Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z3_4.pdf M ECH AN IKA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3 - 4,  23  (1985) OKR EŚ LEN IE  P O P R Z E C Z N E J  EF EKTYWN EJ  P R Z E WOD N OŚ CI C I EP LN EJ K O M P O Z YT U   O  JE D N OK I E R U N K OWO  U Ł OŻ ON YCH  WŁÓKN ACH  METOD Ą KOLLOKAC JI  BR Z E G OWE J J AN   A.  KOŁOD Z IEJ  (P O Z N AŃ ) Politechnika Poznań ska IMS 1.  Wprowadzenie P roblem  okreś lenia  efektywnych  wł asnoś ci  tran sportu,  takich jak przewodność  elek- tryczna  lub cieplna,  przenikalność  dielektryczna,  współ czynniki  Lamego  lub któraś  z  po- został ych  oś miu  wielkoś ci  wymienionych  w  pracy  Batchelora  [1], nie jest  zagadnieniem nowym  w  literaturze.  Maxwell  [2] i Lord  Rayleigh  [3] są   prawdopodobnie  pierwszymi, którzy  badali  wł asnoś ci  elektryczne i magnetyczne  materiał ów dyspersyjnych.  W ostatnich latach  dużo  uwagi  poś wię cono  efektywnym  wł asnoś ciom  cieplnym  materiał ów  kompozy- towych,  które  skł adają   się  z wł ókien  otoczonych  osnową .  Wię kszość  tych  prac  dotyczy przypadku,  gdy wł ókna mają   przewodność  cieplną   istotnie róż ną   od osnowy,  są  ustawione regularnie  w jedn ym  kierunku i dostatecznie  dł ugie,  ponieważ  takie  materiał y  mają  ko- rzystną   sztywność  w kierunku  równoległ ym  do osi wł ókien. W takim ukł adzie teoretyczna efektywna  przewodność  cieplna  materiał u An w kierunku  wł ókien jest  okreś lona  prostym „ wzorem  m ieszan in y":  - . > . • • .  ; ki"ę ltf{l- ę )Xm,  (1) gdzie  Am i A/, są   odpowiednio  przewodnoś ciami  cieplnymi  osnowy  i wł ókien, natomiast ę jest  obję toś ciowym  udział em  wł ókien  w kompozycie. W  ten sposób  An jest  niezależ ne  od sposobu  uł oż enia wł ókien w pł aszczyź nie prosto- padł ej  do osi wł ókien.  Efektywna  przewodność  cieplna  kompozytu  w  kierunku  prosto- padł ym  do  wł ókien  zależy  jedn ak  od  wspomnianego  uł oż enia. P roblem  okreś lenia  poprzecznej  efektywnej  przewodnoś ci  cieplnej  / ^ był  rozważ any przez  szereg  autorów  [4- 24].  W  tych  pracach  moż na  wyróż nić  cztery  kierunki  badań : 1)  eksperymentalne  okreś lenie  poprzecznej  efektywnej  przewodnoś ci  cieplnej  [ 4- 9]; 2)  okreś lenie  górnej  i  dolnej  granicy  moż liwych  numerycznych  wartoś ci  poprzecznej efektywnej  przewodnoś ci  cieplnej  [8- 13]; 3)  przy  zał oż eniu  losowego  rozkł adu  równoległ ych  wł ókien  okreś lenie  poprzecznej efektywnej  przewodnoś ci  cieplnej  [13- 16];  *  -   i  •   .-  ;  . 356  J.  KOŁOD ZIEJ 4)  dla  regularnej  i  ś ciś le  okreś lonej  geometrii  rozmieszczenia  wł ókien  (n p.  w  siatce kwadratowej)  okreś lenie  poprzecznej  efektywnej  przewodnoś ci  cieplnej  [6 -  7,  14,  17 -   24]. P racę  Kellera  [25] trudn o jest umieś cić w którym ś  z  czterech wymienionych  kierun ków badań .  W  pracy  tej  podaje  się   twierdzenie  dotyczą ce  kom pozytu  z  wł ókn am i uł oż on ymi wedł ug  siatki  prostoką tnej,  które  okreś la  zwią zek,  jaki  musi  speł niać  efektywna  prze- wodność  cieplna,  jeś li  przewodność  cieplna  osnowy  przyjmie  wartość  przewodn oś ci cieplnej  wł ókien,  i  odwrotnie. Omówmy  nieco szerzej  czwarty  z  wymienionych  kierun ków  badań ,  ponieważ  niniejsza praca  jest  kontynuacją   tego  kierunku.  We  wspomnianej  pracy  Rayleigha  [3]  p o d an o przybliż ony  wzór  dla  przypadku  wł ókien  uł oż onych  w  siatce  kwadratowej,  który  jest sł uszny  dla  mał ych  udział ów  obję toś ciowych  wł ókien.  W  pracach  [14]  i  [19],  również dla  siatki  kwadratowej,  zapropon owan o przybliż ony  m odel  wyznaczania  Aj_, tzw.  „ m odel cieplny",  w  którym  p o  wydzieleniu  powtarzają cego  się   elem en tu  siatki  zakł ada  się ,  że linie  adiabatyczne  są   liniami  prostymi  równoległ ymi  do  ś redniego  strum ienia  ciepł a.  J ak sł usznie zauważ yli  F urm ań ski i  G ogół   [9], wyznaczona  przy  takich zał oż eniach  efektywna przewodność  cieplna jest  dolną   granicą   dla  efektywnej  przewodnoś ci  takiego  kom pozytu. W  pracy  [17]  podan o  przybliż ony  sposób  wyznaczania  efektywnej  przewodnoś ci  cieplnej dla  wł ókien uł oż onych w  siatce  kwadratowej,  który  jest  sł uszny  dla  udział ów  obję toś cio- wych  wł ókien  bliskich  maksymalnemu  przy  zał oż eniu, że  wł ókn a  są   doskonał ym i  prze- wodnikami  lub  doskonał ymi  izolatorami. Wiele  prac,  w  których  wyznacza  się   zastę pczy  współ czynnik  przewodzenia  ciepł a  dia kompozytów  o regularnej  strukturze uł oż enia wł ókien, opiera  się   n a rozwią zaniu  równ an ia przewodzenia  ciepł a  n a  poziomie  m ikrostruktury  w  powtarzają cym  się   elemencie  siatki. P rawdopodobnie  po raz  pierwszy  takie  podejś cie  zastosowali  Keller  i  Sachs  [18] —  którzy rozważ ali  przypadek,  gdy  wł ókna  są   uł oż one  w  siatce  kwadratowej  —  zakł adają c,  że  są one  doskonał ymi  izolatorami  lub  doskonał ymi  przewodn ikam i.  