Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z3_4.pdf


M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
1 STOSOWANA
3- 4,  23 (1985)

MODELOWANIE  MATEMATYCZNE  AUTOMATYCZNIE  STEROWANEGO
1  Ś MIGŁOWCA  W  RUCHU  PRZESTRZENNYM

KRZ YSZ TOF   JAN KOWSKI  (WAR SZ AWA)

JERZ Y  M ARYN IAK

Politechnika  W avsza wska

1.  Wstę p

P rzedmiotem  prezentowanej  pracy  jest  zbudowanie  modelu  fizycznego  i  matema-
tycznego  ś migł owca  wraz  z  umieszczonym  n a  nim  ukł adem  sterowania  automatycznego,
przy  moż liwie  mał ej  liczbie  zał oż eń  upraszczają cych.  Celowość  zbudowania  takiego
modelu  wynika  z  potrzeby  bardziej  dokł adnego  zbadania  szeregu  zagadnień  dynamiki
ruchu  przestrzennego  ś migł owca  z  uwzglę dnieniem  wszystkich  gł ównych  stopni  swobody,
wpł ywu  ruchu  wirnika  noś nego,  ś migła  ogonowego,  statecznika  poziomego  oraz  tur-
bin silników.  W dotychczas opublikowanych  pracach  z  tej  tematyki  [6,  8,  10] zagadnienia
te  nie  są   cał oś ciowo  rozpatrywane.

Czę sto  stawiane  jest  zadan ie  uwzglę dnienia  w  opisie  matematycznym  ś migł owca
peł niejszych  charakterystyk  masowych  ł opat  wirnika  noś nego  i  ś migła  ogonowego  oraz
statecznika:  m om en tów  bezwł adnoś ci  wzglę dem  ich  osi  podł uż nej,  momentów  dewiacyj-
nych  oraz statycznych  (wyważ enia  ł opat)  [1, 6, 9,  10]. W  takim przypadku, jeś li  uwzglę dnia
się  jednocześ nie  wię zy  n akł adan e przez  ukł ad  sterowania  automatycznego,  rozpatrywany
ukł ad  mechaniczny jest ukł adem nieholonomicznym (najczę ś ciej  są   to wię zy kinematyczne,
niecał kowalne  i  nie  sprowadzają ce  się   do  wię zów  geometrycznych). D zieje  się   tak  dlatego,
że  ką ty  ustawienia  ł opat  są   obecnie  współ rzę dnymi  uogólnionymi,  opisują cymi  poł oż enie
ukł adu  mechanicznego.  P onieważ  ś migł owce  nie  mają   dobrych  wł asnoś ci  dynamicznych
i  charakterystyk  statecznoś ci  [V, 8, 9],  n a  wię kszoś ci  etapów  lotu  korzystają   z  ukł adów
podwyż szania  statecznoś ci.  W  zwią zku  z  tym  uwzglę dnianie  wię zów  nieholonomicznycb
przy  budowan iu  peł nych  modeli  dynamicznych  ś migł owców  jest  niezbę dne.

2.  M odel  fizyczny  obiektu  oraz  współ rzę dne  opisują ce  poł oż enie  jego  elementów

Przyjmuje  się ,  że  rozpatrywany  jednowirnikowy  ś migł owiec jest  ukł adem mechanicz-
nym,  którego  gł ówną   czę ś cią   jest  sztywny  kadł ub  oraz  nastę pują ce  sztywne  elementy,
mogą ce  zmieniać  swe  poł oż enie  wzglę dem  kadł uba:



428 K.  JAN KOWSKI,  J.  MARYNIAK

—  czę ś ci  obrotowe  silników  turbinowych  ze  swobodną  turbiną,
—  piasta  wirnika  noś nego  z  wał em  i  ukł adem  przenoszenia  mocy,

—  ł ą czniki  ł ą czą ce  za  pomocą  przegubów  poziomych  i  pionowych  piastę  z  ł opatami,
—  ł opaty  wirnika  noś nego,
—  piasta  ś migła  ogonowego,
—  ł opaty  ś migła  ogonowego,  przegubowo  mocowane  do  piasty,

—  statecznik  poziomy.

D la opisu  ruchu kadł uba w przestrzeni  wykorzystuje  się  nastę pują ce  ukł ady odniesienia

[4]  (rys.  1):

1*9

Rys.  1.  Transformacja  quasi- eulerowska

—  nieruchomy  ukł ad  grawitacyjny  O
0
x

g
y

g
z

g
  zwią zany  z  Ziemią,

—  ukł ad  grawitacyjny  Ox
g
y

g
z

g
  zwią zany  ze  ś rodkiem  masy  kadł uba,

—  ukł ad Oxyz,  sztywno  zwią zany  z  kadł ubem, którego  oś  Oz  jest  równoległ a  do  osi wał u
wirnika  noś nego  (rys.  2).

Chwilowe  poł oż enie kadł uba wyznaczone jest  przez  współ rzę dne x
g
  , y

g
,  z

g
  jego  ś rodka

masy  w  nieruchomym  ukł adzie  współ rzę dnych  oraz  przez  quasi- eulerowskie  ką ty  obrotu
(samolotowe)  (f>,  0, W   (rys.  1).

