Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z3_4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3 -  4,  23  (1985) P R OBLE M Y  O P T YM AL N E G O  KSZ TAŁ TOWAN I A  WSP O R N I K O WE J  BELKI LE P K O P LAST YC Z N E J  P R Z Y  OBC I Ą Ż E N IU   QU ASI- STATYCZN YM E D WAR D   CEG IELSKI  ( K R AK Ó W)  ,  .,  ; Politechnika  Krakowska 1.  U wagi  wstę pne N agle i  krótkotrwał e  obcią ż enia  powodują   n a  ogół   przekroczenie  noś noś ci  sprę ż ystej elementów  maszyn,  co  dla  wielu  powszechnie  stosowanych  materiał ów  konstrukcyjnych jest  przyczyną   pojawienia  się  odkształ ceń  lepkoplastycznych.  Takie  obcią ż enia  stają  się także  czę sto  przyczyną   zniszczenia  przecią ż onego  elementu.  Optymalizacja  konstrukcji lepkoplastycznych jest jedn ak  tem atyką   m ał o  rozeznaną  w literaturze ś wiatowej.  Powodem tego  są   poważ ne  trudn oś ci  zwią zane  zarówn o z formuł owaniem równań  konstytutywnych, ja k  też skom plikowany  lub czę ś ciej  n iezn an y  charakter  obcią ż enia  impulsowego. Jednymi  z  pierwszych  prac  z  zakresu  optymalizacji  belek  plastycznych  poddanych dział aniu  obcią ż eń  im pulsowych  są   opracowan ia  Ja.  Lellepa  i  Ju. Lepika,  omówione szeroko w pracy  przeglą dowej  [5]. Stosowane  przez  autorów  prawa  fizyczne  nie  obejmują jedn ak  wł asnoś ci  lepkich,  co w praktyce  może  dawać  rozwią zania  obarczone  znacznymi bł ę dami  iloś ciowymi  i  jakoś ciowym i.  Wraż liwość  m ateriał u  n a prę dkość  odkształ ceń uwzglę dnił  Ju. Lepik i Z. M róz  [6, 7]: m ateriał  optymalizowanych  belek  opisywano  prostym równaniem  nieliniowego  tł um ika i  =  D 0 o>,  (1.1) gdzie D o  \ p oznaczają   stał e m ateriał owe. Autorzy  wszystkich wymienionych  prac uwzglę d- niali  też bezwł adność  belek,  stosują c  przy  tym  przybliż oną  metodę   analizy  modalnej, co  znacznie  upraszcza  poszukiwan ie  odpowiednich  rozwią zań. N ajczę ś ciej  stosowanym  obcią ż eniem  był  m odaln y  „ prostoką tn y"  (schodkowy)  impuls sił   zewnę trznych.  K rótkotrwał e  obcią ż enia  rzeczywistych  konstrukcji  bardzo  rzadko  dają się   opisać  tego  typu  aproksymacją ,  jedn ak  zastosowanie  innych  program ów  obcią ż eń wią że  się  n a ogół   z  dodatkowym i  trudn oś ciam i. P rawo  (1.1) bywa  stosowan e  również do  opisu wł asnoś ci materiał ów lepkoplastycznych; taki  opis  konieczny jest  czę sto  w  tych przypadkach,  gdy  rozgraniczenie procesów  czynnych i  biernych  może uniemoż liwiać  dochodzen ie do  rozwią zań  ś cisł ych. Pewną   metodę   wyzna- czania  współ czynników  D Q   o raz  p  podaje  P .  Symonds [9]. Celem prezentowanej  pracy  był o  zbadan ie  wpł ywu  wielu  róż nych czynników  n a  proces optymalizacji  rozważ anej  belki.  Okreś lano mię dzy innymi wpł yw param etrów  definiują cych potę gową   funkcję   nadwyż kową   w  równ an iu  fizycznym,  a  także  wpł yw  nieliniowoś ci 382  E.  CEG IELSKI i  asymetrii  zdefiniowanego  póź niej  program u  obcią ż enia  0  =   0(t).  R ozważ ono  przy tym  dwa  róż ne  kryteria  optymalizacji  w  uję ciu  dualnym .  Liczne  trudn oś ci  zwią zane z  optymalizacją   konstrukcji  lepkoplastycznych  podyktowan e  mogą   być  także  niedosta- teczną   zgodnoś cią   istnieją cych  propozycji  opisu  prawa  fizycznego  z  odpowiednimi  wyni- kami  badań  doś wiadczalnych.  Z  tych  wzglę dów  poż ą dane  jest  zbadanie,  ja k  wpł ywa przyję ta  aproksymacja  równania  konstytutywnego  n a  wynik  optymalizacji. Zastosowanie  ś cisł ego  równania  fizycznego  (niejednorodnego)  m ateriał u  sprę ź ysto- lepkoplastycznego  zamiast  jednorodnego  prawa  (1.1)  oraz  poszukiwanie  ś cisł ych,  a  nie modalnych  form  deformacji  komplikuje  znacznie  postawiony  problem .  Z  tych  wzglę dów w  dalszej  czę ś ci  pracy  przyję to  liczne  zał oż enia  upraszczają ce.  P rzede  wszystkim  ograni- czono  się   do  analizy  izostatycznej  belki  w jednoosiowym  stanie  n aprę ż en ia; w  ten  sposób uniknię to  trudnoś ci  zwią zanych  ze  zł oż oną   formą   i  sł abszą   weryfikacją   doś wiadczalną równań  konstytutywnych  w  przypadku  ogólnym.  