D o  wyznaczenia  pola temperatury  w  powtarzają cym  się   elemencie  siatki  stosowali  oni  m etodę   róż nic  skoń czo- nych.  Springer  i  Tsai  [14], oprócz  propozycji  przybliż onego  m odelu  cieplnego,  zauważ yli analogię   pomię dzy  wyznaczaniem  efektywnej  przewodnoś ci  cieplnej  i  zastę pczego  podł uż- nego  moduł u  ś cinania.  Wyniki  uzyskane  w  oparciu  o  przybliż ony  m odel  porównywali oni  z  wynikami  uzyskanymi  dla  podł uż nego  m oduł u  ś cinania  obliczonego  w  oparciu o  rozwią zanie  n a  poziomie  m ikrostruktury  uzyskane  metodą   róż nic  skoń czonych  [26]. D la  siatki  kwadratowej  wyznaczenie  zastę pczego  współ czynnika  przewodzenia  w  oparciu o  rozwią zanie  równania  Laplace'a  n a  poziomie  m ikrostruktury  otrzym an e  brzegową metodą   najmniejszych  kwadratów  m oż na  znaleźć  w  pracach  [8] i  [24], n atom iast  w  pracy [21] tego  samego  podejś cia  uż yto  dla  rozważ enia  siatki  prostoką tn ej.  W  pracy  [22]  zasto- sowano  z  kolei  metodę   kollokacji  z  minimalizacją   sumy  kwadratu  bł ę du  w  pu n kt ach kollokacji  do  wyznaczenia  rozwią zania  m ikrostrukturaln ego  dla  siatki  prostoką tn ej  i  trój- ką tnej.  P errins  ze  współ pracownikami  [20]  zastosowali  ulepszon ą   m etodę   R ayleigha  d o wyznaczania  rozwią zania  w  powtarzają cym  się   elemencie  siatki  kwadratowej  i  trójką tn ej równobocznej.  Jeszcze  inną   m etodę  d o  wyznaczania  rozwią zania  równ an ia  przewodn ictwa n a  poziomie  m ikrostruktury  zapropon ował   Sekine  [23],  który  wyznaczał   efektywną przewodność  cieplną   dla  kom pozytu  z  cienkimi  nie  przewodzą cymi  wł ókn am i  rozmiesz- czonymi  w  wę zł ach  siatki  prostoką tnej  lub  trójką tnej.  P rzedstawienie  wtrą ceń  w  postaci P R Z E WO D N O Ś Ć  C I E P LN A  KOM P OZ YTU   357 rozkł adu  pewnych  ź ródeł   ciepł a  pozwala  sprowadzić  zagadnienie  do  równania  cał kowego z ją drem  typu  C auchy'ego, rozwią zania  którego  poszukuje  się   w  postaci  rozkł adu w  wielo- m ian y  Czebyszewa. J ak  wynika  z  dokon an ego  przeglą du  prac  poprzeczną   efektywną   przewodność  cieplną wyznaczano  tylko  dla  najprostszych  regularnych  sposobów  uł oż enia prę tów  w  osnowie. Z asadniczym  celem  niniejszej  pracy  jest  podan ie  analityczno- numerycznego  algorytmu wyznaczania  poprzecznego  efektywnego  współ czynnika  przewodzenia  ciepł a  dla  szerokiej klasy  regularnych  sposobów  uł oż en ia  wł ókien  w  osnowie.  P ropon owan ą   metodę   stosuje się   dla  dowolnych  stosun ków  przewodnoś ci  cieplnej  prę ta  do  przewodnoś ci  cieplnej osnowy,  ja k  również  dla  dowoln ych  udział ów  obję toś ciowych  prę tów,  z  wyją tkiem  gra- nicznych  wartoś ci  tych  param etrów.  I stotn ą   cechą   propon owan ego  algorytmu  jest  wyko- rzystanie  m etody kollokacji  brzegowej  do wyznaczenia  rozwią zania  równ an ia przewodnic- twa  ciepł a  n a  poziom ie  m ikrostruktury,  co  powoduje,  że  propon owan a  m etoda  pozwala uzyskać  wymaganą   dokł adn ość  z  m inim aln ym  kom puterowym  „ wysił kiem". N ależy  zauważ yć,  że  sposób  okreś lan ia  efektywnej  przewodnoś ci  cieplnej  kompozytu przyję ty  w  niniejszej  pracy  nie  nawią zuje  do  ż adn ego  z  gł ównych  kierunków  badań teore- tycznych  kom pozytów,  tj.  procedury  wygł adzania  [27 -  29],  czy  procedury  homogenizacji [30 -  32],  n atom iast jego  istota  jest  najbliż sza  eksperym entalnem u  badan iu  kompozytów. I stotą   niniejszej  pracy  jest  propozycja  prostych  myś lowych  eksperymentów,  które  są   tak pom yś lan e,  aby  umoż liwiały  wyznaczenie  poprzecznej  efektywnej  przewodnoś ci  cieplnej przy  zadanej  m ikrostrukturze  kom pozytu. 2.  Algorytm  okreś lania  poprzecznej  efektywnej  przewodnoś ci  cieplnej  kompozytów z  regularnym  rozkł adem  wł ókien  w  osnowie Rozważ my  m ateriał   kom pozyt u  o  jedn okierun kowo  uł oż onych wł óknach  w  osnowie. Wł ókn a  są   rozmieszczone  w  regularn y  sposób  wedł ug  siatki  kwadratowej,  trójką tnej i  sześ cioką tnej  lub  innej  siatki,  kt ó ra jest  kompozycją   regularnych  wieloką tów  (rys.  la - 5a). Wprowadzam y  nastę pują ce  wielkoś ci  charakteryzują ce  geometrię   siatki:  a — promień wł ókien,  b —  odległ ość  pom ię dzy  są siadują cymi  wł ókn am i.  Stosunek  ś rednicy  wł ókien do  odległ oś ci  pom ię dzy  są siadują cymi  wł óknam i  oznaczmy  przez  E  = - j~.  