D la  opisu  ruchu pozostał ych elementów  ś migł owca  wprowadzon o  odpowiednie ukł ady
współ rzę dnych,  sztywno  zwią zane  z  kadł ubem, równoległ e  do  Oxyz  (rys.  2,  rys.  3). Poł o-
ż enie danego  elementu bę dzie  wyznaczone, jeż eli  poda  się jego  poł oż enie ką towe  wzglę dem
wł aś ciwego  ukł adu  współ rzę dnych.

Poł oż enie  turbiny  napę dowej  i  turbiny  sprę ż arki  silnika  lewego  opisują  ką ty  y>,
t
  i  fu

ich  obrotu  dookoł a  osi  O
sl
x

sl
  (rys.  3), a  dla  silnika  prawego  odpowiednio  ką ty  f,

p
  i  f

kp
.

Chwilowe  poł oż enie / - tej  ł opaty  wirnika  noś nego  wyznaczają  współ rzę dne  pun ktu  O
3

w  ukł adzie  O
2
x

2
y

2
z

2
  oraz  ką ty:  f

t
  —  azymutu,  & —  wah ań ,  £, —  odchylenia  oraz



M O D U LO WAN I E  AU TOM ATYC Z N IE STE R OWAN E G O...  429

f,  —  ustawienia  ł opaty (rys. 4). Kąt ip
t
 zwią zany jest z ką tem obrotu  piasty  wirnika noś nego

nastę pują cą  zależ noś cią:

V , „ V + _ £ L ,   ( i =  0 , 1 , . . . , «- ! ),   (1)

gdzie:  n —  liczba  ł opat.
Poł oż enie ./ - tej ł opaty ś migła  ogonowego  opisuje  się  podając  poł oż enie począ tku ukł adu

O
5
x

s
y

5
z

s
  w  ukł adzie  O4.X4.y4z4  oraz  ką tam i:  yjsj  —  azymutu,  C —wah ań  i  c ^  —u st a -

wienia  ł opaty (rys.  5). K ąt  yj
sJ
  w  nastę pują cy  sposób  zależy  od  ką ta  obrotu  piasty  ś migł a:

Vi  -   Vi+- ^ - .  U  = 0 , 1 , . . . ,  m - 1 ),  (2)

gdzie  m —  liczba  ł opat  ś migła  ogonowego.
Poł oż enie  statecznika  poziomego  wyznacza  kąt  <p

sl
  jego  obrotu  dookoł a  osi  O

6
y

Cl
.

3.  Wię zy  geometryczne  i  kinematyczne  nał oż one na  ukł ad

N a  współ rzę dne, opisują ce  poł oż enie pun któw  rozpatrywanego  ukł adu mechanicznego,
nał oż one  są  nastę pują ce  ograniczenia,  wynikają ce  ze  struktury  kinematycznej  ś migł owca:

—  sprzę ż enie ką ta  obrotu piasty  wirnika noś nego z ką tami obrotów turbin napę dowych
silników:

W tp  =  fti  =   hf,  (3)

—  sprzę ż enie  ką ta  obrotu  ś migła  ogonowego  z  ką tem  obrotu  wirnika  noś nego:

—  zwią zek  ką ta  ustawienia  i- tej  ł opaty  wirnika  noś nego  z  ką tami  okreś lanymi  przez
ukł ad  sterowania  i  kom pen sator  wzniosu  ł opat y:

gdzie:
ę

g
  —  kąt  skoku  ogólnego,

Aę  —  kąt  skrę cenia  ł opaty  wzglę dem  przekroju  począ tkowego,

k  —  współ czynnik  kom pen satora  wzniosu  ł opaty,
0 i , 0 2 ' —k ą ty  pochylenia  tarczy  sterują cej  n a  azymutach  90°  i  0°;

—•  zależ noś ci  ką tów  pochylenia tarczy  sterują cej  od ką tów  sterowania  w ruchu podł uż-
nym  H i  ruchu  boczn ym  ij:

0!  =   x sin ̂ o  +  ?? cos y>
0
,  (6)

O)
gdzie  y>

0
 —  kąt  wyprzedzenia  sterowan ia;

—  zależ ność  ką ta  ustawienia  y- tej  ł opaty  ś migła  ogonowego  od  ką ta  sterowania <p
s
:



430  K .  JAN K O WSK I ,  J .  M AU YN I AK

—  zależ ność  ką ta  ustawienia  statecznika  poziom ego  od ką ta  skoku  ogólnego  ł opat
wirnika  n oś n ego:

<p
st
  =  Ao + Arfg  + Aitf,  (9)

gdzie  A
0
,A

t
,A

2
  —  stał e  współ czynniki.

