Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z3_4.pdf M li CH AN  IK A TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3- 4,  23 (1985) M ETOD YKA  WYZ N AC Z AN IA  P ARAM ETRÓW  RU C H U   U STALON EG O Ś M I G Ł O WCA  N A  P R Z YKŁ AD Z I E  LOTU   P O Z I O M E G O  I  ZAWISU KR Z YSZ TOF   JAN KOWSKI  (WAR SZ AWA) Politechnika Warszawska 1.  Wstę p W  iocie  ustalon ym  pilot  stara  się   utrzymać jednostajny  ruch  ś migł owca  na  zadanym torze  i  w  tym  celu  utrzymuje  w  stał ym  poł oż eniu  organy  sterowania,  nieznacznie  i fta krótki  czas  odchylają c  je  dla przeciwdział ania zaburzeniom tego ruchu. U stalonym stanom lotu  odpowiadają   wł aś ciwe  poł oż enia  organów  sterowania,  wielkoś ci  ką tów  opisują cych przestrzen n e  poł oż enie ś migł owca  i inne param etry  ruchu. Wielkoś ci  te zmieniają   się  wraz ze  zm ianą   prę dkoś ci,  wysokoś ci  lotu,  masy  ś migł owca  i  innych  czynników,  ponieważ  od nich  zależą   sił y  i  m om en ty  dział ają ce  w  ruchu  ustalonym  n a  ś migł owiec.  Istotny  wpływ na  param etry  ruch u  ustalon ego  m a  też  wyważ enie  ś migł owca,  gdyż  przy  jego  zmianie zmieniają   się   odległ oś ci  pun któw  przył oż enia  poszczególnych  sił   od  ś rodka  masy  ś mi- gł owca. Zależ noś ci  param etrów  ruchu  ustalonego  od  prę dkoś ci  lotu  nazywane  są   krzywymi równowagi,  a  ich  graficzne  przedstawienie  —  wykresami  równowagi.  Buduje  się   je  dla każ dego  z  ustalonych  stanów  lotu  i  dla  róż nych  wartoś ci  gł ównych  parametrów  eksploa- tacyjnych.  Krzywe  równowagi  pozwalają   okreś lić  zapasy  sterowania,  ką ty  pochylenia, przechylenia  i  ś lizgu  ś migł owca  na  róż nych  etapach  lotu,  a  także  pewne  charakterystyki statecznoś ci  statycznej  i  sterownoś ci.  Krzywe  te  otrzymuje  się   metodami  obliczeniowymi, a  nastę pnie  weryfikuje  się   je  przez  porównanie  z  rezultatami  badań  ś migł owców  w  locie [8]. P rezen towan e  w  wielu  publikacjach  równania  ruchu  ś migł owca  w  prostej  postaci zapewniają   otrzym anie  tylko  jakoś ciowych  uwag  o  wielkoś ciach  parametrów  ruchu  usta- lonego  [ i,  6  i  in.]. Przy  rozpatrywaniu  wielu  zagadnień  (np. w  przypadku  analizy  statecz- noś ci  dynamicznej)  niezbę dna  jest •  znajomość  dokł adnych  wartoś ci  tych  parametrów. W  niniejszej  pracy  do  wyprowadzenia  równań  ruchu  ustalonego  posł użą   peł ne  równania dynamiczne ś migł owca  [2, 3]. Ze wzglę du n a nieliniowy  charakter i rozmiary  ukł ad równań algebraicznych  opisują cych  ruch  ustalony  ś migł owca  należy  rozwią zywać  wykorzystują c metody  numeryczne. R ówn an ia  ruchu  ustalonego  wyprowadzone  zostaną   dla  lotu  postę powego  ś migł owca w  pł aszczyź nie  pionowej,  pokrywają cej  się   z  pł aszczyzną   symetrii  kadł uba, w  tym  —  dla 444  K..  