Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z3_4.pdf


M E CH AN I KA
TEORETYCZNA
I  STOSOWANA
3 -  4, 23 (1985)

NOŚ NOŚĆ  GRANICZNA  Ś CIANKI  RÓWNOMIERNIE  Ś CISKANEJ
SKRZYNKOWEGO  PODZES POŁU  CIENKOŚ CIENNEGO

TAD EU SZ  G AŁ KI E WI C Z ,  AN D R Z E J  Ż ECIG OWSKI  ( Ł Ó D Ź )

Politechnika Ł ódzka
Instytut  Mechaniki  Stosowanej

Celem  pracy  jest  przedstawienie  sposobu  okreś lenia  stanu  granicznego  sł upa  o  kon-
strukcji  skrzynkowej  (rys.  1),  ś ciskanego  m im oś rodowo  w  przypadku,  gdy  jedna  boczna
ś ciana  sł upa jest  równ om iern ie  ś ciskana  i  pracuje  w  stanie  zakrytycznym.  Sposób  prowa-
dzenia  obliczeń  omówiony  zostanie  n a  przykł adzie  liczbowym.  N iechaj  sił a  P  ś ciska  sł up
wzdł uż  osi  x

Q
  (rys.  1)  równoległ ej  do  osi  x,  tzn .  do  osi  nie  obcią ż onego  sł upa,  i  niech

wymiary  przekroju  poprzecznego  sł upa  (rys.  1)  są   nastę pują ce:

b
i
  =b

2
  =  b  =   0,8  m,  b

3
  =   6/ 2  =   0,4  m ;

• A - A

m

Rys.  1.



476 T.  G AŁKIEWICZ, A.  Ż ELIG OWSKI

grubość  cień szej  ś cianki  bocznej  h
1
  =   h  — 0,004 m,  grubość  grubszych  ś cianek  bocznych

h
2
  =   In  =   2h  =   0,008  m .  • .."..,  '.'',,

W  omawianym  przypadku  cień sza  boczna  ś cianka  sł upa jest  znacznie  mniej  sztywna
n a  zginanie  niż  ś cian  doń  przylegają cych,  wię c  w  dalszych  obliczeniach  przyję to,  że oba
brzegi  cień szej  ś ciany  równoległ e  do  osi  x  są   sztywno  zam ocowan e.

Z adan ie  rozwią zane  został o  w  dwóch  warian tach.  W  wariancie  I  rozpatrzon o  słup
krótki,  nastę pnie  w  wariancie  I I  analizie  wytrzymał oś ciowej  poddan o  sł up  dł ugi  (rys, 2)
wzmocniony  równomiernie  rozmieszczonymi  przepon am i.  Odległ oś ci  mię dzy  są siednimi

Rys.  2.



N O Ś N O ŚĆ  G R AN I C Z N A Ś C I AN K I . .. 477

przepon am i  oznaczon o  przez  a.  Z ał oż on o,  że  przepony  są   podatn e  n a  zginanie,  wię c
oddział ywają   n a  ś cianki  boczn e  sł upa jak  podparcie  rolkowe.  • • .- ..,

W  obliczeniach przyję to,  że cień sza  ś cianka  sł upa jest pasmem pł ytowym o szerokoś ci  b
(rys.  1), podpartym n a równom iernie rozstawionych  przeponach, o brzegach  równoległ ych
do  osi x  sztywno  zam ocowan ych. W  pracy  uwzglę dniono  fakt  przemieszczenia  się  przepon
w  kierun ku  prostopadł ym  do  osi  sł upa  wynikają cy  z  uginania  się   sł upa.