Wielkość o t a  zwią zana  jest  z  obję toś ciowym  udział em wł ókien  cp  (obję tość  wł ókien/ cał kowita  obję - toś ć)  zależ noś cią,  kt ó r a  dla  sposobów  uł oż enia  wł ókien  przedstawionych  n a  rys.  la  -  5a X p o d an a  jest  w  t a b.  1.  Stosun ek  przewodnoś ci  cieplnych  oznaczmy  przez  F  —  - ~- •   ^m Wprowadzam y  nastę pują ce  zał oż en ia: 1)  wł ókn a  są   cylin dram i  o  jedn akowym  prom ien iu,  przy  czyni  stosunek  dł ugoś ci wł ókien  do  ich ś rednicy jest  n a  tyle  duż y,  że  mogą   one być  traktowan e jako  nieskoń czenie dł ugie;  . .  ,„.  .  .  .,  ...  ,  ,  ,, A 2)  m ateriał   wł ókien  i  osnowy  jest  jedn orodn y  i  izotropowy; 3)  istnieje  doskon ał y  ko n t akt  termiczny  pom ię dzy  wł óknam i  i  osnową ; r  - >  „  ..J— f It-  ! *  —i —1 —!- b) —< Rys.  I,  Siatka  kwadratowa;  a)  widok  ogólny  z  liniami adiabatycznymi  (linie cią gł e)  oraz  izotermicznymi  (linie przerywane)  b)  podział   powtarzają cego  się   obszaru  na elementy  oraz sformuł owanie  problemu  brzegowego Rys.  2.  Siatka  trójką tna;  a)  widok  ogólny  z  liniami  adiabatycznymi  (linie  cią gł e)  oraz  izotermicznymi (linie  przerywane),  b)  podział   powtarzają cego  się   obszaru  n a  elementy  oraz  sfonnulowanie  problemu i.  brzegowego [358] a) Oj.O • e JC/ Rys.  4.  Siatka  trójką tno- kwadratowa;  a)  widok  ogólny  z  liniami  adiabatycznymi  (linie  cią gł e)  oraz  izo- termicznymi  (linie  przerywane),  b)  podział  powtarzają cego  się   obszaru  n a  elementy  oraz  sformuł owanie problemu  brzegowego Rys.  5.  Siatka  kwadratowo- oś mioką tna;  a)  widok  ogólny  z  liniami  adiabatycznymi  (linie  cią gł e)  oraz izotermicznymi (linie przerywane), b) podział  powtarzają cego  się   obszaru  n a elementy oraz sformuł owanie problemu  brzegowego P R Z E WOD N OŚĆ  CIEP LN A  KOM POZYTU 361 Tablica  1 f 2M kwadratowa T tE 2 4 2N ~\ trójką tna T zE Z AN - 2 Typ  siatki sześ cioką tna nE 1 4JV- 2 trójką tno- kwadratowa 7 t £ 3 2+ yT 4iV kwadratowo - oś m ioką tna TV£ 2 (1 +   / 3 - )2 4N - 2 sposobów  uł oż enia wł ókien  został y  przedstawione  n a  rys.  l b - 5 b.  P oprzeczna  efektywna przewodność  cieplna  może  być  wyznaczona  w  oparciu  o  znajomość  stacjonarnego  pola tem peratury  w  takich  powtarzają cych  się  obszarach. 2.  P odzielić powtarzają cy  się  obszar  n a tzw.  „ duże elementy skoń czon e"  [33] w  sposób, którego  przykł ady  p o d an o  n a  rys.  lb  -  5b. 3.  Sformuł ować  problem  brzegowy  dla  ustalon ego  pola  temperatury  w  powtarzają cym się  obszarze. N a odcin kach, które dzielą  obszar  osnowy  n a dwie  czę ś ci, korzystamy  z twier- dzenia  D uh em a  cytowanego  przez  Chen  Yi- Zhou  i  Chen  Yi- H enga  [34].  Twierdzenie to  gł osi,  że jest  moż liwa  kon strukcja  funkcji  harmonicznej  w  obszarze  Q  przez  „ zszycie" dwóch  harm on iczn ych  funkcji  definiowanych  w  dwóch  są siadują cych  podobszarach obszaru  Q.  Warun kiem  „ zszycia" jest  równość  wartoś ci  tych  funkcji  oraz ich pochodnych n orm aln ych  n a  brzegu,  który  dzieli  obszar  Q  n a  podobszary.  Przykł ady  sformuł owań wspom n ian ych  zagadn ień  brzegowych  po dan o  n a  rys.  lb  -  5b. 4.  Wybrać  obcię te  szeregi  funkcji  próbn ych,  które  speł niają  ś ciś le  równanie  róż nicz- kowe  w  elementach powtarzają cego  się obszaru  oraz czę ść warunków  brzegowych,  w  szcze- gólnoś ci  warunki  brzegowe  n a  granicy  prę ta  i  osnowy,  jak  również  n a  niektórych liniach adiabatycznych  i  izoterm icznych.  P rzykł adowy  sposób  otrzymywania  obcię tych  szeregów funkcji  próbn ych  dla  siatki  kwadratowej  po dan o  w  dodatku  A.  Obcię te  szeregi  funkcji próbn ych  dla  przykł adowo  rozważ anych  ukł adów  z  rys.  1- 5  podan o  w  tab.  2.  Brzegi, n a  których  obcię te  szeregi  speł niają  warunki  brzegowe  w  sposób  ś cisł y,  zaznaczono  n a rys.  lb  -  5b  linią  cią gł ą,  n atom iast  brzegi,  gdzie  warunki  brzegowe  są  speł niane w  sposób przybliż ony  • — linią  przerywaną. 5.  Wybrać  pun kty  kollokacji  n a  brzegach,  gdzie  warunki  brzegowe  są  speł niane  w spo- sób  przybliż ony.  D la  rozważ anych  przypadków  n a  każ dym  prostoliniowym  odcinku brzegu,  gdzie  warun ki  brzegowe  speł nia się  kollokacyjnie,  przyję to  N   pun któw  kollokacji. N astę pn ie  zał oż ono równą  odległ ość  pomię dzy  pun ktam i  kollokacji  n a  tych  odcinkach. P rzykł adowo  dla  siatki  kwadratowej  rozmieszczenie  pun któw  oraz  wzory  okreś lają ce współ rzę dne  tych  pun któw  p o d an o  n a  rys.  6. 6.  