JAN K O WSK I zawisu.  Krzywe  równowagi  otrzym ano  dla  lotu  poziomego — stanu, w  którym  ś migł o- wiec najczę ś ciej  się  znajduje  oraz  dla  zawisu —•  podstawowego,  najbardziej  dla  ś migł owca typowego  stanu lotu. Wykresy  równowagi  dla  lotu  poziomego  przedstawiono  w  zależ noś ci od  prę dkoś ci  lotu,  a  dla zawisu  —  zależ nie  od wyważ enia  podł uż nego  ś migł owca. 2.  U proszczone  nieliniowe  równania  ruchu  ś migł owca dla  lotu  postę powego  i  zawisu Równania  ruchu  ś migł owca,  wyprowadzone  wedł ug  ogólnych  praw  dynamiki  [3,7], są  ukł adem równań  róż niczkowych  nieliniowych  silnie  sprzę ż onych, z okresowymi  współ - czynnikami.  Przy  rozpatrywaniu  szeregu  zagadnień  dynamiki  lotu  ś migł owca,  takich jak równowaga  w  ruchu  ustalonym,  stateczność  ruchu  zaburzonego  ś migł owca,  równania te  upraszcza  się przy  zachowaniu  gł ównych  czł onów  nieliniowych  do ukł adu  równań z nieokresowymi  współ czynnikami  [1, 5, 6, 7].  W  tym  celu  wprowadza  się  specjalne współ - rzę dne  uogólnione,  bę dą ce  pierwszymi  harmonicznymi  rozwinięć  w  szeregi  Fouriera współ rzę dnych  ką towych,  opisują cych  ruchy  wirnika  noś nego  i  ś migła  ogonowego,  zmie- niają cych  się  w funkcji  ką tów  azymutu.  D la  m odelu  matematycznego  ś migł owca jedno- wirnikowego  przedstawionego  w  [2, 3]  zastosowano  nastę pują ce  podstawien ia: —  ką ty  obrotu  j- tej ł opaty wirnika  noś nego  wokół  przegubów  poziomego i pionowego: (li  =  ao- ajCosfi- bjSinyii,  (i = . 0, 1, . . . , «- !),  (1) £, -   e„  H - e^osy* + / isin y, ,  {i -   0, 1,  ..., n - 1 );  (2) —  kąt  obrotu  / - tej  ł opaty  ś migła  ogonowego  wokół   przegubu  wah ań : L ,J  =   co- c,cos?/ '.vj- disin^.,,-,  ( / =   0,  1,  . . . , m - l ).  (3) N owe  współ rzę dne a 0 ,  a l 5  ..., rf, są funkcjami  czasu, a nie zależą  od  ką tów  azymutów fi  i  ip SJ .  Przy  sumowaniu  wyraż eń  w  równaniach  ruchu  po wszystkich  ł opatach,  przy liczbach  ł opat  n > 3 oraz  m ̂   3,  redukują  się  funkcje  ką tów  ipi i  y> sj   [5,  6]. N astę pne  uproszczenia  polegają  na zastą pieniu  funkcji  trygonometrycznych  ką tów opisują cych  ruch  wirnika,  ś migła  ogonowego  i  statecznika  pierwszymi  wyrazami ich rozwinięć  w szereg  M aclaurin a:  sin/ 9; X  &,  cos;?,-  x  1—»-   |Sf,  ... W równaniach  ruchu opuszcza  się czł ony  powyż ej  drugiego  rzę du  wzglę dem  mał ych  wielkoś ci. Równania  ruchu,  wyprowadzone  dla ogólnego  przypadku  [2, 3]  wzglę dem  ś rodka masy  kadł uba, dla  równań  uproszczonych  wygodnie  jest  sprowadzić  d o  innego  pun ktu — ś rodka  masy  ś migł owca  w locie  ustalonym.  