Ship  poddan y  jest  m im oś rodowemu  ś ciskaniu.  P rzekroje  poprzeczne  sł upa  ś ciskane
są   sił ą   P  i  równocześ nie  zginane  m om entem Pe,  gdzie  e jest  odległ oś cią   ś rodka  cię ż koś ci
„ pracują cego  przekroju  poprzeczn ego" sł upa od linii dział ania sił y P. W  omawianym  przy-
padku  wraz  ze  zwię kszeniem  się   sił y  P  wzrasta  w  sposób  istotny  ugię cie  sł upa,  a  wię c
i  wymiar  e.  Obliczenia  komplikują   się ,  gdyż  okazuje  się ,  że  wraz  ze  wzrostem  obcią ż enia
pojawia  się   lokaln a  u t rat a  statecznoś ci  bocznej  ś ciany  sł upa, w  zwią zku  z  czym  w  stanie
zakrytycznym  wzrostowi  obcią ż enia  towarzyszy  malenie sztywnoś ci  ś ciskania  i  sztywnoś ci
zginania  sł upa.

Powtarzają cym  się   elementem cień szej  ś ciany  sł upa  (elementem tracą cym  statecznoś ć)
jest  pł yta prostoką tna  o  bokach  axb  i  gruboś ci  h,  ś ciskana  w  kierunku  osi  x.  Brzegi  tej
pł yty  równoległ e  d o  osi  JC są   w  przybliż eniu  sztywno  utwierdzone,  natom iast brzegi  po-
przeczne podpart e  są   n a  przepon ach swobodnie.  Wyniki  rozwią zania  nieliniowego  zagad-

2 0 0 -

0



478 T.  G AŁKIEWICZ, A.  Ż ELIG OWSKI

nienia  ś ciskania  takich  pł yt  [1]  dla  przypadku  pł yty  kwadratowej  (a = b)  podane są
na  rys.  3.

Niż ej przytoczone został y oznaczenia, zależ noś ci i wzory  niezbę dne do okreś lenia stanu
krytycznego  i  granicznego  pł yty.  Naprę ż enia  krytyczne:

I2(l- v
2
)\ b

k r  ' E\   h J  12(1 - v2)  v""
gdzie

(1)

(2)

W  omawianym  przykł adzie  a  =  b>  = 0,8  m, li =  0,004 m,  m  = 2,  E  — 2,06 •   105  MPa
v  =  0,3,  ffprop  =   <rspr  m  190  M P a, wię c  k,„ =  8,  (rkr =   37,24  M P a, eft  =   7,23.

Po  utracie  statecznoś ci  rozkł ad  naprę ż eń  bł onowych  w  pł ycie  nie jest  jednorodny
(rys.  4).  Ś rednie  naprę ż enia  a

x
  oznaczone  został y  symbolem  p

x

b  b

I  r  i  r

i)  •

Rys. 4.

Naprę ż enia  błonowe o* przy  brzegu  płyty  (tzn. gdy  y  -   0  bą dź  y  =  &) oznaczono sym-
bolem a

x
,  czyli  a,  =   \ a

x
\

y=0
  =   Iff,!.,.,, przez n zaś stosunek ff»/ tfkr. Okazuje  się , że całko-

wite skrócenie w kierunku osi x ś rodkowej  powierzchni pł yty wzdł uż brzegu y  =   0 i wzdłuż
brzegu  y  =  b  jest  takie,  jak  gdyby  wzdł uż  brzegu  wystę pował   jednokierunkowy  stan
naprę ż enia,  czyli  skrócenie  pł yty  wynosi:

Aa  -   a
x
a/ E,  a  wię c  e

x
  =   Aa/ a -   aJE.

W  praktycznych  obliczeniach przyjmuje  się  czę sto, że po utracie statecznoś ci  ś ciskanej
pł yty wyłą cza się  z pracy jej  czę ś ć, a pozostał e czę ś ci o szerokoś ci  zredukowanej  równej btp
obcią ż ona  jest  naprę ż eniami  stał ymi  równymi  ~a

x
.  Współ czynnik  redukcyjny  płyty  y

wynosi  cp  =  p
x
/ a

x
.



