o  program  obliczeń  n a  E M C  i  dokon an o  analizy  numerycznej  trzech, przykł adów  współ pracy  belki  z  podł oż em. 328  T .  SM OLE Ń F unkcje  relaksacji  materiał u  belki  e(t)  i  podł oża  r{t)  zapisano  w  formie  ujmują cej jednocześ nie  m odele:  H ooke'a,  Maxwella  oraz  standardowy,  a  mianowicie e(t)  =   (\ - gdzie  H(t)  jest funkcją   H eaviside'a,  r/, Q —•  bezwymiarowymi  współ czynnikami  z  przedzia- ł u  <0,l>,  e 0 ,  r 0   —  współ czynnikami  lepkoś ci.  Przyjmują c  v\  =   0,  (g  =   0),  otrzymuje  się model  sprę ż ysty,  natomiast  dla  rj  — 1,  (§  =   1),  funkcje  (5.1)  odpowiadają   modelowi Maxwella.  W  pozostał ych  przypadkach  opisują   one  model  standardowy  (Zennera). Realne  wartoś ci  parametrów  funkcji  (5.1)  ustalono  n a  podstawie  [16],  traktują c  belki •w analizowanych  przykł adach jako  ż elbetowe. Wystę pują ce  w  rozwią zaniach  (4.23)  i  (4.24)  funkcje  (p n (t)  i  f„(t)  zależą   od  postaci funkcji  relaksacji  materiał u  belki  i  podł oż a,  czyli  od  typów  modeli  Teologicznych  tych materiał ów. W realizacji  algorytmu  na EM C ,  funkcje  te muszą   być wyznaczone analitycznie, a  nastę pnie  uję te  w  programie  w  formie  procedur.  D la  funkcji  relaksacji  okreś lonych wzorami  (5.1)  otrzymano 0, ( 0  =  - —--  W> +  Aexp(a„ 0 +  Ą ,expOV],  (5.2) 1   HOH  cTan n ecKoft  cxeiwe3  n o K a m u x  n a  ocuoBaH H ii  o6naraiom H M   peoJionraecKH M H   cBoftcTBaiHii I l p n  cpopiwyjiHpoBKe  npH H H io pa3JiHMHe  peo jn rE raecio ix  Moflejieft  M aiepH anoB  6ajiKH   u  ocH OBamra  6e3 yioMHHHHH   THnoB 3IHX  Moflejieft  Ha  3Tane  dpopMyjinpoBKii.  H M C J I  BO  BHHiwaHHio  npniweHeHHe  iwerofla K oH erawx  ajieMeHTOB flJiH  peuieH H H  dJjopiviyjiiipoBaHMX  3afla«j  cfleaaH o  Bapnaim oH H yio  cbopiwyjiHpoBKy 3THX  3afla*ij  a  Tai«Ke  npeflCTaBJieno  oSm utt  anropuTM   flnn  ^HCjjHTeji5Horo  anajiH 3a  c  ncnonB3OBaHneM 3 B M .  B  H3roToBJienHH   ajnropHTMa  npH M eneno  noJiyauajiH Tł raecKyio  arrooKCH Maiwio,  KoTopan  COCTOHT B  aHanHTiraecKOM  npstHHTbio  pa3ccy>KHaeMŁix  cooTH ouieH H ii n o  OTH OIU CH H H   K  apeM einiofi  nepeiweHHOH. aJtropnuwa  H JimocrpH poBanH O  H CCKOJIBKH MH   iiHCjmTenbHbiMH   npH Mepaiwn. Z G I N AN I E  BELEK  LEP KOSP R Ę Ż YSTYCH   333 S u m m a r y BEN D IN G   O F   VISCOELASTIC  BEAMS  ON   A  RH EOLOG ICAL  F OU N D ATION I n  the  paper  several  problems  of  bending  of  viscoelastic  beams  with  arbitrary  static  scheme,  resting on  a  foundation  having  viscoelastic  properties  are  formulated.  I n the formulation  the  difference  of  rheo- logical  models  of  a  beam  and  foundation  materials  is  assumed  but  they  are  not  precised  on  the  stage of  the formulation.  Keeping  on  mind  the application  of  the finite  element method, the variational  formu- lations  of  the  problems  arc  achieved  and  general  algorithm  and  its  computer  realization  is  presented. In  working  out  of  the  algorithm  the  semi- analytical  approximation  of  searched  solution  by  using  the so- lution  of  analogical  elastic  problem  is  applicated.  The  approximation  consist  in  analytic  formulating  of considerated dependences with respect to time. The efficiency  of the algorithm by several  numerical examples is  supported. Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  7  sierpnia  1984  roku