Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z3_4.pdf


M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA
3 -  4,  23 (1985)

WYKOR Z YSTAN I E  RAC H U N KU   D YSTRYBU CYJN EG O  D O  OP I SU
TAR C Z Y  Z ARYSOWAN EJ

JACEK  G Ł AD YSZ ,  M AC IEJ  M I N C H   (WR OC Ł AW)

Instytut  Budownictwa
Politechniki W rocł awskiej

W  pracy  sform uł owano  zasadę   wariacyjną   typu  Lagrange'a  dla  tarczy  zarysowanej.
N astę pnie  wykorzystują c  otrzym an e  równanie  pola  Lame  wraz  ze  stowarzyszonymi
warunkami  brzegowymi  (zewnę trznymi  i wewnę trznymi)  wyprowadzono  globalne  równanie
róż niczkowe  w  klasie  dwuwymiarowych  wektorowych  funkcji  uogólnionych.  W  modelu
uwzglę dniono  doś wiadczalnie  potwierdzony  efekt  niecią gł oś ci  wektora  przemieszczenia
spowodowany  pojawieniem  się   rysy.

1.  Wprowadzenie

D otychczasowe  sposoby  obliczania  ż elbetowych  tarcz  zarysowanych  rozwijał y  się
w  dwóch  kierun kach.  Pierwszy  z  nich  wyznaczają   prace,  w  których  zastosowano  konty-
nualny  model  obliczeń.  P rzykł adowo  moż na  t u  wymienić  prace  [1, 2]  (metoda  róż nic
skoń czonych)  oraz  [3]  (m etoda  elementów  skoń czonych).  G lobalny  obraz  efektów  zary-
sowania  otrzymany  w  tych  pracach jest  poprawny,  jedn ak  zaburzenia  w  miejscach  rys  są
z zał oż enia n iedokł adn e.  D rugi  kierunek  polega  n a formuł owaniu  ś cisł ych modeli matema-
tycznych  dla  ciał   kruchych  z  defektami.  Literatura  w  tej  dziedzinie jest  niezwykle  bogata.
Wymienić  tu  m oż na  prace  [4],  w  której  rozwią zań  poszukuje  się   poprzez przekształ cenia
cał kowe  i  wprowadzenie  funkcji  zespolonych,  oraz  prace  [5, 6, 7],  gdzie  podan o  teorie
defektów.  Teorie  te  polegają   n a  budowaniu  pewnych  potencjał ów  modelują cych  defekty.

Wykorzystanie  matematycznych  modeli  dla  ciał   kruchych  w  konstrukcjach  z  betonu
zbrojonego  n apotyka jedn ak  n a  pewne  trudnoś ci.  D latego  też  teorie  ż elbetu  rozwijają   się
niezależ nie,  choć  wykorzystują   również  rozwią zania  matematycznych  teorii  defektów.
Jedną   z  udanych  prób  wzbogacania  matematycznego  modelu  pł yty  zarysowanej  stanowi
praca  [8].  W  pracy  tej  dokon an o  opisu  pł yty  przy  pomocy  rachunku  dystrybucyjnego.

W  niniejszej  pracy  wyprowadzono  róż niczkowe  równanie  tarczy  zarysowanej  w  klasie
dwuwymiarowych  wektorowych  funkcji  uogólnionych, uwzglę dniają ce  niecią gł ość  wektora
przemieszczenia w miejscu  rysy. Rozpatrywana jest tarcza o dowolnym  kształ cie, z ogólnymi
warunkam i  brzegowymi.  Celem  zwię kszenia  przejrzystoś ci  zapisu  zał oż ono  istnienie
ppjedynczej  rysy  krzywoliniowej  wewną trz  jej  obszaru.

8«



468  J.  G Ł AD YSZ,  M.  M I N C H

2.  Podstawowe  zwią zki  i  definicje

Poniż ej  przedstawiono  definicje  i  zwią zki  teorii  dystrybucji  wykorzystywane  w  dalszej
czę ś ci  pracy  (zob.  n p.  [9]).