N O Ś N O ŚĆ  G R AN I C Z N A  Ś C I AN K I . .. 47lJ

Rozkł ad  naprę ż eń  bł onowych w  pł ycie wydzielonej  myś lowo  z  cień szej  ś cianki  sł upa
pokazany jest  n a  rys.  4.  W  obliczeniach  przyję to,  że  pł yta  ta wzdł uż brzegów  y  =   0, y  =   b
jest sztywno  utwierdzona i opiera się  przegubowo  na dwóch kolejnych  przeponach. U prosz-
czony  model  zastę pczy  pł yty  pokazany  jest  n a  rys.  5.

WAR I AN T  I  (v  =   0)
Warian t  I  dotyczy  przypadku  sł upa  (rys.  1)  n a  tyle  krótkiego,  iż  moż na  przyją ć,  że

ugię cie  jego  v  — 0.  Sił a  krytyczna  dla  takiego  sł upa  wynika  z  zależ noś ci

F
( V

l+Feall.'
(4)

:

y

v n'  www  ,\\\\v,vv: .\ \ \ \ \

*  *  x. X X ^  ^  -̂   /

i

oooO<xxx><
•   ' 0  •

Rys.  5.

gdzie  crkr —  naprę ż enie  krytyczne  pł yty  tracą cej  statecznoś ć,  F —p o l e  przekroju  po-
przecznego  sł upa,  a —  odległ ość  ś rodka  cię ż koś ci  pola  F  od  powierzchni  ś rodkowej
cień szej  ś cianki,  e —  mimoś ród  {e  =   «.—b

3
/ 2),  T

z
 —  moment  bezwł adnoś ci  pola  F  wzglę -

dem  osi  centralnej  z.

W  omawianym  przypadku:  a
kT

  =   37,24  M P a,  F  =   5 •   bh  =   0,016  m 2 ,  a  =   0,3fe  =
=   0,24  m,  e  -   0,05i  -   0,04  m, / 2  -   0,217i

3A  =   444,4 •   10"6  m 4 , wiec P
kr
  =   0,4427  M N .

W  stanie  krytycznym  wytę ż enie  materiał u  dalekie  jest  od  stanu  granicznego,  gdyż
(r m M  =   o- kr  =   37,24  M P a  <̂  cr p r o p  =   190  M P a, sł up  może  wię c  pracować  w  stanie  zakry-
tycznym  aż  do  m om en tu,  gdy  w  pł ycie  max<rr(:<1  =   <Tprop  =   190  M P a,  czyli  gdy

m ax(crred)  =
190 0,8

Z  wykresu  rys.  3  wynika,  że  wówczas  n  =  n , t  =   3,7,  cp  =   <p„  =   0,64,  ax  =   (ffx)„   =

=   «„ffkr  =   3,7- 37,24  =   137  M P a.
W  stanie  zakrytycznym  pole  „ pracują cego  przekroju"  (zredukowane  pole)  cień szej

bocznej  ś cianki  wynosi  tpb
x
h

x
  -   ę bh,  wię c  „ pole  pracują ce"  cał ego  sł upa  F'  =   (pbs,hi +

+b
2
h

2
+2b

3
h

3
  =   (q>+4)bh  =   0,0148  m 2 .

Wprowadzon o  ozn aczen ia:  a'  —  odległ ość  ś rodka  cię ż koś ci  pola  F'  od  powierzchni
ś rodkowej  cień szej  bocznej  ś cianki, (rys.  1) e'  —  mimoś ród  (e'  =   a'- &3/ 2) ,  I z>  — moment
bez  wł adnoś ci  pola  F'  wzglę dem  osi  centralnej  tego  pola —  czyli  wzglę dem  osi  z'.

W  omawianym  przypadku:  «'  =   0,324&  =   0,26  m,  e'  =   0,074i  =   0,059  m,  L > =
=  368, 6- 10-6  m *.



