Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z3_4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3- 4,73  UOT5) BADANIE  S TATECZNOŚ CI  USTALONYCH  STANÓW  LOTU  STEROWANEGO Ś MIGŁOWCA  I  ANALIZA  S PRZĘ Ż EŃ  RUCHÓW  PRZESTRZENNYCH  JEGO ELEMENTÓW KRZ YSZ TOF   JAN KOWSKI  (WAR SZ AWA) JERZY  M ARYN JAK Politechnika  W arszawska 1,  Wstę p Stan lotu  ś migł owca,  ustalon y  przez  pilota  odpowiednim  ustawieniem  organów  sterow- niczych,  może  być  naruszony  róż nymi  zewnę trznymi  zaburzeniami:  podmuchem  wiatru, zmianą   wyważ enia,  przypadkowym  ruchem  drą ż ka  sterowego,  wystrzeleniem  rakiet  itp. P raktyka  pokazuje,  że  ś migł owce  jedn o wirnikowe  z  wirnikami  noś nymi  z  przegubowym zamocowaniem  ł opat  nie  są   stateczne  w  szerokim  zakresie  prę dkoś ci  i  wysokoś ci  lotu [10,  11, 12]. D la polepszenia  charakterystyk  pilotaż owych  ś migł owców  stosuje  się   specjalne urzą dzenia  autom atyczn e.  W  przypadku  podł ą czenia  ich  wedł ug  schematu  róż nicowego odchylenie  organ u  sterowniczego  jest  sumą   odchylenia  drą ż ka  sterowego  i  sygnał u  urzą - dzenia  autom atyczn ego.  Sterują c  ś migł owcem  wyposaż onym  w  odpowiednio  dobrany ukł ad  sterowania  autom atyczn ego pilot m a do czynienia ze statecznym obiektem  latają cym. P rzedmiotem  prezen towan ej  pracy  jest  badanie  statecznoś ci  lotu  poziomego  i  zawisu ś migł owca  jedn owirn ikowego,  a  także  analiza  sprzę ż eń  pomię dzy  ruchami  jego  poszcze- gólnych  elementów  oraz  rucham i  okreś lanymi  jako  podł uż ne  i  boczne.  M odel  matema- tyczny  ś migł owca,  którego  stateczność rozwią zań  bę dzie  badana, przedstawiono  w pracach [5, 6, 7].  W  wyprowadzonych  tam  równaniach  uwzglę dniono  ruchy  wzglę dem  kadł uba ś migł owca  takich jego  elementów, jak  ł opaty  wirnika  noś nego,  ł opaty  ś migła  ogonowego, statecznika  i  turbin y  silników,  biorą c  pod  uwagę   nieinercjalność  ukł adów  odniesienia, wzglę dem  których  badan y jest ruch. W równaniach ruchu ś migł owca uwzglę dniono pon adto wpryw  ukł adu  sterowania  automatycznego,  którego  oddział ywanie  n a  ś migł owiec  wyra- ż one  jest  wię zami  kinematycznymi. 2.  Równania  róż niczkowe  ruchu  zaburzonego Wyprowadzone  w  [5, 6] nieliniowe  równania  róż niczkowe  ruchu, po wył ą czeniu  równań opisują cych  ruch  turbin  swobodnych  (ze  wzglę du  na  sł abe  sprzę ż enie  z  pozostał ymi  rów- naniami),  m oż na  zapisać  w  nastę pują cy  sposób: 456 K.  JAN KOWSKI,  J.  MARYNIAK - ^ + B ( y)  .  C(y), gdzie: —  y[35] —  wektor,  którego  skł adowymi  są   ą uasi- prę dkoś ci  i  współ rzę dne  uogólnione (opisane  w  [6,7]  oraz  poglą dowo  pokazan e  n a  rys.  1): y  =   col[t7, V,  W , P,  Q,  R,  co, a 0 ,  a lt   b lt   e 0 , el,fl,  c0,  cl,dx,  xg,  yg,  z, , (2) ,  ^T-   A[35x35] —  macierz,  której  elementy  są   funkcjami  skł adowych  wektora;, , —  B(y), C(y) —  funkcje  wektorowe  z  cią gł ymi  drugimi  pochodnym i  wzglę dem  y. Stan  ruchu  ustalonego  charakteryzuje  wektor  y 0 ,  speł niają cy  równanie  wektorowe: B( y0)  -   C ( y0 ) .  (3) c) I  OS„ s\ 02kQ" Rys.  1. Schemat ś migł owca z  zaznaczonymi parametrami wystę pują cymi  w  opisie jego  ruch u: a) widok ogólny,  b) widoki  z boku  i  z  tył u  „ stoż ka"  opisywanego  przez  ł opaty  wirnika  noś nego, c) widoki  z tylu i  z  góry  „ stoż ka"  ł opat  ś migła  ogonowego O  STATECZNOŚ CI LOTU   4 5 7 Wartoś ci  stał ych  współ rzę dnych  tego  wektora  oraz  pozostał ych  param etrów  riichu ustalonego  wyznacza  się   ż  równ ań  ruchu  ustalonego  [6]. P oł óż my x  =   y - y0 ,  (4) gdzie  x  oznacza  odchylenie  rozwią zania  y  od  poł oż enia równowagi  opisanego  wektorem y 0 - Funkcje  wektorowe  z  równania  (1)  moż na  rozwiną ć  w  szereg  Taylora  do  postaci [2]: C (y)- B(y)  =   C ( yo) - B( yo) + C '( yo) x- B'( y0) x+ o( ||x||)  . ( 5 ) gdzie: D   =   C '(y0)  =   [Clk(yo)l,  (6) F   =   B'(y0)  =  [Bik(y0)],  (7) oznaczają   macierze  Jacobiego. P o  podstawien iu  (4)  i  (5)  do  równ ań  (1)  otrzymujemy  równanie  róż niczkowe  ruchu zaburzon ego: D»  ,  ( 8) M l ' gdzie:  : Ao  =   A|j, = yo.  ( 9) P ochodn e  sił  uogóln ion ych  obliczono  n a  drodze  analitycznej,  poprzez  róż niczkowanie odpowiednich  wyraż eń.  Są   on e  umieszczone  w  16- tu  pierwszych  wierszach  macierzy D   =   C '( y0) .  P rzy  obliczaniu  pochodnych  uwzglę dniono,  że  skł adowa  prę dkoś ci  induko- wanej  przez  wirnik  v 0   zależy  od  skł adowych  prę dkoś ci  liniowej  U,  V,  W  i  ką towej  i? ś mi- gł owca  oraz  od  prę dkoś ci  obrotowej  wirnika  co, a  prę dkość  indukowana  przez  ś migło ogonowe  v s   zależy  od  prę dkoś ci  U,  V,  W   i  Q  oraz  od  prę dkoś ci  obrotowej  ś migła  co s . W  dodatkach  do  pracy  [5]  p o d an o  wszystkie  elementy  macierzy  A,  D   i  F . 3.  M odel  matematyczny  badania  statecznoś ci  dynamicznej  obiektu ś migł owiec —  ukł ad  sterowania Z akł adają c,  że  stał a  macierz  Ao  w  równ an iu  róż niczkowym  ruchu  zaburzonego  (8) jest  nieosobliwa  i  m n oż ąc  lewostronnie  równanie  (8)  przez  A^ 1  otrzymuje  się : =   A5 C D B ) x+ o ( ||x||) .  (10) Wprowadzają c  macierz G ^ A o H D - F ),  (11) zwaną   też  macierzą   stanu,  równanie  róż niczkowe  ruchu  zaburzonego  moż na  zapisać w  postaci: J  (12) 458  K .  JAN K O WSK I ,  J .  M AR YN I AK D la  badania  statecznoś ci  w  sensie  Lapun owa  poł oż enia  równowagi  ukł adu,  którego ruch  opisywany  jest  równaniem  róż niczkowym  autonom icznym  (1)  wykorzystano  twier- dzenia  podane w  [2]. Z mienna x  wyznaczają ca  odchylenie  rozwią zania  y  od  stanu ruchu ustalonego  y0  speł nia równanie róż niczkowe  (12). Jeś li  wszystkie wartoś ci  wł asne macierzy G   =   A Q K D - F)  m a J ą   ujemne  czę ś ci  rzeczywiste,  to  stan równowagi  y  =   y0  jest asympto- tycznie  stateczny  przy  t  - *•   co. Ponieważ  rozpatrywany  ukł ad  jest  ukł adem  nieholonomicznym  [7]  przy  badaniu statecznos'ci  w  sensie  Lapunowa,  otrzym a  się   pewną   liczbę   zerowych  wartoś ci  własnych macierzy  stanu  [9]. U kł ady  nieholonomiczne mają   pewne  rozm aitoś ci  poł oż eń  równowagi lub  rozmaitoś ci  ruchu  ustalonego  [6].  