D E F I N I C JA  1.  Przestrzenią  D(Q)  dwuwymiarowych  wektorowych  funkcji  próbnych
nazywa  się zbiór  wszystkich  funkcji  <p okreś lonych  w  dowolnym  obszarze  Q  przestrzeni
euklidesowej  R2,  speł niają cych  nastę pują ce  warun ki:

a)  <p  e  C~(Q),
b)  noś nik  funkcji  <p jest  zbiorem  zwartym.  ;  :
D E F I N I C JA  2.  D ystrybucją  lub  funkcją  uogólnioną  nazywa  się  każ dy  funkcjonał

/ :  D(Q)  - > R1  liniowy  i  cią gły  w  D(Q),  tzn .  funkcjonał   o  nastę pują cych  wł aś ciwoś ciach:

</ ,a<j>+ 6i|>>  =   a< / , «p > + K / .4»> .  gdzie  a,beR  (2.1)

D E F I N I C JA  3.  D ział ania  na  dystrybucji  okreś lone  są  w  nastę pują cy  sposób:
Suma  dystrybucji:

>  f2.2)

Iloczyn  funkcji  gł adkiej  i  dystrybucji

<Pf,  <P> =   < / ,  £<P> i- "fi- e  C°°(R2)  (2.3)
P ochodna  dystrybucji

W  (2.4)

gdzie  a  =   (oc
1
,x

2
),  |a |  =   oc

i
 + a

2
,  / ) a —je st  operatorem  róż niczkowym  rzę du  a.

Z  definicji  3  wynika,  że  dystrybucja  jest  nieskoń czenie  wiele  razy  róż niczkowalna.
W  dalszych  rozważ aniach  istotne  znaczenie  mają  dystrybucje  (bę dą ce  uogólnieniem

funkcji  (3- Diraca)  o  danej  gę stoś ci  skoncentrowanej  n a  krzywej  leR2  o  nastę pują cych
wł asnoś ciach:  •

.  - .  * '  .  (2.5)
, tp> =   ( -   1)W /   <\ >(x)ir

V
(x)ds,

/   • • ; • • •:  • • •

gdzie:  x =   (xi,'x
2
),

3.  Wariacyjny  opis  przemieszczenia  dla  tarczy  zarysowanej

P odstawowy  ukł ad  równ ań  dla  pł askiego  stan u  naprę ż enia  skł ada  się  z:
równ ań  równowagi  :

d i vS + b  =   0;  (3.1)

zwią zków  geometrycznych

4 s  Vu;  (3.2)



WYK O R Z YST AN I E  R AC H U N K U   D YSTR YBU C YJN E G O... 469

oraz  zwią zków  fizycznych

= 2/ t l ltrA; (3.3)

Tutaj  S,  E ,  u, b  oznaczają   kolejno  ten sor  naprę ż enia, tensor  odkształ cenia, wektor  prze-
mieszczenia  oraz wektor  sił  m asowych;  X i (i  są   stał ymi Lam ego. P on adto 1 jest  tensorem
jednostkowym .

Rys.  1.

D o  ukł adu równ ań pola  (3.1)- r-  (3.3) należy  doł ą czyć jeszcze  warunki  brzegowe  (rys. 1).
—  przemieszczeniowe  u  =   u  n a  S„  (3.4)
—  naprę ż eniowe  Sn  =   p  n a  S

s
  (3.5)

gdzie  n i  p  są   funkcjami  zadan ym i  odpowiednio  n a  brzegu  S
u
i  S,,n  zaś  oznacza  wektor

n orm aln y  zewnę trzny  d o  S.
Z akł ada  się ,  że  ukł ad  równ ań  (3.1)- r(3.3)  speł niony jest 'w  obszarze  dwuwymiarowej

przestrzeni  euklidesowej  Q  ograniczonej  powierzchnią   S  =   S,,\ JS
S
.