Są  to  wię zy  geometryczne  nał oż one  n a  ukł ad.  Obecność  ukł adu  automatycznego
sterowania  lotem  n akł ada  n a  rozpatrywany  obiekt  nastę pują ce  wię zy  kinematyczne,
liniowe  wzglę dem  prę dkoś ci  [7,  9]:

—  prawo  sterowania  w  kanale  pochylan ia:

7i k+%  =  k
o
(8 - O,)  + k

q
Q  + k

x
{x

a
  -   x

gz
)  +  kj. {x

g
 -  °x

BZ
) + »0 ,

—  prawo  sterowania  w  kan ale  przechylania:

—  prawo  sterowania  w kan ale  wysokoś ci:

T
i
V,  + %='  fc«(*«- 2H)  +  fc*A/  +  9to>i  (12)

—  prawo  sterowania  w  kan ale  odchylan ia:

r *# , + 9 , -   hfCF- Wj+ KR+ iprt.  (13)

W  równaniach  tych  T
1
 ~  T

A
  oznaczają  stał e  czasowe  czł onów  inercyjnych,  opisują cych

charakterystyki  dynamiczne  elementów  wykonawczych  autopilota  [7, 8, 9],  wielkoś ci
z  indeksem  „ z "  oznaczają  zadane  wartoś ci  param etrów  lotu, a in deks  „ o "  przy  symbolu
ką ta  sterowania  oznacza jego  wartość  w stanie  ustalon ym  (począ tkowym ).  Wybrany  stan
pracy  ukł adu  automatycznego sterowania  lotem  otrzymuje  się  przez  n adan ie odpowiednich
wartoś ci  (w tym  zerowych)  współ czynnikom  wzmocnienia  k

a
.

Ponieważ  zwią zki  opisują ce  wię zy  kinematyczne są niecał kowalne, rozpatrywan y  ukł ad
mechaniczny  jest  ukł adem  nieholonomicznym.

4.  Współ rzę dne  uogólnione  i  quasi — prę dkoś ci

Obecnie  m oż na  opisać  zbiór  współ rzę dnych,  wyznaczają cych  w sposób  zupeł ny  poł o-
ż enie  rozpatrywanego  ukł adu.  Są  t o :  .

—  współ rzę dne  ś rodka  masy  kadł uba  ś migł owca  w  ukł adzie  O
0
x

g
y

g
z

g
:  q±  -  x,,

Iz  = y
a
,  li  =   z

t
;

—  ką ty  quasi — eulerowskie:  q
A
 = 0,  q

s
  = d,  q

6
  =  W   (rys.  1);-   •

—  kąt obrotu  piasty  wirnika  n oś n ego:  q
1
  — y>  (rys.  4a) ;

—  ką ty  wahań  ł opat  wirn ika:  g 8 + 1 -   £ ,,. (i =  0, 1,  . . . , n - l ),  (rys.  4a ) ;
—  ką ty  obrotów  ł opat  wirnika  wokół   przegubów  pion owych :

2.1+8+1 =  £u  (i =  0, 1, . . . , n- 1),  (rys.  4a) ;

—  ką ty  wahań  ł opat  ś migła  ogon owego:  ;.

«2n + s+ j=   Cj,  ( / =   0, l , . . . , m - l ),  (rys.  5a) ;

—  ką ty  obrotów  turbin  sprę ż arek  silników:  •   -•

92n+ m+ 8  =   V«»  - «2n +  m+ 9  =   Wkp  ( ryS -   3b)j



MODELOWANIE  AUTOMATYCZNIE  STEROWANEGO... 431

—  ką ty  st e r o wa n ia :  q
i + l

  =   H, q
t+2

  -   v\ ,  q
i+3

  =   <p
g
, q

i+4
  =   %,  gdzie  /  =   2n+m  + 9.

Liczba  współ rzę dnych  uogólnionych  jest  wię c  równa  k  =   2 «+ m + 1 3 .
Jako  quasi  —  prę dkoś ci  wygodnie  jest  przyją ć  nastę pują ce  parametry  kinematyczne:
—  rzuty  wektora  prę dkoś ci  ś rodka  masy  kadł uba  ś migł owca  Vc  n a  osie  ukł adu  Oxyz:

CO 2

U
V
W

- j.1  a22  a23
a

31
  a

32
  a

33
]

°yfl ( 1 4 )

gdzie  współ czynniki  a
u
  są   równ e:

fln  =   cos0cosĄ
y,  a12  =  cos0sin

lly,  a13

a22  = a23  = (15)

a32  =  cos 0  sin 6 sin!/
7,  a33  =  c o s$ c o ś 0.

rzuty  wektora  prę dkoś ci  ką towej  kadł uba  £2  n a  osie  ukł adu  Oxyz:

< o6

p

Q

R

1

0

0

0

c o s *

- s i n*

—sinfl

cos0sin0

COS0COS0

0

w
(16)

—  czę ść  quasi  —  prę dkoś ci  przyję to  jako  równe  pochodnym  współ rzę dnych  uogól-
nionych:

gd zie:  i  =  0,  1,  . . . , «  — \ ;  j  =   0 ,  1,  ...,m—  1.
—  o st a t n ie  q u a si  —  p r ę d ko ś ci  zo st a n ą  t a k  wp r o wa d z o n e  [5], aby  n a  m o cy  r ó wn a ń

wię zów  kin e m a t yc zn yc h  ( 1 0 ) H - ( 1 3)  był y  r ó wn e  z e r u :

(18)

v,  (19)

(20)

(21)

a
l+i

  =

Ilość  stopni  swobody  /  przyję tego  modelu  ś migł owca  równa jest  róż nicy  liczby  współ -
rzę dnych  uogólnionych  k  i  liczby  wię zów  nieholonomicznych:  l  — k—4  =  2n+tn+9.