P om inię to  także  oddział ywanie  sił masowych,  rozważ ając  jedynie  procesy  quasi- statyczne. Z ał oż enia te ograniczają   wprawdzie poważ nie  klasę   analizowanych  problemów, jedn ak  tak  proste  uję cie  umoż liwia  znalezienie wielu  efektywnych  rozwią zań  ś cisł ych  przy  zastosowaniu  klasycznych  m etod  rachunku wariacyjnego. 2.  Sformuł owanie  problemu W  pracy  rozważ ono jedynie  optymalizację   kształ tu wspornikowej,  idealnie  dwuteowej belki  poddanej  dział aniu zmiennego  w  czasie  obcią ż enia  zewnę trznego.  Z akł ada  się   przy tym,  że  obcią ż enie  zmienia  się   n a  tyle  powoli,  iż  sł uszne jest  podejś cie  quasi- statyczne; w  szczególnoś ci  zał oż enie to  obejmuje  obcią ż enia  dł ugotrwał e. Równolegle  prowadzone są   prace  w  zakresie  numerycznej  optymalizacji  konstrukcji  lepkoplastycznych  przy  obcią - ż eniu  dynamicznym  [2, 3,  4]. Z adanie  rozwią zano  w  nastę pują cym  sformuł owaniu: a)  kryterium  optymalizacji:  minimum  obję toś ci,  ,  . . - . ,. b)  ograniczenia: 1)  typu  energetycznego —  zadan a  cał kowita  energia  rozproszon a, 2)  typu  sztywnoś ciowego  —  zadane  przemieszczenie  m aksym aln e, c)  uję cie:  dualne —  minimalizacji  podlega  ograniczenie  przy  ustalonej  obję toś ci, d)  zmienna decyzyjna:  funkcja  przekroju  A(X);  n p. szerokość  B(X)  przy  stał ej  gruboś ci pół ki  H a   (rys.  1), e)  równanie  stan u:  addytywne  równanie  m ateriał u  sprę ż ysto- lepkoplastycznego (P . Perzyna  [8]) o potę gowej  funkcji  nadwyż kowej,  które dla dodatn ich n aprę ż eń zapiszemy w  postaci gdzie  symbol    oznacza    =   0  dla    = /   dla  a  >  a0. I n n e  moż liwe  kryteria  optymalizacji  lepkoplastycznych  elementów  konstrukcyjnych omówił   M .  Ż yczkowski  [10];  podział   i  systematyzację   odpowiednich  kryteriów  autor rozważ ył   w  wygodniejszym  uję ciu  dualnym.  ••   ,; K SZ T AŁ T O WAN I E  BE LKI  LE P KOP LASTYC Z N E J 383 Proces  obcią ż ania  i  odcią ż ania  opisywano  modalnym  programem  dział ają cych  sił zewnę trznych  [5] P(X,  T )  m  P 1 (X)P 2 (T ),  (2.2) gdzie:  P y (X)—  funkcja  opisują ca  przestrzenny  rozkł ad  obcią ż eń,  P 2 (X)  —  dowolna funkcja  czasu  nazwana  dalej  „ program em  obcią ż enia".  Pomijają c  sił y  masowe  oraz mają c  n a  uwadze  jedynie  belki  statycznie  wyznaczalne,  cał kowity  moment  zginają cy w  przekroju  belki  zapisać  moż na  wtedy  w  postaci: M(X,  T )  =   M 0 {X)Q(T ), (2. 3) _L Ho  Y/ / / / At H n - 2H Rys.  1. gdzie  6(T )  =   P 2 (T ).  D alej  przyjmować  bę dziemy,  iż funkcja  M 0 (X)  jest  dodatnia na  cał ej dł ugoś ci  rozważ anej  belki;  w  takim  przypadku  maksymalne  ugię cie  resztkowe  wystą pi zawsze  n a  koń cu  belki. F unkcję   czasu  6(T )  opisywano  zależ noś cią   potę gową B(T )  =   - 0 i o T z- T t dla dla dla (2.4) T < 0  lub  T >  T 2 gdzie  n —  dowolny  dodatni  wykł adnik  potę gowy.  Parametry 0 u T t ,  T 2   opisują ce  funkcję 6(T )  zaznaczono  n a  rys.  2,  n a  którym  przedstawiono  przebiegi  tej  funkcji  dla  róż nych wartoś ci  wykł adnika  n. 7 k Rys.  2. 384  E .  C E G I E LSK I Wielkoś ci  bezwymiarowe  wprowadzimy  nastę pują co: x  — —  t  = - —-  — zmienne  niezależ ne, (2.5) • • a  W s =   — ,  k = KL ,  w—.- =.  zmienne  stan u, 0 O   L A  , . - . ' •   • • ••   ' a  =  —  zmienna  sterowan ia, "so M  0 sO M o   „   0  funkcja  m om entu  zginają cego  oraz  jej m  =   M ^ '  m°  "  ~M^ T '  T ^ ~  funkcje  składowe, TT h  ~ - j  stał a  wysokość  belki, gdzie L   — cał kowita  dł ugość  belki, K=  K{X, T )~   krzywizna  osi  oboję tnej, W   — W (X,  T ) —  przemieszczenie  pionowe, A. = A{X)—przekrój  poprzeczny, ^io  =  ^s(0) ~   przekrój  belki  równomiernej  wytrzymał oś ci  (o zadanej  obję toś ci) w  miejscu  utwierdzenia, M SQ   — M S (Q) =   ff„A s0 H—moment  zginają cy  odpowiadają cy  noś noś ci  sprę ż ystej przekroju  belki  równomiernej  wytrzymał oś ci  w  miejs- cu  utwierdzenia, 0iO — wartość  funkcji  czasu  0( 7)  odpowiadają ca  pierwszemu  uplastycz- nieniu  belki  równomiernej  wytrzymał oś ci. Belką   równomiernej  wytrzymał oś ci  nazwano  t u umownie  kształ t  belki  równomiernej wytrzymał oś ci  w  zakresie  sprę ż ystym?  