JDp. opisu  om awianego  zagadnienia  wykorzystano  zasadę   wariacyjną   typu  Lagrange'a.
Oznacza  to  zał oż enie  o  poszukiwanej  funkcji  u,  że  speł nia  on a  zwią zki  geometryczne
(3.2),  zwią zki  fizyczne  (3.5)  oraz  przemieszczeniowe  warunki  brzegowe  (3.4).

Przyję to  funkcjonał   w  postaci:

J[u(x)]  =   f  U(u(x))dQ- Jb(x)u(x)dn- Jp(x)\ i(x)ds
o  a  s.

gdzie

u = Vu Vu +
2A

divudivul
/

(3.6)

(3,7)

jest  funkcją   energii  odkształ cenia.  , .
Poszukuje  się  ekstremali  funkcjonał u  (3.6) n a zbiorze dopuszczalnych wartoś ci  wektora

przemieszczenia  u  w  obszarze  Q,  przy  zał oż eniu istnienia  jednego  zał amania  dzielą cego
ten  obszar  n a  dwa  podobszary  Q

t
  i  Q

2
  (rys.  1).

Przyję to,  że  poszukiwan a  funkcja  a  e  C2(Q/ L )  (dla xe  L  funkcja  u(x) m a niecią gł oś ć ).



470  3.  G ŁAD YSZ,  M.  M I N C H

Warunkiem  koniecznym  n a  to, by  u  był o  rzeczywistym  przemieszczeniem  w  tarczy,
jest  zerowanie  się   pierwszej  wariacji  funkcjonał u  (3.6),  co p o  prostych  przekształ ceniach
moż na  zapisać  w  postaci:

(3.8)

lv- P(u)]duds+  P(u)duds =  0,
J

gdzie:

) n  (3.9)

jest  operatorem  napię cia  powierzchniowego.
Pojawienie  się   ostatniej  cał ki  we  wzorze  (3.8) wynika  z  uwzglę dnienia  dodatkowego

brzegu  wewną trz  tarczy, tzn. linii L   — L J U L J  ( L t i L 2  stanowią   odpowiednio lewy i prawy
brzeg  rysy).  N ależy  zwrócić  uwagę   n a  fakt,  że  wektory  n  n orm aln e  do  brzegu  L

y
  i L

2

mają   przeciwne  zwroty.
Warunek  (3.8) musi  być speł niony dla dowolnej  wariacji  óu. Stą d  otrzymuje  się : prze-

mieszczeniowe  równanie  róż niczkowe  tarczy

. «( v2 +  - Ę —^ -  graddiv|u  +  b  =  0  (3.10)

\   A +  2/U   /

naturalne  naprę ż eniowe  warunki  brzegowe

P (u)  =   p  dla  x e S
s
  (3.11)

oraz  dodatkowe  warunki  brzegowe  .  .

[P (u)]Ł  =  0  dla  xeL   • .  (3.12)

gdzie  [  ]
L
  oznacza  róż nicę   prawostronnej  i  lewostronnej  granicy  wyraż enia  w  nawiasie

n a  krzywej  L .

4. Równanie  róż niczkowe  tarczy  zarysowanej

W  poprzednim rozdziale  obszar  tarczy  podzielony  został  n a dwa podobszary iit  i  Q2>
w  których  funkcja  u jest cią gł a. Obecnie bę dzie poszukiwane  rozwią zanie w  cał ym obszarze
ii  przy zał oż eniu, że u należy do klasy funkcji  uogólnionych. W tym celu w oparciu o zwią zki
z  rozdział u  1  formalnie  oblicza  się   wyraż enia:

(4.1)



WĄKORZVSTANIE  RACHUNKU  DYSTRVBUCVJNECIO...  471

oraz

<graddivu,  <p>  =  J  {graddivu}tpdJ2  +  j  [divq»u—
a  s

.  (4.2)
— divu<p]ds —  J  [[u]Łdivcp—[divu]Ltp]na(s;

L

tutaj  {  }  oznacza  róż niczkowanie  w  zwykł ym  sensie;  [u]Ł  zaś  oznacza  skok  wektora
przemieszczenia  przy  przejś ciu  przez  rysę .  P on adto  prawo  fizyczne  rzą dzą ce  defektem
opisane  jest  wyraż eniem:

Mx)]
L
  =  g(x);  (4.3)

gdzie:  g( x)  jest  funkcją   gę stoś ci  defektu  cią głą   dla  X e l .  Przykł adową   postać  gę stoś ci
defektu  (zwią zku  konstytutywnego  w  rysie)  m oż na  znaleźć  w  pracy  [10].