W  zwią zku  z  tym  równ an ia  zlinearyzowane  tych ukł adów  należy  badać  w  otoczeniu rozmaitoś ci  poł oż eń  równowagi  lub  ruchu  ustalonego. Jak  wykazano  w  [9], zerowe  wartoś ci  wł asne  macierzy  stan u  wynikają   z  tej  rozmaitoś ci i  nie  są   równoznaczne  z  przypadkiem  krytycznym  w  teorii  statecznoś ci. D la  rozpatrywanego  modelu  matematycznego  ś migł owca  wymiar  rozmaitoś ci  ruchu ustalonego  jest  równy  4  [6].  N ależy  wię c  spodziewać  się   4  zerowych  wartoś ci  wł asnych, których  nie  należy  brać  pod  uwagę ,  a  stateczność  oceniać  wedł ug  pozostał ych  wartoś ci wł asnych  macierzy  stanu. Przy  pomocy  otrzymanych  równań  ruchu  zaburzonego  (12)  m oż na  badać  stateczność każ dego  punktu 4- wymiarowej powierzchni,  odpowiadają cej  rozmaitoś ci  ruchu ustalonego. W zastosowaniach  praktycznych  bada się   stateczność  wybranych  pun któw  tej  powierzchni, waż nych  z  fizycznego  pun ktu  widzenia. 4.  Przykład  obliczeniowy  na  badanie  własnoś ci  dynamicznych  ś migłowca Przy  badaniu  wł asnoś ci  dynamicznych  ś migł owca  razem  z  wartoś ciami  wł asnymi  kj macierzy  stanu  oblicza  się   odpowiadają ce  im  wektory  wł asne  W j.  U moż liwia  to przepro- wadzenie  analizy  modalnej,  polegają cej  n a  obliczeniu  czę stoś ci  drgań  i  współ czynników tł umienia  oraz  wyznaczeniu  postaci  drgań.  W  efekcie  m oż na  stwierdzić,  które  ruchy obiektu  ś migł owiec- ukł ad  sterowania  są   charakteryzowane  przez  kolejne  wartoś ci  wł asne macierzy  stanu. Obliczeń  numerycznych  dokon an o  dla  modelu  fizycznego  ś migł owca  klasy  Mi- 6, którego  charakterystyczne  dan e  są   nastę pują ce:  m asa —  35 000  [kg],  liczba  ł opat  wirnika noś nego —  5,  promień  wirn ika—17, 5  [m],  cię ciwa  przekroju  ł opaty  o  obrysie  prosto- k ą t n ym —l  [m], prę dkość  obrotowa  piasty  wirnika  —11, 8  [rad/ s],  liczba  ł opat  ś migła ogonowego  —  4,  promień  ś migła —  3,15  [m], cię ciwa  charakterystyczna  przekroju  ł opaty ś migła —0, 5  [m],  współ czynnik  sprzę ż enia  ką ta  obrotu  piasty  ś migła  z  ką tem  obrotu piasty  wirnika  —•  5,66.  D la  opisania  poł oż eń  równowagi,  których  stateczność jest  badana, wykorzystano  obliczone  w  [6] parametry  lotu  poziomego  (dla  róż nych  wartoś ci  prę dkoś ci lotu  V c )  oraz  param etry  zawisu  ś migł owca —  zależ nie  od  wyważ enia  podł uż nego. Lot  poziomy Spoś ród  wartoś ci  wł asnych  macierzy  G [35x35]  4  są   bliskie  zera  dla  cał ego  zakresu zmian prę dkoś ci lotu, co wynika z nieholonomicznoś ci ukł adu  i jest zgodne z  wcześ niejszymi rozważ aniami. O  STATECZN OŚ CI  LOTU 459 J ako  charakterystyczne  należy  wskazać  postacie  odpowiadają ce  ruch om :  krótko- okresowemu  (Ai.a  i  / l3 t 4 )  i  dł ugookresowemu  ( 7 5 > 6 )  ś migł owca.  