n atom iast  indeksem  „ s "  oznaczono  wielkoś ci zdefiniowane  dla takiej  wł aś nie  belki. W  dalszych  obliczeniach  ograniczono  się  do rozważ ania  mał ych  przemieszczeń  i  od- kształ ceń;  zakł adano  także  sł uszność  hipotezy  pł askich  przekrojów  oraz  analizowano edynie  przypadek  belki  statycznie  wyznaczalnej  (wspornikowej). 3.  Podstawowe równania Przy zał oż eniu ustalonej wysokoś ci  belki h(x)  — const naprę ż enia w jej  pół kach noś nych moż na  okreś lić  prostym  wzorem W  celu  uł atwienia  dalszych  przekształ ceń wygodnie  jest  obliczyć  maksymalne  naprę ż enie (3.1)  wzglę dem  czasu  t.  Oznaczają c  m axj(x)  =  s miX (x)  bę dziemy  mieli a(x)  ' K SZ T AŁ T O WAN I E  BE LKI  LE P KOP LASTYC Z N E J  385 gdzte  # 1 =  # ffl„ x — m aksym aln a  wartość  bezwymiarowej  funkcji  czasu  ft(t)  (rys.  2). Z  powyż szego  zwią zku  wynika  prosta  zależ n oś ć: as(x)  =   m o ( x ) ,  :• • •.  ;  .,  .'.  :  ( 3 . 3 ) gdzie  przez  a, ozn aczon o  bezwymiarową   funkcję   przekroju  belki  równomiernej  wytrzy- malos'ci. U wzglę dniając  przyję ty  ukł ad,  wielkoś ci  bezwymiarowych  (2.5).  oraz - i dodatkowo zależ ność  (3.3),  warun ek  stał ej  obję toś ci  zapiszemy  w  postaci ;  \   '  •   V . ja(x)dx  =  /   m o (x)dx.  (3.4) 0   .   0   •   .   ;. F unkcję   ugię cia  belki  wspornikowej  w =  w(x,  t)  wyrazimy  cał ką - X  Z  X w(x, t) =   jdzj.k(y,  t)dy  ~$W y,t)(x^ yydy,>  ":•   (3.5) • ; > , •   • • • • :-.  . . . . . • .•   ; . 4  ;  •   . ; , ! • :•   0  •   • ••   0  . • • • . ; ..  ;  .  i  j , | f t -   „ • „  ; . ' , V ( - i ;  •   . . ' - i  •   , ; i  : • • : : • • " : ' • .-   t gdzie fc(x, i) jest  krzywizną   dają cą   się  wyrazić  jedn orodn ą   zależ noś cią   n a  cał ej  dł ugoś ci belki  0 < x  «S  1.  " W  najbardziej  ogólnym  przypadku  deformacji  belki  iiależy  uwzglę dnić  n a  przemian wystę pują ce  strefy,  w  których  krzywizna  k(x, t)  opisywana  bę dzie  róż nymi  wzorami (n p.  strefy  odkształ ceń  sprę ż ystych,  plastycznych,  resztkowych)' i  wtedy J  *t wj(x,  t) =  ̂   f  '*hi  i)(x- y)dy,  (3.6) : ; : • : • * < .  ,  ;  - , : ; r ,  • „ , • • • ,  .  . , , ( • - .  . . - . . . . ' - P  x j - i  , • „ • . .  . !:•  - . . , : , . : • . • .•   ; :  • • . • , • „ . ; • . '•  • ; - ; • - -;  .  - , /   .  • • •• g d z i e  , ;• • -•   :  • ;,-.  .  ,  . . ;  .-   • • •  ,  •   •   .  u - r . > . : ' • •   • •  •   .'  :  • „ . •   ' . :  •   « " r ,   • . ' • > • . -,  !•   • .•   :.  • „ 7 —  n um er  kolejny  rozważ anej  strefy  liczą c  od strony  utwierdzenia,: Xj  -   x — współ rzę dna  bież ą ca  w  miejscu  obliczanego  przemieszczenia, • '• :'  i  •   * b - 0 .  . . - .•   :  :  •   •   •   .  - • ;  i W  p r z yp a d k u  z a st o so wa n i a  a d d yt ywn e go  p r a wa  fizyc zn ego  (2.1)  krzywizn ę   reszt ko wą r o z wa ż a n ej  be lki  izo st a t yc zn e j  k r (x)  o b lic zym y  z  c a ł ki  '  • •.  , • •   •   :- '. (3. 7) gdzie  granice  cał kowania  i a ,  t b   oznaczają   odpowiednio  czas  rozpoczę cia  i  zakoń czenia procesu  pł ynię cia  w  rozważ anym  przekroju.  Znają c  program  obcią ż enia  wielkoś ci  te m oż na  obliczyć  z  warun ku  s(x) =  1, ską d  .  •   i  • >• > 3  M t c h .  T eoret.  i  Stos.  3- 4/ 85 386  E.  CEG IELSKI 4.  Warunek  optymalnoś ci Cał kowitą  energię  rozproszoną  lub  przemieszczenie  resztkowe  koń ca  belki  moż na zapisać  w  postaci  funkcjonał u J(x,a)*=ftp(.x,d)dx,  (4.1) o gdzie  dla  bezwymiarowo  okreś lonej  energii  rozproszonej  bę dzie V -   f  m(x, t) k°'(*' $  it,  (4.2) '« natomiast  dla maksymalnego  przemieszczenia  resztkowego  belki  wspornikowej  podsta- wiając  do  (3.6)  Xj =  1 mamy  '  .  i  • Vmk&,a)(l- x),  (4.3) gdzie  k, — krzywizna  resztkowa  (po  czasie  t ̂  / 2 ) . Okreś lona przez (4.2) lub  (4.3) funkcja  y> może być przedział ami równa zeru lub wię ksza od  zera  w  zależ noś ci  od tego,  czy doszł o  do uplastycznienia  w okreś lonym  przekroju, czy  też  nie. W  dowolnej  strefie  nieuplastycznionej  (k,  m 0) m aksym aln e  naprę ż enie  s m „(x)  (3.2) musi  być  mniejsze  lub  równe  granicy  plastycznoś ci.  