Ghostscript wrapper for D:\Digitalizacja\MTS85_t23z1_4_PDF_artyku³y\mts85_t23z3_4.pdf M E C H AN I KA TEORETYCZNA I  STOSOWANA 3 - 4,  23 (1985) STATECZNOŚĆ  SPRĘ Ż YSTO- PLASTYCZNEJ  TRÓJWARSTWOWEJ  POWŁOKI W  KSZTAŁCIE  WYCINKA  STOŻ KA  W  UJĘ CIU GEOMETRYCZNIE  NIELINIOWYM JAROSŁAW  N OWI N K A  I  JE R Z Y  Z IELN ICA  (P O Z N AŃ ) Politechnika  Poznań ska W pracy wyznaczono górne i dolne obcią ż enia  krytyczne  oraz przeanalizowano  przebieg utraty  statecznoś ci  dla  swobodnie  podpartej  otwartej  trójwarstwowej  powł oki  stoż kowej obcią ż onej  sił ami  podł uż n ymi  i  równomiernym  ciś nieniem  poprzecznym.  Z ał oż ono,  że w  chwili  wyboczenia  warstwy  n oś ne powł oki są   sprę ż yste  lub  uplastycznione, podczas  gdy rdzeń  pozostaje  sprę ż ysty.  P ostawione zagadnienie sformuł owano w  uję ciu  energetycznym, a do rozwią zania zastosowan o m etodę  Ritza. R ówn an ia wyprowadzono w oparciu o zwią zki fizyczne  deformacyjnej  teorii  plastycznoś ci  N adaia- H encky'ego, wykorzystują c  koncepcję wzrastają cego  obcią ż enia  Shanleya.  Opracowano  iteracyjny  algorytm  obliczeniowy,  który umoż liwia  przeanalizowanie ś cież ek  równowagi  dla powł ok znajdują cych  się  w  sprę ż ystym, sprę ż ysto- plastycznym  lub  cał kowicie  plastycznym  przedkrytycznym  stanie  naprę ż eń. P rzedstawiono  szereg  przykł adów liczbowych,  których celem jest zbadanie wpł ywu podsta- wowych  param etrów  fizycznych  i  geometrycznych  na przebieg  utraty  statecznoś ci powł oki przy  duż ych  ugię ciach. 1.  Wstę p Cienkoś cienne  powł oki  wielowarstwowe  znajdują   zastosowanie  w  budowie  nowo- czesnych  pojazdów  powietrznych,  wodnych  i  lą dowych  oraz  w  budownictwie.  N ajczę ś ciej spotykane konstrukcje  skł adają   się  z dwóch warstw  noś nych poł ą czonych ze sobą   ś rodkową warstwą   wypeł niają cą.  Stosunkowo  cienkie  warstwy  noś ne  wykonywane  są   z  materiał ów o  duż ej  sztywnoś ci  (stal, stopy  aluminium), n atom iast warstwa  ś rodkowa  może być zbudo- wana  z  blachy  falistej  lub  z  masy  plastycznej,  masy  piankowo- gą bczastej,  porowatego kauczuku,  korka,  it p.  m ateriał ów.  Powł oki  tego  typu  charakteryzują   się   dobrą   izolacją akustyczną   i  termiczną .  M ają   takie  istotne  zalety,  jak  lekkość  i  moż liwość  przenoszenia stosunkowo  duż ych  obcią ż eń.  D la  speł nienia tych  wymagań  konstruktorowi  obecnie  nie wystarcza  już  analiza  w  zakresie  sprę ż ystym;  istotn a  staje  się   znajomość  faz  przejś cia  od pojawienia  się   pierwszych  odkształ ceń  plastycznych,  do  chwili  cał kowitego  wyczerpania noś noś ci.  Celem niniejszej  pracy jest przeanalizowanie  zagadnienia  statecznoś ci  omawianej 496  j .  N OWIN KA,  J.  ZIELN ICA powł oki  przy  dość  ogólnych  zał oż eniach, dotyczą cych  zarówn o  obcią ż enia,  ja k  i  para- metrów  materiał owych  i  geometrycznych. P roblem om  sprę ż ysto- plastycznej  statecznoś ci  powł ok  trójwarstwowych  poś wię cono dotychczas  niewielką  liczbę  opracowań.  