5.  Energia  kinetyczna  ukł adu

Energia  kinetyczna  ukł adu  jest  sumą  energii  kinetycznych  kadł uba  i  pozostał ych
elementów.  P o  wyznaczeniu  prę dkoś ci  absolutnych  Ve  (wzglę dem  nieruchomego  ukł adu
ziemskiego)  pun któw  należ ą cych  do  danego  elementu e jego energia  kinetyczna jest  równ a:

Y.- YJm. (22):



I  Z

Rys.  2.  Poł oż enie  ukł adów  sztywno  zwią zanych  z  kadł ubem

a)

Rys.  3.  U kł ady  okreś lają ce  ruch  silników;  a)  poł oż enie  ukł adów  zwią zanych  z  kadł ubem  ś migł owca,  b
schemat  rozmieszczenia  turbin  silnika  lewego  i  kierunki  ich  obrotów

[ 4 3 2 |



M O D E LO WAN I E  AU TOM ATYC Z N IE  ST E R O WAN E G O ... 433

X3

Rys.  4.  Poł oż enie  ukł adów  zwią zanych  z  ;'- tą   ł opatą   wirnika  noś nego

Przy  cał kowaniu  uwzglę dnia  się   peł ne  charakterystyki  masowe  poszczególnych  ele-
mentów.  Wektory  prę dkoś ci  punktów  należ ą cych  do  poszczególnych  elementów moż na
zdefiniować  w  nastę pują cy  sposób:

a)  wektor  prę dkoś ci  dowolnego  pun ktu kadł uba:

V
pk
  =  V

c
+Slxr

k
,  (23)

gdzie  r
k
  —  wektor  ł ą czą cy  ś rodek  masy  kadł uba  z  bież ą cym  punktem kadł uba;

b)  wektor  prę dkoś ci  pun ktu  turbiny  napę dowej  (dla  pozostał ych  turbin  wektory
prę dkoś ci  definiowane  są   analogicznie):

V„  -   V.+ OxOfc+ fciHfoiXr,!,  (24)
gdzie h s( —  wektor  ł ą czą cy  pun kt  O  z  punktem  Osl  (rys.  3), r,( —  wektor  ł ą czą cy  punkt
O

sl
  z  punktem  turbin y;
c)  wektor  prę dkoś ci  pun ktu  piasty  wirnika  noś nego:

V,  =   V a + a x ( h < > a + r , ) + ^ x r , ,  (25)

gdzie  h 0 2  —  wektor  ł ą czą cy  punkty  O  i  O2  (rys.  2),
r

P
  —  wektor  ł ą czą cy  pun kt  O

2
  z  punktem  piasty;

V r =   V« , + f l x ( h o 4 + l j + i v ) + $ x ( l i + r r ) + & x r „   (26)

6  M ech.  T eoret .  i  Stos.  3- 4/ 85



434 K .  jAN KOWSKr,  J .  MARYN IAK

d)  wektor  prę dkoś ci  pun ktu  i- tego  ł ą cznika  piasty:
gdzie li  —  wektor  ł ą czą cy pun kt  O

2
  z  przegubem  poziomym  (rys.  4), r r  —  wektor łą czą cy

przegub  poziomy  z  punktem  n a  osi  / - tego  ł ą cznika;
e)  wektor  prę dkoś ci  pun ktu  / - tej  ł opaty:

V,  =   Ve + i 3 i x( h O 3 + l 1 + l 2 + r , ) + wx0 1 + ł 2 + ^ + j3 j> < ( l 3 - ' + r O + ^
5 xr i  +  4ijXr,,  (27)

gdzie 12 —  wektor  ł ą czą cy ś rodki  przegubów  poziomego i pionowego  (rys.  4),  r ;  —  wektor
ł ą czą cy  pun kt  O

3
  z  dowolnym  pun ktem ł opaty;

f)  wektor  prę dkoś ci  pun ktu  piasty  ś migła  ogonowego:

x  ( h 0 4 + r p (28)

Rys.  5.  Poł oż enie ukł adów  zwią zanych  z / - tą   ł opatą   ś migła  ogonowego

gdzie  h 0 4 —  wektor ł ą czą cy punkty  O  i  0A  (rys. 2), rps  —  wektor ł ą czą cy p u n kt < 3 4  z.punk-
tem  piasty;
,  g)  wektor  prę dkoś ci  pun ktu  należ ą cego  do > t ej  ł opaty  ś migła  ogon owego:

Vf - V. + ft x ( ho 4 + l 3 . + 0 . + ^, x ( l , t x ^)+ fe x r, + . ^x r,;  (29)

gdzie J3 —  wektor  ł ą czą cy pun kty  04  i  03  (rys.  5), r, —  wektor  ł ą czą cy pun kt 03  z  dowol-
nym  punktem  ł opaty  ś migł a;



M OD EtXWAN IE  AUTOMATYCZNIE  STEROWAN EG O...  435

h)  wektor  prę dkoś ci  pun ktu  należ ą cego  do  statecznika  poziomego:

V.„  =   Vc+ S Ł   x ( h 0 + r .„) +  <ps, x r .„ ,  (30)

gdzie h 0 6  — wektor  ł ą czą cy pun kty  O i O6  (rys. 2), r „ — wektor  ł ą czą cy punkt O6 z  dowol-
nym  punktem  statecznika.