N ajbardziej  optym alny  przekrój w  takiej  strefie  otrzymamy,  ż ą dają c,  aby  naprę ż enie  to  był o ja k  najwię ksze,  czyli aby speł niony  był   warunek  s mn (x)  ~  1,  skąd a  =  a o p t ( x) -   *i?n o ( x) .  (4.4) Przekroje  optymalne  stref  odkształ conych  plastycznie  {k, >  0) obliczymy  z równania Eulera- Lagrange'a  przy  warunku  pobocznym  (3.4). Wprowadzając  mnoż nik  Lagrange'a i otrzymujemy  funkcjonał   w  postaci f  (4.5a) lub  z podział em n a strefy  analogicznie  do  (3.6) j  Xl *=£•   f'W i{x,«d + W dx,  (4.5b) 1 =  1 v,_, gdzie  A'O =  0, xj  =   1. W ogólnym  przypadku  jest  to więc  zagadnienie  wariacyjne  z rucho- mymi  koń cami,  przy  czym  należy  pam ię tać,  że dla strefy  nie odkształ conej  plastycznie przekrój  optymalny  okreś la  (4.4), a krzywizna  resztkowa  takiej  strefy  k, =  0.  Rozpisując wariację  funkcjonał u  (4.5b)  otrzymamy  , / + l  warunków  transwersalnoś ci,  które  należy speł nić  dla każ dej  współ rzę dnej  granicznej x t ?>((*,a() + M -  iPi+i{x,ai+1)  + ?,ai+1 dla  x = x,. (4.6) Zakł adają c  dodatkowo  cią gł ość  funkcji  m om en tu  zginają cego  m o (x)  m oż na  pokazać, że  warunek  (4.6)  jest  speł niony  w przypadku  cią gł oś ci  przekroju a- (x ( )  -   a+(x,).  (4- 7) K SZ T AŁ T O WAN I E  BE LK I  LE P KOP LASTYC Z N E J  387 N a  przykł adzie  wykonanych  w  dalszej  czę ś ci  pracy  obliczeń  pokaż emy,  iż  funkcjonał (4.5b)  uwzglę dniają cy  podział  belki  n a  strefy  odkształ cone i  nie  odkształ cone plastycznie należy  rozważ ać jedynie  w  tym  przypadku,  gdy  przy  obliczeniach  funkcji  y  nie narzucono dodatkowego  ograniczenia  w  postaci s ma jx)  >  i.  (4.8) Warunek  (4.8)  może być  nie  speł niony n p. w  przypadku,  gdy  czasy  graniczne  /„  i t b ,  (3.8), we  wzorach  (4.2)  i  (4.3)  nie  zostaną   wyznaczone  ze  zwią zku  s  =  1,  lecz  bę dą   okreś lone z  innych  zależ noś ci  (n p. przypadek  prostoką tnego  program u  obcią ż enia  B(T ) daje  t a   =   0, /* -   1). F unkcjonał   (4.5b)  należy  uzupeł nić wtedy  o  dodatkowe  ograniczenie  (4.8).  W  pozo- stał ych  przypadkach  m oż na  rozważ ać  funkcjonał (4.9) gdzie  f(x,  a)  wyraża  się   jedn orodn ą   zależ noś cią   dla  cał ego  przedział u  0  <  x  ^  1. 5.  Rozwią zania  szczegół owe 5.1.  Minimalizacja  całkowitej  energii  rozproszonej.  Poszukują c  kształ tu  optymalnego  belki, dla  którego  energia  dysypowana  w  trakcie  pł ynię cia lepkoplastycznego  przyjmuje  wartość minimalną ,  zał oż ymy  wstę pnie,  iż  przył oż enie  maksymalnego  obcią ż enia  spowoduje uplastycznienie  cał ej  belki,  czyli  że  speł niony jest  warunek  (4.8)  dla  każ dego  0  ^  x  <  1. Prawdziwość  tego  zał oż enia m oż na póź niej  ł atwo sprawdzić  dla  rozwią zania  optymalnego o  =  tfoPt(*). F unkcję   y>  we  wzorze  n a  energię   rozproszoną   (4.1)  zapiszemy  w  postaci: y>(x, a) =  222-   f  &{t)e»dt,  (5.1) gdzie  ą ".'  =   e "' ( ó - l)  jest  dowolną   funkcją   nadwyż kową   prawa  fizycznego  (2.1). G ranice cał kowania  t„ i  t b ,  (3.8),  oraz  naprę ż enie  s(x,  t),  (3.1),  są   funkcjami  argumentu  .  . , z  czego  wynika,  że  cał kowanie  (5.1)  daje: (5.2) F unkcjonał   (4.9)  m oż na  wię c  także  uzależ nić  od  argumentu  —- ~- • • < • • • •  •   :  ,  m°\ x) o Wprowadzają c  dodatkowo  oznaczenie • •   . ;  ; • 3 8 8  - :• :•.  • • •   E . ' C E G I E L S K I  • ;• •-   . . równanie  Eulera- Lagrange'a  dla  (5.3)  zapiszemy  w  postaci \ m 0 Wykonują c1  przepisane  róż niczkowanie  otrzymujemy J J _ a ł   J3  =   c ó ns t ( x ) .  • "  •   •   '• • • ••   • ' ( 5 . 6) (x)  ; Jedyną   funkcją   a(x)  speł niają cą   jednocześ nie  (5.6)  oraz  warun ek  stał ej  obję toś ci  (3.4) jest a  «  asp t (x)  ==  "mófcy,  ••   (5.7) a  wię c  funkcja  opisują ca  kształ t  przekroju  belki  równom iernej  wytrzymał oś ci. feelka  równomiernej  wytrzymał oś ci  (5.7)  zostaje  uplastyczniona  zawsze  jednocześ nie na  cał ej  jej  dł ugoś ci,  niezależ nie  od  postaci  funkcji  czasu  .0(7),  (2.4),  z  czego  wynika,  że warunek  (4.8)  jest  speł niony  dla  każ dego  0  <  x  <  1. 5.2.  Minimalizacja  maksymalnego  przemieszczenia  resztkowego.  