M om en ty  statyczne  ś migł owca  wzdł uż  osi ukł adu  współ rzę dnych,  mają cego  począ tek  w  ś rodku  masy,  bę dą  wtedy  równ e  zeru. D la  opisu  rozkł adu  prę dkoś ci  indukowanej  przez  wirnik  noś ny  v t   wykorzystano nastę pują ce  przybliż one  zależ noś ci  [5]: —  dla  lotu  postę powego: 4  U R U C H   U STALON Y  Ś M IG ŁOWCA  445 gdzie:  U,  W —  skł adowe  podł uż na i pionowa  prę dkoś ci  ś migł owca, r —  aktualny promień, R w —  prom ień  wirnika,  a  prę dkość  v 0   zwią zana  jest  ze  skł adową   wzdł uż  osi  O 2 z 2   [3] cią gu  wirnika  równ an iem : - Z%  =  2nRl Q [(W - v o f  + u4v o ,  (5) R k   —  promień  aerodynam icznie  czynnej  czę ś ci  wirn ika; —•   dla  zawisu  i  lotu  pionowego  z  mał ymi  prę dkoś ciam i: D la  ś migła  ogonowego  przyję to,  że  prę dkość  indukowana  v„ jest  stał a  na  cał ej  po- wierzchni  ś migła  i  m oż na  ją   wyliczyć  z  równ ań : —  dla  lotu  postę powego: y;  -   2T ZĄ SQ (U 2  + W 2  +vrfv,;  (7) —  dla  zawisu: gdzie  Y%  jest  skł adową   cią gu  ś migła  ogonowego  wzdł uż  osi  O Ą y A ,{3], P o  uwzglę dnieniu  powyż szych  ustaleń  oraz  dokon an iu  czę sto  stosowanych  w  opisie aerodynamiki  ś migł owców  przekształ ceń  [2,7]  ukł ad  równań  róż niczkowych  ruchu, podany  w  [3],  zapisano  w  postaci: ^  (9) gdzie: —  y  [ 37] — wektor,  którego  skł adowymi  są   quasi- prę dkoś ci  i  współ rzę dne uogólnione: y  =   co\ [U, V,  W , P,  Q,  J ? , a ) , a o , a 1 , S I ,  e o , e l s / i ,  h,  ii,di,aiu,(Okp, x e ,y g ,  z„, * ,  0,  W , a 0 ,  a l ,b l ,  e 0 ,  «i, / i,  c 0 ,  C u d u «,  tj, 

  * 2 ( y ) ,  . . . . B„(j)],  (11) C (y)  .  eol[Cx(jr).  C 2 (y),...,  C 31 (y)].  (12) Elementy  Q ( y)  funkcji  wektorowych  C(y)  odpowiadają   dział ają cym  na  ukł ad  sił om uogólnionym  Qf  (/   =   1, 2, . . . ,  18),  dlatego  należy  opisać  tylko  18  pierwszych  elementów C;(y),  pozostał e  są   toż samoś ciowo  równe  zeru. Wystę pują ce  wś ród  skł adowych  wektora  y  ką ty  sterowania  w  ruchu  podł uż nym  % oraz  bocznym  rj  poprzez  cię gna  ukł adu  sterowania  wpł ywają   n a  ką ty  pochylenia  tarczy sterują cej  0,  i  0 2 ,  od  których  zależą   ką ty  ustawienia  ł opat  wirnika  cpi  [2,  3, 7]; 0 2   =   #cost/ .>o—Tjsinipo,  (13) kb^ smipt  + ̂ - ka^ cosfi,  (i  =   0,  1,  . . . , n - l ), gdzie  v- 'o —  ką t  wyprzedzenia  sterowania,  ę g   —  ką t  skoku  ogólnego,  k —  współ czynnik kom pen satora  wzniosu  ł opaty. 446  K.  JAN KOWSKI 3.  Równania  ruchu  ustalonego Zgodnie  z  definicją   [4]  ruch  ukł adu  jest  ustalony,  jeż eli  współ rzę dne  niecykliczne i  odpowiadają ce  współ rzę dnym  cyklicznym  prę dkoś ci  mają   stał e  wartoś ci.  