6.  Sił y  uogólnione

D ział ają ce  n a ukł ad  sił y  uogólnione  skł adają  się z sił  i  momentów  aerodynamicznych,
cię ż arowych,  napę dowych,  sprę ż ystych  i  tł umią cych.

Poniż ej  podan e  zostaną  skł adowe  w ukł adzie  Oxyz  sił  i momentów  aerodynamicznych
i  napę dowych  dział ają cych  n a kadł ub wraz ze skrzydł em,  statecznikiem  poziomym  i pio-
nowym.  Współ czynniki  sił  aerodynamicznych  mierzone są w ukł adzie pół zwią zanym z prze-
pł ywem  wokół   poszczególnych  elementów,  a  współ czynniki  momentów  aerodynamicz-
nych — wokół   osi  ukł adu  zwią zanego  z  kadł ubem  Oxyz.

%% =   -   y  QVI  S
sk
(C

xk
cos  a

k
-   C

sk
 sin a ^ ~ y  QV2

k
S

sk
(C

x
,

k
cos  a s k -   Czsksin  ask) +

—o - C ^»Ą ( Cwco sa B- C

n  -   - YQVlS
sk
C

yk
- jQVlS

sk
C

ysk
- ~

2
~QV

2

v
S

0
(C

xv
sinK

v
+  ^

+  C,„cos «„) + Y
r
R + Y„P+ Y",

k=  —j  QVl S
sk
(C

xk
sm  a

k
+C

zk
cos  xk) -   ~-  e V% S sk(Cxsksin  ask+ C„tcos  ask)+

y wt $m(Cxst  sin o>st + Cm  cos  «st ) +  ZqQ  + Z",

U  = y  &VI SJ
a
  C

lk
 + y  QV£SJ,  C

lsk
~Y  QVl S^ iC^ sin  a„+

+  C
yv
cos<x

D
)+L

p
P+L

r
R,  '(32)

VlSJC  +  V l S l C V
2

S [ { C

+ C 5 s ( c o s <xst)h7 + ( C I S «si n a s t -   Cxstcosa.st)h8]+M qQ-   X"hlQ,

N i  -   - jQVlS
sk
l

a
C

nh
  + ~QV

2

sk
SJ

a
C„

sk
  +  ^ - QV

2

v
S

v
x

ll
(C

xl>
sma

v
+

+  C
yv
cosa

v
)+N

p
P+N

r
R.

W  równaniach  tych  2f"  oznacza  skł adową  wzdł uż  osi  Ox  sił y  odrzutu  gazów  z  dysz
wylotowych  silników  turbinowych.  P ozostał e  symbole  są  zwykle  stosowane  przy  opisach
sił   i  momentów  aerodynamicznych,  czę ść  z  nich  uwidoczniono  n a rys. 6.

Opisu  aerodynam iki  ł opat  wirnika  noś nego  i  ś migła  ogonowego  dokon an o  przy  przy-
ję ciu  hipotezy  opł ywu  quasi- ustalonego  [10]. Rozpatrywany  schemat  sił  i  momentów

6*



436 K.  JAN KOWSKI, J.  MARVNIAK

b)

Rys.  6. Widoki  ś migł owca z boku  (a) i z góry  (b) z zaznaczonymi  parametrami  wystę pują cymi  w  opisie
aerodynamiki  kadł uba

pozwala  znacznie  rozszerzyć  model  opł ywu  ł opaty,  przyję ty  w  teorii  G lauerta- Locka

[8,10].
Obcią ż enie  przekroju  z- tej  ł opaty  wirnika  poł oż onego  w  odległ oś ci  /•   od  przegubu

pionowego  skł ada się z sil  elementarnych  - —£- ,  —vf-   oraz  m om en tu  —3— (rys. 4,  rys. 7).

P o  zrzutowaniu  n a  osie  otrzymujemy:

1x3  —- COSIX,*-
dr

sin «•  -   - y  ą bV,(C, V
zi
 + C

x
  V

xi
),

dr (33)

+  C
z
(V

xl
  cos 99, +  F r ( sin 9?,)].

Kąt  natarcia  przekroju  ł opaty:

a, =  (p
t
 -   a*  -   <p

t
 -   arctg  ~^ ~,

"xi \  ...;'.