Optym alnych  funkcji  kształ tu a  =  floptC*0 przy  kryterium  minimalnego  przemieszczenia  resztkowego  koń ca  belki  po- szukiwać  bę dziemy  dla  trzech  przypadków  liniowoś ci: 1)  liniowy  rozkł ad  momentu  MQ(X),  (2,3);  odpowiadają cy  obcią ż eniu  belki  dowolnie zmienną 'W' czasie  sił ą   skupioną :  m Q   =   1*- k,   '• '• •  '  -•   -  :  .,..- :  • •  '  n\ \ • 2) dwuliniowy  (i,trójką tny")  program  obcią ż enia  6(T ),  .(2.4):  «  ==   1,  , ; . : -   : ; . . i3)  liniowa  funkcja  nadwyż kowa  sap  w  równ an iu  fizycż nyńi  (2i.i):- /»  =   1.  • •   •• Przyjmują c  liniowość  jednej  'z  funkcji  M 0 (X);  6(T )  lub1  k vp(ó~  ir 0 )  bę dziemy pdrio- cześ nie  dopuszczać  nieliniowość  pozostał ych  funkcji  opisują cych  postawion y  problem. 5.2.1. Obcią ż enie silą  skupioną : liniowa funkcja  momentu; MD(X). P odobn ie ja k  dla problem u mini- malizacji  cał kowitej energii rozproszonej, zał oż ymy wstę pnie, iż obcią ż enie belki  maksymalną sił ą   skupioną   spowoduje  jej  cał kowite  uplastycznienie.  Krzywiznę   resztkową   (3.7) moż na zapisać  jako  funkcję   aTgum en tu—^Ar.  F unkcjonał   (4.9)  uzależ nimy  również  od  tego argpinentu.  Równanie  Eulera- Lagrange'a  zapiszemy  podobn ie  ja k  dla  funkcji  3,  (5.4), s k ą d :  > •   • .• .'• • - .• .ą / i  ' - . . - .I  .• '• ;/•   • ,.  > ' , . r . ' ,  ;  • • •   - ;..- • ;:• .• ':• ..:  • • • > • ' . • . .•   :'. .  ,  •.  .  > ' - - a . , - -   :..• • (1  ^ I M  + mo  X  =   0.  (5.8) 8  i± \ Podstawiają c  do  (5.8) m om en t m 0   =   1—X  opisują cy  dział anie sił y  skupionej  otrzymujemy (5.6),  czyli  funkcję   przekroju  równomiernej  wytrzymał oś ci  (5.7).  P odobn ie ja k  dla  kryte- rium  minimalnej  energii  rozproszonej,  rozwią zanie  optym aln e  w  tym  przypadku  jest niezależ ne  od  postaci  funkcji  czasu  0( 7) ,  (2.4),  oraz  od  prawa  fizycznego  (2.1). 5.2.2. Dwuliniowy („trójką tny") program obcią ż enia  0(T).  Rozważ my  dwuliń iówy  niesymetryczny program  obcią ż enia  0(T),  (2.4), przy  dowolnym  rozkł adzie  m om en tu m o (x)  i  potę gowym prawie  fizycznym  (2.1).  Krzywizna  resztkowa  (3.7)  wyraża  się   wtedy  zależ noś cią: KSZ TAŁ TOWAN IE  BELKI  LEPKOPLASTYCZN EJ  389 Kształ t  optym alny  funkcji  a(x)  wyznaczymy  z  równ an ia  Eulera- Lagrange'a  zapisanego dla  funkcjonał u  (4.9),  ską d  .  • //• fQ  \   ^ o p t  /   \   "o p t  /   '  • lJJ-   2 Jak  widać,  rozwią zanie  optym aln e a opt (x)  zależy  jedyn ie  od wykł adn ika^  wprawie  fizycz- nym  i nie zależy  od lepkoś ci  m ateriał u D.  Rozwią zanie  to jest także niezależ ne od asymetrii cyklu  obcią ż enia  an i  od  czasu  trwan ia  impulsu  obcią ż enia  t 2 .  Warto  też  dodać, że  (5.10) ł atwo  daje  się   uogóln ić  n a  przypadek  bardziej  skom plikowanego  prawa  fizycznego  zapro- ponowanego  przez  P .  P erzyn ę   [8]  v Przekrój  optym alny  a opt (x)  okreś lony  jest  wtedy  n astę pują co: 1 - : M n oż n ik  Lagran ge'a  X  wystę pują cy  w  rozwią zaniach  (5.10),  (5.12)  należy  wyznaczyć z  warun ku  stał ej  obję toś ci  (3.4);  w  szczególnym  przypadku  'X — 0  otrzymujemy  zawsze (5.7),  czyli  kształ t  belki  równ om iern ej  wytrzymał oś ci. Przy wię kszych  obcią ż eniach, gdy  • & 1   >  1, m am y  X  >  0. Przy  nieujeinnych  wartoś ciach m n oż n ika  1  z  ró wn ań  (5.10),  (5.12)  wynika "o p t co  oznacza, że  warun ek  uplastyczn ien ia  belki  (4.8) jest  speł niony dla  każ dego  0  <  x  <  1. 5.2.3.  Liniowe  równanie fizyczne.  Wpł yw  nieliniowych  funkcji  czasu  d(T )  n a  rozwią zania optymalne a opi (x)  pokaż emy  dla  róż nych  wykł adników  n  potę gowej  funkcji  (2.4)  oraz dla liniowoś ci  fizycznej  prawa  (2.1)  (p  =   1).  Odpowiednie  podstawienia, do  wzoru  n a  krzy- wiznę   resztkową   (3.11)  dadzą .  DT 2 1  Q  Wo  1   n   I n   m o\   "  i  \   r<  i r\ k.  =   — ~  Wt—  i- H   T - \ V A  —  I  — 1  ,  (p.ió) r   h  [   1   a  n+l  n + 1 \   a  )  J n atom iast  z  ró wn an ia  E ulera- Lagran ge'a  dla  funkcjonał u  (4.9)  otrzymujemy « o p t Przy  /z >  0  oraz  A >  0  (5.14)  daje  zawsze t - i co  oznacza,  iż  belka  zostaje  uplastyczn ion a  dla  każ dego  0  ^  x  ^  1. 