Cał ość  dotychczasowych  rozważ ań  dotyczył a  szczególnego  przypadku  rysy  dzielą cej
obszar  Q  na  dwie  czę ś ci.  M oż na wykazać,  że  uogólnienie  na  przypadek  rysy  wewnę trznej

(np.  n a  luku  AB  —  ry$.  1)  w  niczym  nie  zmienia  przeprowadzonych  wyż ej  rozważ ań.
Sprowadza  się   t o  do  przyję cia  n a  pozostał ej  czę ś ci  krzywej  L   warunku

[u(x)]Ł  =   0  dla  xiT B,  (4.4)

oraz  zwią zków  definiują cych  zachowanie  się   funkcji  gę stoś ci  defektu  na  koń cach  rysy

os  •   os

P o  elementarnych przekształ ceniach wzoru  (3.10) i  wykorzystaniu  relacji  (3.11),  (3.12)
oraz  (4.1)- r(4.3)  otrzym ano  równanie  róż niczkowe  na  wektor  przemieszczenia  u(x)
w  klasie  funkcji  uogólnionych

,  (4- 6)
Jg(x)/ >(< p)ds.J

S AB

Ostateczne globalne  równanie  róż niczkowe  tarczy  zarysowanej  moż na zapisać  w  postaci:

( )
s u

.  (4.7)

Jeż eli  przyjmie  się   sił y  masowe  w  formie:

b  =   - P(ud
s
).  (4.8)

to  równanie  (4.7)  przyjmie  postać:

i vju =   - P(g8
L
)+(9- P(a))d

Ss
+P[(n- n)d

SH
)  (4.9)

W  ten sposób  otrzym an o równanie róż niczkowe  tarczy zarysowanej,  które zawiera  w  sobie
komplet warunków  brzegowych  zewnę trznych  oraz  dodatkowo  speł nia warunek  graniczny
w  rysie.

<



4 7 2  J .  G Ł A D Y S Z ,  M .  M I N C H   • ....• ..• • •'

Wykorzystują c  definicję   splotu,  m oż na  zapisać  rozwią zanie  równ an ia  róż niczkowego
(4.9)  w  formie  przedstawienia  cał kowego  n a  funkcję   u(x)

«(*)  -   /   g( y) P ( G ( x, y) ) ds+  j  {/ >(G (x,  y) ) [ u ( y) -

AB
  s  • ,.  ( 4. 10)

_ fi( y) ] - G ( x,  y)[/ »(u(y))- p(y)]}ds

gdzie  G ( x, y)  jest  funkcją   G reena  speł niają cą   równanie  . ...  ,  ,   :

ft  IV2  +   3 * * 2
2 M  graddiv) G (x)  .  <5(x),  (4.11)

oraz  zał oż one warunki  brzegowe  (3.4)  i  (3.5).

5.  Podsumowanie  ,

Wyprowadzone  globalne  równanie  róż niczkowe  opisuje  ś cisły  m atem atyczny  model
tarczy zarysowanej.  Pojawienie  się  w równaniu (4.9) warun ków  brzegowych  wynika  zzasto-
sowania  do  analizy  funkcji  uogólnionych.  R ównanie  to  uwzglę dnia  niecią gł ość  iwektora
przemieszczenia  w  miejscu  rysy,  zapewniają c  jednocześ nie  cią gł ość  wektora  napię cia
powierzchniowego  przy  przejś ciu  przez  krzywą   L .  Skonstruowany  m odel  posł uży  do
wyznaczania  przemieszczeń w  tarczy  zarysowanej  metodą   cał ek  brzegowych,  gdzie  efekt
rysy  traktowany  jest  jako  mał e  zaburzenie.