M O D E L O WAN I E  AU TOM ATYC Z N IE  STE R OWAN E G O... 437

Rys.  7.  Obcią ż enie  przekroju  ł opaty  wirnika  noś nego

gdzie skł adowe wzdł uż osi O
3
x

3
  i O

3
z

3
  prę dkoś ci  przekroju  ł opaty wzglę dem  opł ywają cego

czynnika  są   równ e:

V
xi
  =   ( -

(35)V
zi
  =   ( -

+ 1
2
  + r) + p

t
(l

2
  +  r)+v

t
  cos Pt,

a  v
t
  oznacza  aktualn ą   dla  dan ego  azymutu  ipi i  promienia  r  skł adową   prę dkoś ci  induko-

wanej.
Rzuty  sił  aerodynamicznych,  dział ają cych  n a wirnik  noś ny, n a osie  ukł adu Oxyz  mają

nastę pują cą   postać:
n - l  R,

1  =  0  O

H - l  Rt

(36)
j  0  0

n - l  X

i- O  0

M omenty  aerodyn am iczn e  wirnika  wokół   osi  ukł adu  Oxyz:
n- l  X,

(= 0   0

n- t  X,

M« -   y f
f  =  o  o

n - l  RtA" =  2 J

(3 7 )



438  K.  JAN K O WSK I ,  J.  M AK VN I AK

W  równaniach  tych  Rl
x
,  i?, ,  Ri  są  rzutami  wektora  ł ą czą cego  począ tek  ukł adu Qxy:

z  punktem  na  osi  i- tej  ł opaty.  Współ czynniki  b\
x
  (elementy  macierzy  przejś cia  od  ukiadu

03X3^323  do  ukł adu  O
2
x

2
y

2
z

2
)  są  równ e:

Sial( ,  b\
2
  -   sin f

t
  sin & +  cos ̂ j cos/ ?, cos £,-,

i  sin^fsin/ 5,,  '  >

bii  =   - sin(3,sin  I ; ,  H 2  =   - sin/ ?iC os£ ;,  fo33  =   - COS/ Jj.

M oment  aerodynamiczny  wirnika  wokół   jego  osi  obrotu  jest  równ y:

r . o  o  (39)

M oment aerodynamiczny  ('- tej ł opaty wzglę dem  osi  przegubu  poziomego  moż n.  wyrazić
w  nastę pują cy  sposób:

Mf
a
  - /   taisCIj+ J- ooś W- ^asinija- ;  ••   •   (40)

natomiast  moment  wzglę dem  przegubu  pionowego  jest  równy:  ,

M ";  -   /   ( - gi , r ) d p.  .  (41)
o

W  podobny  sposób  oblicza  się  sił y  i  momenty  aerodynamiczne  ś migła  ogonowego.
Ponieważ  począ tek  ukł adu Oxyz jest  ś rodkiem  masy  kadł uba, jego  momenty  cię ż arowe

są  równe  zeru.  U wzglę dnić  natomiast  należy  w  zależ noś ciach  n a  sił y  uogólnione  momenty
grawitacyjne  poszczególnych  zespoł ów  ś migł owca  wokół   osi  ukł adu  Oxyz  i  na pozostał ych
przesunię ciach  przygotowanych.  Poza tym, w prawych  stronach równań  ruchu  umieszczone
zostaną  momenty  napę dowe  oraz  momenty  dział ają ce  na  ł opaty  wirnika  noś nego  wokół
przegubów  poziomych  i  pionowych  od  sprę ż yn  i  tł umików.

7.  Równania  ruchu  ś migł owca

Równania  ruchu  ś migł owca  wyprowadzono  wykorzystując  równania  Boltzmanna-
H amela  dla  ukł adów  nieholonomicznych  w  quasi- współ rzę dnych  [2, 5]:

k  I

d  dT *  dT *  \~1  VI  ST *

'U^+ §*&  **'  ^ i 2 / )  (42)
Wystę pują ce  w  równaniach  współ czynniki  Boltzm anna  y^   obliczono,  wykorzystując

tzw.  zwią zki  przestawialnoś ci  [2, 5]:
k  k  - ,  ;

dÓ7i
r
- dd7t

r
  m  E  • £  YUdn^ itu  (r  = 1 , 2 ,  ...,  fc).  (43)

l l



M O D E LO WAN I E  AU TOM ATYCZ N IE  STE R OWAN E G O...  439

P o  wykon an iu  odpowiednich  operacji  równania  ruchu  obiektu  ś migł owiec ukł ad
sterowania  sform uł owano  w  nastę pują cej  postaci:

d  ST *  18T *  a r *  8T *  8T *  ki  8T *  h,

8T *  k'
t
  \   BT *  '  8T *  „   BT *  I  k£  ,  \

r R + Q + k  (44)
3T *  I Ic  \   8T *  II'  \

d  3T *  18T *  8T *  3T *  8T *  lą  8T *  k:,

8T *  k:

d  8T *  (8T *

~df  8W   ~ \ a~X~

ST *  8T *  8T *  k±   BT *

-
*  k„  \

r)  T
2
j

dT *  8T *  k„ \   3T *  3T *  8T *  8T *
+
  8W   3Q  d

d  8T *  I8T *
  h

  .„   8T *  .•   3T *  sin $  8T *  k
ą

dt  8Q

8co1+2

8T *

d  3T *  1ST *  ' ' "
a
  3T *  / • -   a r * c o s ^  a r *

it  8R  \   80  86  8W   c o s0  a<ps

( 4 5 )