Wobec  tego stan  ruchu  ustalonego  bez  zmian  poł oż enia  ką towego  kadł uba  ś migł owca  w  przestrzeni charakteryzuje  wektor  y0  o  nastę pują cych  współ rzę dnych: y0  =   col[tfo,  Vo,  »o ,  0 , 0 ,  0, w0,  0,  0, 0,  0, 0,  0, 0, 0,  0,  a> wo , cokp0,  x„  )>g',ze, (1 4) gdzie  wielkoś ci  z  indeksem  „ 0 "  nie  zmieniają   się   wraz  z  czasem. Po  uwzglę dnieniu  powyż szego  w  równaniach  dynamicznych  ruchu,  dla  wyznaczenia parametrów  ruchu  ustalonego  otrzymuje  się   z  18  pierwszych  równań  ukł adu  (9)  układ równań  algebraicznych,  w  którym  wystę puje  22  niewiadome —  stał e  współ rzę dne wektora Yo •   Wynika  z tego, że 4  z tych  wielkoś ci  mogą   mieć dowolne  wartoś ci.  W  rozpatrywanym przypadku  rozmaitość  ruchu  ustalonego  ma  wię c  wymiar  4  i jest  równa  liczbie  wię zów nieholonomicznych,  nał oż onych  na  ukł ad  [3].  Jest  to  zgodne  z  wynikami  rozumowania przedstawionego  w  [4]. D la  konkretnych  zastosowań  równania  ruchu  ustalonego  zostaną   zmodyfikowane w nastę pują cy  sposób. P rę dkość ką towa  wirnika a 0   zostanie przyję ta  jako  dan a dla okreś lo- nego typu  ś migł owca i rozpatrywanego  stanu lotu, a jako  niewiadomą   przyjmie  się  moment napę dowy  N 'i 2 -   Podobnie  postą pi  się   z  prę dkoś ciami  turbin  swobodnych  oj kio   i  a> kpo , nie doł ą czając  równań  okreś lają cych  je  —  w  stanie  ustalonym  wypadkowe  m om enty  na nie dział ają ce  muszą   być  równe  zeru.  Poza  tym,  w  zwią zku  z  koniecznoś cią   wyznaczenia wartoś ci  prę dkoś ci  indukowanych  przez  wirnik  noś ny  v 0   i  ś migło  ogonowe  v si   do równań ruchu  ustalonego  doł ą cza się   równania  okreś lają ce  je :  (5) i  (7) lub  (6) i  (8).  Aby  obliczyć współ rzę dne poł oż enia ś rodka  masy  ś migł owca  wzglę dem  ś rodka  masy  kadł uba x°,  y°  i z°, należy  doł ą czyć  dodatkowo  3  równania,  wynikają ce  z  przyrównania  do  zera  momentów statycznych  ś migł owca: S s x m =   / i,mH, +  y  • Aflooflio- 'uiin ij- yAjC oorii- o-   "h^ °  -   0, Sy"  ~  ium w +—Si,a oo b lo   + h s inin s - mS ys c oo - m L y u   -   0,  (15) Si'"  ==  - h i m w - nS„a O o- h 6 inm ! ,+—- S ys c oo c lo - m k z 0  =   0, gdzie  m w   —  masa  wirnika,  m s   —  masa  ł opaty  ś migła  ogonowego,  m k   —  masa  kadł uba, hi,  h 2 ,  • .., h 6   —  odpowiednie odległ oś ci  od ś rodka  masy  ś migł owca  (rys.  1), Ą , - i-   moment statyczny  ł opaty  wirnika  wzglę dem  osi  przegubu  poziomego,  S ys   —  m om ent  statyczny ł opaty  ś migła  wzglę dem  osi  przegubu  wahań. D la  przypadku  lotu  poziomego  warunki  pozwalają ce  wyznaczyć  4  wielkoś ci  dowolne ,moż na  sformuł ować  w  nastę pują cy  sposób: —  z  zał oż enia,  że  lot  odbywa  się   bez  ś lizgu,  skł adowa  boczna  prę dkoś ci  ś migł owca ^0   =   0 , —  z  zał oż enia, że  wektor  prę dkoś ci  Vc  ma stał y kierunek  i moduł ,  skł adowe  prę dkoś ci liniowej  ś migł owca  U o   i  W o   i  ką ty  quasi- eulerowskie  zostaną   w  nastę pują cy  sposób zwią - R U C H   U STALON Y  Ś M IG ŁOWCA 447 Rys.  i.  