480  T.  G AŁKIEWICZ,  A.  Ż EŁIG OWSKI

Sił ę   graniczną   okreś la  się   ze  wzoru  analogicznego  d o  (4).  Wynosi  o n a :

Sił a  t a  jest  wię ksza  od  sił y  krytycznej  2,85  razy.

,..,  WAR I AN T  I I  (v  ^ 0 )  . v,  .  ...  .  : : , • , . , .•   :.  ,  • • ..-; Z .;..,;• ';)'
Warian t  I I  dotyczy  przypadku, sł upa  n.a.tyle  dł ugiego,..iż  w  obliczeniach  uwzglę dnić

należy  jego  uginanie  się .
,  Analizie  poddan o  ship  o  przekroju  poprzecznym  takim ,  ja k  w  wariancie  I  podparty
przegubowo.  Przyję to  przykł adowo  L   =   20a  =   16  m .  Sł up  poddan y jest  ś ciskaniu  siłą   P
dział ają cą   stale  wzdł uż  osi  x

0
  (rys.  2).  Sił ę   tą   m oż na  zredukować  d o  ś rodka  cię ż koś ci

„ pracują cego  przekroju"  poprzecznego  sł upa. M om en t gną cy  *w  przekroju  poprzecznym
zmienia  się   na dł ugoś ci sł upa, gdyż zależy  od  rzę dnej  linii  ugię cia  v  i  od  poł oż enia ś rodka
cię ż koś ci  tego  przekroju,  M om en t  ten  wynosi:  r

—  w  stanie  dokrytycznym  M
g
  =   P(e+v),

—  w  stanie  zakrytycznym  M
g
  =   P(e'+v).  •

Stan  dokrytyczny  ,  :
D o chwili  utraty statecznoś ci ś cianki równ an ia róż niczkowe  osi  ugię tej  sł upa m a postać

EI
z
v"  =   - P(e+v),  wię c

v"+P
2
v=  - fi

2
e,  (5)

gdzie  /? =   l/ P I El*.  •

Rozwią zaniem  tego  równania  uwzglę dniają cym  przyję te  warun ki  brzegowe  jest  funkcja

-   ( 6 )

w i ę c  : • • ._"••   ;

Vmax  = .

W  poł owie dł ugoś ci  sł upa  w  przekroju  poprzecznym  m aksym ał n e  n aprę ż en ia  ś ciskają ce
cień szą   boczną   ś ciankę   wynoszą   '• - • •

• ! '-   • •   , . • • *•   ' i  •   .  .  .  .  :.  ' : _ •   '  '  ' • •   : :  : i  .  •   ; • •   -   i  • :  • ":\ ')fj

P  P(e + Vmi- d  P | .  F(e+v
max

)<x  1  , „

stą d
P  =  a

l
F/ [l+F(e+v

maz
)ujI

2
].  (9)

We  wzorze  tym  wielkoś ci  F ,  e,  z,  I
z
  są   takie, jak  w  I  wariancie,  n atom iast  ugię cie  v

ma

okreś la  się   ze  wzoru  (7).  Zależ ność  P  o d  a
x
  wynikają ca  z  powyż szego  wzoru  pokazana

jest  n a  rys.  6.  W  omawianym  przypadku  traci  stateczność  cień sza  z  bocznych  ś cianek
sł upa.  P oprzedn io wykazano,  że  dla  tej  ś cianki  dj  =   (O])

kr
  =   37,24  M P a, wię c  z  wykresu

(rys.  6)  widać,  że  dla  tej  wartoś ci  naprę ż enia  sił a  - o i;

P  =P
kr
~  0,4244  M N .

Sił a  t a jest  wię c  o  4.1% mniejsza  od  sił y  krytycznej  otrzym anej  dla  przypadku  sł upa krót-
kiego  (patrz  WAR I AN T  I ) .