ST *  ki  \   8T *  „  .  8T *  „   .  8T *

80
  T

  8
V
  T

2
J  3V  "  •   bW   8Q  " '  BR  *

8T
*  Rk+

  8T
*  {

k
>~k\

+

3T
*  Ok- L '+I'+L '+

  ( 4 ? )



440  K.  JAN KOWSKI ,  J.  M AR YN I AK

•   ,  •   c o s< P \   8T *  (  k
r
.  c o s 0 \   (49)

Ę _  =   N ^ +Mi+hMU+hMU+hMU+^ l,  (50)
at  dm  dtp

i i £ L X  1),  (51)

a r *  »
dt  8S;  dt;.

±   El  _ i l l  =   MJj +  M%!-  c, 7Cj- k.tj,  (/  -   0, 1,"..., w - 1),  (53)

d  ar*  ar*  ..  ,.,.
T 7  - K —-   M u,  (54

- rr  - 5-5  s  ==  M k p ,  (55)

W  równaniach  tych  T *  oznacza  energię  kinetyczną  ukł adu  wyznaczoną  w  quasi-
prę dkoś ciach.

D o  tej  pory  nie  opisywane  oznaczenia  t o :  m
e
  —  m asa  cał kowita  ś migł owca;  momenty

dział ają ce  n a :  N
02

  —  wirnik  noś ny  wokół   osi  O
2
z

2
,  Af04. —  ś migło  ogonowe  wokół   osi

O4J4,  M
hi
,  M

vi
  —  z- tą  ł opatą  wirnika  wokół   osi  przegubu  poziomego  oraz  pionowego,

M
p
j—/ - ta  ł opata  ś migła  ogonowego  wokół   osi  przegubu  wahań ,  M

kt
,  M

kp
  —  turbiny

sprę ż arek  silnika lewego oraz prawego;  c
h
,c„,c

p
  —  stał e sprę ż yn  w przegubach:  poziomych

i  pionowych  ł opat  wirnika  oraz  wahań  ś migła  ogonowego;  k
h
,  k

e
,  k

p
  —  współ czynniki

tł umienia  w  tych  przegubach.  Indeksy  dolne  oznaczają:  k  —  kadł uba,  iv —  wirnika,
s —  ś migła  ogonowego,  sil  —  silników,  st  —  statecznika  poziom ego.  I n deksy  górne:
a —  aerodynamiczny,  g  —  grawitacyjny,  n —  napę dowy.

Równania (44) +  (55) wraz z czterema równaniam i wię zów (10) +  (13) oraz zależ noś ciami
okreś lają cymi  ą uasi- prę dkoś ci  w  funkcji  prę dkoś ci  uogólnionych  (14),  (16),  (17)  tworzą
ukł ad k+l  »  42+2n+22  równań  ruchu. Mając  dane  wartoś ci  począ tkowe  m oż na  wyzna-
czyć  z  niego  42+2n+22  nieznanych  funkcji  czasu:  ą uasi- prę dkoś ci  i  współ rzę dnych
uogólnionych.  W  pracy  [3]  przedstawiono  wszystkie  skł adniki  równ ań  (44)- r (55).

8.  Wnioski

Korzystając  z  metod  mechaniki  analitycznej  ukł adów  nieholonomicznych  zbudowano
model  matematyczny  ś migł owca  wyposaż onego  w  ukł ad  sterowania  automatycznego.
U wzglę dniono  przy  tym  praktycznie  wszystkie  gł ówne  stopnie  swobody  ś migł owca  jako
ukł adu  mechanicznego  oraz  peł ne  charakterystyki  masowe  jego  elementów.  Analizując
otrzymane  ogólne  równania  ruchu  przestrzennego  stwierdzono  wystę powanie  silnego
sprzę ż enia  ruchów  podł uż nych  i  bocznych  kadł uba  ś migł owca  w  przestrzeni,  a  także



M O D E LO WAN I E  AU TOM ATYCZ N IE  STE R OWAN E G O...  441

sprzę ż eń  ruchów  poszczególnych  zespoł ów  ś migł owca.  Z  tych  powodów  oddzielne  ana-
lizowanie  ruchów  podł uż nych i  poprzecznych  ś migł owca jest  duż ym  uproszczeniem  i  przy
poważ niejszych  rozważ aniach  nie  może  być  stosowane,  co  się  jedn ak  czę sto  zdarza.  Oce-
niają c  wyniki  badań  wł asnoś ci  dynamicznych  izolowanej  ł opaty  należy  zwracać  uwagę
na  to, że  w  rzeczywistoś ci  um ocowana jest  ona  do  piasty,  wykonują cej  wraz  z kadł ubem
zł oż one  ruchy  przestrzenne.