Ponieważ  jako  dane przyję to  param etry  cię ż kiego  ś migł owca,  ze  ś rodkiem  parcia  kadł uba  poł oż onym za  SM ś migł owca,  postacie  te  nie  zawierają  ruchu  pochylają cego  (zaburzeń  prę dkoś ci  Q), Repre- zentują  one  n atom iast  sprzę ż one  ruchy  pionowe  i  boczne  ś migł owca  ( A1 > 2,  A5i  6 ) .  Jak widać  n a  rys.  2,  sł abo  tł um iony  ruch  oscylacyjny  o  czę stoś ci  ł ;3 i 4  n a duż ych  prę dkoś ciach (powyż ej  240  [km/ h])  przekształ ca  się  w  oscylacje  rozbież ne —  ruch  ś migł owca  staje  się niestateczny. Wykresy  param etrów  ruchów  bocznych  ś migł owca,  sprzę ż onych  z ruchami  pionowymi, umieszczono  również  n a  rys.  3.  Są  to  ruchy  oscylacyjne,  z  wyją tkiem  A7  i  Xa,  które  dla prę dkoś ci  V c   <  130  [km/ h]  reprezentują  dwa  ruchy  aperiodyczne  o  współ czynnikach tł umienia  £ 7  i  £ 8- Interesują ce  są  postacie  giroskopowe  ruchów  wirnika  noś nego  i  ś migła  ogonowego. N ie  m oż na  tu  wyodrę bnić  czystej  postaci  ruchu  precesyjnego,  mamy  do  czynienia  raczej ns,e o.ro 0,08 0.0B- aa- o- 0.04- 0.06- • 0,12- - 0,16- - 0,20- 13,4 0,9 0,8 0,7 M L 0,5 0,4 80 - OJ • 0,2 - n.i - o/ . - o.s , 13,4 120 h Ą y • >•   Ł s ,e - ~.  Q3.4 —  ' ' * • 160 —— / / / Q6,S 1  y 200 is, e ... /   1 / / / / 2W   2B0 V,[km/ h] R ys.  2.  C zę stoś ci  oscylacji  ni  •   współ czyn n iki  t ł u m ien ia  £j  w  funkcji  prę dkoś ci  lotu  V e   dla  ruch ów  kró t ko - i  dł ugookresowych  ś m igł owca 460 K.  JAN KOWSKI,  J.  MARYN IAK ze  zł oż onym ruchem nutacyjnym:  A1S>  1 6  —  zmiany  ką tów  o 0  i at  oraz prę dkoś ci  pionowej W ,  czę stość  oscylacji  zbliż ona  do  prę dkoś ci  obrotowej  wirn ika:  ł / 1 S t l 6  x  co;  A l s > 1 9 _ zaburzenia  współ rzę dnych  a ±   i  b L ,  silnie  sprzę ż one  z  zaburzeniam i  współ rzę dnej  c x  ruchu ł opat  ś migła  ogonowego  oraz  prę dkoś ci  przechylania  P  cał ego  ś migł owca,  rj 1819   #   3^. 2,0- W - 0,5- JO- - 0,2 ~o,< - - 0, 6- - 7.0- - 7,2- 3,5 3,0 2.5 2,0 80 • 1.0 - 4,0 g y 120 Y • X s. Bardzo  waż ne  są   zaobserwowane  sprzę ż enia  poszczególnych  ruchów  ś migł owca. Istnieją   tu  nie  tylko  sprzę ż enia  ruchów  podł uż nych  i  bocznych  kadł uba  ś migł owca,  ale i  sprzę ż enia  pomię dzy  rucham i; kadł uba i  wirn ika;  wirnika  i  ś migła  ogon owego;  kadł uba, wirnika  i  ś migła  ogonowego.  ;• • • '.- ,. O  S TATECZNOŚ CI  LOTU 461 Zawis  ś migł owca W  zawisie,  oprócz  wskazanych  przy  analizie  lotu  poziomego  postaci  giroskopowych ruchów  wirnika  noś nego  i  ś migła  ogonowego,  interesują ce  są   postacie  ruchów  cał ego ś migł owca  w  przestrzeni,  przy  czym  są   t o  zarówno  ruchy  przestrzenne  ś rodka  masy  ś mi- gł owca, jak  i  sprzę ż one  z  nimi  ruchy  wokół   ś rodka  masy.  