N O Ś N O ŚĆ  G R AN I C Z N A  Ś C I AN K I . .. 481

0,4

f  0,3

0,2

V

0

'  i  t

Pkr- 0,42«MN

/   J

/   \   | .  -I
10  20  3(1

/

/

-

-

o
a

u
tf

1
in  s

O| [MPa]

Rys.  6.

Stan  zakrytyczny

P o  utracie statecznoś ci  pole  powierzchni  „ pracują cego  przekroju"  F  zmienia się wzdł uż
dł ugoś ci  sł upa. N ajmniejsze  pole jest  w  przekroju  najbardziej  obcią ż onym,  tzn . w  ś rodku
dł ugoś ci  sł upa  (rys.  7a),  n atom iast  najwię ksze  przy  obu jego  koń cach  (rys.  7b).  Wom a-

a)

ttw
b)

T

iff?

£ n

„ przekrój  pracujqcy"sł upa
w ś rodku  jego  dł ugoś ci

1
• a  J D

„ przekroj.pracujqcu"  sfupa
na  obu jego  Koń cach

R ys.  7.

wianym  przykł adzie  róż nice  liczbowe  mię dzy  polami  przekrojów  pokazanymi  na  rys.  7a
i  7b nie  są  duż e. C hcąc ocenić wpł yw  dł ugoś ci sł upa n a wyniki  rozwią zań  wariantów  I i I I
postą piono  ostroż niej,  przyjmując  w  obliczeniach,  że  w  stanie  granicznym  sł upa  pola
wszystkich jego przekrojów  poprzecznych są jednakowe i są takie, jakie był y przy  okreś laniu
sił y granicznej  w  wariancie  I . P o podstawieniu  do wzorów  (5) - r(7)  zamiast  współ rzę dnej e
współ rzę dną e'  =   0,059  m, zamiast  momentu I

z
  m om ent I

z
>  =   368,6 •   10"6  m 4  i  przyję ciu

w  pierwszym  przybliż eniu  wartoś ci  granicznej  n p. (P
Bt
)i  =   1,1  M N   (czyli  wartoś ci  nieco

mniejszej  od  wartoś ci  uzyskanej  w  I  wariancie),  otrzym an o:

^  1,926,  (vm „ )i• =   0,0444  m

9  Mech.  Teoret.  i  Stos.  3- 4/85



482  T.  G AŁKIEWICZ ,  A.- Ż ELIG OWSKI

M aksymalne  naprę ż enie  w  cień szej  bocznej  ś ciance  wynosi

stą d

Jeż eli  do  powyż szego  wzoru  podstawi  się   a
1
  — ( u 1 ) g r  =   137,8  M P a  (patrz  I  wariant)

F  =   0,0148  m 2 ,  e'  =   0,059  m,  v
max

  =   0,0444  m,  a '  =   0,26  m,  I
2
>  =   368,6-   lO "6

  m
\

to  otrzyma  się   drugie  przybliż enie  wartoś ci  sił y  granicznej.  Okazuje  się ,  że  dokł adniejsza
wartość  sił y  granicznej  wynosi  (P

sr
)

2
  =   0,981  M N .

P owtarzanie  powyż szych  obliczeń  prowadzi  do  dalszego  uś ciś lenia  rozwią zania.  Otrzy-
muje  się   kolejno  nastę pują ce  wyniki:

) a  =   1,82,  ( wm a i) 2  =   0,371  m ,  ( P e r ) 3  =   1,018  M N ,

(0L )
3
  =   1,853,  ( wm M ) 3  -   0,0392  m ,  .,(i> K)4  =   1,007  M N ,  .• ',..,

(pL )
4
  = 1, 8 4 2 ,  ( a m M ) 4  =   0,03855  m ,  ( Ą r ) i  =   1,01  M Ń .

W  wariancie  I I  sił a  graniczna  jest  wię ksza  od  krytycznej  2,38  razy.