Otrzymany  model  matematyczny  może  być  wykorzystany  przy  rozpatrywaniu  wielu
zagadnień  dynam iki  ś migł owców  bą dź  ich  zespoł ów.  W  przygotowywanych  do  publikacji
pracach  przedstawione  zostan ą :

—  m etodyka  okreś lania  param etrów  ruchu  ustalonego  na  przykł adzie lotu  poziomego
i  zawisu  ś migł owca,  wraz  z  przykł adem  obliczeniowym;

—  badanie  statecznoś ci  ustalonych  stanów  lotu  i  iloś ciowa  analiza  sprzę ż eń  ruchów
poszczególnych  elementów  ś migł owca.

Lit erat u ra  cytowana  w  tekś cie

1.  R .  W.  BALK E ,  R.  L.  BE N N E T T , T .  M .  G AF F E Y,  R . R .  L YN N ,  T ail  Rotor  Design,  Part  / / :  Structural  Dyna-

mics,  J o u r n a l  of  t h e  Am eric an  H elicopter  Society,  O ctober  1970.

2.  R .  G U T O WS K I ,  Mechanika  analityczna,  P WN ,  Warszawa  1971.

3.  K .  J AN K O WSK I ,  Modelowanie  fizyczne  i  matematyczne  wł asnoś ci  dynamicznych  sterowanego  ś migł owca

w  ruchu  przestrzennym,  R o zp r a wa  d o kt o rska,  P olitech n ika  Warszawska,  Warszawa  1982.

4.  J.  M AR YN I AK ,  Dynamiczna  teoria  obiektów  ruchomych,  P race  n aukowe  —  M ech an ika  N r  32, P olitech-

n ika  Warszawska,  Warszawa  1975.

5.  J. I .  N E J M AR K ,  N .  A.  F U F AJ E W,  Dynamika  ukł adów  nieholonomicznych,  P WN ,  Warszawa  1971.

6.  H . L.  P R I C E , Rotor  Dynamics  and  Helicopter  Stability,  Part  I- i-  V, Aircraft  En gin eerin g, N o . 3,1963 4-   N o .

11,  1965.

7.  D .  S WE E T I N G ,  Some  Design  Aspects  of  the  Stability  Augmentation  System  for  the  W G- 13  Rigid  Rotor

Helicopter,  AG AR D   C on feren ce  P roceedin gs,  N o .  86,  1971.

8.  C .  K>.  EcAyjioB,  O .  I I .  BAXO B,  I I .  C .  JXxniriiCB,  Bepmo/ iem  KOK  oiwrnnynpaeneHun,  M aiin uiocr-

poeH H e,  M ocKBa  1977.

9.  B.  A.  KoMceBHHKOB,  AgmoMamunecKan  cmaduAmatfUH  eepmojiemoe,  MauiiiH OCTpoenne,  MocKBa

1977.

10.  M .  SI.  M H J I Ł  H  ap.  —B epm oAem u .  Panem  u  npoeKtnupotaime,  K H .  1,  K H .  2",  M an iH iiocipoen n e,

M ocKBa  1967.

P  e  3  IO  M  e

iM ATEM ATH ^IECKOE  M OflEJIH POBAH H E  ABTOM ATIM EC KH   yilP ABJI flE M OrO
BE P TOJI E TA  B  U P OC TP AH C TBEH H OM   flBH H CEH M H

H acTonmeft  pa6oTw  HBJIHCTCSI  n o c r p o em ie  noJinoii  .iiaTeMaHwecKoii  MOACJIH   BepTOJie- ra.

B  CBH3H   c  3THIVI  y^H TM naeTca  npaKTiMecKii  Bee  rnaBH bie  CTeneHH   CBOG OAM  BepToJi&ra  KaK  Mexatm-

CHereMbi.  Kpoiwe  flBroKemifl  (biO3ejimi<a  B  npocTpaHCTEe  u  n ecym ero  BHHTa  paccMaTpmaeTCH

flBH H teH H e  pyjieBoro  BHHTa, CTa6nnH3aTopa  K  TypBHH  flBH raTeneM . MiiTerpajiwioft  H aertio  M O-

BepToJieia  aBiraeTCJi  CHCTeaia  aBTO«aTH icci<oro  ynpaBJieHHH  HaiuiaflfaiBaiomaH   n a  paccMaTpiiBae-

Myio  MexaniMecKyro  cucieM y  H enH TerpiipyeMMe  KnHeiwaTHHeci<ne  C BH 3H  (HeronoHoiHiiaJi



442  K.  JAN KOWSKI,  J.  MARYN IAK

. S u m m a r y

MATH EMATICAL  M OD ELLIN G  OF   TH E  CON TROLLED   H ELICOPTER
I N . TH E  TH REE- D IM EN SION AL  M OTION

The purpose  of  the work  is  to develop  a  unified  mathematical model of  a helicopter. All  main  degrees
of  freedom  of  a  helicopter  as  a  mechanical system  are actually  taken into account. The motion of  fuselage
in space  and the motion of  main rotor, tail rotor, tail plane, turbines  is considered.  An  integral  part  of the
mathematical  model  of  a  helicopter  is  the flight  control  system  which  imposes  the  constraints,  specified
by nonintegrable  expressions  involving the velocities  (non — holonomic system),  on considered  meshanioal
system.

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  7  czerwca  1984  roku