i  :  • .. . . ; • . .•   Li t e ra t ura  c y t o wa n a w  t e kś c ie  :  ;  ;

1 .  F.  LEONHARDT, E.  M ÓN N IN G , Vorlesungen  iiber Massivbau, 2,  Springer,  Berlin  1975.
2.  N .  KARPIEN KO,  T eoria deformirovanija  ź elezobeiona s  treś ć inami. Stroizdat,  M oskva  1976.-
3.  L.  CEDOLIN , S.  D E I P OLI, B. S.  KAP U R, Finite element analysis of  reinforced concrete deep beams.  Con-

struzioni  in  cemento  armato,  3 - 13,  Politechnico  di  M ilano,  Italcementi  1977.
4.  J.  SNEDDON, Zagadnienie  szczelin w  matematycznej teorii sprę ż ystoś ci, PWN ,  Warszawa  1962.
5.  H .  ZORSKI,  T heory  of  discrete  defects, Arch.  M ech.,  18, 3,  301 -  372, 1966.
6.  E.  KOSSECKA,  Mathematical  theory  of  defects, Part  I , Statics,  Arch.  M ech., 26, 6, 995 - 1010, 1974.
7.  J. D .  ESHELBY,  T he  continuum  theory of  lattice defects, Solid  State  Physics,  3,  79,  1956.
8.  A.  BARYŁA,  E.  SOBOCIŃ SKA,  T eoria  pł yt  ż elbetowych  z  rysami. P WN ,  Warszawa—Łódź 1983.
9.  L.  SCHWARTZ,  T heorie  des distributions,  Paris  1966.

10.  M . M I N C H ,  Metoda teoretycznego  wyznaczania  naprę ż eń  w ż elbetowych  tarczach  zarysowanych.  Rozp.
I n ż .,  28,  3, 445 -  468, 1980.

P  e 3K>  M  e

H C n OJI B3OBAH H E  OE OBm E H H OrO  OTETA  flJM   O I I H C AH I M   3 AP H C 0 B AH H 0 r 0

B  p a S o i e  BBeseH o  H H <j)d;epeH miajibH ae  yp aBH em ie  3apH coBaH H oro  RHCKa  H c n o r a . 3ya

Bapn aipioH H biH   n p r n m a n  rana  J fo a r p a H r a .  I Ton y^eH O  ypaBH eH H e  n oJifl  Jltaiwe  BM ecie  c

M H   HapyHCHHMH  H  BHyTpeHHHMH  6ep ero Bt iM H   ycnoBH H MH   B  T p e t ą n H e.  M t i  npeflCTą BH UH   Ba n o Bo e  HH<j?-

4>epeH u;H ajn.H oe  ypaBH eH H e  B  KJiacce  «ByxMepH WX  o6o6m eH H bix  BeKTopH bix  (})yHKi|HH.  B  iwoflejiH   M ŁI

B3HJIH   BO  BHHMaHHe onbITH O  OnpOBflaeMŁIł ł   3CJ)dpeKT  npepblBH OCTH   BeKTOpa  nepeiWemeH H H   BH3B'aHHŁlft

B03HHKH0BeHHeM



WYK O R Z YST AN I E  R AC H U N K U   D YSTR YBU C YJN E G O...  473

S u m m a r y

TH E  APPLICATION   OF   D ISTRIBU TION  CALCU LU S  TO  TH E  D ESCRIPTION  OF   CRACKED
PLATE

I n  this  paper  the  differential  equation  of  the  cracked  plate,  using  the  classical  variational  method
of Lagrange is worked out. The displacements equation of Lame with the boundary conditions and compati-
bility conditions in the crack is  obtained. The total differential  equation in the class of the two- dimensional
general vector functions  is shown. I n this model the effect  of discontinuity displacement vector into account
is  taken.

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  7  sierpnia  1984  roku