390  E.  CEG IELSKI Przejś cia  graniczne n  - +   oo oraz n  - »•   O nie wynikają   wprost  z rozwią zania  (5.14) i dlatego wymagają   osobnego  omówienia. P rzypadek  n  - > oo  daje  zawsze  k r   — 0  (5.13),  i  wtedy,  dowolny  rozkł ad  przekroju wzdł uż  osi  belki  jest  optymalnym.  Bardziej  zł oż ony  jest  przypadek  „ prostoką tnego" program u  obcią ż enia  d(T ),  a  wię c  n  =   0,  (2.4).  Z  rozwią zania  ogólnego  (5.14)  mamy wtedy «opt(x)  =   k  \ / m o (x)(1  - x ),  (5.15) gdzie  A3  -   —= • . 2 Rozwią zanie  (5.15) jest jedn ak  bł ę dn e: z warunku  stał ej  obję toś ci  (3.4) m am y  X z   =  -   $ { z  czego  wynika,  że  dla  # x  niewiele  wię kszego  od jednoś ci  oraz  dla  dowolnie  zmiennego momentu  m o (x)  naprę ż enie maksymalne  (3.2) może być  mniejsze  od  granicy  plastycznoś ci, Z  rozwią zania  (5.15)  nie  otrzymujemy  też  cią gł ego  przejś cia  do  funkcji  równomiernej wytrzymał oś ci  (5.7)  (& t   =   1). D okł adniejsza  analiza  tego  przypadku  nasuwa  wniosek,  iż  bł ę dne  rozwią zanie  wynika z tego, że czasy  graniczne t a (x)  i t b (x)  okreś lone są  tu począ tkiem i koń cem samego  impulsu; t„ — 0,  /(, =   t 2   — 1,  a  nie  został y  obliczone  ze  wzorów  (3.8), ja k  to  był o  dla  poprzednio analizowanych  zadań  (n  >  0).  D latego  też  przypadek  obcią ż enia  program em  prosto- ką tnym  (n  =   0)  należy  rozważ yć  przy  dodatkowym  ograniczeniu  (4.8).  Z adan ie  to  roz- wią ż emy  znaną  metodą  Valentine'a, stosowaną   czę sto  przy  optymalizacji  belek  sprę ż ystych z  ograniczeniami n a  wielkość  przekroju  [1]. W  tym  celu  wprowadzimy  nieujemną   funkcję e z (x),  taką   że «' ( *) - "«M «( *) -; 1 ,  ;  (5- 16) oraz  dodatkowy  mnoż nik  Lagrange'a  I,  =   k„(x),  tak  że  funkcjonał   (4.5)  przybierze postać i J  =  f[(l- x )k r +la  + X s (e 2 - s an +l)]dx.  (5.17) o Obliczają c  wariację   funkcjonał u  (5.17)  ze  wzglę du  n a  poszukiwaną   funkcję   przekroju a(x)  oraz  ze  wzglę du  n a  niewiadomą   e(x)  otrzymujemy x)  j a   ( W )  -   0,  (5.18) .  2 ^ ( X) «( J C )  -   0.  (5.19) Równanie  (5.19)  prowadzi  do  dwóch  przypadków: 1)  e(x)  =   0  i  wtedy  z  (5.16)  otrzymujemy  omówione  już  wcześ niej  rozwią zanie  (4.4), 2)  X s (x)  =   0,  i  wówczas  (5.18)  daje l -  m o(x)  (1 -   x)  =   A4 ymo(x)  JT - x).  (5.20) Zwią zek  (5.20),  który  obowią zuje  dla  uplastycznionej  czę ś ci  belki,  m a  wprawdzie  iden- tyczną   postać jak  bł ę dny  wynik  (5.15), jedn ak  m n oż n ik  A4  jest  tutaj  zależ ny  od  wartoś ci K SZ T AŁ T O WAN I E  BE LKI  LE P KOP LASTYC Z N E J  391 współ rzę dnej  x,  rozgraniczają cej  odpowiednie  strefy.  Wyznaczają c  A4  oraz  xg  należy speł nić  zarówno  warun ek  stał ej  obję toś ci,  w  którym  uwzglę dniono  rozwią zanie  (4.4), jak  również warunek  transwersalnoś ci  (4.6), z którego wynika cią gł ość przekroju  na granicy odpowiednich  rozwią zań  (4.7)*\ 6.  Przykł ady Zależ noś ci  (5.10),  (5.14)  n a  funkcję   opisują cą   przekrój  optymalny  belki  otrzymano w  postaci  uwikł anej.  Obliczenie  efektywnej  funkcji  a opl (x)  dla  dowolnych  wykł adników  p oraz  n może wię c nastrę czać  poważ ne  trudnoś ci,  których  nie  da  się   pokonać bez pomocy maszyny  cyfrowej.  Wyją tek  stanowi  t u  przypadek  liniowoś ci  fizycznej  (p  =   1) oraz  dwu- liniowy  program  obcią ż enia  («  =   1);  wzory  (5.10),  (5.14)  dają   się   wtedy  sprowadzić do  postaci,  z  której  ł atwo  m oż na  okreś lić  funkcję   optymalną   przekroju  dla  dowolnego rozkł adu  m om en tu  m o (x): - ^ ^ ,  (6.1) gdzie Ao  należy  wyznaczyć  z warun ku  stał ej obję toś ci  (3.4). Wykorzystują c  (6.1), obliczymy przykł adowo  Ao  oraz  odpowiednie  funkcje  resztkowego  przemieszczenia  koń ca  belki dla  typowych  przypadków  obcią ż enia:  sił y  skupionej,  obcią ż enia  cią gł ego  równomiernego i  momentu  skupionego.  Czwarty  i  ostatn i  przykł ad  ilustruje  metodę   postę powania  przy okreś laniu  optymalnej  funkcji  przekroju  dla  „ prostoką tn ej"  funkcji  czasu  6(T ),  (2.4). a)  Obcią ż enie  sił ą   skupion ą :  m 0   — 1— x a opl   =]- x,  (6.2) w„ p,  =   ws  =  - jj- i-   ^  ,  (6.3) gdzie  M>opt,  wtt  wp  oznaczają   odpowiednio  przemieszczenia  resztkowe  koń ca  belki  opty- malnej,  równomiernej  wytrzymał oś ci  i  pryzmatycznej.  