Poł oż enie  ś rodka  masy  ś migł owca  wzglę dem  ś rodka  masy  kadł uba zane  z  prę dkoś ciami  w  ukł adzie  inercjalnym: y g   =  U o cosd o ń n l I / Q +W o cos® o sin0 0 sm x F o   =   O,  (16) kg  =   ~U 0 sinO Q +W 0 cos 0 cosdo  =   0. W  efekcie  dla  lotu  poziomego  otrzymuje  się   ukł ad  24  równań  algebraicznych  nielinio- wych  z  24  niewiadomymi  —  param etram i  ruchu  ustalonego.  Parametry  te  są   skł adowymi szukanego  wektora  z: • ,  _  r . - ,|  r/ 7  W     ' ' 0 '  - ' O ł ^ O j  0 )  u 0 O )  1 0 ) * ^ 1 0  ?  ^ O O J  J 0 » 7  1 O J  0 0 ?  ^ 1 0 '  Ł t 1 0 ) Ą T /I  O  . . 0  y O l  ^  ) D la  stanu  zawisu  ś migł owca  zakł ada się   zerowe  wartoś ci  prę dkoś ci  U Q ,  V o   i  I F 0 oraz moż na  dowolnie  przyją ć  ką t  odchylenia  ś migł owca  W o .  D la tego  przypadku  otrzymuje  się ukł ad  21  równań  algebraicznych  nieliniowych  z  21  niewiadomymi —  szukanymi  parame- trami  ruchu  ś migł owca  w  zawisie. 4.  Numeryczne  wyznaczenie  parametrów  lotu  poziomego oraz  zawisu  ś migł owca W  celu  wyznaczenia  param etrów  ruchu  ustalonego  należ ało  rozwią zać  odpowiednie ukł ady  równań.  Obliczeń  numerycznych  dokon an o  n a  maszynie  cyfrowej  C D C  6400 w  systemie  C YBER ,  wykorzystują c  wł asne  program y.  D la  rozwią zania  ukł adów  równań 280  VMm/ ą - 0,08 R ys.  2.  Wykresy  równ owagi  ś m igł owca  w  locie  poziom ym —  zm ian y  ką tów  przech ylen ia    80 [km/ h] rozmyś lnie, gdyż aerodynamika ś migł owca, a szczególnie kadł uba jest  w zawi- sie  cał kowicie  odmienna  od lotu  poziomego.  Przy  prę dkoś ciach  poniż ej  80 - =- 100 [km/ h] wystę puje  strefa  przejś ciowa,  trudn a  do  opisu  analitycznego,  który  dał by  wiarygodne wyniki. W  niniejszym  rozdziale  opuszczono  stosowane  w  równaniach  (14)- r(17)  indeksy 0 przy  oznaczeniach  param etrów  ruchu  ustalonego. RU C H   USTALONY  Ś MIGŁ OWCA 451 N a  rys.  2  pokazan o  wykres  zmian  z  prę dkoś cią  lotu  quasi- eulerowskich  ką tów  $—• przechylenia  i  6 —  pochylenia.  Jak  m oż na  zauważ yć,  wraz  ze  wzrostem  prę dkoś ci  nastę- puje  charakterystyczne  pochylanie  „ n o sa "  ś migł owca  do  doł u  (kąt  6  maleje),  co  wynika z  niezbę dnej  dla  równowagi  zmiany  podł uż nych sił   i  momentów,  dział ają cych  na  ś migł o- wiec.  N ajwię kszy  dodatn i  kąt  pochylenia  wystę puje  przy  mał ych  prę dkoś ciach  lotu  oraz przy  tylnym  wyważ eniu,  gdy  h\   roś nie.  Widać  to  n a  rys.  3,  gdzie  dla  przypadku  zawisu pokazano  zależ noś ci  (w  przybliż eniu  liniowe)  ką tów    i  0  od  wyważ enia  podł uż nego. fa[ rod] 'JŁ. 0.20 0.18 0,76 o  io - 250 - 290 - 330- - 370 80 di 120 760 0.2 200 2tO 0'.3 280 Vcfkm/ h] )'- 5t7,t Rys.  7.  Wykresy  zmian  z  prę dkoś cią  lotu  skł adowej  cią gu  wirnika  Z„,  momentu aerodynamicznego N $i oraz  ką ta  skoku  ogólnego  s , m .in. w  zwią zku  ze wzrostem  sił y bocznej  statecznika pionowego  — odpowiednio uprofilowanej  czę ś ci  belki  ogonowej.  