Wymienić  należy  prace  dotyczą ce  powł ok  wal- cowych  [2 i 6], gdzie autorzy przyjmowali  do analizy  zwią zki fizyczne  teorii odkształ cenio- wej.  E. I. G rigoluk  [3] wyprowadził  zwią zki  dla analizy powł ok m ał o wyniosł ych;  pojawiają się jedn ak  trudnoś ci przy  ich cał kowaniu, gdy  w powł oce w  stanie przedkrytycznym  panuje niejednorodny  stan naprę ż eń (jak  n p.  w powł oce stoż kowej).  W pracach  [9 i 10] wyznaczono obcią ż enia  krytyczne  dla  trój warstwowej  zamknię tej  powł oki  stoż kowej;  do  rozwią zania zastosowano  metodę  ortogonalizacyjną  oraz  iteracyjną  procedurę  numeryczną,  opierając się n a zwią zkach  fizycznych  zarówno teorii deformacyjnej,  ja k  i przyrostowej  teorii plastycz- nego  pł ynię cia. Wymienić  należy  również  pracę  R.  Struka  [7], gdzie rozpatrzon o podobne zagadnienie,  lecz  ograniczając  się  do  zakresu  sprę ż ystego,  oraz  pracę  J.  Maciejewskiego i  J.  Zielnicy  [5], gdzie  rozpatrzon o  zagadnienie  sprę ż ysto- plastycznej  statecznoś ci jedno- warstwowej  powł oki  stoż kowej,  a  sformuł owanie problem u  i przyję ta  m etoda  rozwią zania są  podobn e  do  stosowanych  w  rozważ anym  tutaj  zagadnieniu. W  niniejszej  pracy  podję to  analizę  statecznoś ci  trójwarstwowej  powł oki  o  postaci wycinka  stoż kowego,  swobodnie  podpartej  i  poddanej  dział aniu  sił   podł uż nych  oraz poprzecznych.  Rozważa  się  aktywny  proces  obcią ż enia  (brak  zewnę trznego  lub  wewnę trz- nego  odcią ż enia).  Przyję to  nastę pują ce  zał oż enia  podstawowe:  1)  warstwy  noś ne  mają symetryczną  budowę  i  równą  gruboś ć,  wykonane  są  z  m ateriał u  izotropowego,  ś ciś liwego ze  wzmocnieniem —  uwzglę dnia  się  ich  sztywność  n a  zginanie  oraz  przyjmuje  dla  nich waż ność hipotez Kirchhoffa- Love'a;  2) warstwa wypeł niają ca jest typu lekkiego o  niewielkiej sztywnoś ci  na  rozcią ganie  i  zginanie  (pomijanej  w  obliczeniach);  poddan a  obcią ż eniu nie  uplastycznia  się  i  przenosi  wył ą cznie  ś cinanie  poprzeczne.  P ostawione  zagadnienie zostanie  rozwią zane  metodą  Ritza  z  wykorzystaniem  zwią zków  geometrycznych  teorii nieliniowej  oraz  zwią zków  fizycznych  deformacyjnej  teorii  plastycznoś ci. 2.  Podstawowe  zależ noś ci Przedmiotem  analizy  jest  swobodnie  podparta  trójwarstwowa  powł oka  w  kształ cie wycinka  stoż ka,  skł adają ca  się  z dwóch  warstw  noś nych  o  równej  gruboś ci  oraz z warstwy wypeł niają cej  (rys.  1).  Zakł adając stosowalność  hipotezy  Kirchhoffa- Love'a  dla  warstw noś nych,  a  także  przyjmują c,  iż wariacja  przemieszczeń  wzdł uż gruboś ci  powł oki  w  warst- wie  wypeł niają cej  jest  liniowa,  uzyskujemy  nastę pują ce  wzory  n a  przemieszczenia  u  i  v wywoł ane  utratą  statecznoś ci  odpowiednio  w  kierunku  wzdł uż nym  i  obwodowym  na powierzchni  odległ ej  o  z  od  powierzchni  podstawowej  powł oki  (rys.  2) ; a)  warstwa  noś na  zewnę trzna,  0,5c  ^  z  <  0,5c+t ( z - . £ + i ) lw „ ,  .  (2.1) b)  warstwa  n oś na  wewnę trzna,  - 0,5c~ł  <  z  <   — 0,5c £ + i J i w > ł ł  (2.2) STATE C Z N OŚĆ  P O WŁ O K I 497 R ys.  1. w Rys.  2. c)  warstawa  wypeł niają ca,  — 0,5c  ^  z  ^  0,5c M   =   M a + 7 - (2 u f l - ' (2.3) W  powyż szych  wzorach  «+   i z>+  oraz u~ i v~  są   przemieszczeniami powierzchni  ś rodkowych odpowiednio  zewnę trznej  i  wewnę trznej  warstwy  noś nej.  Przyję to  w  -   w t   =  w 2   =  w 3 . 10  M ech .  T eoret .  i  Stos.  3- 4/ 85 498  J.  N OWIN KA,  J.  ZIELN ICA Wprowadzono  tutaj  również + — V Wariacje  odkształ ceń  oraz  krzywizn  w  powł oce  okreś limy  nastę pują co  [4]: a)  warstwy  noś ne w  1 + + - i 4 0 r + 7 w l ł w . „   ( 2 5 ) vv,„, 1  , 1  ,  cosec  . 1  1  cosa  ±   5cosa  ±   cosa  ± b)  warstwa  wypeł niają ca  (przenosi  wył ą cznie  ś cinanie  poprzeczne) <5y„  - - ( 2 -̂   ( c + t) w, 3 ) , N iewielkie  róż nice  wystę pują ce  mię dzy  niniejszymi  zwią zkami  a  przyję tymi  przez G olden- wajzera  [4]  leżą  w  granicach  dokł adnoś ci  zał oż eń  teorii  powł ok.  N iekiedy  w  róż nych opracowaniach  dotyczą cych  teorii  powł ok  podan e  są  nieco  in n e  wyraż enia  dla  zmiany krzywizn  (n p. wg  Wł asowa).  Celem zbadan ia wpł ywu  dodatkowych  skł adników  n a wyniki obliczeń  wprowadzono  współ czynnik  A o ,  który  w  obliczeniach  numerycznych  przyjmie wartość  0  lub  1. D la  przyję tego  przypadku  obcią ż enia  sił y  zewnę trzne  i  naprę ż enia  odpowiadają ce bezmomentowemu  przedkrytycznemu  stanowi  naprę ż eń  wyraż ają  się  wzorami 1   /   V  \   C iv s  =   2tas  =  - r- gtgal  sl- JY*—, r ,  =   T v   =  0. Zakł adając  stał y  stosunek  obcią ż enia  podł uż nego  do  poprzecznego * - - £ * -;  (2.8) qs t zapewniamy  proporcjonalny  wzrost  skł adowych  tensora  naprę ż enia  przy  zwię kszaniu obcią ż enia  zewnę trznego,  co stanowi  wymóg tzw.  „ prostego  obcią ż en ia"  dla  deformacyjnej STATE C Z N OŚĆ  P OWŁ OKI 499 teorii  plastycznoś ci.  N aprę ż en ia wzdł uż ne, obwodowe,  styczne  oraz intensywność  naprę ż eń przyjmą  odpowiednio  wartoś ci: (2.9) gdzie fc.- l-  i ł .  1 - - ^ -, s /   \   tga.) fi  =   k s (k,~2)+4. Z akł adamy  liniową  charakterystykę  umocnienia  materiał u  warstw  noś nych  w  zakresie plastycznym,  dla  której  m oduł   styczny  E k   =   const,  natomiast  moduł   sieczny E k E c   = dla dla  0  <  cr( <  apl, (2.10) At  i E  \ gdzie  a,,, jest  wytrzymał oś cią  doraź ną,  a )t,  =   ~ -   — 11 a pS .  W  opisie  E c   (2.10)  wyko- tgcc  \   Ł   j rzystano  warunek  plastycznoś ci  H - M - H. W  obliczeniach numerycznych jest on  realizowany przez  odpowiednie  instrukcje  logiczne. Zwią zki  fizyczne  dla  warstw  noś nych  wg  teorii mał ych odkształ ceń  sprę ź ysto- plastycz- nych  N adaia- H en cky'ego  mają  postać  [8] 1 1  1 - 2? 