Z astosować warun ki  brzegowe  do obcię tych szeregów  funkcji  próbnych w  wybranych pun ktach  kollokacji.  D zię ki tem u otrzymamy  ukł ad  równ ań liniowych  dla  współ czynników szeregu  w  p o st aci: £  A u Xj  = B t   im  1; 2,..'.,  2M,  (2) Tablica  2.  Obcię te szeregi funkcji  próbnych dla pię ciu rozważ anych  sposobów  uł oż enia wł ókien siatka  kwadratowa 2M siatka  trójką tna M %X K   / ^ - "c os U2K n  X K fi  ~ Af siatka  sześ cioką tna K= .l ^  [a+ io^I- 1)2+(K- 1)2' N - K)2 N- 1 T2(K)=arc c os- N- K • K=1,2 Rys.  6.  Rozmieszczenie  punktów  kollokacji  w  powtarzają cym  się  obszarze  siatki  kwadratowej gdzie  zwią zek  pomię dzy  M  i  N   p o d an o  w  tabeli  1.  Przykł adowy  sposób  wyznaczania macierzy  ukł adu A u   oraz  wektora  wyrazów  wolnych  B t   ukł adu (2) podan o w  dodatku B. 7.  Rozwią zać  ukł ad  równ ań  liniowych  (2). 8.  Okreś lić  poprzeczną  efektywną  przewodność  cieplną  ze  wzoru: X  -   Q L   (3) gdzie  Q jest cał kowitą iloś cią  ciepł a przewodzoną przez powtarzają cy  się obszar kompozytu, A T  —  róż nica  tem peratury  n a  brzegach  izotermicznych  tego  obszaru,  L  —  odległ ość pomię dzy  brzegami  izoterm icznym i.  D zię ki  zastosowanej  metodzie  otrzymuje  się  wzory w  postaci  zamknię tej  dla  X L ,  które  dla  rozważ anych  przypadków  sposobów  uł oż enia wł ókien został y podan e w  t ab. 3.  P rzykł adowy sposób okreś lenia  X x   dla siatki  kwadratowej podan o  w  dodatku  C .  - 364  J-   KOŁOD ZIEJ Tablica 3. Wzory  dla poprzecznej efektywnej  przewodnoś ci cieplnej dla czterech typów rozważ anych  sposobów  uł oż enia wł ókien siatka  kwadratowa IM { siatka  trójką tna l i - 1 ) siatka  sześ cioką tna M - i  =  3  y ^ y  + 2 - 1) - ±- siatka  kwadratowo- trójką tna M N ależy  tutaj  zauważ yć,  że  nie  m a  powodów,  aby  zakł adać  izotropię   poprzecznego przewodnictwa  dla  wszystkich  rozważ anych  kom pozytów.  I n n ym i  sł owy,  zmieniają c kierunek  strumienia  ciepł a w  pł aszczyź nie prostopadł ej  do  wł ókien, poprzeczn a  efektywna przewodność  cieplna  może  ulec  zmianie.  W  niniejszej  pracy  nie  bada  się   tej  zmiany,  jak- kolwiek  opisana  m etoda  może  sł uż yć  do  tego  celu. W  przedstawionym  algorytmie  dla  przybliż onego  speł nienia  warun ków  brzegowych zaproponowano  najprostszą   odmianę   metody  kollokacji  brzegowej,  zwanej  prostą   kollo- kacją   brzegową .  Polega  ona  n a  tym,  że  liczba  pun któw  kollokacji  pokrywa  się   z  liczbą niewiadomych  współ czynników  w  wybranych  szeregach  funkcji  próbn ych  oraz  n a  ś cisł ym speł nieniu  warunków  brzegowych  w  tych  pun ktach .  N iektórzy  autorzy,  n p.  F ran ce  [35], H ulbert  [36], twierdzą ,  że  lepsze  wyniki  uzyskuje  się   stosują c  m etodę  kollokacji  brzegowej z  minimalizacją   sumy  kwadratu  bł ę du  speł nienia  warun ku  brzegowego  w  przyję tych punktach  kollokacji.  Wówczas  liczba  punktów  kollokacji  może  być  wię ksza  od  liczby okreś lanych  współ czynników.  Jeś li  zastosujemy  procedurę   opisaną   wyż ej,  to ukł ad  równ ań P R Z E WO D N O ŚĆ  C I E P LN A  KOM P OZ YTU 365 liniowych  (2)  bę dzie  ukł adem  n adokreś lon yin.  Z akł adają c,  że  suma  kwadratów  bł ę dów speł nienia  warun ku  brzegowego  jest  m inim alna,  otrzymuje  się   ukł ad  równań  liniowych w  postaci  . A T AX=- - A T B,  <  ,  (4) w  którym  liczba  niewiadom ych  jest  równ a  iloś ci  równ ań . W  niniejszej  pracy  stosuje  się   obie  odm iany  metody  kollokacji  brzegowej. 3.  Rezultaty  numeryczne I stotn ym  pun ktem  propon owan ego  algorytm u  jest  wyznaczenie  stacjonarnego  pola tem peratury,  opisywanego  pł askim  równ an iem  Laplace'a,  w  powtarzają cym  się   elemencie ukł adu.  Obecnie  istnieje  wiele  m etod  numerycznego  rozwią zywania  pł askiego  równania Laplace'a.  D o najbardziej  zn an ych należą   m etoda róż nic skoń czonych  i m etoda  elementów skoń czonych.  Stosowana  w  niniejszej  pracy  m etoda  kollokacji  brzegowej,  jak  również pokrewne  jej  m etody,  nazywane  ogólnie  m etodam i  brzegowymi,  są   znacznie  mniej  roz- powszechnione.  P rzed  przystą pieniem  do  rozwią zania  kon kretn ego  zagadnienia  brzego- wego  należy  zdecydować  się   n a  okreś loną   m etodę .  Powstaje  wówczas  pytanie,  która ze  znanych m etod zapewnia  dostateczną   dokł adn ość wyników  przy  minimalnym nakł adzie pracy  kom putera i  przygotowują cego  obliczenia. M etoda róż nic skoń czonych  i  elementów skoń czonych  tracą ,  mię dzy  innym i,  swą   dokł adn oś ć,  jeś li  wystę pują   duże  gradienty  prze- strzenne  poszukiwanych  funkcji.  