D o pierwszej  grupy  należą   n p . : 1V,B 0.4i 0,40- - 0,16- - 0.18 - 0,20 - U,tU- - 0,24- - 0,25 - 0,28 - 0,8 • 0,4 - 045 - 0,5 • 0,55 - 0,6 - ass - 0,7 I f , \ \ \ - QE \ \ \   • \ te S178 \ \ - 0.4 \ .  • - 0 2 0 tg •   • 0.2 < S • 0/ y y • 0.B / / .  n ;.  ..... • -   •   ; ,  . Rys. 4. Czę stoś ci oscylacji ty i współ czynniki tł umienia  Sj dla ruchów ś rodka masy ś migł owca oraz wokół ś rodka  masy  w  funkcji  odległ oś ci  AJ, V c  =  0 . k U2   —  tł um ion e  oscylacje  współ rzę dnych  z g ,  x g iy g ;  X 7§8   —  oscylacje  x g ,  y g   i  z g ;  A9  — aperiodyczne  sł abo  tł um ion e  Tuchy  ś rodka  m asy:  x g ,  y g ,  z g ;  a  do  drugiej  grupy:  A3 ( 4  — charakteryzuje  oscylacje  x g ,  y g ,  z g   i  ką ta  pochylenia  6;  X s ,  X 6  —  aperiodyczne,  tł umione ruchy  pionowe  i  postę powe  ś migł owca,  sprzę ż one  z  ruchem  bocznym  i  pochylaniem  6. N a  rys.  4  wykreś lono  w  zależ noś ci  od  wyważ enia  podł uż nego  ś migł owca,  charak- teryzowanego  odległ oś cią   A?  od  ś rodka  masy  kadł uba  do  osi  wirnika  noś nego,  czę ś ci rzeczywiste  i  urojon e  wartoś ci  wł asnych  odpowiadają cych  ruchom  cał ego  ś migł owca: 462 K.  JAN KOWSKI,  J,  MARYNIAK Rys. 5. Czę stoś ci oscylacji tjj i współ czynniki tł umienia £ , dla sprzę ż onych  ruchów wirnika  noś nego i innych elementów,  V c   =  0 %s, K,  '̂7,8  i  b-   N ajwię ksze  zmiany  wykazują  współ czynniki  tł umienia  | 5  i  £ 7 | 8 ,  dą ż ą ce n a  krań cach  badanego  przedział u  d o  zera. D la  ruchów  zwią zanych  z  wirnikiem  (rys.  5),  oprócz  w  przybliż eniu  stał ych  współ - czynników  tł um ienia: fio jiii  £i2> fi3. i* i czę stoś ci  oscylacji  ł 7I O i  1L,  wystę pują  też zmienne, jak  n p.  |j5  —  współ czynnik  tł umienia  charakteryzują cy  sprzę ż one  ruchy  wirnika,  ś migła ogonowego  i  kadł uba ś migł owca.  Przy  wię kszych ujemnych  wartoś ciach  hi  ruch  stanie  się niestateczny. Z  analizy  postaci  pozostał ych ruchów  zwią zanych  z  wirnikiem  (rys.  6) wynika,  że przy wartoś ciach  h°  >  0,6  [m]  lub  h°  <  —0,8  [m]  ruch  bę dzie  niestateczny  —  współ czynnik tł umienia  £20,21  przyjmie  wartoś ci  dodatn ie.  Czę stość  oscylacji  ł ?2 0.2i  P fzy  mniejszym tł umieniu  jest  mniejsza  niż  przy  maksymalnym.  Interesują cy  jest  fakt,  że  A20, 2i  charak- teryzuje  gł ównie  zaburzenia  ruchu  ł opat  wirnika  noś nego  wokół   przegubów  pionowych i  ruchu  pionowego  SM   ś migł owca.  P odobn ie wraż liwy  na  zm iany  wyważ enia podł uż nego jest  współ czynnik  tł umienia  £24,25, również  charakteryzują cy  m.in.  ruchy  zwią zane  z  za- burzeniam i ką tów  obrotów ł opat wirnika  noś nego wokół  przegubów  pionowych, jak  i ruchy boczne  i  postę powe  SM   ś migł owca. O  S TATECZNOŚ CI  LOTU 463 Rys.  6. Czę stoś ci  oscylacji  rjj i współ czynniki tł umienia f,  dla pozostał ych ruchów zwią zanych  z wirnikiem, 5.  