W  rzeczywistoś ci  dla  duż ych prę dkoś ci, ze  wzglę du  n a  wejś cie  stateczn ika  pionowego  i  ś migła  ogonowego  w  strefę   zawirowań od  wirnika  n oś n ego, pogarszają   się   ich warunki  pracy  i należy  zwię kszyć ką t  skoku ś migła (p s . Widać  tu przy  duż ych prę dkoś ciach lotu n iedostatek przyję tego  modelu opł ywu ś migła ogonowego  i  stateczn ika  pion owego.  ,   ; S.  Wnioski  I W  pracy  przedstawion o  m etodykę   wyznaczania  param etrów  ruchu  ustalonego  ś mi- gł owca dla lotu postę powego  i zawisu.  R ówn an ia ruch u ustalonego wyprowadzono  z ogól- nych  równ ań  dynamicznych  ruch u  przestrzennego  ś migł owca,  bez  rozdzielania  ruchu obiektu  n a  ruchy  podł uż ne  i  poprzeczne —  ze  wzglę du  n a  ich  silne  sprzę ż enie. Otrzymane  z  rozwią zan ia  ukł adu  równ ań  ruchu  ustalonego  krzywe  równowagi  mogą być  wykorzystywane  dla  rozwią zywania  problemów  projektowych  bą dź  eksploatacyjnych. D la  tego  celu  należy  je  każ dorazowo  weryfikować  przez  porównanie  z  odpowiednimi wynikami  badań  ś migł owców  w  locie. Literatura  cytowana  w tekś cie 1.  A. R. S.  BRAMWELL,  Helicopter dynamics,  London 1976. 2.  K.  JAN KOWSKI,  Modelowanie fizyczne  i  matematyczne wł asnoś ci  dynamicznych  sterowanego  ś migł owca w  ruchu przestrzennym,  Rozprawa  doktorska,  Politechnika  Warszawska,  Warszawa  1982. 3.  K.  JAN KOWSKI, J.  M ARYN IAK, Modelowanie matematyczne automatycznie sterowanego ś migł owca  w ruchu przestrzennym, M ech.  Teoret.  i  Stos.,  23,  3- 4,  1985. 4.  J. I .  N EJMARK,  N . A.  F OTAJEW,  Dynamika  ukł adów nieholonomicznych,  PWN ,  Warszawa  1971. 5.  P. R.  PAYN E,  Helicopter dynamics  and aerodynamics,  Pitman,  London  1959. 6.  H . L.  P RIC E, R otor  dynamics and  helicopter  stability, P art  I I I :  Solution  of the trim equations,  Aircraft Eng.,  N o .  11,  N o .  12,  1963. 7.  C.  K>.  EcAyjioB,  O . I I .  BAXOB, H . C . fliwH iPneB, Bepmo/ tem  KOK o6iei.  PoMACiiBHiij  F . A.  CAM OH JIOBJ  npaKmuHecKan  aspodunaMUKa  sepmojiemos, BoeHn3,naTj  MOCK- Ba  1980. 9.  M .  C .  RvynoBm,  npaxmunecKan  adpobunatniKa  ecpmonema Mu- 6",  T p a n c n o p i ,  MocKBa  1969. P  e  3  IO  M e M ETOflH KA  OriPEflEJlEH M fl  n AP AM E TP OB  YC TAH OBH BIIIErOC fl flBI- D KEH M fl BEPTOJIETA  C  I I P H M E H E H H E M  K  rO P H 3O H T AJI BH O M y  riO JI E T Y  I I  BH CEH H IO B  paSoTe  npeflcrasjieH o  MexoflUKy  nocTpoeHHH  6ajiancH poBotiH tix  K P H B H X noneTa  BepTOJieia.  YpaBHeHHH  ycraHOBHBmerocH  flBH >KeH H H  BBiBe^eHbi  H3 o 6m n x ypaBHeHHH   npocTpaHCTBeHHoro  flBH weH wi  BepTone'Ta.  YcTaHOBiieHoj  MTO  H JIH   n o jin o ro onn- caHHa  ycTaHoBHBiiierocH   npHMonHHeń Horo  noJieTa  Hy>KHo 24 H ejinnefmbix  anreSpajmeCKH X ypaBHeHHii c  24- oAia neH3BecTHbiMH  (napaMeTpaMH  ycranoBH BiuerocH  flBH >i