W  rozważ anym  problem ie,  dla  niektórych  wartoś ci JF i E,  istnieją   duże gradienty  tem peratury, co ilustruje  przykł adowe pole tem peratury podan e n a  rys.  7.  Jak  wynika  z  tego  rysun ku,  przy  odpowiednio  duż ych  wartoś ciach  F  oraz  dla Rys.  7.  Przykł adowe  pole  temperatury  w  powtarzają cym  się   obszarze  siatki  kwadratowej  dla  E  i F=20 •   0 , 9 5 , wartoś ci  E bliskich  m aksym aln ym ,  w  otoczeniu pu n kt u B  wystę pują   duże gradienty tempe- ratury.  Jest  to jedn a  z  przyczyn,  z  powodu  której  m etoda  kollokacji  brzegowej  wydaje  się bardziej  odpowiednia  do  rozwią zywania  rozważ anych  problemów  brzegowych  od  popu- larnych  m etod  róż n ic  skoń czonych  i  elementów  skoń czonych.  D o  innych  przyczyn  należy 3(56 J.  K O Ł O D Z I E J zaliczyć  znacznie niż szy  wymiar  ukł adu  równ ań liniowych, jaki  należy  rozwią zywać  nume- rycznie  przy  stosowaniu  m etody  kollokacji  brzegowej. W  proponowanej  metodzie  rozwią zywania  zagadnień  brzegowych  warunki  brzegowe n a  czę ś ci  brzegu  rozważ anego  obszaru  został y speł nione w  sposób  przybliż ony.  Speł nia się je  ś ciś le  tylko  w  skoń czonej  liczbie  2M  pun któw  lub  minimalizuje  się   sumę   kwadratu bł ę du  speł nienia  warunku  w  skoń czonej  liczbie  2M  pun któw. Intuicyjnie  może  się   wydawać,  że  zwię kszając  liczbę   pun któw  kollokacji  zwię kszamy dokł adność  speł nienia warunków  brzegowych,  a  tym  samym  dokł adn ość otrzymywanych rezultatów.  Eksperymenty  numeryczne  nie  potwierdzają   jedn ak  w  peł ni  takiego  przy- puszczenia.  Okazuje  się ,  że  liczba  punktów  kollokacji  n ie  musi  być  duż a,  aby  uzyskać odpowiednio  mał y  maksymalny  bł ą d  speł nienia warunku  brzegowego  pomię dzy pun ktam i kollokacji.  Sytuację   tę   ilustrują   rys.  8,  gdzie  podan o  wykresy  bł ę du  speł nienia  warunku brzegowego  na  brzegach  powtarzają cego  się   obszaru  siatki  kwadratowej.  Widzimy,  że już przy  kilku  punktach  kollokacji  maksymalny  bł ą d  jest  mał y. - 0.16  - Rys. 8. a) Przykł adowy  bł ą d speł nienia warunku  brzegowego  T u =  0 w powtarzają cym  się  obszarze siatki kwadratowej;  linia  cią gła  przy  czystej  kollokacji,  linia  przerywana  dla kollokacji  z  minimalizacją   sumy kwadratu  bł ę du  w  punktach  kollokacji.  b) Przykł adowy  bł ą d  speł nienia  warunku  brzegowego  —— = By =   tg6 =  0 w  powtarzają cym  się   elemencie  siatki  kwadratowej;  linia  cią gła  dla kollokacji  czystej,  linia przerywana  dla  kollokacji  z  minimalizacją   sumy  kwadratu  bł ę du  w  punktach  kollokacji Z  drugiej  strony  powię kszanie  liczby  pun któw  kollokacji  prowadzi  w  koń cu  do zł ego uwarunkowania  ukł adu  równań  (2).  Zwią zane  to jest  z  faktem,  że  zgę szczanie  pun któw kollokacji  powoduje,  iż  są siadują ce  z  sobą   równ an ia  w  ukł adzie  (2), wynikają ce  ze  speł - nienia  warunku  brzegowego  w  są siadują cych  pun ktach  kollokacji,  niewiele  róż nią   się od  siebie.  Sytuację   utraty  dokł adnoś ci otrzymywanych  rezultatów  wskutek  zł ego uwarun- PRZEWOD N OŚĆ  CIEPLNA KOMPOZYTU Tablica  4.  Wpływ iloś ci punktów  kollokacji  N  na poprzeczną   efektywną   przewodność cieplną   oraz  uwarunkowanie  ukł adu  dla  E =  0,1,  F  =  0,1  dla  siatki  kwadratowej 367 Wymiar  ukł adu liniowego 3 5 7 9 11 13 15 17  i 0,98375 0,98374 0,98374 0,98374 0,98374 0,98374 0,98374 - 0,92409 / } ~  10 ~ 1 0 2 ~  102 ~  103 ~  10* ~ 1 0 s ~   1 0 7  'i • o*  10 8 kowania  ukł adu  liniowego  ilustruje  t ab.  4.  Jako  m iarę   uwarunkowania  przyję to  „N   — warunkują cą   liczbę   macierzy  A"  dan ą   wzorem  {[37],  str.  222}: 1 sdzie 2M 2M  2JW (5) (6) 0,8 Rys.  9.  Wartoś ci  poprzecznej  efektywnej  przewodnoś ci  cieplnej  X ±   w  funkcji  udział u  obję toś ciowego wł ókien dla trzech sposobów  uł oż enia wł ókien:  wg siatki trójką tnej,  wg siatki kwadratowej, wg  siatki  sześ cioką tnej 368 J.  KOŁOD ZIEJ W  przedstawionym  w  tab.  4  przykł adzie  wyniki  są   stabilne  począ wszy  od  pię ciu  punk- tów  kollokacji,  jedn ak  przy  siedemnastu  punktach  kollokacji  przestają   być  sensowne wskutek  zł ego  uwarunkowania  ukł adu  liniowego. N a  rys.  9. został y przedstawione wartoś ci  poprzecznej efektywnej  przewodnoś ci  cieplnej w  funkcji  udział u  obję toś ciowego  wł ókien  dla  trzech  typów  siatek.  Z  rysunku  wynika, że dla  mał ych udział ów  obję toś ciowych  wł ókien ich uł oż enie nie m a  wpł ywu  n a  efektywną przewodność  cieplną .  Jedn ak  dla  udział ów  obję toś ciowych  bliskich  maksymalnym  sposób uł oż enia  wł ókien  m a  istotny  wpł yw  n a  przewodność  cieplną .  