Wnioski Analiza  otrzym an ych  w pracy  równ ań  oraz wyników  obliczeń  numerycznych pozwolił a wyjaś nić  szereg  istotn ych  cech  dynamiki  lotu  automatycznie  sterowanego  ś migł owca. Stwierdzono,  że  czę ś ci  rzeczywiste  wartoś ci  wł asnych  macierzy  stanu,  charakteryzują ce stateczność  ruch u  ś migł owca,  doznają   znacznych  zmian  przy  zmianach  prę dkoś ci  lotu. Wynika  z  tego,  że  ukł ad  sterowania  automatycznego  ze  stał ymi  wartoś ciami  współ czyn- ników  wzmocnienia  nie  może podwyż szać  statecznoś ci  ś migł owca  w  cał ym zakresie  zmian prę dkoś ci  lotu.  W  zawisie  zaobserwowano  zmiany  wartoś ci  wł asnych,  charakteryzują cych zarówno  ruchy  podł uż n e, jak  i  boczne, w  zależ noś ci  od wyważ enia podł uż nego ś migł owca. Wystę powanie  znacznych  sprzę ż eń  ruchów  podł uż nych  i  poprzecznych  kadł uba  ś mi- gł owca  wywoł uje  potrzebę   wł ą czenia  do  każ dego  z  kanał ów  sygnał ów  proporcjonalnych do  param etrów  wszystkich  ruchów,  co pozwoli  uprzedzić  zaburzenia  wynikają ce  ze  sprzę - ż eń  i  polepszyć  jakość  stabilizacji.  Ten  sposób  sterowania  stosuje  się   w  ś migł owcach 464  K.  JAN KPWSKI,  J.  MARYN IAK produkowanych  w  U SA,  co sugerują  m.in. prace  [1, 8]. Tymczasem, jak  wynika  z dostę p, nych  ź ródeł   [10,11],  w  eksploatowanych  w  Polsce  w  latach  60- ych  i  70- ych  ś migł owcach stosuje  się  prawa  sterowania,  nie  zawierają ce  sygnał ów  sprzę gają cych. Rozważ enia  wymaga  sugerowana  w  pracy  [3]  idea  wł ą czenia  do  praw  sterowania ś migł owcem  param etrów  ruchu  ką towego  ł opat  wirn ika  noś nego  (pochylania  ( Ą  i a,} oraz przechylania  (6a  i  by)  „ stoż ka"  opisywanego  przez  ł opaty  wirnika,  rys.  1), z powodu sprzę ż enia  ruchów  wirnika  i  kadł uba  ś migł owca.  H ali  i  Bryson  intuicyjnie  podważ yli twierdzenie  o  szerokim  rozdzieleniu  („ large  separation ")  charakterystyk  czę stotliwoś cio- wych  wirnika  od  charakterystyk  czę stotliwoś ciowych  ruchu  kadł uba jako  ciał a  sztywnego i  porównali  róż ne  sposoby  sterowania —  bez  uwzglę dnienia  i  z  uwzglę dnieniem  dynamiki wirnika  w  prawach  sterowania.  W  niniejszej  pracy  oraz  w  innych pracach  [5, 7] przedsta- wiono  wyniki  jakoś ciowej  i  iloś ciowej  analizy,  które  demonstrują  wyraź nie  sprzę ż enia ruchów  kadł uba  i  wirnika. Z  powyż szym  zagadnieniem  zwią zane  są  problemy  tł umienia  dynamicznego  drgań przenoszonych  z wirnika  n a  kadł ub.  W  latach 70- ych  firm a  Sikorsky  umieś ciła n a gł owicy jednego ze ś migł owców  eliminator wahadł owy drgań typu  Sarazina- C hiltona.  Jak wiadomo [4],  eliminator  tego  rodzaju  musi  być  dostrojony  do  jedn ej  z  harm on iczn ych — tł umi drgania  odpowiadają ce  jednej  z  wielokrotnoś ci  prę dkoś ci  obrotowej  wirnika.  