Jak  już  wcześ niej  wspomniano, belka  optymalna, przy jej  obcią ż eniu  sił ą  skupioną , jest belką   równomiernej  wytrzymał oś ci, a  wię c funkcja  optym aln a  a BJ ,X x )   n * s  zależy  od  maksymalnej  wartoś ci  impulsu  obcią ż enia # i ;  od  współ czynnika  ^  zależy  jedn ak  róż nica  pomię dzy  maksymalnym  ugię ciem  belki optymalnej  i  pryzmatycznej,  co  pokazan o  n a  rys.  3.  ; b)  Obcią ż enie  cią głe  równ om iern e:  m 0   =  (l—xY,  ; • • • • • , ł )  Bardziej  szczegół ową   dyskusję   obcią ż enia  belki  impulsem  prostoką tnym  zawiera  praca  doktorska E.  Cegielskiego  pt .:  Optymalizacja  konstrukcji  lepkoplastycznych,  Politechnika  Krakowska  1981. 392 E.  CEG IELSKI ; ' o , 8 Of 1 1  •   1 - 1   2 I 3 / 4 / I 5 : ; , . : • .  • ' i i :  '  ''• • Rys.  3. 16 = DT 2 DT , (6.6) (6.7) (6.8) (6.9) N a  rys.  4  przedstawiono  odpowiednie  funkcje  maksymalnego  ugię cia  resztkowego  belki pryzmatycznej  (6.9),  równomiernej  wytrzymał oś ci  (6.8)  i  optymalnej  (6:7)  w  zależ noś ci , . :. . • • •   a  -   i.  R y s .  4 .  ;  •   •   • -   •   "• •   •   • '•   '  : ; ' od param etru ^ x .  Kolejny  rysunek,  n r  5, przedstawia  funkcję   przekroju  a(x)  belki  równo- miernej  wytrzymał oś ci  oraz  optymalnej  dla  & 1   =   2,58  (ź l0  =   8), a  n a  r ysu n ku  6 pokazano zależ ność wielkoś ci  przekroju  belki  optymalnej  w  miejscu  utwierdzenia  od  współ czynnika c)  Obcią ż enie  momentem  skupionym :  w0  = . . . / (6.10) K SZ T AŁ T O WAN I E  BE LK I LU PKOPLASTYCZN EJ 393 '  O i  0  6   0 8   1,0   x - 1 w,o p t DT 2 '  h 1 + 1 - T T' T  ,   ł ^ w.,   =   w.  = Z) T, h (6.11) (6.12) (6.13) Zależ ność przemieszczenia  resztkowego  koń ca belki  pryzmatycznej  i optymalnej  od maksy- malnej  wartoś ci  param et ru  # x  przedstawion o  n a  rys.  7.  Rysunek  8  przedstawia  kształ t optymalnej  funkcji  przekroju  a opt (x)  dla  wartoś ci  # j  =   3,5  (Ao  =   5). Jak  widać,  przekrój optymalny  jest  równy  zeru  w  miejscu  dział an ia  m om en tu  skupionego,  z  czego  wynika, że  pł ynię cie  plastyczne  zostan ie  wywoł ane  w  tym  przekroju  natychmiast  po  przył oż eniu obcią ż enia,  podczas  gdy  dla  belki  pryzmatycznej  (równomiernej  wytrzymał oś ci)  pierwsze odkształ cenia  plastyczne  pojawią   się  jednocześ nie  w  cał ej  belce  po  pewnym  czasie  t x   =   0. d)  Obcią ż enie  m om en tem  skupion ym  o  stał ej  wartoś ci  m(x,  t)  =   & t   przył oż onym nagle  w  przedziale  czasu  0  <• •*  ^  t 2   (n  =  0).  : 394 E .  C E G I E LSKI 1   I0,6 0,2 h  dla  O <  x  <  x g , l u j / l - x  dla  x , < x < l , " ~  2   ( 1 - J C , )3 ' 2 ' 2 / ' gdzie x,   = - dla  1  < dla 3 1 , (6.14) (6.15) (6.16) (6.17) • • : • ' • • • (6.18) oznacza  granicę   pomię dzy  poszczególnymi  strefami. Przykł ad  przekroju  optymalnego  dla  & t   =  f  przedstawiono  n a  rysunku  9,  natom iast odpowiednie  funkcje  przemieszczenia  resztkowego  koń ca  belki  pryzmatycznej  (równo- miernej  wytrzymał oś ci)  i  optymalnej  przedstawiono  graficznie  n a  rysunku  10. K SZ T AŁ T O WAN I E  BELKI  LEP KOP LASTYCZ N EJ 395 7.  Wnioski  koń cowe Otrzymane  w  prezen towan ej  pracy  rozwią zania  optymalne nasuwają   szereg  wniosków, spoś ród  których  najważ niejsze  są   n astę pują ce: 1)  optym alna funkcja  kształ tu dla  liniowej  funkcji  m om en tu zginają cego  m o (x)  -   l- x jest  niezależ na  od  przyję tego  kryterium  optymalizacji  (w  uję ciu  dualnym ); 2)  przy  minimalizacji  energii  rozproszonej  rozwią zanie  optymalne  (kształ t  równo- miernej  wytrzymał oś ci)  jest  niezależ ne  od  postaci  równania  fizycznego  (2.1)  i  funkcji impulsu  obcią ż enia  6{T ); 3) jeś li  m inim alizowan e  jest  przemieszczenie  resztkowe  koń ca  belki,  wtedy: a)  wszystkie  rozwią zania  optym aln e  z  wyją tkiem  obcią ż enia  sił ą   skupioną   zależą wyraź nie  od  postaci  równ an ia  fizycznego  (2.1)  oraz  funkcji  czasu  0(T ), b)  wszystkie  rozwią zania  n ie  