Stosunek  przewodnoś ci cieplnej  prę tów  i  osnowy  m a  również  istotny  wpł yw  n a  efektywną   przewodność  cieplną przy  duż ych  udział ach  obję toś ciowych  wł ókien. N a  rys.  10  porówn an o  wartoś ci  poprzecznej  efektywnej  przewodnoś ci  cieplnej  otrzy- m an e w niniejszej  pracy z wynikami  innych autorów. N a uwagę   zasł uguje  fakt,  że dla  siatki kwadratowej  i  trójką tnej  wyniki  proponowanej  metody  są   zgodne  z  wynikami  innych autorów. Wyją tkiem  jest tutaj  wzór  empiryczny  podan y w  pracy  [6], jedn ak  w  konfrontacji z  innymi  wynikami  doś wiadczalnymi  [4- 5]  nie  budzi  on  zaufania. Rys.  10. Wartoś ci  poprzecznej  efektywnej  przewodnoś ci  cieplnej  Ax  wg  róż nych  autorów  dla F  =>  10: 1  — wzór  (1) dla X u ,2  — górna granica  [10], 3 —r losowe uł oż enie wł ókien  [15], 4 — siatka  kwadratowa  — wyniki  proponowanego  modelu  oraz  [7,8,22],  5 — siatka  trójką tna — wyniki  proponowanego  modelu oraz  [7,22],  6 — siatka  sześ cioką tna  — wyniki  proponowanego  modelu,  7 — siatka  kwadratowa — wzór empiryczny  [6], 8 — dolna  granica  [10] PRZEWOD N OŚĆ  CIEPLNA  KOMPOZYTU   369 D OD ATEK  A.  WYZN ACZEN IE  OBCIĘ TYCH   SZEREG ÓW  F U N KC JI  PRÓBN YCH D LA  SIATKI  KWAD RATOWEJ Rozważ my  powtarzają cy  się  obszar  siatki  kwadratowej.  Obszar  ten  został  podzielony na  dwa  elementy  w  sposób  pokazany  n a rys.  lb, gdzie  również  podano  sformuł owanie problemu  brzegowego.  Celem  otrzymania  obcię tych  szeregów  funkcji  próbnych  dla  tych elementów  weź my  pod  uwagę  ogólne  rozwią zanie  dwuwymiarowego  równania  Laplace'a w  biegunowym  ukł adzie  współ rzę dnych  (R, d)  odpowiednio  w  elemencie  I [0 +  A I 2 dlnR+A I 3 lnR+ r)m\ oraz  w  elemencie I I T a   =   Al1+A[J  O+Ai'  0\ nR+A' 3 I \ nR+ '/ l'},  (A2) gdzie  AQ, A{, .... El, A",  A[J,  ..., E'„'  są  stał ymi,  które  należy  wyznaczyć  z  warunków brzegowych. Z  warunków  —^ J-   =  —£ -   =  0  dla  6 =  0  wynika, że do co  > < t  • A\   =  A\ l  -   Ą  m A$  =  0  (A3) oraz Di  =  EH  = D"  *  El1  =  0  dla  n -   1, 2, ...  ,  (A4) U wzglę dniając  warunki  T r   — T n   =  1 dla  0 —  - y  otrzymujemy =   1  (A5) oraz  że dopuszczalne  są  nastę pują ce  wartoś ci n =   1, 3, 5,  ...  (A6) Z  uwagi  na fakt,  że T r   musi  być ograniczone  dla R =  0,  otrzymujemy ,  Al  = Cl*Q  dla  n =   1, 2, ...  (A7) Jeś li  uwzglę dnimy  otrzymane  wyniki  w (Al)  i  (A2), otrzymamy  nastę pują ce  równania n a  rozkł ad  temperatury  odpowiednio  w I i I I elemencie (A8) oraz 0 0 T n =  l+ ^ 'ln jR +   Y  (BitR^ - v  + Ck 1 R- l2K- ly)cos[(2K- l)6].  (A9) j s r = i  ••   •   ,  » • . . . • • U wzglę dniając  warunki  brzegowe  n a granicy  elementów  powtarzają cego  się obszaru (na granicy  prę ta i osnowy),  tj.  T t   — T u   oraz h~~  -   - Ł - -̂  przy  R  =  E  otrzymujemy ÓR  ÓR 2  M ech.  T eoret .  i  Stos.  3- 4/ 85 370  J.  KOŁOD ZIEJ =   0,  (A10) =  B' K ~(1  + F),  (All) Ą ^ - \   (A12) P o  podstawieniu  (A10 -  A12)  do  (A8)  i  (A9)  oraz  wprowadzają c  oznaczenie  B* K   =   X K i  obcinają c  nieskoń czone  szeregi  do 2M pierwszych  wyrazów  otrzymujemy  poszukiwane szeregi  obcię tych  funkcji  próbnych  dla siatki  kwadratowej  odpowiednio w elemencie I IM T , =   1 +  2  XKW - ^ OSHIK-  1)6)  (A13) oraz  w elemencie  I I (A14) gdzie X K  są  stał ymi  do  wyznaczenia  z niewykorzystanych  jeszcze  warunków  brzegowych (do  wyznaczenia  metodą   kollokacji). W  podobny  sposób  otrzymujemy  pozostał e  obcię te  szeregi  funkcji  próbn ych  podane w  tab.  1, biorą c  pod  uwagę   ogólne  rozwią zania  w postaci  ( Al)  w każ dym  z elementów i  odpowiednio je upraszczają c  dzię ki  wykorzystaniu  warunków  brzegowych  n a brzegach zaznaczonych  liniami  cią gł ymi. D OD ATEK  B. WYZN ACZEN IE  M ACIERZY  U KŁAD U   I  WEKTORA  WYRAZÓW  WOLN YCH W  U KŁAD ZIE  RÓWN AŃ   (2) D LA SIATKI  KWAD RATOWEJ W  obcię tych  szeregach  funkcji  próbnych  (A13) i  (A14)  opisują cych  pole  temperatury w  powtarzają cym  się  obszarze  siatki  kwadratowej  wystę puje  2M nieznanych  współ czyn- ników X lt X 2 ,  • • .,X 2 M,  do  wyznaczenia  których  dysponujemy  nastę pują cymi  warunkami brzegowymi: T U "  0  dla  X=  1,  (Bl) =   0  dla  7 = 1 .  (B2) (B3) n Po  podstawieniu  (A14)  do  (Bl)  i  (B2)  i po  skorzystaniu  ze wzoru 3T dY  8R  •   '  R  86 otrzymujemy 2M m ) K- l ą   Y*- **.  A^»y*.  )  *  /• **•   SH1|_.Z\ ./ C \ - \  | ; 1 =   0d la  R  =  - ^ - c.  (B5) P RZ EWOD N OŚĆ  CIEPLN A  KOMPOZYTU   371 Z akł adają c,  że  warun ki  brzegowe  speł niamy  w  przyję tych  pun ktach  kollokacji,  których współ rzę dne  został y  podan e n a rys. 6;  po skorzystaniu  z  (B4)  i  (B5)  otrzymujemy  nastę- pują cą  postać  macierzy  u kł adu  i  wektora  wyrazów  wolnych  w  ukł adzie  równ ań  (2)  dla siatki  kwadratowej [ £ ( 4./ - 2)  1( l+ F ) J?l( J) ( 2 J~ 1> +  ( l - /; ' ) - D 1  / Tw,,_rr  • eos[(2J- l)ri(i)L  (B6) 7 =   1, 2, . . . ,  2M  =   2J V- 1, A,j  m  (27- 1) {(1 +F)£2(KY2J- 2>'  sin [2(7-  l)T 2(K)] + +   < 1—JP ) - § T P ^ 7-  sin [27 •  T2(JE)]}  (B7) I=N +K, J  =   l , 2 , . . . , 2 M   =   2 i V- l> B(I)  =   - 2  dla  7 =   1, 2,  ...,JV 5 ( 7 )  =  0  . d l a  1=  N +K,  K=  1,2,...,N - l. D OD ATEK  C.  OBLI C Z EN I E  D LA  Aj_  SI ATKI  KWAD RATOWEJ Dla  siatki  kwadratowej  we  wzorze  (3)  mamy  (patrz  rys.  lb) i =   1  i  z l r =   1.  (Cl) Cał kowitą  ilość  ciepł a przewodzoną  przez  powtarzają cy  się obszar  kompozytu  w  tym przypadku  obliczamy  ze  wzoru U wzglę dniając  wzory  (A13) i (A14)  przy  obliczaniu  - -̂  i —^ -   po  dokonaniu cał kowania cv  oo i  pewnych  przekształ ceń  otrzymujemy  ̂ hihi (C3) Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  G . K.  BATCH ELOR,  T ransport properties  of  two- phase materials  with  random structure, A.  Rev.  F luid M ech.,  vol.  6,  p p . 227 -  255,  1974. 2.  J. C .  M AXWELL,  A  treatise  on  electricity  and  magnetism,  Oxford  U niv.  P ress.,  pp.  435- 441,  1904 2 * i 372  J.  KOŁOD ZIEJ 3.  Lord  RAYLEIG H,  On the influence  of  obstacles  arranged  in rectangular  order itponjhe  properties of  a medium, Phil.  M ag., vol. 43, pp. 481 -  502, 1982. 4.  M. M. Z.  KHARADLY,  W.  JACKSON,  Instn.  elect.  Engrs,  vol.  100.  pp.  199 -  212,  1952. 5.  J. D . TH ORN BU RG , C.  D .  PEARS, Prediction of the T hermal Conductivity of Filled and Reinforced Plastics, ASME  Paper  65- WA/ HT- 4, 1965. 6.  D . M .  KARPIN OS,  V. S.  KLIMEN KO, V. H . KADYROW,  T ransport properties  in fibre  reinforced aluminium matrices, H igh  Temperatures — H igh  Pressures,  vol.  5,  n o  1,  pp.  13- 17,  1973. 7.  W. T. PERRIN S, R. C.  MCPH ED RAN ,  D . R.  McKenzie, Optical properties  of  dense regular cermets  with relevance  to  selective  solar absorbers,  Thin  Solid  F ilms, 57. n o . 2, pp. 321 -  326, 1979. 8.  P. FU RMAŃ SKI, W.  G OG ÓŁ, Badanie  ustalonego przewodzenia  ciepł a  w dwuwymiarowym  modelu  kompo- zytu  z  symetrycznie rozmieszczonymi wł óknami o  przekroju  koł owym,  Archiwum  Termodynamiki, vol.  1, nr.  1, str.  63 -  80, 1980. 9.  P.  FURMAŃ SKI,  W.  G OG ÓŁ,  W yznaczenie  ograniczeń  efektywnej przewodnoś ci cieplnej  kompozytów. Archiwum  Termodynamiki,  vol.  2, nr  3- 4,  str. 255- 278, 1981. 10.  Z. H ASH IN ,  S.  SHTRIKMAN,  A  Variational  Approach  to  the T heory of  Effective Magnetic  Permeability of  Multiphase  Materials, Journal  of  Applied  Physics,  vol.  33, n o. 10,  D D .  3125 -  3130,  1962. 11.  W. F .  BROWN ,  Dielectric constants,  permeabilities  and conductivities  of  random media, Transcations of  the  Society  of  Rheology,  vol.  9,  part  1,  pp.  357- 380,  1965. 12.  M. J.  BERAN,  N . R.  SILMUTZER,  Effective  Electrical,  T hermal and Magnetic Properties  of  Fiber  Rein- forced  Materials, Jour.  Composite  M aterials,  vol.  5,  n o. 3,  pp.  246- 249, 1971. 13.  J. J.  M C C OY,  Bounds  on  the transverse  effective conductivity  of  computer- generated fiber composites, J.  Appl.  Mech., vol. 49, n o. 2,  pp. 319 -  326,  1982. 14.  G . S.  SPRIN G ER,  S. W.  TSAI,  T hermal Conductivities  of  Unidirectional  Materials,  Jour.  Composite Materials,  vol.  1,  no. 2,  pp. 166- 173,  1967. 15.  W. E. A. DAVIES,  T he dielectric  constant  of fibre  composites,  Jour, of Physics D :  Applied Physics, vol. 7,  n o. 1, pp. 120- 130,  1974.  ' 16.  Z. H ASH IN ,  T heory of fiber- reinforced materials,  N ASA  CR- 1974,  1972 (na podstawie cytowania  przez R. M.  Christensen:  Mechanics of  composite materials,  John  Wiley & Sons,  N ew  York- Chichester- Brisbane- Toronto). 17.  J. B.  KELLER,  Conductivity  of  a  Medium Containing  a Dense Array  of  Perfectly  Conducting  Spheres or  Cylinders  or N onconducting  Cylinders,  Jour.  Appl.  Phys.,  vol.  34, n o . 3, pp. 991 - 993, 1963. 18.  H .  KELLER,  D .  SACHS,  Calculations  of  the  conductivity  of  a  medium containing cylindrical  inclusions J.  Appl.  Phys.,  pp. 537 -  538, 1964. 19.  W.  KN APPE,  H . J.  OTT,  G . WAG N ER,  Berechnung  und Messung der  W armeleitfahigkeit  von  glaserver- starkten Kunststoffen,  Kunststoffe,  vol.  68, H . 7, pp. 420  -  426, 1978. 20.  W. T. PERRIN S, D .  R. M C KE N Z I E , R. C. MCPN ED RAM,  T ransport properties of regular arrays of cylinders, Prac.  Roy. Soc. Lond.  A369,  pp. 207 -  225, 1979. 21.  P.  FURMAŃ SKI,  W.  