P o  wyko- rzystaniu  przedstawionego  modelu  matematycznego  i  dokon an iu  obliczeń  numerycznych dla  konkretnego  ś migł owca  otrzymuje  się  wskazania  iloś ciowe  co  do  doboru  takiego tł umika.  W  prezentowanym  w  tej  pracy  przykł adzie  obliczeniowym  jedn a  z  postaci drgań opisywana  wartoś ciami  wł asnymi  macierzy  stan u  / I i 8 , i 9  odpowiadał a sprzę ż onym ruchom wirnika  oraz  kadł uba  i  ś migła  ogonowego  o  czę stoś ci  t] la , 19   X  3cu.  Wynika  z  tego, że dla  danego  ś migł owca  tł um iona  powinna  być  3- cia  harm on iczn a. N ależy  podkreś lić,  że  powyż sze  rozważ ania  moż liwe  był y  d o  przeprowadzenia  dzię ki dysponowaniu  - wyprowadzonym  peł nym  modelem  dynamicznym  ś migł owca. Literatura  cytowana  w  tekś cie 1.  T. R.  CROSSLEY,  B.  PORTER,  Synthesis of  helicopter  stabilization  system using modal control  theory, Journal  of  Aircraft,  Vol. 9, N o . 1,  1972. 2.  R.  G U TOWSKI,  Równania róż niczkowe zwyczajne, WN T, Warszawa  1971. 3.  W. E.  H ALL,  A. E.  BRYSON,  Inclusion  of  rotor dynamics in controller  design for  helicopters,  Journal of  Aircraft,  Vol. 10, N o . 4,  1973. 4.  J. P .  H ARTOG   D E N ,  Mechanical vibrations,  McG raw- H ill,  N ew York  1956. 5.  K.  JANKOWSKI,  Modelowanie fizyczne  i  matematyczne  wł asnoś ci  dynamicznych  sterowanego  ś migł owca w  ruchu  przestrzennym, Rozprawa  doktorska,  Politechnika  Warszawska,  Warszawa  1982. 6.  K.  JAN KOWSKI,  Metodyka  wyznaczania  parametrów ruchu ustalonego  ś migł owca  na przykł adzie  lotu poziomego i  zawisu, Mech.  Teoret.  i  Stos.  vol. 23, n o. 3- 4,  1985. 7.  K.  JAN KOWSKI,  J.  MARYN IAK,  Modelowanie. matematyczne automatycznie  sterowanego  ś migł owca w  ruchu  przestrzennym, Mech.  Teoret.  i  Stos.  vol.  23, n o . 3- 4,  1989. 8.  R. D .  M U R P H Y. K . S. N AREN D RA, Design of helicopter stabilization systems using optimal control theory, Journal  of  Aircraft,  Vol. 6, N o . 2,  1969. 9.  J. I .  N EJMARK,  N . A.  FOTAJEW,  Dynamika  ukł adów  nieholonomicznych,  P WN ,  Warszawa 1971. 10.  H . C. flM H TPEBj C. J£>.  ECAYJIOB,  Cucmmu  ynpaenmuH  oduoeuumoetix  eepmojietnoe,  ManiHHOCT- e j  M o c K a a  1 9 6 9 .  ;.  •• O  STATECZNOŚ CI  LOTU   4 6 5 11.  B . A.  K M K E B H H K O B,  AemoMamuntcKan  cmaBu/ iusatfwi  eepmojiemoe,  Mautunocmpoemie,  MocKBa 1977. 12.  B .  .  P OM AC E BI P I J  F . A.  C AM OH JIOBJ  npaKmunecKaH  aspodunaMUKa eeptnojiemoe, BoeHH3flaT3 M ocKBa  1980. P  e  3K>   M e H C C JIEflOBAH H E  yC T O E r a H BO C T H   yCTAH OBH BU IH XCH   PEHCHMOB  riOJIETA yilP ABJ M E M O r O  B E P T O J I E T A  H   AH AJI H 3  C OnP JD KEH H fł   IIPOCTPAH CTBEH H BIX flBJD KEH H ft  E r O  3JI E M E H T O B B  pa6oTe  npefleraBJieH o  H CCJiesoBamie  ycT oił iH Bocn i  ropH 3oH TanbH oro noji&ra  H   BHceHHH BHHToro  BepTOJieTa,  a  Tai<5Ke  anajiH 3  conpHHceHHH  Mtmpy  ,ą BHH