zależą   od  czasu  trwan ia  impulsu  obcią ż enia  T 2   ani  od asymetrii  tego  im pulsu, c)  nieliniowe  równ an ie  fizyczne  (2.1)  wpł ywa  n a  kształ t  optymalny  gł ównie  przez wykł adnik potę gowy  p:  lepkość  D  n ie m a prawie  ż adnego wpł ywu  n a odpowiednie rozwią - zania  (od  lepkoś ci  zależą   jedyn ie  przemieszczenia  resztkowe), d)  dla  dwuliniowego  im pulsu  obcią ż enia  m oż na  otrzymać  odpowiednie  rozwią zanie dla dowolnego  addytywnego  równ an ia fizycznego  przy zał oż eniu, że prę dkość odkształ cenia lepkoplastycznego  e"p  daje  się   aproksym ować  szeregiem  potę gowym  (5.11), 39(5  ,.;• „   ;..• • • !• ,  E.:  C E G I E L SK I  . e)  bezpoś rednie  przejś cie  od  rozwią zania  dla  potę gowej  funkcji  czasu  0(T )  (n  £  0) do  program u  prostoką tnego  (w =   0)  nie  istnieje:  w  celu  otrzym an ia  wł aś ciwego  rozwią- zania  należy  wprowadzić  dodatkowy  warunek  ograniczają cy. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  A.  G AJEWSKI,  Optymalne  kształ towanie  - wytrzymał oś ciowe  w przypadku  materiał u o  nieliniowoś ci fi- zycznej, Zeszyty  N aukowe  Polit.  Krak.  nr 5,  1975. 2.  E. CEG IELSKI, M. Ż YCZKOWSKI,  Parametric optimization of  viscoplastic bars under dynamic axial bending, Rozpr.  Inż.  1, 29  27- 37, 1981. 3.  E.  CEG IELSKI,  M.  Ż YCZKOWSKI,  Optimization  of  some viscoplastic  structures under variable  loads,  in: Proc.  Euromech,  Coll.  174 on Inelastic  Structures  U nder  Variable  Loadings,  Palermo 1983. 4.  E.  CEG IELSKI, Optimization of rigid visco- plastic bars and beams under dynamic loadings, P roc. of Fourth Congress  BAN ,  Varna 1981. 5.  J. LELLEP,  JU . LEPIK,  Analytical methods  in plastic structural  design,  Eng.  Optimization,  7, 209  -  239, 1984. 6.  Ju.  LEPIK,  Optymalnoje  projektirowanije  nieuprugich  balok  s  dopolnitielnymi  podporami  w  sluczaje dinamiczeskogo  nagruż enija,  U ZTG U ,  430, 132- 143,  1970. 7.  Z.  M R ÓZ ,  JU   LEPIK,  Optymalnoje  projektirowanije  konstrukcji pri  impulsiwnom  nagrutenii. Mech, Polim.  6,  1021 - 1028, 1977. 8.  P. PERZYN A,  T eoria  lepkoplastycznoki. PWN ,  Warszawa 1966. 9.  P.  SYMONDS,  Dinamika  nieuprugich  konstrukcji — sbornik statiej, M echanika,  29, Moskwa 1982. 10.  M. Ż YCZKOWSKI,  Optimal structural  design  in theology,  J.  Appl.  M ech.,  3, 38, 39- 46, 1971. nPOBJIEM BI  OIITH M AJIfcH OrO  *O P M H P O BAH H fl  K P O H J U T E H H O B O K  Bfl3K 0 I U I AC T I M E C K O a  EAJIKH   n O flB E P r H YT O a  U E ń C T BH IO  K BA3H - C T AT H ^E C K OK H ATP Y3KH B  paSoTe  paccMaTpuBaeTCH   onTHMH3amra  KpoHurreftHOBoH   6anKH   H flean rao  flBjraBpoBOH j  n o n - BeprH yioH   fleH CTBuio  nponopwioH ajiBH O  nepeineH H OH BH eniH oH   H arpy3Kii  P(X, T ) =   Pi(X)P z (T )  r «e OTJmeTĆ H  CTeneHHóH   (jjyHKqueH   BpemeH H .  H cicoM aa  (byH Kinro  n on epeM H oro =  A DC i{X)  o6ecneqH BaeT  MHHHMyM   p a c c ea n o ii  sn e p r n H   H JI H   MMHHMyM   MaKCHMajiBHoro n p a  npeanoJioJKeH H H   n o c i o a i p i o r o  o6bejwa.  AH anH 3H poBanocj.  BjniH H iie  Koa^d^H U H wrroB  d e n e H H o r o 3aKoHa  yn p yr o  BH SKon jiacraqecKoro  M aTepnana  H  Bn n H im e  cpopiww  K sasn - cran piecK OH   nporpaM M Ł i H arpy3KH  P 2   =   Px(T ) n a BHfl  p e a i e i n w. :  S u m m a r y SOME  PROBLEMS  OF  OPTIMAL  SH APE- D ESIGN   OF  VISCOPLASTIC  CAN TILEVER  BEAM ,'  .  .  U N D ER  QU ASI- STATIC  LOAD IN G The  paper  is  devoted  to the shape  optimization  of  cantilever  I  beam  under  proportional  external loading  P(X,  T ) =   P t{X)P2(T )  where Pt{X) denotes  arbitrary  function, of spatial  variable, P2{T )^   power function  of time. U nder the assumption  of constant  volume  and  criterion  of minimum residual  deflection of  the free end or minimum of total  dissipated  energy, the  function  of cross section A m A 0P t(X)  is  sought. The  analytical  solution is given for linear  and nonlinear law of elastic  viscoplastic material;  the  influence of  the  form  of  quasi- static  loading  program  Pz(T )  on the  optimal  function  A<, ct   is  described. Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 15 marca 1984  roku