G OG ÓL,  Okreś lenie  efektywnej przewodnoś ci  cieplnej kompozytów  wzmacnianych cią gł ymi wł óknami o przekroju koł owym, Archiwum  Termodynamiki,  vol.  1, n r  3- 4,  str.  199  -  209, 1980. 22.  L. S. H AN , A. A. COSNER, Effective T hermal Conductivities of Fibrous Composities,  Jour. H eat  Transfer, n o.  2, pp. 387- 392, 1981. 23.  H .  SEKIN E,  On the effective thermal conductivity  of  composite materials with periodically  spaced  thin insulators,  Compos. M ater.: Mech., Mech. P rop, and F abr. Jap.- US  Conf., Tokyo  12 - 14 Jan .,  1981, Barking,  1981, pp. 330- 338. 24.  A. S. SAN G AN I, A. ACRIVOS, Slow flow past periodic arrays of cylinders with application to heat transfers, Int.  J.  Multiphase  Flow,  vol.  8, no. 3, pp.  193  -  206,  1982. 25.  J. H .  KELLER,  A  T heorem  on the Conductivity  of  a  Composite  Medium,  Jour.  M athem. Phys., vol. 5, n o.  4,  pp. 548 -  549,  1964. 26.  D . F . ADAMS,  D .  R. D ON ER, T ransverse N ormal L oading of a Unidirectional Composite, Jour.  Composite Materials,  vol.  1, n o. 1,  pp.  152 - 159,  1967. 27.  J. B.  KELLER,  Effective behavior  of  heterogeneous  media,  Statistical  mechanics  and statistical  methods in  theory and applications,  R.  L andman, ed., pp.  631 -  644,  Plenum, N ew York  1977. PRZEWODN OŚĆ  CIEPLNA  KOMPOZYTU   373 28.  D . R.  AXELROD ,  Micromechanics  of  solids, Elsevier  Scientific  Publ., N ew  York  1978. 29.  M. J.  BERAN ,  J. J.  M C C O Y,  Mean field  variation  in random media, Q.  Appl.  M ath. vol.  37, no. 2, pp. 245 -   258,  1970. 30.  I .  BABUSKA,  Homogenization  and its  application.  Mathematical  and computational problems,  N umerical solution  of  partial  differential  equations —  I I I ,  B.  H ubbard,  ed.  Academic  Press,  N ew  York,  pp. 89- 116,  1976. 31.  A.  BENSOUSSAN,  J. L.  LION S, G .  PAPANICOLAOU,  Asymptotic Analisis for  Periodic  Structures,  N orth  — H olland,  Amsterdam  1978. 32.  E.  SAN C H E Z —P ALE N C I A,  N on- homogeneous  Media  and  Vibration T heory, Springer,  Berlin  1980. 33.  P .  JANSSENS,  M. D .  TOLLEY,  On  the  deformation  of  elastic plates, Z . Angew. Phys., vol.  30, no. 2, pp. 234- 242,  1979. 34.  CH EN   YI - Z H OU,  C H EN  YI - H E NG   Solutions  of  the  torsion  probem for  bars with 1  -   C  1-  and  T  — cross- section  by  harmonic  continuation  technique,  I n t. J.  Eng.  Sci., vol.  19,  no. 6,  pp. 791 -  804, 1981. 35.  D . M.  FRAN CE,  Analytical  Solution  to  Steady- State  Heat  Conduction  Problems  with  Irregtilary  Shaped Boundaries, J.  H eat  Transfer,  Tran s.  ASM E,  ser.  C,  vol.  93,  n o.  4,  pp.  449- 454,  1971. 36.  L. E.  H U LBERT,  F . A.  SIMON SEN,  Analisis of  Stresses  in  Shallow  Spherical  Shells  W ith  Periodically Spaced  Holes, Jour,  of  Engng.  for  Industry.  Trans.  ASM E,  ser.  B,  vol.  92,  1970. 37.  B.  KOWALCZYK,  Macierze  i  ich  zastosowania,  WN T,  Warszawa  1976. P  e  3  IO  M  e OITPEJTEJIEHME  I I EP I I EH , ll, H KyjM P H OF l  34> c&EKTH BH 0H K O M n O 3H T O B  YKP E I D I E U H LI X  BOJIOKH AM H   PA3nOJIO> KEH H ŁIM H  B  OflH OM H AI I P ABJI E H H H   M E T O flO M   r P AH H ^ H O H   KOJIJIOKAU H H H a  o c H o se  M eToaa  rpaH uraH oft  KOJinoKairuH   npeflCTaBJieH o  oSiinaM   MeTOff  onpeflejieH H H   n epn eiiflii- 3(t>4)eKTHBHOH   TeriJIOnpOBOflHOCTH   KOMII03HTOB  yKpeiUieHHbEC  BOJIOKHaiWH   pa3nOJIOHKe Ten n on poBoflH ocTŁ  KoiwnoHeHTOB.  H ccJieflyexcn  I M T B  CIIOCO6OB  pacnoJioM cetm a BOH OKOH   B  TpeyroJiBH oftj  KBaflpaTOBoił j  rnecTH yronŁH oftj  KBaflpaToBo- TpeyronbH oft  H oii  ceTKe.  P e3yjibTaxw  B b p r n c n e m i n  od)dieKTHBHofi  TenjionpoBoflH oCTH   cpaBH en o  c t iep e3  Apyr- HMn  aBiopaM H . S u m m a r y D ETERM IN ATION   OF   TH E  TRAN SVERSE  EF F ECTIVE  TH ERM AL  CON D U CTIVITY O F   U N ID IRECTION ALLY F I BR E  ARRAN G ED   COMPOSITES  BY  MEAN S  OF   BOU N D ARY COLLOCATION  M ETH OD The  general  method  of  finding  transverse  effective  thermal conductivity  of  the unidirectionally  fibre arranged  composites  has  been  presented  in  this  paper.  I t  has  been  based  on  the  boundary  collocation method.  The geometry  of  regularly  arranged  fibers  and  thermal conductivity  of  componets are  assumed to  be  known.  F ive  different  patterns  of  lattice  of  fibers  are  considered:  triangular,  square,  hexagonal, square- triangular,  and  octagonal- square. The results  of  calculations  of  effective  thermal conductivity  were juxtaposed  with  results  obtained  by  other  authors. Praca został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  1  lutego 1984 roku