2~Ę  W \ - 2v\ (2.11) _3 _ £7 \ - 2v Przyjmując  E c   =  E  uzyskujemy  z  (2.11)  zwią zki  fizyczne  dla  ciał a  liniowo- sprę ż ystego. Aby  wyznaczyć  wariacje  naprę ż eń, należy  dokon ać wariacji  wyraż eń  (2.11), a nastę pnie odwrócić je  ze  wzglę du  na  da a!) .  P o  wykonaniu  odpowiednich  przekształ ceń  otrzymujemy zależ noś ci 'fix  Aa  0 1   fu  / aa  0  <5E„   |  (2.12) .0  0  / 3 3 . Elementy  macierzy  sztywnoś ci  mają  postać 10* 500  J.  N OWIN KA,  J.  ZIELN ICA F  - f  - tE° gdzie 1   1   — lv  '.   1   — lv V""8 - '̂  " . - 3 — ^ , ,   ( 214) Sił y  i  momenty w  warstwach  noś nych  powstają ce  w  wyniku  u t rat y  statecznoś ci  uzyskuje się  przez  cał kowanie  wariacji  naprę ż eń  (2.12)  wzdł uż  gruboś ci  warstw  n oś n ych =   f  óogpdz,  <5M±„ =   }  dofyzdz.  (2.15) Warstwa  wypeł niają ca  zgodnie  z  przyję tymi  zał oż eniami przenosi  wył ą cznie  sił y  ś cinają ce, stąd i"  i« «W„   =   G 3  /   a y K d z }  óiV^  =   G 3  /   «y 9 , & ,  (2.16) gdzie  G z   jest  moduł em  odkształ cenia  postaciowego  m ateriał u  warstwy  wypeł niają cej. 3.  Równanie  statecznoś ci U kł ad  równań  statecznoś ci  powł oki  stoż kowej  wyraż ony  w  przemieszczeniach  nie ma ś cisł ego  rozwią zania.  Przybliż one  rozwią zanie  metodą  ortogonalizacyjną  G alerkin a zwią- zane jest  z  pracochł onnymi  obliczeniami,  dlatego  w  niniejszej  pracy  zastosowano  metodę Ritza.  Opierając  się  n a  twierdzeniu,  że  równowadze  ukł adu  odpowiada  ekstrem um jego energii  potencjalnej  W , otrzymujemy  równanie równowagi  powł oki w  uję ciu  wariacyjnym, 0,  (3.1) gdzie  U jest  energią  zgromadzoną  w  powł oce w  trakcie jej  odkształ cenia, L   zaś jest  pracą sił   zewnę trznych.  Równanie  (3.1)  jest  poprawn e  zarówno  dla  stanów  przedkrytycznych, ja k  i  pokrytycznych. D o  wzoru  na  energię  W , zamiast  ś cisł ych  wyraż eń  n a  przemieszczenia,  wprowadzimy funkcje  aproksymują ce  zawierają ce  współ czynniki  At,  które  dobiera  się  tak,  aby  moż liwie najdokł adniej  odtwarzał y  przebieg  rzeczywistych  przemieszczeń. R ównanie k £w, At dA t   =  0,  i = 1 , 2 ,  . . . , / c ,  (3.2) STATE C Z N OŚĆ  P O WŁ O K I  501 jest  speł nione  przy  zupeł nej  dowolnoś ci  wariacji  6Ai,  zatem W , At   =  0.  (3.3) Warunek  równoczesnego  speł nienia  tych  równ ań  okreś la  krytyczny  ukł ad  obcią ż eń.  G dy równania  te  są   liniowe  i  jedn orodn e,  pozostaje  do  rozwią zania  zagadnienie  wartoś ci wł asnych, jedn ak  w  naszym  przypadku  powstaje  bardziej  zł oż ony  ukł ad  równań nielinio- wych  i  niejednorodnych. Cał kowitą   energię   potencjalną   powł oki  W  uzyskujemy,  sumują c  jej  wartoś ci  w  warst- wach  n oś n ych:  U+  (zewnę trznej),  U~  (wewnę trznej),  w  warstwie  wypeł niają cej  Uw  oraz pracę   sił   zewnę trznych  L : W =  U +   + U~ + U w +L .  (3.4) Poszczególne  skł adniki  energii  mają   postać U* » ~ JJ O si  0 gdzie  wariacje  odkształ ceń  uzyskane  ze  wzorów  (2.5)  dotyczą   powierzchni  ś rodkowych odpowiednich  warstw.  P racę  sił  zewnę trznych m oż na w pewnym  uproszczeniu  ([8]) zapisać ako  funkcję   przemieszczenia  w, H  P  '2  P L   =  —  I  I  qwrdv  1 5 tg a 502 J.  N OWIN KA,  J.  ZIELN ICA x  7 < v a ,^  + 2vę , ip I -  ~  +  gjwjj, j (3.7) - - w,,J J J + 4/ 3311- w, „ -  —w,„ j | i ± l | - « r̂ s 1 —w r  ' 5  cos a 4  "  rs x 2A 0 cos a  /  2 l + 4 - —  u,,  s— w, c+t  \ 2 ]\   ,  .  CC  ,  .  I „   .  CC  t  .  , w   ]  \ \ rd(pds—  qwrd'  ~  ssin a . F unkcje  (3.8)  speł niają   kinematyczne  warunki  swobodnego  podparcia  brzegów  powł oki = 0 = 0. (3.10) Podstawiają c  funkcje  (3.8)  do  wyraż enia  (3.7)  oraz obliczają c  pochodn e czą stkowe  energii W   wzglę dem  p aram et ró w^  t   (3.3), otrzymujemy  nastę pują cy  wyjś ciowy  ukł ad  nieliniowych równań  algebraicznych W Ml ~i  1-   1,2,... ,5.  (3.1D STATECZN OŚĆ  POWŁ OKI  503 U kł ad  ten  moż emy  przedstawić  w  postaci J A   =  (sinpydę ,  J 5   ~  f  sin^ pfd  ,  J 6   =   f costpychp,  (3.13) o o o l>  P  P J 7  =   fsi n ^ c o sp p r fę ),  J 8  =   f  sinjP93Cos 2jł cidf93,  J 9  =   fsi =  buAl, a 31 A l +a 32 A 2 +a 33 A 3 +a 3 ^ A A +a 35 A 5   =   b 3l A\ ,  (3.12) =   b AX A\ , =  b 5l Al Ze  wzglę du  n a  skomplikowaną  budowę  równ ań  zastosowano  tutaj  szereg  oznaczeń  skra- cają cych. Obli- zone  analitycznie  cał ki  po  współ rzę dnej  oznaczono ft nastę pują cymi  symbolami: p  p p J j  =   I'sin2p 1 +   (3.17) 504 J.  N OWIN KA,  J.  ZIELN ICA a 12   m  a 2l   BB  sm - 2 fc F3 , 2 9 ), (3.17) Powyż ej  zamieszczono  jedynie  kilka  spoś ród  współ czynników  a u   i  b t j  z  uwagi  na  ich rozbudowaną   strukturę . Zapis  kombinacji  współ czynników  a tJ   oraz  b t j  przedstawimy  przy  pomocy  funkcji  g, 5 , 4 g{x, y,  r)  =  ̂ f e , f ł r g ( - l ) i + J ; ( J + „ i d ,  (3.18) 1 - 2  . 7 = 1 gdzie wyraż enia  d u   i = 2, 3, 4, 5 , ; =   1, 2, 3, 4 są  m in oram i wyznacznika  Wj, powstał ym w  wyniku  wykreś lenia  (i—  l)- szej  kolum ny  oraz  / - tego  wiersza: 52  "5 3 (3.19) Rozwią zując  ukł ad  (3.12) wzglę dem  param etru funkcji  ugię cia  A 1 ,  otrzymujemy  równanie statecznoś ci  w  postaci gdzie »- «* * • ( 3 - 2 0 » (3.21) • =   si n 3 a J 4 4.  Obliczenia  numeryczne  i  wnioski Efektem  dział ania program u  obliczeń  numerycznych jest uzyskanie  wartoś ci  obcią ż enia poprzecznego  q  (oraz  sił y  wzdł uż nej  N )  w  funkcji  ugię cia  powł oki,  wedł ug  równania (3.20). Ze wzglę du na uwikł aną   postać tej  zależ noś ci  (obcią ż enie q tkwi  m .in . w elementach lokalnej  macierzy  sztywnoś ci)  obliczenia  przeprowadzono  iteracyjnie.  N a każ dym  kroku obliczeniowym  ś cież ki  równowagi  przyjmowano  pewną   wartość  począ tkową   obcią ż enia  q x . U moż liwiło to wyznaczenie  współ czynników  sztywnoś ci  i otrzym anie  równ an ia  o znanych współ czynnikach, ? = • «( *),  (4.D STATECZNOŚĆ  POWŁ OKI 505 gdzie  ugię cie  reprezentuje  param etr  A i  (4.1).  