Podsumowanie

Celem  pracy  jest  przedstawienie  sposobu  okreś lenia  stanu  krytycznego  i  granicznego
cienkoś ciennego  sł upa  o  budowie  skrzynkowej  doznają cego  lokalnej  utraty  statecznoś ci
i  pracują cego  w  stanie zakrytycznym.  W  pracy  wykazano, ja k  dla  kon kretn ego  przypadku
ocenić  wpł yw  dł ugoś ci  sł upa  n a  wartość  sił y  krytycznej  i  sił y  granicznej.  Okazał o się , że
przy  dł ugim sł upie  ten  wpł yw  jest  istotny.  W  analizowanych  w  pracy  przykł adach siła
graniczna w wariancie I I (tzn. w  sł upie dł uż szym) jest  mniejsza  od  sił y uzyskanej  w warian-
cie  I  o  ~  20%.

Literatura

1.  T.  G AŁKIEWICZ,  A.  Ż ELIG OWSKI,  Statecznoś ć i  stan zakrytyczny  konstrukcji  cienkoś ciennych*'.-   Praca
wykonana  w  ramach  problemu  wę zł owego  05.12  IP P T  P AN  1974- 78. Inst.  Mechanikj  Stosowanej
Politechniki  Łódzkiej.

2.  T.  KARMAN ,  E.  E.  SECHLER,  L.  H .  D ON N ELL,  T he  strength  of  thin plates in  compression. Trans. ASME  54,
1932.  ; '

3.  A .  S .  V O L M I R ,  Ustoicivost  deformiruiemych  sistem.  N a u k a ,  M o s k v a  1 9 6 7 .  ' '• • •  '  '  "

*°  Zagadnienie rozwią zano stosują c metodę  Bubnowa- G alerkina aproksymują c ugię cie pł yty za  pomocą
funkcji  w  = f(l—cos2nylb)sin(mnxla),  przy uwzglę dnieniu moż liwoś ci skokowego narastania wraz z obcią -
eniem liczby pół fal  m.  N aprę ż enia zredukowane okreś lone został y wg  hipotezy H ubera  w  m x  196  punktach.



NOŚ NOŚĆ  GRANICZNA  Ś CIAN KI...  483

P  e 3  io  M e

C n O C O E H O C T b  TOH KOft  BOKOBOił   CTEH KH   TOH KOC TE H H OrO  CTOJIBA

npoCjieM a  KacaeTCH  paBHoiwepHo  oKaTofi  TOHKOH   GOKOBOM   creiiKH   TenKocTeHHoro  croji6a  coflepwn-

Moii  MC/K,ny  xpynKHMH  flH aibpariviaM H  H  npiiJieraiomH M H   i<   DTOH   creHKC  ropa3,qo  He3rH6aeiwbMJi  6OKO-

BWM H   creiiKaMH .  IIpH Bofla  pe3yjibTaTH   pemeH H fi  npeflcTaBJieno  COTHH   C MeToflOB  Hcnojn>3OBaHHa  n o -

(bopMyjiaMii  H   AHarpaMMaMH.  floKa3aH o,  1TO  wr a n a  o K aro ro  CT0Ji6a  iiineeT  B^HaHiie  Ha

piffHiiecKOH   H   rpammH OH   cunhi.

S u m m a r y

U LTIM ATE  STREN G TH   OF   U N I F ORM   COMPRESSED  FLAN G E
O F   TH IN - WALLED   BOX  SU BSTRU CTU RE

The  problem  considered  is  similar  to  that  which  occurs  during  uniform  compression  of  thin  plate
element  of  the column. Such  an element  is  situated  between  two  significantly  flexurally  stiffer  walls of the
column  and on two  other sides  is connected to slender  diaphragm. Results  are given in the form  of  expres-
sions  and  tables.  An  examplary  illustration  of  their  practical  application  is  also  presented.  It  has  been
proved  that  the length  of  the  compressed  column have  an  effect  on the critical  loading  as  well as  on the
load  carrying  capacity  of  the  structure  considered.

Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  dnia  7  sierpnia  1984  roku