Ostatecznie  jako  q  przyjmowano  wartość speł niają cą  warunek, \ ą - q x \   <   Eą ,  (4.2) gdzie  s ą   oznacza  zał oż oną  dokł adn ość obliczeń.  Kolejne  przybliż enia  wartoś ci  q  ustalano w oparciu o m etodę „ reguł a falsi". U proszczony  algorytm  obliczeń  przedstawiono  na rys.  3, gdzie N x   —  ilość  kroków  cał kowania, X —  współ czynnik  cał kowania,  zależ ny  od  przyję tej  metody  (stosowano  metodę trapezów), £m« —  param etr  ugię cia, lm «  =   M AX|s2sin2asin/ c<$0|.  (4.3) program  n apisan o  w  ję zyku  F O R T R AN ,  a  obliczenia  przeprowadzono  na  komputerach SM- 1  oraz  OD RA- 1305.  Jako  dan e  podstawowe  przyję to: / ayt.tionych realizacje pę tli *,/ t,x,mj) \  obl.ccfekpo 

KHne KpimroecKe iiarpy3Kii  H  anajiH 3npyeiCH   noTepmo ycroH - flJiH   CBOSOAH O  o n e p r o ii  Tpexcjiottnoft  KOHH êcKOH   o6ono^iKH   HarpyjKeHHoii  npo#cun>HfciMH H   BH CU IH H M  flaBneiraeM .  IIoJiaraeTCfi,  vr o  BO  BpeM«  noTepir  ycTottnuBocTH   n ecym n e  CJIOH yn p yr a e  H JIH   n n ac n wec K H e,  a  3anoJiHHTeji&  o cn aeica  ynpyrH M .  3aflaua  pen ien a  M «O AO M   P m 3a .  YpaB- H CH H H  n ojiyueiibi  c H cnonb3oBaH H e.«  4)H3iwecKHx  cooTHoineHHft fle^opM aujioiiH oH  Teopioi  rmacTH ^iocwi H   Koim en in ra  npoflonB5Kaioir(ero  n arpyH < «n m  IIIeanH - PaooTH OBa.  H iepam ioH H biii  anbropHTM   pem eim n no3BonneT  aH anH 3irpoBaTb  n y i n  paBHOBecHH   p,na yn p yr a x,  yn p yro - n jiac u wewHx  H JIH   ruiacnwecKH X .  IIpeHCTaBJieHbi  MHcnoBŁie  npH iwepbi  B KoTopbix  paccMOTpeno  BJIH H H H C  d)H3H»!ecKnx  u r e - napaM eTpoB  Ha n oTepn io  ycroHMHBocTH   npH   SOJID U IH X  n p o r n 6a x. S u m m a r y G EOM ETRICALLY  N ON LI N EAR  PROBLEM   OF   AN   ELASTIC- PLASTIC  OPEN   SANDWICH CON ICAL  SH ELL In  the  paper  the  upper  and  lower  critical  loads  are  investigated,  and  also  stability  loss  is  analysed for an open sandwich conical shell loaded by longitudinal forces  and uniformly  distributed external pressure. It  is  assumed  that the  shell  faces  are  elastic  or  plastic  in  the moment of  buckling,  and the core remains elastic.  The problem  is  solved by  th e Ritz method. The equations are derived  on the basis of  deformation theory  of  plasticity  using  the concept of  the growing load  (Shanley). An  iterative  algorithm of calculation has  been  elaborated,  which  make  it  possible  to  analyse  the  shells  in  elastic,  elastic- plastic  or  in  totally plastic  prebuckling  state  of  stresses.  The numerical examples  show  the  influence  of  principal  geometrical and  physical  shell's  parameters  on  the  stability  loss  at  large  deflections. Praca  został a  zł oż ona  w  Redakcji  29  paź dziernika  1984 11  Mech.  Teotet.  i  Stos.  3- 4/85